PROLOGMÁTICA 2009
Tercer Año
Tercer Año 1.
35 396 625 C) 1728 1 D) 2
De una tabla de distribución de frecuencias absolutas,
A)
con 5 intervalos de clase de igual amplitud se sabe que •
Sus marcas de clase forman una progresión aritmética cuya suma es 45 y el último término 15.
•
Las tres primeras frecuencias absolutas forman una progresión geométrica y las tres últimas
4.
•
5 8
E)
1 99
¿Cuántas soluciones enteras posee la ecuación x+y+z=20 con x ≥ 2; y ≥ 3; z ≥ 4?
una progresión aritmética, las razones de ambas •
B)
progresiones son iguales.
A) 84
El producto de la primera y la tercera frecuencia
C) 100
absoluta es 100.
D) 120
B) 90 E) 78
El producto de la tercera y la quinta frecuencia 5.
absoluta es 480.
Una caja contiene 10 transistores de los los cuales 2 son defectuosos. Se selecciona un transistor de la caja y
Halle la media.
se prueba hasta que se escoge uno no defectuoso. A) 9,85
Halle el número esperado de veces que el transistor
B) 10,851
se escoge.
C) 11,25 D) 11,825
E) 12, 12,751 751
A) 11/9
B) 5/3
C) 11/3 2.
Un grupo de personas han sido divididos en dos
D) 13/9
E) 17/9
bandos A y B. Si en cada bando se quisiera formar comisiones de tres personas, en A se podría hacer
6.
Si P es un polinomio de grado n que cumple las condiciones
de 35 maneras y en B de 20 maneras. En B hay igual número de varones que de mujeres y el número total de mujeres es igual al número de personas del
•
P(1)=a
•
P(2 x+1)= P(2 x –1)+8 x
Calcule el valor de P(15).
bando B. ¿Cuántas parejas compuestas por un varón y una mujer se pueden formar, si ninguna pareja debe
A) a+24
contener ambas personas de un mismo bando?
C) a+22 D) a – 224
A) 42
E) a+224
B) 21 7.
C) 26 D) 78
B) a+242
Sean x; y; z números reales que verifican la relación x2+ y2+ z2=1; además A es el mayor valor y B es el
E) 35
menor valor que verifica la desigualdad 3.
Si tenemos en una caja caja 5 libros de Aritmética y 7 libros de Geometría, todos del mismo tamaño y ancho. Si se extrae aleatoriamente libro a libro y sin reposición.
A ≤ xy+xz+yz ≤ B
Halle A · B. A) 1/2
¿Cuál es la probabilidad de extraer el primer libro de
C) –1/2
Aritmética en la cuarta extracción? extracción?
D) – 2
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B) 2 E) –1
1
1. er Concurso Nacional de Matemática 8.
PROLOGMÁTICA 2009
13.
Dado el conjunto
3 x 2 − 8 x + 1 8 = + A = x ∈R 7 x − x x
2
x
Determine cuántos enteros satisfacen 2 x · (4 – x)=2 x+4
A) 5
hallar el cardinal de A.
B) 4 A) 0
C) 3
B) 1
D) 2
C) 2 D) 3 9.
E) No existen valores enteros.
E) 4 14.
Resuelva para x
Sabiendo que la ecuación x4+ax3+ bx2+ax+1=0; a y b ∈ R; presenta al menos
una raíz real; halle el mínimo valor que toma a2+ b2.
x2+(a+2 b) x+b2+ab+c x+b = x2+(2a+b) x+a2+ab+d x+a
A) 4/5 ad – bc
A)
B)
b – c
bc – ad
C) 3/4
a – d
D) 3/5
B) 5/4 E) 5/3
db – ac
C)
15.
c – d ac – bd
D)
E)
a–c
Indique cuántas soluciones reales presenta 17 + 8 x − 2 x 2
ab – cd
+ 4 + 12x − 3 x 2 = x 2 − 4 x + 13
a – d
A) 0 10.
C) 2
Dado el polinomio f ( x)=ax2+bx+c; donde a, b, c son números reales, a ≠ b, tal que
D) 3
∀ x ∈ R: f ( x) ≥ 0, con
esta información determine el menor valor positivo a+b+c de E= . b – a
B) 1
16.
E) 4
En un triángulo rectángulo ABC , recto en B, se trazan la bisectrices interiores CN y y AM ( ( N en en AB y M en en BC ). ). Si AN =4 =4 y CM =6; =6; calcule el inradio del triángulo ABC .
A) 1
B) 2 A) 2,4
C) 3 D) 3/2
B) 1,2
C) 2,0
E) 5/2
D) 3,0 11.
Si x1 es una solución de la ecuación 3 x 2 − 2 x − 3 2 x 2 − 3 x
E) 1,8
=
17.
2 10 x 2 + 3 x − 18 3
En el gráfico se muestra un cuadrado ABCD de centro O. Calcule el valor de x.
Indique M =( x1 –1) – 4 A) 1/4
B
B) 1/8 E
C) 1/16 D) 1/32 12.
C
37º/2
O
E) 1/81
F
x
Sean x e y números reales positivos que verifican A
x+ y=3 x 2 + 25 +
y2 + 1 = 3 5
Calcule el valor de 8 xy. A) 6
A) 60º
2
B)
127º 2
143º 2
B) 3
C)
E) 14
D) 75º
C) 10 D) 10/3
D
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E) 76º
PROLOGMÁTICA 2009
18.
Tercer Año
En el gráfico mostrado AB y BC son diámetros, T es
21.
Del gráfico, calcule tanθ.
punto de tangencia. Si m DB =106º y EF =4; =4; calcule el B
área de la región sombreada.
T 1
P T
T 2
M
D
E
A
C
A
O
C
B
F
A) 2
B) 1/2
C) 3/4 A) 8
D) 4/3
B) 6
E) 4
C) 9 D) 4 2
19.
22.
E) 6 3
Calcule el área sombreada.
Según el gráfico mostrado, mostrado, P y Q son puntos de tangencia. Calcule el valor de x.
B 6u
P
Q 6u
x
A
C
A) 3(1 – cotθ) u2 A) 14º
C) 3cotθ u2
B) 37º/2
D) 3(1 – tan θ) u2
C) 53º/2 D) 37º
E) 30º
B) (1+cotθ) u2
23.
E) tanθ u2
Si (a; b) es un punto perteneciente al tercer cuadrante y al lado final de un ángulo estándar
20.
Según el gráfico; P P,, Q y T son puntos de tangencia y
θ; reduzca la
expresión
L 1 // L 2 . Calcule x.
T
x
E = b a2 + b2 ⋅ cos θ cot θ
L 1
A) a
x
B) – b
C) – ab O
D) – a
Q
L 2
P
A) 22º30'
B) 15º
24.
Reduzca
sen K π+ +θ ; K ∈ Z. 2
π
A) (–1) K
B) (–1) K senθ
C) (–1) K cosθ
C) 18º30' D) 30º
E) ab
E) 26º30'
D) K sen senθ
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E) K cos cosθ
3
1. er Concurso Nacional de Matemática 25.
¿Cuál es el mayor mayor valor de la suma de los los dígitos de la
PROLOGMÁTICA 2009
28.
suma de los dígitos de un número de tres dígitos?
Hay un número que tiene 2009 dígitos dígitos y tiene tiene el patrón siguiente: 247935247935247935247935... Indique los últimos tres dígitos de este número.
A) 9
B) 10
C) 11 D) 12
A) 2; 4 y 7 E) 18
B) 5; 2 y 4
C) 3; 5 y 2 D) 7; 9 y 3
26.
E) 3; 2 y 4
Se trata de colocar los enteros del 1 al 7 en los círculos del gráfico, de tal manera que se obtenga la misma
29.
suma en cada hilera de tres círculos.
Un trimino es una figura formada por 3 cuadraditos de la siguiente manera:
; se quiere colocar triminos
sobre un tablero de 7×8 de manera que no hay 2
triminos que
sean adyacentes (que comparten un
lado).
adyacente triminos no
no adyacente
A) Es imposible.
y los
se superponen ni se desbordan del
B) La solución es única.
tablero. Halle la máxima cantidad de
C) Hay 2 números distintos que pueden ocupar el
puedan colocar.
triminos que
se
redondel central. A) 1
D) Hay 3 números diferentes que pueden ocupar el
B) 8
C) 9
redondel central.
D) 10
E) Hay 7 números distintos que pueden ocupar el
E) 11
redondel central. 30. 27.
En la figura, ¿de cuántas maneras podemos elegir
Una caja cúbica cúbica de 4×4×4 contiene contiene 64 pequeños
4 puntos, de tal modo que no se tengan tres de ellos
cubos que llenan la caja exactamente. ¿Cuántos de
colineales?
estos pequeños cubos tocan alguna cara lateral o el A) 375
fondo de la caja?
B) 420 A) 27
B) 32
D) 500
C) 48 D) 52
C) 445
E) 16
E) 600
Departamento Departa mento de Publicacione Publicaciones s Villa María, 28 de noviembre de 2009
4
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