PRINCIPIO DE PASCAL Los fluidos no soportan esfuerzos cortantes o de tensión; debido a eso, el único esfuerzo que se puede ejercer sobre un objeto sumergido en un fluido estático es el que tiende a comprimir el objeto desde todos los lados. En otras palabras, la fuerza que ejerce el fluido estático sobre un objeto siempre es perpendicular a las superficies del objeto, como se muestra en la figura 14.1. La presión en un fluido se mide con el dispositivo que se muestra en la figura 14.2. El dispositivo consta de un cilindro al vacío que encierra un pistón ligero conectado a un resorte. Mientras el dispositivo está sumergido en un fluido, el fluido presiona arriba del pistón y comprime el resorte hasta que la fuerza hacia adentro que ejerce el fluido se equilibra con la fuerza hacia afuera que ejerce el resorte. Si el resorte se calibra antes es posible medir con exactitud la presión del fluido. Si F es la magnitud de la fuerza que se ejerce sobre el pistón y A es el área del pistón, la presión P del fluido en el nivel al que el dispositivo se sumergió se define como la relación de la fuerza al área:
La presión es una cantidad escalar porque es proporcional a la magnitud de la fuerza sobre el pistón. Si la presión varia sobre un área, la fuerza infinitesimal de sobre un elemento de superficie infinitesimal de área dA es =
(2)
donde P es la presión en la posición del área dA. Para calcular la fuerza total que se ejerce sobre una superficie de un contenedor, se debe integrar la ecuación (2) sobre la superficie. Las unidades de presión son newton por metro cuadrado (N/m 2) en el sistema SI. Otro nombre para la unidad del SI de presión es pascal (Pa):
Para una demostración táctil de la definición de presión, sostenga una tachuela entre sus dedos pulgar e índice, con la punta de la tachuela en el pulgar y la cabeza en el índice. Ahora presione suavemente. De inmediato el pulgar comenzara a sentir dolor, el índice no. La tachuela ejerce la misma fuerza sobre el pulgar y el índice, pero la presión sobre el pulgar es mucho mayor debido al área pequeña sobre la que se aplica la fuerza.
Ejemplo 1) El colchón de una cama de agua mide 2.00 m de largo por 2.00 m de ancho y 30.0 cm de profundidad. A) Encuentre el peso del agua en el colchón.
B) Encuentre la presión que ejerce el agua sobre el suelo cuando la cama de agua descansa
en su posición normal. Suponga que toda la superficie inferior de la cama tiene contacto con el suelo.
SOLUCIÓN A) Hallar el volumen de agua que llena el colchón: = (2.00)(2.00)(0.300) = 1.203 Encontrar
la masa de la cama de agua: ⁄ 3) (1.203) = 1.20 ∗ 103 = = (1000
El peso de la cama es: = (1.20 ∗ 103) (9.80 ⁄2) =
1.18 ∗ 104
B) Cuando la cama de agua está en su posición normal, el área en contacto con el suelo es 4.002 Entonces la presión es: 4
=
1.18 ∗ 10 4.002
= 2.94 ∗ 103
VARIACIÓN DE LA PRESIÓN CON LA PROFUNDIDAD Como bien saben los buzos, la presión del agua aumenta con la profundidad. Del mismo modo, la presión atmosférica disminuye con la altura creciente; por esta razón, las aeronaves que vuelan a grandes alturas deben tener cabinas presurizadas para comodidad de los pasajeros.
Ahora se demostrará como la presión en un líquido a umenta con la profundidad. Como la densidad de una sustancia se define como su masa por unidad de volumen; la tabla anterior menciona las densidades de diferentes sustancias. Estos valores varían ligeramente con la temperatura porque el volu men de una sustancia depende de la temperatura. Bajo condiciones estándar (a 0°C y presión atmosférica), las densidades de los gases son aproximadamente 1/1000 las densidades de sólidos y líquidos. Esta diferencia en densidades implica que el espaciamiento molecular promedio en un gas bajo estas condici ones es aproximadamente diez veces mayor que la de un sólido o líquido. Considere ahora un líquido de densidad en reposo, como se muestra en la figura 14.3. Se supone que es uniforme en todo el líquido, esto significa que el líquido es incompresible. Seleccione una muestra del líquido contenido dentro de un cilindro imaginario de área de sección transversal que se extiende desde la profundidad d a la profundidad d +h. El líquido externo a la muestra ejerce fuerzas en todos los puntos de la superficie de la muestra, perpendicular a la superficie. La presión que ejerce el líquido en la cara inferior de la muestra es P , y la presión en la cara superior es P 0. Por lo tanto, la fuerza hacia arriba que ejerce el fluido exterior sobre el fondo del cilindro tiene una magnitud PA, y la fuerza descendente que se ejerce sobre la parte superior tiene magnitud P 0 A. La masa de líquido en el cilindro es ; en consecuencia, el peso del líquido en el cilindro es . Ya que el cilindro esta en equilibrio, la fuerza neta que actúa sobre él debe ser cero. Al elegir hacia arriba como la dirección y positiva, se ve que
o
(4)
Es decir: la presión P a una profundidad h bajo un punto en el líquido donde la presión es P0 es mayor por una cantidad gh. Si el líquido se abre a la atmosfera y P 0 es la presión en la superficie del líquido, en tal caso P 0 es la presión atmosférica. Al hacer los cálculos y al trabajar los problemas al final del capítulo, por lo general la presión atmosférica se considera como La ecuación (4) implica que la presión es la misma en todos los puntos que tengan la misma profundidad, independientemente de la forma del contenedor. Ya que la presión en un fluido depende de la profundidad y del valor de P 0, cualquier aumento en presión en la superficie debe transmitirse a todo otro punto en el fluido. Este concepto lo reconoció por primera vez el científico francés Blaise Pascal (1623 – 1662) y se llama ley de Pascal: un cambio en la presión aplicada a un fluido se transmite sin disminución a todos los puntos del fluido y a las paredes del contenedor . Una aplicación importante de la ley de Pascal es la prensa hidráulica que se ilustra en la figura 14.4a. Una fuerza de magnitud F 1 se aplica a un pequeño pistón de área superficial A1. La presión se transmite a través de un líquido incompresible a un pistón más grande de área superficial A2. Ya que la presión debe ser la misma en ambos lados, . En consecuencia, la fuerza es mayor que la fuerza en un factor . Al disenar una prensa hidráulica con áreas apropiadas y , se aplica una gran fuerza de salida mediante una pequeña fuerza de entrada. Los frenos hidráulicos, elevadores de automóviles, gatos hidráulicos y carretillas elevadoras utilizan este principio (figura 14.4b). Puesto que no se agrega ni retira liquido del sistema, el volumen de líquido que se empuja hacia abajo, a la izquierda de la figura 14.4a, mientras el pistón se mueve hacia abajo a través de un desplazamiento ∆ x1 es igual al volumen de líquido que se empuja hacia arriba, en el lado derecho, mientras el pistón derecho se mueve hacia arriba a través de un desplazamiento ∆ x2. Es decir, ; por lo tanto, . Ya se demostró que . En consecuencia, , de modo que . Cada lado de esta ecuación es el trabajo invertido por la fuerza sobre su pistón respectivo. Por ende, el trabajo invertido por sobre el pistón de entrada es igual al trabajo invertido por sobre el pistón de salida, como debe ser para conservar energía.
Ejemplo 2) En un elevador de automóviles en una estación de servicio, el aire comprimido ejerce una fuerza sobre un pequeño pistón que tiene una sección transversal circular y un radio de 5.00 cm. Esta presión se transmite mediante un líquido a un pistón que tiene un radio de 15.0 cm. ¿Qué fuerza debe ejercer el aire comprimido para elevar un automóvil que pesa 13 300 N? ¿Qué presión de aire produce esta fuerza? SOLUCIÓN: Utilizando la ley de Pascal: Resolvemos para : 1 (5.00 ∗ 10−2 )2 4 1 = ( ) 2 = −2 2 (1.33 ∗ 10 ) 2 (15.0 ∗ 10 ) 1 = 1.48 ∗ 103
Luego hallamos la presión de aire que produce esta fuerza: =
1 1
=
1.48 ∗ 103 (5.00 ∗ 10−2 )2
= 1.88 ∗ 105
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES ¿Alguna vez ha intentado empujar una pelota de playa hacia abajo del agua (figura 14.7a)? Es extremadamente difícil hacerlo debido a la gran fuerza hacia arriba que ejerce el agua sobre la pelota. La fuerza hacia arriba que un fluido ejerce sobre cualquier objeto sumergido se llama fuerza de flotación (boyante) . Se puede determinar la magnitud de una fuerza de flotación al aplicar algo de lógica. Imagine una porción de agua del tamaño de una pelota de playa bajo la superficie del agua, como en la figura 14.7b.
Ya que esta parte está en equilibrio, debe haber una fuerza hacia arriba que equilibre la fuerza gravitacional hacia abajo sobre la porción. Esta fuerza hacia arriba es la fuerza de flotación y su magnitud es igual al peso del agua en la porción. La fuerza de flotación es la fuerza que resulta sobre la porción debido a todas las fuerzas aplicadas por el fluido que rodean la porción. Ahora imagine sustituir la porción de agua del tamaño de una pelota de playa con una pelota de playa del mismo tamaño. La fuerza neta aplicada por el fluido que rodea la pelota es la misma, sin importar si se aplica a una pelota de playa o a una porción de agua. En consecuencia, la magnitud de la fuerza de flotación sobre un objeto siempre es igual al peso del fluido desplazado por el objeto . Este enunciado se conoce como principio de Arquímedes . Con la pelota de playa bajo el agua, la fuerza de flotación, igual al peso de una porción de agua del tamaño de la pelota de playa, es mucho mayor que el peso de la pelota de playa. Por lo tanto, existe una gran fuerza neta hacia arriba, que explica por qué es tan difícil sostener la pelota de playa bajo el agua. Note que el principio de Arquímedes no se refiere a la configuración del objeto que experimenta la fuerza de flotación. La composición del objeto no es un factor en la fuerza de flotación porque la fuerza de flotación la ejerce el fluido. Para comprender mejor el origen de la fuerza de flotación, considere un cubo sumergido en un líquido, como en la figura 14.8. De acuerdo con la ecuación (4), la presión en el fondo del cubo es mayor que la presión en la parte superior por una cantidad , donde h es la altura del cubo y es la densidad del fluido. La presión en el fondo del cubo causa una fuerza hacia arriba igual a , donde A es el área de la cara inferior. La presión en la parte superior del cubo causa una fuerza hacia abajo
igual
a . La resultante de estas dos fuerzas es la fuerza de flotación con magnitud
donde es el volumen del fluido desplazado por el cubo. Ya que el producto es igual a la masa de fluido desplazado por el objeto,
donde Mg es el peso del fluido desplazado por el cubo. Este resultado es consistente con el enunciado anterior acerca del principio de Arquímedes, en función de la discusión de la pelota de playa. Bajo condiciones normales, el peso de un pez es ligeramente mayor que la fuerza de flotación sobre el pez. Por ende, el pez se hundiría si no tuviese algún mecanismo para ajustar la fuerza de flotación. El pez logra esto mediante la regulación interna del tamaño de su vejiga natatoria llena de aire para aumentar su volumen y la magnitud de la fuerza de flotación que actúa sobre él, de acuerdo con la ecuación (5). De esta forma, el pez es capaz de nadar a diversas profundidades. Antes de proceder con algunos ejemplos, es ilustrativo discutir dos situaciones comunes: un objeto totalmente sumergido y un objeto que flota (parcialmente sumergido). Caso 1: Objeto totalmente sumergido. Cuando un objeto está totalmente sumergido en
un fluido de densidad
, la magnitud de la fuerza de flotacion hacia arriba es , donde es el volumen del objeto. Si el objeto tiene una masa M y densidad , su peso es igual a y la fuerza neta sobre el objeto es . En consecuencia, si la densidad del objeto es menor que la densidad del fluido, la fuerza gravitacional hacia abajo es menor que la fuerza de flotación y el objeto sin apoyo acelera hacia arriba (figura 14.9a). Si la densidad del objeto es mayor que la densidad del fluido, la fuerza de flotación hacia arriba es menor que la fuerza gravitacional hacia abajo y el objeto sin apoyo se hunde (figura 14.9b). Si la densidad del objeto sumergido es igual a la densidad del fluido, la fuerza neta sobre el objeto es cero y el objeto permanece en equilibrio. Por lo tanto, la dirección de movimiento de un objeto sumergido en un fluido está determinada por las densidades del objeto y el fluido.
Caso 2: Objeto que flota. Ahora considere un objeto de volumen y densidad < en equilibrio estático que flota en la superficie de un fluido, es decir, un objeto que solo está parcialmente sumergido (figura 14.10). En este caso, la fuerza de
flotación hacia arriba se equilibra mediante la fuerza gravitacional hacia abajo que actúa en el objeto. Si es el volumen del fluido desplazado por el objeto (este volumen es el mismo que el volumen de dicha parte del objeto bajo la superficie del fluido), la fuerza de flotación tiene una magnitud = . Ya que el peso del objeto es = = , y ya que = , se ve que = , o
Esta ecuación demuestra que la fracción del volumen de un objeto en flotación que está debajo de la superficie del fluido es igual a la relación de la densidad del objeto a la del fluido.
Ejemplo 3) Según la tradición a Arquímedes se le pidió determinar si una corona hecha para el rey consistiera de oro puro. De acuerdo con la leyenda, el resolvió este problema al pesar la corona primero en aire y luego en agua, como se muestra en la figura 14.11. Suponga que
lectura en la balanza es 7.84 N cuando la corona estaba en aire y 6.84 N cuando estaba en agua. ¿Que dijo Arquímedes al rey?
SOLUCIÓN: Condición de equilibrio de fuerza a la corona de agua: = + 2 − = 0
Resolvemos para B y sustituimos los valores conocidos = − 2 = 7.84 − 6.84 = 1.00
Ya que esta fuerza de flotación es igual en magnitud al peso del agua desplazada, = 1.00 , donde es el volumen del agua desplazada y es su densidad. Además, el volumen de la corona es igual al volumen del agua desplazada porque la corona está completamente sumergida. Encontramos el volumen de la corona:
Encontramos la densidad de la corona:
