Aula Polinomios

Curso de

MATLAB®

Aula 2 EMMATI – Empresa Júnior de Matemática Matemática Industrial Industrial - UFPR

Operações elementares entre matrizes >> A=[3,2;4,1] A=32 41



A+B = 3+1

>> B=[1,0;1,0] B=1 0 1 0 2+0



k+B = 5+1 5+0

ans = 4 2 5 1

ans = 6 5 6 5

k=5



k*A = 5*3 5*4 ans = 15 10 20 5 

5*2 5*1

A/k = 3/5 4/5 ans = 0.6000 0.8000

2/5 1/5 0.4000 0.2000

EMMATI – Empresa Júnior de Matemática Industrial - UFPR



>> A*B = 3 2 * 1 0 = 3*1+2*1 3*0+2*0 4 1 1 0 4*1+1*1 4*0+1*0

>> ans = 5 0 5 0 

>> A.*B = 3 2 * 1 0 = 3*1 2*0 4 1 1 0 4*1 1*0

>> ans = 3 0 4 0 EMMATI – Empresa Júnior de Matemática Industrial - UFPR

>> k=2 

>> A^k = 3 2 * 3 2 = 3*3+2*4 3*2+2*1 4 1 4 1 4*3+1*4 4*2+1*1

>> ans = 17 8 16 9 

>> A.^k – Potência escalar = 3^2 2^2 4^2 1^2

>> ans =



9 16

4 1

>> A./B = 3 2 * 1 0 = 3/1 2/0 4 1 1 0 4/1 1/0

>> ans = 3 Inf 4 Inf










length(A) – Retorna o comprimento da matriz det(A) – Calcula o determinante da matriz inv(A) – Calcula a matriz inversa de A diag(A) – Mostra os elementos da diagonal principal









triu(A) – Transforma a matriz dada em triangular superior tril(A) – Transforma a matriz em triangular inferior poly(A) – Mostra o polinômio eig(A) – Calcula os autovalores de A




norm(A) – Calcula a norma Euclidiana



trace(A) – Calcula o traço da matriz



rot90(A) – Rotaciona a matriz


Declaração de Polinômios f(x)=x+2x+1 >> f=[1 2 1] g(x)=x+3x-4x-1 g(x)= 1x+0x+3x-4x+0x-1 >> g=[1 0 3 -4 0 -1] h(x)=x-4 >> h=[1 0 -4] EMMATI – Empresa Júnior de Matemática Industrial - UFPR

Valor do Polinômio em ‘x’ Declarando o x, seguido do polinômio Ex.: f(x)=x+2x+1 >>x=2 >>fx=x^2+2*x+1 >>fx= 9 

Definindo os coeficientes do polinômio e o ‘x’, aplicando polyval Ex.: f(x)=x+2x+1 >>f=[1 2 1] >>x=3 >>polyval(f,x) >>ans = 16 


Polinômio aplicado a um vetor Declarando o vetor, seguido do polinômio Ex.: f(x)=x+2x+1 >>a=0:7 >>a = 0 1 2 3 4 5 6 7 >>fx=a.^2+2*a+1 >>fx= 1 4 9 16 25 36 49 64 

Definindo os coeficientes do polinômio e o vetor, aplicando polyval Ex.: f(x)=x+2x+1 >>f=[1 2 1] >>a=0:2:7 >>a= 0 2 4 6 >>polyval(f,a) >>ans = 1 9 25 49 


Operações Aritméticas com Polinômios f(x)=x+2x+1 >> f=[1 2 1] h(x)=x-4 >> h=[1 0 -4] Soma de polinômios >> s = f+g >> s = 2 2 -3



conv(f,h) – Multiplica os polinômios de entrada

Ex.: f(x)h(x) =(x+2x+1)(x-4) = -  =(x+2x-3x-8x-4) >>conv(f,h) >>ans = 1 2 -3 -8 -4

Multiplicação por escalar >> m = 4*f >> m = 4 8 4


Operações Aritméticas com Polinômios g(x)=x+3x-4x-1 >> g=[1 0 3 -4 0 -1] h(x)=x-4 >> h=[1 0 -4] 

deconv(g,h) – Divide os polinômios de entrada

Ex.: (x+3x-4x-1)/(x-4) = x+7x-4 >>ans = 1 0 7 -4 

[q,r]=deconv(g,h) – Mostra o resultado e o resto da divisão dos polinômios de entrada

Ex.: >>[quociente,resto]=deconv(g,h) quociente = 1 0 7 -4 resto = 0 0 0 0 28 -17


Operações Aritméticas com Polinômios 

polyder(g) – Calcula a derivada do polinômio

Ex.: g(x)=x+3x-4x-1 g’(x)=5x+9x-8x >> g=[1 0 3 -4 0 -1] >> ex=polyder(g) >> ex = 5 0 9 -8 0 

polyint(g) – Calcula a integral do polinômio

Ex.: >> ex =[5 0 9 -8 0] >> polyint(ex) >> ans = 1 0 3 -4 0 0


Raízes do Polinômio 

roots(f) – Mostra todas as raízes do polinômio

Ex.: f(x)=x+2x+1 >> f=[1 2 1] >> roots(f) >> ans = -1 Ex2.: h(x)=x-4 >> h=[1 0 -4] >> roots(h) >> ans = 2 -2

Ex3.: g(x)=x+3x-4x-1 >> g=[1 0 3 -4 0 -1] >> roots(g) >> ans = -0.4890 + 1.9112i -0.4890 - 1.9112i 1.1239 -0.0730 + 0.4725i -0.0730 - 0.4725i


Construindo um Polinômio pelas Raízes 

poly([raízes_do_polinômio]) – Monta um polinômio que possui as raízes de entrada

Ex.: >> poly([-1 -1]) >> ans = f(x)=x+2x+1 Ex2.: >> poly([2 -2]) >> ans = 1 0 -4 h(x)=x-4 EMMATI – Empresa Júnior de Matemática Industrial - UFPR

No programa 



clock – Exibe um vetor linha com seis elementos, contendo: ano mês dia hora minuto segundo date – Exibe a data atual


Matemática Simbólica syms variável – alerta o programa que a variável não tem valor específico. Ex.: >>syms x % x é uma variável simbólica >>f = 3*x^2 - 5*x + 1 Se a variável x não tivesse sido declarada como simbólica, o programa não saberia o que calcular e devolveria o erro: ??? Undefined function or variable 'x'. Ex.: >>x=2 >>f= 3*x^2 – 5*x + 1 >>f = 3


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