Capítulo 2
Momento de una fuerza respecto a un eje
Capítulo 2
Momento de una fuerza respecto a un eje Antes de entrar formalmente fo rmalmente con el concepto de momento de una fuerza con respecto a un eje, eje , será necesario describir un par de productos de vectores, el producto escalar (de (de dos vectores) y el producto triple mixto (de tres vectores),, que vamos a aplicar en esta sección. vectores) El producto escalar o producto punto punto de de dos vectores
y
se define como:
! " = #$%&'( , el resultado es un escalar.
A partir de las componentes rectangulares, se define como:
! " = )#* $* + #, $, + #- $- .
El producto escalar puede aplicarse para calcular el ángulo entre dos vectores, figura 2.1(a), 2.1(a), definiendo el coseno del ángulo ( que forman como:
cos ( =
!" #$
=
#* $* + #, $, + #- $#$
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Momento de una fuerza respecto a un eje
(a)
(b)
(c)
Figura 2.1 Aplicaciones del producto escalar
Aplicando
el
producto
escalar,
podemos
obtener
la
proyección de un vector a lo largo de un eje ! dado, figura 2.1(b), a partir de lo siguiente: Sea "#$ = "%&'( , la proyección del vector * a lo largo del eje !, entonces:
"#$ =
*+, -
En el caso particular, cuando el vector seleccionado a lo largo de ! es el vector unitario . (figura 2.1(c)), se escribe:
"#$ = * + .
Al descomponer a * y . en sus componentes rectangulares y tomando en cuenta que las componentes del vector unitario . a lo largo de los ejes coordenados son iguales, respectivamente, a los cosenos directores de !, la proyección "#$ se expresa como:
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!" =#$%&'# +($%&'( +)$%&') En donde
'#, '( ') y
representan los ángulos que el eje
forma con los ejes coordenados.
-.
Figura 2.2 Producto triple escalar o producto triple mixto de tres vectores
/0 1
vectores ,
y
El producto triple escalar o producto tiple mixto de tres se define como la expresión escalar:
6 6 6 # ( ) /2 30×14 =57## 7(( 7))5
El producto triple escalar es igual en valor absoluto al volumen de un paralelepípedo (figura 2.3) que tiene por lados los vectores
1
.
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/0 ,
y
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Momento de una fuerza respecto a un eje
Figura 2.3 Paralelepípedo que tiene por lados los vectores , ! y ".
Una vez descritos los productos de vectores, escalar y triple escalar, podemos abordar el concepto momento de una fuerza con respecto a un eje, el cual puede definirse como una medida de la tendencia de una fuerza de impartirle al cuerpo rígido sobre el cual actúa un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.
Figura 2.4
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Momento de una fuerza respecto a un eje
!
actúa en con respecto a
respecto a
Consideremos la figura 2.4, el momento de la fuerza
"&
Sea
"
está dado por:
"&
que
#$ = %× " ' () "*"& + #$ "&
un eje a través de
se define como la proyección
Representando al vector unitario a lo largo de
; el momento
del momento
de
sobre el eje
con .
como , tenemos:
'() = +,#$ = +,-%×. 0 0 0 1 2 3 '() =/5411 5422 5433 /
Figura 2.5
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