1.
1.1
VIBRACIONES
VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
Se denomina vibración a la propagación de ondas elásticas produciendo deformaciones y tensiones sobre un medio continuo (o posición de equilibrio). En su forma más sencilla, una vibración se puede considerar como un movimiento repetitivo alrededor de una posición de equilibrio. La posición de equilibrio es a la que llegará cuando la fuer!a que act"a sobre #l sea cero. $lgunas vibraciones son deseables, como por e%emplo el movimiento pendular que controla el movimiento de un relo%, o la vibración de una cuerda de un instrumento musical. En cambio en muc&as aplicaciones mecánicas no se desea la presencia de las vibraciones. $s' por e%emplo la vibración ecesiva de máquinas y estructuras puede ocasionar que se ao%en las uniones y las coneiones llegando en algunos casos a producir el colapso de la estructura, tambi#n tenemos a las vibraciones generadas por un sismo, generando distintos tipos de ondas que ocasionan colapso a trav#s del terreno que atraviesa, unas más que otras (ver imagen 1.a).
*magen (1.a).
1.2
Vibración libre no aor!i"#a$a% este tipo de vibraciones son ideales y no presentan fuer!as de fricción alguna y de este modo permite que la vibración perdure a trav#s del tiempo sin la intervención de fuer!as algunas claro está. (E%emplo+ p#ndulo) Vibración libre aor!i"#a$a% este tipo de vibraciones las encontramos más a menudo, ya que tiene variables más
VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
*niciaremos el estudio de la inámica Estructural con el análisis de los Sistemas de un -rado de Libertad, en el cual despreciaremos las fuer!as de fricción o de amortiguamiento. $demás, consideraremos que el Sistema, durante el movimiento o vibración, no est# ba%o la acción de fuer!as ecitadoras. ebido a esto, el movimiento del Sistema es gobernado solo por la inuencia de las condiciones iniciales, esto es, dando despla!amiento y velocidad para un tiempo t/ cuando se inicia el estudio del fenómeno. $ un Sistema que cumple con estas condiciones, se le denomina S*S0E$ E 23 S4L4 -5$4 E L*6E50$ E3 7*65$8*43ES L*65ES 34 $450*-2$$S. La ecuación fundamental de la inámica Estructural para los Sistemas de un grado de libertad sin amortiguamiento, se deducen a continuación y está dada por la ecuación (1.b)
*magen (;.a). iagrama fundamental para deducir la ecuación fundamental de la inámica
*magen (<.a). Equilibro dinámico, principio =Lambert. (iagrama de cuerpo libre)
de
m X + kX = F ( t ) ( 1. b) ''
9ero en el caso d los sistemas su%eto a vibraciones libres, la fuer!a ecitadora
F ( t )=0 : sustituyendo este valor en la
ecuación (1.b), obtenemos la ecuación que gobierna movimiento del sistema.
el
''
m X + kX =0 ( 2. b )
1.2.1&roblea $e 'alore( iniciale( )ara el o'iien!o en 'ibracione( libre( $e Si(!ea( $e #n (olo "ra$o $e liber!a$. El ob%etivo de esta sección es encontrar la solución de la ecuación diferencial (;.b), para las condiciones iniciales de despla!amiento y velocidad, com"nmente denominado >9546E$ E 7$L45ES *3*8*$LE?, el cual queda de@nido por el siguiente modelo matemático+ ''
m X + kX =0 X ( t =0)= X 0
(<.b)
X ' ( t =0) = X ' 0
9rimeramente clasi@caremos la ecuación deferencial (;.b). ebido a que la variable dependiente
X
y su
segunda derivada X ' ' , aparecen en primer grado en la ecuación (;.b), esta ecuación es clasi@cada como lineal y de segundo orden. e &ec&o, los coe@cientes de X ' '
( k
X
y
m respectivamente), son constantes y el
y
segundo miembro es cero: por lo que la ecuación además se clasi@ca como &omog#nea con coe@cientes constantes. 9ara obtener la solución de esta ecuación diferencial de ;A orden, procederemos directamente suponiendo que la solución es de la forma dada por las ecuaciones (B.b) y (C.b) X 1= A cos ( pt ) ( 4. b ) X 2= B sen ( pt ) ( 5. b )
onde A y
B son constantes que dependen del inicio
del movimiento y
p representa una caracter'stica f'sica
del Sistema. erivando respecto a (C.b) se obtiene
t
las ecuaciones (B.b) y
X 1= A cos ( pt ) X ' 1=− Ap sen ( pt ) ( 6. b ) X ' ' 1=− A p
2
cos
( pt )
X 2= B sen ( pt ) X ' 2= Bp cos ( pt ) ( 7. b ) X ' ' 2=− B p sen ( pt ) 2
D sustituyendo los valores de las ecs. (.b) en la ec. (;.b)
( pt ) 2
− A p cos ¿ ¿ m¿ (−m p + k ) A cos ( pt )= 0 2
e la misma manera puede veri@carse que las ecs. (F.b) satisfacen la ec. (;.b) para
p
2
de@nido por la ecuación
(G.b). La ra'! positiva de la ecuación (G.b) es conocida como la frecuencia natural circular del Sistema. $s', tenemos+ p=
√
k ( 9. b ) m
8omo ya se demostró, las funciones de@nidas en las ecuaciones (B.b) y (C.b) son soluciones de las ec. (;.b), y como esta es lineal, la suma de las dic&as funciones tambi#n es solución, es decir X = A cos ( pt ) + Bsen ( pt ) ( 10. b )
ebido a que la ecuación (1/.b) consta de dos constantes de integración
A y
B , es en realidad la
solución general de la ecuación diferencial de ;A orden (;.b). Las ecuaciones de la velocidad y la aceleración se obtienen derivando dos veces la ec. (1/.b) respecto a
t .
X =− Ap sen ( pt ) + Bp cos ( pt ) (11. b ) '
' '
X =− A p
2
cos
( pt )−B p sen ( pt ) (12. b ) 2
Los valores de las constantes A y
B se determinan a
partir de las condiciones iniciales de despla!amiento y velocidad+ X ( t =0)= X o ; X ' (t =0)= X ' o
Sustituyendo estos valores en las ecs. (1/.b) y (11.b), se obtiene+ A = X o B=
X ' o p
Hinalmente, al sustituir los valores de A y B en las ecs. (1/.b), (11.b) y (1;.b) obtenemos las ecuaciones de despla!amiento, velocidad y aceleración para vibraciones libres de los Sistemas de un grado de libertad no amortiguados. X ( t )= X o cos ( pt ) +
X ' o p
sen ( pt )( 13. b )
X ' ( t ) =− p X o sen ( pt ) + X ' o cos ( pt ) ( 14. b ) X ' ' ( t ) =− p X o cos ( pt )− p X ' o sen ( pt ) ( 15. b ) 2
1.2.2 Re)re(en!ación "r*+ca $e la( 'ibracione( libre(. $l representar grá@camente, para distintas condiciones iniciales de despla!amiento y velocidad, la variación en el tiempo del despla!amiento, velocidad y aceleración se tomarán como base las ecs. (1<.b), (1B.b) y (1C.b). 8onsideremos los siguientes casos+
i,
X o > 0 , X ' o=0
.
Sustituyendo las condiciones iniciales en las ecs. del movimiento (1<.b), (1B.b) y (1C.b) X ( t )= X o cos ( pt ) X ' ( t ) =− p X o sen ( pt ) X ' ' ( t ) =− p X o cos ( pt ) 2
*magen (B.a). 5epresentación grá@ca del movimiento para las condiciones
ii,
X o =0 , X ' o > 0
.
Sustituyendo las condiciones iniciales en las ecs. del movimiento (1<.b), (1B.b) y (1C.b) X ( t )=
X ' o p
sen ( pt ) X ' ( t ) = X ' o cos ( pt ) X ' ' ( t ) =− p X ' o sen ( pt )
*magen (C.a). 5epresentación grá@ca del movimiento para las condiciones
iii,
Ca(o "eneral- X o ≠ 0 , X ' o ≠ 0 . 9ara
obtener
la
representación
grá@ca
del
movimiento para el caso general, es decir, condiciones iniciales distintas de cero, es necesario &acer el siguiente planteamiento. $nali!ando la ecuación de despla!amiento (1<.b), podemos decir que la vibración consiste de dos partes+ una de la cual es proporcional &a despla!amiento inicial proporcional a
X o
cos
( pt ) y depende del
y otra, en la cual es
sen ( pt ) y depende de la velocidad inicial
X ' o . 8ada una de estas partes puede ser representada
grá@camente como se muestran en las imágenes (.a.a) y
(.a.b). El despla!amiento total de pt
X
para cualquier
se obtiene sumando las coordenadas de las dos
curvas para ese
pt
como se muestra en la imagen
(.a.c). 8omo puede observarse, la máima ordenada de la curva de la imagen (.a.c) esta despla!ada con respecto a la máima ordenada de la curva de la imagen (.a.a) por la cantidad
∝
. En este caso puede decirse que el
despla!amiento total, representado por la curva de la imagen (.a.c), se retrasa respecto a la componente del despla!amiento dad por la curva de la imagen (.a.a). El mismo ro!amiento puede &acerse con las ecuaciones de velocidad y aceleración, (1B.b) y (1C.b), obteni#ndose de las grá@cas de la imagen (.a.d) y (.a.e).
*magen (.a). 5epresentación grá@ca del movimiento para las condiciones
1.2. Gr*+ca al!erna!i'a a$ien(ional. 9ara su determinación basta con despe%ar la función seno o
coseno de la ecuación de movimiento. 9ara el
caso ii de la sección 1.;.< por e%emplo, la grá@ca adimensional del despla!amiento, dada por la siguiente ecuación, se muestra en la siguiente imagen (F.a). X ( t )=
X ' o p
sen ( pt )
*magen
(F.a).
-rá@ca
alternativa
1.2./ 0rec#encia &erio$o. 2n eamen de la ec. (1<.b) muestra que como las
funciones
X o cos ( pt )
y
misma frecuencia angular
X ' o p
sen ( pt ) , tienen ambas la
p : el movimiento resultante
tambi#n poseerá una frecuencia angular
p y por lo
tanto será armónico y periódico. El periodo puede determinarse a partir de las funciones seno y coseno, las cuales tienen un periodo de vibración
T
2 π
. El periodo natural de
es el tiempo requerido para que una
estructura complete un ciclo de vibración libre y está dado por la ec. (1G.b) pT = 2 π
T =
2 π
p
( 16. b )
El periodo
T es epresado usualmente en segIciclo o
simplemente en segundos. El valor rec'proco del periodo frecuencia natural
T se le denomina
f , de modo que+
p 1 f = = ( 17. b ) T 2 π
La frecuencia natural es com"nmente epresada en Jert! o ciclosIseg. La frecuencia natural angular o
circular p es frecuencia
2 π
natural
veces la frecuencia natural p
circular
se
f . La
epresa
en
radianesIseg.
1.2.A)li!#$
$e
$e()la3aien!o-
'eloci$a$-
aceleración *n"#lo $e 4a(e. La ec. (1<.b) describe el despla!amiento de un oscilador no amortiguado en vibraciones libres, pudiendo reescribirse en forma equivalente por la ec. (;.b) la cual se
sostiene
a
trav#s
de
simple
transformaciones
trigonom#tricas. 9ara el caso general las condiciones iniciales son+ X ( 0)= X 0 X ' ( 0)= X ' 0
multiplicando y dividiendo el segundo miembro de la ec. (1<.b) por el factor A para que no se altere, tenemos+ X ( t )= A
[
X o A
cos
( pt )+
X ' o / p A
]
sen ( pt ) ( 18. b )
8on la ayuda del triángulo rectángulo de la @gura imagen (G.a), cuyos catetos son
X 0
A se determina+
*magen '
X '
¿ X +(¿ o ¿¿ p ) ( 19. b ) ¿ A =√ ¿ 2 0
2
y
X ' o / p , la &ipotenusa
=
sin α
X ' o p A
=
cos α
=
tan α
X o A
( 20. b )
( 21. b )
X ' o p X o
( 22. b)
Sustituyendo (;/.b) y (;1.b) en la ec. (1G.b) X ( t )= A [( cos pt ) ( cos α )+ ( sen pt ) ( senα ) ] ( 23. b )
y aplicando la identidad trigonom#trica+ cos
( A − B )=( cos A ) ( cos B ) +( sen A ) ( sen B )
$ la ec. (;<.b), se determina @nalmente la ecuación que representa el despla!amiento de un oscilador simple, ec. (;B.b). erivando esta ecuación con respecto al tiempo, se obtienen las ecuaciones de velocidad y aceleración, ecs. (;C.b) y (;.b), respectivamente. X ( t )= A cos ( pt − α ) ( 24. b ) X ' ( t ) =− p A sen ( pt −α ) ( 25. b ) X ' ' ( t ) =− p A cos ( pt −α ) ( 26. b ) 2
$l valor de
A de@nido por la ec. (1K.b) se le
denomina $9L*02 E 47**E304 y a
α $3-2L4
E H$SE. El despla!amiento de un oscilador simple dado por la ec. (;B.b) para condiciones iniciales X ( 0)= X 0 ,
X ' ( 0)= X ' 0
puede representarse grá@camente por la imagen (K.a).
*magen (K.a). 5epresentación grá@ca del despla!amiento de un oscilador
−
Si la grá@ca de la imagen (K.a) la despla!amos &acia la derec&a una cantidad en función de
α se obtiene el despla!amiento
pt , el cual se muestra grá@camente en
la imagen (1/.a).
*magen (1/.a). 5epresentación grá@ca del despla!amiento de un oscilador
9or "ltimo, epresar el despla!amiento en simple en funciónpara pt función del tiempo
t
debe dividirse cada valor
representado en el e%e de las abscisas de la imagen (1/.a) por
p , obteni#ndose as', la grá@ca de la @gura
(11.a). e la misma forma que se obtuvo la grá@ca del despla!amiento en función del tiempo, dadas por las imágenes (1/.a.b) y (1/.a.c) respectivamente.
1.
&ROBLEMA 5&RACTICA, En el Sistema de vibración libre, gra@car (t), ángulo de fase MI<, amplitud ;.//, indicar la ecuación diferencial que la gobierna y la solución general .
Solución •
Ecuación diferencial que la gobierna+ Seg"n lo eplicado en el marco teórico la respuesta a esta interrogante seria la ecuación (;.b)+ ''
m X + kX =0
•
La solución general+ La solución general está dada por la ecuación (;B.b)+ X ( t )= A cos ( pt + α )
onde p es la velocidad circular
5eempla!amos los valores iniciales para encontrar la grá@ca adimensional dándole distintos valores para
0 ≤t ≥ 44
+
-rá@ca adimensional en función del tiempo
