*5.5 USO DE FUNCIONES DE SINGULARIDAD PARA DETERMINAR EL CORTANTE Y EL MOMENTO FLECTOR EN UNA VIGA Repasando lo estudiado en las secciones secciones anteriores, se observa que el cortancortante y el momento flector rara vez pudieron ser descritos por funciones analíticas únicas. En el caso de la viga en voladizo del ejemplo 5.02 (figura 5.10), cortante te y el el moque soportaba una carga uniformemente distribuida w , el cortan mento flector sí pudieron representarse con funciones funciones analíticas analíticas únicas, es1 2 pecíficamente, V w x y M 2 w x ; esto se debió a que no existió discontinuidad en la carga carga de la viga. viga. Por otra parte, en el caso de la viga simplemente apoyada apoyada del ejemplo 5.01, 5.01, que estaba cargada cargada sólo en su punto central C , la car carga ga P aplicada en C representó una singularidad en la carga de la viga. Esta singularidad resultó en discontinuidades en los diagramas de cortante y de momento y requirió del uso de diferentes funciones analíticas para representar a V y a M en las porciones de la viga situadas, respectivamente, tivam ente, a la izquierda y a la derecha derecha del punto C . En el problema modelo 5.2, la viga hubo hubo de ser divid dividida ida en tres tres porciones porciones,, en cada cada una de las las cuales se utilizaron diferentes funciones para representar el cortante y el momento flector. flector. Esta situación requirió de la representación gráfica gráfica de las funciones V y M suministradas por los diagramas de cortante y de momento flector y, y, al final de de la sección 5.3, sobre un método método gráfico de integración integración para determinar V y M a partir de la carga distribuida w . El propósito de esta sección es mostrar cómo el uso de funciones de singularidad hace posible representar el cortante V y el momento flector M por expresiones matemáticas únicas. Considere la viga simplemente apoyada AB, de lon longi gitu tud d 2a, qu quee lle lleva va una carga uniformeme uniformemente nte distribuida w 0 que se extiende desde su punto medio C hasta su soporte derecho B (figura 5.16). Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la viga completa (figura 5.17a); reemplazando la carga distribuida por una carga concentrada concentrada equivalente equivalente y, y, sumando momentos alrededor de B, se esc escrib ribee l M B
1 w0 a 2 1 12 a 2 R A 1 2a 2 0
0:
R A
343
5.5 Uso Uso de de funciones de singularidad para determinar de terminar el cortante y el momento flector en una viga
w0 C A
B
a
a
Figura 5.16
w0 a
1 2 a
w0
1 4 w0 a C A
A continuación se corta la viga en un punto D entre A y C . Del diagrama de cuerpo libre de AD (figura 5.17b) se concluye concluye que, en el intervalo intervalo 0 x a, el cortante y el el momento flector flector son expresados, expresados, respectiv respectivamente, amente, por las funciones
B
2 a
R A
RB
a) x D
V 1 1 x 2 2
1 4 w0 a
M 1 1 x 2 2
y
1 4 w0 ax
A
M1
b)
V 1
Cortando ahora la viga en un punto E entre C y B, se dibuja dibuja el diagra diagrama ma de cuerpo libre de la porción AE (figura 5.17c). Reemplazando la carga distribuida por la carga carga concentrada concentrada equivalente, equivalente, se tiene
c F y
l M E
1 4 w0 a w0 x
1
0:
1 4 w0 ax w0 x
1
0:
1
a 2 V 2
a 2 3 2 1 x a 2 4
0
M 2
0
R A
1 4 w0 a w0 ( x x
a)
1 ( x 2 x
A
a)
C M2
E
y se concluye concluye que, en el intervalo intervalo a x 2a, el cortante y el momento momento flector se expresan, expresan, resp respecti ectivam vamente ente,, con las funciones funciones
a x R A
V 2 1 x 2 2
1 4 w0 a w0 x
1
a 2
y M 2 1 x 2 2
1 1 4 w0 ax 2 w0 x
1
a 2 2
1 4 w0 a
Figura 5.17
x
a
V 2
c)
344
Análisis y diseño de vigas para flexión
Como se señaló anteriormente en esta sección, el hecho de que el cortante y el momento flector estén representados por diferentes funciones de x , dependiendo de si x es menor o mayor que a, se debe a la discontinuidad de la carga en la viga. Sin embargo, las funciones V 1( x ) y V 2( x ) pueden representarse por la expresión única V 1 x 2 4 w0 a 1
w0H x aI
(5.11)
si se especifica que el segundo término deberá incluirse en los cálculos cuando x a e ignorarse cuando x a. En otras palabras, los corchetes ˚ ¬ deberán reemplazarse por paréntesis ordinarios ( ) cuando x a y por cero cuando x a. Con la misma convención, el momento flector puede representarse en cualquier punto de la viga por la expresión única M 1 x 2 4 w0ax 2 w0H x aI2 1
1
˛
(5.12)
˛
De la convención que se ha adoptado, se entiende que los corchetes ˚ ¬ pueden derivarse o integrarse como paréntesis ordinarios. En lugar de calcular el momento flector a partir de diagramas de cuerpo libre, podría haberse utilizado el método indicado en la sección 5.3 e integrar la expresión obtenida para V ( x ): x
M 1 x 2 M 1 0 2
x
V 1 x 2 dx
0
x
1 4
w0 a dx ˛
0
wH
0 x
aI dx
0
Después de la integración, y observando que M (0) antes,
0, se obtiene, como
2 14 w0 ax 12 w0 H x aI2 M 1 x ˛
Además, empleando la misma convención, se observa que la carga distribuida en cualquier punto de la viga puede expresarse como
w 1 x 2 w0 H x aI0
(5.13)
De hecho, los corchetes deberán reemplazarse por cero para x a y por paréntesis para x a; entonces, se verifica que w( x ) 0 para x a y, definiendo la potencia cero para cualquier número como la unidad, que ˚ x a¬0 0 ( x a) 1 y que w ( x ) w0 para x a. De la sección 5.3 recuerde que es posible obtener el cortante integrando la función w ( x ). Observando que V 14 w0 a para x 0, se escribe x
2 V 1 0 2 V 1 x
x
w1 2
x dx
0
2 4 w0 a V 1 x 1
wH
0 x
aI0 dx
0
w0H x aI1
Despejando V ( x ) y eliminando el exponente 1, se obtiene nuevamente V 1 x 2 4 w0 a 1
w0H x aI
Las expresiones ˚ x a¬0, ˚ x a¬, ˚ x a¬2 se conocen como funciones de singularidad . Por definición se tiene, para n 0,
H I e 1 x
a
n
x 0
a
2
cuando x a cuando x 6 a
n
(5.14)
También se advierte que siempre que la cantidad entre los corchetes sea positiva o cero, los corchetes deberán reemplazarse por paréntesis ordinarios; en cambio, si la cantidad es negativa, el corchete mismo es igual a cero.
x a
0
1
x a
0
a
0
x
a) n
x a
a
0
2
0
x
a
b) n 1
c) n
x
2
Figura 5.18
Las tres funciones de singularidad que corresponden respectivamente a n 0, n 1 y n 2 se han graficado en la figura 5.18. Se observa que la función ˚ x a¬0 es discontinua en x a y que tiene la forma de un escalón. Por tal razón recibe el nombre de función escalón. De acuerdo con la ecuación (5.14), y con la potencia cero de cualquier número definida como la unidad, se tiene:†
H I e x a
0
1 0
cuando x a cuando x 6 a
(5.15)
De esto se sigue, de la definición de las funciones de singularidad, que
H
I
x a n dx
1 n
1
H I x a
n1
para n
0
(5.16)
y d
H I H I
x a dx
n
n x a
n1
para n
1
(5.17)
La mayoría de las cargas de viga encontradas en la práctica de la ingeniería pueden reducirse a las cargas básicas que se muestran en la figura 5.19. Dondequiera que sean aplicables, las funciones correspondientes w( x ), V ( x ) y M ( x ) se han expresado en términos de funciones de singularidad y graficadas contra un fondo de color. Se utilizó el fondo con color más intenso con el fin de indicar, para cada carga, la expresión que más fácilmente se deduce o recuerda y de la que otras funciones pueden encontrarse por integración.
† Como ( x a)0 es discontinua en x a, puede argumentarse que esta función debería dejarse indefinida para x a o que debería asignársele tanto el valor de 0 como el de 1 para x a. Sin embargo, definir a (x a)0 como igual a 1 cuando x a, como se estableció en la ecuación (5.15), tiene la ventaja de no ser ambiguo y, por tanto, directamente aplicable a la programación de computadoras (véase página 348).
5.5 Uso de funciones de singularidad para determinar el cortante y el momento flector en una viga
345
Carga
Corte
Momento flector
V
M
a a x
O
x
O
a
O
M0
M0
a)
M ( x)
a
x
P
V
x
O
M a
O
x
P
b)
0
M0 x a
V ( x)
a
O
0
P x a
M ( x)
x
P x a
1
w a
w0
V
x
O
c)
w ( x)
a
O
x
0
w0 x a
V ( x)
w x a
a
O
1
M ( x)
0
x
1 2 2 w0 x a
Pendiente k
w
V
a x
O
d)
M
w ( x)
M a
O
x
a
O
x
1
k x a
V ( x)
k
2 x a
2
M ( x)
k
2 · 3 x a
3
w V
M
a x
O
e)
w ( x)
n k x a
a
O
V ( x)
k n
1
x
n 1 x a
a
O
M ( x)
x
k
( n 1) ( n 2)
n x a
2
Figura 5.19 Cargas básicas y sus correspondientes cortes y momentos flectores expresados en términos de funciones de singularidad.
Después de que una carga dada de una viga se ha dividido en las cargas básicas de la figura 5.19, las funciones V ( x ) y M ( x ) que representan el cortante y el momento flector en cualquier punto de la viga pueden obtenerse sumando las funciones correspondientes asociadas con cada una de las cargas y reacciones básicas. Ya que todas las cargas distribuidas mostradas en la figura 5.19 son abiertas a la derecha, una carga distribuida que no se extiende hasta el extremo derecho de la viga o que es discontinua deberá reemplazarse como se muestra en la figura 5.20 por una combinación equivalen-
346
5.5 Uso de funciones de singularidad para determinar el cortante y el momento flector en una viga
te de cargas con extremo abierto (véase también el ejemplo 5.05 y el problema modelo 5.9). Como se verá en la sección 9.6, el uso de funciones de singularidad simplifica mucho más la determinación de las deflexiones de la viga que el enfoque utilizado en esta sección. Tal método fue sugerido primero por el matemático alemán A. Clebsch (1833-1872). Sin embargo, es el matemático e ingeniero británico W. H. Macaulay (1853-1936) quien recibe comúnmente el crédito de introducir las funciones de singularidad en la forma utilizada aquí, por lo que los corchetes ˚ ¬ generalmente reciben el nombre de corchetes de Macaulay.†
347
w0
w a
x
O b L w0
w a
x
O
†
W. H. Macaulay, “Note on the Deflection of Beams,” en Messenger of Mathematics , vol. 48, pp. 129-130, 1919.
w0
b L
w( x) w0 x a 0 w0 x b 0 Figura 5.20
EJEMPLO 5.05 Para la viga y carga mostradas (figura 5.21a) y usando funciones de singularidad, exprese el corte y el momento flector como funciones de la distancia x desde el apoyo en A.
P 1.2
C
a) S
0.6 m
A x 0
0:
P 1.2
g M B
0:
1 3.6 m 2 1 1.2 kN 2 1 3 m 2 1 1.8 kN 2 1 2.4 m 2 1.44 kN
1.2 m
kN · m
E
B
0.8 m
1.8 kN
m
0
A C
2.60 kN
D
M0 1.44
A continuación, se reemplaza la carga distribuida por dos cargas equivalentes abiertas a la derecha (figura 5.21c) y se expresa la carga distribuida w( x ) como la suma de las funciones escalón correspondientes:
w0H x 0.6I
2.4 m
A y
B
B
3m
b)
3.6 m
w
w 1 x 2
kN · m
E
A x
0
1.0 m
kN
A y
A y
M0 1.44
D
A
Primero se determina la reacción en A dibujando el diagrama de cuerpo libre de la viga (figura 5.21b) y escribiendo F x
kN
w0 1.5 kN/m
w0H x 1.8I
0
0.6 m P 1.2
kN
M0 1.44
kN · m
w0 1.5 kN/m
La función V ( x ) se obtiene integrando w( x ), invirtiendo los signos y ; al resultado se le suman las constantes A y y 0 P˚ x 0.6¬ que representan las contribuciones respectivas al cortante de la reacción en A y de la carga concentrada. (No se requiere ninguna otra constante de integración.) Puesto que el par concentrado no afecta directamente al cortante, deberá ignorarse en este cálculo. Se escribe
2 V 1 x
w0H x 0.6I1 w0H x 1.8I1 A y PH x 0.6I0
C A c)
E 1.8 m
B
x
D B
2.6 m
A y 2.6 kN Figura 5.21
w0 1.5 kN/m
348
De manera similar se obtiene la función M ( x ) integrando V ( x ) y sumando al resultado la constante M 0˚ x 2.6¬0 que representa la contribución del par concentrado en el momento flector. Se tiene
Análisis y diseño de vigas para flexión
w
M 1 x 2
0.6 m P
1.2 kN
w0
M0
1.44 kN · m
A y x
1.5 kN/m
B
E
x
D B
2.6 m
A y
PH x 0.6 I1
H
M 0 x
2.6 I0
A 1.8 m
w0H x 0.6I2 12 w0H x 1.8I2
C
c)
1 2
w0
2.6 kN
1.5 kN/m
Figura 5.21c (repetida)
Sustituyendo los valores numéricos de las reacciones y cargas en las expresiones obtenidas para V ( x ) y M ( x ) y teniendo la precaución de no calcular ningún producto o expandir ningún cuadrado que involucre un juego de corchetes, se obtienen las siguientes expresiones para el cortante y para el momento flector en cualquier punto de la viga: V 1 x 2
H x 0.6 I1 1.5 H x 1.8 I1 0 2.6 1.2 H x 0.6 I M 1 x 2 0.75 H x 0.6 I2 0.75H x 1.8 I2 1 0 2.6 x 1.2 H x 0.6 I 1.44H x 2.6 I 1.5
EJEMPLO 5.06 V 1 1.8 2
1 1.2 2 1 1.51 0 2 1 2.6 1.2 1 1.2 2 0 1.5 1 1.2 2 1.5 1 0 2 2.6 1.2 1 1 2
Para la viga y la carga del ejemplo 5.05, determine los valores numéricos del cortante y del momento flector en el punto central D.
1.5
1.8
0
2.6
1.2
Haciendo que x 1.8 m en las expresiones encontradas para V ( x ) y para M ( x ) en el ejemplo 5.05, se obtiene V 1 1.8 2
1.5
V 1 1.8 2
H1.2I1 1.5 H0I1 2.6 1.2 H1.2I0
0.4
kN
y M 1 1.8 2
0.75
H1.2I2 0.75 H0I2 1 0 2.6 1 1.8 2 1.2 H1.2I 1.44 H0.8I
Recordando que siempre que una cantidad entre corchetes es positiva o cero, los corchetes deben reemplazarse por paréntesis ordinarios y, siempre que la cantidad sea negativa, el corchete mismo es igual a cero, se escribe
M 1 1.8 2
0.75
1 1.22 2 0.751 0 2 2
1.08
0
4.68
2.6 1 1.8 2 1.2 1 1.2 2 1
1.44 1 0 2
1.44 0 M 1 1.8 2
2.16 kN
m
Aplicación a la programación de computadoras. Las funciones de singularidad se han adaptado bien a su uso en computadoras. Primero se advierte que la función escalón ˚ x a¬0, que se representará por el símbolo ESC, puede definirse por una instrucción tipo IF/THEN/ELSE como igual a 1 para X A y 0 para otros casos. Cualquier otra función de singularidad ˚ x a¬n, donde n 1, puede expresarse, entonces, como el producto de la expresión algebraica ( x a)n y la función escalón ˚ x a¬0. Cuando se encuentran involucradas k diferentes funciones de singularidad, tales como ˚ x ai¬n, donde i 1, 2,..., k , entonces deben definirse las correspondientes funciones ESC(I), donde I 1, 2,..., K en un lazo que contenga una instrucción IF/THEN/ELSE única.
PROBLEMA MODELO 5.9
w0
Para la viga y la carga que se muestran en la figura, determine a) las ecuaciones que definen el cortante y el momento flector en cualquier punto, b) el cortante y el momento flector en los puntos C , D y E .
B
A D
L /4
C
L /4
L /4
L /4
Pendiente
2 w0
w0
E
SOLUCIÓN
2 w0 L
2 w0
A C L /2
B L /2
B
C
A
Pendiente
2 w0
4 w0 L
Reacciones. La carga total es 12 w0 L; debido a la simetría, cada reacción es igual a la mitad de ese valor, esto es, 14 w0 L. Carga distribuida. La carga distribuida dada es reemplazada por dos cargas abiertas equivalentes como se indica. Empleando una función de singularidad para expresar la segunda carga, se escribe w
w k1
1 x 2 k 1 x k 2H x 12 LI
L B
1 2
V x
x
C
R A
4
k2
w0 L L /2
V
1 4
4 w0
RB
L
4w0 L
H x 12 LI
(1)
w0
L
2
x
2w0 L
V ( x )
H x 12 LI2 14 w0 L
inte-
1 2 2
Se obtiene M ( x ) integrando la ecuación (2); ya que no hay par concentrado, no se necesita constante de integración:
L /2
1 2
M x
w0
3 L
3
x
2w0 3 L
H x 12 LI3 14 w0 Lx
1 3 2
b) Cortante y momento flector en C , D y E
w0 L 3 16
w0 L
En el punto C: Haciendo x 12 L en las ecuaciones (2) y (3), y recordando que cuando una cantidad entre corchetes es positiva o cero, los corchetes pueden reemplazarse por paréntesis, se tiene C
A
L
x
a) Ecuaciones para el cortante y el momento flector. Se obtiene grando (1), cambiando los signos y sumando una constante igual a R A:
2 w0
A
1
2w0
E
B x
D
V C
3
16
w0 L
M C
w0
3 L
w0
L
1 12 L 2 2
1 12 L 2 3
2w0 3 L
2w0 L
H0I2 14 w0 L
H0I3 14 w0 L 1 12 L 2
V C
M C
1 12
0 2
w0 L
1
4 w0 L
M
1 12
w0 L2
En el punto D: Haciendo x 14 L en las ecuaciones (2) y (3), y recordando que un corchete que contenga una cantidad negativa es igual a cero, se escribe w0
V D 11 192
w0 L2
M D
L
w0
3 L
1 14 L 2 2 1 14 L 2 3
En el punto E: x
A
D
C
E
B
V E
M E
w0
L
w0
3 L
1 34 L 2 2 1 34 L 2 3
2w0
H14 LI 2 14 w0 L
L
2w0 3 L
H14 LI3 14w0 L 1 14 L 2
Haciendo x 2w0 L
2w0 3 L
3 4 L
V D
M D
3 16
11 192
w0 L
2
w0 L
2
w0 L
en las ecuaciones (2) y (3), se tiene
H14 LI2 14 w0 L H14 LI3 14 w0 L 1 34 L 2
V E
M E
3 16
11 192
w0 L
349
PROBLEMA MODELO 5.10
50 lb/ft
La barra rígida DEF se encuentra soldada en el punto D a una viga de acero AB. Para la carga mostrada en la figura, determine a) las ecuaciones que definen el corte y el momento flector en cualquier punto de la viga, b) la localización y magnitud del máximo momento flector.
B
A C
D E
F
8 ft
5 ft
3 ft 160 lb
SOLUCIÓN Reacciones. Se consideran la viga y la barra como un cuerpo libre y se observa que la carga total es de 960 lb. Debido a la simetría, cada reacción es igual a 480 lb.
P 160 lb
Diagrama modificado de carga. Se reemplaza la carga de 160 lb aplicada en un sistema equivalente de fuerza y momento en D. Así se obtiene un diagrama de carga que consiste en un par concentrado, tres cargas concentradas (incluyendo las dos reacciones) y una carga uniformemente distribuida
MD 480 lb · ft
D
F por D
F
E
F
E
w 1 x 2 50 lb / ft 160 lb
(1)
a)
Ecuaciones para cortante y momento flector. Se obtiene V ( x ) integrando la ecuación (1), cambiando el signo y sumando las constantes que representan las contribuciones respectivas de R A y P al cortante. Como P afecta a V ( x ) sólo para valores de x mayores de 11 ft, se utiliza una función escalón para expresar su contribución.
1 2
V x 50 x w
w0 50 lb/ft
B
A MD 480 lb · ft R A 480 lb
x
RB
11 ft
160 H x 11I0
1 2 2
Se obtiene M ( x ) integrando la ecuación (2) y utilizando una función escalón para representar la contribución del par concentrado M D:
1 2
5 ft
2
M x 25 x
D
P 160 lb
480
480 x 160 H x 11I1
480 H x 11I 0
1 3 2
b) Máximo momento flector. Como M es máximo o mínimo cuando V 0, se hace V 0 en la ecuación (2) y se despeja x de dicha ecuación para encontrar el máximo momento flector. Considerando primero valores de x menores de 11 ft y notando que para tales valores el corchete es igual a cero, se tiene 50 x
480
x
0
9.60 ft
Considerando ahora valores de x mayores de 11 ft, para los que el corchete es igual a 1, se tiene que 50 x
480
160
0
x
6.40 ft
Ya que este valor no es mayor de 11 ft, debe rechazarse. Así, el valor de x correspondiente al momento flector máximo es M
2
304 lb · ft
2
x m
255 lb · ft 1
775 lb · ft
Sustituyendo este valor de x en la ecuación (3), se obtiene M máx 25
x
A
D
B
9.60 ft
1 9.602 2 4801 9.60 2 160 H1.40I1 480 H1.40I0
y, recordando que los corchetes con cantidades negativas son iguales a cero,
x m 9.60 ft
M máx 25
1 9.602 2 4801 9.60 2
M máx
2 304 lb
ft
Se ha graficado el diagrama de momento flector. Note la discontinuidad en el punto debida al par concentrado aplicado en ese punto. Los valores de M justo a la izquierda y justo a la derecha de D se obtuvieron haciendo x 11 en la ecuación (3) y reemplazando la función escalón ˚ x 11¬0 por 0 y por 1, respectivamente.
D
350
