Fuerza de flotación y principio de Arquímedes. Arquímedes.
La fuerza hacia arriba que un fluido ejerce sobre cualquier objeto sumergido se llama fuerza de flotación (boyante). La magnitud de la fuerza de flotación sobre un objeto siempre es igual a la peso del fluido 1
dentro de un fluido fluido ejerce una fuerza gravitacional desplazado. En otras palabras, un cuerpo dentro hacia abajo, y para que el sistema se encuentre en equilibrio debe existir una fuerza hacia arriba que es igual al peso peso del fluido que que ocupa ese cuerpo. cuerpo. Esto es lo que se se conoce como como principio de Arquímedes.
Para entender mejor lo anterior supongamos un un cubo sumergido en un líquido. líquido. Sabemos que:
Lo que indica una diferencia de presión entre la cara inferior y la cara superior del cubo. Es decir:
Donde es la densidad del fluido y h es la diferencia de altura entre las caras del cubo. La presión en la cara superior genera una fuerza hacia abajo. Y la presión en la cara inferior produce una fuerza hacia arriba manteniendo un equilibrio de fuerzas. La resultante de esas fuerzas es el boyante y se puede expresar asi:
( )
Donde es el volumen del cubo que es igual al volumen vo lumen desplazado del fluido. Como
tenemos:
O también como Donde
entonces:
es el peso del fluido desplazado por el cubo. Podemos expresarlo así:
Cabe destacar dos casos. El primero es cuando un objeto está totalmente sumergido, si la densidad del objeto es menor que la del fluido donde se encuentra la fuerza será mayor que la fuerza y el cuerpo subirá hacia la superficie (figura a). En cambio si la densidad del objeto es mayor que la del fluido la será mayor que la fuerza y el cuerpo se hundirá (figura b). Si la densidad es la misma en el objeto y en el fluido el cuerpo se mantendrá en equilibrio.
1
Serway R. A. (2008) .Física para ciencias e ingeniería. Tomo I Séptima Edición. Cengage. Pag. 396
El otro caso es cuando el objeto flota y solo una parte del objeto se encuentra sumergido, obviamente la densidad del objeto es menor al del fluido, ya la fuerza de flotación es igual al peso de la parte sumergida del objeto. Este caso se puede representar por la siguiente expresión2:
3
Ejemplo:
Una estatua de oro sólido de 15.0 kg de peso está siendo levantada de un barco hundido. ¿Qué tensión hay en el cable cuando la estatua está a) en reposo y totalmente sumergida, y b) en reposo y fuera del agua?
Solución IDENTIFICAR: Cuando la estatua está sumergida,
experimenta una fuerza de flotación hacia arriba igual en magnitud al peso del fluido desplazado. Para calcular la tensión, observamos que la estatua está en equilibrio (en reposo) y consideramos las tres fuerzas que actúan sobre
2
Ibid. Pág. 397 Tomado de Sear.Zemansky. (2009) Física Universitaria 12va edición. Pearson. Pág. 464.
3
ella: su peso, la fuerza de flotación y la tensión en el cable.
PLANTEAR: La figura 14.14b ilustra el diagrama de cuerpo libre de la estatua en equilibrio. La
incógnita es la tensión T . Nos dan el peso mg y podemos calcular la fuerza de flotación B usando el principio de Arquímedes. Haremos esto para dos casos: a) cuando la estatua está sumergida en el agua y b) cuando está fuera del agua e inmersa en el aire.
EJECUTAR: a) Para calcular la fuerza de flotación, primero calculamos el volumen de la estatua
usando la densidad del oro que es igual a 19.3 x 103 kg/m3:
Después calculamos el peso que tiene ese volumen de agua de mar desplazado y que es igual a usando la densidad del agua de mar que es igual a 1.03 x 1 03kg/m3:
,
Como la estatua esta en reposo entonces la sumatoria de fuerzas en y es igual a 0:
b) La densidad del aire es de cerca de 1.2 kg/m 3, así que la fuerza de flotación del aire sobre la estatua es:
Como este resultado es muy pequeño en comparación con el peso del cuerpo se puede despreciar y la tensión del cable es la misa de 147 N.
Deducción y aplicación de la ecuación de Bernoulli.
Sabemos por la ecuación de continuidad que la velocidad de un fluido puede variar a lo largo de su trayectoria y que un fluido cambia su presión respecto a la altura. Como vemos existe una relación entre presión, velocidad y altura y fue Daniel Bernoulli quien encontró una forma de deducir esta relación que hoy lleva su nombre y conocemos como ecuación de Bernoulli.
Para deducir la ecuación de Bernoulli analicemos la imagen de al lado. Consideremos que un instante inicial un fluido se encuentra entre las áreas transversales a y c y además que las velocidades en los extremos son v 1 y v 2 respectivamente. Durante un intervalo de tiempo dt el fluido de a se movió a b una distancia ds1 = v 1dt y el fluido que está en c se movió a d una distancia ds2=v 2dt. Ahora las secciones transversales tienen un área A1 y A2 y además existe un volumen dV que se mantiene
constante
(suponiendo
que
el
fluido
es
incompresible) y que está dado por la siguiente expresión:
También podemos calcular el trabajo efectuado debido a la presión. Suponiendo que no existe viscosidad (o fricción interna) y que las presiones en los extremos son p1 y p2, las fuerzas que actúan sobre el fluido son p1 A 1 en la sección a y en la sección c es p2 A2 y como el trabajo es el producto de fuerza por la distancia entonces podemos deducir el trabajo dW efectuado de la siguiente manera:
Como Ads=dV entonces:
También cabe mencionar que como el fluido se encuentra en una velocidad hay energía cinética K dentro del fluido. Recordemos que la ecuación de la energía cinética es:
Como:
Tenemos que:
Sabemos que A1 > A2 y que por la ecuación de la continuidad habrá una mayor velocidad en la sección con menor área mientras que la densidad y el volumen se mantienen constante. Esto quiere decir un cambio de energía cinética dK durante el intervalo de tiempo dt que podemos expresar de la siguiente manera:
Otra energía presente es la potencial gravitacional. Sabemos que la energía potencial U está dada por la ecuación:
Durante el instante inicial (donde h es y 1) la energía potencial U en a y b es:
Al final de dt (donde h es y 2 ) la energía potencial U en c y d es:
Al existir una diferencia dy en la altura existe una diferencia de energía potencial gravitacional dU que se puede expresar de la siguiente manera:
Por último, la diferencia de trabajo dW es igual a la suma de energía cinética dK y energía potencial dU y haciendo una combinación de las ecuaciones ya encontradas podemos definirlo asi:
( )
Ésta es la ecuación de Bernoulli, y dice que el trabajo efectuado sobre una unidad de volumen de fluido por el fluido circundante es igual a la suma de los cambios de las energías cinética y potencial por unidad de volumen que ocurren durante el flujo. También podemos interpretar la ecuación (14.16) en términos de presiones. El primer término de la derecha es la diferencia de presión asociada al cambio de rapidez del fluido; el segundo término a la derecha es la diferencia de presión adicional causada por el peso del fluido y la diferencia de altura de los dos extremos.4
Para fines más prácticos suele representarse la ecuación de la siguiente manera:
Los subíndices 1 y 2 indican dos puntos cualesquiera dentro de una tubería. Lo que indica que:
Si el fluido no se mueve, es decir
la ecuación queda reducida a la ecuación de
variación de presión con la profundidad.
La ecuación de Bernoulli solo es aplicable con fluidos que son incompresibles y donde se puede despreciar la viscosidad haciendo un flujo estable.
4
Sear-Zemansky. (2009) Física Universitaria 12va edición. Pearson. Pág. 469.
El tubo de Venturi.
El tubo de Venturi se emplea para velocidad de un líquido que circula a presión dentro de una tubería. Su funcionamiento se basa en el teorema de Bernoulli.5 Dicho elemento tiene un estrechamiento, donde al pasar el líquido aumenta su velocidad y disminuye su presión. Para calcular la velocidad se usan dos manómetros, uno en la parte estrecha, y otra en la sección más ancha, y además conociendo el área transversal de esas zonas. Además suponemos que el líquido que fluye es incompresible y que además los puntos 1 y 2 se encuentran a la mima altura, es decir: y 1=y 2 por tanto podemos escribir la ecuación de
Bernoulli como:
De acuerdo con la ecuación de continuidad:
Sustituimos en la ecuación de Bernoulli y reduciendo:
√ ⁄
La diferencia de presión
es igual a , donde h es la diferencia de nivel de líquido en los
dos tubos. Combinando esto y resolviendo para
obtenemos:
Puesto que A1 es mayor que A2 , v 2 es mayor que v 1 y la presión p2 en la garganta es menor que p1. Una fuerza neta a la derecha acelera el fluido al entrar en la garganta, y una fuerza neta a la izquierda lo frena al salir.
5
Montiel, Hector P. (200) Física General . Cultural. Pág 284
