TEOREMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE POLINOMIOS
PRODUCTOS NOTABLES Binomio al cuadrado (a ± b) 2 = a 2 ± 2 · a · b b 2 E!E"PLO# (x + 3)2 = x
2
+ 2 · x ·3 + 3 2 = x
2
+ 6 x + 9
(2x − 3)2 = (2x) 2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma $or di%&r&ncia (a b) · (a ' b ) = a 2 ' b 2 E!E"PLO# 2x + 5) · (2x - 5) = (2x) 2− 52 = 4x2 − 25
Binomio al cubo (a ± b) = a ± · a 2 · b · a · b 2 ± b E!E"PLO# (x+3)3=x3+3·x2·3+3·x·32+33=x3+9x2+27x+27 (2x − 3)3 = (2x) 3 − 3 · (2x) 2 ·3 + 3 · 2x · 3 2 − 33 == 8x 3 − 36x2 + 54x − 27
RELA DE RU**+N+ Paolo Ru%%ini (1765, 1822) fue un matemático italiano, ue e!ta"leci# un m$to%o má! "&e'e a&a ace& di,i-i.n d& $olinomio- , cuan%o el di,i-or &- un binomio d& la %orma / 0 a *
E!E"PLO# Divide aplicando la Regla de Ruini a (x5− 32) : (x − 2 ) !
"#$a%e &ue e' un polinoio incople%o %iene' &ue pone* en el coeicien%e del onoio &ue al%e ade,' 'i el divi'o* e' (x - 2 ) la *a#. e' /2/0 o %e olvide' de indica* el cocien%e el *e'%o coo en cual&uie* %ipo de divi'in0
(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16
R=
TEORE"A DEL RESTO El r&-1o d& la di,i-i.n d& un $olinomio P(/) &n1r& un $olinomio d& la %orma (/ ' a) &- &l ,a num3rico d& dic4o $olinomio $ara &l ,alor / = a &- d&cir R= P(a)
E!E"PLO#
1.- Calcla! "#! $l %$#!$&a '$l !$%# $l !$%# '$ la '*+,: a) (x − 3x2 2):(x − 3) =(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56
b ) ( / 5 ' 2/ 2 ' ) # ( / ' 7 ) =(1)= 15 − 2 · 1 2 − 3 = −4
c ) ( 2 / 8 ' 2/ / 2 5 / 7 9 ) # ( / 2 ) =(−2) = 2 · (−2) 4 − 2 · (−2) 3 + 3 · (−2) 2 + 5· (−2) + 1 = 32 + 16 + 12 − 1 + 1 = 6
2:;+ndica cu
b) (/6 ' 7) # (/ 7)
=(−1) = (−1) 6 − 1 = 0! exacta
c) (/8' 2/ /2 / ' 7) # (/ ' 7)
=(1) = 14 − 2 · 13 + 1
2
+ 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0! exacta
:; Encon1rar &l ,alor d& $ara >u& al di,idir 2/ 2 ' / 2 $or (/ ' 2) d3 d& r&-1o 8: eno ue alla& a&a ue = (2) = 4
=(2) = 2 · 2 2 − · 2 +2 = 4 8− 2+ 2 = 4 − 2 = 4 - 8 - 2
-2=− 6 =
8:; ?allar un $olinomio d& cuar1o @rado >u& -&a di,i-ibl& $or / 2 ' 8 - & anul& $ara / = / = 5: a % e ! c o m o ! i c i # n % e l o l i n o m io e % i % o ! e & á * ( x ) = ( x − 3 ) · ( x − 5 ) · ( x 2 − 4 ) =
( x 2 − 8 x + 1 5 ) · ( x 2 − 4 ) = x 4 − 4 x 2 − 8 x 3 + 3 2 x + 1 5 x 2 − 6 = / 8 ' / 7 7 / 2 2 / ' 6 9
TEORE"A DEL *ACTOR El $olinomio P(/) &- di,i-ibl& $or un $olinomio d& la %orma / ; a d i c & > u & / ; a &- u n % a c 1 o r d & l $ o l i n o m i o P ( / ) > u & / = a & - u n a
R= P(a) = 9: S&
RA o CERO %e (x)*
E!E"PLOS 7 : ;C o m$ r u& b a > u & l o - - i @u i &n 1 &- $ o li n om i o- 1 i &n & n c o mo % a c1 o r& - l o - > u & - & indican# a) (/' 5/ ' 7) 1i&n& $or %ac1or (/ ' ) (x3 − 5x −1) e! %i'i!i"le o& (x − 3) =(3) = *
=(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 . (x − 3) no e! un facto&*
b) (/79 ' 7928) 1i&n& $or %ac1or (/ 2) (x1 − 124) e! %i'i!i"le o& (x + 2) = (− 2) = *
= (−2) = (−2) 1 − 124 = 124 − 124 = (x + 2) e! un facto&*
i (x + 2) e! un facto& x= -2 e! una &a
2:;Calcular &l ,alor d& a $ara >u& &l $olinomio / ' a/ 1&n@a la raFG / = ' 2 calcular la- o1ra- raFc&- * eno ue calcula& a a&a ue x= -2 !ea &a
(−2)= (−2)=(−2) 3− a (−2) +8 = − 8
+ 2a +8 = a= :
S u - 1 i1 u &n d o & n & l $ o l i n o m i o i n i c i a l o b 1 & n& m o - P ( / ) = / a $ l i c a m o - R u % % i n i a l a raFG /= ;2 $ara calcular &l $olinomio coci&n1& :
on lo cual (x) =(x + 2) · (x 2− 2x + 4) : alculamo! la! &aice! %e x 2 − 2x + 4
x2 − 2x + 4 =
Con lo cual P(/) no 1i&n& m<- raFc&- r&al&- -u d&-com$o-ici.n &-#
(x) =(x + 2) · (x 2− 2x + 4)
DE*+N+C+HN Un $olinomio -& llama irr&ducibl& o $rimo cuando no $u&d& d&-com$on&r-& &n %ac1or&-: Por &I&m$lo /
2
a -i&ndo aJ9 / 2 ' 2/ 8
DESCO"POS+C+HN *ACTOR+AL DE UN POL+NO"+O Si / 1 /
2
::::/
n
-on raFc&- d&l $olinomio P(/)d& @rado n a
n
- u c o & % i c i & n 1 &
$rinci$al: En1onc&- &l $olinomio -& $u&d& d&-com$on&r %ac1orialm&n1& como# (x) = a
n
(x - x 1 )0(x - x 2 )000000000(x - x
n
)
Ob-&r,acion&-
; Lo- c&ro- o raFc&- -on di,i-or&- d&l 13rmino ind&$&ndi&n1& d&l $olinomio:
; A cada raFG d&l 1i$o / = a l& corr&-$ond& un binomio d&l 1i$o (/ 'a): ; Pod&mo- &/$r&-ar un $olinomio &n %ac1or&- al &-cribirlo como $roduc1o d& 1odo- lobinomio- d&l 1i$o / 0 a >u& -& corr&-$ondan a la- raFc&- / = a >u& -& ob1&n@an:
; La -uma d& lo- &/$on&n1&- d& lo- binomio- 4a d& -&r i@ual al @rado d&l $olinomio:
; T o d o $ o l i n o m i o > u & n o 1 & n @ a 1 3 r m i n o i n d & $ & n d i & n 1& a d m i 1 & c o m o r a F G / = 9 . l o > u & & lo mi-mo admi1& como %ac1or /:
E!E"PLO 1*- ;(x) =2x4 + 4x2 2/8 8/2 = 2/2 (/2 2)
S.lo 1i&n& una raFG K = 9 a >u& &l $olinomio / 2 2 no 1i&n& nin@Mn ,alor >u& lo anul& d&bido a >u& al &-1ar la / al cuadrado -i&m$r& dar< un nMm&ro $o-i1i,o $or 1an1o &irr&ducibl&:
2 * - B(/) =/ 8 ' 76 El $olinomio &- di%&r&ncia d& cuadrado- ,u&l,& a -&rlo un %ac1or#
/8' 76 = (/ 2 8) · (/ 2 ' 8) = (/ 2) · (/ ' 2) · (/ 2 8)
L a - r a F c & - - o n / = ' 2 / = 2 a > u & / 2 8 & - i r r & d u c i b l & ( n o 1 i & n & r a F c & - r & a l & - )
:; C(/)=/ 2 5
x
6
alculamo! !u! &ace! alican%o la f#&mula:
La- raFc&- -on / = / = 2:
8:; D(/) = / 8 ' 79/ 2 u'cao' 'u' *a#ce' e' icuad*ada0 aceo' un caio de va*iale pa*a *e'olve* la ecuacin x2 = %
t2 − 1t + 9 = * e!ol'emo! la ecuaci#n %e 2< &a%o en t
La d&-com$o-ici.n %ac1orial &- D(/)= / 8 ' 79/ 2 = (/ 7) · (/ ' 7) · (/ ) · (/ ' )
5:; E(/) = 2/ 8 / ' /2 ' / 6 U1iliGamo- &l 1&or&ma d&l r&-1o la r&@la d& Ru%%ini $ara &ncon1rar la- raFc&- &n1&ra-
T o m a m o - l o - d i , i - o r & - d & l 1 3 r m i n o i n d & $ & n d i & n 1 &# > 1 , > 2 , > 3 *
; l i c a n % o e l 1 & o r & m a d & l r & - 1 o ! a " & e m o ! a & a u e ' a l o & e ! l a % i ' i ! i # n e ! e x a c t a *
(1) = 2 · 1 4 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 =
x
= 1 e! una &a* ;licamo! la
ela %e uffini a ella
(x)= 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = (x − 1) · (2x 3 + 3x2 − 5x − 6 )
ontinuamo! &ealian%o la! mi!ma! oe&acione! al !eun%o facto&, "u!camo! !u! o!i"le! &aice!
(1) = 2 · 13 + 3 · 1 2 − 5 · 1 − 6.
( −1 ) = 2 · ( − 1 ) 3 + 3 · ( − 1 ) 2 − 5 · ( − 1 ) − 6 = − 2 + 3 + 5 − 6 = uffini a ella
x=-1 &a* ;lico
0(x)= (x −1) · (x +1) · (2x 2 +x −6)
0ncont&amo! la! &ace! %e la ecuaci#n %e 2< &a%o 2x % e ! c o m o ! i c i # n f a c t o & i a l e ! 2 x 2 + x − 6 = 2 ( x + 2 )
2
3 x @ 2
+ x − 6 = : x = - 2 , x = 3? 2 * o & t a nt o l a !u!titu@en%o en el olinomio inicial
0(x) = 2x 4 + x 3 − 8x 2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3?2)
a! &ace! !on x = 1, x = − 1, x = −2 @ x = 3?2
*RACC+ONES ALEBRA+CAS U n a % r a c c i . n a l @ & b r a i c a & - & l c o c i & n 1 & d & d o - $ o l i n o m i o - @ ! e & e & e ! e n t a o &
(x) e' el nue*ado* :(x) el denoinado*0 Do- %raccion&- al@&braica-
P ( x ) Q ( x )
R ( x ) S ( x )
-on &>ui,al&n1&- -i -& ,&ri%ica >u&#
P(/) · S(/) =(/) · R(/):
S+"PL+*+CAC+HN DE *RACC+ONES a*a 'ipliica* una *accin alge*aica - & d i , i d & & l n u m & r a d o r & l d & n o m i n a d or d & l a % r a c c i . n $or un $olinomio >u& -&a %ac1or comMn d& ambo-:
E!E"PLO
x
3
x
2
REDUCC+HN DE *RACC+ONES ALEBRA+CAS A CO"N DENO"+NADOR
A a % a ! % o ! f & a c c i o n e ! a l e " & a i c a ! , & e % u c i & l a ! a c o m B n % e n o m i n a % o & & - & n c o n 1 r a r % o ! f r a c c i o n & -
a l @ & b r a i c a - & > u i , a l & n 1& - c o n & l m i - m o d & n o m i n ad o r :
E!E"PLO
R & d u c & a c o m M n d & n o m i n a d o r l a - - i @ u i & n 1 & - % r a c c i o n & - a l @ & b r a i c a -
7 :; D &- c om $ on & mo - l o - d & no m in a do r &- & n % a c1 o r& - $ a ra 4 a ll a rl & - & l m F ni m o c o mM n mMl1i$lo >u& -&r< &l comMn d&nominador:
x2 − 1 = (x + 1) · (x − 1)
x2 + 3x + 2 = (x +1 ) · (x + 2)
m*c*m* (x 2 − 1, x 2 + 3x + 2) = (x + 1) · (x − 1) · (x + 2)
2 :; D i , i d i m o - & l c o m M n d & n o m i n a d o r & n 1 r & l o - d & n o m i n a d or & - d & l a - % r a c c i o n & - d a d a - & l r&-ul1ado lo mul1i$licamo- $or &l num&rador corr&-$ondi&n1&:
(
x x
2)
( x 1)( x 1)( x 2) x x
3
2
2 x
2
2 x x
( x 1)( x 1)( x 2)
1 2 x 2 x 2 x
, 2
( x 1)
,
x
3
OPERAC+ONES DE *RACC+ONES ALEBRA+CAS SU"A QRESTA# 7:; Con i@ual d&nominador
2:; Con di-1in1o d&nominador ( S& calcula &l m:c:m :)
PRODUCTO De'coponeo' en ac%o*e' cada uno de lo' polinoio' aplicao' la *egla del p*oduc%o 'ipliicao' lo' ac%o*e' coune' del nue*ado* con lo' denoinado*0 10-
D++S+HN De'coponeo' en ac%o*e' cada uno de lo' polinoio' aplicao' la *egla del cocien%e 'ipliicao' lo' ac%o*e' coune' del nue*ado* con lo' denoinado*0
7:;
OPERAC+ONES CO"B+NADAS 7:; S& a$lica la $r&%&r&ncia d& o$&racion&-
2.-
