UNITAT 03-Circuit de Corrent Continu

Unitat didàctica 3

Circuits de corrent continu

Què aprendrem? Quines són les lleis experimentals més importants per analitzar un circuit en corrent continu. Com s’han de resoldre circuits en corrent continu a partir de la seva simplificació mitjançant circuits equivalents. Com s’han de resoldre circuits en corrent continu aplicant les lleis d’Ohm i de Kirchhoff. Quins són els teoremes fonamentals fonamentals per a circuits elèctrics.

Unitat didàctica 3. Circuits de corrent continu

65

3.1. Lleis experimentals més importants Recorda que el corrent continu o cc és aquell corrent unidireccional que manté constant el seu valor en el temps amb el tipus d’element que el produeix, per exemple, per una pila, una bateria o una dinamo.

En aquesta unitat estudiaràs les diverses eines (lleis i teoremes) necessàries per determinar (analitzar) les diferents magnituds que defineixen un circuit. Totes aquestes eines s’explicaran amb circuits circuits de corrent continu, atès que es poden aplicar més fàcilment en aquest tipus de circuit. Una vegada hi estiguis familiaritzat, familiaritzat, passarem a UNITATS TS DIDÀCTIQUES 4 i 5. aplicar-les a circuits circuits de corrent altern, altern, a les UNITA En aquest apartat apartat estudiarem les lleis experimentals més importants: la llei d’Ohm i les lleis de Kirchhoff , i després continuarem continuarem amb la resolució de circuits circuits de diferent complexitat.

3.1.1. Llei d’Ohm. Aplicació UNITA AT DIDÀC DIDÀCTICA TICA 1, la llei d’Ohm Com ja vam veure a la UNIT d’Ohm estableix estableix la dependència dependència que hi ha entre la intensitat, la tensió i la resistència en corrent continu i s’expressava s’expressava així:

, o alternativament com: És molt important que t’aturis a pensar en què apliques la llei d’Ohm abans de portar-ho a terme, perquè ho facis correctament.

o

La llei d’Ohm és bàsica en l’anàlisi l’anàlisi de qualsevol circuit elèctric, es pot aplicar a un circuit complet o a qualsevol de les seves parts, parts, i es compleix per a tots els components. Com que les tres magnituds estan relacionades entre entre elles, una vegada coneixem coneixem dos d’aquests valors, el tercer tercer es determinarà aplicant-hi aquesta llei. Així, doncs: Coneixent la tensió als borns i el valor de la resistència, podrem determinar el valor del corrent que hi circula. Coneixent el corrent que hi circula i el valor de la resistència, podrem determinar el valor de la tensió als borns. Coneixent la tensió tensió i el corrent, podrem determinar el valor de la resistència. resistència.

Exemple 3.1 Tenim el component de la figura següent, en què hem anomenat R1 la resistència, UR1 la tensió als borns de la resistènr esistència i IR1 el corrent que hi circula. Determina mina el el corrent corrent que circula circula per la resis resistènci tènciaa R1 si és de 100 ! quan aplia) Deter quem 10 V entre els seus borns.

Solució UR

1

IRI

R

1

Determina mina la la tensió tensió als borns borns de la resist resistència ència R1 R1 de 100 100 ! quan hi circula un co b) Deter rrent de 0,1 A. Fig. 3.1.

Solució

Determ ermina ina el el valor valor de la resis resistè tènci nciaa R1 si en aplicar-hi una tensió de 10 V hi circula un corrent de 0,1 A. c ) Det Solució


65

3.1. Lleis experimentals més importants Recorda que el corrent continu o cc és aquell corrent unidireccional que manté constant el seu valor en el temps amb el tipus d’element que el produeix, per exemple, per una pila, una bateria o una dinamo.

En aquesta unitat estudiaràs les diverses eines (lleis i teoremes) necessàries per determinar (analitzar) les diferents magnituds que defineixen un circuit. Totes aquestes eines s’explicaran amb circuits circuits de corrent continu, atès que es poden aplicar més fàcilment en aquest tipus de circuit. Una vegada hi estiguis familiaritzat, familiaritzat, passarem a UNITATS TS DIDÀCTIQUES 4 i 5. aplicar-les a circuits circuits de corrent altern, altern, a les UNITA En aquest apartat apartat estudiarem les lleis experimentals més importants: la llei d’Ohm i les lleis de Kirchhoff , i després continuarem continuarem amb la resolució de circuits circuits de diferent complexitat.

3.1.1. Llei d’Ohm. Aplicació UNITA AT DIDÀC DIDÀCTICA TICA 1, la llei d’Ohm Com ja vam veure a la UNIT d’Ohm estableix estableix la dependència dependència que hi ha entre la intensitat, la tensió i la resistència en corrent continu i s’expressava s’expressava així:

, o alternativament com: És molt important que t’aturis a pensar en què apliques la llei d’Ohm abans de portar-ho a terme, perquè ho facis correctament.

o

La llei d’Ohm és bàsica en l’anàlisi l’anàlisi de qualsevol circuit elèctric, es pot aplicar a un circuit complet o a qualsevol de les seves parts, parts, i es compleix per a tots els components. Com que les tres magnituds estan relacionades entre entre elles, una vegada coneixem coneixem dos d’aquests valors, el tercer tercer es determinarà aplicant-hi aquesta llei. Així, doncs: Coneixent la tensió als borns i el valor de la resistència, podrem determinar el valor del corrent que hi circula. Coneixent el corrent que hi circula i el valor de la resistència, podrem determinar el valor de la tensió als borns. Coneixent la tensió tensió i el corrent, podrem determinar el valor de la resistència. resistència.

Exemple 3.1 Tenim el component de la figura següent, en què hem anomenat R1 la resistència, UR1 la tensió als borns de la resistènr esistència i IR1 el corrent que hi circula. Determina mina el el corrent corrent que circula circula per la resis resistènci tènciaa R1 si és de 100 ! quan aplia) Deter quem 10 V entre els seus borns.

Solució UR

1

IRI

R

1

Determina mina la la tensió tensió als borns borns de la resist resistència ència R1 R1 de 100 100 ! quan hi circula un co b) Deter rrent de 0,1 A. Fig. 3.1.

Solució

Determ ermina ina el el valor valor de la resis resistè tènci nciaa R1 si en aplicar-hi una tensió de 10 V hi circula un corrent de 0,1 A. c ) Det Solució

66


3.1.2. Potència en corrent continu En aquest punt ampliarem la definició de potència elèctrica expressada a la UNITAT DIDÀCTICA 1.

Potència instantània i potència activa Perquè entenguis millors les següents definicions recorda que indiquem amb lletres minúscules les magnituds (u, i, p) que varien amb el temps i que fem servir les mateixes lletres però majúscules per indicar els valors mitjans d’aquestes magnituds. Potència Potènc ia instantània, p(t ). ). En qualsevol instant instant de temps, la potència lliurada a qual-

sevol component és el producte del valor de la tensió als borns del component pel corrent que el travessa en aquell mateix instant de temps. Matemàtica Matemàticament ment s’expressa p((t ) = u(t ) · i(t ) així: p

Potència activa (P ). ). És aquella capaç de produir un treball, calculada com el valor

mitjà de l’expressió de la potència instantània.

figura ura 3. 3.22 ), els val En el cas de corrent continu ( fig valors ors de tensió i corrent corrent són constants constants en el temps, temps, és a dir: u = U i i = I , en què què U i I repr represent esenten, en, resp respectiv ectivament ament,, el valor mitjà de la tensió i del corrent. corrent. Per tant, tant, la potència s’expressarà s’express arà així:

u, i p

t u(t )

i (t )

Recorda que combinant l’expressió de la potència amb la llei d’Ohm podem trobar altres expressions:

p(t )

;

Fig. 3.2.

Representació gràfica de l’evolució en el temps de la tensió, la intensitat i la potència en corrent continu.

I E

Potència en els elements que componen un circuit A la unitat anterior has estudiat que els generadors aporten (subministren) energia al circuit, per exemple les piles i les bateries, i també has has vist que tot element resistiu (tant si es tracta d’un resistor com de la resistència d’un cable conductor) dissipa o transforma en calor l’energia, segons la llei de Joule. Recorda que quan passa això i aquesta transformació no és desitjada l’anomenem potència perduda.

U

Suposem un simple circuit format per una font d’alimentació (un generador de corrent continu) i una resistència. resistència. En aquest circuit veurem veurem quina potència hi ha en joc. Potència generada per una font d’alimentació ideal, de f.e.m. E . El fet que sigui ideal significa que no té resistència resistència interna de pèrdues; aleshores, la tensió als borns U és igual a E . Si anomen anomenem em I el corrent subministrat, la potència subministrada subministrada o potència generada té el valor següent:

Fig. 3.3.

U

I

R

Potència consumida per la resistència. Si U és la tensió als borns de la resistència i I és el corrent que hi circula, circula, la potència consumida o dissipada dissipada en la resistència té el valor següent: Fig. 3.4.

P = U · I i també: P = R · I 2 (llei de Joule)


I

r R U

67

Potència generada per una font d’alimentació real, de f.e.m. E i de resistència interna r , que subministra un corrent I . En aquest cas U sempre serà menor que E , si I és diferent de zero, ja que sempre hi haurà una caiguda de tensió en la resistència r, que representa les pèrdues de la font o generador.

Potència generada per la font ideal: P = E · I

E

Potència dissipada o perduda en la resistència interna: P = r · I 2 Potència subministrada per la font real: P = U · I

Fig. 3.5.

Aplicant-hi el principi de conservació de l’energia , en tot circuit es pot establir un balanç de potències de manera que la suma de potències generades (o subministrades) és igual a la suma de potències consumides (o dissipades): " potències generades = " potències consumides

Exemple 3.2

Exemple 3.3

Quina potència proporciona una bateria ideal de 12 V que subministra 2 A?

Quina potència consumeix una resistència de 6 ! recorreguda per un corrent de 2 A?

Solució

Solució P = E · I = 12 · 2 = 24 W

P = R · I 2 = 6 · 22 = 24 W

Exemple 3.4

Exemple 3.5

Quina potència proporciona una bateria real de 12 V i resistència interna de 0,2 ! que subministra 2 A?

Quina és la resistència que presenta una làmpada d’incandescència de característiques nominals 24 V, 60 W?

Solució

Solució

Potència generada:

Las característiques nominals 24 V, 60 W ens indiquen que si alimentem aquesta làmpada a 24 V consumeix 60 W, per la qual cosa podem determinar la resistència a partir de l’expressió

P G = E · I 2 = 12 · 2 = 24W

Potència dissipada en la resistència interna: P r = r · I 2 = 0,2 · 22 = 0,8W

d’on:

Potència subministrada: P s = P G — P r = 24 – 0,8 = 23,2 W

3.1.3. Lleis de Kirchhoff Les lleis de Kirchhoff són d’aplicació generalitzada en l’anàlisi de circuits elèctrics. En aquest punt ens limitarem a enunciar-les; més endavant n’abordarem l’aplicació sistemàtica per a la resolució de circuits. En qualsevol circuit elèctric d’una certa complexitat podem diferenciar entre nusos i malles. Nus: s’anomena nus tot punt en què convergeixen dos o més de dos conductors. Malla: una malla és tot circuit tancat que pot ser recorregut tornant al punt de partida sense passar dues vegades per un mateix element.

68


Primera llei de Kirchhoff I1

La primera llei de Kirchhoff (també anomenada llei dels nusos o llei dels corrents ) diu que la suma aritmètica de tots els corrents que conflueixen en un nus és zero. O, cosa que és el mateix, la suma de tots els corrents que arriben a un nus és igual a la suma de tots els corrents que en surten.

I2

I i In

Fig. 3.6.

En general considerem que tots els corrents arriben al nus. Els corrents que realment arribin al nus tindran signe positiu, mentre que els corrents que surtin del nus tindran signe negatiu.

Primera llei de Kirchhoff.

Exemple 3.6 Al nus A de la figura següent I1 = 10 A i I2 = 6 A, quin valor té I3? Què significa el seu signe? Solució R2

R3

I1

I2 I3

Segons la primera llei de Kirchhoff, podem establir el següent: I 1 + I 2 + I 3 = 0

Substituint els valors coneguts I1 i I2, tenim que el corrent I3 té aquest valor:

R4

I 3 = –I 1 – I 2 = –10 – 6 = –16 A

El signe negatiu ens indica que aquest corrent és de sentit oposat al considerat abans, per la qual cosa aquest corrent no arriba al nus, sinó que surt del nus.

Fig. 3.7.

Físicament, la primera llei de Kirchhoff ens diu que no hi ha acumulació de càrrega elèctrica a cap punt del circuit.

Segona llei de Kirchhoff La segona llei de Kirchhoff (també anomenada llei de les malles ) diu que la suma aritmètica dels voltatges al llarg d’una malla (camí tancat) és zero. També es pot expressar afirmant que la suma de totes les forces electromotrius a una malla és igual a la suma de les caigudes de tensió a la malla.

o, cosa que és el mateix,

U1

U2

U3

El signe de cada voltatge de la malla te signe positiu si es comporta com a generador i negatiu si es comporta com a càrrega. Les caigudes de tensió (tensió als borns de les resistències) tenen signe negatiu.

U

Fig. 3.8.

Segona llei de Kirchhoff.


69

Activitats 1.

1. Per una resistència de 10 ! hi passa un corrent de 250 mA. Quina diferència de potencial hi haurà entre els seus borns?

2.

Una font amb una resistència interna de 200 m ! lliura 1 A de corrent a una resistència de 9,8 !, a la qual està connectada. Quina potència dissipa la resistència de 9,8 !? Quina potència es dissipa (es perd, en aquest cas) a la resistència interna de la font? Si la f.e.m. de la font és de 10 V, quina potència genera aquesta? Fes el balanç de potències i comprova que els teus resultats siguin correctes.

3.

4.

Cerca a Internet o al manual d’un cotxe d’algun familiar o amic les característiques de tensió i potència d’una bombeta d’intermitència. Calcula el corrent que absorbeix de la bateria quan està encesa permanentment. Determina la resistència nominal de les càrregues següents:

5.

Calcula el corrent, la tensió i la potència dissipada per un calefactor elèctric els valors nominals del qual són 24 V, 500 W (acceptant que la resistència és constant), si l’alimentem amb una font de 24 V i una resistència interna r = 0,05 !.

6.

Assenyala tots els nusos que hi ha al circuit que es mostra a continuació. R2

R1

+ U1

R3

U2

–

–

Fig. 3.9. 7.

Al nus A, tenim els corrents I 1 = 1 A, I 2 = -3 A, I 4 = 5 A i I 5 = -2 A. Quin valor té el corrent I 3? Què indica el signe per a cada corrent? Quins corrents hi entren i quins en surten? I2

Una làmpada d’incandescència de 12 V i 24 W

I3 I1

Una làmpada d’incandescència de 12 V i 60 W

A I4

Una làmpada d’incandescència de 24 V i 24 W Un calefactor de 24 V i 240 W

+

R4

I5

Fig. 3.10.

3.2. Circuits equivalents

I = 1 A a

Circuit A

U = 10 V

Dos o més circuits elèctrics de dos terminals són equivalents entre terminals si, en aplicar-hi la mateixa tensió, hi circula el mateix corrent, o bé la tensió entre els seus terminals és la mateixa si fem passar a través d’ells el mateix corrent.

b I = 1 A a

Circuit B

U = 10 V b

Fig. 3.11.

Circuits equivalents.

L’ús de circuits equivalents és un dels mètodes més usuals d’anàlisi i simplificació de circuits.

A la figura 3.11, quan al circuit A, accessible des de dos terminals a i b, s’hi aplica una tensió de 10 V, el corrent és d’1 A. Apliquem la mateixa tensió de 10 V al circuit B. Si resulta que el corrent que hi passa també és d’1 A i, a més, això es repeteix per a altres valors de tensió que provoquen el mateix corrent als dos circuits, podrem concloure que el circuit A i el circuit B són equivalents entre els terminals a i b. En els següents apartats veurem com es resolen els circuits bàsics constituïts per components associats en sèrie, en paral·lel o de forma mixta, mitjançant el càlcul dels seus circuits equivalents.

70


3.3. Associació de resistències En un circuit elèctric podem trobar diverses resistències que poden estar connectades (associades o agrupades) en sèrie, en paral·lel o de forma mixta . En aquest apartat estudiarem com hem d’identificar aquests tipus d’associacions i com cal substituirles per un circuit equivalent d’un sol valor de resistència que permeti calcular el circuit d’una manera més senzilla. Abans, amb tot, veurem què significa cadascun d’aquests circuits.

3.3.1. Associació de resistències en sèrie Recorda que un circuit en sèrie és aquell en el qual tots els components es connecten l’un a continuació de l’altre.

Si es connecten diverses resistències en sèrie, el corrent que hi circula serà el mateix per totes les resistències i dependrà de la tensió aplicada al conjunt (tensió de la font) i de la resistència total. La circulació d’aquest corrent provoca una diferència de potencial als borns de cada resistència, proporcional al seu valor i que anomenem tensió parcial o caiguda de tensió en la resistència . Com a exemple d’això, tot seguit analitzarem un circuit format per tres resistències en sèrie ( figura 3.12). Per fer-ho, seguirem el procés següent: Identifiquem tots els components, corrents i tensions. En aquest exemple hem anomenat U la tensió aportada per la font, I la intensitat que circula pel circuit (comuna a tots els elements), R1, R2 i R3 les resistències, i U 1, U 2 i U 3 la caiguda de tensió en cadascuna de les resistències. U1

U2

U3

R1

R2

R3

I U

Fig. 3.12.

Circuit amb tres resistències en sèrie.

Rt I

Plantegem un circuit equivalent ( figura 3.13) format per una sola resistència Rt i alimentat a la mateixa tensió U , per tant, recorregut pel mateix corrent I .

U

Per trobar el valor de la resistència equivalent hem de plantejar les equacions que regeixen ambdós circuits: Equacions del circuit original ( figura 3.12). Fig. 3.13.

Circuit equivalent al de la figura 3.12.

• Per la segona llei de Kirchhoff sabem que U = U 1 + U 2 + U 3 • Si apliquem la llei d’Ohm a cada element podem calcular les caigudes de tensió als components: U 1 = I · R1 ; U 2 = I · R2 ; U 3 = I · R3

Equacions del circuit equivalent. • Per la segona llei de Kirchhoff sabem que ( figura 3.13): o bé, Combinant les equacions d’ambdós circuits en què U i I són comuns podem resoldre qualsevol problema que es plantegi.


71

Suposem-ne el cas més habitual: coneixem el valor de la tensió de la font U i el valor de cada resistència, i volem saber el corrent que hi circula i el valor de la tensió a cada resistència. A partir dels passos anteriors (moltes vegades tan sols els fem mentalment): Calcularem la Rt : Rt = R1 + R2 + R3

Sabem que: U = U 1 + U 2 + U 3

Apliquem la llei d’Ohm i substituïm cada tensió: I · Rt = I · R1 + I · R2 + I · R3

Simplificant el corrent I , que ho multiplica tot, queda: Rt = R1 + R2 + R3

Generalitzant-ho: La resistència equivalent o total de diverses resistències en sèrie és la suma de resistències parcials.

Un cop sabem la Rt podem calcular la I , i una vegada conegut aquest corrent podem determinar la tensió als borns i la potència de cada resistència.

Exemple 3.7 En un circuit com el de la figura 3.12, els valors dels components són U = 120 V, R1 = 10 !, R2 = 20 ! i R3 = 30 !. Segueix el procediment indicat per a la resolució de circuits en sèrie de manera que puguis calcular: a) La resistència total o equivalent del circuit; b) el corrent que passa pel circuit; c ) les tensions als borns de cada component; d ) la potència que proporciona la font i les consumides o dissipades per les resistències. a) Calculem la resistència total: Rt = R1 + R2 + R3 = 10 + 20 + 30 = 60 ! b) En el circuit equivalent, apliquem la llei d’Ohm per trobar la intensitat pel circuit:

c ) Apliquem la llei d’Ohm a cada resistència per obtenir la tensió als borns: U 1 = I · R1 = 2 · 10 = 20 V; Tensió als borns de R1 U 2 = I · R2 = 2 · 20 = 40 V; Tensió als borns de R2 U 3 = I · R3 = 2 · 30 = 60 V; Tensió als borns de R3

Pots comprovar que es compleix la llei de tensions de Kirchhoff: U = U 1 + U 2 + U 3 = 20 + 40 + 60 = 120V d ) Potències de cada component:

Font: P G = U · I = 120 · 2 = 240 W que és la potència subministrada al circuit. R1: P R1 = U 1 · I = 20 · 2 = 40 W que és la potència consumida o dissipada per R1. R2: P R2 = U 2 · I = 40 · 2 = 80 W que és la potència consumida o dissipada per R2. R3: P R3 = U 3 · I = 60 · 2 = 120 W que és la potència consumida o dissipada per R3.

Com a comprovació fem un balanç de potències: P G = P R1 + P R2 + P R3 = 40 + 80 + 120 = 240 W

72


Exemple 3.8 Calcula la tensió i el corrent subministrats per una bateria de 24 V amb una resistència interna de 1 !, quan alimenta una resistència de 5 !. Solució: En primer lloc dibuixarem el model de circuit que representa la si-

tuació plantejada. I

En aquest esquema: E = 24 V, r = 1 !, R = 5 !. Es tracta d’un circuit en sèrie, directament:

r U

R

E

La tensió als borns de la bateria serà la tensió de la font ideal menys la caiguda de tensió a la resistència interna: Fig. 3.14.

O també, vist des del costat de la resistència, la tensió als borns de la bateria serà igual a la tensió als borns de la resistència:

3.3.2. Associació de resistències en 3.3.2. paral·lel o derivació Recorda que diversos elements estan connectats en paral·lel si cadascun dels dos extrems d’un element està connectat als mateixos dos punts comuns que la resta dels elements.

Si es connecten resistències en paral·lel alimentades per una font, totes tindran la mateixa tensió als seus borns i el corrent total subministrat per la font serà la suma de la intensitat que circula per cada branca (derivació) del circuit. Com a exemple d’això, analitzarem un circuit format per tres resistències en paral·lel ( figura 3.15). Per fer-ho, seguirem el procés següent: Identifiquem tots els components, corrents i tensions. A l’exemple hem anomenat U la tensió aportada per la font (comuna a tots els elements), I la intensitat subministrada per la font, R1, R2 i R3 les resistències i I 1, I 2 i I 3 el corrent que circula per cada una de les resistències. Fig. 3.15.

R1

Circuit amb tres resistències en paral·lel.

I1 R2

Rt

I

I2 R3

I U

I3

U

Fig. 3.16.

Circuit equivalent al de la figura 3.15.

Plantegem un circuit equivalent format per una sola resistència Rt i alimentat a la mateixa tensió U ; per tant, la font subministrarà el mateix corrent I .


73

Plantegem les equacions que regeixen ambdós circuits: Equacions del circuit original. • Per la primera llei de Kirchhoff sabem que I = I 1 + I 2 + I 3

• Si apliquem la llei d’Ohm a cada element:

Equacions del circuit equivalent. Si apliquem la llei d’Ohm al circuit de la figura 3.16 tenim que: ; o també U = I · Rt Combinant les equacions d’ambdós circuits en què U i I són comuns podem resoldre qualsevol problema que es plantegi. Suposem-ne el cas més habitual: coneixem el valor de la tensió de la font U i el valor de cada resistència, i volem saber el corrent que subministra la font i el que circula per cada resistència. A partir dels passos anteriors (moltes vegades tan sols els fem mentalment): Calcularem la Rt :

Sabem que: I = I 1 + I 2 + I 3

Aplicant la llei d’Ohm i substituint el corrent:

Simplificant:

Generalitzant-ho: La inversa de la resistència equivalent o total d’una agrupació de resistències en paral·lel és la suma de les inverses de les resistències.

En el cas particular de dues resistències en paral·lel tindrem: 

i en el cas de n resistències iguals de valor R: 

74


Exemple 3.9 En un circuit com el de la f igura 3.15, els valors dels components són U = 120 V, R1 = 10 !, R2 = 20 ! i R3 = 60 !. Segueix el procediment indicat per a la resolució de circuits en paral·lel de manera que puguis calcular: a) La resistència total o equivalent del circuit. b) El corrent total que passa pel circuit. c ) Els corrents que passen per cada component. d ) La potència que proporciona la font i les consumides o dissipades per les resistències. a) Calculem la resistència total:

La resistència total del circuit és:

b) En el circuit equivalent, apliquem la llei d’Ohm per trobar la intensitat pel circuit.

La intensitat total (subministrada per la font) és:

c ) Sabent que pel fet d’estar en paral·lel totes les resistències estan connectades a la tensió de la font, apliquem la llei

d’Ohm a cada resistència per obtenir el corrent que la travessa:

I1, I2 e I3 són les intensitats de corrent per les resistències R1 , R2 y R3, respectivament.

Pots comprovar que es compleix la llei de corrents de Kirchhoff. En qualsevol dels dos nusos del circuit es verifica el següent: I = I 1 + I 2 + I 3 = 12 + 6 + 2 = 20 A

d ) Potències de cada component:

Font: P G = U · I = 120 · 20 = 2400 W, que és la potència subministrada al circuit. R1: P R1 = U · I 1= 120 · 12 = 1440 W , que és la potència consumida o dissipada per R1. R2: P R2 = U · I 2 = 120 · 6 = 720 W , que és la potència consumida o dissipada per R2. R3: P R3 = U · I 3 = 120 · 2 = 240 W , que és la potència consumida o dissipada per R3.

Com a comprovació fem un balanç de potències: P G = P R1 + P R2 + P R3 = 1440 + 720 + 240 = 2400 W


75

3.3.3. Associació de resistències de forma mixta En un circuit mixt, per determinar la Rt es va reduint el circuit mitjançant l’associació de grups de resistències. Posteriorment es poden determinar les tensions i corrents per cada resistència. Com a exemples analitzarem els casos següents: Circuit paral·lel en sèrie Circuit sèrie en paral·lel

Circuit paral·lel en sèrie Comencem assignant un nom a cada tensió i corrent que apareixen al circuit. U1

Ua R2 I2

R1 I

R3

U

I3

Fig. 3.17.

Circuit mixt en paral·lel-en sèrie.

Agrupem R2 i R3 en paral·lel i ho anomenem Ra; d’aquesta manera, obtenim el següent circuit equivalent. U1

Ua

R1

Ra

I

Fig. 3.18.

Circuit equivalent, amb la resistència resultant de R2 i R3 en paral·lel, Ra.

Rt I U

U

Després agrupem R1 en sèrie amb Ra, i obtenim Rt . Les equacions dels circuits que ens permeten trobar les magnituds de resistències equivalents, Ra i Rt , i els valors de tensió i corrent al circuit són: – Agrupacions de resistències: ; ;

Fig. 3.19.

Circuit equivalent amb la resistència total Rt.

– Aplicació de les lleis d’Ohm i Kirchhoff:

76


Exemple 3.10 En un circuit com el de la figura 3.17, els valors dels components són U = 120 V, R1 = 8 , R2 = 20 ! i R3 = 30 !. Segueix el procediment indicat per a la resolució de circuits mixtos en paral·lel-en sèrie de manera que puguis calcular: a) La resistència total o equivalent del circuit. b) El corrent total que passa pel circuit. c ) Les tensions als borns de cada component. d ) Els corrents que passen per cada component. e) La potència que proporciona la font i les consumides o dissipades per les resistències. a) Primer identifiquem les resistències en paral·lel (R2 i R3) i calculem la seva resistència equivalent Ra:

El circuit equivalent que resulta de fer el pas anterior correspon al de la figura 3.18, en què R1 = 8 ! i Ra =12 ! estan en sèrie. Així, doncs, la resistència total del circuit és:

b) En el circuit equivalent (com a la figura 3.19) apliquem la llei d’Ohm per trobar la intensitat pel circuit.


c ) Utilitzant el primer circuit equivalent (figura 3.18) i sabent que el corrent serà el mateix per a R1 i Ra, podem aplicar la

llei d’Ohm per calcular la tensió als borns de cada resistència:

Tensió als borns de R1 Tensió als borns de R2 i R3 Comprovem que es compleixi la llei de tensions de Kirchhoff:

d ) Si tornem a considerar el circuit original (figura 3.17 ) i sabem que la tensió als borns de Ra és la mateixa que la de R2 i R3, podem calcular els corrents per R2 i R3 aplicant la llei d’Ohm a cada resistència.

Intensitat per R2 Intensitat per R3 Comprovem que es compleixi la llei dels corrents de Kirchhoff: I = I 2 + I 3 = 3,6 + 2,4 = 6 A

e) Potències de cada component:

Font: P G = U · I = 120 · 6 = 720 W , que és la potència subministrada al circuit. R1: P R1 = U 1 · I = 48 · 6 = 288 W , que és la potència consumida o dissipada per R1. R2: P R2 = U a · I 2 = 72 · 3,6 = 259,2 W, que és la potència consumida o dissipada per R2. R3: P R3 = U a · I 3 = 72 · 2,4 = 172,8 W, que és la potència consumida o dissipada per R3.

Com a comprovació fem un balanç de potències: P G = P R1 + P R2 + P R3 = 288 + 259,2 + 172,8 = 720 W


77

Circuit en sèrie-en paral·lel Comencem assignant un nom a cada tensió i corrent que apareixen al circuit. U1

U2

R1

R2 I1

I

R3

U

I2

Fig. 3.20.

Circuit mixt en paral·lel-en sèrie.

Agrupem R1 i R2 en sèrie i ho anomenem Ra; d’aquesta manera, obtenim el següent circuit equivalent: Ra

Fig. 3.21.

Circuit equivalent, amb la resistència resultant de R1 i R2 en sèrie, Ra.

I1 I

U

R3

I2

Rt I

Després agrupem Ra en paral·lel amb R3, i obtenim el circuit de la figura 3.22. Les equacions dels circuits que ens permeten trobar les magnituds de resistències equivalents, Ra i Rt , i els valors de tensió i corrent al circuit són:

U

Agrupacions de resistències:

Fig. 3.22.

Circuit equivalent amb la resistència total Rt .

Aplicació de les lleis d’Ohm i Kirchhoff:

Exemple 3.11 En un circuit com el de la figura 3.20, els valors dels components són U = 120 V, R1 = 10 !, R2 = 20 ! i R3 = 60 !. Segueix el procediment indicat per a la resolució de circuits mixtos en sèrie-en paral·lel de manera que puguis calcular: a) La resistència total o equivalent del circuit. b) El corrent total que passa pel circuit. c ) Els corrents que passen per cada component. d ) La tensió als borns de cada component. e) La potència que proporciona la font i les consumides o dissipades per les resistències. a) Identifiquem les resistències en sèrie (R1 i R2) i calculem la seva resistència equivalent Ra.

El circuit equivalent que resulta de fer el pas anterior correspon al de la figura 3.21, en què Ra = 30 ! i R3 = 60 ! estan en paral·lel. Així, la resistència total del circuit és:

78


b) Apliquem la llei d’Ohm al circuit equivalent (com a la figura 3.22) per trobar la intensitat pel circuit.


c ) Utilitzant el primer circuit equivalent (figura 3.21) i sabent que la tensió és la mateixa per a R3 i Ra, podem aplicar la llei

d’Ohm per calcular la intensitat de corrent que passa per cada resistència.

Intensitat per Ra (per R1 i per R2) Intensitat per R3 Comprovem que es compleixi la llei dels corrents de Kirchhoff:

d ) Si tornem a considerar el circuit original (figura 3.20) i sabem que la intensitat del corrent és la mateixa per Ra que per R1 i R2, podem calcular les tensions a R1 i R2 aplicant la llei d’Ohm a cada resistència.

Tensió als borns de R1 Tensió als borns de R2 Comprovem que es compleixi la llei de les tensions de Kirchhoff: e) Potències als components:

Font: R1: R2: R3:

Com a comprovació fem un balanç de potències:

Activitats 8.

Calcula la resistència equivalent de les agrupacions de resistències següents: a)

b)

10 Ω

d)

c) 10 Ω

15 Ω 10 Ω

15 Ω

20 Ω

10 Ω

15 Ω

25 Ω 20 Ω

25 Ω

15 Ω

20 Ω

25 Ω

20 Ω

25 Ω

Fig. 3.23. 9.

Disposem de tres resistències d’1 !. Determina els valors de resistència que podem obtenir mit jançant agrupacions d’una, dues o les tres resistències.

10.

Disposem de 4 resistències de 100 !, 220 !, 270 ! i 10 !. Si les connectem en sèrie a una pila de 9 V, calcula: a) la resistència equivalent al conjunt; b) el corrent que subministrarà la pila al circuit, i c) la caiguda de tensió als borns de cada component.


79

3.4. Associació de condensadors De la mateixa manera que les resistències, en un circuit els condensadors també poden aparèixer associats en sèrie o en paral·lel. En aquest cas també veurem com s’han de resoldre aquests circuits aplicant-hi les lleis i els principis que hem estudiat.

3.4.1. Associació de condensadors en sèrie Com en el cas de les resistències, un circuit amb diversos condensadors associats en sèrie és aquell en què tots els condensadors es connecten l’un a continuació de l’altre. Així doncs, a la figura 3.24 podem observar un circuit amb tres condensadors connectats en sèrie. U1

U2

U3

+

+

C 1

C 2

C 3

U

Fig. 3.24.

Associació de condensadors en sèrie.

U

–

C eq

–

En aquest circuit volem trobar la capacitat del condensador equivalent (a partir de l’estudi del circuit original). En aquest tipus d’associació, la càrrega elèctrica adquirida per cadascun dels condensadors és la mateixa i igual a la càrrega adquirida pel condensador equivalent:

Hi apliquem la segona llei de Kirchhoff:

Recordant el concepte de capacitat, que és la càrrega que acumula el condensador entre la tensió als seus borns condensadors així:

(

), podem expressar la tensió als borns dels

Simplificant-ho:

Generalitzant-ho: La inversa de la capacitat equivalent o total d’una agrupació de condensadors en sèrie és la suma de les inverses de les capacitats de cada condensador. i = 1, 2, 3,...

80


3.4.2. Associació de condensadors en paral·lel o derivació Com podem deduir, un circuit amb diversos condensadors associats en paral·lel és aquell en què tots els condensadors es connecten de manera que cadascun dels dos extrems d’un condensador està connectat als mateixos dos punts comuns que la resta dels elements. Podem veure una agrupació de tres condensadors en paral·lel a la fi gura 3.25. +

+

C 2

C 1

U

C 3

U

C eq

Fig. 3.25.

Circuit amb tres condensadors en paral·lel.

–

–

En aquest tipus d’associació, la càrrega elèctrica adquirida pel condensador equivalent és la suma de l’adquirida per cadascun dels condensadors en paral·lel: La tensió a cada condensador és la mateixa, U , i a partir del concepte de capacitat

(

), podem expressar la càrrega com el producte de la capacitat pel voltatge

als borns del component: Simplificant-ho:

Generalitzant-ho: La capacitat equivalent o total d’una agrupació de condensadors en paral·lel és la suma de les capacitats de cada condensador. i = 1, 2, 3,...

Exemple 3.12 Calcula la capacitat equivalent de les agrupacions de condensadors següents: Solució

a) 10 µF

b)

20 µF

30 µF

a) Com que es tracta d’una associació de tres condensadors en sèrie

tindrem:

10 µF

b) Com que es tracta d’una associació de tres condensadors en 20 µF

paral·lel tindrem:

30 µF

Fig. 3.26


81

Activitats 11.

12.

Disposem de 4 condensadors de 2,2 mF, 680 µF, 0,470 mF y 100 µF. Calcula el valor de la capacitat equivalent si es connecten en paral·lel. Si els quatre, en paral·lel, es connecten a una bateria de 5 V, quina càrrega acumularà el conjunt una vegada estiguin carregats? Quina càrrega tindrà cadascun?

13.

Disposem de 2 condensadors de 680 µ F i 100 µF. Si es connecten en sèrie, quina serà la capacitat del conjunt? Si es connecten a una pila d’1,5 V, quan s’hagin carregat, quina càrrega acumularà el conjunt? Quina càrrega acumularà cadascun d’ells? Quina tensió hi haurà als borns de cada condensador?

La pila que es connecta als dos condensadors en sèrie de l’activitat anterior té una resistència interna de 0,4 !. Quina és la constant de temps del sistema?

3.5. Associació de generadors Si volem incrementar el valor de tensió o augmentar la intensitat del corrent que ens proporciona un únic generador, podem optar per associar-ne uns quants, i ho podem fer en sèrie o bé en paral·lel .

r 1

3.5.1. Associació de generadors en sèrie

E 1

r 2

Quan connectem en sèrie (l’una a continuació de l’altra) diverses piles o bateries, la força electromotriu (f.e.m.) resultant és la suma de les forces electromotrius de cadascuna de les piles o bateries. Pel que fa a la resistència interna resultant, serà la suma de les resistències internes de cada pila o bateria de l’associació en sèrie.

U

E 2

r 3

La f.e.m. equivalent del conjunt és:

E 3

E = E 1 + E 2 + E 3 + ... + E n

r U

La resistència equivalent o total és: r = r 1 + r 2 + r 3 +...+ r n

Fig. 3.27.

Associació de generadors en sèrie.

E

Fig. 3.28.

L’associació en sèrie de piles o bateries persegueix incrementar el valor de tensió mantenint el valor de corrent que és capaç de subministrar una sola pila o bateria.

3.5.2. Associació de generadors en paral·lel r 1

r 2

La connexió de piles o bateries en paral·lel exigeix que totes siguin idèntiques. Així, doncs, la f.e.m. del conjunt serà la mateixa que la de qualsevol de les piles o bateries, i la resistència equivalent o total serà la de qualsevol de les piles dividida pel nombre de piles o bateries associades.

r 3 U

E 1

E 2

E 3

La f.e.m. equivalent del conjunt és: r

E = E 1 = E 2 = E 3 = ... = E n

U

La resistència equivalent o total és Fig. 3.29.

Associació de generadors en paral·lel.

E

Fig. 3.30.

L’associació en paral·lel de piles o bateries persegueix augmentar el corrent que es pot proporcionar, mantenint la tensió.

82


Exemple 3.13 Calcula l’equivalent de les agrupacions de piles a i b. Quin corrent passarà per la resistència R? Quin corrent circula per cada pila? Solució a) Es tracta d’una associació de bateries en sèrie. Per tant, la font equi-

r = 0,1 Ω

valent de tensió és la següent:

E = 12 V

y

R = 1 Ω

El corrent que hi circula és comú a tots els elements (fonts i resistència) i el calculem aplicant-hi la llei d’Ohm:

r = 0,1 Ω E = 12 V

r = 0,1 Ω

b) Es tracta d’una associació de bateries (característiques iguals) en

r = 0,1 Ω

paral·lel. En conseqüència, la font equivalent de tensió és:

R = 1 Ω E = 12 V

E = 12 V

y Fig. 3.31.

Calculem el corrent que circula per la resistència aplicant-hi la llei d’Ohm:

I cadascuna de les bateries subministra la meitat del corrent, que serà:

Activitats 14.

Determina la font de tensió equivalent de les següents agrupacions de bateries, on cada bateria és de E = 1,5 V i r = 0,12 !. a)

b)

E

r

E

E

r

r

E

r

E

r

E

r

r

E

r

E

r

E

r

r

E

r

E

r

E

r

E

r

E E

c)

Fig. 3.32. 15.

Al muntatge de la figura, calcula el generador equivalent. Determina la potència dissipada en la resistència i la potència subministrada per cada font. E = 24 V

r 1 = 0,2 !

r 2 = 0,2 !

R = 10 !

r 1

r 2 R

E

Fig. 3.33.

E


83

3.6. Aplicació de les lleis de Kirchhoff La tècnica de simplificar els circuits de manera progressiva mitjançant l’agrupació en sèrie o en paral·lel de fonts de tensió (piles i bateries) o bé de resistències no sempre és possible. L’aplicació sistemàtica de les equacions de Kirchhoff combinada amb la llei d’Ohm ens permetrà resoldre aquesta mena de circuits independentment de la complexitat que presentin.

3.6.1. Nusos, branques i malles Tot i que ja haguem vist l’enunciat de les lleis de Kirchhoff i haguem definit el que és un nus i una malla, cal aclarir i ampliar aquests conceptes.

Nusos R1

R2

R3

A

I1

I2

R4

I3 U1

Definim els nusos com la connexió de dos o més conductors. Ara bé, per aplicar les lleis de Kirchhoff ens interessaran els nusos en què coincideixin tres conductors o més de tres. D’ara endavant, quan parlem de nusos ens referirem a aquesta nova definició.

U3

Prenguem com a exemple il·lustratiu el circuit de la figura 3.34. S’hi indiquen tots els nusos, però d’aquests els que ens interessaran són els assenyalats en color vermell ( A i B).

U2

B

Fig.3.34.

Circuit d’exemple per aplicar les lleis de Kirchhoff.

Així, doncs, per aplicar Kirchhoff, podem dir que hi ha dos nusos, A i B. R2

R3

A

I3 I1

Fig. 35.

I3

Nusos A i B del circuit de la

R4

I2

U3 I1

figura 3.34.

I2 B

Branques Constitueixen una branca tots els elements (resistències, fonts, etc.) compresos entre dos nusos adjacents. Evidentment, la intensitat del corrent que circula per una branca serà la mateixa a cadascun dels elements que integren aquesta branca. Al nostre exemple hi ha tres branques. R1

R2

R3

I1 I3 U1

Fig. 3. 36.

Branques del circuit de la figura 3.34.

I2

R4 U3

U2

84


Malles Com ja hem vist, constitueix una malla tot circuit tancat que pot ser recorregut tornant al punt de partida sense passar dues vegades per un mateix element. Fixa’t que en aquest cas cada element pot ser recorregut per un corrent diferent. Al nostre exemple hi ha tres malles.

I1

R1

R2

I1

I1

R3

I2

R4

U1

R4

I3

I2

Fig. 3. 37.

I1 I3

I1

I2 I2

U1

U2

U2

Per als nusos i les malles anteriors es poden plantejar equacions de nusos i equacions de malles.

R3

Equacions de nusos

I2

R4

I1

3.6.2. Equacions

Malles del circuit de la figura 3.34.

A

R3

I2

I2

R2

R2

I1

U3

U3

R1

Mitjançant l’aplicació de la primera llei de Kirchhoff, podem establir una equació per a cada nus. Així, doncs, aplicades al circuit de la figura 3.34, tenim: Per al nus A:

I 1 + I 2 + I 3 = 0

Fig . 3.38.

Corrent al nus A.

Per al nus B: – I 1 + (– I 2 ) + (– I 3) = 0 ; o directament: – I 1 – I 2 – I 3 = 0

Equacions de malles

I3 U3 I1

Mitjançant l’aplicació de la segona llei de Kirchhoff, podem establir una equació per a cada malla.

I2

Per aplicar aquestes equacions caldrà assignar un sentit convencional de circulació de corrent positiu per a cada malla, i considerar positives les intensitats i f.e.m. que concorden amb aquest sentit convencional i negatives les que no hi concorden.

B

Fig . 3.39.

Corrent al nus B.

I1

R1

R2

I1

I1

U1

I2

a

Tensions i corrents convencionals a les malles.

I3 U3

I2

Fig . 3.40.

R4

U3

R4

R3

R1

R2

R3

I2

I1

I1

I2

I1 b

U2

I2 U1

c

U2

I2

Si ho apliquem a l’exemple, on totes les malles són recorregudes en sentit horari, tindrem el següent: Malla a . És recorreguda en sentit horari. Respecte a les forces electromotrius: U 1 actua com a generador i, per tant, li correspon signe positiu, mentre que U 3 actua com a càrrega i, en conseqüència, té signe negatiu.


85

Pel que fa a les caigudes de tensió: R1 i R2 són recorregudes per un corrent que coincideix amb el sentit de valoració de la malla i, per tant, atorguem signe positiu a totes dues, mentre que R4 és recorreguda per un corrent en sentit contrari al de valoració de la malla, per la qual cosa parlem de caiguda de tensió amb signe negatiu. Malla b i malla c . Hi apliquem el mateix criteri.

Com a resultat d’això obtenim les equacions següents: Malla a : U 1 – U3 = I 1 · R1 + I 1 · R2 – I 3 · R4 Malla b : U 3 – U2 = I 3 · R4 – I 2 · R3 Malla c : U 1 – U2 = I 1 · R1 + I 1 · R2 – I 2 · R3

3.6.3. Resolució de circuits El plantejament per resoldre circuits amb les lleis de Kirchhoff és el següent: Les incògnites seran els corrents per cada branca. Una vegada es coneixen els corrents es pot determinar el potencial a qualsevol nus del circuit, com també les potències generades i consumides. El procediment que hi hem d’aplicar és el següent: Sobre l’esquema del circuit que s’ha de calcular, identifiquem cadascun dels corrents de branca i els atribuïm arbitràriament un sentit de circulació. Arbitràriament significa que podem decidir el sentit que vulguem. Ara bé, a partir d’aquest moment, quedarà fixat per a la resta del procediment i en condicionarà l’aplicació. Formulem una equació per cada incògnita. Si el circuit té n nusos utilitzem n-1 equacions de nusos; les altres equacions necessàries seran equacions de malles. Resolem el sistema d’equacions. Un cop coneixem els components del circuit i els corrents de malla, podem calcular qualsevol altra incògnita fàcilment.

Exemple 3.14 R1

R2

Volem calcular el circuit de la figura 3.41 per als valors següents: U1 = 5 V, U2 = 10 V, U3 = 15 V, R1 = 10 !, R2 = 15 !, R3 = 20 ! y R4 = 5 !.

R3

A I2

a

R4

I3

U1

Tenim tres corrents de branca i, per tant, tres incògnites.

b U3

U2

Hi ha dos nusos, per la qual cosa tindrem una equació de nus (2-1), i les dues restants seran equacions de malles (3-1).

B

Prenent el nus A i les malles a i b tindrem: Fig. 3.41.

Nus A

I 1 + I 2 + I 3 = 0

Malla a

U 1 – U3 = I 1 · R1 + I 1 · R2 – I 3 · R4  5 –15 = 10 · I 1 + 15 · I 1 –5 · I 3

Malla b

U 3 – U2 = I 3 · R4 – I 2 · R3  15 –10 = 5 · I 3 –20 · I 2

86


Haurem de resoldre aquest sistema de tres equacions amb tres incògnites: I 1 + I 2 + I 3 = 0

(1)

25 · I 1 – 5 · I 3 = –10

(2)

5 · I 3 – 20 · I 2 = 5

(3)

Es pot resoldre per diversos mètodes, obtenint el valor de I1, I2 i I3. Per exemple: Aïllem I1 de (1):

(4)

Substituïm a (2): Aïllem I2:

(5)

Substituïm a (3): Simplifiquem:

;

Aïllem I3: Substituïm a (5): I finalment a (4): – El signe negatiu de I1 i I2 ens assenyala que aquests corrents circulen realment en sentit contrari respecte a l’establert inicialment.

Exemple 3.15 Disposem d’una resistència d’1 ! alimentada per dues bateries en paral·lel; les dues bateries són de 12 V amb resistències internes de 0,1 ! i de 0,2 !, respectivament. Calcula: a) El corrent subministrat per cada bateria i el corrent dissipat per la resistència R. b) La tensió als borns de la resistència. c ) La potència subministrada per cada bateria i la potència dissipada per la resistència.

En primer lloc dibuixarem el model de comportament elèctric (model circuital), que representa la situació plantejada, on: E =12 V, r 1 = 0,1 !, r 2 = 0,2 ! y R = 1 !. a) Corrent subministrat per cada bateria i corrent dissipat per la resistència R:

A I r 1

r 2

I1

I2

a E

b E

R

Hi aplicarem les lleis de Kirchhoff. Com que tenim tres incògnites necessitem tres equacions; atès que tenim dos nusos, una equació serà de nus i les altres dues seran de malla; les equacions resultants són aquestes: I = I 1 + I 2

I = I 1 + I 2

(1)

E –E = r 1 · I 1 – r 2 · I 2

0,1 · I 1 – 0,2 · I 2 = 0

(2)

E = r 2 · I 2 + R · I

1 · I + 0,2 · I 2 = 12

(3 )

B

Fig. 3. 42.

De (2):

(4)


Substituint a (1):

I = 2 · I 2 + I 2 = 3 · I 2

I substituint a (3):

3 · I 2 + 0,2 · I 2 = 3,2 · I 2 = 12

D’on:

87

Corrent subministrat per la bateria 2.

Valor que portat a (4):

I 1 = 2 · I 2 = 3,75· 2 = 7,50 A

I finalment a (1):

I = I 1 + I 2 = 3,75 = 11,25A

Corrent subministrat per la bateria 1. Corrent dissipat a la resistència R.

V = R · I = 1 · 11,25 = 11,25 V

b) Tensió als borns de la resistència:

c ) Potència subministrada per cada bateria i potència dissipada per la resistència:

Bateria 1

P G 1 = V · I 1 = 11,25 · 7,50 = 84,37 W

Bateria 2

P G 2 = V · I 2 = 11,25 · 3,75 = 42,19 W

Resistència

P R = V · I = 11,25 · 11,25 = 126,56 W

Activitats 16.

Al circuit següent, aplica-hi les lleis de Kirchhoff per determinar la intensitat del corrent per cada element, les tensions a cada resistència i la potència que dissipen. Totes les fonts de tensió estan proporcionant corrent?

R1

A

1 k 1 k

R3

U1

U2

10 V

U3

5V

20 V R2

Fig. 3.42.

2k

R3 B

10 k

3.7. Teoremes fonamentals per a circuits elèctrics 3.7.1. Teorema de Thévenin El teorema de Thévenin estableix que un circuit lineal (qualsevol dels que hem vist fins ara) amb dos terminals de sortida, A i B, es pot substituir per un circuit equivalent format per una font de tensió U Th (tensió de Thévenin) en sèrie amb una resistència RTh (resistència de Thévenin). En què: U Th és la tensió entre els terminals A i B quan aquests es troben en circuit obert. RTh és la resistència equivalent entre els terminals A i B quan aquests es tro-

ben en circuit obert, amb la qual cosa s’anul·len les fonts independents de tensió.

88


Per anul·lar una font de tensió, aquesta font se substitueix per un conductor (es curtcircuita la font). a

a RTh UTh

b

Fig. 3.44.

b

Amb el teorema de Thévenin s’aconsegueix substituir un circuit més o menys complex per un d’equivalent molt més senzill. La principal aplicació d’aquest teorema la trobem quan s’ha de resoldre el circuit original per a diferents càrregues, atès que resulta molt més simple la resolució del circuit equivalent.

Teorema de Thévenin.

Exemple 3.16 Disposem d’una font d’alimentació formada per dues bateries de f.e.m. i resistència interna E 1, r 1 i E 2, r 2, respectivament, que alimenten una càrrega situada a una distància important, per la qual cosa es considera que els cables d’alimentació presenten una resistència Rs. a) Dibuixa l’esquema elèctric de la situació proposada. b) Troba l’equivalent de Thévenin als borns de la càrrega, si E 1 = 13 V, r 1 = 0,5 !, E 2 =11 V, r 2 = 0,5 ! i R s = 0,75 !. c ) Calcula el corrent i la tensió als borns de la càrrega per als casos següents: Rcàrrega = 1 #(circuit obert)

,5

!

, 10

!

Solució A

a) Esquema elèctric de la situació proposada (figu ra 3.45).

R s r 1

b) Equivalent de Thévenin, si E 1 = 13 V, r 1= 0,5 !, E 2 =11 V, r 2 =0,5 ! y R s = 0,75 ! (figura 3.46).

r 2 E 1

E 2

B

Fig. 3.45. Fig. 3.46.

A

A

R s r 1

RTh

r 2 UTh E 1

E 2

B

B

, 100

!

,

!


89

Comencem calculant la tensió de Thévenin.

r 2

Recordant que V Th és la tensió entre els terminals A i B quan aquests es troben en circuit obert, la tensió buscada V AB (borns A -B) és la mateixa que V AB ’ (borns A’ -B’ ), ja que amb el circuit obert no circula corrent per R s i, per tant, no hi ha cap caiguda de tensió en aquesta resistència.

E 2

Aplicant la segona llei de Kirchhoff a la malla formada per les dues fonts del circuit i recorreguda en sentit horari obtenim el següent:

A’

A R s

r 1

E 1

I

I

B’

E 1 – E 2 = I · (r 1 + r 2)

B

Fig. 3.47.

D’on: Per tant: O també:

A R s

U th = V A’ – B’ = E 1 – I · r 1 = 13 – 0,5 · 2 = 12 V r 1

r 2

U th = V A’ – B’ = E 2 + I · r 2 = 11 + 0,5 · 2 = 12 V

Ara calcularem la resistència de Thévenin recordant que RTh és la resistència equivalent entre els terminals A i B quan aquests es troben en circuit obert, amb la qual cosa s’anul·len les fonts independents de tensió o de corrent. La resistència buscada és l’equivalent del circuit mostrat a la fi gura 3.48, és a dir, r 1 i r 2 en paral·lel entre si i en sèrie amb R s, i tindrà el valor següent:

B

Fig. 3.48.

A

c ) Càlcul del corrent i la tensió als borns de la càrrega per als casos següents: R c à r r e g a = 1 ! , 5 ! , 10 ! , 100 ! , # (circuit obert)

RTh

El circuit que s’ha de resoldre és l’equivalent de Thévenin presentat a la figura 3.49, amb UTh =12 V, RTh =1! i on la càrrega és el valor proposat a l’enunciat.

R

UTh

En estudiar cinc casos haurem de resoldre el circuit cinc vegades. Les equacions que resolen el circuit equivalent de Thévenin són: ; U AB = I · Rcàrrega o bé:

B

Fig. 3.49.

U AB = U Th – I · RTh

Els resultats s’exposen a la taula següent:

1!

5!

10 !

100 !

#

I (A)

6

2

1,091

0,1188

0

U AB (V)

6

10

10,91

11,88

12

Rcàrrega

90


3.7.2. Principi de superposició El principi de superposició estableix que en qualsevol circuit lineal (qualsevol dels que hem vist fins ara) que contingui diverses fonts de tensió (piles o bateries), el voltatge a cada nus i el corrent a cada branca és la suma de tots els voltatges o corrents individuals causats per cada font, actuant individualment, és a dir, amb totes les altres fonts de tensió substituïdes per curtcircuits.

Exemple 3.17 Al circuit de la figura següent, determinarem la tensió i la intensitat de corrent a la resistència R3.

R1

U1 = 12 V, U2 = 24 V, R1 = 1 !, R2 = 2 !, R3 = 4 !

R2

A

I1

I2

U1

Ho farem de dues maneres: aplicant-hi les lleis de Kirchhoff i mitjançant el principi de superposició.

a

I3

R3

U2 b

B

Fig. 3.50. Solució 1. Aplicació de les lleis de Kirchhoff

Llei de corrents nus A

I 1 + I 2 – I 3 = 0

Llei de tensions malla a

R1 I 1 + R3 I 3 =U 1

Llei de tensions malla b

R2 I 2 + R3 I 3 =U 2

substituint els valors i resolent:

I 1 = –1,714 A 0; I 2 = 5,142 A ; I 3 = 3,428 A

y

U AB = R3 I 3 = 4 · 3,428 = 13,71 V

Solució 2. Aplicació del principi de superposició R1

a) Només amb la font U1:

Calculem R2 en paral·lel amb R3 (R2 //R3):

R2

A

IT U1

IR3

R3

Calculem la resistència total: B

Amb la llei d’Ohm, calculem IT : Fig. 3.51.

Considerant la resistència equivalent de R2 //R3 (R2 en paral·lel amb R3) i coneixent IT , podem calcular U ABa:

Aplicant la llei d’Ohm a R3, tenim la IR3a:


91

b) Només amb la font U2:

Calculem R1 en paral·lel amb R3 (R1 //R3):

R1

R2

A

IT IR 3

R3

Calculem la resistència total:

Amb la llei d’Ohm, calculem IT :

U2

B

Fig. 3.52.

Considerant la resistència equivalent de R1 //R3 i coneixent IT , podem calcular U ABb:

Aplicant la llei d’Ohm a R3, tenim la IR3a:

c ) Hi apliquem el principi de superposició per calcular la resposta global:

3.7.3. Teorema de la màxima transferència de potència En una font d’alimentació la potència transferida a la càrrega depèn de la resistència de sortida de la font i de la resistència de la mateixa càrrega. El teorema de la màxima transferència de potència estableix que en un circuit amb terminals A i B (font d’alimentació) la màxima potència transferida a una càrrega es produeix quan la resistència de la càrrega és equivalent a la resistència de sortida del circuit (resistència de Thévenin). Rc = RTh

El valor de la potència màxima que es transfereix es pot determinar a partir de l’expressió següent:

O també:

92


Exemple 3.18 Volem determinar la màxima potència que es pot extreure d’una font la tensió en buit de la qual és de 100 V i la resistència interna de la qual és d’1 !. Solució U Th = 100 V

RTh = 1 !

Activitats 17.

Calcula el circuit equivalent de Thévenin als borns a i b del muntatge següent:

19.

Calcula el corrent que circula per la resistència de 4 !. Utilitza el principi de superposició.

U = 24 V R1 =2 k ! R2 =1 k ! R3 =3 k ! 1Ω

1Ω

1Ω 4Ω

12 V

15 V

24 V

R3 R2

U1

A

R1

Fig. 3.55. B

Calcula el circuit equivalent de Thévenin als borns a i b del muntatge següent: R1

A

1 k

1 k

R3

U1

10 V

U2

20 V 2 k R2

Fig. 3.54.

Una bateria de 12 V té una resistència interna d’1 !. Fes una taula en què figuri la potència lliurada a la càrrega per als següents valors de resistència de càrrega: 0 !, 0,5 !, 1 !,10 !, 10 M!.

Fig. 3.53. 18.

20.

B


93

Experiències Experiència 1 Circuit en sèrie 1.

Seleccionem tres resistències amb els següents valors nominals: R1 = 100 !, R2 = 150 !, R3 = 100 !.

2.

Connectem les tres resistències en sèrie i mesurem la resistència total de l’associació utilitzant un ohmímetre. Cal recordar que aquesta mesura es porta a terme sense connectar la font d’alimentació, ni amperímetres ni voltímetres. RTotal =

3.

Completem el muntatge de la figura següent:

V 1

V 2

V 3

R1

R2

R3

U=

V

I

4.

Hi apliquem una tensió de 10 V i prenem nota dels valors obtinguts reflectintlos a la taula següent: U 10 V

RTotal

0

V 1

I

0

0

V 2

0

V 3

0

20 V

5.

Repetim el pas anterior aplicant-hi ara una tensió de 20 V.

6.

Completem la taula següent amb els valors teòrics obtinguts prèviament al desenvolupament de l’experiència. U 10 V

RTotal

0

V 1

I

0

0

20 V

7.

Comprovem la validesa de les dades “experimentals”.

V 2

0

V 3

0

94


Experiència 2 Circuit mixt 1.

Seleccionem cinc resistències amb aquests valors nominals: R 1 = 200 R2 = 100 !, R3 = 1 k !, R4 = 2 k !, R5 = 3 k !.

2.

Connectem els grups de resistències en paral·lel i mesurem la resistència total de cada associació; posteriorment connectem els dos grups en sèrie i mesurem la resistència total del muntatge. R1//R2 =

3.

R3//R4//R5 =

!,

RTotal =

Completem el muntatge de la figura següent: V a I1

R1

I2

R2

I3

I4

I5

R3

R4

R5

V b

U

4.

Hi apliquem una tensió de 10 V i prenem nota dels valors obtinguts reflectintlos a la taula següent: 0 0 0 0 0 0 U 10 V

V a

0

V b

0

I1

I

0

0

I2

I3

I4

I5

0

20 V 5.

Repetim el pas anterior aplicant-hi ara una tensió de 20 V.

6.

Completem la taula següent amb els valors teòrics obtinguts prèviament al desenvolupament de l’experiència. U 10 V

V a

0

V b

0

I1

I

0

0

I2

0

20 V 7.

Comprovem la validesa de les dades “experimentals".

I3

I4

I5


95

Experiència 3 Lleis de Kirchhoff 1.

Fem el muntatge de la figura i mesurem els valors de les intensitats a cada branca del circuit, fixant-nos en la polaritat dels aparells de mesura que connectem segons el sentit del corrent previst. E I3

10 V

D

R3

I1

R1

25

75 Ω

50

Ω

R2

I4

R4

A

B

Ω

I5

75 Ω

100 V

50 V I2

C 2.

Completem la taula següent: I1

I2

I3

I4

I5

Experiència Teòric 3.

Comprovem que es compleixi la primera llei de Kirchhoff en cadascun dels nusos. Nus A Nus B Nus C

4.

Mesurem la diferència de potencial que hi ha als borns de cadascun dels elements del circuit respectant la polaritat indicada i completem la taula. V D A

5.

V AB

V AC

V E A

V EB

V BC

V DC

Comprovem que es compleixi la segona llei de Kirchhoff a cadascuna de les malles; recordem que V AB = – V AB. Exemple: a la malla DACD s’ha de complir que V DA + V AC + V CD = 0, o bé què V CD = V DA + V AC . Malla D ACD Malla AEB A Malla ABC A Malla D ABCD Malla AEBC A Malla D AEBCD

96


Experiència 4 teorema de Thévenin 1.

Començarem muntant i simulant el circuit original amb la finalitat de comprovar, després, l’equivalència entre aquest muntatge i l’equivalent de Thévenin que determinarem al llarg de l’experiència. Prenem nota de la intensitat i la tensió a la càrrega.

V 1

R1

R2

2Ω

2Ω

24 V

R3

A

Càrrega

1Ω

2Ω

V càrrega = I càrrega =

B

2.

Per determinar experimentalment la tensió de Thévenin, al muntatge original desconnectem la càrrega i al seu lloc hi col·loquem un voltímetre. La tensió de Thévenin (tensió amb el circuit obert) es correspon amb la lectura del voltímetre. R2

R1

2

V 1

2

Ω

R3

24 V

1

A

Ω

V Th=

Ω

B

3.

Podem mesurar la resistència de Thévenin al muntatge següent, en què s’ha suprimit la font de tensió. La mesura la portem a terme amb un ohmímetre. R2

R1

2

2

Ω

R3

1

A

Ω

RTh =

Ω

B

4.

Fem el muntatge del circuit equivalent de Thévenin, alimentant la mateixa càrrega, i comprovem la igualtat de tensió i corrent a la càrrega respecte al circuit original. A

V càrrega =

RTh V Th

I càrrega = B

5.

Fem simultàniament els dos circuits: l’original i el seu equivalent. Comprovem que per a qualsevol càrrega, la lectura de tensió i corrent és la mateixa als dos circuits; completem la taula següent: Rcàrrega(!)

0 5 15 20 #

V càrrega

Icàrrega

Observacions Curtcircuit

Circuit obert

UNITAT 03-Circuit de Corrent Continu

Recommend Documents