“Planificación Estratégica para una Educación Educación de Calidad” COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
4° Preuniversitario
TEMA : GEOMETRÍA, LÍNEA RECTA GEOMETRÍA La palabra geometría geometría proviene de los vocablos griegos “geo” y “metron” (geo=tierra y metron=medida) OBJETIVO
Tiene como objetivo el estudio de las figuras geométricas, teniendo en cuenta su tamaño, forma, propiedades y la relación que guardan entre sí.
FIGURAS GEOMÉTRICAS Es el conjunto de puntos que adoptan una forma determinada.
ENTES GEOMÉTRICOS Son llamados también elementos fundamentales de la geometría, son aquellos que no tiene definición sino representación. Estos elementos son el punto, la recta y el plano.
Punto
Recta Plano
GEOMETRÍA PLANA Es la parte de la geometría que se encarga encarga del estudio de las figuras figuras geométricas cuyos puntos puntos se encuentran en un mismo plano.
LINEA RECTA Es aquella línea línea cuyos puntos se encuentran en una una misma dirección. Representación :
A
B
Notación : AB , BA
Rayo.- Porción de línea recta limitada en un extremo e ilimitada en el otro. Representación :
A
B
Notación : AB , BA
Semirecta.- Porción de línea recta limitada en un e xtremo e ilimitada en el otro, no se considera el origen.
A Notación : AB , BA
B
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Segmento de Recta. - Porción de línea recta limitada en ambos extremos. Representación : B
A Notación : AB , BA
Punto medio de un segmento de recta.- Es aquel punto que divide a un segmento cualquiera en do s segmentos de igual longitud. (también se llama bisector)
A Si”M es punto medio de AB
B
M
AM MB
OPERACIONES CON SEGMENTOS DE RECTA Sea :
A
B
D
C
E
F
Adición : AF = AB + BC + CD + DE + EF
BE = BD + DE
Sustracción :
AB = AF – BF
CD = AD – AC
PROBLEMAS RESUELTOS 1. Sobre una línea recta están ubicados los puntos consecutivos A, B, C, y D. Si AD=24, AC=15 y BD=17, calcular la longitud del segmento BC.
Solución : Graficamos :
a
4
6
Solución : Graficamos :
A 24 A
B
D
C
15
E
x Del grafico : x + 7 = 15 x = 8 los
b
puntos
AB. DC BC. AD , calcular la longitud del segmento AE siendo “D” punto medio de CE .
E
3. En una línea recta se consideran los puntos CD consecutivos A, B, C y D tal que AC = . Calcular 4 BC si : BD - 4AB = 20 Solución :
17
2. Sobre una línea recta se toman consecutivos A, B, C , D y E. Si: CB = 4, DC = 6 y además:
D
C
Por dato : (a) (6) = 4(a+10) 6a 6a = 4a + 40 2a 2a =40 a=20 a=20 Nos piden : AE = 16 + a AE = 36
9
7
B
6
A
4b
B
C x
Por dato : (x+4b) – 4(b-x) = 20 x x + 4b – 4b + 4x =20 5x = 20 x=4
E
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PROBLEMAS PROPUESTOS 1).-
Sobre
una
recta,
se
toman
los
puntos
consecutivos A, B, C y D, tal que AC =12u BD =16u y B punto medio de AC , hallar C D
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) N.A.
2).- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D dispuestos de manera que BC =3, BD =5.
Hallar AB , sabiendo que:
AC +4 BC - 2 AD =3.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 7
e) 8
PR QS =17m. y
QR =6m.. Hallar “PS”
se P,
toman los puntos C y D, sí :
2 AB AB CD, BP PC, AP AP 12m
Calcular: “ BD ” a) 12
b) 16
c) 20
d) 24
e) 36
10).- Sobre una recta se ubican los consecutivos A, B, C y D. Tal que: AB AC+2CD+BD=48 AC+2CD+BD=48;; CD= , Hallar AC 3 a) 12
3).- Se tiene los puntos colineales y consecutivos P, Q, R, S de manera que:
9).- Sobre una recta consecutivos A, B,
b) 14
c) 20
d) 24
puntos
e) 30
11).- Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y D entre los puntos B y D se toma el punto “C”. Tal que : CD 5( AC AC) y BD 5 AB AB 30 Hallar BC .
a) 8
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
4).- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos: O, A, B y C de modo que AB =
BC calcular la longitud de “OB”. 3
a) 3
b) 5
BC =
tales
5).-
b) 10
Sobre
c) 12
una
recta
d) 14 se
ubican
e) 20 los
puntos
AC =17
BD =15
Calcular (M O)
a) 8
c) 12
d) 14
AB 1
BC 2
CD 3
DE Hallar “CD” 4
AB =6m
y
c) 12
d) 13
e) 15
recta, siendo “O” el punto medio de AB ; M A =2 y
Si: AD =20
6).- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Si AE=20 y
BD =12m,
13).- M, A, O y B son puntos consecutivos sobre una AB =6
e) 16
que:
b) 11
consecutivos A, B, C y D. Hallar: BC
b) 10
e) 12
7 C D , calcular la medida AC : 5
a) 10 a) 8
d) 10
12).- Si: A, B, C y D son puntos consecutivos en una recta,
Si: OA =8m. y OC =16m
c) 8
a) 16
2
b) 25
c) 36
d) 42
e) 48
14).- Sobre una línea se marcan los puntos consecutivos A, B, C y D de manera que: CD=2(AB) además M es punto medio de BC , calcular BD , si AM =16cm
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
7).- Sobre una recta se toman consecutivos A, B, C y D. Hallar AD. Si: AC =60
AD CD =140
a) 100 b) 110
c) 120
d) 140
e) 6 los
puntos
a) 8cm d) 32cm
b) 16cm e) 12cm
c) 18cm
15).- Se tienen los puntos consecutivos A, B, C, y D sobre una recta tal que: e) 160
2(AB)=CD y M es punto medio de BC Hallar: BD. Si además: AM=10
8).- Sobre una recta se da los puntos consecutivos M, A y B, siendo O punto medio de AB . Hallar : MO , sabiendo que :
MA 13
AB AB 20
a) 10
b) 15
c) 20
d) 30
e) 40
16).- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D si se cumple :
AC AC BD 10m . BC =3m. Hallar " AD" a) 23
b) 26
c) 33
d) 36
e) 40 a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) N.A.
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17).- Se tiene los puntos colinelaes y consecutivos A. M, O, R siendo “M” punto medio de " AO" . Calcular: " OR"
Si: AR =35m y MR AO 2
a) 1
b) 3
25).- En una recta se ubican los puntos A, B, C y D tal que : AB + CD = 2BC y AC + CD =21 Calcular BC. a) 5
3
c) 5
d) 7
e) 8
18).- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D luego ubicamos M y N
b) 10
c) 15
d) 7
e) 2,5
26).- Dada una recta y los puntos consecutivos M, A, O y B siendo “O” el punto medio de AB, Calcular OM si :
AB2 4
puntos medios de AC y BD . Hallar : MN . Si:
MA.MB
81
AB =2, CD 6 a) 6 a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
consecutivos A, B, C D y E. Hallar BE :
BC 3
CD 5
b) 9
c) 24
d) 36
e) 45
A, B, C y D. Hallar: AB . Si AC =14m, BD =18 y
CD = 2 AB b) 6
c) 10
d) 12
e) 13
21).- Se tienen los puntos consecutivos y colineales A, B, C y D. Siendo AB =3cm y CD =2cm. Hallar AC , Si 4( BC )+5 ( AD )=88
a) 52 d) 6.5
b) 8
c) 10
d) 14
tales
que
AB AC 10
AC BC =2cm,
b) 8 e) 20
c) 10
23).- A, B, C y D son puntos consecutivos y colineales de modo que AC =12 y BD = 18. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD. a) 15
b) 6
c) 9
d) 7,5
169
b) 84.5 e) 13
c) 26
a) 1 d) 1,5
b) 2 e) 2,5
c) 3
29).- A, B, M y C son puntos consecutivos y colineales tal que BM = MC y AB + AC =16 Calcular AM b) 5
c) 6
d) 4
e) 3
30).- Sobre una recta se ubican los consecutivos A, B, C, D, y E tal que : AE + AC + BD + CE = 42 y BD
AM =5 CM , ¿Cuál es el valor de AM ?
a) 5 d) 12
2
e) 16
22).- Sobre una recta se dan cuatro puntos A, B, C y M
e) 10
28).- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, O y C donde “O” es punto medio de AC. Calcular BO si : BC-AB =4
a) 8 a) 5
(PR)
4 Calcular la longitud de “XS”
20).- Sobre una recta se dan los puntos consecutivos
a) 4
d) 9
27).- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, X, Q, R, S sabiendo que PQ= 3Q R; “X” punto medio de PR y (PS) (RS) +
DE 7
AE 51
a) 6
c) 8
e) 5
19).- Sobre una línea recta se ubican los puntos
AB 2
b) 7
3 4
AE
Calcular BD. a) 124/12 d) 9
b) 126/9 e) 126/111
e) 4
24).- En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD si : AC+BD=30. DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
a) 5
b) 10
c) 15
d) 6
e) 8
c) 8
puntos
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4° Preuniversitario
TEMA : ÁNGULOS
ÁNGULO es la figura geométrica formada por dos rayos que tienen el mismo origen; al cual se le denomina vértice y los rayos que lo forman reciben el nombre de lados del ángulo.
2. Ángulo Recto. Es aquel ángulo cuya medida es 90°.
A A O
m < AOB = 90°
Región angular
B
Vértice : O
Lados : OA , OB
Notación : AOB
Medida del ángulo AOB : m AOB
O
A
3. Ángulo Obtuso. Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Es el rayo ubicado en la región interior del ángulo cuyo origen es el vértice del ángulo y que forma con los lados ángulos de igual medida. A
Nota : El ángulo cuya medida esta entre 0° y 180° se llama ángulo “convexo” y el ángulo cuya medida
O
90° < < 180°
P
esta entre 180° y 360° se llama ángulo “cóncavo”
B
De la figura : OP Bisectriz del ángulo AOB m AOP = mPOB =
II. Por la po sición de su s lado s :
1. Ángulos opuestos por el vértice.
CLASIFICACIÓN DE LOS ANGULOS
C
I. Por s u Medid a.
1. Angulo Agudo
O
Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0° y menor que 90°. A O
A
D
Del grafico : AOB
B
y COD Opuestos por el vértice
0° < < 90° B
=
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2. Ángulos Adyacentes. Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común.
Obs. S() Suplemento del ángulo . Se cumple :
B
S() = 180° -
A
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS:
O
I. Rectas Secan tes
C
Del grafico “” y “” son ángulos adyacentes.
L1
3. Ángulos Consecutivos. O
B
L 1 L
2
0
L2
A
O
II. Rectas Perpen dic ulares .
C
L1
L1 L 2
D
E Del grafico : , , y son ángulos consecutivos.
90
III. Por la sum a de sus m edidas :
L2
1. Ángulos Complementarios. Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 90°.
III. Rect as Paralelas
Si : = 90° L 1 // L 2
A
L1
B
O
C
L2
+ = 90°
Obs. C()
Complemento
del ángulo .
Se cumple :
ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL
I. Ángulos alternos.
C() = 90° -
1. Alternos Internos.
2. Ángulos Suplementarios.
L1
Es aquel par de ángulos cuyas medidas suman 180°.
B
+ =180°
L2
A
O
Si : L 1 // L 2 C
=
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Generalizando :
2. Alternos Externos.
L1
x
L1
b y c
L2
a
z
L2
Si : L 1 // L 2 =
a+b+c=x+y+z
II. Ángulos Correspondientes.
II. Si :
L1 // L 2
L1
L1
an a4
a3
L2
a2
Si : L 1 // L 2
a1
L2
=
a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an = 180°
III. Ángulos Conjugados.
L1
yx
x + y = 180°
III. Si
=z
L2
Si : L 1 // L 2
y
z
+ = 180°
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS:
x
I. Ángulo formado por 2 rectas secantes entre 2 rectas paralelas. Si
PROBLEMAS RESUELTOS
L1 // L 2
L1
x
L2
x = +
1. El suplemento del complemento de un ángulo excede en 60° a la mitad del complemento del suplemento de 4 veces el ángulo, hallar el ángulo. Solución:
Sea : ángulo en mención
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Por dato : 1 SC () – 60° = . CS (4)
Solución
2
S(90°-) – 60° 180°
90°- 180°-
= 1 . C(180° - 4) 1 .[90°-(180°2
4)] 1 (4 - 90°) 30° + =
90°-
Por dato :
75°
2. Se tienen cinco ángulos consecutivos y suplementarios que están en progresión aritmética cuya razón es 22° 10’ 52’’. Hallar
el ángulo COD.
L2
2
7
Reemplazando : 9k = 180°
k
k
= 20°
Nos piden : - = 7k – 2k= 5k - = 100°
D
C
Por propiedad : (180° - ) + (90° - ) = 90° + = 180°
2 30° + = 2 - 45° =
2
- (90° - ) –60° =
L1
E
4. Del grafico hallar “x”
B
O
A
F
x x
x
S o l u c i ón : D
C B
x
x+r
E x-r x-2r
x+2r
O
A
= 36°
L 1 // L 2 , además 7 = 2.
L1
L2
P x
2
A
Q
C
Por propiedad : M A = 90°
= 180°
3. Del grafico Calcular “-”
x
F
(x+2r) + (x+r) +x +(x-r) +(x-2r) = 180° x
x
F
Del grafico: 5x
E
Solución :
AB // CD
Por s entre paralelas m PQF = m PDC = m EBF = m EDC =2 Observaciones : 2 + 2 = 90° + = 45° + + x = 180° Reemplazando : 45° - x = 180° x = 135°
x
B D
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3).- La suma del suplemento con el complemento de cierto ángulo es igual al cuádruple del complemento del mismo ángulo. Hallar el ángulo. a) 16° b) 18° c) 40° d) 45° e) 46°
5).- Hallar AOC : AOB AOD =56° ˆ
ˆ
A
ˆ
B C x
O
Solución :
4).- XOB y AOC son suplementarios. Hallar “x”
D
ˆ
ˆ
B
En el dato :
AOB AOD = 56° x - + x + = 56 2x = 56 ˆ
A
C
ˆ
35°
x = 28
A
Y
O
a) 30° d) 40°
b) 35° e) 45°
c) 36°
x
N
N
5).- Cuanto mide un ángulo si la diferencia entre su suplemento y complemento es 6 veces el valor de dicho ángulo a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21
Solución : Dato : - = 10° En la figura : + = 270° - = 10
x
X
6).- Si - = 10°. Hallar “x”
B
6).- Si : ° - ° = 18° y m
(-)
2 = 260° = 130°
A
x = 50°
o
B
C
a) 49° d) 59°
EJERCICIOS PROPUESTOS
1).- Se tiene los ángulos consecutivos AOB y ˆ
ˆ C 74º de modo que AO Hallar la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOB y BOC BOC ˆ
a) 37º d) 38º
x
b) 35º e) 39º
c) 36º
b) 57° e) 71°
c) 68°
7).- Si el suplemento del complemento de un ángulo es 130°. Calcular el complemento de la mitad de dicho ángulo. a) 40° d) 65°
b) 50° e) 70°
c) 60°
8).- Si : AB//CD. Hallar : Cx A
B
15°
2).- Del gráfico calcular “x” 130°
a) 100° b) 114° c) 120° d) 126° e) 136°
8 3
x
C
a) 10° d) 30°
x°
b) 15° e) 36°
D
c) 25°
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9).- Si : L 1//L2, calcular “x” L1
3x-10
x+5 x-10 x+10
2x-10 x
a) 10° d) 20°
L2
b) 12° e) 21°
14).- Si los 3/2 del complemento de un ángulo es igual al suplemento del complemento del mismo ángulo. Calcular dicho ángulo. a) 18° b) 20° c) 24° d) 30° e) 45° 15).- , , están en la relación de 2, 3, 1, hallar . C
B
c) 15°
10).- Calcular ““ si L1 // L2. 5 L1 4
D
o
a) 53° d) 60°
b) 45° e) 90°
c) 27°
L2
a)15º d) 36º
A
b) 20º e) 10º
c) 30º
11).- Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Calcular la medida de BOC, si: AOD=40, AOC=37º, BOD=35º a) 18º b) 20º c) 32º d) 44º e) 36º
12).- En la figura OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y BOD. Además m
16).- Las medidas de dos ángulos adyacentes complementarios se encuentran en la relación de 1 es a 3. calcular la medida del ángulo mayor. a) 32° d) 67,5°
b) 40° e) 69°
c) 43,5°
17).- El suplemento del complemento de un ángulo es 120°. Calcular dicho ángulo. a) 10° d) 40°
b) 20° e) 50°
c) 30°
18).- Hallar “x” B
Y
C M
Z x
x
N 20°
A
O
a) 10º d) 25º
b) 15º e) 30º
c) 20º
13).- Si x= 18°, calcular “r”.
x+2r x+r
A
D
C
O
a) 45° d) 60°
b) 90° e) 80°
c) 30°
CLAVES
1)a 6)d 11)c 16)d
x+3r
2)d 7)e 12)b 17)c
3)d 8)c 13)b 18)b
4)b 9)c 14)a
x+4r
x
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
a) 5° d) 8°
b) 9° e) 30°
c) 10°
5)c 10)c 15)e
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4° PREUNIVERSITARIO
TEMA : TRIÁNGULOS
I. DEFINICIÓN Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.
a) Triángulo Equilátero.-Cuando sus tres lados son de igual medida. B
= 60°
II. ELEMENTOS B
Q
P A
C
a
B
a
b) Triángulo Isósceles.- Cuando dos de sus lados son de igual medida.
a
c
A
a
b
C
a
a
2.1) Vértices : A, B y C 2.2) Lados : AB , BC y AC 2.3) Longitudes de sus lados : a, b y c. 2.4) Ángulos interiores : , y
A
C
c) Triángulo Escaleno.-Es aquel que tiene sus tres lados de diferente medida. B
2.5) Ángulos exteriores : , y
2.6) Perímetro : 2P = a + b +c c
a bc 2.7) Semiperímetro : P = 2
A
Observación : P Punto interior del triángulo ABC.
a
b
C
3.2) Por las Medidas de sus Ángulos, pueden ser :
QPunto exterior del triángulo ABC.
III. CLASIFICACIÓN:
a) Triángulo Rectángulo.-Cuando uno de sus ángulos internos mide 90°. B
Veamos dos formas de clasificar a los triángulos:
c
a
3.1) Por la Relación entre sus Lados, pueden ser:
A
C b
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2
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b) Triángulo Acutángulo.- Cuando cada uno de sus tres ángulos internos son agudos.
3) La suma de las medidas de los ángulos exteriores (uno por vértice) es 360°.
B
B
x + y + z = 360°
A
x
C
C A
< 90° < 90° < 90°
z
4) Dado un triángulo isósceles: a lados de igual medida se oponen ángulos de igual medida. B Si: AB = BC
c) Triángulo Obtusángulo.- Cuando uno de sus ángulos internos es obtuso. B
A
> 90°
a
a
Entonces
=
C
5) Existencia de triángulos. Para que un triángulo exista se cumple que:
B
C A c
IV. TEOREMAS BÁSICOS SOBRE TRIÁNGULOS
A
1) La suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°.
+ + =180°
A
b
C
a > b >c
*También:
Si : > > Propiedad de Correspondencia:
B
b+c >a>b-c a+c >b>a-c a + b > c > a – b
C
2) La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.
V. PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS 1.
x
x = +
a
x
x + 180° = +
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3
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2.
3x
6x x y
x + y = +
3x
3x
En la figura : 6x + 6x + 3x = 180°
6x
15x = 180° x = 12°
3.
2).- En el gráfico , calcula “x”, si A - C = 30°
ˆ
ˆ
x + y = + x
B
y
x
A
4.
Solución: En la figura :
x = + +
C
x
A = 180 - - x x = + c c = x - Reemplazando : 180 - - x – (x - ) = 30° ˆ
x = 75°
5.
3).-Calcula “x + y” x
y+30
y
x+20
60
x + y = + Solución :
x + 20 + y + 30 + 60 = 180
EJERCICIOS RESUELTOS
x + y = 70°
1).- En el gráfico calcula “x” B
4) Halla “x”
B 80° 3x A Solución
3x
C
x A
C
Colegio Privado
4
D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
Solución :
En la figura :
x = +
2 + 2 = 80
Datos : BC = AC AB = BD = DC En el ABC : 2 +2 + = 180° = 36°
+ = 40
x = 40
Medida del ángulo C es 36°. ˆ
7).- En la figura AB
5).- De la figura calcula “a+b”. Si : AB
BC AD , calcula “”
B
BD y BE ED
E
7°
140° 60°
A
C
12° D B
Solución :
B D
60°
a
7°
C A
b
A
Solución
E
70°
70°
35°
60° D
Dato : AB = BC = AD Trazando BD , entonces : ABD Equilátero. 7 = 12 - 60 60 = 5 = 12
D
35°
a
12°
60°
140°
40°
B
C
C
A
CUESTIONARIO
b
Por teorema : a + b +35° = 360°
1).- Halla el mínimo y el máximo valor entero que toma x, para que el triángulo exista.
a + b = 325°
6).- En un triangulo isósceles ABC, BC AC , se traza la ceviana BD de tal manera que AB BD DC . Calcula la mC.
8
S o l u c i ó n :
x
B
a) 2 y 14 d) 3 y 13
C
6
2
D
2
A
b) 3 y 14 e) 4 y 12
c) 2 y 13
2).- En un triángulo ABC, la medida del ángulo exterior en B mide 126 y las medidas de los ángulos inferiores A y C están en la relación de 3 a 4. ¿De qué tipo de triángulo se trata?
Colegio Privado
5
D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
a) escaleno b) rectángulo c) isósceles d) acutángulo e) Dos respuestas son correctas
a) 360° c) 720°
3).- Si dos de los lados de un triángulo isósceles miden 2m y 4m. Calcula el tercer lado a) 2m d) 2 y 4
b) 4m e) F.D.
c) 3m
4).- En el siguiente triángulo: PR altura, entonces x es igual a:
RQ y QD
8).- En la figura; calcula : “ +++w” w
a) 360º b) 270º c) 1080º d) 900º e) 720º
9).- En la figura; calcula : ” +++w” a) 180º b) 360º c) 270º d) 540º e) 1080º
42°
x
R
P
D
w
5).- En el gráfico: PQ=QR; QF=QE. Halla: m
10).- Calcula el valor de “x”.
70°
E P
a) 70° d) 35°
b) 30° e) 20°
6).- Si: PQ=QR=RS. Halla: m
e) N.A.
Q
a) 48º b) 42º c) 21º d) 84º e) 6º
es
b) 540° d) 270°
F
R
B
a) 80° b) 60° c) 40° d) 120° e) 30°
c) 60°
140°
70°
x A
C
11).- Halla : “a° + b° + c° + d° + e° + f°”
R
a) 180° b) 270° c) 360° d) 540° e) 720°
60° 140° Q
c°
b° a°
d° f°
P
e°
S
a) 10° d) 90°
b) 80° e) 65°
c) 70°
7).- En la figura, calcula : “°+°+°+°” °
° °
12).- Calcula : “++++” en la siguiente figura:
a) 120º b) 180º c) 250º d) 360º e) Falta dato
Colegio Privado
6
D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
13).- Halla el valor de “ ”, para que el ángulo AOC sea recto. Da como respuesta el valor del
C
b) 20° e) 53°
b) 47 e) 35 y 45
b) 2 e) 5
c) 3
20).- En la figura. AC=BC y AB=BP. Halla: “ x”
c) 18°
B x 40° x
14).- En la figura AB=BC=AD. Calcula “x°”. C
a) 105° b) 110° c) 115° d) 120° e) 125°
B
A
110°
a) 12º d) 24º 60°
P
b) 15º e) 30º
B
b) 20° c) 30° 80° A
40° D
C
1)d
2)e
3)b
4)d
5)d
6)a
7)b
8)e
9)c
10)e
11)c
12)b
13)a
14)e
15)b
16)e
17)e
18)b
19)b
20)a
16).- En un triángulo dos de los externos suman 270º. Halla uno de los ángulos internos. b) 50º e) 90º
c) 60º
17).- En un triángulo ABC se sabe que AC=15cm. y BC=3cm. Halla el mayor valor entero del lado AB. a) 12 d) 15
c) 20º
CLAVES
a) 10°
a) 40º d) 80º
C
D
15).- Si CD = BD Halla m ABD
d) 40°
M
x°
A
e) 50°
c) 37 y 47
19).- Los valores de los lados de un triángulo son: 12, (x+4) y (x+5). Calcula el menor valor entero de x para que el triángulo exista. a) 1 d) 4
2
A
a) 15° d) 30°
a) 37 d) 36 y 46
b) 13 e) 17
c) 14
18).- Los lados y de un triángulo isósceles miden 9m y 19m. Calcula su perímetro.
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
“Planificación Estratégica para una Educación de Calidad” COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
4° Pre-Universitario
TEMA : LINEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIÁNGULO
I.- LÍNEAS NOTABLES
AP :
1.-CEVIANA
Es el segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su respectiva prolongación. B
BH
Altura relativa a
BC
: Altura relativa a
AC
4.-MEDIATRIZ
Es la recta perpendicular a cualquiera en su punto medio. B
Q
A
M
N
C
un
lado
L
P
Ceviana Interior : BM ,
BN relativa
Ceviana Exterior : BQ ,
BP
a
AC
.
relativa a AC .
A
C l
2.-MEDIANA
Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. B
L
l
: mediatriz de
AC
5.-BISECTRIZ
Es el segmento que biseca al ángulo interior o exterior del triángulo.
B A
C
M n
BM :
n
Mediana relativa a
AC
3.-ALTURA
Es el segmento que parte de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación. B
P
H
A
C
A
M
C
N
BM
: Bisectriz interior relativa a AC .
BN
: Bisectriz exterior relativa a AC .
Colegio Privado
2
D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
5. ÁNGULO FORMADO POR LA BISECTRIZ INTERIOR Y LA ALTURA.
II.- ANGULO FORMADO POR BISECTRICES 1. ÁNGULO FORMADO POR UNA BISECTRIZ INTERIOR Y EXTERIOR.
x
a b
x=
2
x
2
x=
2.
a
b
ÁNGULO FORMADO BISECTRICES INTERIORES
POR
PROBLEMAS RESUELTOS
DOS
1.- Halla “X” . B
2
D
x = 90°+
X
38°
x
A
3. ÁNGULO FORMADO POR 2 BISECTRICES
4.
ÁNGULO FORMADO POR DOS BISECTTRICES EN UN CUADRILÁTERO CÓNCAVO.
C
En la figura por propiedad se cumple:
X
2
Solución:
X
x = 90°-
B ˆ
2
38 2
= 19
2.- En un triángulo ABC se cumple que mA + m B + 2mC = 260°. Calcula la medida del ángulo que forman las bisectrices interiores de los ángulos A y B. Solución:
C
a
x=
a.
ab
Se sabe:
2
X = + + C ˆ
x
b. a
b
A
En el dato:
x b
2 + 2 + 2Ĉ = 260 x=
x
a b 2
+ + X
C = 130
= 130
B
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3
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3.- En la figura halla : X.
Solución:
Por propiedad: 20 14 0
X= 4 X
4
X
2
2
= 80°
6.- En la figura m BAC=80° y mBCA= 40°. Calcula la mDEC.
2
B Solución:
En la figura. Por propiedad: x = 90 + 2 + 2 Además: 90 + 90 + 6 + 6 = 360 6 + 6 = 180 + = 30° X
E
= 90 + 60 = 150
A
Q
C
D
Por propiedad:
C B
Solución:
4.- Halla la mAPQ, si mBDC = 70°.
X=
X
90
B
30
30 30
2
= 105°
E A A
55
80
55
20 20
X
C
D
P
D
CUESTIONARIO
Solución:
x
1).- Calcula “x”
En la figura: 90x
x 2
70
B
= 40°
a) 55° b) 65° c) 72° d) 45° e) 75°
C
Q
A
70°
90-x
x
D
5.- Calcula “X” .
P
x°
70°
80°
2).- Calcula “x” a partir de la figura.
a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) N.A.
X
B 20°
140°
x
A
7 2
x
C
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4
D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
3).- Halla “x” B
C
a) 10° b) 30° c) 60° d) 90° e) 100°
9).- En un triángulo ABC, las bisectrices interiores A y C se intersecan en I. Por I se
traza una paralela a AC que interseca en P a
AB
y
en
Q
a
BC
.
Calcula
PQ,
si
AP+QC=8 3
x
80°
a) 8 d) 4
A
D
b) 8 e) 6
3
10).- Dado un triángulo rectángulo ABC recto en “B”. Se traza la altura BM , y la bisectriz AD interceptándose ambas en “N “. Si BD=8. Halla “BN” .
4).- Calcula “x”. B
a) 4 d) 12
a) 30° b) 40° c) 45° d) 60° e) 53° A
c) 4 3
b) 8 e) N.A.
c) 9
D F
11).- En la figura, halla m
C
E
x B
5).- En un triángulo ABC, por el vértice B se traza
una recta paralela al lado AC , la cual corta a la prolongación de la bisectriz interior AD en el punto F. Halla BF, si AB=12. a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
A M
b) 36° e) 62°
c) 54°
7).- En un triángulo MNP la medida del ángulo “M” es 80° y el ángulo “P” mide 60°. Calcula la medida del mayor ángulo formado por las alturas trazadas por “M” y “N” a) 40° d) 130°
b) 50° e) 140°
c) 120°
8).- En un triángulo ABC las bisectrices exteriores de B y C se intersecan en un punto E, tal que BE=BC. Si la m ABC=80, calcula la m A. a) 20 d) 50
b) 40 e) 80
C
e) 14
6).- Sea ABC un triángulo, BF bisectriz interior si se cumple que AB=BF=FC. Calcula m
c) 25
D
a) 26° d) 38°
b) 13° e) 16°
c) 19°
12).- En un triángulo isósceles ABC, el ángulo B mide 100º. Calcula el menor ángulo formado por las alturas trazadas desde los vértices A y C. a) 60º d) 85º
b) 70º e) 90º
c) 80º
13).- En un triángulo rectángulo ABC se trazan la altura BH y la bisectriz interior AE que se cortan en P. Halla PH, si BH=10, BE=6. a) 6 d) 4,5
b) 5 e) 7
c) 4
Colegio Privado
5
D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
14).- Si BD es bisectriz de ABC; CD es bisectriz del ACE y mBAC=50, calcula la mBDC.
20).- ABC es un triángulo equilátero. Halla ++.
B
B C
a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40
A
E
D
15).- Calcula “”
A
C
a) 120° d) 150°
b) 110° e) 145°
c) 100°
CLAVES 1) e 2) c 5) c 6) b 9) a 10) b 13) c 14) b 17) d 18) b
3) e 7) c 11) c 15) d 19) d
a) 20° b) 30° c) 45° d) 60° e) 37°
4) c 8) a 12) c 16) c 20) a
16).- Si el ángulo A mide 40º, ¿Cuál será el valor del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos exteriores B y C del triángulo ABC ? a) 60º
b) 50º
c) 70º
d) 75º
e) N.A
17).- En la figura MN// AC , AM=4 y NC=7. Calcula “MN”. B a) 12 b) 13 c) 10 d) 11 e) 14
M
I
N
° °
° °
A
C
18).- En un triángulo ABC la bisectriz interior de A y la bisectriz exterior de C forman un ángulo que mide 36, si la m A- mC=20. Calcula la m ACB. a) 36
b) 44
c) 64
d) 72
e) 88
19).- En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD , tal que la mBCD = 35° y mBDA= 72°. Calcula mBAD.
a) 56
b) 63
c) 70
d) 71
e) 77
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS
“Planificación Estratégica para una Educación de Calidad” COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
4° Pre-Universitario
TEMA : TRIÁNGULOS NOTABLES
I. DEFINICIÓN
PROBLEMAS RESUELTOS
Son aquellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos. Se puede saber la proporción existente entre sus lados. En general :
1) Calcula “x” en :
6 60°
2a
a
60°
30° a
a
7
Solución :
3
45°
2
x
45°
a a
6
x 3
a 2
3
2
45°
45° a
60° a 2
3
2
Po r P itágo ras : x 2 = (3
53°
5a
4
x =
3
)2 + 42 x2 = 43
43
3a
2) Calcula “x” en :
37° 4a
x
OTROS :
2
2
135° a
10
a
18,5°
a 26,5°
3a
5
Solución : 2a x
a
17
14°
76°
25a
a
74°
135° 7a
2
2
2
45° 2
5
16° 4a
24a
Po r P itágo ras : x 2 =2 2 + 7 2 x =
53
x 2 = 4 + 49
Colegio Privado
2
D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
3) Calcula “x” en : Solución : 48
2
30° 45°
37°
x
40°
x 60°
30° 40
Solución : En la figura :
en la figura : 48
2
x = 20 3
6) Calcula “x” en :
48 45°
37° 48
64
x = 112
x
4) Calcula “x” en : 30°
2 30
48
Solución :
x 30° 60°
Solución :
x
30° 16
En la figura :
30° 16
2
3
4
x =8
60° 30
x
x
CUESTIONARIO 60° a
I. Subr aya la alternativa c orrect a. (2Pts c /u) 1).- Calcula “” :
Se observa : a
3 = 48
a = 16
a) 45° b) 60° c) 30° d) 53°
3
x + 16 = 48
10
14
x = 32
2).- Calcula “x” :
5) Calcula “x” en :
x 30° 40
37°
60°
a) 31 b) 5 c) 6 d) 34 e) 7
6
x
60° 5
Colegio Privado
3
D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
3).- Calcula “x” : a)
9).- En un ABC se traza la mediana BD de manera que m A = 37 y mC=14. Calcula m DBC.
17
b) 2 c) 5
17
d) 4
13
e) 3
17
135°
2
2
6
a) 15 d) 45
x
b) 30 e) 26,5
c) 23
10).- En un ABC se que AC = BC, “F” es punto medio de mFBC.
4).- Calcula “x” : a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
a) 22,5 d) 37
82°
7
AC
y mC=37°. Calcula
b) 18,5 e) 30
c) 26,5
x
11).- En un ABC se ubica el punto “P” en 7
tal que PC=2AB, m C=15 y además mPBC=90°. Calcula : m ABP. AC
5).- Calcula “x” : x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A
a) 30 d) 45
33
tal que AD=2BC, m DBC=15 y además mC=30. Calcula : m A. AC
6).- Calcula “x” : 17
b)
19
a) 22,5 d) 14 x
b) 26,5 e) 18,5
c) 15
13).- En la f igura mostrada, calcula “ ”
5
c) 21 d) 5 e) 3
c) 15
12).- En un ABC se ubica el punto “D” en
x 5
a)
b) 60 e) 22,5
B 7
17
7).- Calcula “x” : 26,5°
a) 3 b) 6 c) 9 d) 10 e) 11
30°
37° 5
3 +
73
8).- En la figura mostrada. Calcula “x” : B
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
8
A
x
60°
°
D
a) 30 d) 53
C
b) 37 e) 60
c) 45
14).- Calcula “x” del gráfico sabiendo que AC=20. B
60°
x
F x P E 10 A
60° H
C
A
6°
C
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4
D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
a) 6 d) 12
b) 8 e) 14
c) 9
2
15).- En la figura : AB = 12 Calcula BD.
19).- En la figura, halla “x” :
.
B
37° x
68°
3
a) 4 d) 16/3 30°
37°
A
53°
d) 15 2
e) 18
3
c) e)
6
d)
4 5
c) 14/3
triángulo 2
ABC
m A=15
. Halla AC .
b) 16 e) 8
c) 14
CLAVES
b) 2 - 3
2
un
a) 10 d) 12
c) 10 2
16).- En un ABC, mB=90° m A = 75° , si AB=1 Calcula BC. a) 2 +
En
mC=30. Si AB= 7
D
b) 20
b) 3 e) 5
C
20).-
a) 10
53°
45°
5 -1
2
1) a
2) a
3) b
4) c
5) b
6) a
7) d
8) e
9) c
10)c
11)d
12)e
13)b
14)c
15)c
16)a
17)a
18)c
19)a
20)c
2
17).-En un ABC, m A = 53°. AC = 6 + 8 3 mC = 30. Calcula BC - AB a) 6 d) 2
b) 8 e) 5
c) 10
18).- Si AC=12. Calcula BD. B
A
15° D
C DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
a) 3
b) 4
d) 4 3
e) N.A.
c) 2 3
y
“Planificación Estratégica para una Educación de Calidad” COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
4° Preuniversitario
TEMA : CONGRUENCIA DE TRÍANGULOS
1).- DEFINICIÓN Dos triángulos son iguales si tienen sus lados y ángulos respectivamente iguales. Para que dos triángulos sean iguales deben cumplir con algunos de los casos de igualdad. En ellos se menciona como requisito que presenten tres pares de elementos iguales, siendo por lo menos uno de ellos un lado.
2.4).- CUARTO CASO (LLA) Si tienen dos lados respectivamente iguales e igual al ángulo interior opuesto al lado mayor.
2).- CASOS DE CONGRUENCIA
B
A
2.1).- PRIMER CASO (ALA) Si tienen un lado igual e iguales los ángulos interiores adyacentes a ellos.
Q
P
Si : AB > BC y C = F ABC PQR
P
H
R
C
3).- TEOREMAS FUNDAMENTALES 3.1).- TEOREMA DE LA BISECTRIZ
°
°
°
° F
N
G M FGH
Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo. A PA = PB
MNP
2.2).- SEGUNDO CASO (LAL) Si tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido por dichos lados también iguales.
° °
O R
C
°
OA = OB B
3.2).- TEOREMA DE LA MEDIATRIZ Cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento.
°
Además
P
P
A
Q
P
B ABC
PA = PB
PQR
2.3).- TERCER CASO (LLL) Si tienen lados respectivamente iguales. A
T
F
B
3.3).- TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS
D
E DEF
R RST
S
La paralela a un lado de un triángulo, trazada por el punto medio de otro, corta al tercero en su punto medio. El segmento determinado se llama base media y mide la mitad de la longitud del lado al cual es paralelo.
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D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
x = 6 + 4 + 11
B
x = 21
//
EF
AC
3).- En un triangulo ABC, se traza la mediana BM, luego se traza AH perpendicular a BM. Si AH = 16m, HM = 6m. Calcula la longitud de “HC”
Además F
E
EF = A
AC 2
C
3.4).- TEOREMA DE LA MEDIANA En un triángulo rectángulo, la medida relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa.
Solución: * En la figura AHM CPM (ALA) Luego: CP =16; PM =6 APH: notable B
B H
BE =
16
AC
6
2
A
A
M
C
E
C
16 P
PROBLEMAS RESUELTOS
x = 20
1).- En un triángulo ABC, B = 90° y C = 42°, se traza la ceviana BP de modo que ABP = 36°, si AC = 72m. Calcula “BP”. Solución: * Graficando s e traza la median a BM = 36, luego PBM es isósceles.
4).- En un triángulo ABC , B = 135°, C = 37/2°, luego se traza AM. Calcula la medida del ángulo MAC. Solución:
135°
B 42°
26,5° 2a 5a * En la figu ra: AN = NC = 5a Lu ego : AH M es de 8° y 82° x
36°
x
A
48°
84°
84° H
P
x = 8°
42° C
5).- En un triangulo ABC, las mediatrices BC Y AC se cortan en “O”. Halla m AOB, si la m ACB = 52°
72 x = 36
2).-
En
un
cuadrilátero
ABCD,
AB
=10;
CD = 11 2 ; A = 53°; C = 98° y D = 45°. Calcula “AD”. Solución: * En la figu ra po r triáng ulo s no tables.
Solución:
98° 3 37° 10
4
x 11
8
8
53° 6
18,5 3a
4
45° 11
2
* En la figura: x = 2( + ) Pero: + = 52° x = 104°
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3
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6).- En la figura BM // AC. Halla FM, si BG = 6 y GH = 2. B
M
F
A
P
H
C
C
Solución:
B
2
6
6
5).- Halla la longitud del segmento que une los puntos medios de
H C y CM .
a) 12 b) 9 c) 6 d) 4 e) 3
H
M
A
Q
A
H
B
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3,5 e) 2,5
G
4).- Halla PQ . Si AB = 8; AH = 3
G 2
F 6 C
H FM = 2
Si AB = 24
B
M
A
C
6).- En la figura mostrada. Calcula AB si: AC 6cm. ,y BP 1cm.
CUESTIONARIO
B
I. Subr aya la alternativa cor recta. (2Pts c /u)
1).- En la figura mostrada AH = 6 y
FC
= 11.
B
Calcula FH
P
A
C
a) 4cm. b) 6cm. c) 5cm. d) 8cm. e) 7cm. a) 5 b) 4 c) 4,5 d) 6 e) 5,5
F
7).- Si: AB = 7; BC = 8; AC = 10,
A
C
B H
a) 16 b) 15 c) 12,5 d) 16,5 e) 17,5
2).- En la figura, halla AB A E
5
N
A
C
M
8).- Halla “ ”, si AB = AM = M C B
B
3
C
D
3).- En la figura AB = ED , AD = EC , AB // EC y BC
y BM
mediana y CH altura. Halla el perímetro del triángulo MNH.
H
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
AN
= 8. Halla CD
a) 30° b) 37° c) 71,5° d) 53° e) 60°
A
C
C
9).- Halla a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
x ˆ
, si ABCD es un cuadrado. B
B 60° A
E
D
a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°
C
x° A
D
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4
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10).- En la figura, halla “x”, si AM = MC.
16).- Si AN = N C y BM = M D . Halla
x A
ˆ
B
B
a) 45 b) 60 c) 15 d) 30 e) 24
x
M
H
C
11).- Se tiene un triángulo ABC, tal que la mediana BM es cortada en su punto medio por la ceviana AD . Si BC = 12. Calcula "BD". a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4
a) 100° b) 120° c) 60° A d) 90° e) 95°
N C M
x°
D
17).- Dado un triángulo isósceles ABC, sobre su base AC se ubican los puntos P y Q
Q PC tales que AP = QC. Si: Calcula BPQ . a) 65° d) 75°
PBQ =30°. ˆ
ˆ
12).- Calcula “” 4
b) 45° e) 80°
c) 70°
a) 60° b) 53° c) 37° d) 30° e) 17°
18).- Si: AO y OC son bisectrices, calcula si AM = 8 y NC = 10, MP = PB, BQ = QN.
PQ
,
B
6
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
13).- Si: AB 12 3 , calcula AC . C 60°
a) 32 b) 72 c) 24 d) 48 e) 60
P M
Q O
N
A
C
19).- El perímetro de un triángulo es 84cm. Halla el perímetro del triángulo que tiene como vértices los puntos medios de los lados del primero. a) 42 b) 21 c) 28 d) 56 e) N.A
30° A
B
20) .- En un triángulo ABC, m A = m2C, se 14).- E y F son puntos medios. Si m + n = 30. Halla “m” a) 4 b) 6 c) 8 d) 20 e) 30
E
n
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
F
CLAVES m
15).- En la figura, AD =2, Halla DN
a) 10 b) 15 c) 13 d) 9 e) 8
traza la altura BH , si AB 18m. , AC 22m. . Calcula la medida de AH .
C N =5
y BE =8.
B
1) a
2) a
3) c
4) b
5) c
6) a
7) c
8) c
9) b
10)d
11)e
12)d
13)a
14)d
15)d
16)d
17)d
18)c
19)a
20)b
C DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
A
D
E
N
“Planificación Estratégica para una Educación de Calidad” COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
4° Pre-Universitario
TEMA : POLÍGONOS
1.-DEFINICIÓN.- Es aquella figura geométrica
determinada por una línea quebrada y cerrada.
5.2.-POLÍGONO
CONVEXO.-
Es aquel polígono cuyos ángulos interiores son convexos.
2.-DIAGONAL.- Es el segmento que une dos
vértices no consecutivos de un polígono. 3.-DIAGONAL MEDIA.- Es el segmento que
une los puntos medios de los lados de un polígono. B
C
N
5.3.-POLÍGONO NO CONVEXO.- Llamado
también cóncavo, es aquel polígono que tiene uno o más ángulos cóncavos.
D
A
M F
E
P
5.4.-POLÍGONO EQUILÁTERO.4.-ELEMENTOS :
a) Vértices : A, ˆ
B, ˆ
C, ...., F ˆ
ˆ
Es aquel polígono que tiene todos sus lados congruentes, esto no implica que sus ángulos sean congruentes.
b) Lados : AB, BC ,.......,FA
- Ángulos : - Internos : A, B, C, ..., F - Externos: , , ........
c) Diagonal : BD, BE , CE , .... d) Diagonal Media : MN, MP, .... 5.-CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS 5.1.-POLÍGONO ALABEADO.-
Es aquel polígono cuyos puntos se encuentran en dos o más planos.
5.5.-POLÍGONO EQUIÁNGULO.- Es aquel
polígono que tiene todos sus ángulos congruentes, esto no implica que sus lados sean congruentes.
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5.6.-POLÍGONO
REGULAR.-
Es aquel polígono que tiene sus lados y sus ángulos congruentes.
c) En todo polígono, la suma de sus ángulos exteriores es 360°. S ext.= 360°
d) En todo polígono, el número total de diagonales está dado por la siguiente relación:
N° D = DE ACUERDO LADOS
A
SUS
NÚMEROS
3 lados
triángulo
4 lados
cuadrilátero
5 lados
pentágono
6 lados
exágono
7 lados
heptágono
n (n 3) 2
DE
e) En todo polígono, el número de diagonales medias está dado por la siguiente relación. N° D.M. =
n ( n 1) 2
f) En todo polígono, el número de diagonales trazadas desde “P” vértices consecutivos
8 lados
octágono
9 lados
nonágono
10 lados
decágono
11 lados
undecágono
12 lados
dodecágono
15 lados
pentadecágono
20 lados
icoságono
6.-PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
a) En todo polígono el número de lados es igual al número de vértices e igual al número de ángulos interiores. # L = #vértices = # Inter . = n
b) En todo polígono, la suma de sus ángulos interiores está dado por la siguiente relación : S Inter.= 180 (n - 2)
está dado por la siguiente relación: N° d =
P 2
(2n – p - 3) – 1
Donde : P = N° de vértices consecutivos. g) En todo polígono regular o equiángulo, un ángulo interior está dado por la siguiente relación: int
=
180(n 2) n
h) En todo polígono regular o equiángulo un ángulo exterior está dado por la siguiente relación: ext
=
360
n
NOTA : Esta última propiedad se utiliza
para hallar un ángulo central de un polígono regular. También debemos saber que la suma de sus ángulos centrales es 360°.
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Para calcular el número de diagonales desde un solo vértice se utiliza la siguiente propiedad:
15 n
(n-2) =
n – 2 =
N° de diagonales = n –3
polígono que resulta al intersectarse las prolongaciones de los lados de un polígono convexo. °
48 n
n=8
3).- Cuántos diagonales parten de uno de los vértices de un polígono, en el cual la suma de sus ángulos internos y externos es igual a 3780°. Solución : Sea : n # de lado s del po lígo no : Por dato : 180(n-2) + 360 = 3780 180(n-2) = 3420 n-2 = 19 n = 21
°
°
°
n2
n (n-2) = 48
* POLÍGONO ESTRELLADO .- Es aquel
°
4 . 180
Nos piden : 1
S Int. = 180° (n-4)
2
S Inter = 720°
(2n – 1 – 3) =
1 2
(42 – 4) = 19
4).- Halla el número de lados de un polígono convexo cuyos ángulos interiores suman 11 veces sus ángulos exteriores.
PROBLEMAS RESUELTOS
Solución :
1).- Halla el número de lados “n” de un polígono, en el cual desde 4 vértices consecutivos
se
han
trazado
Sea : n # de lado s del po lígo no : Por d ato : 180 (n -2) = 11 . 360 n –2 = 11. 2
“3n”
diagonales.
n = 24
Solución :
5) ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual su número de diagonales aumenta en dos, al aumentar en uno el número de lados?
Por dato : 4 2
(2n – 4 – 3) - 1 = 3n
Solución:
2(2n – 7) – 1= 3n 4n – 14 – 1 = 3n
Sea “n” el número de lados
* Si : n l a d o s
n = 15
2).- Quince veces el ángulo interior de un polígono regular, equivale al cuadrado de su ángulo exterior. Halla su número de dados. Solución :
*Si: n+1 lados
15 .
180 n
360 (n-2) = n
2
nd =
2
n 1n 2 2
D e l en u n c i a d o : n 3 + 2 = n 1n 2 2
Sea : n # de lado s del po lígo no . Por dato :
n 3
nd =n
2
n=3
6) Calcula el número de diagonales de un polígono regular, si se sabe que los mediatrices de dos lados consecutivos forman un ángulo cuya medida es 18°.
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4
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4).- Si el número de lados de un polígono disminuye en 2, el número de diagonales disminuye en 15. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
Solución:
9°
9°
9° 18°
Se sab e qu e el áng ul o c entral cen tral = 18 = n = 20 nd=
360 n
20 20 3 2
n = 170
CUESTIONARIO
1).- Determina el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo interior es el triple de su ángulo exterior. a) 5 b) 9 c) 8 d) 12 e) 10 2).- El número de diagonales de un polígono excede al número de lados en 25. Calcula el número de lados. a) 6 b) 9 c) 12 d) 10 e) 24 3).- En un pentágono ABCDE, el lado AE es paralelo al lado BC , calcula la suma de los ángulos E, D y C. a) 180° b) 360° c) 324° d) 270° e) 540°
a) 10 b) 12 c) 14 d) 8 e) 11 5).- En un polígono regular la medida de un ángulo interior es igual a cinco veces la medida de un ángulo central. ¿Cuántos triángulos se pueden formar al trazar todas las diagonales posibles desde un solo vértice? a) 6 b) 7 c) 9 d) 10 e) 13 6).- En un polígono la suma de los ángulos interiores excede en 720 a la suma de los ángulos exteriores. ¿Cuál es el polígono? a) pentágono b) exágono c) heptágono d) octógono e) nonágono 7).- Calcula el número de diagonales de un polígono regular, si se sabe que las mediatrices de dos lados consecutivos forman un ángulo que mide 36. a) 27 b) 35 c) 104 d) 170 e) 175 8).- Se tiene un exágono equiángulo ABCDEF tal que AB = CD = EF y BC = DE = FA. Sabiendo que el perímetro del exágono es igual a 60, calcula “BE”. a) 15 b) 20 c) 30 d) 15 e) 20
2 3
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5
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9).- Si a un polígono regular se le disminuye un lado, cada ángulo exterior aumenta en 12 ¿Cuál es el polígono? a) decágono b) octágono c) exágono d) pentágono e) nonágono
a) 16 b) 17 c) 18 d) 14 e) 15 15).- En la figura mostrada, calcula: “° + ° + ° + °”
10).- Calcula el ángulo exterior de un polígono regular, cuyo lado mide 5/7 y el número de diagonales es siete veces el semiperímetro.
°
a) 36 b) 45 c) 24 d) 54 e) 27 11).- Calcula el número de diagonales de un polígono regular sabiendo que el cuadrado de la medida de su ángulo central equivale a 9 veces la medida de su ángulo interior. a) 27 b) 65 c) 54 d) 77 e) 35 12).- En un polígono regular la medida del ángulo interior es 4 veces la del ángulo exterior ¿Cuántos lados tiene el polígono? a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 13).- Calcula el número de lados de un polígono equiángulo sabiendo que la suma de las medidas de siete ángulos internos, es igual a 1134. a) 18 b) 20 c) 24 d) 30 e) 15 14).- Si el número de lados de un polígono se duplica, entonces la suma de las medidas de sus ángulos interiores aumenta en 3060. ¿Cuántos vértices tiene el polígono?
° °
A
60°
°
a) 450° b) 500° c) 550° d) 600° e) 650° 16).- Calcula el perímetro de un hexágono equiángulo ABCDEF si AB = 7, BC = 3, CD = 5 y EF = 4. a) 30 b) 29 c) 28 d) 27 e) 26 17).- ¿Cuál es el polígono convexo cuyo número de diagonales es igual al doble del número de lados? a) pentágono b) hexágono c) heptágono d) octógono e) nonánogo 18).- Dados dos polígonos regulares, las medidas de sus ángulos interiores se diferencian en 50 y la suma de las medidas de los ángulos externos es 130. Calcula el producto entre los números de lados de ambos polígonos. a) 13 b) 27
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c) 36 d)20 e) 39 19).-Se tiene el polígono equiángulo ABCDEF... de 20 lados. Calcula la medida del ángulo agudo que determina AB y DC al prolongarse. a) 36 b) 50 c) 40 d) 42 e) 72 CLAVES
1) c 5) d 9) c 13) b 17) e
2) d 6) d 10) b 14) b 18) c
3) b 7) b 11) e 15) d 19) a
4) a 8) b 12) c 16) b
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
“Planificación Estratégica para una Educación de Calidad” COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
4° Preuniversitario
TEMA : CUADRILÁTEROS 1.1.3
I. DEFINICIÓN
Es aquella figura geométrica que tiene cuatro lados. II. CLASIFICACIÓN
RECTÁNGULO.-
También llamado cuadrilongo , es el paralelogramo cuyos ángulos interiores miden 90°, sus lados opuestos son iguales en longitud; sus diagonales son iguales en longitud y se bisecan.
1. PARALELOGRAMO
Son aquellos cuadriláteros, cuyos lados opuestos son paralelos. En todo paralelogramo sus diagonales se bisecan. En todo paralelogramo sus ángulos opuestos son iguales. En todo paralelogramo los ángulos adyacentes a uno de sus lados son suplementarios.
a
b
b
1.1.4
CUADRADO.-
Es el paralelogramo que tiene sus lados iguales en longitud, sus ángulos interiores miden 90°, sus diagonales son iguales en longitud, se bisecan y vienen a ser bisectrices de sus ángulos y se cortan perpendicularmente.
1.1. CLASES DE PARALELOGRAMOS 1.1.1
ROMBOIDE.-
Es propiamente dicho.
el
45° 45°
paralelogramo a
45° 45° b
a
2. TRAPECIOS
Son aquellos cuadriláteros, que tiene dos lados opuestos paralelos. 1.1.2
ROMBO.-
También llamado losange, es aquel paralelogramo que tiene sus lados iguales en longitud, sus diagonales se bisecan, se cortan perpendicularmente y viene a ser bisectrices de sus ángulos.
B M A
BC // AD
b b aa
MEDIANA : MN ALTURA : h BASES : BC, AD
C N h D
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2.1. CLASES DE TRAPECIOS
2.2.2. En todo trapecio, la mediana biseca a las diagonales.
2.1.1. TRAPECIO ESCALENO.- Tiene sus lados no paralelos de diferente longitud. b
C
B Q
M
N
A a
D
BQ = QD
a + b =
+
=
180°
2.2.3. En todo trapecio, la mediana mide la semisuma de sus bases.
2.1.2. TRAPECIO RECTÁNGULO.- Es aquel trapecio en el cual uno de los lados no paralelos viene a ser la altura del trapecio.
b
M
N
a
+
= 180°
2.1.3. TRAPECIO ISÓSCELES.- Es aquel cuyos lados no paralelos son iguales en longitud.
ab 2
MN =
2.2.4. En todo trapecio el segmento que une los puntos medios de sus diagonales, mide la semidiferencia de sus bases. b
b
Q
P a
x
x
a
x=
PQ =
ab 2
3. TRAPEZOIDE
ab
Es el cuadrilátero propiamente dicho.
2
2.2. PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS
2.2.1. En todo trapecio, la mediana siempre es paralela a las base. B
C
TRAPEZOIDE SIMÉTRICO (T. Bisósceles)
N
M A
D =
MN // BC // AD
90°
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EJERCICIOS RESUELTOS
1).- Si ABCD es un paralelogramo. Calcula B
8
Del gr áfi co : m CMB = m CDA = x Trazamos : CH altura CH=2a Obs : * CHD MBC
EF
C
6
CH = BC = 2a
F
3
A
E
MBC notable de 26°30’
*
D
x = 63°30’
Solución :
B
8 2 2
6
C
3) Si ABCD trapecio . Calcula BF = 6 C
B 3
A
x
E
F 2
F
x
D
6
Del grafico: * m BA D = m BCD = 4 pero : EC bis ectriz m BCE = m ECD=2 Tamb ien : m BCE = m CED = 2 (áng ulo s altern os int erno s) Obs :
CE ; Si además:
E D
A Solución : P r o l o n g a m o s CE tal que CE m CHD = 90°
a
B
* tri án gu lo ECD isósceles ED = CD = 6 * AFE = m FAE = AFE isósceles AE = EF = x
2 6
C F
x 2
E
a
Luego : x + 6 = 8
AD = H
D
A
x=2
a
H
2).- Calcula “x” Obs :
*AF = AH = a = BC * BFA BCE CE = BF x=6
x
4) Si: AB + BC = CD. Calcula “x”
Solución :
B a x M
2a
2 2a
a A
C
B
C
x H
D
A
x D
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6.- En la figura calcula el valor de x.
Solución :
b
B
C
E 2 3
b
a
H a
a
A
x
x Solución :
D Trazamos Trazamos : A H altura m BA H = m DCE = 2 m CAH =
En el ABC, por base media A C = 2(3) = 6 Luego en el ACD
* BC= CH = b * AH=AB = a
x =
6
Obs :
B
2
x=3
C 3
Por dato : CD = a + b HD = a Luego :
AHD
6
Notabl e de 45° 45°
x
5.- Las medidas de los ángulos A, B, C y D de un cuadrilátero ABCD son entre si como 3, 4, 5 y 6. Calcula el ángulo formado por las bisectrices de A y B. Solución :
C
120° P x 30 A
30 A
Del dato: B
ˆ
3
C
4
D
ˆ
ˆ
1).- Si : mD=3(m A); mB=mC=2(m A), halla : mD B
40 B 40
A
CUESTIONARIO
D
C
D
A
x = 45°
5
ˆ
6
D
a) 30° d) 100°
b) 40° e) 135°
k
2).- En la figura, halla “x” :
se sabe: A B C D = 360° ˆ
ˆ
ˆ
B
ˆ
3k + 4k + 5k + 6k = 360
2x
C 4x
18k = 360 k = 20
3x
A = 3(20) = 60
; C = 5(20) = 100 ;
D = 6(20) = 120
; B = 4(20) = 80
ˆ
ˆ
En el
c) 70°
ˆ
ˆ
A
D
APB
x = 110°
a) 10° d) 25°
b) 15° e) 30°
c) 20°
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5
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igura, halla “EC”, si : ABCD es un 8).- Los ángulos adyacentes a la base mayor de 3).- En la f igura, romboide. un trapecio miden 45° y 30°. Si las bases del C E B trapecio miden 5cm y (7 + 2 3 ) cm, halla el perímetro del trapecio.
7
A
D
11
a) 4 d) 1
b) 5 e) 3
2
)
b) 4+2
c) 2(8+ e) N.A.
3
+
2
)
d) 8+
3 3
+2
+
2
2
)
b) 2 e) F.D.
c) 1,5
10).- Las bases de un trapecio isósceles ABCD miden 14 y 6cm y su altura 8cm, siendo AD la base mayor. Si “M” y “N” son los puntos
b
medios de los lados no paralelos de ABCD , halla los lados no paralelos de AMND.
c
b) 50° e) 80°
a) 12cm d) 8
c) 60°
5).- Si : ABCD es un paralelogramo; AC=15, BD=22, halla “OB + OC” B O
c) 24
11).- En un trapecio rectángulo ABCD, recto en “A” y “D” , se traza la bisectriz interior BQ , (“Q”
a) 5,5 d) 7
A
D
b) 18 e) 18,5
b) 16 e) N.A.
en D C ). Si : BQ=BC, DQ=2 y BQ=6, halla la mediana del trapecio.
C
a) 17 d) 17,5
+
a) 3m d) 1
x
a) 40° d) 70°
3
9).- Las bases y la mediana de un trapecio suman 6m, halla la mediana.
c) 2
4).- Halla “x”, si : a° + b° + c° = 440°
a
a) 2(4+
c) 19
6).- En un trapecio el segmento de mediana comprendido entre las diagonales es 36. Si la base mayor es el triple de la menor, la mediana mide :
b) 6,5 e) 8
c) 6
12).- Se tiene un triángulo equilátero ABC de lado igual a 6cm, en el cual se trazan las alturas AH y BI . Determina la longitud del segmento que une los puntos medios de dichas alturas. a) 2,5cm d) 3
b) 4,5 e) 2
c) 1,5
13).- En un trapecio la relación entre el segmento que une los puntos medios de las diagonales y la mediana es 3/5. Calcula la relación que existe entre las bases del 7).- Halla el perímetro de un trapecio isósceles trapecio (base menor / base mayor) de base 2 y 4, en el que dos de sus ángulos a) 35 d) 70
b) 60 e) N.A.
c) 72
miden “x” y “3x”.
a) 2(3+ 2 ) c) 1,8 2 e) N.A.
b) 3,6 2 d) 3 2 +3
a) 1/3 d) 2/3
b) 1/4 e) 3/4
c) 1/2
14).- Si las diagonales de un trapecio dividen a la mediana en tres partes iguales, ¿en que
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6
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relación están las base? (base mayor sobre base menor? a) 3:2 b) 3:1 c) 2:1 d) 4:1 e) N.A.
a) 37° d) 30°
b) 53° e) 60°
c) 90°
15).- En la figura, ABCD es un rectángulo “M” y 19).- Los lados laterales de un trapecio miden 5u y 9u. Calcula el máximo valor entero que “N” son puntos medios de CD y AB , puede tomar el segmento que une los puntos respectivamente. Si : AC =12m, halla “GB”. medios de sus diagonales. C
B
a) 5u d) 8 G
M
D
A
b) 4,5 e) N.A.
20).- En la figura, ABCD es un rectángulo, “M” “N”, “E” y “F” son puntos medios de BO , OC , AP
c) 4
y RD respectivamente.
Si : AD=12m, calcula “PR”.
16).- En un paralelogramo ABCD, mB = 135°; AD=8 y BD es perpendicular a CD . Halla la b) 2 e) 5
P
B
R
M
distancia del vértice “C” la lado AD .
a) 4 d) 3
c) 7
N
F
a) 3m d) 6
b) 6 e) 10
N
E
c) 6
17).- Si: AB // DC y AD //BC ,m ADE=m BDC,
C
F
O
D
A
halla “BD” B
E
A
a) 5m d) 6
b) 2 e) 4
c) 3
24
D
C
28
a) 5 13
b) 6 13
d) 7 13
e) 4 13 .
CLAVES
c) 13
18).- Siendo ABCD un trapecio (BC//AD), halla m ADC. 4
1)e
2)e
3)a
4)e
5)e
6)c
7)a
8)c
9)b
10)e
11)b
12)c
13)b
14)c
15)c
16)a
17)e
18)b
19)b
20)e
C
B 8
6 DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
A
D 14
200 MILLAS
“Planificación Estratégica para una Educación de Calidad” COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS 4° Preuniversitario
TEMA : CIRCUNFERENCIA
I. DEFINICIONES
II. PROPIEDADES:
1. Circunferencia
Conjunto de los puntos de un plano que se encuentra a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
1. El radio es perpendicular a la tangente.
2. Círculo
O
A
R
Superficie, determinada por la unión de una circunferencia y su región interior. N Q
M
C
A
2. Arcos comprendidos entre rectas paralelas son congruentes. B
E
O
C
Si : BC // AD
B
A
D
mAB = mCD
D
L1
L
L
P
L
OA
T L3
3. Arcos congruentes le corresponden cuerdas congruentes.
Centro
: O
Radio
: OA B
Diámetro
Si : m AB = m CD
: BC
Arco
: AB
Cuerda
: DE
Secante
: L
D
AB CD
A
4. Si un radio es perpendicular a una cuerda, el radio pasa por el punto medio de la cuerda y del arco correspondiente a la cuerda.
Tangente
: L1
Flecha o sagita
: MN
Normal
: L3
B
Si : OA BC O
Punto de Tangencia : T Sector Circular
C
:
AOB
Segmento Circular :
EQ
A
F
BF FC C
BA = AC
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2
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5.
Por un punto exterior se trazan tangentes, las cuales son congruentes.
dos 10. Tangente comunes exteriores.
A
AB = CD B
A
B
AB AC C
O
D
C
AO es bisectriz de ABC
11. Si A, B y C son puntos de tangencia. x° = 90°
C
6. Si: AB CD ; entonces a = b.
A
C
A
x°
B
O b
a B
D
12. Si “M” es punto medio de AB.
7. Si : AB//CD ; entonces ACBD ó PQ // AB ;
x° = 90°
entonces AT TB. T
P
C
M
Q A
A
x°
B
B C
D
8. De un ángulo exterior. x ° + y° = 180°
III. ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA 1.
Central
B m x° = m AB
R
y°
x°
O
X° R A
9. Tangentes comunes interiores. A
2.
Inscrito
B
AB CD D
x° C B C
A
m x° =
m AC 2
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3
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3.
Seminscrito
Solución : P
C
A
A
x/2
° ° =
m BC
Q
2
B
B 4.
Por dato :
Exinscrito
C
m AQB = mAPB = x Por áng ulo ins cr ito
A
mABC
m
2
B 5.
AOB =
x 2
+ x = 360° 3x
B F
2
D
mBC mAD
= 360°
x = 240°
2
A
2).- En la figura mostrada calcula el valor de x° si mBAC = 184° (A es punto de tangencia)
Exterior
A
C n°
m°
2
Luego : C
6.
2 x
m A B =
Interior
x
A
°
m n
B
x
2 A
C
Solución : m°
n°
A
°
°
B
B
A
n°
88°
E
x D
C
PROBLEMAS RESUELTOS 1).- Según el gráfico m APB = mAQB = x°, calcula el valor de x°
Por dato : mB AC = 184° m BQC = 176° Luego por
A
Q
C
m°
P
P
i n s c r i t o :
m BA C = 88° Q
tam bi é n po r áng ul o sem i-in sc ri to : m
BAC =
B
x = 88°
mAPC x 2
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3).-
Según
la
figura
O
es
centro
de
la
P
Solución :
circunferencia; AB CF , calcula el valor de x, si mAF = 70°. A F
D
70°
x
C 40
x
O
C
20°
B
A
B
En la figura :
Solución : Por dato :
CF AB
mCF = mA B Obs : m A F = mBC = 70° Por interior : m
CQB = m
mAF mBC 2
CQB = 70° x = 20°
4).- Según el gráfico calcula la mAD (A y D son puntos de tangencia).
BC=40° AD = DC = 70° 70 40
Entonces : x =
x = 55°
2
6).- En la figura , AB y AC son tangentes a la circunferencia. Si : mBAC=72° y los arcos BD, DE y EC son iguales. Halla la medida del ángulo DCB.
Solución : D
B
B
54°
60° C
A
72°
D
E
50° D
Solución :
En la figu ra :
C
= 84°
Luego : DCB = /2
DCB = 42°
ˆ
*
CDF
áng ul o sem i-ins cr ito
m CQD = 100° * Por
ˆ
exterior :
mAD mAC 60 2
CUESTIONARIO
1).- Calcula la flecha de la cuerda AB , si : AB = 8 y r = 5cm. B
m A D – m A C = 120°......... ( ) Pero : mAD + mAC = 260° ..…...( ) “ + ” : 2m A D = 380°
A r
m AD = 190° 5).- En un arco de circunferencia AB, donde AB es un diámetro se tiene que m CAB=20°, D F es paralelo a AC y DP es tangente al arco. Halla el ángulo PDB.
a) 1cm. d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
2).- En el triángulo, AB = 8; BC = 7; AC = 6, calcula “AM”.
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5
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8).- En el trapecio isósceles: AD = BC = 8cm. Calcula la mediana del trapecio.
A
a) 6cm. b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
Q M
C
a) 2,5 d) 4
b) 3 e) 1,5
c) 3,5
C
D
B
P
9).- Halla “R”, si AB = 5 y BC = 12.
3).- En un triángulo de catetos: AB=12, BC=16, halla el inradio del triángulo. a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 4).- En una circunferencia de radio 13cm, se tiene una cuerda AB que mide 24cm, halla la sagita de AB. a) 5cm b) 6 c) 8 d) 7 e) 4
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
B R
determina sobre AC el punto “M” . Calcula “AM”. a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3
10).- Halla “x”, si: “T” es punto de tangencia, AO = OB = BP = 1.
T
x° A
6).- Halla “PC”, si: AB = 9; BC =15 y AC = 18.
B
E C
A
7).- “P”, “E” y “Q” son puntos de tangencia y el perímetro del triángulo ABC es 24, halla “QC”.
B
O
a) 60° d) 30°
P
T
C
A
5).- En un triángulo ABC se sabe que: AB = 8, BC = 10 y AC = 12, la circunferencia inscrita
a) 20 b) 21 c) 22 d) 18 e) 24
B
A
b) 53° e) 37°
P
c) 45°
11).- Se tiene un triángulo rectángulo de semiperimetro 16cm y de inradio 4cm. Calcula la longitud de la hipotenusa. a) 16cm. b) 13 c) 12 d) 10 e) 5 12).- Halla “x”, si : “O” es centro. T
P B
Q
a) 12 d) 48
A C
A
b) 18 e) 60
x°
4x°
E
c) 24
a) 18° d) 10°
O
b) 15° e) 9°
B
c) 12°
C
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13).- Halla “x”, si : “O” es centro.
17).- Del gráfico R = 3 y r = 1. Calcula “ BE ”.
T
x°
25° A
E
B
B
O
C
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 10
C
r
R
D
A
a) 100° d) 130°
b) 110° e) 140°
c) 120° 18).- Se tiene un octógono ABCDEFGH circunscrito a una circunferencia, donde: AB = 1; BC = 1; CD =1,5; DE = 0,5; EF= ; FG = 2,7; HA = 0,8; calcula “GH”. a) 0,5 b) 1 c) 0,8 d) 1,5 e) 2
14).- En la figura, calcula “R + r”, si AB = 5 y BC = 8. B
a) 23 b) 11,5 c) 10,5 d) 13,5 e) 14
19).- En la figura, calcula “AB”, si: CD = 6cm.
r
E A
C R
15).- Halla “R”, si: AB = 9; BC =12.
a) 6cm. b) 8 c) 10 d) 12 e) 9
D C B
A
a) 15 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22
O
P
R
A
B
C
T
20).- ¿En qué relación deben estar los radios de dos circunferencias tangentes exteriores para que el ángulo formado por las dos tangentes comunes exteriores mida 60°? a) 1 : 2 b) 1 : 3 c) 2 : 3 d) 2 : 5 e) 3 : 5
16).- Calcula el perímetro del triángulo ABC.
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 18
10
CLAVES
1) b
2) c
3) b
4) c
5) c
6) b
7) a
8) b
9) b
10)d
11)c
12)d
13)e
14)b
15)c
16)c
17)c
18)a
19)d
20)b
B
A 4 1
C
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200 MILLAS
“Planificación Estratégica para una Educación de Calidad” COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
4° PRE-UNIVERSITARIO
TEMA :
CUADRILÁTERO INSCRITO SEMANA N° 14
I. CUADRILÁTERO INSCRITO
II. CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE
1.- DEFINICIÓN
1. DEFINICIÓN
Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una circunferencia.
Es aquel cuadrilátero que puede inscribirse en una circunferencia.
B C
B C
D
A D
A
ABCD Inscriptible NOTA
Para que un cuadrilátero sea inscriptible debe cumplir con las propiedades del cuadrilátero inscrito.
ABCD Inscrito
2.- PROPIEDADES
PROBLEMAS RESUELTOS
2.1.
1).- Según el gráfico, halla el valor de “x”.
80°
x
Solución :
+
80°
= 180°
Del gráfico: * + = 100° Luego : x + + = 180°
=
2.2.
x
x = 80°
2).- Según la figura AB es diámetro, halla “x + y”. A x
=
y
=
B
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5).- En un trapecio rectangular ABCD, de bases AB y CD (AB CD) y altura AD, se trazan las perpendiculares BH y DM a la base mayor y al lado no paralelo BC respectivamente. Si m AMD = 40°, entonces el ángulo DAH, mide: Solución: B
Solución :
A
Del gráfico: * 2 + 2 = 180° + = 90° También : x + = 180° ....(I) y + = 180° .....(II)
2 x
y
(I + II) x + y + + = 360°
40°
x
40°
M
2 B
x + y = 270°
C H D En la figura ABMD es inscriptible entonces: AMD = ABD = 40° x = 50°
3).- Si BC = CD, mBC = 40° y mAE = 90°, halla “x”. B
O
A
6).- En un triángulo ABC, sobre BC y AC se ubican los puntos P y Q. Si el ángulo PAQ mide 30° y m ABP = mPQC = 68°; entonces el
C x
ángulo ABQ mide : Solución: B
D
E
Solución :
Por dato : BC CD mBC = mCD = 40° mCOD = 40° También : A * m AE = 90° * Por interior: 90 40 65 m OPE = 2 mBED = 40° EOPD Inscriptible
x
B
P x
40°
O
P
C
65°
x
D
40°
E
68°
30°
A
C
Q
*En la figura se observa que el cuadrilátero ABPQ es inscriptible. Entonces: ABQ = APQ = x En el APQ, por ángulo exterior:
x = 65°
x + 30° = 68°
4).- Según el gráfico, halla el valor de “x”.
x
x = 38°
70
CUESTIONARIO 1).- Si: TM = OM, halla m MBA, “O” es centro y “M” es punto de tangencia.
Solución :
Por propiedad : * mOAB = mTCR =90° Obs: ABCD Inscriptible m ACB = x Luego por ex-inscrito: B mACR 110 X= 2 2 X = 55°
T
M
A
x
D
70° O
110
T
B
O
A
x C R
a) 72° d) 60°
b) 50° e) 67°30’
c) 75°
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2).- “D”, “E” y “F” son puntos de tangencia; “M” y “N” son puntos medios de DF y EF respectivamente y m B = 80°, halla “mMPN”. B P E
D
N
M A
C
F
a) 58° d) 65°
b) 70° e) 60°
c) 40°
3).- En el siguiente gráfico; m EAD = 45°, m ADB = 80° y m DCB = 140°, halla “mAE”. D C E
A
B
a) 30° d) 40°
b) 15° e) 45°
c) 20°
4).- Si: “O” es centro, mBD = 30° y PC = OB, halla : m P. D C P
A
a) 10° d) 25°
O
b) 20° e) 30°
B
c) 15°
5).- En la figura adjunta: m DFE = 100° y m ACD = 30°, halla: m ABD. C
F
7).- AB y CD son dos cuerdas de una circunferencia que se cortan perpendicularmente tal que: m BAC = 35°, halla la medida del ángulo ABD. a) 70° d) 55°
b) 35° e) 60°
8).- En una circunferencia de centro “O”, se inscribe el cuadrilátero ABCD, tal que AB es diámetro y m BCD = 125°, halla: m ADB + mDAB. a) 105° b) 120° c) 130° d) 145° e) 150° 9).- En una circunferencia de centro “O”, se ubican los puntos consecutivos “A”, “B” y “C”. Si: mAB = 120° y m OBC = 45°, halla: mOAC. a) 30° b) 15° c) 75° d) 5° e) 45° 10).- Las tangentes en “A” y “B” a una circunferencia forman un ángulo que mide 54°. “C” es un punto cualquiera del menor arco AB. Halla: m ABC. a) 108° b) 124° c) 126° d) 117° e) 110° 11).- En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) mBFE = 32°, siendo “E” y “F” los puntos de tangencia sobre los lados AB y AC determinados por la circunferencia inscrita. Halla : m B. a) 42° b) 36° c) 52° d) 62° e) 50°
E
M
L D a) 55° d) 65°
b) 60° e) 85°
c) 45°
12).- Si: m LAM = 90°, halla: m KQN, siendo “K”, “L”, “M” y “N” puntos de tangencia. K A N
B A
6).- En una circunferencia se tiene los puntos consecutivos: “A” , “Q”, “B” y “P” tal que: mAP = 50°, AB y PQ forman un ángulo de 30°. Halla: mBQ. a) 10° b) 15° c) 25° d) 30° e) 18°
c) 50°
Q
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a) 50° d) 45°
b) 60° e) 40°
c) 30°
17).- Calcula x: x
13).- Desde un unto “P” exterior a una circunferencia se trazan las tangentes PA y PB , luego se ubica el punto “C” en el arco mayor AB. Halla m HBC, si: BH AC y m APB = 70°. a) 25° b) 30° d) 35° e) 45°
c) 40°
14).- En la siguiente figura : m EGF = 80°; halla: m D. B
40° a) 110° d) 140°
b) 120° e) 150°
18).- Calcula “x”, si m ABC = 60° B
D
C
x
F
20°
C
E
G
D
A a) 20° d) 50°
A a) 95° d) 130°
c) 130°
b) 100° e) 120°
c) 105°
b) 30° e) 39°
c) 40°
19).- Calcula “x”, si: mPQ = 60° Q P
15).- Halla m A, si: x = 40° B
x
x
a) 30° d) 120°
Q
P
b) 60° e) 180°
c) 90°
20).- Calcula x en la figura.
A
C
H
a) 80° d) 70°
b) 60° e) 50°
80°
x
c) 40°
16).- Circunferencia concéntricas de centro “O”, mBOA = 120° y m OBA = 20°, halla: mFG. a) 80° d) 90°
A
B
a) 20° d) 15°
F G
1) e 5) a 9) b 13) d 17) d
O
b) 10° e) 30°
c) 18°
b) 100° e) 35° CLAVES 2) d 3) a 6) a 7) d 10) d 11) c 14) b 15) c 18) c 19) b
c) 120°
4) a 8) d 12) d 16) a 20) b
“Planificación Estratégica para una Educación de Calidad” COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS 4° Preuniversitario
TEMA : PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Tema N° 03
1)
Contenido N° 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6 – 9.1, 9.2, 9.3, 9.4
TEOREMA DE THALES
4)
Semana : 16,17 y 18
TEOREMA DE CEVA B
L1 // L2 // L3
D
A
L2
E
B
F
C
D
BC
DE EF
TEOREMA DE LA BISECTRIZ
A
5)
TEOREMA DE MENELAO x
AD
C
F
B
E
O
L3 AB
2)
AD . BE . CF = DB . EC . FA
L1
b
AB
DC
a
BC
y z
A
D
C
a .b. c = x. y. z °
B
AE
3)
AB
EC
°
A
C
BC
6)
CASO GENERAL SEMEJANZA B
E
TEOREMA DEL INCENTRO B
A I
°
°
: Incentro E
I
BI ID
A
D
DE
AB BC AC
C
°
D
°
F
C
Colegio Privado
2
D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
3).- Calcula x en la figura : L 1// L 2 // L 3 AB y DE
lados homólogos
BC y EF
2x
3k
AC y DF
8
4k
AB
DE
BC
EF
AC
Solución : Por el teorema de Thales :
DF
“También Se pueden dividir cualquier par de elementos homólogos: Alturas, medianas, bisectrices, inradios, ............... ”.
3k 4k
2 8
x =3
4).- Halla : “CR – AR”, si : AB=5; BC=7 y AC=6 B
PROBLEMAS RESUELTOS 1).- Halla “PQ” si : PQ// AC B 2
A Q
P 6 A
C
12
C
R
Solución : Se sabe : CR 7 AR 5
CR = 7k AR=5k
Solución : En la figura : PQ 2 12 8
Entonc es :
AR + CR = AC 5k + 7k = 6 k =½
PQ =3 Luego :
2).- En la figura : AB BC
CR – AR = 2k
2 ; si : DE=3 5
CR - A R = 1
Calcula : “2 EF ”, si : L 1// L 2 // L 3 A
5).- Halla “CP”,m si : AC = 12 y AB = 3 BC
D
B
E
B C
F A
Solución : En la figura : AB DE 2 BC EF 5
Solución : Se sabe : CP AP
BC AB
A d em ás : D E=3 EF = 7,5
P
C
CP = 6
CP 12 CP
BC 3BC
Colegio Privado
3
D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
6).- En la figura: m ABE = m EBD = m DBC=45°, AD=5 y EC=12. Calcula : “AC” B
A
E
C
D
Solución : En la figura : B
E 5
17-x
x-12
*
x
x5
AB=9, BC=6, CD=3x, EG=25 y FH=20. Calcula GH y CD. a) 6 y 10
A
b) 10 y 6
B
c) 10 y 3
C
d) 6 y 3
D
C
D x-5
x 12 17 x
e) 91
m n
x5
b) a
A
L4
E
3k B
F
2k C
14 G
4k D
H
L1 x
a
c) a+2
x = 15
CUESTIONARIO
L x+a
2a
L2
e) 3a
1).- Si L1 // L2 // L3 . Calcula x.
5).- Calcula “x”, Si L//L 1//L2, BC=x+3, DE=x+2, EF=x+5
a) 12 L1
b) 14
21
L2 42
AB=x+1,
a) 0,5
7
c) 16
e) 20
L3
2
d) a
d) 18
G
a) 2a
2
L2
4).- Las rectas L, L 1, L2 son paralelas, Calcula “x”.
x
x – 17x + 30 = 0 x -15 x -2
F
a) 66
d) 77
c) 87
L1
H
b) 67
x
Entonc es : x 12 17 x
E
3).- L1 // L2 // L3 // L4 . Calcula EG+FH
tam b ié n :
2).- L1 // L2 // L3 // L4 .
12
m n
e) 4 y 5
n A
45
45 45 45
m
A
D
L
b) 1
x
L3
B
E
L1
c) 1,5 d) 2 e) 2,5
C
F
L2
Colegio Privado
4
D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
6).- La sombra proyectada por una torre de dos pisos es 25m, el primer piso mide 18m y el segundo 12m. Calcula la longitud de las sombras proyectadas por cada piso. a) 5 y 7 d) 2 y 4
b) 10 y 15 e) 7 y 6
c) 11 y 15
12).- Calcula PM, Si PM+QN=4. a) 13/6
En
un
triángulo
rectángulo
(mB=90°) se traza la altura
P
b) 12/5
bisectriz interior AF las cuales se cortan
BC
3 4
,
Q
M
ABC,
BH y la
AB
B
c) 12/7 7).-
PQ // MN// AC ,
N
d) 14/3 A
C
e) 15/4
en G. Calcula BG , si AB=6 y AC=10. a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
13).- En un triángulo ABC: AB=7, BC=5, AC=6, la circunferencia inscrita es
e) 5
tangente al lado AC en D, se traza la 8).- Calcula “ AB ” a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
B
bisectriz exterior BE . Halla DE.
a) 1
x+1 4
c) 13
d) 15
e) 17
14).- El perímetro de un triángulo ABC es 28,
4
4x
A
b) 10
BC=10, se traza la bisectriz interior AS .
C
BS SC
Halla AB, si: a) 10
9).- Calcula 2 BD AD .
b) 7,2
2 3
c) 8
d) 8,5
e) 7,5
B
a) 25 b) 24 c) 30 d) 35 e) 40
15).- En un triángulo ABC las bisectrices 32
D
A
9
interiores AE, BF, CD se cortan en “I”, Halla
IE/AE, si:
27
IF BF
ID CD
5 8
C
a) 3/4
b) 3/5
c) 3/6
d) 3/7
e) 3/8
10).- Calcula” BC ”. 16).- En un triángulo ABC ( AB BC ) se traza
B
a) 12 b) 5 c) 1 d) 3 e) 4
la bisectriz exterior BF de modo que BC=8, 2AC=5CF. Halla AB.
4 a
a) 16 b) 28
a+4
c) 12
d) 24 e) 20 2
A
8
C
17).- La mediatriz del lado AC de un triángulo ABC corta a
11).- Calcula x+y, si: MN // PQ // AC
– 1
b) 5
M
c) 6
5 P
d) 7
x
en F y a la
prolongación AB en E. Halla BE, Si AB=12 y FC=6BF.
B
a) 4
BC
1
a) 1,5
b) 2,5
c) 2
d) 2,4
e) 3
N
18).- El perímetro de un triángulo ABC es 36cm, Calcula AC si el segmento que une el incentro con el baricentro es paralela a
x+3 Q y
. a) 8 AC
e) 8
A
C
b) 9
c) 12
d) 18
e) 24
Colegio Privado
5
D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
19).- En un triángulo ABC, se toman los puntos D y E sobre AB , M y N sobre
BC
( BE BD ) de modo que DM // EN // AC , BD=x, DE=x+2, EA=4, BM=3, MN=y+1, NC=6. Halla “y”. a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
25).- ABCD es un paralelogramo. Halla x, si BM=2MD
20).- En la figura halla “EF”
B
C
a) 3 b) 8 c) 5 d) 6 e) 7
x P
10 M
D
A
B
a) 4 b) 6 c) 10 d) 5 e) 9
26).- Halla x. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5/2 e) 7/2
6 E
15
F
A
18
C
12
a) 3 b) 5 c) 2 d) 4 e) 8 A
E
C
C
C
A
a) 10 d) 48
C
R
23).- Halla EC si AB=12m y BE=4m a) 28m B b) 29m c) 30m E d) 32m e) 36m
b) 20 e) 58
c) 30
29).- Los lados de un triángulo ABC miden 4,7 y 10 cm. Si otro triángulo semejante al primero tiene un perímetro de 147 cm. Cuál es la longitud de su lado menor? a) 28
b) 24
c) 32
d) 49
e) 43
C
A
24).- Calcula la altura h, si EF//AC, EF=6; AC=8; EN=2 B a) 9 b) 10 c) 8 d) 7 e) 9,5
6
28).- Las base de un trapecio miden 8 y 12 y los lados no paralelos15. Halla el perímetro del menor triángulo que se forman al prolongar los lados no paralelos.
A
E
x
27).- Halla FC si AC=6m y BC=4m EF//AC y EF=FC a) 2,4m B b) 2,8m c) 3,1m d) 2,6m E F e) 2,9m
22).- En el gráfico: AB=10, BC=5, AC=12. Halla : AR. RC. B a) 32 b) 24 c) 64 d) 16 e) N.A.
2
A
21).- En el gráfico : AB = 2BC y AC= 5. Halla : CE. B
B
h
6
E
F
a) 19,2m d) 24,5
2 A
M
30).- Dos lados de un triángulo miden 5m y 9m, si la bisectriz del ángulo formado por dichos lados determina en el tercer lado, segmentos que difieren en 3m. Halla el perímetro del triángulo.
8
C
b) 20 e) 30,5
c) 22,5
Colegio Privado
6
D O S C I EN T A S M I L L A S P E R U A N A S
31).- Si ABCD es un cuadrado de lado 6m. Halla la distancia de “P” a “BC”. a) 1m M b) 2m C B c) 3m d) 4m P e) 5m
A
37).- Las bases de un trapecio miden 3 y 12, su altura mide 8. Halla la distancia del punto de corte de las diagonales a la mediana del trapecio. a) 2,5
b) 2,6
c) 2,4
D
E
a AC . a) 6
b) 9
c) 3
d) 2
e) 1
C
a) 9,5 b) 10 c) 10,5 d) 11 e) 11,5
39).- Calcula AQ+BC, Si PQ // BC ,
B
AP PB
8 , 5
PQ=12, QC=3. A
D
33).- Calcula AC, si AB=3, BF=5, FD=15.
a) 25
B
b) 24,32 P
D
c) 24,3
B
d) 24,35 A
e) 24,5
C
F
A
34).- Los lados de un triángulo miden: 5, 12 y 13. Halla la porción de mediatriz del lado que mide 13 y que se encuentra limitado por el lado que mide 12. a) 65/24 d) 24/65
b) 64/13 e) 69/24
c) 119/13
35).- En un triángulo equilátero se inscribe un cuadrado de lado “L”. Halla el lado del triángulo si un lado del cuadrado está sobre un lado del triángulo. a) L(2
3
+3)
b)
L 3
(2 3
3)
c) L(2
3
)
d)
L 3
(2 3
3)
e)
b) 16 c) 13
d) 14
Q
1)b
2)b
3)d
4)d
5)b
6)b
7)c
8)d
9)e
10)a
11)a
12)c
13)e
14)b
15)e
16)b
17)d
18)d
19)e
20)a
21)b
22)a
23)d
24)c
25)c
26)c
27)a
28)e
29)a
30)d
31)b
32)a
33)e
34)a
35)d
36)d
37)c
38)c
39)c
3
e) 15
C
CLAVES
4L
36).- La base de un triángulo mide 21, Calcula la paralela a la base que pasa por el baricentro y que se encuentra limitado por los otros dos lados. a) 17
e) 2
38).- Sobre los lados AB y BC de un triángulo ABC se toman los puntos M y N de modo que m BMN = m C, AB=12, AC=9 y BN=4. Calcula MN si es paralelo
32).- Calcula BC, si BE=6, AB=4, CD=9.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 13
d) 2,3
DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES
200 MILLAS
“Planificación Estratégica para una Educación de Calidad” COLEGIO PRIVADO
DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS
4° Preuniversitario
TEMA :
RELACIONES MÉTRICAS
Semana N° 19
Tema N° X
Contenido N° 10.3
I.- RELACIONES MÉTRICAS EN EL RECTÁNGULO Proyección ortogonal de un punto sobre una recta. Es el pie de la perpendicular trazada desde un punto hacia una recta.
b a
E
h n
m c
P D
F 1.-
C
2
a = cm
;
2
b = cn
2.- Teorema de Pitágoras: 2
P’ M
C’
D’
2
c = a + b
E’
2
2
3.-
h = m.n
4.-
a.b = c.h
N 5.-
M’
1
h
2
1
a
2
1
b
2
N’
II.- TEOREMAS 1.- En todo rectángulo cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. 2.- En todo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos. 3.- En todo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. 4.- En todo rectángulo el producto de los catetos es igual al producto entre la hipotenusa y la altura relativa a ella. 5.- En todo rectángulo de la inversa de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las inversas de sus catetos.
PROBLEMAS RESUELTOS 1.- En la figura, calcula el lado “AC”. A 30 B
18
Solución: Se sabe: 2 30 = 18.BC AC = 40
C
H
BC = 50
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2
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2.- Calcula la altura relativa a la hipotenusa. A 15
4
10
a
20
H
3a
Po r Pit ág o ras :
C
B
2
2
2
a + (3a) = (4 10 ) a=4 Lu ego el p erím etro es: a + a + 3a + 3a = 8a
Solución: Po r Pit ág o ras : 2 2 2 B C = 15 + 20 2 B C = 625 BC = 25 Luego: B C.H = 15.20
8a = 32
6.- Indica la proyección de un cateto que mide 6u sobre la hipotenusa que mide 9u.
H = 12
Solución:
3.- Calcula “H”. 6 H x 4
9
9
Se sabe: 62 = 9x
Solución : 2 H = 4 X 9 H=6
x=4
CUESTIONARIO
4.- Calcula “x”
1).- Calcula “x”. Si R = 12, r = 3 y QR = 24 R 40
x
x° P Q
41 Solución: Po r Pi tág o ras 2 2 2 2 (x ) = 41 -4 0 2 2 (x ) = 81
R
x
2
a) 53° d) 60°
9
x =3
Solución :
b) 45° e) 30°
c) 37°
2).- La base de un rectángulo es el triple de
5.- La base de un rectángulo es el triple de su altura. Si su diagonal mide ¿Cuál es su perímetro?
r
4
10
.
su altura. Si su diagonal mide es su perímetro? a) 60 b) 72 d) 96 e) 100
9 10
. ¿Cuál
c) 80
3).- Indica la proyección de un cateto que mide 6u sobre la hipotenusa que mide 9u. a) 2u b) 3u c) 4u d) 5u e) 6u
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3
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4).- Calcula la altura relativa a la hipotenusa en un triángulo cuyos catetos miden 6u y 8u. a) 3,6u b) 4,8u c) 5,2u d) 7,6u e) 3,8u 5).- En un trapecio rectángulo de bases 4 y 12u, la altura mide 15u. Calcula el perímetro de dicho trapecio. a) 36u b) 42u c) 48u d) 17u e) 40u 6).- Los lados de un triángulo miden 8, 15 y 16 que longitud se debe restar a cada lado que el triángulo resultante sea un triángulo rectángulo. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
11).- En la figura, calcula el cateto “b”. A
60
B
C
36
a) 10 b) 20
c) 30
12).- Calcula hipotenusa.
la
d) 80
altura
e) 50
relativa
30
a
la
40
7).- Calcula “R”. Si : AB = 3 y CD = 12. A B a) 24 b) 15
c) 18
d) 20
e) 25
13).- En el gráfico, halla “x”. E
R C a) 2
b) 4
D c) 6
d) 8
8).- En un triángulo rectángulo ABC. Se traza la altura BH. Si : AH = BC y AB.BH = 48. Calcula “BC”. a) 2 3 b) 4 3 c) 5 3 d)
22
e) 10 A
x
10
C
a) 2,2 d) 2,5
D
b) 2,3 e) 3
c) 2,4
e) 24
3
9).- En la figura, calcula la hipotenusa “a”. A
14).- Si ABCD es un paralelogramo. Calcula “QD”: además BP = 6 y PC = 4. B
P
Q
C
30 B
18
C
a
a) 10 b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
A a) 1
b) 2
15).- Si: AF
10).- En el gráfico, halla “x”.
O c) 3
x
D d) 4
e) 5
EF = 50. Calcula “BE”. B F
4 E x a) d)
2 3
2x b) 2 e) 1
c)
2 2
A
a) 12 b) 3
H c) 4
C d) 5
e) 6
