UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
“ LINEALIDAD Y PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN” CURSO
:
DOCENTE :
ANALISIS ESTRUCTURAL II
ING. IVAN LEON MALO
NUEVO CHIMBOTE CHIMBOTE - SEPTIEMBRE , 2012
LINEALIDAD Además de los principios básicos de equilibrio y compatibilidad, gran parte de los métodos que se emplean en estructuras se basan en el principio de linealidad. El problema de determinar los esfuerzos y movimientos que se producen en una estructura por acción de las cargas es “LINEAL”, esto es, la respuesta estructural es una función lineal de la solicitación si se admiten dos hipótesis adicionales:
LINEALIDAD Linealidad Geométrica:
Es decir, que los movimientos (traslaciones y
rotaciones) que se producen son pequeños. Se entiende que los desplazamientos son pequeños comparados con las dimensiones geométricas de la estructura (espesor, luz, etc.) Los giros son pequeños comparados con la unidad.
LINEALIDAD Linealidad Material:
Es decir, que la relación entre tensiones y deformaciones es
elástica y lineal, o sea, que los materiales de la estructura cumplen la ley de Hooke generalizada.
Es necesario precisar que ninguna de estas hipótesis son principios fundamentales, sino que se consideran porque su adopción se traduce en dos consecuencias importantes:
Desde el punto de vista formal, en la garantía de que la solución del
problema estructural, que satisface a la vez las condiciones de equilibrio y de compatibilidad, existe y es única, independientemente del procedimiento empleado para hallarla.
Desde el punto de vista metodológico, en la posibilidad de adoptar
importantes simplificaciones en el planteamiento del problema estructural, en la imposición de las condiciones de equilibrio como de compatibilidad.
La validez de la aplicación de estas hipótesis a cada caso debe considerarse cuidadosamente, aunque en la mayoría de los casos de interés viene avalada por la práctica. Así la hipótesis de linealidad geométrica, también llamada
hipótesis de pequeños movimientos o principio de rigidez, establece que la geometría de la estructura deformada no difiere sensiblemente de la geometría original, lo cual permite plantear las ecuaciones de equilibrio sobre la geometría original, en vez de tener que plantearlo sobre la geometría real, deformada, y desconocida a priori. Por ejemplo en la Figura 1 se observa cómo el considerar que los movimientos del extremo del voladizo son pequeños frente a las dimensiones del elemento permite calcular momentos sin conocer el valor de éstos. Así, el valor del momento de empotramiento es: FIGURA 1
M = F1x(L
Δx) + F2 x Δy ≡ F1x L
Donde: Δx: Es el acortamiento de la barra por efecto de la carga axial. Δy: Es el movimiento vertical del extremo del voladizo. L : Longitud nominal de la viga. Se ha considerado que, en la forma habitual, que “ Δx” es despreciable frente a “L” y que “ Δy” es despreciable frente al canto del elemento. Si la hipótesis de pequeños desplazamientos no fuera válida, el problema de determinación de las reacciones y esfuerzos sería “No Lineal”. En la Figura 2 se ve otro ejemplo de la aplicación del principio de rigidez, en este caso , en la deformación de una estructura articulada. Nótese que se ha considerado que los giros de las barras AB y BC respecto de los puntos, B y C, respectivamente, son pequeños y, en consecuencia, los arcos de circunferencia que en realidad describe el punto A al girar las barras se pueden sustituir por las correspondientes rectas tangentes, perpendiculares a las direcciones de los elementos. Además, al ser pequeñas las variaciones de longitud de las barras frente a sus dimensiones originales, se puede escribir, por ejemplo, para el giro de la barra AC respecto del punto C:
θAC ≡ Tan θAC ≡ A'1A' A'1C
≡ A'1A' = Δy AC
L1
FIGURA 2
Donde: Δy: Es la flecha del punto A L1 : Es la longitud nominal de la barra AC. Esta linearización de los giros facilita enormemente la determinación de la posición del punto A„, posición del punto A sobre la estructura deformada. La consecuencia directa de las hipótesis de linealidad es el “Principio de Superposición”, que establece que los efectos que un sistema de fuerzas origina sobre una estructura son iguales a la suma de los efectos que originan cada una de las fuerzas del sistema actuando por separado. Alternativamente, se puede enunciar diciendo que los efectos que un sistema de fuerza origina sobre una estructura no dependen del orden de aplicación de las fuerzas del sistema sobre la estructura .
“PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN” El principio de Superposicion constituye la base de gran parte de la teoria del analisis estructural y se interpreta como:
“El desplazamiento o esfuerzo total en un punto de la estructura sometida a varias cargas se puede determinar sumando los desplazamientos o
esfuerzos que ocasiona cada una de las fuerzas por separado”.
“PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN” Dos requisitos deben imponerse para que el principio de superposición sea aplicable:
1)El material estructural debe comportarse de manera elástica lineal , a fin de que sea valida la ley de hooke y la carga sea proporcional a la deformación 2)La geometría de la estructura no debe sufrir cambios importantes cuando se aplican las cargas. Si los desplazamientos son grandes , entonces cambian considerablemente la posición y orientación de las cargas. Es fácil ver que sin las hipótesis de linealidad geométrica y linealidad
material , el “Principio de Superposición” no sería válido.
Es fácil ver que sin las hipótesis de linealidad geométrica y linealidad
material , el “Principio de Superposición” no sería válido. 3000
300
Rango Elástico.
2000
1000
0 fs
200
100
0 f„c
.001
.0014
.002
.003
CURVA ESFUERZO-DEFORMACION UNITARIA .
