USO DE FUNCIONES DE SINGULARIDAD PARA DETERMINAR EL CORTANTE Y EL MOMENTO FLECTOR EN UNA VIGA 1. Resumen En el presente trabajo como el uso de funciones de singularidad para determinar el cortante y el momento flector de una viga simplifica más la determinación de las flexiones de la viga. La singularidad es la cualidad o detalle que distingue a una cosa de otras de la misma clase o especie. Palabras clave: Momento flector, Cortante, Funciones de Singularidad.
2. Introducción Dentro de la amplia variedad de funciones matemáticas existentes se encuentran algunas que presentan comportamientos extraños e inesperados cuando se le asignan determinados valores a la/s variable/s independiente/s. Dicho comportamiento se describe con el nombre de singularidad de la función. Las funciones de singularidad hacen posible representar el cortante V y el momento flector M por expresiones matemáticas únicas. [1]
3. Situación física El hecho que el cortante y el momento flector estén representados por diferentes funciones de x , dependiendo si x es menor o mayor que a , se debe a la discontinuidad de la carga en la viga. Sin embargo, las funciones
V 1 (x)
y
V 2 (x)
pueden representarse
por la ecuación única: 1 V ( x ) = w a−w0 ⟨ x −a ⟩ (1) 4 0 Si se especifica que el segundo término deberá incluirse en los cálculos cuando ignorarse cuando
x< a . En otras palabras, los corchetes
paréntesis ordinarios ( ) cuando
x≥a
e
⟨ . ⟩ deberán reemplazarse por
y por cero cuando 1
x≥a
x< a . Con la misma
convención, el momento flector puede representarse en cualquier punto de la viga por la expresión única: 1 1 2 M ( x )= w ax− w ⟨ x−a ⟩ (2) 4 0 2 0
Además, empleando la misma convención, se observa que la carga distribuida en cualquier punto de la viga puede expresarse como: 0
w ( x )=w0 ⟨ x−a ⟩ (3)
4. Modelo matemático 0
Las expresiones ⟨ x−a ⟩ , ⟨ x−a ⟩ , ⟨ x −a ⟩
2
se conocen como funciones de singularidad. Por
definición se tiene, para n ≥ 0 ,
{
}
n n ⟨ x−a ⟩ = ( x −a ) Cuando x ≥ a ( 4)
0 Cuando x
También se advierte que siempre la cantidad entre los corchetes sea positiva o cero, los corchetes deberán reemplazarse por paréntesis ordinarios; en cambio, si la cantidad es negativa, el corchete mismo es igual a cero. La función
⟨ x−a ⟩
0
es descontinua en
x=a
nombre de función escalón.
2
y tiene forma de escalón y se le da el
Figura 1. Las tres funciones de singularidad que corresponden respectivamente a
n=0 , n=1 , n=2 . [1]
La mayoría de cargas de viga encontradas en la práctica de la ingeniería pueden reducirse a las cargas básicas mostradas en las figura 3, donde quiera que sean aplicables, las funciones correspondientes
w ( x ) ,V ( x ) y M ( x)
se han expresado en términos de funciones de
singularidad. Las funciones
V (x ) y M (x )
que representan el cortante y el momento flector en
cualquier punto de la viga pueden obtenerse sumando las funciones correspondientes asociadas con cada uno de las cargas y reacciones básicas.
3
Figura 2. Cargas básicas y sus correspondientes cortes y momentos flectores expresados en términos de funciones de singularidad. [1]
5. Análisis de resultados a) Utilice las funciones de singularidad para escribir las ecuaciones que definen el cortante y el momento flector par la viga y las cargas que se muestran en la figura 3. 4
b) Mediante la ecuación obtenida para M determine el momento flector en el punto C y verifique la respuesta con el trazo del diagrama del cuerpo libre de la viga completa.
dV =−w dx
a) x
V ( x ) −V ( 0 )=−∫ w∗dx 0
x
V ( x ) −V ( 0 )=∫ [−w 0− 0
w 0 x w0 1 − ⟨ x−a ⟩ ]∗dx a a
w0 x2 w0 2 V ( x ) =−w0 x+ − ⟨ x−a ⟩ /¿ 2a 2a
b)
dM =V dx x
M ( x )−M ( 0 )=−∫ V ∗dx 0
−w w x w [¿ ¿ 0 x + 0 − 0 ⟨ x−a ⟩2 ]∗dx 2a 2a 2
x
M ( x ) −M ( 0 )=−∫ ¿ 0
5
2
M ( x )=
3
−w0 x w0 x w 0 3 + − ⟨ x−a ⟩ /¿ 2a 6a 6 a
Como presenta la gráfica tenemos que en el punto C, x=2a M c=
−w 0 (2 a)2 w0 ( 2a)3 w0 3 + − ⟨ 2 a−a ⟩ 2a 6a 6a
−5 ¿ w 0 a 2 M c= 6 Verificación mediante el diagrama de cuerpo libre:
6. Conclusiones Usando las funciones de singularidad se comprueba que se simplifica mucho más la determinación de flexiones de la viga, este método demuestra como el uso de funciones de singularidad hace posible representar el cortante V y el momento flector M usando expresiones matemáticas.
7. Bibliografía [1] Beer, Johnston, Dewolf, Mazurek. Mecánica de materiales. Quinta edición. [2] R.C. Hibbler. Mecánica De Materiales. Octava Edición, Ed. Pearson, 2013. [3] http://es.slideshare.net/oscarmorales/4-fuerzas-cortantes-y-momento-flector
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[4] http://www.me.berkeley.edu/~lwlin/me128/BeamDeflection.pdf
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