1
2.1. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA Hasta ahora hemos visto cómo calcular las fuerzas debidas a cargas puntuales. Pero en muchas aplicaciones las fuerzas son ejercidas por objetos cargados, como varillas, placas o sólidos. Para simplificar la exposición supondremos que los objetos son aislantes y que la carga se esparce por su superficie, o volumen, formando una distribución continua de carga. La figura 25-2 mostró las fuerzas que una varilla cargada ejerce sobre otra. La ley de Coulomb se aplica sólo a las cargas puntuales: así que no podemos emplearla en esta Figura 1 forma para calcular la fuerza que una varilla cargada ejerce sobre otra. Es posible imaginar que estén cubiertas con cargas puntuales y calcular, con la ley de Coulomb, la fuerza ejercida por las cargas de una varilla sobre las cargas de la otra varilla: sólo que el procedimiento resultaría demasiado complicado: si las varillas tienen la carga pequeña de apenas 1 C, habría que considerar 1010 cargas puntuales en cada una. Optamos por retomar una idea de la época de Benjamín Franklin y concebir la carga como una propiedad continua. El procedimiento básico consiste en dividirla en elementos infinitesimales y usar los métodos de cálculo para obtener la fuerza total debida a todos ellos. Si un objeto contiene una carga neta q, imaginemos que se divide en muchos elementos pequeños dq. Cada uno posee cierta longitud, superficie o volumen, según que consideremos cargas que se distribuyen, respectivamente, en una dos o tres dimensiones. Expresamos dq en función del tamaño del elemento y de la densidad de carga, que describe cómo se distribuyen las cargas en la longitud, superficie o volumen del objeto. En la generalidad de los problemas incluidos en el libro, las cargas estarán distribuidas uniformemente en el objeto, lo cual significa que la densidad posee el mismo valor en todas sus partes. En algunas situaciones, las cargas se distribuyen en una dimensión, como las delgadas varillas cargadas de la figura 25-2. En este caso expresamos dq atendiendo a la densidad lineal de carga (carga por unidad de longitud) A. cuya unidad básica es C/m. Un elemento pequeño de la varilla con una longitud dx tiene una carga dq dada por dq = dx.................................................................................. (2.1) Donde: : densidad lineal de carga, C/m dq: diferencial de carga, Coulomb dx: diferencial de longitud, m
Si la varilla presenta una carga uniforme de modo que una carga total q se distribuya uniformemente por su longitud L. entonces = q/L.
EJEMPLO 2.1.: Por ejemplo, una varilla de longitud L = 0.12 m que lleva una carga distribuida uniformemente de q = 5,4 X 10-6 tendrá una densidad lineal de carga de = q/L = 4.5 X 10-5 C/m. Un pedazo pequeño de ella con una longitud dx=1,0 mm tendrá una carga dq= dx = 4.5 X 10-8 C. En otros casos la carga podría estar distribuida en una superficie bidimensional. En este caso, dq se expresa a partir de la densidad superficial de carga (carga por unidad de superficie) , medida en la unidad de C/m2 del SI. Entonces un elemento pequeño de la superficie dA tendría una carga dada por dq = dA............................................................................... (2.2) Si una carga q se distribuye uniformemente en un área de superficie A, entonces = q/A. La carga también podría distribuirse en todo el volumen de un objeto tridimensional. En tal caso se utiliza la densidad volumétrica de carga (carga por unidad de volumen) , cuya unidad es C/m3 en el SI. Entonces la carga dq en un elemento de volumen dV sería
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Física III
dq = dV............................................................................... (2.3) Si la carga q se distribuye uniformemente en todo el volumen V, entonces = q/V.
a)
b)
c)
Figura 2.2: Distribuciones contínuas de carga: a) Lineal; b) superficial; y c) Volúmetrica. Abajo se muestran las espresiones matemáticas para el cálculos del campo eléctrico respectivo. Note que la integral ya sea doble o triple depende de la geométrica y la forma de la distribución.
2.2. FUERZA Y CAMPO ELECTRICO DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA 2.2.1. FUERZA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA CONTINUA Para ejemplificar los conceptos anteriores calcularemos expresiones referentes a la fuerza que sobre una carga puntual q0 ejerce una distribución continua de carga. Al ampliar estos métodos es posible calcular la fuerza ejercida por una distribución de carga continua sobre otra. El procedimiento con que se calcula la fuerza que este tipo de distribución ejerce sobre una carga puntual es el siguiente: 1. Se supone que la distribución continua está dividida en muchos elementos pequeños de carga. 2. Se selecciona un elemento arbitrario y se expresa su carga dq a partir de las ecuaciones 2.1, 2.2 o 2.3, según que se distribuya en una línea, en una superficie o volumen, respectivamente. 3. Por ser dq infinitesimalmente pequeña, se la trata como una carga puntual. Se expresa la magnitud del elemento de fuerza dF ejercido por la carga dq sobre la carga q0 en función de la ley de Coulomb:
dF
1 dq q0 4 0 r 2
..................................................................(2.4)
donde r es la distancia entre dq y q0. 4.Se tienen en cuenta los signos y la ubicación de dq y de q0 para determinar la dirección del elemento de fuerza dF. 5.Luego se calcula la fuerza total sumando todos sus elementos infinitesimales, que implica la integral
F d F ........................................................................(2.5) Al calcular esta integral se necesita normalmente recordar que los elementos de carga dq pueden producir elementos de fuerza dF en diversas direcciones. La ecuación (2.5) en realidad, significa tres ecuaciones distintas para los tres componentes de F.
Fx d F x ; Fy d F y ; Fz d F z
Lic. Carlos E. Joo G.
............................................. (2.5b)
Interacciones Eléctricas: Ley de Gauss y Distribuciones continuas de Carga
3
En ocasiones puede recurrirse a los argumentos basados en la simetría para no calcular una o dos de estas integrales*.
2.2.2. CAMPO ELECTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA CONTINUA La figura 2.4 muestra un elemento de carga dq = dV suficientemente pequeño par que podamos considerarle como una carga puntual. El campo eléctrico dE en un punto del campo P debido a este elemento de carga viene dado por la ley de Coulomb:
dE
Figura 2.3: un elemento de carga dq produce un campo dE en el punto P. El campo en P debido a la carga total se obtiene integrando esta expresión para toda la distribución de carga.
1 dq rˆ .....................................................................(2.7) 4 0 r 2
En donde rˆ es un vector unitario que apunta desde el elemento a dicho punto. O de acuerdo a la ecuación diferencial del Campoe eléctrico vista en el capitulo anterior ( en forma de sus vectores posición):
dE
rp r0 1 dq (r ) 4 0 r r 2 rp r0 .......................................................(2.7b) p 0
Donde rp es el punto en que medimos el campo y r0 es la posición del elemento diferencial de carga de valor
dq ( r rp r0 ). El campo total en P se determina integrando esta expresión para la distribución de la carga completa, la cual consideramos que ocupa cierto volumen V:
E
1 4. . o
V
dq rˆ r2
(23.4) Campo eléctrico debido a una distribución continua de carga
en donde dq = dV. Si la carga está distribuida sobre una superficie o línea, utilizaremos dq=dA o dq=dL e integraremos para toda la superficie o línea.
1º. Campo eléctrico generado por una distribución continua lineal de carga Si se dispone de una distribución lineal continua de carga, el campo producido en un punto cualquiera puede calcularse dividiendo la carga en elementos infinitesimales dq. Entonces, se calcula el campo dE que produce cada elemento en el punto en cuestión, tratándolos como si fueran cargas. La magnitud de dE está dada por la ecuación (2.7). El campo resultante en el punto se encuentra, entonces, sumando; esto es, integrando; las contribuciones debidas a todos los elementos de carga, o sea, Figura 2.5: Diagrama que representa el campo eléctrico producido por un elemento diferencial lineal de carga (dL) en un punto P *
(Serway-T2-p.722- 724)
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Física III
E dE
(2.87)
L
Si la distribución continua de carga que se considera tiene una densidad lineal de carga
dq dL .
dq , entonces dL
Por lo tanto,
1 dq 1 dL rˆ 2 2 rˆ L 4 L 4 r r 0 0
E dE L
EJEMPLO 2.2.:
......................................(2.87b)
Campo eléctrico de una línea de carga uniforme sobre el eje
Una carga uniforme Q está distribuida a lo largo del eje x desde x = 0 hasta x = L como indica la figura. Determinar el campo eléctrico producido por esta carga lineal en un punto P sobre el eje x, en x = x0, siendo x0 > L. SOLUCIÓN:
r x La densidad de carga lineal para esta carga es = Q/L. En la figura, hemos elegido un pequeño elemento diferencial dx que dista x del origen. El campo eléctrico debido a este elemento de carga está dirigido a lo largo del eje x† y de acuerdo con la ley de Coulomb:
dE
1 dq 1 dL r rˆ ˆ 2 4 0 r 4 0 r 2
Donde r es el vector posición desde el diferencial dx al punto P, que para este caso solo tiene componentes en el eje x este se encuentra a una distancia r = x0 - L de este elemento de carga.
r x0 x r x0iˆ xiˆ
Lógicamente el vector unitario rˆ tendrá la dirección iˆ . De modo que:
†
El campo electric par alas componentes para lelas a los eje y y z son cero. Lic. Carlos E. Joo G.
dEx
1 dx x0iˆ xiˆ 4 0 x0iˆ xiˆ 2 x0iˆ xiˆ
dEx
1 dx ˆ i 4 0 x0 x 2
Para determinar el campo total integraremos para toda la carga lineal completa desde x = 0 a x = L:
Ex
L dx iˆ 4 0 0 x0 x 2
Utilizando
la
du
u a
p
integral
de
la
forma
1 C 1 p u a p 1
Entonces:
L dx iˆ 0 4 0 x x0 2 Haciendo u x; du dx de modo que:
Ex
L
1 iˆ 2 1 1 2 x x0 0
E
4 0
E
1 ˆ i 4 0 x0 x 0
E
1 1 iˆ 4 0 x0 L x0 0
E
1 iˆ 4 0 x0 x0 L
L
L
Interacciones Eléctricas: Ley de Gauss y Distribuciones continuas de Carga
Aplicando = Q/L resulta Q 1 iˆ E 4 0 x0 x0 L ó kQ iˆ E x0 x0 L
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Como puede verse, si x0 es mucho mayor que L, el campo eléctrico en x0 es aproximada mente kQ/x02. Es decir, si estamos suficientemente lejos de la carga lineal, ésta se comporta como una carga puntual.
EJEMPLO 2.3.: Campo eléctrico de una línea de carga uniforme distante al eje
en un punto
En este apartado, vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R (o y), de una línea indefinida cargada con una densidad de carga de C/m. SOLUCIÓN: El vector unitario rˆ tendrá la dirección:
r xiˆ yˆj 0kˆ rˆ r x2 y2
Este campo tiene dos componentes: una a lo largo del eje vertical Y, y otra a lo largo del eje horizontal X. de modo que se puede proceder de dos formas: - Una calculando escalarmente la componente del campo a lo largo del eje y , y desestimando el cálculo de la componente horizontal, ya que por simetría esta se anulara al hallar el campo eléctrico de la otra mitad (izquierda en el grafico). Así:
r rp
rq Hallamos el campo producido por la mitad del elemento, y que por simetría sería igual a la otra mitad, con la diferencia en signo de su componente horizontal. El elemento de carga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene un campo en la dirección y el sentido indicado en la figura y es:
dE
1 dq 1 dL r rˆ 2 ˆ 4 0 r 4 0 r 2
Donde r es el vector posición desde el diferencial dx al punto P:
r rp rq r 0iˆ yˆj 0kˆ xiˆ 0 ˆj 0kˆ r xiˆ yˆj 0kˆ
Y su módulo: 2 2 2 r x y 0 r x2 y 2
. La segunda, calculando todo el proceso de forma vectorial: 1 dx xiˆ yˆj 0kˆ dE . 2 4 0 x 2 y 2 x2 y 2
-
dE
1 4 0
Integrando: E 4 0
L 2
L / 2 E 4 0 L 2
E
4 0
dx x2 y 2
L/2
3
dx x y 2
2
. xiˆ yˆj 0kˆ
3
. xiˆ yˆj 0kˆ
L/2
xdx x2 y2
3
iˆ.
L 2
ydx x2 y2
3
ˆj 0kˆ
L/2 1 x ˆ ˆj i y 2 2 2 2 x y 2 L / 2 y x y L / 2 L/2
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Física III 1 1 ˆ i ... 2 2 L L y2 2 y 2 2 E 4 0 L L 2 2 y 2 2 y 2 L y 2 y 2 L y 2 2 2
ˆ j
L ˆ ˆ 2 ˆ E 0i 2 y j 0k 2 4 0 y 2 L y 2 2
ˆ L ˆ ˆ E 0i j 0k 2 4 0 y L y 2 2 Hemos usado aquí las integrales de las formas: udu 1 u 2 a2 3 / 2 u 2 a2 C
u
du 2
a
2 3/ 2
u a
2
u 2 a2
C
Escalarmente se tiene que: L ˆ ˆ 2 ˆ E j 0k 0i 2 y 2 4 0 y 2 L y 2 2 L E 2 4 0 L y y2 2
o E
kL 2
L y y2 2
kQ 2
L y y2 2
y solo esta en dirección del eje y. De modo que:
‡(23.8)Campo E en la mediatriz de una carga lineal finita
‡
P. Tipler en su libro esgrime otro procedimiento utilizando el cálculo escalarmente, que resulta más simple. Revíselo. http://es.wikibooks.org/wiki/Electricidad/Campo_el%C3% A9ctrico/Campo_el%C3%A9ctrico_generado_por_una_dis tribuci%C3%B3n_continua_lineal_de_carga Lic. Carlos E. Joo G.
En donde (según la figura) sen 0 está relacionado con Ley por cuando y es mucho mayor que L, una carga lineal finita se comporta como una carga puntual. Así Ey=kQ/y2 Si se considera un punto del campo muy próximo a una carga lineal o, altérnativamente, la carga lineal es de gran longitud, de modo que y « L, el ángulo 0 (véase figura ) es aproximadamente 90° y sen 0 ~ 1. Así,
Campo E a una distancia y de una carga lineal infinita
Así pues, cuando la distancia y desde la carga lineal infinita a un punto del campo crece el campo eléctrico disminuye según 1/y. En el ejercicio pudimos directamente haber calculado solo la componente sobre el eje y sin tener que realizar todo el trabajo sobre las demás componentes. Sin embargo, resulta útil demostrar que nuestra suposición de simetría es correcta. En lo sucesivo podemos hacer este procedimiento.
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2º. CAMPO ELECTRICO DE UN ANILLO DE CARGA UNIFORME
EJEMPLO 2.4.: Calcular el campo y el potencial eléctrico producido por un anillo conductor de radio R cargado con una carga Q, en un punto de su eje perpendicular.
Consideremos un elemento del anillo formado por un arco de apertura d . El valor de ese arco será:
ds Rd Con su densidad lineal de carga:
y la carga que contiene será:
dq
dq Q Q ds S 2R
Qds Qd 2R 2
El campo creado por este elemento de carga en un punto z del eje perpendicular es:
dE
1 dq kQd r 2 ˆ 2 rˆ 4 0 r 2 r
Donde r es el vector posición desde el diferencial ds al punto P:
r rp rq r xiˆ 0 ˆj 0kˆ 0iˆ Rˆj 0kˆ r xiˆ Rˆj 0kˆ
Y su módulo: 2 2 2 r x R 0 r x2 R2
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Física III
El vector unitario rˆ tendrá la dirección:
r xiˆ Rˆj 0kˆ rˆ r x2 R2
El campo total producido por el anillo será la integral respecto a entre 0 y 2. : Ez = dEz =
k. Q. z. d /(2.. r3) = k. Q. z / r3 = k. Q. z / (z2 + R2)3/2
El potencial creado por el elemento de anillo será: dVz = k. dq /r = k. Q. d /(2.. r)
El potencial total se obtiene integrando la expresión anterior: Vz =
k. Q. d /(2.. r) = k. Q / r = k. Q / (z2 + R2)1/2
1.1 CAMPO ELECTRICO DE UN DISCO DE CARGA UNIFORME Un disco circular de radio R está cargado uniformemente con una densidad de carga C/m2. Determinar el campo eléctrico y el potencial en un punto del eje perpendicular. Consideremos un elemento de superficie formado por un sector de apertura d de una corona circular de radios r y r + dr . El valor de esa superficie será: dS = r. d .dr y la carga que contiene será: dq = . dS = . r. d .dr Esta carga creará en un punto, del eje perpendicular, situado a una distancia z, un campo eléctrico de valor: dE = k. dq /u2 Este campo puede descomponerse en dos vectores: uno en la dirección del eje z y otro perpendicular al anterior; esta ultima componente se anulará con la componente producida por un elemento de carga situado en la posición simétrica en el disco, por lo que sólo interesa la componente en el eje z: dEz = dE . sen = (k. dq /u2). (z /u) = k. z. dq /u3 = k. z. . r. d .dr /(z2 + r2)3/2 El campo total será la integral de la expresión anterior desde 0 a 2., respecto a , y desde 0 a R, respecto a la variable r: Ez =
dEz =
k. z. . r. d .dr /(z2 + r2)3/2
= k. z. . 2. .
r. dr /(z2 + r2)3/2
= - .. k. z. (z2 + r2)-1/2 ]0R Ez = .. k. z. [z-1 - (z2 + R2)-1/2 ]
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Interacciones Eléctricas: Ley de Gauss y Distribuciones continuas de Carga
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= .. k. [1 - z. (z2 + R2)-1/2 ] El potencial en el punto debido al elemento de carga es: dVz = k. dq /u = k. . r. d .dr / (z2 + r2)1/2 el potencial total se obtendrá integrando dos veces entre los mismos límites: Vz = k. . 2. .
r. dr /(z2 + r2)1/2 = k. . 2. .[(z2 + r2)1/2 ]0R
Vz = k. . 2. . [ (z2 + R2)1/2 - z ]
2.3. FLUJO ELÉCTRICO La descripción cualitativa del campo eléctrico mediante las líneas de fuerza estudiadas en el capítulo ANTERIOR está relacionada con una ecuación matemática llamada ley de Gauss que relaciona el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie. La ley de Gauss es la base de una de las ecuaciones de Maxwell las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo, que veremos MAS ADELANTE. Para cargas estáticas la ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes. Esta ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que resultan de distribuciones simétrica de carga, tales como una corteza esférica o una línea infinita. En esta sección daremos un argumento plausible de la ley de Gauss basado en las propiedades de las líneas di campo eléctrico. En la sección 23.6 se ofrece una deducción rigurosa de la ley de Gauss. La figura 23.10 muestra una superficie de forma arbitraria que incluye un dipolo.
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10 Física III
El número de líneas del campo eléctrico que salen de la carga positiva y cruzan la superficie saliendo del recinto limitado por ésta, depende de donde se dibuje la superficie, pero el número es exactamente igual al número de líneas que entran en el mismo recinto y ter minan en la carga negativa. Si contamos el número de líneas que sale como positivo y el número que entra como negativo, el número neto que sale o entra es cero. Para superficies que encierran otras distribuciones de carga, como ocurre en la figura 23.11, el número neto de líneas que sale por cualquier superficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie. Este es un enunciado cualitativo de la ley de Gauss. Figura 23.11 Superficie de forma arbitraria que incluye las cargas +2q y -q. Las líneas de campo que terminan en -q o bien no pasan a través de la superficie o bien salen y vuelven a entrar. El número neto de las líneas que salen es el mismo que correspondería a una sola carga de valor igual a la carga neta dentro de la superficie.
La magnitud matemática que está relacionada con el número de líneas del campo que atraviesa una superficie se llama flujo eléctrico, . Para una superficie perpendicular a E (figura 23.12) se define como el producto de la magnitud del campo, E, y el área A:
= = EA Cuando el vector campo eléctrico E es constante en todos los puntos de una superficie S (o A) Las unidades del flujo son N • m2/C. Como el campo eléctrico es proporcional al número de líneas por unidad de área, el flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan el área.
Figura 23.12 Líneas de fuerza correspondientes a un campo eléctrico uniforme E que atraviesa un área A perpendicular al campo. El producto EA es el flujo a través del área.
El vector superficie es un vector que tiene por módulo el área de dicha superficie, la dirección es perpendicular al plano que la contiene. En la figura 23.13 la superficie de área A2 no es perpendicular al campo eléctrico E.
Figura 23.13 Líneas de fuerza correspondientes a un campo eléctrico uniforme perpendicular al área A1 pero que forma un ángulo con el vector unitario ñ normal al área A2. Cuando E no es perpendicular al área, el flujo a través del área es EnA, siendo En = E cos el componente de E perpendicular al área. El flujo que atraviesa A2 es el mismo que pasa por A1.
Sin embargo, el número de líneas que atraviesan el área A2 es el mismo que atraviesa el área A2 que es perpendicular a E. Las áreas están relacionadas por
A2 cos = A1 (23.13) en donde es el ángulo existente entre E y el vector unitario n perpendicular a la superficie A2, según está indicado. El flujo a través de una superficie no perpendicular a E viene definido por
E n A EA cos En A en donde En = E n es el componente de E perpendicular, o normal, a la superficie.
Cuando el vector campo E y el vector superficie A o S son Lic. Carlos E. Joo G.
Interacciones Eléctricas: Ley de Gauss y Distribuciones continuas de Carga 11
perpendiculares el flujo es cero. Teniendo en cuenta que el modulo de E es el número de líneas por unidad de superficie perpendicular al campo, el flujo a través de una superficie cerrada dentro de un campo de fuerzas representa el número neto de líneas de fuerza que salen de la superficie cerrada. Por ello: > 0 Salen más líneas que entran. = 0 Salen tantas como entran. < 0 Entran más que salen La figura 23.14 muestra una superficie de forma arbitraria sobre la cual el campo E puede variar. Si el elemento de área que elegimos es suficientemente pequeño, podemos considerarle como un plano y la variación del campo eléctrico a través del elemento puede despreciarse. El flujo del campo eléctrico a través de este elemento es
E n i Ai
donde n i es el vector unitario perpendicular al elemento. Si la superficie es curva, los vectores unitarios de los distintos elementos tendrán direcciones diferentes. El flujo total a través de la superficie es la suma de i extendida a todos los elementos. En el límite, cuando el número de elementos se aproxima a infinito y el área de cada elemento tiende a cero, esta suma se convierte en una integral. La definición general del flujo eléctrico es, por tanto,
Definición —Flujo eléctrico
en donde el índice S nos recuerda que estamos integrando sobre una superficie.
En una superficie cerrada, el vector normal unitario n se define de modo que está dirigido hacia fuera en cada punto. La integral extendida a una superficie cerrada se indica por el símbolo . El flujo neto a través de una superficie cerrada viene dado, por tanto, por El flujo total o neto neto a través de la superficie cerrada es positivo o negativo dependiendo de que E sea predominantemente hacia fuera o hacia dentro de la superficie.
2.4. LA LEY DE GAUSS La figura 23.15 muestra una superficie esférica de radio R con su centro en la carga puntual Q. El campo eléctrico en un punto cualquiera de la superficie es perpendicular a la superficie y tiene la magnitud El flujo neto a través de esta superficie esférica es en donde En ha salido de la integral por ser constante en todos los puntos. La integral de dA extendida a toda la superficie es precisamente el área total, igual a 4R2. Con este valor y sustituyendo kQ/R2 por En se obtiene
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12 Física III
neto
kQ 4R 2 4kQ (23.16) 2 R Así pues, el flujo neto a través de una superficie esférica con una carga puntual en el centro es independiente del radio de la esfera y es igual a 4k veces la magnitud de dicha carga. Esto está de acuerdo con nuestras observaciones anteriores, de que el número neto de líneas que atraviesan una superficie es proporcional a la carga neta interior a la superficie. Este número de líneas es el mismo para cualquier superficie que encierre a la carga, cualquiera que sea su forma. Así, el flujo neto a través de cualquier superficie que rodea a una carga puntual Q es igual a 4kQ.
Podemos ampliar este resultado a sistemas de más de una carga puntual. En la figura 23.16, la superficie encierra dos cargas puntuales q1 y q2 y existe una tercera carga puntual q3 fuera de la superficie. Puesto que el campo eléctrico en cualquier punto de la superficie es el vector suma de los campos eléctricos producidos por cada una de las tres cargas. El flujo originado por la carga q3, que está fuera de la superficie, es cero debido a que cada línea de fuerza procedente de q3 que entra en la superficie en un punto abandona la misma en Figura 23.16 Superficie que incluye las cargas puntuaalgún otro punto. El número neto de líneas a través de la les q1 y q2, pero no q3. El flujo neto a través de esta superficie procedentes de una carga exterior a la superficie, superficie es 4k(q1 + q2) es cero. El flujo a través de la superficie debido a la carga q1 es 4kq1 y el debido a la carga q2 es 4kq2. El flujo neto a través de la superficie es igual a 4k(q1 + q2) que puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de los signos y valores de las dos cargas. Figura 23.15 Una superficie esférica que incluye la carga puntual Q. El mismo número de líneas de campo eléctrico que pasa a través de esta superficie, atraviesa cualquier superficie que incluya Q. El flujo se calcula fácilmente para una superficie esférica. Es igual al producto de En por el área superficial 4R2.
El flujo neto a través de cualquier superficie es igual a 4k veces la carga neta dentro de la superficie: Ley de Causs
Esta es la ley de Gauss. Su validez depende del hecho de que el campo eléctrico debido a una carga puntual aislada varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde la carga. Esta propiedad del campo eléctrico es la que ha hecho posible dibujar un número rijo de líneas de fuerza desde una carga y conseguir que la densidad de líneas sea proporcional a la intensidad del campo. Es costumbre escribir la constante de Coulomb k en función de otra constante 0, denominada permitívidad del espacio libre: Con esta notación, la ley de Coulomb se escribe Ley de Coulomb en función de 0
y la ley de Gauss toma la forma El valor de 0 en unidades SI es
Lic. Carlos E. Joo G.
Ley de Gauss en función de 0
Interacciones Eléctricas: Ley de Gauss y Distribuciones continuas de Carga 13
La ley de Gauss es válida para todas las superficies y distribuciones de carga. Como veremos en la sección siguiente, puede utilizarse para calcular el campo eléctrico en algunas distribuciones especiales de carga con altos grados de simetría. La potencia real de la ley de Gauss es teórica. En los campos eléctricos que resultan de cargas estáticas o que se mueven lentamente, la ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes. Sin embargo la ley de Gauss es más general, pues también puede aplicarse a cargas no estáticas.
2.5. APLICACIONES 1.2 CALCULO DEL FLUJO ELECTRICO EJEMPLO 2.1: Un campo eléctrico vale E = (200 N/C)i para x > 0 y E = (-200 N/C)i para x < 0. Un cilindro de longitud 20 cm y radio R = 5 cm tiene su centro en el origen y su eje a lo largo del eje x, de modo que un extremo se encuentra en x = +10 cm y el otro en x = -10 cm (figura 23.17). (a) ¿Cuál es el flujo electrostático a través de cada extremo? (b) ¿Cuál es el flujo a través de la superficie curva del cilindro? (c) ¿Cuál es el flujo neto a través de la superficie total cerrada del cilindro? (d) ¿Cuál es la carga neta interior al cilindro?
la normal a la superficie es perpendicular a E. El flujo neto a través de la superficie cerrada está relacionado con la carga neta interior por la ley de Gauss.
Esquema del problema El campo en ambas caras circulares del cilindro es paralelo al vector normal a la superficie con dirección hacia fuera, de modo que el flujo es EA. No hay flujo a través de la superficie curva, ya que (a) 1. Calcular el flujo a través de la superficie circular derecha: 2. Calcular el flujo circular izquierda:
a través
de
la
superficie
(b) El flujo a través de la superficie curva es cero, ya que E es perpendicular a n: (c) El flujo total es la suma de flujos a través de todas las superficies: (d) La ley de Gauss relaciona la carga interior con el flujo neto:
1.3 Cálculo del campo eléctrico E mediante la ley de Gauss El campo eléctrico debido a una distribución de carga altamente simétrica puede calcularse fácilmente mediante la ley de Gauss. En primer lugar determinaremos una superficie llamada superficie gaussiana, sobre la cual la magnitud del campo E es constante. El flujo a través de esta superficie será proporcional al campo E. La ley de Gauss relaciona este campo con la carga interior a la superficie.
EJEMPLO 2.2: Campo producido por un hilo rectilíneo cargado Facultad De Ingeniería - Departamento Académico De Física
14 Física III
La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada 2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L. Flujo a través de las bases del cilindro: el campo E y el vector superficie S1 o S2 forman 90º, luego el flujo es cero. Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es paralelo al vector superficie dS. El campo eléctrico E es constante en todos los puntos de la superficie lateral,
El teorema de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido entre 0.
Para una línea indefinida cargada, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos: 1.-A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico.
El flujo total es, E·2 rL 3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada La carga que hay en el interior de la superficie cerrada vale q= L, donde es la carga por unidad de longitud. 4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
El mismo resultado que hemos obtenido previamente, pero de una forma mucho más simple.
EJEMPLO 2.3: Campo eléctrico E próximo a un plano infinito de carga cada base del cilindro es paralela al plano y tiene un área A. En este caso, E es paralelo a la superficie cilíndrica y no existe ningún flujo que atraviese esta superficie curva. Puesto que el flujo que sale por cada cara, superior o inferior, es EnA, el flujo total es 2EnA. La carga neta en el interior de la superficie es A, A partir de la ley de Gauss se obtiene sea, Figura 23.18 Superficie gaussiana para el cálculo del campo eléctrico E debido a un plano infinito de cargas. En las caras superior e inferior de esta caja cilíndrica, E es perpendicular a la superficie y de valor constante.
La figura 23.18 muestra un plano infinito de carga de densidad superficial de carga . Por simetría sabemos que el campo eléctrico E debe ser perpendicular al plano, dependiendo sólo de la distancia del plano al punto del campo y que ha de tener el mismo valor pero sentido opuesto en los puntos situados a la misma distancia por arriba y por debajo del plano. Escogeremos como superficie gaussiana un cilindro en forma de caja con su eje perpendicular al plano y con su centro en el plano. Suponemos que
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Campo eléctrico E próximo a un plano infinito de carga
Este resultado coincide con el que obtuvimos con mucha mayor dificultad mediante la ley de Coulomb (ecuación 23.12a). Obsérvese que el campo es discontinuo en el plano. Si la carga se encuentra en el plano xy, el campo es Ez = /20 justo por encima del plano y Ez = -/20 justo por debajo del plano. La discontinuidad del campo viene dada por Ez=/20-(-/20)=/0.
Electrostática – Campo Eléctrico y Ley de Gauss 15
EJEMPLO 2.4: Campo eléctrico E próximo a un plano infinito de carga Un plano infinito de densidad de carga superficial = +4,5 nC/m2 coincide con el plano yz en el origen, y un segundo plano infinito de densidad de carga superficial = -4,5 nC/m2 se localiza en un plano paralelo al plano yz en x = 2 m. Determinar el campo eléctrico en (a) x = 1,8 m y (b) x = 5 m. Esquema del problema Cada uno de los planos produce un campo eléctrico uniforme de magnitud E = /20. Utilizaremos la superposición para determinar el campo resultante. Entre los planos, los campos se suman, produciendo un campo neto de magnitud /0 en la dirección x positiva. Para x > 2 m o x < 0, los campos apuntan en direcciones opuestas y se cancelan.
(a) 1. Calcular la magnitud del campo E producido por cada plano:
2. A x = 1,8 m, entre los planos, el campo debido a cada plano apunta en la dirección x positiva: (b) A x = 5 m, los campos debidos a los dos planos tienen sentidos opuestos: Observaciones Las líneas de campo eléctrico comienzan en el plano positivo y terminan en el plano negativo. E es cero excepto entre los planos. Obsérvese que E x,neto = 508 N/C, no justamente a x=1,8m, sino en cualquier punto entre los planos
EJEMPLO 2.5: Campo eléctrico creado por una esfera uniformemente cargada: hemos visto que ambas leyes son equivalentes para cargas estáticas.
Para calcular el campo eléctrico debido a distribuciones de carga con simetría esférica utilizaremos una superficie gaussiana esférica. Ilustraremos el método determinando el campo eléctrico a una distancia r de una carga puntual q. Por simetría E será radial y su magnitud depende sólo de la distancia a la carga. Como superficie gaussiana, elegiremos una superficie esférica de radio r centrada en la carga. El componente normal de E, En -l n = Er, tiene el mismo valor en todos los puntos de nuestra superficie esférica. El flujo neto a través de esta superficie es, pues,
Pero
dA es el área total de la superficie esférica, 42.
Puesto que la carga total en el interior de la superficie es precisamente la carga puntual q, la ley de Gauss nos da o sea Así pues, hemos deducido la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss. Como inicialmente dedujimos la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb (véase sección 23.6)
Consideremos una corteza esférica uniformemente cargada de radio R y carga total Q. Por simetría, E debe ser radial y su magnitud dependerá sólo de la distancia r contada desde el centro de la esfera. En la figura 23.20 hemos escogido una superficie gaussiana esférica de radio r > R. Como E es perpendicular a esta superficie y constante en magnitud en todos los puntos de la misma, el flujo que atraviesa la superficie es
Como la carga total dentro de la superficie gaussiana es la carga total sobre la corteza, Q resulta por la ley de Gauss
es decir,
Campo eléctrico E exterior a una corteza esférica de carga Así pues, el campo eléctrico exterior a una corteza esférica uniformemente cargada es el mismo que si toda la carga estuviera en el centro de la corteza. Si escogemos una superficie gaussiana esférica en el interior de la corteza, de modo que r < R, el flujo neto es de nuevo Er4r2, pero la carga total dentro de la esfera es cero. Por tanto, para r < R, la ley de Gauss nos da
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16 Física III y
Campo eléctrico E interior a una corteza esférica de carga Estos resultados pueden obtenerse por integración directa de la ley de Coulomb, pero el cálculo es mucho más difícil. La figura 23.21 muestra la variación de Er en función de r para esta distribución de carga. Obsérvese también que el campo eléctrico es discontinuo en r = R, donde la densidad de carga superficial es . Justamente fuera de la corteza, para r= R, el campo eléctrico es Er = Q/40R2 = /0, ya que = Q/4R2. Como el campo justamente dentro de la corteza es cero, el campo eléctrico es discontinuo en la magnitud a/e0 al atravesar la corteza.
Figura 23.21 (a) Gráfica de Er en función de r para una distribución de carga de una corteza esférica. El campo eléctrico es discontinuo en r = R, en donde existe una carga superficial de densidad o. (b) La disminución con la distancia del campo Er creado por una corteza esférica cargada, es evidente por el efecto del campo sobre las llamas de estas dos bujías. La corteza esférica del generador van de Graaff (aparato que será estudiado en el capítulo 24) a la izquierda posee una gran carga negativa que atrae los iones positivos de la llama de la bujía más próxima. La llama de la derecha, más alejada, no se afecta por la presencia del campo.
EJEMPLO 2.6: Campo eléctrico creado por una esfera uniformemente cargada: Una corteza esférica de radio R = 3 m tiene su centro en el origen y es portadora de una densidad de carga superficial o- = 3 nC/m2. Una carga puntual q = 250 nC se encuentra sobre el eje y en y - 2 m. Determinar el campo eléctrico sobre el eje x en (a) x = 2 m y (b) x = 4 m. Esquema del problema Determinamos el campo debido a la carga puntual y el debido a la corteza esférica y sumamos los vectores del campo. Para (a), el punto del ¿ampo queda dentro de la corteza, de modo que el campo se debe sólo a la carga puntual (figura 23.22a). Para (b), el punto del campo está fuera de la corteza; por tanto, la corteza puede considerarse como una carga puntual en el origen. Después >e determina el campo debido a las dos cargas puntuales (figura 23.222?).
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(a) 1. Dentro de la corteza Er es debido sólo a la carga puntual: 2. Calcular la distancia rx: 3. Utilizar rx para calcular la magnitud del campo: 4. En la figura 23.22a puede verse que el campo forma un ángulo de -45° con el eje x: (b) 1. Fuera de su perímetro, la corteza puede considerarse como una carga puntual en el origen y el campo debido a la corteza Es está dirigido a lo largo del eje x: 2. Calcular la carga total Q sobre la corteza: 3. Utilizar Q para calcular el campo debido a la corteza: 4. El campo debido a la carga puntual es: 5. Calcular la distancia entre la carga puntual q sobre el eje -. y el punto del campo en x = 4 m: 6. Calcular la magnitud del campo debida a la carga puntual: 7. Este campo forma un ángulo 0 con el eje x, en donde: 8. Los componentes x e y de este campo son, por tanto: 9. Determinar los componentes x e y del campo eléctrico neto:
Observación Dados los componentes x e y de un campo, la magnitud y dirección del campo neto vienen dados por E = JE% + E¿ y tg & = Ey/Ex. EJEMPLO 2.7: Campo eléctrico E debido a una esfera uniformemente cargada Determinar el campo eléctrico (a) fuera y (b) dentro de una esfera sólida uniformemente cargada de radio JR portadora de una carga Q distribuida por todo el volumen de la esfera con densidad de carga p = QJV, siendo V = ^nR3 el volumen de la esfera. Esquema del problema Por simetría, el campo eléctrico debe ser radial, (a) Para determinar Er fuera de la esfera cargada, debemos elegir una superficie esférica gaus-siana de radio r > R (figura 23.23a). (b) Para determinar Er dentro de la esfera, elegimos una superficie gaussiana esférica de Facultad De Ingeniería - Departamento Académico De Física
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radio r < R (figura 23.23b). En cada una de estas superficies, Er es constante. La ley de Gauss relaciona entonces Er con la carga total dentro de la superficie. (a) 1. (Fuera) Relacionar el flujo a través de la superficie gaussiana con el campo eléctrico ET sobre dicha superficie para r> R: 2. Aplicar la ley de Gauss para relacionar el campo con la carga total dentro de la superficie, Q: 3. Despejar Er: (b) 1. (Dentro) Relacionar el flujo a través de la superficie gaussiana con el campo eléctrico sobre dicha superficie para r
en donde Q es la carga total de la esfera. EJEMPLO 2.3: GEOMETRÍA CILINDRICA Para calcular el campo eléctrico debido a distribuciones de carga simétricamente cilindricas, utilizaremos una superficie gaussiana cilindrica. Ilustraremos este cálculo comenzando con la determinación del campo eléctrico debido a una carga lineal infinitamente larga de densidad lineal uniforme de carga, problema que se ha resuelto previamente mediante la ley de Coulomb. Utilizar la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico a una distancia r de una carga lineal infinitamente larga de densidad de carga uniforme A. Esquema del problema Por simetría, las líneas de campo eléctrico irradian uniformemente desde la línea de campo, hacia fuera si X es positiva y hacia dentro si X es negativa. Por tanto, elegiremos una superficie gaussiana cilindrica de longitud L y radio r (figura 23.25). El campo eléctrico es, por tanto, perpendicular a la superficie cilindrica y posee el mismo valor Er en cualquier punto de la superficie. El flujo eléctrico es
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entonces igual al producto del campo eléctrico por el área de la superficie cilindrica, que es 2tuL. No hay flujo a través de las superficies planas de los extremos del cilindro, ya que en estas superficies En =0. 1. Relacionar el flujo a través de la superficie gaussiana con el campo eléctrico Er sobre la superficie gaussiana para r>R: 2. Aplicar la ley de Gauss para relacionar el campo con la carga total en el interior de la superficie Qinterior: 3. La carga interior es la carga que existe sobre una longitud L de la línea: Sustituir este valor para Qinterior Y despejar Er: Observación Como 1/(27re0) = 2k, el campo es 2kX/r, equivalente a la ecuación 23.9, si sustituimos r = y. Es importante destacar que para usar la ley de Gauss en el cálculo de campos eléctricos es necesaria la existencia de un alto grado de simetría, aunque sea válida para cualquier superficie que rodee cualquier distribución de cargas. En el cálculo anterior fue necesario suponer que el punto del campo estaba muy alejado de los extremos de la carga lineal, de tal modo que En sería constante en todos los puntos de la superficie gaussiana cilindrica. Esto equivale a suponer que a la distancia r de la línea de carga, ésta parece ser infinitamente larga. Si la carga lineal es de longitud finita, no podemos suponer que E es perpendicular a la superficie cilindrica o que En es constante en todos los puntos de la misma y, por tanto, no puede utilizarse la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico.
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