Informe 2 Conceptos de Linealidad

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, INFORME NO.2 CIRCUITOS II. 8, SEPTIEMBRE 2015

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Conceptos de linealidad, alinealidad y teorema de Thevenin Monica Castillo, Herzon Martinez, Alejandro Suarez

Resumen—En el presente documento se analizan circuitos mixtos empleando Thévenin y teor´ıa general para comprender el concepto de linealidad. Index Terms—Instrumentos, medidas, bombilla, resistencias, Thévenin.

I.

Un circuito lineal está conformado por fuentes independientes, fuentes dependientes lineales y elementos lineales. Un elemento lineal es un elemento pasivo cuyas relaciones voltios-amperios son también lineales, por ejemplo encontramos resistores, bobinas y capacitores. [2]

O BJETIVOS

Caracterizar la linealidad de algunos elementos eléctricos y analizar sistemas con elementos no lineales. Hacer uso del teorema de Thévenin para resolver circuitos eléctricos. II.

´ I NTRODUCCI ON

Conocer la relación entre las variables que determinan el comportamiento de un elemento de circuito eléctrico como una impedancia, permite suponer y analizar el comportamiento del mismo ya sea en función del tiempo, amplitud o una variable diferente, determinar estas relaciones de manera teórica y práctica es fundamental en la formación de los futuros ingenieros electricistas y electrónicos, pues en campo real se enfrentarán y argumentaran con los modelos generados del análisis de circuitos, en el presente documento se relacionan magnitudes básicas de circuitos para modelar y desarrollar el análisis de circuitos empleando Thévenin y reforzando el concepto de linealidad. A continuación se presenta un corto marco teórico con el fin de explicar mejor los montajes que se realizarán. Posteriormente se encuentran los diseños circuitales requeridos para responder las preguntas planteadas en la gu´ıa de laboratorio, junto con los cálculos y resultados asociados. Finalmente se tiene la bibliograf´ıa empleada para desarrollar el presente informe. III. III-A.

´ M ARCO TE ORICO

Linealidad:

Un circuito lineal es aquel para el cual una entrada sinusoidal de frecuencia “f” ,su salida será también una onda sinusoidal de frecuencia “f” sin necesariamente tener la misma fase. De esta manera, las ecuaciones que relacionen sus tensiones y corrientes son lineales sin excepciones. De una manera más informal, en un circuito lineal, si el est´ımulo se triplica, se triplicará la respuesta, si el est´ımulo se triplica, de igual forma lo hará la respuesta.

Figura 1. Bombilla incandescente halógena.

Figura 2. Ejemplo de circuito lineal.

La linealidad en un circuito implica el principio de superposición, este principio nos dice “la respuesta de un sistema lineal a varios est´ımulos, es la suma de las respuestas a cada uno de los est´ımulos”. [2] III-B.

Teorema de Thévenin:

Este teorema, aplicable solo para circuitos lineales, nos dice que se puede reducir un circuito a un modelo más sencillo compuesto por una fuente de alimentación de tensión y una resistencia en serie, la tensión recibe el nombre de voltaje Thévenin (Vth) y es la que se mide cuando el circuito de salida está abierto sin carga; la resistencia de manera similar,


recibe el nombre de resistencia Thévenin, la cual se puede determinar de tres formas: [1] • Se cortocircuitan todas las fuentes de tensión independientes y se abren todas las fuentes independientes de corrientes y se mide con un o´ hmetro la resistencia equivalente. • Hacemos un cortocircuito entre las terminales de salida y se mide la corriente de cortocircuito hallando la resistencia con la ecuación Rth= Vth/Ica. • Se aplica una tensión conocida en los terminales de salida y se mide la corriente entrante, este método se llama “tensión de prueba”. • Si disponemos del circuito, se procede a cortocircuitar todas las fuentes de tensión independientes y se abren todas las fuentes independientes de corriente, posteriormente, se determina la resistencia Thévenin por cálculo. • Si disponemos del circuito, cortocircuitamos todas las fuentes de tensión. [1]

2

V.

˜ ´ D ISE NOS Y C ALCULOS

Para cumplir el objetivo de la presente actividad, en cada apartado se realizan los diseños y cálculos necesarios, as´ı como los cuadros para registrar la información obtenida.

V-A.

Medición de curvas

Para el requerimiento a. de la gu´ıa se solicita diseñar un montaje para cuantificar la linealidad de una bombilla y una resistencia de laboratorio a partir de curvas (V-I). posteriormente halle las ecuaciones de dichas curvas. Para atender a este numeral se presenta en la figura 4. El circuito eléctrico para relacionar la tensión y corriente en una bombilla, en el cuadro 1 se registran los valores obtenidos de la simulación empleando el simulador Proteus y en la gráfica 1 se presenta la relación f´ısica obtenida entre las magnitudes medidas en simulación y la ecuación de relación.

Figura 3. Teorema de Thévenin.

IV. IV-A.

´ DE LA PR ACTICA ´ D ESCRIPCI ON

Materiales e Instrumentos requeridos

Para la realización de la práctica número 2, se emplearon los siguientes materiales: • 1 bombilla incandescente, con una potencia de 60 W. • 1 reóstato de 330 Ω. • 1 autotransformador AC (Variac). • Resistencias varias, con una potencia de 0.25 W. • 2 Mult´ımetros digitales. • Cable Banana-Caimán. • Cables de caimán-caimán. IV-B.

Metodolog´ıa

Esta práctica se divide en dos secciones:

Figura 4. Circuito empleado para medición parámetros de linealidad de una bombilla.

En este caso el reóstato hace su labor de resistencia variable alterando el flujo de corriente que circula sobre el bombillo.

a) Medición de curvas tensión contra corriente En esta parte se midieron los valores de tensión y corriente que pasan a través de una bombilla incandescente y el reóstato con ayuda del autotransformador. El eje del reóstato se mantuvo en una posición fija, el valor de la ressitencia en ese punto fue de 200 Ω según el mult`ımetro. b) Teorema de Thévenin Con la ayuda de unos circuitos con resitencias en serie y paralelo me medirá el equivalente de Thévenin con y sin una bombilla incadescente.

Tensión (V) Corriente (mA) 14.99 74.99 19.99 79.99 25.7 85.7 32.29 92.3 35.98 95.99 39.98 100.12 41.68 101.68 43.43 103.43 45.25 105.25 Cuadro I ´ DE BOMBILLA INCANDESCENTE DE LA FIGURA 4. S IMULACI ON


3

IR 8 = VR 8/R8 = 7, 97/665 = 11,53mA Luego del circuito anterior se extrae la bombilla y calculamos el equivalente Thévenin entre los puntos A y B. En primer lugar, calculamos la tensión de Thévenin entre los terminales A y B, efectuamos los cálculos de división de tensión con el fin de obtener la tensión entre los terminales A y B. (ver circuito de la figura 67844736)

Figura 5. Gráfica de los datos del cuadro 1.

V-B.

Teorema de Thévenin

Hubo que diseñar un circuito con m´ınimo 5 resistencias en serie y paralelo el cual este alimentado por una fuente con tensión de 120 V. Identifique dos puntos cualquiera en el circuito como A y B, y conecte la bombilla entre estos puntos. Resuelva las ecuaciones del sistema usando la curva hallada en el punto anterior el circuito propuesto para satisfacer este diseño es el siguiente (figura 5).

Figura 7. Circuito mixto propuesto ´ıtem B (continuación).

Para obtener la tensión de R4 calculamos la división de tensión que hay entre dos resistencias en serie: VR 4 = 3000/(3000 + 500) ∗ 120 = 102, 85V (1) Como toda tensión de un circuito en paralelo es la misma y la tensión de R6 y R7 y para nuestro caso la tensión Thévenin entre los puntos A y B comparten la misma tensión. Ahora para obtener la resistencia Thévenin la fuente de tensión la reemplazamos por un corto circuito y calculamos la resistencia equivalente vista desde el punto A y B:

Figura 6. Circuito mixto propuesto ´ıtem B.

En donde R debe interpretarse por abreviatura de resistencia, partir de las relaciones descritas en el cuadro 1, se tiene que para una tensión de 120 V la impedancia R8 es aproximadamente 665 Ω, a partir de este valor se desarrollan las ecuaciones del circuito como se evidencia a continuación, para ello se emplea la reducción equivalente entre las resistencias visto desde los puntos AB , obteniendo una resistencia equivalente (Rq) del circuito de 0.677 KΩ (sin incluir a R1), a partir de esta información se procede a emplear divisores de tensión para determinar la tensión en los resistores R2, R4 y por u´ ltimo R6, ya que R8 está en paralelo con este u´ ltimo y tendrá por tanto su misma magnitud en tensión, realizando el divisor de tensión para R2 (VR 2) se tiene que: VR 4 = V f uente ∗ Rq/(R1 + Rq) = 68, 61V (1) De la misma manera para VR 5 se asume valor de fuente la tensión de VR 4 y para VR 6 se asume la tensión de VR 4 obteniendo: VR 4 = 60,77V VR 6 = VR 7 = VR 8 = 7,97V Empleando la ley de Ohm, se tiene que la corriente a través de la resistencia R8 es:

Figura 8. Circuito para calcular la resistencia de Thévenin.

Las resistencias R1 y R4 están en paralelo es nuestro equivalente: R1/R4 = (500 ∗ 3000)/(500 + 300) = 428, 57V

Figura 9. Circuito equivalente.

Desarrollando este mismo proceso para determinar la resistencia equivalente Thévenin del circuito se obtiene:


4

VI.

VI-A.

´ R ESULTADOS Y AN ALISIS

Medición de curvas

Para el reóstato los resultados de tensión contra corriente fueron estos:

Figura 10. Resistencia de Thévenin.

Luego de haber hallado nuestros los valores de tensión y resistencia Thévenin se obtuvo el siguiente circuito, ver figura 10. R( T h) = 1001, 12 Ω

Figura 11. Circuito equivalente Thévenin

Tensión (V) Corriente (mA) 1.029 11.86 5.08 25.02 10.12 51 15.44 77.2 20.51 102 25.09 124 29.59 147 35.3 175 40.4 201 45.3 225 50.9 251 55.8 275 59.8 295 65.5 323 70.4 347 75.8 373 80.2 394 85.5 420 90.6 447 95.4 471 100.6 494 105.3 517 110.8 544 115.9 570 117.5 577 Cuadro II ´ CONTRA CORRIENTE DEL RE OSTATO ´ R ESULTADOS TENSI ON

Al graficar estos dos ejes de valores el resultado es este:

Figura 13. Tensión contra corriente del reóstato. Figura 12. Circuito equivalente Thévenin con bombilla

En este punto del diseño con el fin de simular la bombilla como una resistencia esta obtiene un valor de acuerdo al siguiente cálculo de conociendo la potencia máxima que puede llegar a disipar la bombilla en este caso que es de 60 W de potencia: P = v 2 /R = (37, 42 v)/(60W ) = 23, 31 Ω (3)

Se puede observar en la ecuación del gráfico que al hacer el despeje, el valor de la resitencia es de 204.39 Ω, también que el coeficiente de correlación (R) es muy alto. Para la bombilla los resultados de tensión contra corriente fueron estos:


Elemento

5

Tensión (V) Corriente (mA) 1.12 80 5.12 119 10.7 152 15.25 174 20.31 198 25.65 220 30.63 240 35.6 259 40.3 276 45.4 294 50.5 311 55.1 325 60.9 343 65.3 356 70.3 371 75.8 385 80.6 398 85.2 410 90.1 423 96.1 438 100.4 448 105.6 460 110.5 472 115.6 483 119.1 490 Cuadro III ´ CONTRA CORRIENTE DE LA BOMBILLA R ESULTADOS TENSI ON INCANDESCENTE .

Impedancia (KΩ)

Simulado-teórico Tensión (V) Corriente (mA) R1 0,5 16,98 33,96 R2 0,1 2,62 26,20 R3 3 17,7 5,90 R4 3 23,02 7,67 R5 1 20,39 20,39 R6 2 2,6 1,30 R7 5 2,6 0,52 BOMBILLA 0,67 2,6 3,88 Cuadro IV ´ CIRCUITO Í TEM B , SIMULACI ON ´ M EDICIONES TENSI ON

Práctico Tensión (V) Corriente (mA) R1 0,5 12,9 25,8 R2 0,1 2,03 20,3 R3 3 13,02 4,34 R4 3 17,67 5,89 R5 1 15,64 15,6 R6 2 2,6 1,3 R7 5 2,6 0,52 BOMBILLA 0,67 2,6 4,01 Cuadro V ´ CIRCUITO Í TEM B , RESULTADOS DE LA PR ACTICA ´ M EDICIONES TENSI ON

Al graficar estos dos ejes de valores el resultado es este:

En la figura 15 se muestra la simulación del circuito ´ıtem b y su valor para tensión en la resistencia de carga (bombilla).

En el cuadro 5 se registran los valores obtenidos en práctica Elemento

Impedancia (KΩ)

Figura 15. Simulación del circuito del ´ıtem B. Figura 14. Tensión contra corriente de la bombilla.

Al hace una aproximación sobre la resistencia en los valores con la mayor tensión el valor de esta es de 224 Ω, pero se nota que la ecuación no coincide a la perfección con los datos.

VI-B.

Teorema de Thévenin

A continuación se presenta la información obtenida en práctica del circuito de la figura 5, de los valores obtenidos en el ´ıtem a, la relación de tensión y corriente arroja un valor de impedancia cercano a los 670 Ω, por lo cual se simulo con una resistencia de este valor y se registran los valores (simulación) del cuadro 4.

La diferencia entre las mediciones realizadas en práctica y las obtenidas con el simulador son de 5 V para elemento R4 y las más pequeñas de 0,08 V para las resistencias del paralelo R6/7/8, pero es importante aclarar que la fuente de tensión de alimentación para el circuito debió ser la tercera parte de lo que inicialmente se ten´ıa pensado, pues la potencia de las resistencias no soportar´ıa por un periodo de tiempo largo la corriente a través de ellas, al menos sin recalentarse, as´ı pues estos valores fueron obtenidos bajo una fuente AC de 40 V, cuando se conecto la bombilla, la tensión en la misma cayó al orden de los milivoltios, por lo cual fue reemplazada por una resistencia de su valor teórico con el propósito de tomar las mediciones en el circuito, no obstante las mediciones estaban siendo tomadas por el mult´ımetro en magnitud DC y al tomar las mediciones de forma correcta se registra el cuadro 5, sin embargo aún al llegar al l´ımite de nuestra tensión, se evidencia que la bombilla no encendió, aunque bien el requisito se enfocaba en diseñar


un circuito con determinados elementos, el propósito hubiese podido estar completo con encender la bombilla, que según las consideraciones de potencia y tensión nominales ser´ıa cerca de los 0,5 A, por experiencia una bombilla incandescente al no ser de descarga, enciende desde los 80 o 90 voltios , su corriente es en general para encender mayor 0,689 A, nosotros no consideramos tales situaciones y no realizamos un circuito para encender la bombilla. Bajo el esquema de ver la bombilla como una simple carga ,observamos que al estar desconectada la tensión en las resistencias R6 y R7 era casi 3 veces mayor a la obtenida conectando la carga, si el circuito se hubiese analizado con la resistencia equivalente de 1KΩ haciendo corto circuito la fuente y por teorema de máxima transferencia de potencia la bombilla hubiese sido una resistencia del mismo valor, pero al realizar la simulación observamos que la diferencia fue m´ınima con 1 KΩ ten´ıamos sobre la carga una tensión de 3,35 V mientras que con la de 670 obtuvimos 2,6 voltios, una diferencia de 750 mV, algo no significativo.

VI-C.

6

Tensión (V) Corriente (mA) 2.00 3.13 4.90 7.34 10.20 15.04 15.24 22.47 20.31 29.47 25.18 37.10 30.21 44.29 35.3 51.10 40.0 59.12 45.1 66.6 50.1 73.3 54.9 80.2 60.2 88.0 65.1 95.1 74.9 109.4 78.3 114.5 Cuadro VI VALORES EXPERIMENTALES DE V-I DE RTH Y BOMBILLA

Estos valores obtenidos se trazan en la siguiente gráfica y se traza los valores obtenidos, se mira la intersección entre la curva de la bombilla y la curva del equivalente thevenin como se aprecia en la figura 17.

Método grafico del circuito thevenin

De los datos obtenidos en la práctica donde el equivalente de resistencia thevenin que obtuvimos fue de Rth= 1007 Ω, luego se procedió a conectar la bombilla como se muestra en la figura 16, y se tomaron los siguientes datos de tensión Vs corriente.

Figura 17. Gráfica que muestra el punto de operación del bombillo en el circuito equivalente thevenin.

Como se puede observar el punto de intersección de la figura 17 nos arroja una tensión de la bombila de 14 VAC. Este valor fue el esperado con respecto a lo calculado teóricamente en el pre informe pero no el esperado para que al menos la bombilla encendiera o comenzara su punto de operación aqu´ı se falló en el análisis del circuito equivalente thevenin el cual deb´ıa transferir el máximo de potencia con el fin de que la bombilla se encendiera, como lo muestra la figura 17 la tensión máxima lograda fue de 78,3 VAC puesto que hay factores como los elementos usados como cables y elementos del circuito que hacen que los valores se alejen a los esperados. VII.

P REGUNTAS

* ¿Qué tan lineal es la resistencia de una lámpara incandescente y una resistencia de laboratorio? ¿se puede cuantificar?

Figura 16. Circuito equivalente Thevenin

Los valores de tensión y corriente sobre la bombilla obtenidos fueron los siguientes:

En el caso del reóstato la resitencia fue perfectamente lineal, en cambio al usar la bombilla se nota un cambio en la resistencia según aumentaba la cantidad de corriente que atravezaba la bombilla. * ¿Cómo se utilizan las ecuaciones de circuitos para resolver sistemas no lineales?, explique.


En el caso que se necesite resolver ecuaciones no lineales uno puede optar ya sea por analizarlas por métodos iterativos para despejar el valor de lasue simplifquen el cálculo (un ejemplo de este método se puede ver al anñalizar circuitos con diodos o transistores). * ¿Qué diferencias existen entre los valores calculados por ecuaciones y los valores experimentales en un sistema no lineal? En el apartado A y B se puede corroborar que los valores simulados y prácticos tienen pocas diferencias, con los elementos que utilizamos de laboratorio procuramos que sus caracter´ısticas como valores en magnitud fueran los cercanos a los simulados esto con el fin de tener menos diferencias al momento de comparar los datos, Lo importante aqu´ı es que, cuando se tiene la función del bombillo, este se acerque bastante a su comportamiento experimental * ¿Cómo se utiliza el método gráfico para solucionar sistemas no lineales? Como pudimos observar en el montaje de la figura 17, lo que se hace es cruzar la curva del bombillo con la recta caracter´ıstica del sistema. De esta forma, en la intersección vemos el punto de operación del bombillo en el sistema. * ¿Existen diferencias entre los resultados del equivalente Thevenin y el sistema completo? Los resultados obtenidos se aprecia una diferencia muy pequeña con respecto a la simulada esto por que procuramos usar elementos en la simulación que se encuentran en el mercado electrónico en el caso de la resistencia equivalente thevenin en la simulación obtuvimos un valor de 1001,12 Ω y en la practica se obtuvo un valor de 1007 Ω valores que se lograron bajo un buen análisis de circuitos. VIII.

C ONCLUSIONES

-Considerar a un bombillo incandescente como una resitencia normal es una fuente de eerores, ya que este mustra un claro comportamiento no lineal. -Al análizar circuitos no lineales, es muy importante ya tener caracterizado al elemento en sus aspectos eléctricos, ya que no se pueden usar a totalidad las técnicas que solo se refieren a circuitos lineales. -Es necesario tener muy en cuenta, para los montajes, las múltiples variables que hacen que las mediciones con lo predicho no concuerden. Una de e´ stas muy importante fue la de la tensión de entrada. Todos los cálculos y simulaciones se hicieron con 120VAC, pero en el montaje esta tensión variaba. Por esto las diferencias entre estos dos datos, aunque

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finalmente se lograron los objetivos esperados.

R EFERENCIAS

[1] Funcionamiento de una lámpara incandescente, disponible en: http://www.krealo.es/blog/como-funciona-una-lampara-incandes [2] Notas de clase. Capitulo 5 “Teorema de los circuitos lineales” Universidad Pontificia Bolivariana (Colombia) Consultado 30 de agosto 2014, http://cmap.upb.edu.co/rid=1149710706859_362072617_127854/Ca [3] Linealización por medio del método de m´ınimos cuadrados, http://www.physics.csbsju.edu/stats/least_squares.html Least Squares Fitting (Regression)

Informe 2 Conceptos de Linealidad

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