Aplicaciones de las derivadas en ingeniería Electrónica y de Telecomunicaciones:
Como sabemos la Ingeniería electrónica y de Telecomunicaciones es una rama de la ingeniería, que resuelve problemas de transmisión y recepción de señales e interconexión de redes, así como la solución a problemas de circuitos de pequeña escala, así como su diseño. El término telecomunicación se refiere a la comunicación a distancia a través de la propagación de ondas electromagnéticas. Esto incluye muchas tecnologías, como radio, televisión, teléfono, comunicaciones de datos y redes informáticas. Al resolver problemas de trasmisión y recepción de señales e interconexión de redes, estamos hablando de ondas; el análisis de las formas de onda a través de las series de Fourier se utiliza en toda la ingeniería eléctrica, electrónica, de telecomunicaciones, de procesamiento de señales de redes. Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples. Algunas de las Aplicaciones de las Series de Fourier que se aplican a nuestra carrera son: * Análisis en el comportamiento armónico de una señal. * Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoidales generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas. En cuanto a las derivadas, e integrales de línea suelen usarse para análisis de curvas, máximos y mínimos o formas de onda y sobre todo para análisis de potenciales eléctricos y magnéticos en diseños de alto voltaje y antenas. El cálculo en la ingeniería en Electrónica.
Sabemos la utilidad que pueden tener las integrales, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc. Lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral, el Álgebra y la Trigonometría sirven para estudiar los objetos que se mueven con velocidad constante, pero si la velocidad es
variable y la trayectoria es irregular se necesita el Cálculo. Una descripción rigurosa del movimiento requiere definiciones precisas de velocidad y aceleración, usando uno de los conceptos fundamentales de cálculo: la derivada. El poder y la flexibilidad del Cálculo hacen éste útil en muchos campos de estudio. Entre algunas de las casi infinitas aplicaciones de la derivada en el campo de la Ingeniería Electrónica y de Telecomunicaciones, se pueden mencionar:
Los cambios instantáneos de una corriente eléctrica. Variaciones del flujo magnético. Variaciones de los campos eléctricos y magnéticos. Las leyes de Maxwell ( Su compresión , requieren un amplio dominio del cálculo diferencial ) El análisis gráfico de funciones complicadas. En la formulación de conceptos básicos de Control. Conversión de energía. Circuitos Eléctricos Las leyes del electromagnetismo en general, hacen uso de las derivadas (La ley de ampere, la ley de Gauss, la ley de Faraday, etc.) En electrónica, hay un programa muy usado denominado MATLAB, dicho programa, puede ser utilizado combinando un correcto dominio de su lenguaje de programación y métodos numéricos basados en el cálculo, para dar origen a programas capaces de calcular, aproximar e interpolar funciones, para poder plantear la derivada en programación, todo lo mencionado se derivan del polinomio de Taylor y otros como el método de newton-rapshon, etc. Se puede crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de partes mecánicas de un automóvil, y muchas aplicaciones más en ingeniería y física. Fabricación de chips (obleas de microprocesadores) Miniaturización de componentes internos. Administración de las compuertas de los circuitos integrados. Compresión y digitalización de imágenes, sonidos y videos.
Puede afirmarse que el cálculo se aplica en casi todas las ramas del conocimiento ciencias Físico-Matemáticas y, con particular énfasis, en las Ingenierías y profesiones afines. En los sistemas eléctricos y en general los sistemas dinámicos de parámetros concentrados e invariantes en el tiempo se pueden representar por medio de una Ecuación Diferencial Lineal o un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales, así que para su rápida resolución se utiliza la Transformada de Laplace, pues convierte al sistema en una Ecuación Algebraica de fácil solución.
Para encontrar respuestas forzadas de los sistemas eléctricos se utiliza el análisis de Fourier en su forma más sencilla, conocido como el método fasorial y consiste en transformar las Ecuaciones Diferenciales en ecuaciones algebraicas con coeficientes complejos de fácil resolución.
Todo lo mencionado, nos da a entender, que si no conocemos ni sabemos aplicar correctamente una derivada, jamás podríamos plantear una ecuación diferencial y por consiguiente resolver los problemas mencionados anteriormente. (Existen también ejercicios que resultan de la definición de razón de cambio de la derivada, que por electromagnetismo básico y el uso de derivadas se resuelven, pero cabe destacar que más importante es la presencia de las derivadas en las ecuaciones diferenciales)
Hablar de aplicaciones de las derivadas en la electrónica es hablar de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en dicha rama (pues una ecuación diferencial no es más que una ecuación que tiene como elementos variables independientes, dependientes y sus derivadas), por ello, a continuación se tratará dicho tema, específicamente: La solución de circuitos eléctricos tanto de corriente continua como corriente alterna.
Veamos el siguiente ejemplo de solución de un circuito En General es evidente, que la derivada aparece más de una vez en cuestiones de circuitos eléctricos, a continuación enunciaremos las siguientes fórmulas, en las que se puede apreciar ecuaciones diferenciales, útiles en la solución de circuitos.
Circuitos Eléctricos.
i
Caida de Tension :
di dt
VC Q C
fem caida de Tension di Q di 1 iR L idt dt C dt C 2 dQ d Q Q 1 E t R L 2 dt dt C 2 di d i i 2 E t R L 2 ............ Si E t dt dt C E t iR L
V R iR VL L
dQ dt
1 idt C
Otra aplicación, de las derivadas en ecuaciones diferenciales, son los SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES (que nacen por la aparición de 2 o más mallas): Circuitos Eléctricos.
Datos del circuito:
E 50V
L 0.5H C 50 106 F
R1 200
i1 0 i2 0 0
R2 300
Malla1: L
Malla 2:
di1 R1 i1 i2 50 dt
(3.18)
Q2 R2i2 R1 i2 i1 0 C
Q2 300i2 200i2 i1 0 50 10 6
0.5
De (3.18):
di1 dQ 200i1 200 2 50 dt dt
De (3.19)100 : 200i1 500
En notación operacional:
dQ2 Q2 0 dt 50 106
(3.19)
(3.20) (3.21)
D 400i1 400DQ2 100 2i1 5D 200Q2 0
Para hallar la ecuación diferencial en i1:
Luego : .i1=
D 400
400D
2
5D 200
100
400D
0
5D 200
5D 2 1400D 8 10 4
2 104
( Este ejercicio se desarrolló por el método de notación operacional).
En electrónica, la diferencia de potencial (voltaje), es muy utilizada, y su definición nos permite entender por qué la derivada
En electromagnetismo, las leyes de Faraday y la de Lenz, se formularon gracias a las derivadas, como herramientas matemáticas muy poderosas.
La definición de Inductancia Mutua , utiliza derivadas en su fórmula :
Otra aplicación, en el campo del electromagnetismo y por ende en electrónica es la definición de corriente:
Aquí tenemos más ejemplos de aplicación : en ecuaciones diferenciales
1. Se tiene el circuito eléctrico como en la fig. 3. Se pide hallar:
a. Ecuación diferencial del circuito eléctrico: ( )
que se puede escribir como:
Resolviendo la ecuación característica: Solución transitoria:
,
Solución particular:
, derivando y reemplazando en la
ecuación diferencial se hallan:
⁄
,
⁄
Solución completa:
Reemplazando las condiciones iniciales, se hallan
0.0012, B=-0.01.
La corriente en 0.1 seg es: -0.024A
b.
(
√
)
1. Se tiene el circuito eléctrico de la fig.1, con E(t)=100 sin(10t), con
R1 R 2 10 5 , C 1F , q1 (0) q2 (0) 0 .
Determine: (6p) a. Las ecuaciones diferenciales del circuito Ecuaciones diferenciales Q1 Q2 E (t ) C Q Q1 R2 i 2 2 0 C 105 D 10 6 Q1 10 6 Q2 100sen10t R1i1
10 6 Q1 105 D 106 Q2 0
b. Las corrientes
i1 (t )
e i 2 (t ) .
Fig.1 Soluciones
10
D 106 106 1010 D 2 2 1011 D 6 5 6 10 D 10 10
5
Ecuación
Q1
100sen10t 0
diferencial
para
Q1:
10 108 cos10t sen10t 6 10 D 10 6
5
Solución homogénea: Raíces de la ecuación característica: m1 0, m2 20 Q1h C1 C 2 e 20t
Solución particular: Q1 p Asen10 t B cos10 t , derivando y reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene: A 2 10 5 , B 6 10 5
Solución completa: Q1 C1 C 2 e 20t 2 10 5 sen10 t 3 cos10 t , (1) Derivando se obtiene 20 t 4 i1 20 C 2 e 2 10 cos10 t 3sen10 t
la
corriente:
De la ecuación 10 5 D 10 6 Q1 10 6 Q2 100 sen10 t , se despeja Q2 , entonces: Q2 C1 C 2 e 20t 2 10 5 sen10 t 2 cos10 t
(2) Reemplazando las condiciones iniciales Q1 (0) Q2 (0) 0 en (1) y (2), se hallan: C1 5 10 5 , C 2 10 5
Soluciones para las corrientes:
i1 2 10 4 e 20t 2 10 4 cos10t 3sen10t i2 2 10 4 e 20t 2 10 4 cos10t 2sen10t
1. Se tiene un circuito eléctrico como en la Fig. 1 al que se le aplica una tensión
E (t ) te 2t . Se pide:
(5p)
Fig. 1
a. Hallar la corriente en t=0.1 seg, si i(0) 0 y Q(0) 0.01 coulombios Ecuación diferencial: 1°/ Ecuación característica: ( ) ( ) 2°/ obtiene: Solución completa: ( )
(
)(
)
, reemplazando en la ecuación diferencial se
Derivando : ( )
Reemplazando las condiciones iniciales: ( ) ( ) Luego ( ) (
)
b. ¿Cuál es la frecuencia natural y la impedancia compleja en condiciones de régimen estacionario con E (t ) 2sen2t ? √
√
(
)
Conclusión: En general, las derivadas, tienes múltiples aplicaciones en el campo de la electrónica, por el mismo motivo en que el electromagnetismo las incorpora, como herramientas matemáticas para medir una magnitud que se origina como la variación de otra magnitud con respecto a una variable independiente. Por Ello, cuando trabajamos con magnitudes que se describen usando ecuaciones que no son del tipo lineal, es necesario DERIVAR, pues de esta manera podemos obtener mucha información de dicha magnitud. En general, se ha visto, que las derivadas aparecen más de una vez en numerosas leyes y fórmulas, así como en el planteo de ecuaciones (Ecuaciones Diferenciales), o el cálculo de expresiones que resultan requerir el uso de derivadas, y dichas expresiones se plantean por problemas cotidianos o científicos. Por ello es importante recordar que la derivada es RAZON DE CAMBIO INSTANTANEA DE CUALQUIER TIPO DE FUNCION , si se tiene eso claro , se puede reconocer la idea una y otra vez y aplicarla. Por último, cabe mencionar que es imposible, imaginar una física sin derivadas, pues constituyen aún, una base para las ciencias exactas y naturales.
