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CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior nos entrenamos en el manejo de productos con expresiones algebraicas, mediante la aplicación de ciertas reglas. Ahora nos interesa realizar el procedimiento contrario, es decir, que dado una expresión algebraica, hallaremos los factores que la componen, a este proceso se le conoce con el nombre de Factorización. Es de suma importancia el dominio de la factorización en todo proceso matemático, ya que permite simplificar su desarrollo.
FACTORIZACIÓN CONCEPTO: Es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada en factores primos. CÁLCULO DEL NÚMERO DE FACTORES ALGEBRAICOS En general: Si:
N = Am . Bn . Cp
N . Fp = (M + 1) (n + 1)(P + 1) – 1 Ejem: 1) ¿Cuántos factores tiene la siguiente expresión? P = x3 (x + 1)2 (x – 3)4 ⇒ N . Fp = (3 + 1)(2 + 1)(4 + 1) – 1 = 4 . 3 5 - 1 N . Fp = 60 – 1 = 59 factores. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Estudiaremos aquí tres métodos básicos: 1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN: a) Factor Común Monomio Ejemplo: Factorizar: mx + my + mz mx + my + mz = m(x + y + z) Factor Común Observación: Si el factor común es un letra con diferentes exponentes en todos los términos, extraemos dicha letra con su MENOR EXPONENTE. b) Factor Común Polinomio Ejemplos:
(1) Factorizar: (a + b)x2 + (a + b)y + (a + b)z (a + b) está como factor en cada uno de todos los términos, luego (a + b) es el Factor Común Polinomio:
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(a + b)x2 + (a + b)y + (a + b)z = (a + b)(x2 + y + z)
PRÁCTICA I.
Factoriza los siguientes polinomios: (1)
ax + bx
(10) x2y – y – zy (2)
my – mz
(3) x2a + x2b
(4) m3y + m3t
(5) a2x + ay
(6) a3x – a2y
“El 40
(11) x2 + 2x
(12) a3 + 5a2 + 3a
(13) z3 + 3yz2 – z
(14) x2 + x
(15) x3 – xy – 5x
(16) 2mn + n3 (7) a2 + a (17) 5xy + 3y – ym
(8) a3 + a2 + a (18) x4 + 2x3 – x2
(9) a2b + b (19) 6a8 – a6
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(20) 10x9 – 9x10 II.
Factorizar los siguientes polinomios: (1)
(x – y)a + (x – y)b
(7)
(m3 + n4)a4 – (m3 + n4)b3
(2)
(a + b)m2 + (a + b)n
(8)
(x + y)3 – (x + y)4z
(3)
(x + y)a3 + (x + y)b2
(9)
(m + n – 1)x2 + (m + n – 1)x – (m
+ n – 1)
(4)
(a + 2b)x4 + (2b + a)y3
(10)
(a2 + b2)3a + (a2 + b2)5c + (a2 +
2 2
b)
(5)
(m2 + n2)x2 + (m2 + n2)y2
(6)
(a + b + c)x + (a + b + c)y
TAREA DOMICILIARIA I. Factoriza los siguientes polinomios 1)
3xy + 5xyz
3) 2)
7abc – 5abc2
6m2n – mn2
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4)
x2y + xy2 11)
5)
(x + y)(a + b) + (x + y)(m + n)
a3b – ab3
12) (m2 + n)(x – y) – (m2 + n)(2x + 5y)
6)
7)
8)
9)
10)
2a4b – 4ab4 – 6a4b4
13)
(x + y + z + w)a5 – (x + y + z + w)(b + c)
14)
(a + b + 1)2 – (a + b + 1)(x – 2) + (a + b + 1)
15)
(x4 – t)3y2 – (x4 – t)(y – 1) + (x4 – t)(y – 2)
16)
(y2 + y + 7)2c2 – (y2 + y + 7)(c – 3) + y2 + y + 7
5xyz3 – 3xy3z + 2x3yz
2x5 + 3x4 – 2x3 + x2
6a8 + 12a6 – 18a4 + 24a2
5a4b4 + 25a8b3 – 30a9b4
c) Agrupación de Términos En polinomios donde todos los términos NO TIENEN factor común, podríamos agrupar sólo aquellos términos que los tengan para aplicar luego Factor Común Polinomio. Ejemplos: (1) Factorizar: E = am – bm + an – bn Solución: Dos términos no tienen m como factor común, pero sí los dos primeros. Así mismo, todos los términos no tienen n como factor común, pero sí los dos últimos. Entonces, extraemos el factor común m a los dos primeros y el factor común n a los dos siguientes términos. Es decir: E = am – bm + an – bn E = m(a – b) + n(a – b)
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Observa que ahora podemos aplicar FACTOR COMÚN POLINOMIO, entonces decimos que la AGRUPACIÓN FUE CONVENIENTE; si no llegamos a esta situación, debemos ensayar otra forma de agrupar los términos, o en todo caso, cambiar de método. E = (a – b)(m + n)
(2) Factorizar:
F = a3 + a2 + a + 1
Solución. Los cuatro términos no tienen factor común, pero si agrupamos los dos primeros y los dos últimos, encontraremos como factor común polinomio a (a2 + 1), el cual puede ser escrito también así +( a2 + 1)
• Agrupamos los dos primeros y los dos últimos términos:
F = (a3 + a2) + (a + 1)
• Extraemos factor común a2 en el polinomio del primer paréntesis: F = a2(a +1) + (a + 1) • Extraemos factor común (a + 1) en todo el polinomio F: (3) Factorizar:
F = (a + 1)(a2 + 1)
G = 2x3 + 2x2 – x – 1
Solución: Para cambiar de signos a un polinomio sólo tenemos que encerrarlo en un paréntesis, precedido del signo negativo. Así: – a + b = – (+a – b) ó – (a – b) En nuestro problema, si agrupamos los dos primeros y los dos últimos términos va a ser necesario cambiar de signos a estos dos últimos términos para conseguir finalmente el factor común (4) Factorizar: H = 2a – 3b – 4ac + 6bc Solución Observa con mucho cuidado: Todos los términos no tienen factor común, pero sí los dos últimos, los cuales tienen a c como factor común. Además 4 y 6 pueden ser escritos como 2 x 2 y 2 x 3 respectivamente, lo que significa que el factor común de los 2 últimos será 2c. Para que en todo el polinomio H haya un factor común polinomio, conviene que en los dos últimos términos el factor común sea el opuesto de 2c, es decir – 2c.
• Agrupando los dos últimos términos, vamos a extraer el factor común –2c:
H = (2a – 3b) – 2c(2a – 3b)
• Extraemos factor común polinomio:
H (2a – 3b)(1 – 2c)
PRÁCTICA I.
Cambiar de signos a los siguientes polinomios (o “factorizar el signo – ”) (1)
–a –b
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(2)
–x –y
(14) –7m8 + 6m5 – 2 (3)
–3x – m
(15) 3x3 – 5x2 + 1 (4)
–2a + b (16) 7x – 5y – 3z
(5) –x2 – 1 (17) 3x – 5y + 1 (6)
–2x + 1
(18) 6mn – n2 – m2 (7)
1 – 3a
(19) a2 – 2ab + b2 (8) x2 – x – 1 (20) a2 – b2 (9)
2x – 3y – 2
(21) a3 – b3 (10) 3a – m + 1
(22) a3 + b3 (11) x – x – 1 4
2
(23) a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (12) –3x – y + z
(13) –2y – 5y + 1 2
II.
(24) x2 – 5x + 6
Factorizar los siguientes polinomios por Agrupación de Términos: (1)
“El 44
xy – zy + xt – zt
(3) x5 + x3 + x2 + 1 (2) a2b + a2c + d2b + d2c (4) a5 + a3 – 2a2 – 2
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(17) a2 – 3m + a2n – 3n (5)
ab + bc + xa + xc
(18) a2m – 3n – 3m + a2n (6)
mn + 1 + 2amn + 2a
(7)
x + y + 3xz + 3yz
(8)
x + 3xz + y + 3yz
(9)
x + 3yz + y + 3xz
(19) ax + bx – cx + ay + by – cy
(20) 3mx – 2nx + 3my – 2ny
(21) 7ay2 – 5bx3 + 7by2 – 5ax3
(10) 2m2n + 2m2 + n + 1
(22) 3az – 3bz – 3z – 3at + 2abt + 2t
(11) n + 2m2 + 1 + 2m2n
(23) am2 + bm2 + an2 + bn2
(12) 2m2n + n + 2m2 + 1
(24) bm2 + bn2 + am2 + an2
(13) 3axy + 3axz + y + z
(25) .x2m2 + x2t2 + y2m2 + y2t2 (14) y + 3axy + 3axz + z
(26) y2t2 + x2m2 + y2m2 + x2y2 (15) z + 3axy + y + 3axz
(27) w2x5 + 3w2 – t3x5 – 3t3 (16) ax + a + bx + b (28) ax – ay – cx + cy + bx – by
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(30) 2a2y – 2b2y – 2cy – a2 + b2 + c (29) 5a2x + 3a2y – 5b3x – 3b3y
2. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES Este método se basa en los PRODUCTOS NOTABLES, a los que también se les llama IDENTIDADES ALGEBRAICAS, es decir: Si se nos proporciona un polinomio cuya forma conocemos, podemos escribir la multiplicación indicada de factores que le dio origen. Consideremos 4 de estas identidades: a) Diferencia de Cuadrados (DC) / n ∈ |N
a2n – b2n = (an + bn)(an – bn)
La expresión factorizada, se lee así: “Suma de las raíces cuadradas multiplicada por la diferencia de las mismas” an bn Ejemplos:
(1) Factorizar:
x4 – y2
Solución:
PRÁCTICA 1) Extraer la raíz cuadrada de las siguientes expresiones algebraicas: (Considerar sólo la raíz positiva) EXPRESIÓN ALGEBRAICA
RAÍZ CUADRADA
EXPRESIÓN RAÍZ EXPRESIÓN ALGEBRAICA CUADRADA ALGEBRAICA
4x2
100x2y6
(3x – y)8
(yz)2
25a8b6c4
(5a - 2b2)4
y4
9x8y26
(m2 – 5b)8
16z10
a6b8c10
(a – b – c2)10
36x2y2
(x + y)6
(a4 + 1)6
2) Factorizar:
RAÍZ CUADRADA
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(1)
1– x2
(13) (x + 3)2 – 16
(2)
16 – y2
(14) (2a – 1)2 – 25 (15) 9 – (x2 + 1)2
(3)
a4 – b2 (16) a2 – (b2 + 1)2
(4)
4x2 – y2 (17) 4 – (5 – x)4
(5)
–a2 + b2 (18) 1 – (a – b)2
(6)
25x2 – 9y2
(7)
35a8 – b2
(8)
100 – y8
(19) (a + 2b)2 – 36
(9)
1 – 25x6
(20) x2y2 – a4b4
(10) 36 – z10
(21) (a + b – c)2 – 100
(11) (m – 1)2 – n2
(22) (a + b + c)2 – (x + y – z)
(12) 49x4 – 4y2
(23) (x – y – z2)2 – 100
TAREA DOMICILIARIA (1)
(2)
(3)
Factorizar: (m2 – n)2 – 49 (4)
(7x2 – 1)2 – y4
(5)
(3mn – n2)2 + t8
(6)
(x + y)2 – (m + n)2
(3x – y)2 – 64
(a – 5x2)2 – y2
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(10) x4y10z2 – 1 (7)
(a + 2b)2 – c2 (11) 9 – 4a2b4c6
(8)
(3x – y)4 – z18 (12) (a + 2b)2 – (c + 2d)2
(9)
(xy)2 – (ab)2 (13) 1 – (xyzw)8
b) Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) a2n + 2anbn + b2n = (an + bn)2
an
/
n ∈ |N
bn 2anbn
Ejemplos:
(1) Factorizar:
E = 25 + 20y + 4y2
Solución:
PRÁCTICA I.
Completar el siguiente cuadro: D P
R
R
P a
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x
x
3
2
2 m x 4 9 2 a x a
II.
Factorizar:
(1) x2 + 10x + 25
(10) 4a16 + b2 + 4a8b
(2) x2 – 12x + 36
(11) 2y2 + 1 + y4
(3) 4x2 – 4x + 1
(12) 6x2y3 + 9 + x4y6
(4) 49a2 – 28a + 4 (13) x2 + y4 – 2xy2 (5) 9t2 + c2 – 6tc (14) 4x6 + 9y4 – 12x3y2 (6) x2 + 25y2 – 10xy
(7) 48m3 + 64m6 + 9
(15) 144 + a24 – 24a12
(16) 2xa + x2a + 1
(8) m2 + 49n4 – 14mn2 (17) m16 + 2m8t2 + t4 (9) 100x2 + 1 – 20x (18) (t + 5)2 – 2(t + 5) + 1
(
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(20) 60(m – 7) + 100(m – 7)2 + 9
(19) 49 + 4(m + 3) – 28(m + 3) 2
TAREA DOMICILIARIA
(1) 4x10 – 12x5 + 9
(6) (z + 3)2 + 16 – 8(z + 3)
(2) 12y2 + 1 + 36y4
(7) 1 + 4(x – 3)2 – 4(x – 3)
(3) 20x5y2 + 4x10 + 25y4
(8) 25 – 20(y – 1) + 4(y – 1)2
(4) (x + 5)2 + 2(x + 5) + 1
(9) 12(1 – z) + 1 + 36(1 – z)2
(5) (y + 2)2 + 6(y + 2) + 9
(10)
9 + 12(5x + 1) + 4(5x + 1)2
3. MÉTODO DE ASPAS a) Factorización por Aspa Simple: ¿En qué consiste esta prueba? Factorizar:
10x2 + 23x + 12
Es decir: 10x2 + 23x + 12 5x 2x
+4 +3
Ejemplo: (1) Factorizar: M = 3a2b4 – 8ab2c + 5c2 Solución
• Aplicamos la prueba del aspa:
M =
3a2b4 – 8ab2c + 5c2 ↓ ↓
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3ab2 ab2
– 5ac –c
• Escribimos el polinomio factorizado: M = (3ab2 – 5c)(ab2 – c) b) Factorización por Aspa Doble Aplicamos este método en polinomios de SEIS términos que tengas la siguiente forma: Ax2n + Bxnyn + C + Cy2n + Dxnzn + Eynzn + Fz2n / n ∈ |N Ejemplos:
(1) Factorizar: E = 2x2 + xy – 6y2 – 5xz + 11yz – 3xz2 Solución • Aplicando dos veces la prueba del aspa simple: E = 2x2 + xy ↓ ↓ 2x – 3y x + 2y • Escribimos el polinomio factorizado como la multiplicación indicad de dos factores de tres términos cada uno, así: (2) Factorizar: F = 6x2 – 11xy + 3y2 + 7x – 7y + 2 Solución
– 6y2 – 5xy + 11yz – 3z2 ↓ +z –3z
E = (2x – 3y + x)(x + 2y – 3z)
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PRÁCTICA I.
Factorizar por Aspa Simple:
(1) x2 + 9x + 8
(11) m4 – 16 – 6m2 (2) a2 + 2a – 35
(12) 6m2 – 7m + 2 (3)
m2 – 8m + 12
(13) 14x2 + 29x – 15 (4)
21 + x2 – 10x
(14) x2 + 10x4 – 2 (5) c2 – 6c – 27
(15) 7m2 + 4 + 3m4 (6) 8t + t2 + 15
(16)3x7 + 10x14 – 1
(7) 2x – 3 + x2
(17) 15t4 – 39t2 – 16 (8) x4 + x2 – 6
(18) 2a2 + 8a4 – 3 (9) t6 – 6t3 + 5
(19) 4 + 24x10 – 35x5 (10) a10 – a5 – 20
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(22) 10x2y + 10x4 – 6y2 (20) 15a4 + a2b – 6b2 (23) 3a2 + 5ab – 2b2
(21) 6x10 – 5x5 – 6 (24) 21m8 – 17m4n + 2n2
II.
Factorizar por Aspa Doble:
(1) x2 + xy – 2y2 + 11yz – 2xz – 15z2
(6) 10a2 – ab + 11a – 6b2 + 13b – 5
(2) 7yz + 2x2 – 3xy – 3z2 – 2y2 – xz
(7) 2x2 – 5xy + 2y2 – 3y – 2
(3) a2 + 7ab – 4ac + 10b2 – 11bc + 3c2
(8) 14m2 + 3mn + m – 5n2 + 8n – 3
(4) x2 – 2y2 + 6z2 – xy + 5xz – yz
(9) 2a2 + 3ab + ac – 2b2 – 3bc – c2
(5) 2x2 + 4xy – 11x – 6y2 + 7y + 5
(10) 6x2 – xy – y2 + 5y – 6
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PROBLEMAS PROPUESTOS
(1) Si factorizamos ac4x4y – ab4c4y, ¿cuántos
d) 4
e) Ninguno
factores primos se obtiene? a) 5 d) 7
b) 6 e) 3
c) 4
(2) ¿Cuántos factores primos hay en la expresión x – y8? a)8 d) 4
b) 7 e) 1
c) 6
(3) Dar la cantidad de factores primos que se obtiene al factorizar x8 – y8 a) 8 d) 4
b) 5 e) 1
c) 6
(4) Uno de los factores que se obtiene al factorizar x9 – y9 es: a) (x + y) c) (x2 + xy + y2) e) (x – y)2 (5)
b) 3 e) Ninguno
c) 1
En el problema anterior, ¿cuántos factores primos de primer grado hay? a) 1 d) 5
(8)
c) 3
¿Cuántos factores primos de 2° grado se obtiene al factorizar: a4m + a4n – b4m – b4n? a) 2 d) 4
(7)
b) 5 e) 6
b) 4 e) 3
c) 2
¿Cuántos factores de primer grado se obtiene al factorizar la expresión F? F = a2x2 – b2x2 – a2y2 + b2y2 a) 1 d) 4
(9)
b) 2 e) 5
c) 3
¿Cuántos factores primos lineales se obtiene al factorizar P(a,b)? P (a,b) = 4a2b2 + 12ab3 + 9b4 a) 1
b) 2
a) 1 d) 4
b) 2 e) Ninguno
c) 3
(11) En Álgebra, factor (primo y no primo) de un polinomio es otro polinomio de grado diferente de cero que divide exactamente al primero, razón por la cual a un factor se le conoce también con divisor. Según eso, ¿cuántos factores tiene el polinomio factorizado: (a + 2b)2 (2a + b)? a) 3 d) 6
b) 2 e) 4
c) 5
(12) Dar un factor de P(x) si: P(x) = x4 + 6x8 + 9x12
¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar: ax2 + bx2 – ay2 – by2? a) 1 d) 4
(6)
b) (x2 – y) d) (x – y2)
(10) ¿Cuántos factores primos de segundo grado se obtiene al factorizar P(x)? P(x) = 25x6 – 10x4 + x2
c) 3
b) 3x4 c) (1 + 3x4) e) (1 + 3x)
a) 1 d) (1 – 3x)
(13) ¿Cuántos factores primos lineales se obtiene al factorizar P(x)? P(x) = x4 + 1 – 2x2 a) 2 d) 4
b) 1 e) Ninguno
c) 3
(14) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar la siguiente expresión? E = 2(a + b)xy + (a + b)y2 + ax2 + bx2 a) 2 d) 4
b) 1 e) Ninguno
c) 3
(15) Uno de los factores que se obtiene al factorizar: F = a2 (9a2 – 4) + (1 – 2a2) es: a) (a2 + 1) c) (a + 1) e) (a2 + 2)
b) (3a2 – 1) d) (a – 1)
(16) ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene la siguiente expresión? E = x3y2 – y5 a) 2
b) 3
c) 4
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d) 5
c) a8 d) (a2 – a + 1) e) (a + 1) (20) Dado el siguiente polinomio:
e) 1
(17) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar P(x,y)?
la división F : P debe ser tal que el residuo sea CERO. ¿Cuál de los siguientes polinomios puede ser tal expresión P?
P(x,y) = (x – y)x3 + xy6 – y7 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
F = (x + y)z3 + x + y
c) 3
a) (z2 – z + 1) c) (x – y) e) (z2 + 1)
(18) Dado el siguiente polinomio en x: P(x) = x8 – x2
b) (z – 1) d) (x2 – y)
¿Cuál de los siguientes polinomios no es divisor de P(x)? a) x d) (x2 + 1)
b) (x – 1) c) (x + 1) e) (x4 + x2 + 1)
(19) Dado el siguiente polinomio en a: P(a) = 7a16 – 7a7 ¿Cuál de los siguientes polinomios divide exactamente a P(a)? b) (a2 + a + 1)
a) (a – 2)
PRÁCTICA DOMICILIARIA
(1) Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de:
a) 1 d) 4
72 + x2 – 17x a) 72 d) –17
b) 15 e) –9
c) 9
(2) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar P(x,y)? P(x,y) = 2x3y – 5x2y – 3xy a) 1 d) 4
b) 2 e) ninguno
c) 3
P(x) = 4x2 + x4 – 5 b) 5 e) 4
c) 3
c) 3
factorizar (5x4 – 1) – (x2 + 3) es: b) (x2 + 1) e) (2x + 1)
b) 2 e) 5
(5) Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de P(x) si:
a) 1 d) 0
(3) Uno de los factores que se obtiene al a) (x – 2) d) (x3 + 2)
a3bc – a2b2c – 6ab3c
c) (x + 1)
(4) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar?
(6) ¿Cuántos factores primos de segundo grado se obtiene al factorizar 9y6 + 26y4 – 3y2 ? a) 2 d) 4
b) 3 e) ninguno
c) 1
(7) ¿Cuántos factores primos de 3° grado se obtiene al factorizar: 2x6y3 – 13x3y3 – 24y3 ? a) 2
b) 3
c) 4
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d) 5
4x4y + 4y – 17x2y ?
e) 1
(8) ¿Cuántos factores primos lineales se obtiene al factorizar
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
ECUACIONES Concepto: Es una igualdad de 2 expresiones algebraicas que se verifica o satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas. Ejem: 3x + 2 primer término
=
4x + 1
= =
4(1) + 1 5
, para x = 1
segundo término 3(1) + 2 5
CLASES DE ECUACIONES
I. Ecuaciones compatibles: Es aquella cuyo conjunto solución tiene por lo menos un elemento. Éstas a su vez pueden ser:
II. Ecuación incompatible: Denominado también absurdo o inconsistente; es aquella cuyo conjunto no presenta ningún elemento. X2 + 5x + 1 = x2 + 5x + 3, 1 ≠ 3x
x(x + 3)+ 2 = 3(x + 1) + x2 2 ≠ 3
III. Ecuaciones equivalentes: Dos ecuaciones son equivalentes si sus conjuntos solución poseen los mismos elementos. 4x – 8 = x + 7
x=5
2x + 8 = 20 – 3x
x=5
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE EN IR Ejemplos: 1)
Resuelve: 7x – (2x – 6) = (x + 1) – (3x + 2) 7x – 2x + 6 = x + 1 – 3x – 2 7x = –7 x = –1
2)
Resolver: x2 + 5x – 3 = x(x + 1) – 2
3)
Despejar “x” en:
ax + b = cx + d incógnita,
Nota.- Resolver una ecuación equivale a despejar la
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por lo cual daremos los pasos necesarios para que “x” aparezca una sola vez en uno de los miembros de la formación.
4)
5m(x – 1) – (7x + m) = nx + 1 despejar “x”
Resolver: 5)
(x + 2)(x – 2) + 3x – 1 = 2 + x(x + 2)
6)
¿Cuál es el valor de x que hace que P(x) se anule? P(x) = 2x + 5 – 1 – x – 2 3 2 6
7) definida:
Calcular el valor de x, para el cual, la siguiente fracción no está
6x – 5 5x – 3 – x – x 3 4 6 12 _
8)
Resolver: 3x – 3 = √3 (3 – x)
EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver las ecuaciones siguientes: (1) (8x + 4) – (5x – 6) = x + (–3x + 20) (5) 5(x + 7) = 4x – 2(x – 13) (2) 12 + 2x – (10 + x) = 4 + (5x – 6) (6) 24 – 4(x + 3) = 2(10x – 6) (3) 2x – (–6 + 3x) = 4x + x – (5x + 4)
(7) 3x(x + 2) – 9 = 3x2 + 4(x – 2) (4) 3(2x + 2) = 9(x – 1)
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(8) (x + 5)(2x – 4) = x(2x + 1)
(18) x – x + 5 = 3x 2
2
(9) x – 2(x – 3) = 4x2 – (x + 3)(4x – 1) (19) 7 + x – 3x = 0 3
2
(10) (x + 3)2 = (x – 2)2
(11) 9x(x – 1) = x + (3x – 2)2
(12) 4x2 – (2x + 1)2 = –13
(20) x – 1 + x = 2 + 3x 2
10
5
5
(21) x + 2x + 1 = 5x – 3 6
12
4
(13) (x + 4)(x – 4) = x2 – 2(x – 2) (22) x – 5 – x = 2 2
5
(14) (x – 1)2 – (x – 3)(x – 3) = 0 (23) x + 2 + x – 4 = 1 3
6
(15)(x + 4)(x – 2) = 6 + x(x – 5)
(24) x – x – 2 +1 = 5x 2
7
14
(16) 12x – (2x + 3)2 = 8x – (2x – 5)(2x – 3)
(25) x – 3 – x = 2 – x + 1 4 (17)(3x – 1)(3x + 3) = (3x + 2)(3x – 2)
6
12
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CAPÍTULO III
PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES (Enunciados Verbales) EXPRESIÓN SIMBÓLICA DE ENUNCIADOS VERBALES Expresar simbólicamente un enunciado verbal es traducirlo al lenguaje simbólico, donde los números y la variable se vinculan mediante operaciones para formar una ecuación. En el cuadro siguiente se muestran algunos ejemplos de la expresión matemática de problemas sencillos.
Problemas
El duplo de un número aumentado en 4 es igual a 16
La mitad de un número disminuido en 3 es igual a 2
El triple de un número aumentado en su mitad es 7
La suma de dos números enteros consecutivo s es –17 La edad de un padre es el cuádruplo
Elección de la variable y su relación con los datos x representa el número 2x es duplo 2x + 4 es su duplo aumentado en 4. x representa el número x es su mitad 2 x – 3 es su mitad disminuido en 3 2 x representa el número 3x es su triple 3x + x es su triple aumentado en 2 su mitad x representa el número menor (x + 1) es su consecutivo x representa la edad del
Ecuaci ón
2x + 4 = 16
x–3= 2 2
3x + x =7 2
x + (x + 1) = –17
x + 4x = 45
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de la de su hijo y ambas edades suman 45 años
hijo 4x es la edad del padre x + 4x es la suma de las edades x representa el dinero de Pedro (x + 10) es el dinero de Juan (2x + 10) es el dinero de Carlos
Juan tiene 10 soles más que Pedro, Carlos tanto como Juan y Pedro juntos y el dinero de los tres suman 100 soles
x + (x + 10) + (2x + 10) = 100
EJERCICIOS DE AFIANZAMIENTO (1) Calcular el número cuyo triple disminuido en siete unidades resulta 326.
edades es 2 años, ¿cuál será la diferencia de estas edades dentro de 17 años?
(2) Hallar el número cuyo duplo aumentado en su mitad da como resultado 90.
(7) La suma de 2 números es 300 y su diferencia 42; ¿cuál es el número mayor?
(3) El triple de la edad de José aumentado en un año, es igual al duplo de su edad aumentado en 13 años. ¿Cuál será la edad de José dentro de 13 años?
(8) La edad de Ernesto es el triple de la de Jaimito; si ambas edades suman 52 años, ¿cuántos años cumple Jaimito el próximo año?
(4) Alberto tiene 6 años menos que Víctor. Si la suma de ambas edades es 16 años, ¿cuál es la edad de Víctor dentro de 2 años?
(9) Al comprar un libro, un buzo y una mochila pagamos por todo S/. 50. Si el buzo cuesta 6 veces lo que cuesta la mochila y el libro cuesta S/. 15 menos que el buzo; calcular el precio de la mochila.
(5) La edad de Maritza y de Gladys suman 20 años. Si Maritza es mayor que Gladys por 4 años, ¿qué edad tuvo Maritza el anteaño pasado? (6) La suma de las edades de Héctor y Octavio es 26, si la diferencia de estas
(10) Al preguntársele a un hombre por su edad, responde: “Si al triple de mi edad le quitas 12 años, obtendrás lo que me falta para tener 100 años”. ¿Qué edad tenía hace 12 años?
TAREA DOMICILIARIA (1) Pedro tiene 6 años menos que Víctor. Si la suma de ambas edades es 18 años. ¿Cuál es la edad de Víctor dentro de 2 años? a) 10 d) 13
b) 12 e) 9
c) 14
(2) La suma de dos números es 300 y el mayor es mayor por 42. ¿Cuál es el mayor?
a) 129 b) 87 c) 171 d) 180 e) 150 (3) La edad de Ernesto es el triple al de Jaime si ambas suman 52 años. ¿Cuántos años tendrá Ernesto el otro año? a) 13 d) 39
b) 26 e) 50
c) 30
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(4) El mayor de 2 números es 3 veces el menor. Si la suma es 28, hallar el mayor. a) 7 b) 12 c) 14 d) 21 e) 25 (5) 2 números consecutivos pares suman 22. Hallar el menor. a) 8 d) 14
b) 10 e) 2
c) 12
(6) David es 3 años mayor que su esposa, si ambos suman 41 años, ¿cuántos tendrá David el otro año? a) 18 d) 20
b) 19 e) 23
c) 21
(7) Si al triple de mi edad le quitas 12 años, obtendrás lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad tenía hace 12 años? a) 28 d) 30
b) 16 e) N.A.
c) 40
(8) La suma de dos números es 300. Si el doble del menor excede en 40 al mayor aumentado en 80. ¿Cuál es el número menor? a) 120 b) 140 c) 130 d) 170 e) 160 (9) Si la suma de 2 números es 352 y la diferencia es 24. Hallar el mayor. a) 180 d) 188
b) 164 e) 160
a) 16 d) 22
b) 18 e) 24
c) 20
(11) Entre Abelardo y Tina tienen S/. 50.00. Si Abelardo tiene 8 soles menos, ¿cuánto tiene Tina? a) 21 d) 28
b) 22 e) 29
c) 23
(12) La edad del abuelo es 5 veces la edad del nieto. Si ambos suman 66 años. ¿Cuánto tiene el abuelo? a) 50 d) 44
b) 53 e) N.A.
c) 55
(13) El mayor de 3 números es el doble del segundo y mayor en 20 que el primero, si suman 100. Hallar el segundo. a) 23 d) 28
b) 24 e) 29
c) 48
(14) 3 números consecutivos suman 42. Hallar la suma de los dos primeros. a) 25 d) 28
b) 26 e) 30
c) 27
(15) El duplo de mi edad más 13 años es igual al triple más uno. Hallar mi edad. a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
c) 184
(10) La edad de Ena y Lucía suman 20 años. Si Ena es mayor por 4 años, ¿qué edad tenía Ena el anteaño pasado?
SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Forma General: ax + by = c dx + ey = f
Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar el valor de las incógnitas que satisfagan simultáneamente a las ecuaciones o demostrar que tal sistema no tiene solución. Ejemplo:
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Resolver: x + y = 12 2x – y = 15
,
los valores que satisfacen para x e y son: x=9 e y=3
y comprobamos: 1° Ecuación: 2° Ecuación:
(9) + (3) = 12 ⇒ 2(9) – (3) = 15 ⇒
12 = 12 15 = 15
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN a) Métodos de Reducción: Consiste en transformar el sistema en una ecuación con una solo incógnita. b) Método de Sustitución: Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituir esta expresión en la otra ecuación, con lo cual obtendremos una sola ecuación con una incógnita cuya solución ya nos es familiar. c)
Método de igualación:
Este método consiste en despejar en ambas UNA DE LAS INCÓGNITAS, para luego IGUALAR los miembros bajo el siguiente criterio. Si
x = x =
⇒ =
Ejem: (1) Resolver: x + 2y = 13 3x – y = 11
..... (1) ..... (2)
Despejamos x de (1)
x = 13 – 2y
.... (3)
Despejamos x de (2)
x=
.... (4)
11 + y 3
igualamos (3) y (4) 13 – 2y = 11 + y 3
⇒
39 – 64 = 11 + 4 –7y = –28
en (3) ⇒
x = 13 – 2(4) x = 13 – 8 = 5
PROBLEMAS PROPUESTOS I)
Hallar los valores de x e y en cada caso: Método de reducción Método de igualación a) x + y = 42 b) x + y = 45 2x – y = 24 2x – y = 15
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Método de igualación Método de sustitución
e) x + 2y = 54
c) 2x + 4 = 78
x – 2y = 12
2x – y = 22
Método de sustitución Método de reducción
f)
x + y = 124
d) 3x – 2y = 24
2x –y = 20
2x + 2y = 26
1)
La suma de 2 números es 41 y la diferencia es 21 indicar el producto de ellos. a) 410 d) 31
2)
b) 200 e) N.A.
4)
Luego de resolver el sistema 3x + y = 16 3x – y = 14
c) 310 Hallar “m”, si se cumple
Con el sistema mostrado 2x + y = m + 3 3x – y = 8
mx + (m – 1)y = 5 a) 1 d) 2
b) 0 e) 6
c) –1
Hallar “m”, si x = 5 5) a) 24 d) 10 3)
b) 12 e) 5
Después de hallar x e y en:
c) 14 4x + 3y = 25 3x + 4y = 24
Dado el sistema en x e y mx + y = 10 x+y=7
Calcular “b” en la relación: b (x + y) + 2b = 9
Hallar “m”, si: y = x + 1 a) 1 d) –3 6)
b) 2 e) –1
a) 1 d) 2
c) 3
Resolver el siguiente sistema: x + 2y – z = 2 2x + 3y + z = 11 3x + 2y – z = 4 (2) – (1) ⇒ (3) – (2) ⇒
..... ..... .....
(1) (2) (3)
3x + 5y = 9 –5x – 5y = 15 –2x = –2 x=4 y=8
b) 0 e) –2
c) –1
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7)
Resolver: x + 2y = –3 2x + y = 0
8)
Resolver: 10x + 1 = 7y 3(x – 1) = y
9)
“El 65
Resolver: x – y/5 = 1 x/5 + y = 27/5
10) Resolver: m = 2n 5m – 4n = 3/5
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