INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA PROCESOS QUÍMICOS
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FUNCIONES VECTORIALES CON DERIVE. Las operaciones de cálculo de Dominio, adición sustracción, multiplicación escalar y vectorial de funciones vectoriales, se realizan de manera similar a las operaciones con vectores dadas en temas anteriores. (Consultar guías). LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES. LÍMITES DE FUNCIONES VECTORIALES: El procedimiento para calcular límites de este tipo de funciones en DERIVE es idéntico al que da a funciones reales de variable real. Estudiemos unos ejemplos:
Ejemplo 1. Determine el límite de la función vectorial, F (t ) = t i +
t 2 − 4
4
j ; en t = 4
Existen dos formas de calcular ese límite: 1) Podemos hacerlo escribiendo lim(f(t),t,4) o utilizando la opción(con la expresión #1 resaltada) Cálculo, lim, variable: t, punto: 4 tendiendo por: ambas y luego simplificar.
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Ejemplo 2. Determine el límite de la función vectorial, R(t ) = cos(t )i + 2e t j + 3k ; en t = 0
DERIVADAS DE FUNCIONES VECTORIALES Para hallar las derivadas de una función vectorial, podemos utilizar dos opciones: 1) dada la expresión y resaltada aplicamos el procedimiento: CALCUL0, DERIVADAS, VARIABLE: t, ORDEN 1 Y SIMPLIFICAR, o bien directamente DIF(f(t),t,n), donde n el indica el grado de la derivada.
Ejemplo. 3 Determine la derivada de la función vectorial F (t ) = ti +
t 2 − 4
4
j
Ejemplo 4.Determine la derivada de la función vectorial R (t ) = 5 sen 2ti − sec 4tj + 4 cos 2tk
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DERIVADA DE LA SUMA DE DOS FUNCIONES VECTORIALES. Si R y Q son dos funciones vectoriales diferenciables en un intervalo, entonces R + Q es diferenciable en el intervalo, y Dt ⎡⎣R ( t ) + Q ( t ) ⎤⎦ = Dt R ( t ) + Dt Q ( t )
Ejemplo 5. Dadas las funciones S (t ) = t 2i + (t − 1) j;
Q(t ) = sen(t )i + cos(t ) j determine la
derivada de S (t ) + Q(t )
DERIVADA DEL PRODUCTO PUNTO DE DOS FUNCIONES VECTORIALES. Si R y Q son dos funciones vectoriales diferenciables en un intervalo, entonces R iQ es diferenciable en el intervalo, y Dt ⎡⎣R ( t )iQ( t ) ⎤⎦ = ⎡⎣Dt R ( t ) ⎤⎦iQ ( t ) + R ( t )i ⎡⎣Dt Q( t ) ⎤⎦
Ejemplo 6. Dadas las funciones S (t ) = t i + (t − 1) j;
2
Q(t ) = sen(t )i + cos(t ) j determine la
derivada de S (t )i Q(t )
DERIVADA DEL PRODUCTO CRUZ DE DOS FUNCIONES VECTORIALES Si R y Q son dos funciones vectoriales diferenciables, entonces Dt ⎡⎣R ( t ) × Q ( t ) ⎤⎦ = R′ ( t ) × Q ( t ) + R ( t ) × Q′ ( t ) Para todos los valores de t para los cuales R′ ( t ) y Q′ ( t ) existen.
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Ejemplo 7. Determine la derivada de A(t ) × C (t ) dadas las funciones
A ( t ) = 2senti + cos tj − sen 2tk
⇒ C (t ) = cos ti + 2sentj + k
REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES VECTORIALES. Suponga que F es una función vectorial, h es una función real y G es la función vectorial definida por G ( t ) = F ( h ( t ) ) . Si φ = h ( t ) y está dada por Dt G ( t ) = ⎡⎣Dφ G ( t ) ⎤⎦
d φ dt
y Dφ G ( t ) existen, entonces Dt G ( t ) existe y
d φ dt
Ejemplo 8. Aplicar la regla de la cadena para determinar la derivada las funciones F (θ ) = θ i + e j + ln(θ )k 2
θ
⇒ h(t ) = sent
Nota: Si R es una función vectorial diferenciable en un intervalo y R ( t ) es constante para toda t del intervalo, entonces los vectores R ( t ) y Dt R ( t ) son ortogonales. Si el producto punto de R (t ) y Dt R ( t ) es cero, se concluye, que R ( t ) y Dt R ( t ) son ortogonales.
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INTEGRACIÓN INDEFIN IDA DE FUNCIONES VECTORIALES. Si Q es la función vectorial determinada por Q ( t ) = f ( t ) i + g ( t ) j + h ( t ) k , entonces la
∫
∫
∫
∫
integral indefinida de Q ( t ) esta definida por: Q ( t ) dt = i f ( t ) dt + j g ( t ) dt + k h( t ) dt La integral de una función vectorial se puede calcular de dos maneras: 1) Con INT(f(t),t,t0,t1) o bien con la opción CÁLCULO, INTEGRACIÓN, VARIABLE: t, indefinida, constante : k
2
Ejemplo. 9 Determine la integral de la función vectorial F (t ) = ti +
t
−4 4
j
1
Ejemplo. 10 Determine la integral de la función vectorial N (t ) = tan ti + sec tj + k t
Ejemplo. 11. Obtenga el vector R (t ) para el cual R′ ( t ) = e − t i + e t j + 3k ; y R ( 0 ) = i + j + 5k
∫
Sabemos por definición que: R ( t ) = R′ ( t )dt Entonces por cada integral hay una constante de integración por lo tanto es recomendable resolver cada una de ellas por separadas.
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Evaluar R(0)
Como R ( 0 ) = i + j + 5k , entonces i + j + 5k = i ( −1 + C1 ) + j ( 1 + C2 ) + k ( C3 )
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En consecuencia,
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES VECTORIALES Para representar funciones vectoriales es recomendable revisar guías de gráficas de funciones en dos y tres dimensiones y de gráficas de funciones en ecuaciones paramétricas.
Ejemplo. 12. Grafique la siguiente función vectorial W (t ) = 6 cos(t )i + 3sen(t ) j
Ejemplo. 13 Grafique la curva que tiene la ecuación vectorial B ( t ) = 2cos ti + 2 sentj + tk , 0 ≤ t ≤ 4π
VECTOR Y RECTA TANGENTE EN UN PUNTO. Dada una curva descrita mediante la función f :[a, b] → R n , derivable para t = t 0 , sabemos que el vector f ′(t 0 ) es tangente a la curva en el punto f (t 0 ) . Por tanto la recta de ecuación T ( s) = f (t0 ) + f ′( t 0 ) será la recta tangente en ese punto. 97
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Podemos considerar la expresión entre corchetes [f(t0)+f’(t0), 0], incluye 0 para evitar que DERIVE interprete una sola función en coordenadas polares)
Si tomamos en cuenta, la función del ejemplo 1, la derivada en t=4 (la hallamos resaltando #8 y utilizando la secuencia simplificar, sustituir variables) es:
El vector anterior es tangente a la curva en t=4, y para dibujarlo como un vector sobre la curva debemos seguir los siguientes pasos: 1) Escribir la matriz [f(4);f(4)+f '(4)] (de esta forma le estamos dando al Derive el origen y el extremo del vector).
2) Revisar guías anteriores donde se explica cómo graficar funciones y vectores.
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En algunas ocasiones es preferible que el Derive simplifique los datos que le damos antes de hacer el dibujo, para ello basta seleccionar en la ventana 2D la opción OPTCIONES, SIMPLIFICAR ANTES DE GRAFICAR.
ECUACIÓN EXPLICITA DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA.
Para calcular la ecuación explícita de la recta tangente a la curva descrita por una función f(t) en el punto f(t0) el Derive tiene el comando PARA_TANGENT(f(t),t,t0,x). Nota: Debe cargar primero el fichero: DifferentiationApplications.mth)
De la función del ejemplo 1, tenemos que la ecuación explícita de la recta tangente a la
curva descrita por F (t ) = ti +
2
t
−4 4
j en t=4 es
Para graficar de una vez ambas funciones colocamos:
ECUACIÓN EXPLICITA DE LA RECTA PERPENDICULAR A LA CURVA. En derive se utiliza la ecuación: PARA_PERPENDICULAR(F(t),t,t0,x)
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LONGITUD DEL ARCO DE CURVA
Si C es una curva plana cuyas ecuaciones paramétricas son x = f ( t ) y y = g ( t ) , donde f ′ y g′ son continuas en el intervalo cerrado [a , b] y si L unidades es la longitud de arco de C desde el punto ( f ( a ) , g ( a ) ) hasta el punto ( f ( b ) , g ( b ) ) , entonces L=
∫
b
a
2
⎡⎣ f ′ ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣g′ ( t ) ⎤⎦
2
dt
Puesto que una ecuación vectorial de C es R (t ) = f ( t ) i + g ( t ) j , esta ecuación puede escribirse como L =
∫
b
a
R′ (t ) dt entonces la curva descrita por R es rectificable y
la
longitud del arco desde f(a) a f(b) viene dado por la integral desde a hasta b de la norma o módulo de R'(t). Sea C la curva cuya ecuación vectorial es R (t ) = f (t ) i + g ( t ) j + h ( t ) k , y suponga que f ′,g ′ y h′ son continuas en el intervalo cerrado [a, b] . Entonces si L es la longitud de arco de C desde el punto ( f ( a ) , g ( a ) , h ( a ) ) hasta el punto ( f ( b ) , g ( b ) , h ( b ) ) L=
∫
b
a
R′ (t ) dt
EJEMPLO 14. Calcule la longitud de arco de la hélice circular 0 ≤ t ≤ 4π t = 0 B ( t ) = 2cos ti + 2 sentj + tk Desde
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Otra forma que puede usarse es el comando Para_arc_length(f(t),t,a,b) que aproxima el valor de la longitud de arco de la curva en el intervalo [a, b] Debe activar el comando: IntegrationApplications.mth)
DÁMASO ROJAS. OCTUBRE 2011
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