GUIA DE EJERCICIOS ÁLGEBRA Complejos y Polinomios
1. Dados los números números complejos complejos z1 =
1 4
+ 23 i, z2 =
1 8
+ 16 i, calcule:
a) z1 + z2 b) z1
−z
2
c) z1 : z2 d) z¯1
− z¯
2
e) z1 + z2
|
|
f) (z1 + z2 )(3z1
−z ) 2
2. Determine Determine la parte real y la parte imaginaria imaginaria de los siguientes siguientes números números complejo complejos: s: a) b) c) d) e)
1 2+i 3 + 2i 3 2i (1 + i)4 8 (1 i)5 1+i 1 i + 2 + 3 i 2 3i
−
−
3. Sean z, w a) Re b) Im
− −
C.Demuestre
que:
∈ z
z+w
+ Re
z
z+w
+ Im
w
z+w w
z+w
c) Re(zw ) = Re(z )Re(w)
=1 =0
− Im (z)Im (w)
4. Exprese en forma cartesiana los siguientes siguientes números complejos: 1+i 1 i + 2 + 3 i 2 3i b) (1 + i)6 (1 i)6 a)
− − −
5. Determine Determine los números números reales x e y tales que: a) (1 + i)(x + 2y )
− (3 − 2i)(x − y) = 8 + 3i
b)
1 2 + = 1+i x + yi x yi
−
6. Calcule el módulo de los siguientes números complejos: 1 + 2i 1 2i (1 + 3i)8 (2 i)7 b) (3i + 1)7 (2 + i)6 a)
−
−
c) (1 + i)15 a + bi d)
− bi
a
7. Calcule el módulo y el argumento de: 1+i 1 i 2 b) 1 i a)
√− −
√ −
1+ 2+i 3π 8. Demuestre que el argumento de es . 1 i 8 9. Escriba en forma polar el número complejo
i7
−√i−6 i 2
10. Calcule:
√8 − 15i √ b) 1 − i √ c) i √ d) 1 + i √2 + 1 + i e) √ 2+1−i a)
4
1 4
11. Determine las soluciones complejas de : a) z 2 b) z 4
− 24i + 7 = 0 −i =0 −i=0 2
c) z 4 1 2 d) + = 1 + i
z z e) z + z = 2 + i
||
f) z 2 = z¯ g) z 6 + 7z 3 8 = 0 1 h) z = = 1 z
−
| | |z | | − | 12. Sean z , z ∈ C, tales que |z | = |z | = 1 y que |z 1
2
1
2
1
+ z2 = z1 + z2 . Demuestre que z1 = z2 .
| | | | |
13. Sea α
∈ R. Determine las soluciones de
z + z −1 = cos(α)
14. Desarrollandos (1 + i)n , demuestre que: n
a)
− − n
( 1)k
2
2k + 1
k=0 n
b)
n
= 2 cos
n 2k
( 1)k
k=0
nπ
4
nπ
n
= 2 sin 2
4
15. Demuestre que zn +
16. Demuestre que si ad
1
= 2 cos(nθ)
zn
− bc = 0, entonces ac ++ dibi es un número real.
17. Demuestre que, para todo z 18. Demuestre que si z +
1 z
∈ C − {0}, si z + 1z es un número real, entonces Im (z) = 0 o bien |z| = 1.
= 2 cos(θ), entonces z n +
1
= 2 cos(nθ).
zn
19. Demuestre que para todo z
∈ C, si |z| = 1, entonces (z − 1)(¯z + 1) es un número imaginario puro. 20. Demuestre que la suma de las n raíces n-ésimas de la unidad es 0, donde n ≥ 2 es un número natural. 21. Demuestre que si 1, α , α 2 son las raíces cúbicas de 1, entonces se tiene que (1 + α)(1 + 2α)(1 + 3α)(1 + 5α) = 21 22. Divida: a) x7 + 3x6 + 2x3 + 3x2 b) x5
2
4
− x + 1 por x − x + 1. 2
− 1 por x + x + 1). c) (x + 1) − x − 1 por (x + x + 1) . d) (n − 1)x − nx − + 1 por (x − 1) . − 3x
+ 6x
7
7
n
2
n
1
2
2
23. Pruebe que: a) x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 es divisible por x + 2. b) x5 + 3x4 + x2 + 2x
− 3 es divisible por x − 2.
24. Determine el polinomio de coeficientes reales de menor grado que tiene como raíces i, 2 25. Encuentre los valores de a y b de modo que 3x3
2
− 4x
+ ax + b sea divisible por x2
26. Demuestre que si ax3 + bx2 + cx + d es divisible por (x 27. Si el polinomio x4 + px3 + qx 2 de p y q. 28. Resuelva la ecuación 2x3
2
− i, 2 y tal que p(1) = 2.
− 1.
2
− 1) , entonces b = d − 2a y c = a − 2d.
− 18x − 12 se divide por (x + 1)(x + 3) el resto es 2x + 3. Determine los valores
− 3x − 11x + 6 = 0 sabiendo que
1 2
es una raíz.
29. Sabiendo que 2 + 3 i es una raíz de p(x) = x4
3
− 2x
+ 6x2 + 22x + 13.
a) Descomponga que p(x) como producto de polinomios irreducibles en
C[x].
b) Descomponga que p(x) como producto de polinomios irreducibles en
R[x].
30. Sea p(x) = x4 + bx3
2
− 13x − 14x + 24 a) Determine b ∈ R, de modo que −2 sea una raíz de p(x).
b) Con el valor determinado en el inciso anterior, descomponga p(x) como producto de polinomios irreducibles en C[x]. 31. Determine el polinomio con coeficientes reales p(x) de menor grado de modo que tiene como raíces a 2, 2 tal que p(1) = 2. 32. Determinar la descomposición en fracciones parciales de: a)
4x2 + 13x 9 x3 + 2x2 3x
b)
x2 + 10x 36 x(x 3)2
c)
5x2 4 x2 (x + 2)
− −
−
−
−
2x2 + x d) (x 1)2 (x + 1)2
−
− i, i y
Respuestas 1.
a) b) c) d) e) f)
2.
3 5 + i 8 6 1 1 + i 8 2 82 24 + i 25 25 1 1 i 8 2 481 24 745 29 + i 576 24
√
−
−
2 1 ; Im (z ) = 5 5 5 12 b) Re(z ) = ; Im (z ) = 13 13 c) Re(z ) = 4; Im (z ) = 0 a) Re(z ) =
− d) Re(z ) = −1; Im (z ) = −1 e) Re(z ) = 4.
a)
10 ; Im (z ) = 0 13
10 13
b) 64 5.
a) x = 1; y = 2 3 9 b) x = ;y = 10 10
6.
a) z = 1
|| √ b) |ω| = 50 c) |z | = 2 d) |ω| = 1 7. (a) |z | = 1; Arg (z ) = 0 π (b) |z | = 1; Arg (z ) = 4 √ π 8. ( 2 − 1)cis 15
√ √ 2
9.
a)
4
2 cis
b) cis c) cis
π
4
π
16
7π 8
y
4
2 cis
y cis
5π 4
, cis
9π , cis 16
15π 8
17π 16
y cis
25π 16
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