05/Noviembre/2010
Instituto Tecnológico de Morelia
José María Morelos y Pavón Equipo: 09120782 Ramos Albarrán Fernando 08121065 Fuentes Martínez Bonifacio Iván 09120762 Estrada Calderón José An to ton io io 08121071 Zúñiga Salina s Da vid vid Asesor: M.C. J. Luis Lemus D.
Ci rcu it os rcu it os
Eléc t t r ri i cos c os 1
[PRÁCTICA #4: TEOREMAS DE LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN] División de Estudios Profesionales: Ingeniería Eléctrica
OBJETIVO: Comprobar mediante el analisis, práctica y simulación por computadora, la linealidad de un
circuito; así mismo, identificar que el teorema de superposición es aplicable para todo circuito lineal que consta de más de una fuente de e xitación.
INTRODUCCIÓN: Los teoremas de circuitos eléctricos son aquellas técnicas derivadas de las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm que permiten resolver de una manera más simple cierto tipo de circuitos. Algunos con aplicaciones más particulares que otros, facilitan el estudio de los circuitos eléctricos. Teorema de Linealidad
El Teorema de Linealidad establece que un circuito es lineal si las ecuaciones que relacionan suexcitación (causa) y respuesta (efecto) son lineales, y viceversa, ¡no hay excepciones! O sea que en el caso de circuitos lineales siempre es posible expresar una de estas cantidades como una función lineal de las demás.En circuitos eléctricos, un circuito lineal es un circuito que se puede expresar mediante una ecuación lineal. Un ejemplo típico de linealidad es la relación entre tensión y corriente (causa y efecto) en una resistencia, cuyoresistor es una constante, esto es:
Por lo que, la Ley de Ohm establece una ecuación lineal, entonces un circuito es lineal si obedece la Ley de Ohm. Encambio la potencia de una resistencia no es lineal, ya que esto es una ecuación cuadrática:
Una ecuación lineal describe una línea recta (L), cuya inclinación es el menor de los ángulos que dicha recta forma con el semieje x positivo y se mide desde el eje x positivo a la recta L, en sentido
de una recta es la tangente del ángulo de inclinación. En estas condiciones , siendo el ángulo de inclinación. La pendiente de la recta que pasa por dos puntos y es: antihorario, si L fuera paralela al eje x, su inclinación sería cero. La pendiente
Pendiente:
Inclinación:
Teorema de Superposición
El Teorema de Superposición sólo se puede utilizar en el caso de circuitos eléctricos lineales, es decir circuitos formados únicamente por componentes lineales.Como la potencia no es una función lineal ha de calcularse primeramente el voltaje o la corriente y después aplicar las fórmulas correspondientes. Este teorema establece que el efecto que dos o más fuentes independientes tienen sobre una resistencia es igual, a la suma de cada uno de los efectos de cada fuente independiente tomados por separado, sustituyendo todas las fuentesde tensión restantes por un corto circuito y las fuentes de corriente por un circuito abierto (ambas independientes). Las fuentes dependientes (en caso de que existan dentro del circuito) tienen que dejarse intactas ya que son las que controlan las variables de control. El Teorema de Superposición ayuda a encontrar: 1) Valores de tensión, en una posición de un circuito, que tie ne más de una fuente de tensión. 2) Valores de corriente, en un circuito con más de una fuente de tensión Ejemplo: Hallar el voltaje
, mediante el método de Superposición Cada circuito obtenido se puede analizar
usando cualquier técnica de análisis de circuitos, que se adapte mejor a lo que se pide encontrar.
Cuando la fuente de corriente
, ocasiona
un circuito abierto. Esto se reduce al siguiente circuito, donde:
Se usa divisor de voltajes.
Ahora si la fuente de voltaje forma siguiente:
, se produce un corto circuito y el circuito se reduce a la
Dónde:
La tensión que buscamos es la suma de las dos tensiones parciales:
Para complementar el Teorema de Superposicióny Linealidad en esta práctica añadiremos La Ley de Voltajes de Kirchhoff, la cualestablece que en toda malla la suma de todas las caídas de tensión es igual a la suma de todas las elevaciones de tensión. De forma equivalente, en toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico es igual a 0.
DESARROLLO: Se diseñó un circuito eléctrico el cual se analizó teóricamente por medio del método de Superposición, el cual contiene fuentes de voltaje y resistencias conectadas entre sí, previamente demostrando que el circuito es lineal, después se analizó el circuito en el programa PSpice para determinar los valores simulados y compararlos posteriormente con los obtenidos en el laboratorio. Por último se evaluaron los respectivos porcentajes de error.
Material a) 1 Tablilla de conexión. b) 2 Fuentes de voltaje de C.D. c)
2 Resistores de 820 , 1 resistor de 150
d) 3 Multímetros digitales e) 10 Cables telefónicos f)
Conectores banana banana
g) Conectores banana telefónico h) 1 Adaptador
y 1 resistor de 470
Análisis Teórico Linealidad
haciendo variar la fuente de voltaje desde 0 hasta su valor determinado (10V), representar gráficamente los valores obtenidos para la corriente y el voltaje por último, dar conclusiones. Comprobar la linealidad en la resistencia
Obtenemos el valor del nodo
:
Si Ahora aplicamos Ley de Ohm a la resistencia , y obtenemos las expresiones del voltaje y de la corriente . Si
Con ayuda de estas expresiones, se obtienen los valores para la corriente
cuando hacemos variar la fuente
(V) 0 1 2
3
4 5 6 7 8 9 10
y el voltaje ,
de 0 a 10V. Y obtenemos la tabla siguiente: (V) (mA) 2.97 3.97 4.97 5.97 6.97 7.97 8.97 9.97 10.97 11.97 12.97
3.65
4.88 6.11 7.34 8.57 9.8 11.03 12.26 13.49 14.72 15.95
(Ver gráfica añadida) Superposición
Para aplicar el teorema de superposición, que en este caso hay tres fuentes de
, se puede analizar dejando exitado el circuito por una fuente a la vez, o de otra manera, exitando primero con dos fuentes luego desactivar esas dos fuentes y activar la que se habia desactivado .Analizamos primeramente exitando el circuito por una voltaje
fuente a la vez:
y ,
Al hacer cero las fuentes de voltaje
se cortocircuitan, y se forma una sola malla, debido a que la corriente circula por donde hay menos resistencia; es decir, por donde
se pusieron en corto las fuentes. Se analiza la malla aplicando L VK.
La corriente de malla es la corriente por que va en la misma dirección.
Al hacer , la corriente circula por el cortocircuito que ocasiona dicha fuente, y deja de fluir por , por lo tanto y quedan en paralelo con la fuente , ya que la fuente se pone en corto.
en es opuesta, por lo tanto es negativa, el voltaje en la resistencia es el mismo que el voltaje de la fuente . Aplicamos Ley de Ohm en el resistor : Al hacer se cortocircuita la fuente, la corriente circula entonces por este cortocircuito y deja de fluir por , por lo tanto y quedan en paralelo con la fuente , ya que también la fuente se pone en corto. , es el mismo de la fuente El voltaje La corriente
por que están en paralelo
Con Ley de Ohmobtenemos la corriente
Una vez obtenidos todos los valores de corriente y voltaje en
cuando las fuentes actuan por
separado, se suman algebraicamente y se obtiene el valor real de esa corriente y de ese voltaje en el resistor de prueba cuando las fuentes actúan al mismo tiempo.
Ahora aplicamos el teorema de superposición de la segunda forma, para observar que en ambos
casos se aplica correctamente. Ya tenemos los valores cuando
Restamos el voltaje de los nodos y obtenemos el voltaje en el resistor
Aplicamos Ley de Ohm en la resistencia y obtenemos la corriente.
Por último, sumamos los valores obtenidos en el resistor de estudio debido a las exitaciones de las fuentes por separado en el circuito.
Análisis Práctico: Linealidad
Los datos obtenidos en el laboratorio en la resistencia de estudioal variar la fuente de tensión, para medir la corriente se conecto un amperimetro en serie con el resistor, y para medir el voltaje se le conecto un voltímetro en paralelo.
V1 (V) 0 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
(V)
(mA)
4 5 6 6.99 8 9.03 10 11.05 12 13
4.92 6.14 7.39 8.63 9.87 11.16 12.36 13.58 14.87 16.20
3
3.69
(Ver gráfica añadida)
Superposición
Análisis por PSpice Linealidad
Para indicar que se varía la fuente de 10 V, vamos a Analisys/Setup, desmarcamos Bias Point Detail y marcamos DC Sweep. Luego en la ventana, índicamos el nombre de la fuente que se varía, en este caso es V1,la variamos de 0V hasta su valor determinado de 10 V, e incrementamos en 1V.
La resistencia que se va a analizar es
, por lo que se ocupa gráficar el voltaje vs la corriente en
dicha resitencia, el resistor es un elemento pasivo que no depende ni de la corriente ni del voltaje, por lo cual la relación voltaje/corriente siempre es constante (La resistencia es constante) y estonos da como resultado una línea recta, por lo tanto se cumple la linealidad en el circuito y esto obecede la Ley de Ohm.
En la ventana de simulación, vamos al menú y clickeamos en Plot/Axis Settings/Axis Variable para configurar el eje x coordenado de la
,en el circuito observamos que el voltaje en la resistencia es el voltaje en el nodo 4 menos el voltaje en el nodo 3 . Presionamos OK y ajustamos las escalas de los ejes. Después presionamos Insert o clickeamos en Trace/Add Trace y seleccionamos la corrriente de . Por último marcamos los puntos correspondientes cuando se varía la fuente gráfica, esto corresponde al voltaje de la resitencia
V1 y obtenemos la siguiente gráfica:
Gráfica Corriente-Voltaje de 17mA C o r r 15mA i e n t e
( 11. 97, 14. 7 23m) ( 1 0 . 9 7 , 1 3 . 4 9 3 m)
( 12. 97, 15. 9 53m)
( 9 . 9 7 , 1 2 . 2 6 3 m) ( 8 . 9 7 , 1 1 . 0 3 3 m) ( 7 . 9 7 , 9 . 8 0 3 m)
10mA
( 6 . 9 7 , 8 . 5 7 3 2 m) ( 5 . 9 7 , 7 . 3 4 3 2 m) ( 4 . 9 7 , 6 . 1 1 3 2 m) ( 3 . 9 7 , 4 . 8 8 3 2 m)
5 mA ( 2 . 9 7 , 3 . 6 5 3 1 m)
3 mA 3. 0V I ( R1)
4. 0V
5. 0V
6. 0V
7. 0V
8. 0V
9. 0V
10. 0V
11. 0V
12. 0V
V( N4) - V( N3) V o l t a j e
(V)
V1 (V) 0 1 2
2.97 3.97 4.97 5.97 6.97 7.97 8.97 9.97 10.97 11.97 12.97
3
4 5 6 7 8 9 10
(mA) 3.6531
4.8832 6.1132 7.3432 8.5732 9.803 11.033 12.263 13.493 14.723 15.953
En el recuadro Probe Cursor que se muestra en la gráfica, se señala la diferencia entre los puntos 1 y 3, cuando V1=0V y cuando V1=2V, respectivamente. Ambos puntos son los siguientes:
13. 0V
(V)
V1 (V) 0 1 2
(mA)
2.97 3.97 4.97 5.97 6.97 7.97 8.97 9.97 10.97 11.97 12.97
3
4 5 6 7 8 9 10
3.6531
4.8832 6.1132 7.3432 8.5732 9.803 11.033 12.263 13.493 14.723 15.953
En el recuadro Probe Cursor que se muestra en la gráfica, se señala la diferencia entre los puntos 1 y 3, cuando V1=0V y cuando V1=2V, respectivamente. Ambos puntos son los siguientes:
Ahora calculamos la pendiente:
El ángulo es:
**** 10/30/10 23:06:24 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 4\001.sch **** CIRCUIT DESCRIPTION **** ****************************************************************************** * Schematics Version 9.1 - Web Update 1 ** Analysis setup ** * Sat Oct 30 19:14:52 2010 .DC LIN V_V1 0 10 1 .OP * From [PSPICE NETLIST] section of pspiceev.ini: .lib "nom.lib" .INC "001.net" **** INCLUDING 001.net **** * Schematics Netlist * R _R1 V_V1 V_V3 R _R2
N4 N3 813 N1 N3 10V N2 0 14.97V N2 N1 149.7
R _R3 R _R4 V_V2 v _I1
0 N2 812 0 N1 470 N1 0 12V N2 N4 0
**** RESUMING 001.cir **** .INC "001.als"
R _R1 V_V1 V_V3 R _R2
**** INCLUDING 001.als **** * Schematics Aliases * .ALIASES R1(1=N4 2=N3 ) R _R3 R _R4 V1(+=N1 -=N3 ) V3(+=N2 -=0 ) V_V2 R2(1=N2 2=N1 ) v _I1 _ _(N3=N3) _ _(N4=N4)
R3(1=0 2=N2 ) R4(1=0 2=N1 ) V2(+=N1 -=0 ) I1(+=N2 -=N4 ) _ _(N1=N1) _ _(N2=N2)
.ENDALIASES **** RESUMING 001.cir **** .probe .END **** 10/30/10 23:06:24 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 4\001.sch **** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( N1) 12.0000 ( N2) 14.9700 ( N3) 2.0000 ( N4) 14.9700 VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT V_V1 V_V3
-1.595E-02 -5.423E-02
V_V2 v _I1
1.026E-02 1.595E-02
TOTAL POWER DISSIPATION 8.48E-01 WATTS **** 10/30/10 23:06:24 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 4\001.sch **** OPERATING POINT INFORMATION TEMPERATURE = 27.000 DEG C ****************************************************************************** JOB CONCLUDED TOTAL JOB TIME 0.00
Superposición Cuando
V2=V3=0V
**** 10/30/10 23:31:49 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 4\001 02.sch **** CIRCUIT DESCRIPTION **** ****************************************************************************** * Schematics Version 9.1 - Web Update 1 ** Analysis setup ** * Sat Oct 30 23:31:43 2010 .OP .OP * From [PSPICE NETLIST] section of pspiceev.ini: .lib "nom.lib" .INC "001 02.net" **** INCLUDING "001 02.net" **** * Schematics Netlist * R _R3 R _R2 R _R4
0 0 812 0 0 149.7 0 0 470
**** RESUMING "001 02.cir" **** .INC "001 02.als"
R _R1 V_V1 v _I1
N4 N3 813 0 N3 10V 0 N4 0
**** INCLUDING "001 02.als" **** * Schematics Aliases * .ALIASES R3(1=0 2=0 ) R _R1 R2(1=0 2=0 ) V_V1 R4(1=0 2=0 ) v _I1
R _R3 R _R2 R _R4
_ _(N1=0) _ _(N4=N4)
R1(1=N4 2=N3 ) V1(+=0 -=N3 ) I1(+=0 -=N4 ) _ _(N3=N3)
.ENDALIASES **** RESUMING "001 02.cir" **** .probe .END **** 10/30/10 23:31:49 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 4\001 02.sch **** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( N3) -10.0000 ( N4) 0.0000 VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT V_V1 v _I1
-1.230E-02 1.230E-02
TOTAL POWER DISSIPATION 1.23E-01 WATTS **** 10/30/10 23:31:49 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 4\001 02.sch **** OPERATING POINT INFORMATION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** JOB CONCLUDED TOTAL JOB TIME .02
Cuando
V1=0V
**** 10/31/10 00:59:29 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 4\001 03.sch **** CIRCUIT DESCRIPTION **** ****************************************************************************** * Schematics Version 9.1 - Web Update 1 ** Analysis setup ** * Sun Oct 31 00:59:22 2010 .OP .OP * From [PSPICE NETLIST] section of pspiceev.ini: .lib "nom.lib" .INC "001 03.net" **** INCLUDING "001 03.net" **** * Schematics Netlist * R _R1 R _R2 R _R4 v _I1
N4 N1 813 N2 N1 149.7 0 N1 470 N2 N4 0
**** RESUMING "001 03.cir" **** .INC "001 03.als" **** INCLUDING "001 03.als" **** * Schematics Aliases * .ALIASES R _R1 R1(1=N4 2=N1 ) V_V3 V3(+=N2 -=0 )
V_V3 R _R3 V_V2
R _R4 V_V2
N2 0 14.97V 0 N2 812 N1 0 12V
R4(1=0 2=N1 ) V2(+=N1 -=0 )
R _R2 R _R3
R2(1=N2 2=N1 ) R3(1=0 2=N2 )
_ _(N1=N1) _ _(N4=N4)
v _I1
I1(+=N2 -=N4 )
_ _(N2=N2)
.ENDALIASES **** RESUMING "001 03.cir" **** .probe .END **** 10/31/10 00:59:29 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 4\001 03.sch **** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( N1) 12.0000 ( N2) 14.9700 ( N4) 14.9700 VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT V_V3 V_V2 v _I1
-4.193E-02 -2.039E-03 3.653E-03
TOTAL POWER DISSIPATION 6.52E-01 WATTS **** 10/31/10 00:59:29 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 4\001 03.sch **** OPERATING POINT INFORMATION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** JOB CONCLUDED TOTAL JOB TIME .02
CONCLUSIONES Y COMENTARIOS: Error absoluto:Es la diferencia entre el valor experimental y el valor exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor experimental o inferior (la resta sale positiva o negativa). Las unidades del error absoluto son del mismo orden que los valores que intervienen en su cálculo.
Error relativo:Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Pude ser positivo o negativo, esto lo determina el signo del error absoluto. No tiene unidades.
Porcentajes de error PSpice P rácticos. Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos con PSpice, estos corresponden a los valores exactos. Los valores experimentales corresponden a los valores obtenidos mediante la medición (prácticos) . Linealidad
Cuando Cuando Cuando
Cuando Cuando
Cuando Cuando Cuando Cuando Cuando
Superposición
Porcentajes de error de Análisis Teórico P rácticos. Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos en el análisis teórico , estos corresponden a los valores exactos. Los valores experimentales corresponden a los valores obtenidos mediante la medición (prácticos) . Linealidad
Cuando Cuando
Cuando
Cuando Cuando Cuando Cuando Cuando
Cuando
Cuando
Superposición
1) El teorema de superposición es una herramienta útil en el análisis de circuitos cuando se tienen circuitos con varias fuentes de excitación, debido a que ayuda a simplificar el número de éstas, para un análisis más sencillo. El teorema ha de aplicarse correctamente, teniendo cuidado de no dejar activada una o más fuentes más de una vez (cada vez que se superpone). Por ejemplo en el circuito de la práctica, durante su análisis en el laboratorio, superponíamos de tal manera que se desactivaba una fuente a la vez, y al sumar las corrientes y los voltajes de la resistencia de estudio obteníamos el doble de su valor real, y eso se debió a una incorrecta forma de aplicar el teorema de superposición. 2) La gráfica de corriente-voltaje obtenida en el análisis teórico y en el análisis práctico, no muestra una línea recta y esto se debe a que existen errores tanto en la medición como en los decimales, esto se muestra con más detalle en el cálculo de error relativo o error porcentual. 3)
indicado de la recta obtenida por el análisis en PSpice, en realidad es un ángulo muy pequeño, solo que en las gráfica mostrada se observa un ángulo mayor debido a que la escala de corriente, que se encuentra en , se tuvo que ampliar o darle un zoom El ángulo
para observar mejor los datos, el ángulo correspondería con el de la gráfica, si la escala estuviera en Ampere
.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: I.
Manual de Prácticas de Laboratorio de Circuitos Eléctricos I; M. I. J. Luis Lemus D. ;
Departamento de Ingeniería Eléctrica I.T.M. II.
Circuitos Eléctricos de CD ; M. I. J. Luis Lemus D. ; Departamento de Ingeniería Eléctrica I.T.M.
III.
Fundamentos De Circuitos Eléctricos ; Charles K. Alexander &Matthew N. O. Sadiku ; 3ra. Edición ; McGraw Hill
