Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

Laboratorio de Física Experimental Experimental Prof.: Oscar Baltuano

DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA

MARTÍN JOSEMARÍA VUELTA ROJAS Facultad de Ciencias Físicas Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Resumen El objetivo de este experimento es demostrar que el número de pulsos contados durante intervalos de tiempo idénticos por un tubo contador ubicado a una distancia fija de un emisor de radiación de larga vida se corresponden con la distribución de Poisson. Así mismo mostraremos que la distribución de Gauss es también adecuada, bajo ciertas condiciones, para aproximar la distribución del pulso medido a través de un emisor de radiación de larga duración y un tubo contador. En particular analizaremos el comportamiento estadístico de la desintegración radioactiva del Co-60 y del Na-22.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACI DESINTEGRACIÓN ÓN RADIOACTIVA MARTÍN JOSEMARÍA VUELTA ROJAS

1. INTRODUCCIÓN El decaimiento radiactivo es un proceso aleatorio: cualquier medida basada en la observación de la radiación emitida en una desintegración radioactiva está sujeta en algún grado a la fluctuación estadística. Estas fluctuaciones inherentes representan una fuente inevitable de incertidumbre en todas las medidas nucleares y a menudo pueden ser fuentes predominantes de imprecisión o error. El término estadística de conteo incluye el marco de referencia del análisis estadístico requerido para procesar los resultados de experimentos de conteo nuclear y hacer predicciones acerca las precisiones esperadas de cantidades derivadas de estas medidas. El valor de la estadística de conteo cae en dos categorías generales. La primera es para verificar el funcionamiento normal de un equipo de conteo nuclear. Aquí un conjunto de medidas es registrado bajo condiciones en el cual todos los aspectos del experimento son mantenidos como una constante tanto como es posible. Debido a la influencia de fluctuaciones estadísticas, estas medidas no serán las mismas sino que nos mostrarán un grado de variación interna. La cantidad de esta fluctuación puede ser cuantificada y comparada con predicciones de modelos estadísticos. Si la cantidad de fluctuación observada no es consistente con predicciones uno puede concluir que alguna anormalidad existe en el sistema de contaje. La segunda aplicación es generalmente más valiosa y trata con la situación en la cual tenemos solamente una medida. Podemos usar la estadística de conteo para predecir su incertidumbre inherente y así estimar una precisión que podría estar asociada con una sola medida.

2. DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS ESTADÍSTICAS 2.1. Experimento aleatorio, variable aleatoria y probabilidad Un experimento se denomina experimento aleatorio si bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia Laboratorio de física experimental

3


particular. Este resultado que se busca medir suele ser, en general, de naturaleza cuantitativa en tal caso la variable estadística caracterizada por este resultado recibe el nombre de variable aleatoria. Según esto podemos definir una variable aleatoria de la siguiente forma:

 es una variable estadista cuantitativa perteneciente al espacio muestral  de un experimento aleatorio. Evidentemente no podemos identificar con  a los elementos  del espacio Una variable aleatoria

muestral, ni con el numero asociado a dicho elemento. De hecho se entiende

 como una función que a cada elemento    le hace corresponder un número   ()  . La variable aleatoria  es pues, una función que atribuye a cada evento elemental de  un número  que no es aleatorio ni imprevisible sino fijo y predeterminado. Lo que es aleatorio es el experimento sobre cuyo

espacio muestral se define la variable aleatoria.

Figura 1. Variable Aleatoria.

Entendido así podemos decir que el dominio de la variable aleatoria

 es el

 y algún conjunto   . Dependiendo de las características de  podemos catalogar la variable aleatoria  como una variable aleatoria discreta si el conjunto  es finito o infinito numerable o como una variable aleatoria continua si  infinito no numerable; en este último caso  constituye un intervalo de la recta real.

espacio muestral

En general las variables aleatorias discretas representan de datos que provienen del conteo de cierto número de elementos, mientras que las variables aleatorias continuas provienen de mediciones (longitud, tiempo, peso, etc). Consideremos el caso de una variable aleatoria discreta. Si realizamos el ex4

Laboratorio de física experimental




perimento aleatorio una cantidad determinada de veces, digamos , tendre-

  () ha aparecido en los resultados  veces dentro del conjunto de  resultados. El cociente  ⁄ recibe el nombre de frecuencia relativa  de  , si realizamos el experimento tantas veces que   , entonces  tenderá a un valor fijo que denominaremos probabilidad de  y lo denotaremos por  [    ]. A partir del método que se ha empleamos entonces que el valor

do para obtener el concepto de probabilidad son inmediatas las siguientes propiedades

1. 2. 3.

[    ]     ∑ [   ]   [   ]  

Si tomamos los pares ordenados

(  [   ]) y los graficamos en el plano

cartesiano tendremos una distribución de probabilidades sobre el plano. La

(  [    ]) puede ser modelado mediante una función  () siendo esta de forma tal que  ( )  [    ], a dicha

curva que contiene a los puntos

función se le denomina función o distribución distribución de probabilidad . En términos de esta función podemos expresar las propiedades de la probabilidad de la siguiente forma 1. 2. 3.

( )     ∑ ( )   ( )  

A partir de la función de probabilidad podemos definir la el valor esperado

 para una variable aleatoria  como el valor límite que toma la mediana cuando   . Matemáticamente expresamos esta definición como ∑   ( ). De igual forma son parámetros de gran utilidad en el análisis estadístico la varianza  que se define como el valor esperado de (   ), es decir   ∑ (   ) ( ). No es difícil demostrar que   puede calcularse mediante la formula   ∑ ()   . Y la desviación estándar  definida como la raíz cuadrada de la varianza, esto es     . (o esperanza matemática)

La extensión de estos conceptos hacia variables aleatorias continuas se hace Laboratorio de física experimental

5


a partir de la consideración de que la probabilidad de un valor puntual de la



variable es nula y solo es posible calcular la probabilidad de que esta caiga

  , así se define la función de densidad de distribución si guientes requisitos de probabilidad ( ) como aquella que cumple los siguientes 1. ()    2. ∫ ()   3. [  ]  ∫ ()   A partir de estas condiciones no es difícil demostrar que [  ] satisface los

en in intervalo

denominados axiomas de probabilidad. A partir lo dicho podemos expresar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar como

  ()     (  )()       ́ 2.2. Distribuciones de probabilidad

 como la función densidad de distribución  caracterizan el comportamiento de la variable aleatoria  determinando Tanto la función de distribución

los parámetros estadísticos para su descripción. La elección de tales funciones no es arbitraria sino que depende mucho de las características del experimento aleatorio realizado lo cual hace que para ser candidatas a modelar el comportamiento de una determinada variable aleatoria deben cumplir con una serie de supuestos que permiten elegirlas de tal forma que cumplan su papel de la mejor forma posible. En principio cualquier función que cumpla tales requisitos puede ser tomada como

 o , sin embargo solo algunas son

importantes por su aplicabilidad a diversos experimentos aleatorios. 2.3. Proceso y distribución de Poisson Una de las distribuciones de probabilidad de variable discreta más importantes es la distribución de Poisson. Esta distribución modela la probabilidad asociada a una variable

6

 mediante la función Laboratorio de física experimental


  ()        y representamos esta relación mediante  (). El significado del parámetro  queda claro a partir de las características del experimento aleatorio del cual se toma , básicamente este experimento se reduce a un conteo dentro de un intervalo finito de cualquier magnitud continua (tiempo, longitud, volumen, etc.) considerando que cada uno de los valores de



 es independiente

de los otros. En estas circunstancias el parámetro se identifica con la espe-

   . No una tarea complicada demostrar se cumple la igualdad   . ranza matemática de , es decir

Los experimentos aleatorios que cumplen con estas condiciones suelen denominarse procesos de Poisson. Dada la naturaleza hipotética de

 en el sentido de que nunca podremos rea-

lizar un experimento un número infinito de veces, para conjuntos grandes de datos podemos tomar sin mas

  ̅ y considerar aun la igualdad   .

Figura 2. El eje horizontal es la variable  . La función solamente está definida en valores enteros de  . Las líneas que conectan los puntos p untos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

2.4. Distribución de Gauss Para la descripción estadística de una variable aleatoria continua

 es común

el empleo de la distribución Gaussiana o distribución Normal con paráme-

 

tros y . Esta distribución modela la distribución de probabilidad mediante


7


la función de densidad

      ()  √    〈〉 〉      (  ). De la definición de  y  y denotamos esta relación mediante ( es fácil demostrar que estos parámetros se corresponden con  y   respectivamente. El termino

(  )⁄

recibe el nombre de variable estandarizada pues si

consideramos como variable a tonces

().

  (   )⁄ se tiene que si (  ) en-

Figura 3. Distribuciones Gaussianas. La línea verde corresponde a la distribución normal estándar.

2.5. El teorema del límite central y la aproximación PoissonNormal Uno de los resultados más importantes de la teoría de probabilidades es el denominado teorema del límite central , este teorema permite justificar la importancia de la distribución normal y su aplicabilidad a casi cualquier tipo de procesos aleatorios. Este teorema establece que para un conjunto de va-

{  } distribuidas con igual me  es del dia  y varianza  , la distribución de la variable aleatoria   ∑ tipo (  ) cuando  tiende al infinito. La calidad de esta aproximación está determinada por el valor de  siendo riables aleatorias independientes

8



común la afirmación que la aproximación a la distribución normal es para valores de

. La aplicación del teorema a una variable aleatoria discreta

induce un error cometido pro aproximar su probabilidad mediante una función de densidad de probabilidad así el error cometido se denomina error por continuidad , este error se corrige mediante el factor de corrección por

 empleado al momento de calcular la probabilidad de un valor puntual mediante la aproximación [   ]  [    ].

continuidad

Haciendo el uso del teorema del límite central podemos aproximar la distribución de Poisson con la condición adicional

  .

3. DECAIMIENTO RADIOACTIVO Y ESTADÍSTICA 3.1. El decaimiento radioactivo En general, los núcleos de los distintos elementos no son estables. Emiten espontáneamente partículas cargadas y radiación electromagnética. Este fenómeno se conoce como radiactividad natural, y fue descubierto accidentalmente en 1896 por Henri Becquerel. Los núcleos excitados vuelven a su estado basal mediante tres tipos de de-

 consiste en la emisión de una partícula  o átomos de helio doblemente ionizados;  consiste en la emisión de partículas , electrones o positrones; y , cuando el retorno al estado basal se lleva a cabo mediante la caimiento:

emisión de radiación electromagnética. 3.2. Naturaleza estadística y distribución de Poisson Tal como se indicó en la introducción, el decaimiento radiactivo es un proceso aleatorio: cualquier medida basada en la observación de la radiación emitida en una desintegración radioactiva está sujeta en algún grado a la fluctuación estadística. Las hipótesis con las cuales se trabaja para el estudio de las

desintegraciones radiactivas, cuya validez está corroborada por la experiencia, son a.

Dado un intervalo temporal, todos los átomos de una muestra tienen la


9


misma probabilidad de desintegrarse en dicho intervalo. b.

La desintegración de un átomo es un evento independiente de la desintegración de los demás átomos de la muestra.

c.

La probabilidad de desintegración de un átomo en un dado intervalo temporal permanece constante para todo intervalo temporal de la misma duración.

Si tenemos en cuenta estas consideraciones y realizamos un experimento en el cual la variable aleatoria tome el valor del número de átomos que se desindesi n-



tegran en un intervalo de tiempo , vemos que naturalmente el experimento corresponde a un proceso de Poisson por lo cual el conteo de las emisiones se puede aproximar mediante una distribución de Poisson. El objetivo del experimento esta en corroborar estas hipótesis y mostrar que la distribución de Poisson es en efecto la correspondiente al decaimiento radioactivo. La elección y definición de los parámetros estadísticos a tener en cuenta se darán a conocer en el diseño experimental siendo que ya se ha adelantado el valor de la variable a medir.

4. DISEÑO EXPERIMENTAL EXPERIMENTAL Conecte la Unidad Básica Cobra3 a la computadora del puerto COM1, COM2 o al puerto USB (el uso de USB a RS232 Convertidor 14.602,10). Iniciar el programa de medida y seleccione Cobra3 Radioactivity Gauge. Comenzar a grabar la medición utilizando los parámetros tiempo (medido en



segundos ), la duración del intervalo durante el cual se realizará la cuenta y los impulsos que corresponden al número de átomos desintegrados detectados. El primer paso es ajustar la distancia entre la fuente radiactiva y el tubo contador, así como el cómputo del tiempo de tal manera que un pulso promedio de un valor estimado de resultados. El siguiente experimento preliminar debe llevarse a cabo para esta finalidad. 

10

Coloque la fuente radiactiva de unos 5 cm de distancia de la abertura Laboratorio de física experimental


de admisión del tubo contador. Compruebe el valor medido. medido. Si es necesario, cambiar la distancia entre



la fuente radiactiva y el tubo contador con el fin de obtener el número deseado de la cuenta. Para dar a las bajas tasas de pulso, será ayudar a poner una hoja de papel entre la fuente y el tubo contador. Luego de una serie de medidas (tamaño de la muestra 1000) se lleva a cabo el experimento con la ayuda de los equipo experimental y los ajustes del experimento preliminar. Repita la medición con mayor número de cuentas (reducir la brecha, si es necesario, aumentar el periodo de cálculo), por ejemplo, para un promedio de pulsos de 5, 10 y 20 por contar intervalo. Las muestras radioactivas para este experimento fueron una de otra de

.

 y

Figura 4. Equipo experimental Cobra3 para el estudio estadístico del decaimiento radioactivo.

5. RESULTADOS 5.1. Experimento 1.



El primer experimento a realizar tendrá como fuente de emisiones radioacti-

 con las siguientes especificaciones   Intervalo de tiempo :

vas al


11


Tiempo de medición

:

Promedio esperado

:

   

Haciendo la identificación del experimento con un proceso de Poisson tene-

  y el parámetro  es el número de cuentas esperadas en cada intervalo,   mos que el intervalo unitario en este caso de tiempo) es

Luego de realizar el conteo del número de repeticiones de la cantidad de detecciones por intervalo tenemos la Tabla 1.



# Cuentas (X) Frecuencia Absoluta ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8

2303 2392 1208 446 122 26 6 1

Tabla 1: Conteo del número de cuentas obtenidas. Frecuencias absolutas de intervalos con X cuentas.

Considerando que el conteo total de emisiones es 6504, tabulamos las frecuencias relativas de cada cuenta. Este resultado se muestra en la Tabla 2.



# Cuentas (X) Frecuencia relativa (  ) 1 2 3 4 5 6 7 8

0.354090 0.367774 0.185732 0.068573 0.018758 0.003998 0.000923 0.000154

Tabla 2: Conteo del número de cuentas obtenidas. Frecuencias relativas de intervalos con X cuentas.

Las tablas Tabla 1 y Tabla 2, y los gráficos de frecuencias muestran una distribución claramente asimétrica de los conteos realizados. La aproximación de la distribución de Poisson la hacemos mediante el uso de la función 12



   ()      y también con   ̅, donde ̅ representa la media expecon     rimental ∑   que en este caso es 2.046587 (con 6 decimales como se trabajó con  ). Se presenta entonces la Tabla 3. Frecuencia # Cuentas X Relativa (  )



0.354090 0.367774 0.185732 0.068573 0.018758 0.003998 0.000923 0.000154

1 2 3 4 5 6 7 8

Tabla 3: Comparación de los valores de

Distribución de Poisson ( )





0.270671 0.270671 0.180447 0.090224 0.036089 0.012030 0.003437 0.000859

Distribución de Poisson ( )





0.264368 0.270526 0.184552 0.094425 0.038650 0.013183 0.003854 0.000986

 y los valores de la distribución de Poisson para  y 

A partir de esta última tabla obtenemos un gráfico comparativo de

.

   y

3000

s a t n e u c X n o c s o l a v r e t n i e d a t u l o s b a a i c n e u c e r F

2500

2303

2392

2000

1500 1208

1000 446

500

122

26

6

1

6

7

8

0 1

2

3

4

5

Numero de cuentas X

Gráfica 1: Diagrama de barras de frecuencias absolutas.


13


0.40

s a t n e u c X n o c s o l a v r e t n i e d a v i t a l e r a i c n e u c e r F

0.354090

0.367774

0.35 0.30 0.25 0.185732

0.20 0.15 0.10

0.068573

0.05

0.018758

0.00 1

2

3

4

0.003998 0.000923 0.000154

5

6

7

8

Numero de cuentas X

Gráfica 2. Diagrama de barras de frecuencias relativas.

0.4 n o s s i o P e d d a d i l i b a b o r P y a v v i t a l e R a i d n e u c e r F

0.35 0.3

0.25 0.2

0.15 0.1

0.05 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Numero de Cuentas por intervalo de tiempo

Frecuencia Relativa

Media

Lambda

(Frecuencia Relativa) y distribuciones distribuciones de  (Media) y    (Lambda). Poisson con   

Gráfica 3: Distribución de frecuencias relativas

14



5.2. Experimento 2.



El segundo experimento tuvo como muestra también al

 con las si-

guientes especificaciones Intervalo de tiempo

:

Tiempo de medición

:

Promedio esperado

:

     

Identificamos la longitud el intervalo unitario con

  y   . La Tabla 4

muestra la las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas en cada intervalo. # Cuentas X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Frecuencia Frecuencia Absoluta ( ) Relativa (  ) 4 0.0036934 33 0.0304709 79 0.0729455 137 0.1265005 165 0.1523546 183 0.1689751 173 0.1597415 114 0.1052632 99 0.0914127 53 0.0489381 23 0.0212373 12 0.0110803 6 0.0055402 2 0.0018467





Tabla 4: Conteo del número de cuentas obtenidas. Frecuencias absolutas y relativas de intervalos con X cuentas.

La Gráfica 4 y la Gráfica 5 correspondientes a esta tabla muestran cierta forma acampanada pero asimétrica. Nuevamente hacemos la aproximación de la distribución de Poisson esta ves

    y también con   ̅, que en este caso es 6.3019391 (con 6 decimales como se trabajó con  ). Se presenta entonces la Tabla 4 que compara los valores de frecuencias relativas   y distribuciones (Media) y    (Lambda). de Poisson con   

considerando con


15


Distribución Distribución # Cuentas Frecuencia Relativa (  ) de Poisson ( ) de Poisson ( X



0.0036934 0.0304709 0.0729455 0.1265005 0.1523546 0.1689751 0.1597415 0.1052632 0.0914127 0.0489381 0.0212373 0.0110803 0.0055402 0.0018467

1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


  )



0.0115499 0.0363933 0.0764494 0.1204448 0.1518072 0.1594466 0.1435461 0.1130774 0.0791785 0.0498978 0.0285866 0.0150126 0.0072776 0.0032759

0.0148725 0.0446175 0.0892351 0.1338526 0.1606231 0.1606231 0.1376770 0.1032577 0.0688385 0.0413031 0.0225290 0.0112645 0.0051990 0.0022281

distribución de Poisson para   y   y los valores de la distribución


   y

. 200

s a t n e u c X n o c s o l a v r e t n i e d a t u l o s b a a i c n e u c e r F

180 160

140 120 100 80 60 40 20 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14



16



0.18 0.16 0.14 a v i t a l e R a i c n e u c e r F

0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14



0.18 n o s s i o P e d d a d i l i b a b o t P y s a i v i t a l e R s a i c n e u c e r F

0.16 0.14 0.12 0.1

0.08 0.06 0.04 0.02 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 1 1 12 1 2 13 1 3 14 1 4 15 15


Frecuencia Relativa

Media

Lambda

(Frecuencia Relativa) y distribuciones distribuciones de  (Media) y    (Lambda). Poisson con   



17


5.3. Experimento 3.



Para tercer experimento con

 se tuvieron en cuenta las siguientes

consideraciones Intervalo de tiempo

:

Tiempo de medición

:

Promedio esperado

:

   50 

  

Identificamos la longitud el intervalo unitario con y . La Tabla 6 muestra las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas en cada intervalo. # Cuentas X 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

Frecuencia Absoluta (F) 1 2 2 2 3 6 7 10 11 7 20 12 17 22 31 22 31 25 24 20 26 17 19 28 30 10

Frecuencia Relativa (f) 0.002053 0.004107 0.004107 0.004107 0.006160 0.012320 0.014374 0.020534 0.022587 0.014374 0.041068 0.024641 0.034908 0.045175 0.063655 0.045175 0.063655 0.051335 0.049281 0.041068 0.053388 0.034908 0.039014 0.057495 0.061602 0.020534

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18



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# Cuentas X 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 76 78

Frecuencia Absoluta (F) 9 20 8 8 9 6 6 5 1 6 2 1 1

Frecuencia Relativa (f) 0.018480 0.041068 0.016427 0.016427 0.018480 0.012320 0.012320 0.010267 0.002053 0.012320 0.004107 0.002053 0.002053

Tabla 6: Conteo del número de cuentas obtenidas. Frecuencias absolutas y relativas de intervalos con X cuentas.

Las gráficas 7 y 8 muestran, en cierta medida, una simetría lo cual hace recordar a la simetría característica de una distribución estadística de tipo gaussiana. Nuevamente hacemos la aproximación de la distribución de Poisson esta ves

     y también con   ̅, que en este caso es 55.447639 (con 6 decimales como se trabajó con  ). Se presenta entonces la Tabla 7 que compara los valores de frecuencias relativas  y distribuciones de Poisson con   ̅ (Media) y  (Lambda).

considerando con

Distribución # Cuentas Frecuencia X Relativa (  ) de Poisson ( 37 38 39 40 41 42 43 44



0.002053 0.004107 0.004107 0.004107 0.006160 0.012320 0.014374 0.020534

  

0.002015 0.002941 0.004181 0.005795 0.007837 0.010347 0.013342 0.016813

Distribución ) de Poisson (

)

0.010196 0.013416 0.017200 0.021500 0.026219 0.031213 0.036294 0.041244

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19



Distribución # Cuentas Frecuencia X Relativa (  ) de Poisson ( 45

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 76 78



0.022587 0.014374 0.041068 0.024641 0.034908 0.045175 0.063655 0.045175 0.063655 0.051335 0.049281 0.041068 0.053388 0.034908 0.039014 0.057495 0.061602 0.020534 0.018480 0.041068 0.016427 0.016427 0.018480 0.012320 0.012320 0.010267 0.002053 0.012320 0.004107 0.002053 0.002053


  

0.020717 0.024972 0.029460 0.034031 0.038509 0.042705 0.046429 0.049507 0.051793 0.053182 0.053615 0.053086 0.051640 0.049368 0.046395 0.042875 0.038972 0.034854 0.030676 0.026576 0.022671 0.019046 0.015762 0.012852 0.010328 0.008181 0.006389 0.004920 0.003737 0.001510 0.000773


)

0.045826 0.049811 0.052991 0.055199 0.056325 0.056325 0.055221 0.053097 0.050091 0.046381 0.042164 0.037647 0.033023 0.028468 0.024126 0.020105 0.016479 0.013290 0.010547 0.008240 0.006339 0.004802 0.003584 0.002635 0.001909 0.001364 0.000960 0.000667 0.000457 0.000135 0.000056

 y los valores de la distribución de Poisson para  y 


   y

. 20



35 30 25

a t u l o s b A a i c n e u c e r F

20 15

10 5 0 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 78 Numero de Cuentas por intervalo de tiempo


0.07 0.06 0.05

a v i t a l e R a i c n e u c e r F

0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 78 Numero de Cuentas por intervalo de tiempo



21


0.07 n o s s o i P e d d a d i l i b a b o r P y a v i t a l e R a i c n e u c e r F

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 30

40

50

60

70

80


Frecuencia Relativa

Lambda

Media

distribuciones de (Frecuencia Relativa) y distribuciones  (Media) y  (Lambda). Poisson con   




Es interesante notar que en este caso el valor esperado de la media difiere

̅ mucho más de lo que difería en los casos anteriores y que un ajuste de Poisson que toma   ̅ se ajusta mejor a los datos que  que era lo que se esperaba. Por otro lado la curva originada por el ajuste con   ̅ es de forma acampanada y muy simétrica comparada con del promedio de los datos

las otras curvas de Poisson de los experimentos anteriores. Para apreciar esto se elaboró una tabla similar a la Tabla 7 para una posible distribución de Gauss obteniéndose: Distribución # Cuentas Frecuencia X Relativa (  ) de Poisson ( 37 38 39 40 41



0.002053 0.004107 0.004107 0.004107 0.006160

  

0.002292 0.003201 0.004388 0.005905 0.007837


)

0.011290 0.014248 0.017649 0.021459 0.026219

Continua en la siguiente pagina

22




Distribución # Cuentas Frecuencia X Relativa (  ) de Poisson ( 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 76 78

  



0.012320 0.014373 0.020533 0.022587 0.014374 0.041068 0.024641 0.034908 0.045175 0.063655 0.045175 0.063655 0.051335 0.049281 0.041068 0.053388 0.034908 0.039014 0.057495 0.061602 0.020534 0.018480 0.041068 0.016427 0.016427 0.018480 0.012320 0.012320 0.010267 0.002053 0.012320 0.004107 0.002053 0.002053


0.010346 0.013342 0.016813 0.020716 0.023716 0.028014 0.032481 0.036966 0.041294 0.045278 0.048731 0.051480 0.053380 0.054330 0.054277 0.053224 0.051229 0.048399 0.044883 0.040854 0.036500 0.032010 0.027554 0.023281 0.019307 0.015717 0.012558 0.009849 0.007582 0.005729 0.004249 0.003093 0.001067 0.000478


)

0.031213 0.036294 0.041243 0.045826 0.046900 0.050058 0.052442 0.053927 0.054432 0.053927 0.052442 0.050058 0.046900 0.043131 0.038934 0.034496 0.030001 0.025611 0.021459 0.017649 0.014248 0.011290 0.008781 0.006704 0.005023 0.003695 0.002668 0.001890 0.001315 0.000898 0.000602 0.000396 0.000101 0.000037

 y los valores de la distribución de Gauss para  y 

Comparando esta última tabla con la obtenida anteriormente para la distribución de Poisson notamos que los valores de las probabilidades ( Laboratorio de física experimental

 y 23


) no varían de forma significativa en el aspecto comparativo de los datos. Nuestra observación no falla y se pone aún más en evidencia comparando el grafico correspondiente a esta última tabla, Gráfica 10, con la Gráfica 9. 0.07 n o s s i o P e d d a d i l i b a b o r P y a v i t a l e R a i c n e u c e r F

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 30

40

50

60

70

80


Frecuencia Relativa

Lambda

Media

(Frecuencia Relativa) y distribuciones distribuciones de  (Media) y  (Lambda). Poisson con   


La en la comparación de ambas se aprecia una notable proximidad. 5.4. Experimento 4.



Para este cuarto experimento tomamos como muestra emisora

, y

realizamos dos ajustes de las frecuencias relativas: para una distribución de tipo Gauss y otra de tipo Poisson buscando una comparación similar al caso



anterior. Esta vez emplearemos emplearemos como parámetro el valor de la media de los

̅.

conteos

24

Intervalo de tiempo

:

Tiempo de medición

:

Promedio

:

    44.576042





Identificamos la longitud el intervalo unitario con

  y . La tabla 9

muestra la las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas en cada intervalo. # Cuentas X

)

Frecuencia Relativa (

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

0.001042 0.002083 0.004167 0.004167 0.004167 0.008333 0.020833 0.013542 0.016667 0.026042 0.034375 0.034375 0.046875 0.051042 0.063542 0.051042 0.066667 0.076042 0.047917 0.050000 0.054167 0.063542 0.038542 0.038542 0.039583 0.033333 0.019792 0.015625 0.020833 0.014583 0.007292 0.007292 0.004167 0.008333

Distribución Distribución de Poisson de Gauss

0.001348 0.002146 0.003298 0.004901 0.007047 0.009816 0.013260 0.017384 0.022141 0.027415 0.033029 0.038744 0.044284 0.049350 0.053654 0.056945 0.059032 0.059805 0.059242 0.057408 0.054447 0.050563 0.045998 0.041008 0.035843 0.030726 0.025842 0.021332 0.017289 0.013762 0.010762 0.008272 0.006249 0.004643

0.001584 0.002373 0.003473 0.004963 0.006925 0.009439 0.012563 0.016330 0.020730 0.025700 0.031115 0.036791 0.042483 0.047909 0.052763 0.056749 0.059609 0.061147 0.061257 0.059931 0.057263 0.053432 0.048691 0.043333 0.037662 0.031967 0.026498 0.021451 0.016959 0.013094 0.009873 0.007270 0.005229 0.003672

Continua en la siguiente pagina


25



# Cuentas X 61 62 63 64 65

)

Frecuencia Relativa (

0.006250 0.002083 0.001042 0.001042 0.001042


Distribución Distribución de Poisson de Gauss

0.003393 0.002439 0.001726 0.001202 0.000824

0.002519 0.001687 0.001104 0.000705 0.000440

 y los valores de la distribución de Gauss y Poisson 

Comparando los valores de la tabla encontramos que las variaciones entre una y otra distribución están comprendidas entre 0.002869 y 0.0000618 lo cual indica valores relativamente próximos, idénticos hasta con 2 cifras decimales, lo cual puede ser una buena aproximación. La grafica comparativa de cada una de las distribuciones y la frecuencia relativa se presenta a continuación. 0.08 0.07 0.06 a v i t a l e R a i c n e u c e r F

0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 20

30

40

50

60

70


Gauss

Poisson


Frecuencia Relativa

(Frecuencia Relativa) y distribuciones distribuciones de

Gauss y Poisson.

26



6. CONCLUSIONES Cualitativamente el experimento se realizó de manera sencilla en el sentido de que se las lecturas de los decaimientos radioactivos se obtiene con pocos instrumentos, lo cual minimiza los errores experimentales predominando básicamente los de cálculo. Además los objetivos del experimento fueron cumplidos pues so obtuvieron las aproximaciones estadísticas esperadas demostrando el carácter aleatorio de las emisiones radioactivas. Al hacer las gráficas de estas aproximaciones estadísticas apreciamos que la distribución de Poisson modela de manera satisfactoria la emisión radioactiva. Y no solo eso, sino que, además en los experimentos 3 y 4, vimos que se da la aproximación de la distribución de Poisson a la distribución de Gauss lo cual por teoría es perfectamente sustentado por el teorema del límite central que se presentó en el marco teórico.


27

Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

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