Funciones de Singularidad

Funciones de singularidad Las funciones de singularidad son funciones que sirven para modelar fuerzas en una viga en una sola función, la cual puede ser analizada mediante el método de la doble integración para poder hallar la flexión en una viga. Entre estas funciones destacan las más importantes el escalón unitario y el impulso unitario. También conocidas como función Heaviside y función Delta de Dirac respectivamente.

Función Heaviside: Esta función debe su nombre al matemático ingles Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor toma solo 2 valore: 0 para cualquier argumento negativo, y 1 en caso contrario; aunque algunos libros lo definen como 0 si el argumento es 0, y otros como ½ para este caso. La función puede definirse de la siguiente forma:

Propiedades: 

Cambio de signo del argumento.



La derivada en el sentido de las distribuciones las  distribuciones es la delta la delta de Dirac.



Transformada de Laplace.



La función La función primitiva es la función la función rampa:



Es la integral la integral de la función la función delta de Dirac.

Modelo físico: Esta función modela a una distribución de fuerzas en una determinada longitud en una v iga.

Para la mejor representación se utiliza una combinación de estas funciones para modelar distribuciones de diferentes magnitudes y sobre diferentes longitudes. Por ejemplo: Representar en una sola función la distribución de fuerzas de la siguiente viga

300 lb/pie

()    ()      (  )      (   )     (  )     (  )

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Función Delta de Dirack La delta de Dirac no es una función estrictamente hablando, puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos. A veces, informalmente, se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones que tiende a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito; de ahí la "definición convencional" dada por la también convencional fórmula aplicada a las funciones definidas a trozos:

Propiedades Estas propiedades se pueden demostrar multiplicando ambos miembros de cada igualdad por una función f(x) e integrando teniendo en cuenta que la función delta no puede formar parte del resultado a menos que esté dentro de una integral.





















Modelamiento físico En física, la delta de Dirac puede representar la distribución de densidad de una masa unidad concentrada en un punto a. Esta función constituye una aproximación muy útil para funciones picudas y constituye el mismo tipo de abstracción matemática que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina también función de impulso. Además, la delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas.

Ejemplo: Representar las siguientes cargas en una viga

8 kN/m

8 kN/m

()      (  )      (  )     (  )     (  )     ()    (  )

Función rampa unitaria La función rampa es una función elemental real de un sólo argumento, continua y diferenciable en todo su dominio excepto en un punto (inicio de la rama) fácilmente computable a partir de la función mínimo o la función valor absoluto. Las principales aplicaciones prácticas de esta función se dan en ingeniería (procesamiento digital de señales, plasticidad, etc.). El término "función rampa" se debe a la forma de su representación gráfica. Puede definirse de diferentes maneras equivalentes:

1.

2.

(en términos de la función valor absoluto)

3.

(en términos de la función máximo)

4.

(en términos de la función unitaria de Heaviside)

Esta función, y las demás funciones que se obtienen al integrarse n veces respecto a x sirven para modelar diversas distribuciones de fuerzas.