1. Vectores y Superficies. Funciones Vectoriales

Cál álcu cullo Vec ecto torria iall Dictado por: MSC. ING. IVAN MONTALVO FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA

CAPITULO I VECTO VECTORE RES S Y SUPER SUPERFIC FICIES IES

CAPITULO I VECTO VECTORE RES S Y SUPER SUPERFIC FICIES IES

1.1 Rectas y planos

VECTORES Y SUPERFICIES Rectas y planos

RECTAS Una recta en el plano xy se determina cuando se dan un punto sobre la recta o límite recta y la dirección de ésta (su pendiente o ángulo de inclinación). La ecuación de la recta se puede escribir entonces con la forma punto-pendiente.

ECUACION VECTORIAL


RECTAS


RECTAS


RECTAS


PLANOS Aunque una recta en el espacio se determina por un punto y una dirección, es más difícil describir un plano en el espacio. Un solo vector paralelo al plano es insuficiente para llevar la “dirección” del plano, pero un vector perpendicular al plano especifica por completo su dirección. Así, un plano en el espacio se determina por un punto en el plano P0(x0,y0,z0) y un vector n que es ortogonal al plano. Este vector ortogonal n se llama vector normal.


PLANOS

Ecuación vectorial del plano

Ecuación escalar del plano que pasa por Po(Xo,Yo,Zo) con vector normal n = (a,b,c)


PLANOS


PLANOS

Ecuación escalar del plano que pasa por Po(Xo,Yo,Zo) con vector normal n = (a,b,c)

Ecuación lineal


PLANOS


PLANOS


PLANOS – EJERCICIO EN CLASE 1. Encuentre las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas para la recta que pasa por el origen y el punto (1,2,3). 2. Encuentre el punto en el cual la recta con ecuaciones paramétricas x=2+3t, y=-4t, z=5+t interseca al plano 4x+5y-2z=18.


PLANOS DISTANCIA (D) DE UN PUNTO (P1) AL PLANO Es igual al valor absoluto de la proyección escalar de b sobre el vector normal n .


PLANOS DISTANCIA (D) DE UN PUNTO (P1) AL PLANO

1.2 Superficies

VECTORES Y SUPERFICIES Superficies

CILINDROS A fin de bosquejar la gráfica de una superficie, es útil determinar las curvas de intersección de la superficie con planos paralelos a los planos coordenados. Estas curvas se llaman trazas (o secciones transversales) de la superficie. CPNCEPTO DE UN CILINDRO Un cilindro es una superficie generada por las líneas rectas paralelas (llamadas generatrices) a una recta dada que intersectan a una curva plana.


CILINDROS Se observa que la variable y falta en la ecuación del cilindro del ejemplo anterior. Esto es característico de una superficie cuyas generatri ces son paralelas a uno de los ejes coordenados. Si una de las variables x , y o z falta en la ecuación de una superficie, entonces la superficie es un cilindro.


CILINDROS


CILINDROS


CILINDROS


SUPERFICIES CUADRATICAS Una superficie cuadrática es la gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables x, y, z . La ecuación más general es:

Donde A, B,…, J son constantes, pero por traslación y

rotación se puede llevar a una de las dos formas estándar


SUPERFICIES CUADRATICAS





1.3 Coordenadas cilíndricas y esféricas

VECTORES Y SUPERFICIES Coordenadas cilíndricas y esféricas

COORDENADAS CILINDRICAS En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa por un trío ordenado (r, ө, z). 1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobre el plano x y. 2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө). Para pasar de rectangulares a cilíndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversión. Cilíndricas a rectangulares. x = r cos ө, y = r sen ө, z = z Rectangulares a cilindricas: r2 =x2 + y2, tg ө = y/x, z = z. El punto (0, 0,0) se llama el polo. Además, como la representación de un punto en polares no es única, tampoco lo es en cilíndricas.

. c s M o v l a t n o M n á v I . g n I s e l b a i r a V s a i r a V e d o l u c l a C


COORDENADAS CILINDRICAS Ejemplo 1: Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, ө, z) = (4,5π/6,3). Ejemplo 2: Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuación: a) x2 + y2 =4z2 b) y2 = x Ejemplo 3: Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de la grafica determinada por la ecuación en cilíndricas: r2 (2cos 2ө – 1 ) + z 2 = 0



COORDENADAS ESFERICAS Es en sistema de coordenadas de sistemas esféricas un punto p del espacio viene representado por un trío ordenado ( p, ө, φ). 1.- R es la distancia de R al origen, r >< 0. 2.-

es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para r> 0.

3.-

φ es el Angulo entre el semieje z positivo y el segmento recto OP, 0 > φ < π.

ө

Nótese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.



COORDENADAS ESFERICAS La relación entre las coordenadas rectangulares y las esféricas. Para separar uno a otro deben usarse las formas siguientes: Esféricas a rectangulares: x =R sen φ cos ө, y= R sen φ sen ө, z = R cos φ. Rectangulares a esféricas: R2= x2 + y2 + z2, tg ө=y/x, φ = arcos (z / √ x2 + y2 +z2). Para cambiar de coordenadas esféricas a cilíndricas, o viceversa, deben aplicarse las formulas siguientes: Esféricas a cilíndricas (r > 0): r2 =R2 sen2 φ, z = R cos φ. ө = ө, Cilíndricas a esféricas (r> 0): R= √r2 + z2, ө = ө, φ = arcos (z / √r2 + z2). Las coordenadas esféricas son especialmente apropiadas para estudiar superficies que tenga un centro de simetría.


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