4. GEOMETRIA DELLE MASSE 4.1
Momenti del 2° ordine.
Sono detti momenti (di masse, di superfici, ecc...) de secondo ordine !uei esprimi"ii come prodotto dea massa (area) per una distan#a (un$%e##a) ee&ata a !uadrato, oppure per due distan#e. 4.2
Momento d’ d’inerzia as assiale.
Dato un sistema piano di masse puntiformi m i ed una !uasiasi retta ', si definisce momento diner#ia assiae rispetto aasse ' (sim"oo *) a somma dei prodotti di ciascuna massa per i quadrato dea rispetti&a distan#a (+) daasse ' . Jx = ∑mi•yi2
(4.7)
Le distan#e + da-asse ', anao$amente a !uanto &isto per i momenti statici (ap. /0) sono considerate considerate positi&e positi&e o ne$ati&e ne$ati&e a seconda seconda se sono disposte daa daa parte sopra e a destra, destra, oppure sotto ed a sinistra, rispetto a-asse '. Da tae defini#ione, essendo e masse (o e aree) sempre positi&e positi&e ed i !uadrato di una distan#a distan#a (anc%e se ne$ati& ne$ati&a) a) anc%e anc%esso sso positi&o positi&o,, ne deri&a deri&a c%e il momento d’inerzia assiale è sempre positivo . Si escude, naturamente, i caso caso particoare e poco si$nificati&o dee masse puntiformi mi tutte aineate suasse ' (distan#e + i tutte nue) per !ua caso risuta * u$uae a #ero. Dato un sistema piano di assi cartesiani (non necessariamente orto$onai) ',O,1, 2 e&idente i si$nificato dee espressioni Jx = ∑mi•yi2 Jy = ∑mi•xi2 e rispetti&amente momento diner#ia assiae rispetto aasse ' e momento diner#ia assiae rispetto aasse 13 Le distan#e +i daasse ' e e distan#e * i daasse 1 sono misurate parallelamente ai rispetti&i assi 1 e ', risutando risutando tra oro orto$ona orto$onaii soo ne caso caso (da noi pi usato) usato) di assi cartesiani cartesiani orto$ona orto$onai. i. In 5figura4.1a 6 2 riportato riportato un sistema sistema di !uattro !uattro masse puntiformi riferite riferite ad un sistema sistema di assi oliqui, in cui e distan#e positi&e sono usuamente rappresentate in inea continua e e distan#e ne$ati&e in inea tratte$$iata. Ricordando a defini#ione di poten#a di una $rande##a, possiamo riscri&ere a (4.7) come 8mi•+i 9 8mi•+i•+i 9 8(mi•+i)•+i I termine tra parentesi (m i•+i) 2 facim facimente ente riconosc riconosci"i i"ie e come momento stati!o dea $enerica massa mi rispetto aasse ' c%e possiamo indicare co sim"oo S*i . :ossiamo, aora, scri&ere a precedente espressione come Jx = ∑&xi•yi
(4.)
Se consideriamo i momenti statici S *i di o$ni sin$oa massa m i come una nuo&a massa ausiliaria posta neo stesso punto dea corrispondente massa m i, i termine dea (4.) entro a sommatoria, indicante i prodotto dea massa ausiiaria S *i per a sua distan#a + i daasse ', rappresenta, per defini#ione, i momento statico di tae massa ausiliaria rispetto aasse '. Tenuto conto c%e a massa ausiiaria 2 i momento statico dea massa puntiforme ori$inaria coocato neo stesso punto in cui 2 posta tae massa ori$inaria, si pu; concudere c%e a (4.) indica c%e il momento d’inerzia d’inerzia Jx" rispett rispetto o all’asse all’asse #" pu$ !onsiderars !onsiderarsii !ome !ome il momento momento stati!o stati!o dei momenti momenti stati!i !al!olati rispetto al medesimo asse # .
:er anao$ia co teorema di
(4./)
ing. Francesco Avolio - Appunti dalle lezioni di Costruzioni: cap. 4°
Tae distan#a distan#a %x 2 denominata ra''io d’inerzia rispetto rispetto aasse aasse '. Essa si determina, determina, se 2 noto noto i &aore di Jx , come radice !uadrata dea fra#ione costituita da Jx fratto a massa totae 8m i (o -area totae 8Ai in caso di superfic superfici). i). Dae espressioni espressioni considerate, considerate, si deduce deduce c%e unit( di misura per i momento diner# diner#ia ia assiae assiae di un sistema sistema di masse masse puntiform puntiformii 2 i )'*m2 , mentre per anao$o momento d-iner#ia assiae di un sistema di superfici 2 a !uarta poten#a di una un$%e##a (se -area 2 espressa in !m2, unit> di misura de momento d-iner#ia 2 i !m4). 4.+
Momento po polare.
Si definisce momento poare (sim"oo p) di un sistema di masse puntiformi, puntiformi, rispetto ad un punto , (denominato polo ) a somma dei prodotti di ciascuna massa per i !uadrato dea rispetti&a distan#a ( r 2 ) da poo ,. (4.4 ) Jp9 ∑mi•r 2i Se si fa coincidere i poo : con ori$ine di un sistema di assi cartesiani orto'onali 'O1, per a distan#a r i dea $enerica massa mi da poo O si %a (teorema di :ita$ora) 3 r 2i = xi2 - yi2 5figura4.1b 6 1
1
*7
m7 •
*i
m
*
•
+7
+i
r i
mi
•
+i
+
O +/
*4
*/
•
+4 • m4
O
'
'
m/ 4.7a fig 4.7a
4.7" fig 4.7"
Aora si pu; scri&ere3 po 9 8mi?r i 9 8mi•(*i @ +i) 9 8mi•(*i) @ 8mi•(+i) Ricordando a defini#ione dei momenti diner#ia assiai, riconosciamo ne$i utimi termini rispetti&amente Jy e Jx , e possiamo scri&ere Jpo = Jx - Jy
Tae rea#ione tra momenti diner#ia poare e assiai permette di cacoare po, momento poare rispetto aori$ine OB de$i assi cartesiani se sono noti i momenti diner#ia assiai * e +, ma non vi!eversa . = opportuno notare c%e, a pari de momento assiae, i momento poare 2 sempre positivo (nuo soo per i caso particoare pri&o dinteresse in cui r i 9 C, cio2 !uando tutte e masse si tro&ano su poo). Lunit> di misura per !uesto momento de secondo ordine 2 !uea $i> detta di )'•m2 per i sistemi di masse e di !m4 (o poten#a aa !uarta di atra unit> di misura dea un$%e##a) per i sistemi di superfici. 4.4
Momento !e !entriu'o.
Dato un sistema di riferimento ne piano cartesiano 'O1, non necessariamente orto$onae, si definisce momento centrifu$o di un sistema di masse puntiformi, e si indica con Jxy, a somma dei prodotti di ing. Francesco Avolio - Appunti dalle lezioni di Costruzioni: cap. 4°
ciascuna massa per e sue rispetti&e distan#e *i da-asse 1 ed +i da-asse ', ciascuna misurata paraeamente a rispetti&o asse. In 5figura4.2a 6 2 riportata una $enerica massa puntiforme mi in un sistema di riferimento con assi o"i!ui, mentre in 5 figura4.2b 6 2 riportato -usuae sistema di riferimento cartesiano con assi orto$onai. 1
1 *i
•
mi
mi
*i
•
+i +i
O
'
O
figura4.2a
' figura4.2b
In formue si pu; scri&ere indifferentemente secondo una dee due espressioni (4.) oppure (4.-) 3 *+ 9 8mi?+i?*i
(4.)
+* 9 8mi?*i?+i
(4.-)
essendo e due espressioni e!ui&aenti per &ia dea propriet> commutati&a &aida per i prodotto * i?+i9+i?*i . Anc%e in !uesto caso -unit> di misura 2 i )'•m2 per i sistemi di masse puntiformi e di una un$%e##a aa !uarta poten#a ne caso di superfici (per esempio !m4). :oic% e masse sono sempre positi&e, i momento centrifu$o a&r> i se$no determinato da prodotto dee coordinate *i?+i e, pertanto, potr> risutare positivo , ne'ativo o nullo, di&ersamente da$i atri due momenti de secondo ordine (assiae e poare) c%e sono sempre positi&i. 4./
0eorema di trasposizione (F1GEHS STEIHER) .
Si esamina un importante Teorema, utie in mote appica#ioni, c%e consente, noto i momento de secondo ordine rispetto ad un preciso riferimento (asse, poo, coppia di assi), di determinarne i &aore rispetto ad atro anao$o riferimento di posi#ione nota. Si esamineranno i casi dei tre di&ersi momenti. a momento assiale . Sia dato un sistema di n masse puntiformi m 7, m. m/,.....mn e due rette paraee3 una retta XG, passante per i "aricentro G(* GJ+G) de sistema di masse e a retta X ad essa paraea posta aa distan#a dx daa retta XG "aricentrica 5figura4.3 6. •
m7
•
m/
+G/
+G7
3
XG
•
d*
+7
+/
+G
+
m • figura4.3 ing. Francesco Avolio - Appunti dalle lezioni di Costruzioni: cap. 4°
X
:er o$ni massa m i de sistema si a&r> yi=y3i-dx (7) essendo, con o&&io si$nificato dei sim"oi, + i a distan#a dea $enerica massa mi da-asse X ed +Gi a distan#a dea stessa massa da-asse XG . In tae espressione i &aore dea distan#e + i oppure +Gi &a considerato co suo se$no, utii##ando -usuae con&en#ione di considerara positiva o ne'ativa a seconda dea posi#ione dea massa m i da una parte o da-atra rispetto a-asse X o rispetti&amente XG. In "ase a !uanto detto su se$no dee distan#e +i o +Gi a seconda dea posi#ione dee masse rispetto a$i assi ed osser&ando a 5figura4.3 6, si deduce c%e a precedente espressione (7) 2 sempre &aida !uasiasi sia a posi#ione dea $enerica massa m i rispetto a$i assi X e XG. Operando a sostitu#ione di tae &aore di +i nea formua (4.7) si %a3 *9 8mi?+i 9 8mi?( +Gi@d* ) 9 ∑mi•y3i2 - 2dx•∑mi•y3i - d2x•∑mi I &aore d* essendo costante &iene scritto fuori da se$no di sommatoria. In tae u$ua$ian#a, essendo +Gi a distan#a dea masse da-asse XG, i primo termine 2, per defini#ione, i momento d-iner#ia assiae rispetto aa retta "aricentrica XG c%e si indic%er> con Jx3. He secondo termine di tae u$ua$ian#a, -espressione entro i se$no di sommatoria ( 8mi?+Gi ) 2, per defini#ione, i momento statico de sistema di masse rispetto a-asse XG . :oic% XG passa per i "aricentro, come noto, tae momento statico è nullo. Si pu;, pertanto, scri&ere a se$uente u$ua$ian#a, c%e rappresenta i teorema di trasposi#ione Jx = Jx3 - d2x•∑mi
(4.K)
I teorema di trasposi#ione pu;, !uindi, enunciarsi I momento d-iner#ia (*) di un sistema di masse rispetto ad un asse ' 2 u$uae a momento d-iner#ia (*G) cacoato rispetto a-asse 'G, paraeo a-asse ' e passante per i "aricentro, aumentato de prodotto dea somma dee masse (massa totae) per i !uadrato (d *) dea distan#a tra $i assi ' e 'G. Osser&ando -espressione (4.K) si possono fare acune importanti considera#ioni. I termine d2x•∑mi %a &aore sempre positi&o e, per causa de !uadrato, cresce rapidamente a crescere dea distan#a d * tra i due assi paraei ' e 'G. uesto impica c%e i momento d-iner#ia assiae 2 tanto pi piccoo !uanto pi -asse rispetto a cui si cacoa 2 &icino a "aricentro. He conse$ue c%e per e infinite rette a&enti a stessa dire#ione (rette paraee) i momento d-iner#ia assiae di &aore pi pi!!olo 2 !ueo cacoato rispetto all5asse # 3 passante per i "aricentro (risuta d* 9C). La precedente rea#ione (4.K) pu; interpretarsi anc%e ne considerare i momento d-iner#ia assiae (*) rispetto ad un $enerico asse ' come costituito da momento assiae c%e a&re""e -intera massa se fosse concentrata ne "aricentro (d*?8mi) aumentata de termine *G, cio2 de momento d-iner#ia assiae rispetto a-asse "aricentrico 'G, paraeo a-asse '. Si noti c%e a distan#a d * tra $i assi paraei 'G e ' atro non 2 c%e -ordinata +G de "aricentro 3 se -asse ', in&ece di un $enerico asse, fosse l5asse delle as!isse di un sistema di riferimento cartesiano. In riferimento ad un sistema di assi cartesiani, &ae a successi&a u$ua$ian#a per indicare i momento assiae dea massa totae (8mi), supposta concentrata ne "aricentro, rispetto a-asse ' 3 d*?8mi 9 +G•8mi i; premesso, a precedente rea#ione (4.K) riferita ad un sistema di assi cartesiani si pu; scri&ere Jx = Jx3 - y23•∑mi
(4.N)
Da tae espressione si deduce c%e per un sistema di masse puntiformi, supposta a massa totae (8mi) concentrata ne "aricentro, per ottenere *, momento d-iner#ia assiae rispetto a-asse ', a momento d-iner#ia assiae dea massa totae (+ G•8mi) rispetto a-asse * o!!orre a''iun'ervi i termine Jx3 c%e, in !uanto momento assiale (rispetto a-asse "aricentrico 'G paraeo a-asse '), non è mai nullo . Tro&a, cos, $iustifica#ione !uanto prima anticipato (par. 4.2) c%e non esiste per i momenti d-iner#ia un teorema analo'o a !ueo di 6ari'non &aido per i momenti stati!i , cio2 non 2 possi"ie determinare i momento d-iner#ia assiae rispetto ad un asse ' come sempice prodotto dea massa totae concentrata ne "aricentro per i !uadrato dea distan#a de "aricentro da-asse ' (perc%2 2 necessario a$$iun$ere *G). Ricordando a rea#ione (4./) de momento d-iner#ia assiae ottenuto come prodotto dea massa totae per i !uadrato de ra''io d5inerzia, in riferimento a-asse "aricentrico ' G paraeo a-asse ', si pu; scri&ere a rea#ione
ing. Francesco Avolio - Appunti dalle lezioni di Costruzioni: cap. 4°
(4.)
Jx3 = %2x3•∑mi
In tae espressione 2 o&&io i si$nificato di %x3 ,ra$$io d-iner#ia reati&o a-asse "aricentrico 'G. tii##ando i ra$$i d-iner#ia, a precedente espressione (4.N) de teorema di trasposi#ione di&enta *•∑mi 9 *G•∑mi @ +G?8mi Di&idendo am"o i mem"ri di tae u$ua$ian#a per a stessa !uantit> non nua (8m i) si %a3 %2x = %2x3 - y23
(4.)
Tae importante rea#ione tra ra$$i d-iner#ia ci permette di determinare i ra$$io d-iner#ia ( *) de sistema di masse rispetto a-asse ', in&ece (par.4.2) c%e come radice !uadrata de rapporto * 8mi, ottenendoo in fun#ione de
ra$$io d-iner#ia *G rispetto a-asse "aricentrico 'G paraeo a-asse ', e dea distan#a +G tra i due assi. I teorema di trasposi#ione 2 &aido, con adattamenti, anc%e per $i atri momenti de 0 ordine. momento polare . Si 2 &isto, c%e in riferimento a-ori$ine di un sistema di assi cartesiani, per n masse puntiformi m7, m. m/,...mn &ae a rea#ione Jpo = Jx - Jy c%e permette di conoscere i momento poare in fun#ione dei momenti assiai. Si considerino 5figura4.4 6 e due rette, rispetti&amente paraee a$i assi coordinati e passanti per i "aricentro G(*GJ+G) de sistema di masse. na retta X3, paraea a-asse X e distante da esso dea !uantit> dx ed una retta Y3, paraea a-asse Y e distante da esso dea !uantit> dy. In tae 5figura4.4 6 2 rappresentata una soa $enerica massa mi de sistema, per comodit> posi#ionata ne primo !uadrante, ma i ra$ionamento c%e se$ue 2 &aido !uaun!ue sia a posi#ione dee masse. Y
HPQ ome si pu; notare in fi$ura 4.4 per a distan#a r 3 de "aricentro da-ori$ine O de$i assi &ae a rea#ione (teorema di :ita$ora) r 23 9 d2x@d2y.
1G
d+
mi
*i
'G
Si ricorda c%e e coordinate dee sin$oe masse sono considerate positi&e o ne$ati&e a seconda dea posi#ione dea massa rispetto a$i assi. 7s!issa *i positi&a se a massa 2 disposta a destra de-asse 1 (ne$ati&a se a sinistra)J 8rdinata positi&a se a massa 2 disposta sopra -asse ' (ne$ati&a se disposta sotto).
X
on tai premesse &a$ono sempre e se$uenti rea#ioni, (&edere anc%e 5figura4.36 ) sia in &aore c%e in se$no, !uaun!ue sia a posi#ione dea $enerica massa mi rispetto a$i assi coordinati3
•
+i *G
•
3 +G
r G
O
d*
yi=y3i-dx (7)
xi=x3i-dy (7-)
figura4.4
Ricordando a rea#ione (4.K) de momento d-iner#ia rispetto a-asse ' Jx =Jx3-d2x•∑mi, per i momento d-iner#ia rispetto a-asse 1 2 ecito scri&ere per anao$ia, Jy =Jy3-d2y•∑mi (4.K)- con o&&io si$nificato dei sim"oi adoperati. Tutto ci; premesso, riprendendo a precedente rea#ione de momento poare si pu; scri&ere3 po 9 * @ + J
po 9 *G@d*?8mi @ +G@d+?8mi J Jpo 9 Jx3 - Jy3 - 9d2x-d2y•∑mi
Hotato c%e 5figura4.4 6 &ae a rea#ione r 23 9 d2x@d2y si pu;, infine, scri&ere Jpo 9 Jx3 - Jy3 - r 23•∑mi
(4.7C)
ing. Francesco Avolio - Appunti dalle lezioni di Costruzioni: cap. 4°
Tae espressione (4.7C) rappresenta i teorema di trasposi#ione per i momento d-iner#ia poare. Si noti come -utimo termine de secondo mem"ro di tae espressione rappresenta i momento poare, rispetto a-ori$ine OB de$i assi cartesiani, dea massa totae (8m i) supposta tutta concentrata ne "aricentro G e come occorra a$$iun$ere ad esso i primi due termini per ottenere i momento d-iner#ia poare po . c momento !entriu'o . Si 2 &isto, in rea#ione aa 5figura4.4 6 per un sistema di n masse puntiformi m7, m. m/,...mn, c%e &a$ono e rea#ioni (7) e (7-). Tenendo conto di tai rea#ioni e ricordando -espressione (4.) de momento centrifu$o si pu; scri&ere3 *+ 9 8mi?+i?*i J
*+ 9 8mi?( +Gi@d*)?( *Gi@d+) J
*+ 9 8mi?+Gi?*Gi @ d+?8mi?+Gi @d*?8mi?*Gi @ d*?d+?8mi
Si noti c%e i primo termine de secondo mem"ro di tae u$ua$ian#a, in "ase aa defini#ione, rappresenta i momento centrifu$o de sistema di masse rispetto a$i assi "aricentrici 'G e 1G c%e possiamo indicare con i sim"oo Jx : . Le espressioni sotto i se$no di sommatoria de secondo e ter#o termine esprimono i momento statico de sistema di n masse puntiformi m 7, m. m /,...mn rispetti&amente rispetto a-asse 'G ed a-asse 1G c%e sono due assi ari!entri!i. Tai momenti statici, come noto, sono nulli e, pertanto, risutano nui i predetti secondo e ter#o termine. I !uarto termine rappresenta i momento centrifu$o rispetto a$i assi coordinati ' e 1 dea massa totae (8mi) supposta tutta concentrata ne "aricentro G. In definiti&a si pu; riscri&ere a precedente espressione come Jxy 9 Jx3 :3 - dx•dy•∑m (4.77) 3 3
i
c%e rappresenta i momento di trasposi#ione per i momento d-iner#ia centrifu$o. Anc%e in !uesto caso occorre a$$iun$ere un termine (*G1G) a corrispondente momento centrifu$o dea massa totae, supposta concentrata ne "aricentro, per poter ottenere i momento centrifu$o *+ . 4.;
Si 2 precedentemente &isto c%e i momento d-iner#ia di un sistema di masse puntiformi rispetto ad un asse ' pu; considerarsi (4.) come momento statico dei sin$oi momenti statici dee masse rispetto ad un medesimo asse ', con ciascun momento statico posi#ionato a posto dea corrispondente massa. Se o$ni sin$oo momento statico S *i si considera come (par. 4.2) una massa ausiliaria, possiamo considerare i "aricentro di tae nuo&o sistema piano di masse ausiliarie , c%e o&&iamente sar> un punto diverso e distinto da "aricentro 3 dee masse. Sia
(4.7)
!uesta un-importante rea#ione, c%e permette di mettere in e&iden#a acune propriet> de "aricentro
(4.7/)
ing. Francesco Avolio - Appunti dalle lezioni di Costruzioni: cap. 4°
c%e fornisce -importante rea#ione di determinare -ordinata de !entro relativo di un !uasiasi asse ' come rapporto tra i momento d-iner#ia ed i momento statico de sistema di masse rispetto a tae asse '. onfrontando -espressione (4.7) con a (4./) c%e esprime i momento assiae come prodotto de !uadrato de ra$$io d-iner#ia per a massa totae si %a3 x?8mi 9 1*?+G?8mi e di&idendo per 8mi am"o i mem"ri si %a %2x = :
4.>
(4.74)
Momenti d5inerzia di i'ure piane
ome per i "aricentro ed i momenti statici, e defini#ioni e e rea#ioni ri$uardanti momenti di secondo ordine &iste per i sistemi di masse puntiformi si possono estendere ai sistemi continui, cio2 ae fi$ure piane. Pasta ricondurre -area dea fi$ura piana ad un sistema di masse puntiformi. i; si pu; fare suddi&idendo a fi$ura piana in tante strisce ar$%e !uante a fi$ura piana e di ate##a piccoissima (Uh) (il simbolo U si e$$e detaB perc% 2 a ettera maiuscoa delta de-afa"eto $reco e con tae sim"oo, di soito, &iene indicata una !uantit> piccoissima o infinitesima e considerare -area piccoissima di tae striscia come massaB u"icata ne "aricentro dea striscia. Aora 5figura4.5a 6 una fi$ura piana pu; ridursi ad un insieme di strisce piccoissime a&enti ate##a Uh e corrispondente area UA, ottenuta come prodotto dea ar$%e##a dea striscia per a sua ate##a piccoissima U%. 1
1
@ Gi ?
U Ai
Gi?
U%
%
A 3
A2
B A
'
' figura4.5a
S*
?
yi
+i
O
U Ai
figura4.5b
O&&iamente, per una !uasiasi fi$ura piana suddi&isa in un certo numero n di strisce piccoissime di area UA, &ae a rea#ione 7=∑?7i in cui con AB si 2 indicata -area di tutta a fi$ura piana e con UAi -area piccoissima di una !uasiasi dee n strisce c%e compon$ono a fi$ura. on tai premesse o$ni fi$ura 2 stata ricondotta ad essere composta da un numero n di masse-aree puntiormi disposte ne "aricentro di ciascuna striscia. iascuna striscia, data a piccoissima ate##a U%, pu; considerarsi a&ere a "ase superiore di un$%e##a circa u$uae aa "ase inferiore e !uindi assimiarsi ad un rettan$oo. Si possono aora appicare tutte e rea#ioni e formue &iste per i momenti de secondo ordine &aide per i sistemi di masse puntiformi, con -a&&erten#a di sostituire, a posto dea $enerica massa m i, a $enerica area piccoissima UAi. In particoare i momento d-iner#ia assiae rispetto a-asse * pu; esprimersi secondo a rea#ione (4.7), c%e di&enta *91*?+G?8UAi,, cio2 Jx = :
4.C
Dettan'olo.
Sia dato un rettan$oo di "ase @ ed ate##a A. Si &o$ia determinare i suo momento d-iner#ia rispetto ad un asse ' tan$ente aa "ase. Si procede suddi&idendo i rettan$oo in tanti piccoi rettan$oini u$uai, a&enti ciascuno a "ase pari a P ed ate##a, piccoissima, pari ad %. Haturamente risuter> 8%9F. = e&idente c%e -area UAi di ciascun rettan$oino 5figura4.5b 6 sar> pari a UAi9P?% e, pertanto -area totae de rettan$oo sar> A98UAi 98P?% 9P?8% 9P?F. Appicando a rea#ione (4.7-) per i cacoo di * si %a *91*?+G?P?F La posi#ione de "aricentro de rettan$oo 2 nota (incrocio dee dia$onai), pertanto a sua distan#a da-asse ' tan$ente aa "ase sar> +G9F . :er a posi#ione de centro reati&o * ("aricentro dei momenti statici) occorre fare acune considera#ioni. I momento statico dea $enerica area eementare UAi rispetto a-asse ' &ae UAi?+i in cui +i rappresenta a distan#a de "aricentro dea $enerica area eementare da-asse '. Le aree eementari UAi sono tutte u$uai a P?%, pertanto o$ni sin$oo momento statico &arier> proporzionalmente aa distan#a +i de "aricentro di ciascuna area eementare da-asse '. Ricorrendo ai &ettori ittizi per rappresentare i momenti statici, essi saranno disposti paraeamente a-asse ', a&ranno &erso concorde (&erso destra nea 5figura4.5b 6) ed intensit> &aria"ie pari a $enerico momento statico UAi?+i e saranno appicati ne "aricentro Gi dea $enerica striscia, !uindi a distan#a +i da-asse '. Aora si pu; notare come i &aori dei sin$oi momenti statici, rimanendo costante -area dea striscia eementare, &arino con le''e lineare in dipenden#a dea distan#a +i, da &aore #ero a &aore massimo, man mano c%e si considerano strisce eementari pi ontane da-asse '. La rappresenta#ione dei momenti statici 2, dun!ue, come si pu; notare in 5figura4.5b 6,.di tipo trian'olare , I momento statico totae &ae, come noto, S*9+G? AJ S*9(F)?(P?F)J cio2 S*9P?F. Esso si pu; considerare disposto ne suo "aricentro (centro reati&o) c%e, corrispondendo a "aricentro di una distri"u#ione trian$oare, si tro&er> a 7/ de-ate##a daa "ase di tae trian$oo e, !uindi, a / de-ate##a de trian$oo da suo &ertice, c%e $iace 5 figura4.5b 6 su-asse '. Si &ede nea stessa fi$ura come i &ettore rappresentati&o di tae momento statico sia appicato proprio ne centro reati&o *. In concusione, ne conse$ue c%e : si sape&a, *G, essendo cacoato rispetto a-asse "aricentrico, 2 i pi piccoo tra tutti i momenti d-iner#ia rispetto a rette paraee a-asse '. In !uesto caso, i momento d-iner#ia "aricentrico &ae un quarto de corrispondente momento assiae rispetto aa "ase. Se si &o$iono cacoare i momenti d-iner#ia assiae de rettan$oo rispetto ad un asse 1 tan$ente i ato (ate##a) di un$%e##a F ed ad un asse 1 G, "aricentrico e paraeo a-asse 1, con anao$%e dedu#ioni si rica&ano e formue 1 9 F?P+/
1G 9 F?P+7
:er i rettan$oo risuta F W P e, pertanto, per i due momenti d-iner#ia "aricentrici sar> 'G W 1G. Hon soo, essendo i due assi "aricentrici ' G e 1 G assi di simmetria tra oro perpendi!olari, tra $i infiniti &aori c%e pu; assumere i momento d-iner#ia assiae cacoato rispetto ad un !uasiasi asse r 3 passante per i "aricentro, dei due &aori 'G e 1G, uno risuter> i massimo e -atro i minimo. Tae afferma#ione sar> $iustificata pi a&anti dopo a&er trattato -eisse d-iner#ia. Le precedenti formue reati&e ai momenti d-iner#ia de rettan$oo sono &aide anc%e per i parallelo'ramma a&ente a "ase di un$%e##a P ed ate##a F. ing. Francesco Avolio - Appunti dalle lezioni di Costruzioni: cap. 4°
4.F
Guadrato.
Le formue reati&e ai momenti d-iner#ia de rettan$oo sono &aide anc%e per i !uadrato, con -unica condi#ione di porre P9F pari aa un$%e##a de ato de !uadrato. = e&idente c%e, non essendoci differen#a tra "ase ed ate##a de !uadrato, i momenti rispetto a-asse ' saranno u$uai ai corrispondenti momenti rispetto a-asse perpendicoare 1. Detta, perci;, a un$%e##a de ato de !uadrato, e precedenti formue &aide per i rettan$oo di&entano 4
* 9 1 9 4.1H
/
*G 9 1G 9
4
7
0rian'olo.
n !uasiasi trian$oo pu; sempre ritenersi pari aa met> di un paraeo$ramma, ottenuto considerando uno dei due trian$oi in cui rimane suddi&iso i paraeo$ramma da una sua dia$onae. He-esempio di 5figura4.6a 6 i trian$oo AP pu; ritenersi ottenuto tracciando a dia$onae A de paraeo$ramma APD. I "aricentro G: de paraeo$ramma APD si tro&a ne punto d-incontro dee sue dia$onai e, !uindi, su punto medio dea dia$onae A. I momento d-iner#ia rispetto a-asse ari!entri!o ': de paraeo$ramma, parallelo alla sua ase 7@" &ae (formua de rettan$oo) P?F/7. :oic% a dia$onae A di&ide i paraeo$ramma in due trian$oi u$uai AP e DA, e rispetti&e aree saranno u$uai e pari aa met> de-area de paraeo$ramma cio2 ciascuna pari a P?F. Aora i momento d-iner#ia de soo trian$oo AP, rispetto a-asse ' : &arr> a met> di !ueo de paraeo$ramma rispetto ao stesso asse ':, sar> !uindi, per i trian$oo, ': 9 P?F/4.
'o
D
1
bi
r
A
G:
': #3
?
O
?
3
'
F F/ 'a
A
b
P
b7
@ figura4.6a
figura4.6b
I momento d-iner#ia de trian$oo AP rispetto a suo asse "aricentrico ' G paraeo a-asse ': si ottiene utii##ando i teorema di trasposi#ione, nota a distan#a d * tra i due assi3 d*9 F X F/J d*9FK. Aora *G 9 ': Y d*? A(AP) J *G 9 P?F/4 Y ( FK)?(P?F)J *G 9 ?P?F/N cio2 *G 9 P?F//K on i teorema di trasposi#ione si pu; cacoare i momento d-iner#ia de trian$oo rispetto ad un asse 'a paraeo a-asse "aricentrico passante daa "ase AP. Tenendo conto c%e a distan#a d* tra $i assi ' G e 'a 2 pari a F/ si %a3 a 9 'G @ d*? A(AP) J a 9 P?F//K @ (F/)?(P?F)J cio2 Ja = @•A+ 12. Sempre utii##ando i teorema di trasposi#ione, si pu; cacoare i momento d-iner#ia de trian$oo rispetto ad un asse 'o paraeo a-asse "aricentrico ' G, nonc% aa "ase AP, e passante per i &ertice . A&endo presente c%e a distan#a d* tra $i assi ' G e 'o 2 pari a ?F/ si %a3 o 9 'G @ d*? A(AP) J + / o 9 P?F /K @ (?F/) ?(P?F)J cio2 Jo = @•A 4. ing. Francesco Avolio - Appunti dalle lezioni di Costruzioni: cap. 4°
4.11
:er determinare i momento d-iner#ia de cerc%io rispetto ad un asse "aricentrico, si ten$a presente c%e, a&endo i "aricentro ne centro 8 de cerc%io, uno !uasiasi de$i infiniti diametri 2 asse "aricentrico. on&iene suddi&idere i cerc%io di ra$$io r in un numero ee&ato n di settori circoari (spicchi B) a&enti tutti -arco de contorno dea stessa piccoissima un$%e##a b. Data a ridotta dimensione de$i n settori circoari, i trattino di arco di un$%e##a b pu; considerarsi rettiineo, cio2 un piccoo se$mento di pari un$%e##a. iascun settore circoare pu;, aora, assimiarsi ad un trian$oo isoscee con altezza pari a ra$$io r , ase bi e &ertice 8 in comune 5figura4.6b 6 e a cui area &arr> UAi9bi ?r . = e&idente, inotre, c%e a un$%e##a compessi&a dee n "asi dei settori circoari sar> pari aa un$%e##a dea circonferen#a, cio2 8bi 9πr . polo dei momenti di secondo ordine. :er !uanto &isto sui momenti d-iner#ia rispetto ai &ari assi di un trian$oo si %a, per o$ni trian$oino, c%e i momento d-iner#ia rispetto ad un asse paraeo aa "ase e passante per i centro 8 2 3 :9bi ?r /4. Aora i momento poare de-intero cerc%io, rispetto a centro 8, 2 dato daa somma dei momenti d-iner#ia de$i n settori circoari3 :9 8bi ?r /4 :9 r /4?8bi J :9 ! r /4)?πr J cio2 J, = π•r /2. :er e&identi ra$ioni di simmetria mutipa de cerc%io, rispetto ad un !uasiasi suo diametro, i momenti d-iner#ia assiai passanti per 8 ' e 1 risutano u$uai. Tenendo conto (par. 4.+) dea rea#ione po9*@+ , in !uesto caso si %a3 *9+ 9 :J cio2 4
Jx3=Jy3= π•r 4 /4
4.12
i'ure !omposte da rettan'oli.
Hea pratica si %a spesso a c%e fare con se#ioni di eementi strutturai c%e possono ritenersi composte da fi$ure $eometric%e eementari (cerc%io, trian$oo, !uadrato, rettan$oo, ecc.). n caso ricorrente 2 !ueo di se#ioni composte da due o pi rettan$oi. Tenuto conto di !uanto detto finora su rettan$oo, ed appicando opportunamente i teorema di trasposi#ione, si 2 in $rado di determinarne i &ari momenti de secondo ordine. Si consideri come esempio a se#ione a TB c%e pu; considerarsi composta 5 figura4."a 6 daa somma di due rettan$oi, oppure da un rettan$oo pri&ato dea superficie di due rettan$oi pi piccoi 5 figura4."b 6. on -esempio numerico riportato, si &edr> c%e si otterranno risutati identici ne-un caso e ne-atro. Hea 5figura4."a 6 a se#ione a T si considera composta da rettan$oo 1 di "aricentro G7 ed area A797?7C 97C cm e da rettan$oo 2 di "aricentro G ed area A97C?2 9C cm. :reso atto c%e a fi$ura ammette un asse di simmetria paraeo a-asse 1 a distan#a cm da esso, tenuto conto dee dimensioni dei due rettan$oi, si possono indi&iduare su"ito e coordinate dei "aricentri, c%e risutano essere3 G 7( J ) e G( J 77). L-ascissa 'G de "aricentro dea se#ione, tro&andosi su-asse di simmetria, sar> pari a cm. L-ordinata si determina facimente appicando i teorema di G ( 3 ). Determinate e coordinate de "aricentro G, 2 facie determinare e distan#e tra i "aricentri dei rettan$oi componenti ed i "aricentro de-intera fi$ura3 d 7*9GG794cm e d*9GG9cm. :er i cacoo dei momenti assiai "aricentrici de-intera se#ione, osser&ando a 5 figura4."a 6, "iso$na tenere presente c%e -asse "aricentrico 'G non risuta in posi#ione particoare per nessuno dei due rettan$oi componenti, mentre -asse "aricentrico 1G, risuta "aricentrico sia per i rettan$oo 1 e sia per i rettan$oo 2. O&&iamente, i momento assiae "aricentrico 'G sar> dato daa somma dei momenti d-iner#ia rispetto ao stesso asse 'G dei rettan$oi componenti 1 e 2. In sim"oi 'G97G@G. :er i rettan$oo 1 -asse 'G si tro&a a distan#a d7*94cm da "aricentro G7, per cui appicando i teorema di trasposi#ione si %a3 7 9P?F/7@d7*? A79 7?7C/7@4?7C9 7CCC7@7K?7C9 /,/@7KC9 24+"+ cm4. :er i rettan$oo 2 -asse 'G si tro&a a distan#a d*9cm da "aricentro G, per cui appicando i teorema di trasposi#ione si %a3 G 9 P?F/7@d*? A9 7C?/7@?C9 C7@4?C9 K,K@C9 C;"; cm4. Infine 'G97G@G J 'G9 4/,/ @ K,KJ J#3 = ++H !m4. :er i momento assiae "aricentrico rispetto a-asse 1G &arr> -anao$a rea#ione rea#ione 1G97G@G. ing. Francesco Avolio - Appunti dalle lezioni di Costruzioni: cap. 4°
Ricordando !uanto prima detto c%e -asse "aricentrico 1G, risuta "aricentrico per entram"i i rettan$oi, si tro&a rapidamente per i rettan$oo 13 7G9 P?F/79 7C?7/79 7C79 C,/9 H"C+ cm4J anao$amente per i rettan$oo 2 si %a3 G 9P?F/7 9?7C/7 9CCC7 91;;"; cm4. Infine 1G97G@G J 1G9 C,/ @ 7KK,KJ J :3 = 1;>"/ !m4. In modo anao$o i momento d-iner#ia assiae rispetto a-asse ' 2 dato daa somma dei momenti assiai rispetto ao stesso asse ' dei rettan$oi componenti 1 e 2. In sim"oi '97'@'. :er i rettan$oo 1 -asse ' risuta tan$ente aa "ase, aora 7'9 P?F//9 7?7C//9 7CCC/9 +++"+ cm4. :er i rettan$oo 2, in&ece, -asse ' si tro&a a distan#a d *977 cm da "aricentro G per cui occorre appicare i teorema di trasposi#ione3 '9 P?F/7 @ d* ?A 9 7C?/7 @ 77?C9 C7@77?C9 K,K@4C9 242;"; cm4. Infine, '97'@' J '9 ///,/ @ 4K,KJ J# = 2>;H !m4. Anc%e per i momento assiae rispetto a-asse 1 &arr> -anao$a rea#ione 1971@1. :er i rettan$oo 1 -asse 1 si tro&a a distan#a d+9 cm da "aricentro G7 per cui occorrer> appicare i teorema di trasposi#ione3 719 P?F/7 @ d+? A7 9 7C?7/7 @ ?7C 97C7 @ ?7C 9C,/@C 92/H"C+ cm4. :er i rettan$oo 2, -asse 1 risuta tan$ente aa "ase, aora 19P?F// 9?7C// 9CCC/ 9;;;"; cm4. Infine, 19 71@1 J 19 C,/ @ KKK,KJ J : = F1>"/ !m4. :
4,
7
4,
7C
:
:
:
3
3
G
•
x3
3
•
•
G
•
• G/
#
#
figura4."a
7
• G 7
7C • G 7
x3
3
figura4."b
A !uesto punto si pu; far notare c%e, determinati co metodo di cacoo appena &isto, indifferentemente i momenti assiai "aricentrici 'G e 1G oppure i momenti assiai ' e 1 de-intera se#ione, sare""e stato possi"ie rica&are pi &eocemente $i uni da$i atri o &ice&ersa, in&ece c%e procedere co metodo di cacoo appena iustrato, sempicemente appicando i teorema di trasposi#ione a-intera fi$ura a TB. Infatti, poic% 5figura4."a 6 e distan#e tra i rispetti&i assi paraei ' e ' G e $i assi paraei 1 e 1 G atro non sono c%e e coordinate de "aricentro de-intera se#ione, $i> determinate, +G9 cm e *G9 cm, appicando i teorema di trasposi#ione risutano &erificate e u$ua$ian#e di se$uito indicate. ' 9 'G @ +G?AJ NKC9 //C @ •/CJ NKC9 //C @ 7•30; 2760= 330 + 2430; 2760=2>;H 1 9 1G @ *G ?AJ 7N,9 7KN, @ •30; 7N,9 7KN, @ •30; 917,5= 7KN, @ NCJ F1>"/=F1>"/ . n di&erso metodo per cacoare i momenti d-iner#ia assiai per a se#ione a TB 2 !ueo c%e fa riferimento aa composi#ione dea stessa come dierenza di rettan$oi come indicato in 5figura4."b 6. In "ase ai tre rettan$oi indicati in fi$ura si rica&a G 7 (J K)J G (,J )J G/ (N,NJ ). Le aree saranno3 A7 97C?7 9 7C cmJ A 9 A / 9 4,?7C 9 4 cm , per cui -area totae dea se#ione a TB si otterr> sottraendo da-area de rettan$oo 7 e aree dei rettan$oi e /J pertanto A 9 A 7YAYA/ 9 7CY4Y4 9 /C cm, come $i> si sape&a. I "aricentro dea se#ione a TB si tro&er> su-asse di simmetria &erticae paraeo a-asse 1, per cui sar> +G 9 cm. L-ordinata si determina facimente appicando i teorema di i risutato, $i> noto, G (J ). I momento d-iner#ia rispetto a-asse ' si otterr>, a soito, come differen#a dei momenti assiai dei tre rettan$oi rispetto ao stesso asse ', cio2 ' 9 7' X' X/'. ing. Francesco Avolio - Appunti dalle lezioni di Costruzioni: cap. 4°
Osser&ato c%e -asse ' risuta coincidente con e rispetti&e "asi dei tre rettan$oi si otterr>3 7'9 P?F /9 7C?7// 97NC/ 9 NKC cm4. '9/' 9P?F//9 4,?7C// 94CC/ 9 7CC cm4. J# = 2>;H !m4. :ertanto ' 9 NKC X 7CC X 7CCJ I momento d-iner#ia rispetto a-asse 1 si otterr> anc%-esso come differen#a dei momenti assiai dei tre rettan$oi rispetto ao stesso asse 1, cio2 1 9 71Y1Y'1. In tae circostan#a, per;, -asse 1 risuta tan$ente aa "ase di due soi rettan$oi, per cui per i ter#o rettan$oo occorrer> appicare i teorema di trasposi#ione tenendo presente c%e a distan#a tra i suo "aricentro G/ e -asse 1 2 -ascissa, $i> nota, pari a N,N cm. Aora, per i rettan$oo 73 71 9 P?F//9 7?7C// 97CCC/9 4CCC cm4. :er i rettan$oo 3 1 9 P ?F//9 7C?4,// 977,/ 9 /C/,N cm4. :er i rettan$oo /3 /19 P?F/7@d+? A/9 7C?4,/7@N,N?49 77,7@KC,CK?49 N,4@NC,79 NN,N cm4. :ertanto 1 9 4CCC X /C/,N X NN,NJ J : = F1>"/ !m4. Hoti i momenti assiai dea se#ione a TB rispetto a$i assi coordinati, appicando i teorema di trasposi#ione si rica&ano facimente, come $i> &isto, i momenti d-iner#ia rispetto a$i assi "aricentrici ad essi paraei. 'G 9 ' Y +G?AJ 'G 9 NKC Y •/CJ 'G 9 NKC Y 7•30; 'G 9 NKC X 4/CJ J#3 = ++H !m4. 1G 9 1 Y *G?AJ 1G 9 7N, Y •30; 1G 9 7N, Y •30; 1G 9 7N, X NCJ J :3 = 1;>"/ !m4. /
4.1+
a L-espressione (4.74) ci fornisce -importante informa#ione c%e a distan#a 1 * de entro reati&o da-asse ' e a distan#a +G de "aricentro da medesimo asse ' sono inversamente proporzionali , cio2 a
crescere de-una diminuisce -atra. Tae espressione (4.74) costituisce un-uteriore conferma c%e non esiste, per i momenti d-iner#ia, un anao$o teorema di mai essere u$uae n a a !uadrato di 1*, n a !uadrato di 1G risutando, appunto, %x medio proporzionale tra :
(4.7)
I termine dato da rapporto *G / +G 2 detto spostamento de centro reati&o. Esso, infatti, rappresenta a ma$$iore distan#a, da-asse ', de suo centro reati&o * rispetto a "aricentro G, come e&iden#iato da tae rea#ione (4.7). uindi i centro reati&o è sempre pi distante del ari!entro dall5asse # (tranne i caso "anae di masse tutte aineate su-asse '), ad uteriore conferma c%e &isto ne precedente punto a) come e 3 risuti interposto tra -asse ' ed i suo centro reati&o. distan#e da-asse ' de "aricentro e de centro reati&o siano in&ersamente propor#ionai, cio2 a diminuire ing. Francesco Avolio - Appunti dalle lezioni di Costruzioni: cap. 4°
de-una aumenta -atra e &ice&ersa. A-a&&icinarsi de-asse ' a "aricentro 3 diminuisce a sua distan#a + G e, per !uanto detto, aumenta a distan#a 1* de centro reati&o per 3 risuter> +G9C. Di conse$uen#a, poic% i momento d-iner#ia assiae non 2 mai nuo, tenendo conto dea rea#ione (4.7) affinc% * non sia nuo occorre c%e 1* a""ia un valore ininito ( ∞ ). Soo cos 2, a imite, possi"ie c%e i prodotto ∞?C, corrispondente a prodotto 1*?+G, assuma un &aore finito non nuo c%e motipicato per a massa totae fornisca i &aore de momento d-iner#ia. In tae caso si pu; affermare c%e i centro reati&o di una !uasiasi retta "aricentrica si tro&a all5ininito. pi distante, cio2 sar> sempre :!x ˃ y3, o, esprimendoo in atri termini, i "aricentro 3 sar> sempre interposto tra a retta ' ed i suo centro reati&o
7ssi !oniu'ati.
n-atra propriet> de centro reati&o 2 e&iden#iata da comportamento dei momenti centrifu$%i. Si consideri i soito sistema di masse puntiformi, una $enerica retta ' ed i suo centro reati&o * 5figura4.# 6. Si tracci, a piacere, una !uasiasi retta 1 (non necessariamente orto$onae aa retta ') c%e, per;, passi per il !entro relativo < #. Si ricordi c%e i centro reati&o * 2 un punto di&erso da "aricentro G, i !uae 2 sempre interposto tra -asse ' ed i corrispondente centro reati&o *. m
Y •
• m7
•
+
+i
m/
•
'i
X
• m
i
figura4.#
Si consideri i momento centrifu$o rispetto a tai due assi ' ed 1. In "ase aa rea#ione (4.) si %a3 *+ 9 8mi?+i?*i , c%e pu; riscri&ersi *+ 9 8(mi?+i)?*i 9 8S*i?*i . Ma tae utima espressione 2 paesemente u$uae a #ero. Infatti, ra$ionando simimente a !uanto fatto ne rica&are a rea#ione (4.7) si riconosce c%e -espressione entro sommatoria rappresenta i momento statico dea massa ausiliariaB S*i rispetto all5asse : (&i compare a distan#aYascissa *i).
ing. Francesco Avolio - Appunti dalle lezioni di Costruzioni: cap. 4°
Tenendo presente i teorema di detto sua propriet> commutati&a dea motipica#ione, si pu; scri&ere a precedente espressione de momento centrifu$o *+ 9 8m i?+i?*i, come *+ 9 8(mi?*i)?+i 9 8S+i?+i , momento centrifu$o c%e si 2 appena dimostrato essere u$uae a #ero. In tae espressione si riconosce c%e i termine entro sommatoria rappresenta i momento statico dea massa ausiliariaB S+i rispetto all5asse # (&i compare a distan#aYordinata +i). In "ase a teorema di . Se una retta contiene i entro reati&o, rispetto ad un dato sistema di masse (aree), di un-atra retta, aora !uest-utima de&e necessariamente contenere i entro reati&o de medesimo sistema di masse (aree) rispetto aa prima retta. He-esempio appena &isto di 5 figura4.# 6 si 2 dimostrato c%e a retta 1, a !uae per costru#ione si era imposto c%e passasse per i centro reati&o appena e&iden#iata. I momento centrifu$o rispetto a due assi (rette) !oniu'ati 2 nullo in&ersa. Se 2 nullo il momento !entriu'o di un sistema di masse (aree) rispetto a due !uasiasi rette, !ueste risutano essere due assi !oniu'ati.
4.1/
Lllisse !entrale d5inerzia.
Si consideri un $enerico sistema piano di n masse puntiformi di cui 2 stato determinato i "aricentro G ed una !uasiasi retta *i. Dea retta *i 2 possi"ie determinare i suo centro reati&o asse !oniu'ato dea retta *i. Si consideri i punto - *i , appartenente alla retta Y3 e simmetrico de centro reati&o *i rispetto a "aricentro G. Se si muo&e a retta *i, paraeamente a se stessa, a&&icinandoa a "aricentro G, per !uanto prima osser&ato (par. 4.1+) sue propriet> dei centri reati&i, i centro reati&o *i si sposter> allontanandosi da "aricentro G ed anc%e daa retta *i . onse$uentemente i punto -*i , essendo simmetrico de centro reati&o, muo&endosi sua retta Y3 si aontaner> daa parte opposta, avvi!inandosi aa retta *i. Ine&ita"imente accadr> c%e, per una "en determinata posi#ione dea retta * i, i suo centro reati&o *i sar> ad una distan#a tae da "aricentro G c%e i suo simmetrico -*i andr> a posi#ionarsi, daa parte opposta a G, proprio ne punto di interse#ione dea retta *i con a retta "aricentrica Y3, aa !uae detto punto simmetrico -*i appartiene per costru#ione. La retta *i in tae particoare posi#ione 5 figura4.$ 6, c%e determina a presen#a su di essa di - *i, punto simmetrico de suo centro reati&o, sar> denominata X. Si consideri un-atra !uasiasi retta *n, di dire#ione di&ersa daa precedente *i. Si ripeta i procedimento indi&iduando i suo centro reati&o *n , tracciando per esso un nuo&o asse coniu$ato
ing. Francesco Avolio - Appunti dalle lezioni di Costruzioni: cap. 4°
"aricentrico YG e su di esso i simmetrico - *n Spostando opportunamente a retta *n, a si posi#ioni in modo c%e su di essa &ada a finire proprio i punto - *n, simmetrico de centro reati&o. Y
3
<*
?
? 3?
? X
?
<5*
'i figura4.$
Si 2 cos indi&iduata una nuo&a coppia di punti simmetrici rispetto a "aricentro G e c%e $iacciono su due rette (un punto su ciascuna retta) c%e sono tra loro assi !oniu'ati . Ripetendo numerose &ote tae procedimento si potranno indi&iduare tante coppie di punti simmetrici * e -* c%e si &erranno a tro&are tutti su una cur&a c%e %a a forma di una eisse, e c%e, essendo inerente a $rande##e coe$ate ai momenti d-iner#ia, 2 denominata ellisse !entrale d5inerzia . on tae procedimento si sono indi&iduate e numerose coppie di rette coniu$ate X e YG "aricentrica. = "ene e&iden#iare c%e a retta X3, passante per i "aricentro e paraea aa retta X, risuta an!I5essa retta !oniu'ata dea retta Y3 (i centro reati&o di XG 2 i punto a-infinito o punto improprio dea retta YG, cio2 a sua dire#ione) 5figura4.$6. Le coppie di assi coniu$ati "aricentrici come e rette X3 e Y3, intersecando -eisse centrae d-iner#ia, determinano a suo interno dei se$menti c%e, passando per i centro (G) de-eisse, ne costituiscono due diametri. Tai diametri, essendo parte di assi coniu$ati, sono denominati diametri !oniu'ati . L-eisse centrae d-iner#ia 2 importante perc% o'ni suo semidiametro 2 pari a ra''io d5inerzia rispetto a-asse (o&&iamente "aricentrico) cui appartiene i rispetti&o diametro !oniu'ato 5figura4.1% 6. Si dimostra ci; tenendo innan#i tutto conto c%e, per a simmetria rispetto a punto G dei punti * e -*, risuta (G-*)9(*G) e, !uindi, c%e a un$%e##a de diametro ! *-*), c%e %a tai punti per estremi sar> ! *-*)9(*&'. Si cacoi, inotre, i momento d-iner#ia rispetto a-asse ', utii##ando a formua (4.7) *91*?+G?8mi. He caso in esame si %a, per a distan#a de centro reati&o *3 1* 9(*-*)9(*&'J mentre, per a distan#a de "aricentro G si %a3 +G 9 (G-*)9(*G). La precedente espressione de momento d-iner#ia, introducendo i &aori appena e&iden#iati, di&enta * 9(*&'?(*G)?8miJ e !uindi si ottiene * 9 (*G)?8mi (2). Ricordando -espressione de teorema di trasposi#ione * 9 *G @ d*?8mi si pu; notare come ne caso in esame a distan#a d* tra -asse ' e -asse paraeo "aricentrico risuti d* 9(G-*)9(*G) per cui si pu; scri&ere * 9*G@(*G)?8mi ed infine, ricordando -espressione (4.) di *G si %a3 * 9 *G•∑mi@(*G)?8mi. (3). onfrontando !ueste espressioni (2) e (3) deo stesso momento * si %a3 (*G)?8mi 9 *G•∑mi@(*G)?8miJ e sempificando i fattore ∑mi si %a (*G) 9 *G@(*G)J cio2 (*G) X (*G) 9 *G e !uindi (*G) 9 *G . Estraendo a radice !uadrata d-entram"i i mem"ri si ottiene, infine, -importante rea#ione c%e ci si era prefissi di dimostrare, c%e i semidiametro 2 pari a ra$$io d-iner#ia rispetto a-asse (diametro) coniu$ato "aricentrico 9
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Y
<*
3
?
%x3 3
?
?
<5*
X3
X
(igura4.1%
Appurato c%e ne-ellisse !entrale d5inerzia o$ni semidiametro 2 pari aa un$%e##a de ra$$io d-iner#ia (o&&iamente "aricentrico) rispetto aa retta indi&iduata da diametro coniu$ato, 2 interessante notare come tra $i infiniti &aori c%e pu; assumere a un$%e##a di un semidiametro ci saranno sen#-atro un &aore minimo ed un &aore massimo. E""ene, risuta c%e i ra$$io d-iner#ia (semidiametro) minimo ed i ra$$io d-iner#ia (semidiametro) massimo apparten$ono ad assi !oniu'ati. Tai assi coniu$ati sono denominati assi prin!ipali d5inerzia, appunto perc% i momento d-iner#ia (o&&iamente "aricentrico) cacoato rispetto ad essi risuta per uno minimo e per -atro massimo. Inotre, $odono dea sin$oare propriet> di essere, fra e infinite coppie di assi coniu$ati di una determinata eisse d-iner#ia, a sola !oppia di assi !oniu'ati tra oro ,LD,LNO<8P7DO . Hea 5figura4.1% 6 $i assi principai d-iner#ia sono indi&iduati dai due diametri prin!ipali (diametro minore e diametro ma$$iore de-eisse) di coore "u e rosso. :er !uanto sinora detto, i momento d-iner#ia assiae "aricentrico *G 9 *G•∑mi cacoato rispetto a diametro principae ma$$iore (coore rosso) risuter> di &aore minimo, essendo i ra$$io d-iner#ia impicato pari a semidiametro coniu$ato minore (coore "u). Anao$amente, i momento d-iner#ia assiae "aricentrico cacoato rispetto a diametro principae minore (coore "u) risuter> di &aore massimo, essendo i ra$$io d-iner#ia impicato pari a semidiametro coniu$ato ma$$iore (coore rosso). Tutte e atre coppie di diametri coniu$ati formano tra oro an'oli diversi da FH° ed i momento d-iner#ia ("aricentrico) cacoato rispetto a tai assi a&r> un valore intermedio tra i &aore minimo ed i &aore massimo spettante a$i assi principai. Se una distri"u#ione di masse puntiformi (o una fi$ura piana) ammette un asse di simmetria esso risuter> sen#-atro asse principae d-iner#iaJ -atro asse principae sar>, o&&iamente, a retta passante per i "aricentro e perpendicoare a-asse di simmetria. Se a distri"u#ione di masse puntiformi (o una fi$ura piana) ammette tre o pi assi di simmetria risuter> pi sempice a determina#ione de$i assi principai, in !uanto -eisse centrae d-iner#ia di&enta una circonferen#a e o$ni !uasiasi coppia di diametri perpendicoari risuter> essere costituita da diametri coniu$ati e principai ao stesso tempo. In tae caso particoare i diametri principai risuteranno indifferen#iati (non ci saranno un diametro massimo ed un diametro minimo) e cos tutti i momenti d-iner#ia, rispetto ad un !uasiasi asse "aricentrico, a&ranno o stesso &aore. 4.1;
Delazioni e !ostruzioni 'rai!Ie.
Si 2 $i> considerata (par. 4.2) a determina#ione anaitica de ra$$io d-iner#ia * rispetto ad un $enerico asse ' (o di *G rispetto ad un asse "aricentrico ' G) effettuata estraendo a radice !uadrata de rapporto tra i momento d-iner#ia assiae e a massa (area) totae 8m i . ing. Francesco Avolio - Appunti dalle lezioni di Costruzioni: cap. 4°
Esiste, per;, un procedimento $rafico per a determina#ione di * o di *G c%e mette in e&iden#a uteriori particoarit> de !entro relativo e de corrispondente asse. = noto c%e risuta sempre :!x Q y3 e c%e accennato, c%e determina a coinciden#a dei due punti). Si costruisca una semicirconferen#a c%e a""ia a misura de diametro pari a :!x. Ricordando c%e o$ni trian$oo inscritto in una semicirconferen#a risuta essere un trian$oo rettan$oo, con ipotenusa coincidente co diametro, si dise$ni i trian$oo rettan$oo AP, di ipotenusa A, sce$iendo opportunamente i &ertice P sua semicirconferen#a in modo c%e si a""ia c%e a proiezione di uno dei due cateti su-ipotenusa (diametro A) sia pari proprio a y3. Hea 5figura4.11 6 in cui 2 riportata a costru#ione de trian$oo rettan$oo inscritto AP, si 2 ipoti##ato c%e sia a proiezione de cateto P su-ipotenusa ad a&ere a un$%e##a pari a y3. A :!xE y3
F
P
%#3 :!x
y3
%x
figura4.11
Sia PF -ate##a de trian$oo reati&a a-ipotenusa. :er !uanto finora detto, si %a per costru#ione3 (A)91c* e (F)9+G. Appicando i 1° teorema di Lu!lide a trian$oo rettan$oo AP si a&r>3 (P) 9 (A)?(F). Ricordando i &aori dee un$%e##e indicate, ne scaturisce (P) 9 1*?+G. D-atronde si 2 &isto c%e &ae a rea#ione (4.74) x 9 1*?+G . Da confronto di tai u$ua$ian#e ne deri&a (P) 9 x da cui scaturisce -importante rea#ione @< = %x
onsiderando i trian$oo PF, anc%-esso rettan$oo, ma co ato P c%e ne rappresenta -ipotenusa, ed appicando i teorema di ,ita'ora si pu; scri&ere3 (P) 9 (FP) @(F) e sostituendo ai ati i &aori noti si %a x 9 (FP)@ +G. Zacendo i confronto con a rea#ione (4.) x 9 x3 @ +G ne deri&a (FP) 9 x3 da cui si deduce -importante rea#ione A@ = %#3
Si concude, !uindi, c%e una &ota nota a posi#ione de centro reati&o di un asse e !uea de "aricentro di un sistema di masse (aree) mediante e rispetti&e distan#e 1 c* e +G 2 possi"ie determinare $raficamente, con a costru#ione appena &ista, sia %x c%e %x3 . La costru#ione $rafica appena &ista per a determina#ione dei ra$$i d-iner#ia
opportuno ne prosie$uo de$i studi, e!!entri!it( e costituisce uno dei termini de-importante rea#ione se$uente e •
y3 = %2#3
(4.7N)
Tae rea#ione, c%e sar> utii##ata in se$uito, 2 moto simie aa rea#ione (4.74) e mostra c%e a distan#a (eccentricit>) eB de centro reati&o * da "aricentro 2 inversamente proporzionale aa distan#a +G de "aricentro da-asse ' i cui centro reati&o 2 proprio *. Hon soo, ma i oro prodotto 2 u$uae a !uadrato de ra$$io d-iner#ia "aricentrico %x3B rispetto a-asse 'G, paraeo a-asse ' e passante per i "aricentro. La dimostra#ione dea &aidit> dea rea#ione (4.7N) 2 immediata, se si appica i 2° teorema di Lu!lide a trian$oo rettan$oo AP, inscritto nea semicirconferen#a 5figura4.11 6. (FA)•(F) 9 (FP)J Sostituendo aa un$%e##a dei se$menti i oro &aore noto si %a3 (1 c* X +G)•+G 9 x3 e tenendo conto de &aore definito per eB si %a e•+G 9 x3 , cio2 proprio a rea#ione (4.7N) c%e resta, cos, dimostrata. 4.1>
o!!iolo !entrale d5inerzia.
I no!!iolo !entrale d5inerzia %a interesse per e fi$ure piane (se#ioni di eementi strutturai) e a sua utiit> pratica sar> e&idente ne prosie$uo de$i studi !uando sar> affrontato o sorzo normale eccentrico (o a soecita#ione composta di momento fettente e di sfor#o normae). Ao stato attuae "asti sapere c%e esso 2 una fi$ura piana, tutta contenuta a-interno de- ellisse !entrale d5inerzia dea se#ione in esame. I no!!iolo centrae d-iner#ia 2 definito come i uo$o $eometrico (insieme) di tutti i !entri relativi , rispetto a-eisse centrae d-iner#ia di una data fi$ura piana (se#ione), dee rette c%e non ta'liano detta fi$ura (se#ione). I noccioo centrae d-iner#ia 2, !uindi, una fi$ura piana c%iusa e !onvessa , !uaun!ue sia a forma dea fi$ura (se#ione) data, ed i cui !ontorno 2 costituito da tutti i centri reati&i dee rette tan'enti aa data fi$ura piana (se#ione). Sono escuse e e&entuai rette tan$enti c%e do&essero in pi ta$iare a fi$ura in !uac%e atro punto (si pensi ad una fi$ura con contorno onduatoB con tratti consecuti&i a&enti cur&atura opposta) come a&&iene per a retta tB tan$ente ne punto AB dea se#ione 5figura4.12a 6. Si pu; considerare i noccioo come i !ontorno di !onine tra i centri reati&i c%e si posi#ionano a suo interno ed i centri reati&i c%e si posi#ionano a suo esterno in dipenden#a dea posi#ione dea retta reati&a a seconda c%e 2 esterna oppure secante rispetto aa data fi$ura (se#ione). :ertanto, si possono desumere e se$uenti afferma#ioni3 O$ni retta tan'ente aa fi$ura (se#ione) data %a i proprio centro reati&o sul !ontorno de noccioo.
o$ni retta esterna aa fi$ura (se#ione) data %a i proprio centro reati&o all5interno de noccioo. In particoare se a retta 2 a-infinito i suo centro reati&o coincide co "aricentro.
o$ni retta se!ante a fi$ura (se#ione) data %a i proprio centro reati&o all5esterno de noccioo. In particoare e rette "aricentric%e %anno i centro reati&o a-infinito. He tracciare i noccioo centrae d-iner#ia si de&e tenere "en presente c%e3
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– –
se a fi$ura (se#ione) data %a i contorno costituito da se$menti (ati), a tan$ente ad un ato coincide con esso e, pertanto, ad o$ni lato dea fi$ura (se#ione) corrisponde un solo punto su contorno de noccioo c%e 2, appunto, i centro reati&o dea retta tan$ente coincidente co atoJ se a fi$ura (se#ione) data %a dei &ertici un$o i suo contorno, a tan$ente aa fi$ura in un suo &ertice non 2 unica e, pertanto, esistono motepici centri reati&i, uno per o$ni tan$ente ne &ertice dea fi$ura (se#ione). Tutti !uesti motepici centri reati&i risutano, inotre, aineati in !uanto appartenenti ad una retta i cui centro reati&o 2 proprio i &ertice dea fi$ura (se#ione) data. In atre paroe a verti!e dea fi$ura (se#ione) data corrisponde un tratto rettiineo (se$mento) o lato del !ontorno del no!!iolo , c%e appartiene ad una retta a !uae risuta essere asse !oniu'ato dee motepici tan$enti ne &ertice dea fi$ura (se#ione) data.
Da tai utime due considera#ioni scaturisce c%e se a fi$ura (se#ione) 2 un poi$ono, i suo noccioo 2 un atro poi$ono ad esso interno i cui &ertici sono i centri reati&i dei ati ed i cui ati sono $i assi reati&i dei &ertici dea fi$ura (se#ione). Tenendo conto di ci; e dee precedenti rea#ioni, si rica&a a costru#ione de noccioo centrae d-iner#ia di una se#ione a forma di RETTAHGOLO a&ente i ati di misura PB ed FB 5figura4.12b 6.
D
? A ? ?
AP
'G
3
? ? ?
D
P
A 1G
t
figura4.12a
figura4.12b
Sia AP i !entro relativo de ato AP de rettan$oo a&ente misura PB. ome noto esso si tro&er> su-asse coniu$ato "aricentrico de ato AP, cio2 su-asse 1 G. Ricordando c%e i "aricentro G risuta interposto tra -asse ed i suo centro reati&o e c%e si 2 indicata con a ettera eB a distan#a de centro reati&o da "aricentro si pu; indi&iduare -esatta posi#ione di AP utii##ando a rea#ione (4.7N). He caso in esame de rettan$oo, i momento d-iner#ia assiae "aricentrico rispetto a-asse ' G &ae 'G 9 P?F+7 e di conse$uen#a (formua (4.)) 2*G 9 'GP?F cio2 2*G 9 F27. D-atro canto a distan#a +G de "aricentro da suo ato AP &ae + G 9 F, per cui appicando a rea#ione (4.7N) si ottiene i &aore di eB, distan#a de centro reati&o AP da "aricentro, come rapporto tra i !uadrato de ra$$io d-iner#ia "aricentrico e a distan#a de "aricentro da ato, cio2 e 9 2*G +G , per cui e = A;
(4.7)
Ao stesso modo 2 facie determinare i centro reati&o D de ato D, disposto anc%-esso su-asse "aricentrico 1G, ma (simmetricamente) daa parte opposta rispetto a "aricentro. Anao$amente si determinano i due centri reati&i dei ati P e DA, entram"i disposti simmetricamente rispetto a "aricentro, ciascuno a distan#a PK da esso, ma su-asse "aricentrico ' G.
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He conse$ue, !uindi 5 figura4.12b 6, c%e i no!!iolo !entrale d5inerzia di un rettan$oo 2 un romo, disposto a centro de rettan$oo, a&ente dia$onai paraee ai ati de rettan$oo e un$%e rispetti&amente un terzo dea oro misura, cio2 F/ e P/. Data a posi#ione mediana (centrae) de noccioo, si usa dire c%e ciascuna dee due dia$onai de rom"o occupa i terzo medio di ciascuna dee due mediane dea se#ione rettan$oare. :ertanto, se si considera un punto :B situato su una mediana di una fi$ura rettan$oare a imite de ter#o medio, cio2 a distan#a FK da "aricentro, i suo asse reati&o corrisponde a ato de rettan$oo situato daa parte opposta a "aricentro. Se i punto :B 2 situato a-interno de ter#o medio, cio2 a distan#a da "aricentro minore di FK, i suo asse reati&o 2 esterno aa se#ione (e paraeo a ato di un$%e##a P). Se i punto :B 2 situato a-esterno de ter#o medio, cio2 a distan#a da "aricentro ma$$iore di FK, i suo asse reati&o 2 interno aa se#ione, &ae a dire secante a se#ione, paraeo a ato di un$%e##a P e posi#ionato daa parte opposta rispetto a "aricentro ("aricentro interposto). :er a se#ione a forma di ADRATO, si deduce c%e i noccioo centrae d-iner#ia 2 un !uadrato, disposto in posi#ione mediana, con i ati incinati di 40 rispetto ai ati dea se#ione e con e dia$onai un$%e un terzo de ato dea se#ione. :er a se#ione a forma di ERFIO ricordando c%e 'G 9 π?r 4/4 , A 9 π?r 2 si rica&a (formua (4.)) 2*G 9 r 2 4. Essendo +G 9 r ed appicando a formua (4.7N) si rica&a, infine, e 9 r 4. :ertanto i noccioo centrae di una se#ione circoare di ra$$io r 2 anc%-esso un cerc%io, disposto in modo concentrico, e di ra$$io pari ad un quarto de ra$$io dea se#ione.
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