3 Linealidad de La Integral

Integral Indefinida - ejercicios resueltos por Julio Céspedes

12

§3 Linealidad de la Integral, un principio básico No se cuenta con fórmulas generales para calcular la integral de una multiplicación, división o composición de funciones como las que existen para la derivada, es decir el lector no debe esperar fórmulas generales para:

f ( x)

∫ g ( x) dx

∫ f ( x)g( x)dx

∫ ( f o g )( x)dx

en estos casos, el método a aplicar depende más de la relación entre entre las funciones f , g y su forma.

Una de las propiedades básicas y fundamentales de fundamentales de la integral indefinida es la Linealidad que Linealidad que se enuncia en el siguiente:

Teorema Teorema 3.1 3.1 Linealidad Lin ealidad del Operador Integr Integr al Si f y g son funciones y

α

es constante, entonces:

L1

∫ ( f ( x ) ± g ( x ))dx

= ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx

L2

∫

= α ⋅ ∫ f ( x )dx

α

⋅ f ( x )dx

Demostración Para demostrar estas propiedades deriva las integrales y comprueba que los resultados son iguales. En el proceso de derivación aplica linealidad de la d erivada:

L1

d dx

(∫ ( f ( x ) ± g ( x ))dx) = f ( x ) ± g ( x )

d

d d ( f ( x )dx ± ∫ g ( xdx )) = ( f ( x )dx ) ± ( g ( xdx)) = f ( x ) ± g ( x ) ∫ ∫ dx dx dx ∫

L2

d dx d

(∫

α

)

⋅ f ( x )dx = α ⋅ f ( x )

( ⋅ ∫ f ( x )dx ) = dx α

α

⋅

d dx

(∫ f ( x )dx ) =

α

⋅ f ( x )

■

§3 Linealidad de la integral indefinida

13

Cálculo de integrales aplicando Linealidad Debido a la gran variedad de métodos de integración, dependientes de la forma y tipo de la función a integrar, es recomendable establecer un orden en que se apliquen. En ese orden, la linealidad es fundamental y se aplica de primera si la función lo permite. A continuación se listan las principales identidades, qu e permiten transformar algunas “multiplicaciones o divisiones” de funciones en “sumas y restas” de funciones integrables fácilmente.

Trigonométricas cos A ⋅ cos B = 1 [cos( A − B ) + cos( A + B )] 2

cos 2 A = 1 [1 + cos(2 A)]

⇒

sen 2 A = 1 [1 − cos(2 A)]

⇒

senA ⋅ cos A = 1 sen(2 A)

2

si A= B

senA ⋅ senB = 1 [cos( A − B ) − cos( A + B )] 2

2

si A= B

senA ⋅ cos B = 1 [sen( A − B ) + sen( A + B )] 2

2

⇒

2

si A= B

2

tg A = sec A − 1

cot 2 A = csc 2 A − 1

Logarítmicas ln( A ⋅ B ) ln

A

= ln A + ln B = ln A − ln B

B

= α ⋅ ln A

ln Aα

Racionales Una función racional:

f ( x ) g ( x )

donde f , g son polinomiales, se llama impropia si el grado del numerador f es

mayor o igual que el grado del denominador g . Si ese es el caso, para calcular la integral indefinida de

f ( x ) g ( x )

= Q( x ) +

g ( x )

f g

es recomendable aplicar la división de los polinomios:

para hallar funciones R, Q tales que

f ( x )

R Q

R( x ) g ( x )

y luego integrar aplica la linealidad de la integral.

,


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En esta sección se utiliza la Linealidad de la Integral, en la medida que las integrales resultantes aparezcan en la tabla básica. En la siguiente sección daremos una tabla de integrales ampliada con la que enriqueceremos los ejemplos.

Ejemplos Calcular las siguientes integrales partiendo del principio básico: linealidad, luego aplica la tabla de integrales.

∫

1.

dx n x

n ∈ Ν , n > 1 n −1

1

− +1

∫

1

R/

dx dx x n nx n = 1 / n = x −1 / n dx = 1 + C = + C n x n 1 − x − +1

∫

∫

■

n

1− n

2.

∫ (nx)

n

n≠0

dx 1− n

∫

R/ ( nx )

3.

n

1− n

dx =

∫

n

1− n

⋅ x

n

{

n

1− n

dx = n

n

constante

1− n

∫ x

n

1− n

dx = n

n

1− n

x

+1

n

1− n

1− n

+ C = n

1

nx n + C = n n x n + C

+1

2 ⎞ ⎛ 2 ⎜ 3 3 ⎟dt − a t ⎟ ∫ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5

R/

2 ⎞ 2 2 2 2 2 2 ⎛ 2 3 t 3t 3 ⎜ 3 ⎟ 3 3 3 3 3 3 3 ∫ ⎜⎜ a − t ⎟⎟dt = ∫ a dt − ∫ t dt = a ∫ dt − ∫ t dt = a t − 5 + C = a t − 5 + C ⎝ ⎠ 3

∫

x + 1 x − x + 1 dx

R/

∫(

)(

)

x + 1 x − x + 1 dx =

)⎛ ⎝

x + 1 ⎜ x

5

= 2 x 2 + x + C 5

3

3 ⎞ − x ⋅ 1 + 12 ⎞⎟dx = ∫ ⎛ ⎜ x + 1 ⎟dx = ∫ ( x 2 + 1)dx ⎠ ⎝ ⎠ 144 4 4 4 244 4 4 4 3

∫(

2

fórmula notable

1

1

n

5

4.

n

1

■

El cálculo de cada integral esta entre los símbolos “R/” y “■”

3

■

■


5.

∫

( x 2 + 1 ( x 2 − 2 dx 3

R/

∫ =

6.

∫

15

x 2

2 2 x + 1 x − 2 3

x

13

3 x 3 13

2

−

7

3 3 x 7

dx =

1 − 6 x 3

∫

4 2 x − x − 2 2 x 3

∫

dx = x

+ C

∫

x

4 ⎛ 10 − 2 ⎞ 3 3 x − x − 2 dx = ∫ ⎜ x − x − 2 x 3 ⎟dx ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(

4

2

)

n ≠ − 1 ≠ m , 2m + 2n + 1 ≠ 0 4

x

( x m − x n )2 dx

3

■

( x m − x n )2 dx

R/

−2

=∫

+ 2 2 x m − 2 x m n + x n 1 x 2

dx

)−

(

= ∫ x 2m − 2 x m + n + x 2 n x

1 2 dx

⎛ 2m − 1 2 n − 1 ⎞ m+n− 1 2 − 2 x 2 + x 2 ⎟dx = ∫ ⎜ x ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

=

x

2m + 1 2

2m +

1 2

4m + 1

=

7.

∫

R/

x x

a b

m+n+

1 2

1

+

2

x

2n + 1 2

2n +

2 m + 2 n +1

1

+ C

2 4 n +1

a ≠ b, a > 0, b > 0

a x b x

∫

m+n+

2 2 x 2 4 x 2 x 2 − + + C 4m + 1 2m + 2n + 1 4n + 1

(a x −b x )2 dx (a x −b x )2 dx

−

2 x

=∫

2 2 a x − 2a x b x + b x x x

a b

dx

■


16

⎛ a 2 x 2a x b x b 2 x ⎞ ⎟dx = ∫⎜ − + ⎜ a x b x a x b x a x b x ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ a x b x ⎞⎟ ⎜ =∫ −2+ dx x ⎟ ⎜ b x a ⎝ ⎠ x ⎛ ⎛ a ⎞ x ⎛ b ⎞ ⎞⎟ ⎜ = ∫ ⎜ ⎟ − 2 + ⎜ ⎟ dx ⎜ ⎝ b ⎠ ⎝ a ⎠ ⎠⎟ ⎝ x

x

⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b ⎠ a ⎝ = − 2 x + ⎝ ⎠ + C ln

8.

I =

∫

3 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 5 2 x + 1

a

ln

b

■

b

a

dx

3 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 5

− 3 x 4 R/ La división de polinomios es:

2 x + 1

− 3 x 2 2 x 3

− 2 x 3

+ 2 x + 5 − 2 x

2 +4 31 x 2 x 42 3 Q ( x )

5 R ( x ) {

R ( x ) ⎤ ⎡ ⎢ 2 5 ⎥ 3 2 Aplicando la división al integrando de I = ∫ ⎢3 2 + + x x ⎥ dx = x + x + 5arctgx + C 1 424 3 2 x + 1⎥ ⎢ Q ( x ) ⎣⎢ ⎦⎥ }

9.

∫ tg R/

2

xdx

∫ tg

Está en la tabla de integrales 2

xdx =

∫ (sec

2

x − 1 dx = tgx − x + C

■

■


10.

∫

3 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 13

R/

2

3 x + 12

17

dx

El integrando es una función racional, aplica la división:

3 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 13

− 3 x 3

3 x 2 + 12 x − 1

− 12 x − 3 x 2

+ 13

− 3 x 2

12 25

⎛ ⎛ 25 ⎞ 25 ⎞⎟ ⎜ x − 1 + ⎜ ⎟ 1 − + = x dx dx ∫ ⎜⎝ ∫ ⎟ 2 2 ⎜ ⎟ 3 x + 12 ⎠ 3 x + 4 ⎠ ⎝

A la integral resulta

(

)

⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ dx = ∫ ⎜⎜ x − 1 + 25 3 2 x + 2 2 ⎠ ⎝ aplicando la tabla de integrales obtiene:

1 2 x 2

− x + 25 ⋅ 1 arctg 3

2

= 1 x 2 − x + 25 arctg 2

11.

6

2

x

2

+ C

+ C

■

senx

∫ cos 2 x dx R/

El integrando no se transforma para aplicar linealidad pero puede “acomodarlo” para aplicar la tabla.

1

senx

senx

∫ cos 2 x dx = ∫ cos x ⋅ cos x dx = ∫ sec x ⋅ tgxdx = sec x + C 12.

x

■

cos x

∫ sen 2 x dx R/

El integrando no se transforma para aplicar linealidad pero puede “acomodarlo” para aplicar la tabla.

cos x

∫ sen 2 x

dx =

1

∫ senx

⋅

cos x senx

∫

dx = csc x ⋅ cot gxdx = − csc x + C

■

3 Linealidad de La Integral

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