9
Unitat 9. Estadística Pàgina 191 9.1
Representa, mitjançant el gràfic adequat, les taules estadístiques següents: a) El temps que empren els alumnes d’un curs a anar des de casa fins a l’escola. b) Nombre d’alumnes en el curs 2005-2006 a Catalunya, segons l’etapa d’estudis en què es troben. TEMPS (en min)
NRE. D' ALUMNES ALUMNES
0–5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30
2 11 13 6 3 1
INFANTIL
164 000
PRIMÀRIA
232 000
SECUNDÀRIA OBLIGATÒRIA BATXILLE BA TXILLERA RAT TI FORMACIÓ FORMA CIÓ PRO PROFF.
261 000
UNIVERSITAT
200 000
153 000
1 010 000
TOTAL • Solució:
a)
Nre. D'ALUMNES
12 10 8 6 4 2 5 10 15 20 25 30
b) °
107 8' °
48 8' °
85 43'
°
68 34' °
51 25'
TEMPS (min)
Infantil Primària Secundària Obligatòria Batxillerat i FP Universitat
Pàgines 192-193 9.2
Ens donen la distribució de notes següent: 2, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 9, 10 a) Comprova, calculant-la, que la nota mitjana és x = 6. b) Comprova que la mediana és Me = 5. c) Quina és la mediana si suprimim el 10? d) Quina és la moda?
• Solució:
a) x = =
2 + 4 + 4 + 4+ 5+7 + 9 +9 +10 10 9
b) 2 4 4 4 5 7 9 9 10 10
c) Me = 4,5
d) Mo = 4
167
9.3
Calcula les mesures de dispersió d’aquesta distribució de pesos: 83, 65, 72, 70, 80, 75, 90, 68.
• Solució:
Recorregut = 25, DM = 6,72, Variància = 61,98, σ = 7,87 9.4
Calcula les mesures de dispersió d’aquesta distribució de dades: 2,5; 44; 62; 7,2; 1; 35,7.
• Solució:
Recorregut = 61, DM = 21,83, Variància = 540,44, σ = 23,25
Pàgina 195 9.5
Calcula els paràmetres x i σ en les distribucions següents: a) NOTES x i 0 1 2 3 4 5 f i
b) ALÇADES :
0 x i f i
5
4
2
2
1
6 1
7 2
8
3
9 4
10 8
151 156 161 166 171 176 2 5 11 14 5 4
• Solució:
a)x = 6 σ = 3,509 b) x =164, 3 σ = 6, 30
Pàgines 196-197 Segueix el procés que indiquem a dalt per calcular pàgina anterior. 9.5
x i σ
en la distribució de notes de l’exercici de la
• Solució: x = 6
9.6
σ = 3, 509
Utilitza la calculadora per calcular x i σ en la distribució d’estatures de l’exercici de la pàgina anterior.
• Solució: x = 164, 3
σ = 6, 30
Per entrenar-te en la comparació de desviacions típiques, observa aquesta seqüència de distribucions. Totes tenen la mateixa mitjana, però les desviacions típiques són cada vegada majors. 9.7
12345 12345
12345 12345
12345 12345
12345
12345
Per convèncer-te que és així, observa que per passar de cada gràfic al següent cal escurçar les barres centrals i allargar les exteriors. És a dir, cal allunyar de la mitjana alguns individus. • Solució: No
168
requereix solució.
Pàgina 198 A diferents botigues d’instruments musicals, preguntem el preu de certs models concrets de piano, flauta travessera i harmònica. Els resultats obtinguts tenen la mitjana i desviació típica següents. Calcula la variació de preus d’aquests 3 productes. 9.8
PIANOS FLAUTES HARMS.
943 € 132 € DESV . TIP. 148 € 22 € MITJANA
37 € 12 €
• Solució:
148 =16% 943 22 =17% CV flautes = 132 CVpiano =
12 37
CVharms . = = = 32%
Pàgina 200 Digues, en cada cas, quina és la població i quina la variable que es vol estudiar. Especifica si és una variable qualitativa o quantitativa i determina, en aquest últim cas, si és discreta o contínua: a) Temps dedicat a les feines domèstiques per part dels homes i les dones que treballen fora de casa. b) Estudis que vol fer l’alumnat d’un centre escolar en acabar l’educació secundària obligatòria. c) Intenció de vot en unes eleccions autonòmiques. d) Hores que es dediquen a veure la televisió els estudiants de l’educació secundària obligatòria. e) Nombre d’aparells de ràdio que hi ha a les cases catalanes. 9.9
• Solució:
POBLACIÓ
V ARIABLE
TIPUS DE VARIABLE
a)
Homes i dones
b) Alumnes d’un centre escolar c)
Possibles votants
d)
e)
Hores dedicades a les feines domèstiques Tipus d’estudis Tipus de vot
Estudiants
Hores
de l’ESO
dedicades a veure
a Espanya
la televisió
Famílies
Nombre
Quantitativa contínua
Qualitativa
Qualitativa
Quantitativa contínua Quantitativa
espanyoles d’aparells de ràdio discreta
169
En comptar el nombre d’assignatures que ha suspès cada alumne i cada alumna en la primera avaluació d’un grup de 3r de l’ESO, hem obtingut aquestes dades: 9.10
1 6 4 3 1 0
1 0 5 2 1 0
2 0 0 1 0 5
3 1 0 3 1 4
2 0 0 1 2 2
Fes una taula de freqüències absolutes i el diagrama de barres que correspon. • Solució:
9.11
NRE. ASSIGNA-
NOMBRE
TURES SUSPESES
DE PERSONES
0
9
1
8
2
5
3
3
4
2
5
2
6
1
Amb les dades del problema anterior, calcula els percentatges següents: a) Estudiants que no han suspès cap assignatura. b) Estudiants que han suspès una o dues assignatures. c) Estudiants que han suspès tres o més assignatures. Fes un diagrama de sectors que reflecteixi els percentatges d’aquests tres grups.
• Solució:
a) 30% b) 43,3% c) 26,6%
Més de dues assignatures suspeses Cap assignatura suspesa
26,6 % 30 %
43,3 %
1 o dues assignatures suspeses Total alumnes: 30
170
Aquests són els resultats d’una enquesta feta a Catalunya sobre l’actuació del president de la Generalitat. 9.12
12 40 27 13 6 2 a C a a r t t a a n n n l e N o o u n l / e o S b B g l d o e t t N l l D R o o M M
a) Amb les dades del gràfic, fes una taula de freqüències i un diagrama de barres verticals. b) Creus que fan la mateixa impressió? • Solució:
a) Solució gràfica. b) S’aprecien més clarament els resultats en el diagrama de barres verticals. 9.13
Un diari ha publicat aquesta informació:
a) Quantes persones han mort en accidents la causa dels quals han estat l’alcohol o les drogues? b) El 75% de les distraccions són fruit de l’eufòria o de la lentitud de reflexos que provoquen l’alcohol i altres drogues. Segons això, quin percentatge d’accidents es troba relacionat amb l’alcohol i les drogues? • Solució:
a) 1 220 persones b) El 59% 9.14
Les opinions que van donar un grup de pacients sobre dos dels seus metges van ser: Metge A (%)
Metge B (%)
Bo
37,5
42
Regular
45
25
Dolent
17,5
33
Fes un gràfic de sectors per a cada metge i compara’ls. • Solució:
Es dedueix que el metge A és millor que el B. 171
Pàgina 201 9.15
Aquest gràfic mostra la distribució de la terra a Galícia:
a) Quantes hectàrees ocupen els boscos? b) De la superfície cultivada, el 23,5% es dedica al blat de moro. Quantes hectàrees hi ocupa el blat de moro? c) Representa la distribució de la terra a la Comunitat de Múrcia i compara-la amb la de Galícia. • Solució:
a) 1838928 ha b) 132615 ha c) A Múrcia es dedica més terreny al cultiu i menys al terreny forestal, mentre que a Galícia és a l’inrevés. A Múrcia és molt menor el percentatge de terreny dedicat a prats i pastures que a Galícia (a causa que a Galícia hi ha més ramaderia). A Múrcia és major que a Galícia el percentatge de terreny sense un tractament concret.
S’ha fet una enquesta per saber amb quina regularitat es llegeix el diari en una ciutat i els resultats han estat aquests: 9.16
Respostes Tots els dies
(%) 37,3
Una vegada per setmana
29
Una vegada al mes
10,5
Alguna vegada a l’any
12
No mai
…
No contesta
0,4
a) Quin tant per cent de persones van respondre «no mai»? b) Si les persones que no van contestar van ser 6, quantes persones van ser enquestades? c) Les persones enquestades, són mostra o població? • Solució:
a) 10,8 % b) 1 500 persones c) Mostra
172
9.17
Aquests gràfics mostren el balanç d’una empresa: Resultats
Plantilla Milions d'euros
15 12
Milers d'empleats
12
14,0
10,1
11,0
10
11,7
9
9,3 8
8,0
6
7,3
4,8 3
6 2003 2004 2005 2006
2003 2004 2005 2006
a) Com es diu aquest tipus de gràfics? b) Per què hi ha a ambdós un tall a l’eix vertical? c) Fes una taula en què s’indiquin els resultats i la plantilla de cada any. • Solució:
a) Polígons de freqüències. b) Perquè els primers valors de l’eix no s’empren. c) RESULTATS NRE. D’EMPLEATS A NY
9.18
(MILIONS D’ €)
(MILERS)
1997
4,8
10,1
1998
11,0
9,3
1999
14,0
8,0
2000
11,7
7,3
a) Representa aquest mateix gràfic prenent l’escala de l’eix d’ordenades des de 0 fins a 24. TAXA DE DESOCUPACIÓ 22
22,9
22,2 20,8
21 20
18,8
19 18 17 16
15,4
15 14
14,2 2000
2001
2002
2003
2004
2005
b) Fa la mateixa sensació de decreixement? c) Quina creus que triaria el govern i quina l’oposició per a representar la taxa de desocupació? • Solució:
a) Solució gràfica. b) Amb la nova escala sembla que decreixi menys. c) El govern elegiria el gràfic de l’exercici. L’oposició, el de l’apartat a).
173
9.19
Els pesos dels jugadors d’un equip de futbol són els següents: 76 - 78 - 75 - 72 - 81 - 75 - 65 - 82 - 71 - 68 - 71 a) Calcula el pes mitjà de l’equip. b) Quina és la mediana? c) Calcula la desviació mitjana.
• Solució:
a) x = 74 kg b) Me = 75 kg c) DM = 4,09
Pàgina 202 9.20
Fixa’t en aquest gràfic: Assistència al cinema a Espanya entre els majors de 13 anys 16 14
12,3
11,8
12
10,5
10
8,8
7,7
8 6
1 vegada a 2-3 vegades la setmana al mes o més
1 vegada al mes
5-6 vegades a l’any
menys de 5 vegades a l’any
a) Observa que la primera barra és menor que la meitat de l’última. ¿Significa això que els que van al cinema menys de 5 vegades a l’any són més del doble que els que hi van una vegada a la setmana o més? b) Repeteix el gràfic prenent l’escala vertical des de 0. c) Quin percentatge d’espanyols no va al cinema mai o quasi mai? • Solució:
a) No b) Solució gràfica. c) El 12,3%, aproximadament.
L’entrenador d’un equip de bàsquet dubta entre seleccionar l’Helena o la Maria. Els punts aconseguits per cadascuna, en una setmana d’entrenament, han estat aquests: 9.21
HELENA
18
23
22
24
19
25
16
MARIA
18
26
18
28
22
17
18
a) Quina de les dues té millor mitjana? b) Calcula la desviació típica. Quina de les dues és més regular? • Solució:
a) Ambdues tenen la mateixa mitjana. b) σHelena = 3,11 σMaria = 4,105 L’Helena és més regular.
174
A la família Ferrer, el salari mensual del pare és de 900 € i el salari de la mare, de 1500 €. A la família Guarner, el pare guanya 1860 € i la mare, 540 €. 9.22
a) Quin és el sou mitjà de cada família? b) En quina és major la dispersió? Quin és el rang en cada família? • Solució:
a) x FERRER = 1200 euros x GUARNER = 1 200 euros b) Hi ha més dispersió en el salari de la família Guarner.
9.23
Aquest era el repartiment, per municipis, de la població espanyola el segle passat: MUNICIPIS
1900
1930
1960
1990
Fins a 5 000 hab.
51%
40%
29%
16%
De 5 001 a 20 000
28%
29%
25%
20%
De 20 001 a 100 000
12%
16%
18%
22%
Més de 100 000
9%
15%
28%
42%
Aquests són, en milions, els habitants en aquests anys: 1900
1930
1960
1990
18,6
23,6
30,4
38,8
a) Quant suma cada columna de la primera taula? Era previsible aquest resultat? b) Podem dir que el 1900 més de la meitat dels espanyols vivia en municipis de menys de 5001 habitants? c) Calcula el nombre de persones que vivia als municipis més petits des de 1900 fins a 1990. Com va evolucionar la població? d) Calcula els que vivien als municipis més grans des de 1900 i estudia’n l’evolució. e) És cert que la població s’ha duplicat durant el segle xx? f) Fes un diagrama de sectors per a cada any. • Solució:
a) 100% b) Sí c)1900 → 9,486 milions 1930 → 9,44 milions 1960 → 8,816 milions 1990 → 6,208 milions La població va disminuir en aquests municipis. d) 1900 → 1,674 milions 1930 → 3,54 milions 1960 → 8,512 milions 1990 → 16,296 milions La població d’aquests municipis va augmentar. e) Sí f) Solució gràfica.
175
9.24
En aquest gràfic observem l’evolució de la població activa i de la població ocupada des de 1900 a 2000. Evolució del mercat de treball
En milions de persones
17 16
Actives
2,4
15 14
2,4
Desocupades
13 Ocupades
12
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Població activa: població que treballa o busca treball. Població ocupada: població que té treball remunerat.
a) Quin era el nombre de desocupats el 1991, 1995 i 2000? b) Quan va ser menor el nombre de desocupats? c) Quan es va arribar a 3 milions de desocupats? • Solució:
a) 1991 → 2,5 milions 1995 → 3,5 milions 2000 → 2,4 milions b) L’any 1994. c) Entre 1992 i 1993.
Pàgina 203 9.25
EXERCICI RESOLT. El nombre d’aparells de ràdio que hi ha a les cases d’un grup de persones, el trobem expressat en aquesta taula: NOMBRE DE RÀDIOS
0
1
2
3
4
5
NOMBRE D’HABITATGES
3
19
18
6
3
1
a) Calcula’n la mitjana i la desviació típica. b) Quina és la mediana? c) Quants aparells de ràdio i quants habitatges hi ha en aquesta mostra? Resolució
a) Fem la taula de freqüències que correspon: x i
f i
f i · x i
f i · x i2
0 1 2 3 4 5
3 19 18 6 3 1
0 19 36 18 12 5
0 19 72 54 48 25
50
90
218
Mitjana: 90 x = = 1, 8 50 x = 1, 8 aparells Desviació típica: 218 2 − 1, 8 50 σ ≈ 1, 06 σ =
b) Ordenem les dades de menor a major: 0, 0, 0,11 , ,…,1,2 ,2,… ,2,… {
123 14 24 3
3 vegades 19 vegades
18 vegades
Com que el nombre de dades és parell, 50, la mediana és la mitjana de les dades que ocupa la posició 25 i 26, el valor de les quals és 2 en ambdós casos. Me = 2. c) Hi ha 50 habitatges i 90 aparells de ràdio.
176
9.26
Calcula la mitjana i la desviació típica de les edats dels estudiants d’una classe d’anglès. EDAT, x i
13
14
15
16
NRE. ALUMNES, f i
5
13
10
2
• Solució:
a) x = 14,3 b) σ = 0,82 9.27
Els pesos de 40 persones són els següents: PES (KG)
NOMBRE DE PERSONES
45,5 – 52,5 52,5 – 59,5 59,5 – 66,5 66,5 – 73,5 73,5 – 80,5 80,5 – 87,5
2 11 13 9 4 1
a) Representa aquestes dades amb el gràfic adequat. b) Calcula’n la mitjana i la desviació típica. • Solució:
a) Solució gràfica. b) x = 63,87 σ=8 9.28
En un control de velocitat en carretera es van obtenir els resultats següents: V ELOCITAT KM / H
NOMBRE DE COTXES
60 – 70 70 – 80 80 – 90 90 – 100 100 – 110 110 – 120
5 15 27 38 23 17
a) Fes una taula amb les marques de classe i les freqüències. b) Calcula la mitjana i la desviació típica. c) Quin percentatge circula a més de 90 km/h? • Solució:
MARQUES DE CLASSE (M.C.)
f i
65
5
75
15
85
27
95
38
105
23
115
17
b) x = 93,8 σ = 13,30 c) 62,4%
177
9.29
A la pregunta: quantes persones formen el teu nucli familiar?, 40 persones van respondre: 5
5
4
7
4
6
4
6
5
6
3
5
5
3
4
4
6
5
5
5
5
4
7
5
6
3
5
6
7
4
5
5
4
3
5
5
4
3
5
6
a) Fes la taula de freqüències i el diagrama que correspon. b) Calcula la mitjana, la mediana, la moda i la desviació típica. • Solució: x i = NOMBRE DE PERSONES
f i
f i x i
f i x i2
3
5
15
45
4
9
36
144
5
16
80
400
6
7
42
252
7
3
21
147
40
194
988
b) x = 4,85 σ = 1,08 Me = 5 Mo = 5 9.30
Calcula x i σ d’aquestes distribucions: a) Temps emprat per anar de casa a l’escola: MINUTS
0–5
5–10
FREQÜÈNCIA
2
11
10–15 15–20 20–25 25–30 13
6
3
1
b) Hores de televisió setmanals: HORES
2–7
7–12
FREQÜÈNCIA
5
11
12–17 17–22 22–27 12
9
3
• Solució:
a) x = 12,5 b) x = 13,75 9.31
σ=
5,65 σ = 5,65
Hem comptat el nombre de lletres que tenen les 128 paraules d’un article: LLETRES
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
PARAULES
4
36
14
9
15
7
6
9
7
8
6
4
3
a) Calcula la mitjana i la desviació típica. b) Quantes paraules tenen un nombre de lletres comprès entre x — σ i x + σ ? Quin percentatge representen?
178
• Solució:
a) x = 5,32 σ = 3,38 b) 96 paraules. Representen el 75%.
Pàgina 204 9.32
Aquestes són les hores d’estudi setmanal d’un grup d’alumnes: 14 9 9 20 18 12 14 15 10 18 20 2 7 18 20 16 18 15 24 10 12 10 4 8 20 10 12 16 a) Reparteix aquestes dades en els intervals: 1,5-6,5; 6,5-11,5; 11,5-16,5; 16,5-21,5; 21,5-26,5. b) Fes la taula de freqüències i el diagrama que correspon. c) Calcula la mitjana i la desviació típica.
6 8 25 5
14 12 24 4
8 10 17 13
• Solució:
a)
INTERVAL
NRE. D’HORES
1,5-6,5
2, 4, 6, 5, 4
6,5-11,5
9, 9, 10, 10, 8, 10, 8, 7, 8, 10, 10
11,5-16,5
14, 15, 16, 15,12, 14, 14, 12, 12, 12, 16, 13
16,5-21,5
20, 18, 18, 20, 20, 18, 20, 18, 17
21,5-26,5
24, 25, 24
b) Solució gràfica. c) x = 13,25 σ = 5,65
Les despeses mensuals d’una empresa A tenen una mitjana de 60 000 � i una desviació típica de 7500 �. En una altra empresa més petita B, la mitjana és de 9 000 � i la desviació típica, de 1 500 �. Calcula, mit jançant el coeficient de variació, quina de les dues té més variació relativa. 9.33
• Solució: 9.34
La variació relativa és major a B.
El nombre de paraules de cada una de les frases d’un article d’economia és: 17
40
22
25
43
21
17
25
37
12
9
37
32
35
30
21
13
27
41
45
36
40
30
48
45
41
39
39
40
38
28
7
33
35
22
34
23
a) Fes una taula de freqüències en què hi agrupis les dades en intervals: 7-13, 14-20, 21-27, 28-34, 35-41, 42.48. Representa aquestes dades en un histograma. b) Calcula la mitjana i la desviació típica.
179
• Solució:
a)
INTERVAL
f i
7-13
4
14-20
2
21-27
8
28-34
6
35-41
13
42-48
4 37
b) x = 30,43 9.35
σ = 10,34
Estatures aproximades de 4350 soldats: ESTATURA (EN M)
1,52
1,56
1,60
1,64
1,68
1,72
1,76
1,80
1,81
1,88
NRE. SOLDATS
62
186
530
812
953
860
507
285
126
29
Diem que els soldats que tenen una estatura entre x + σ i x + 3σ són alts; si la tenen entre x – 3σ i x – σ, són baixos, i són normals si la tenen entre x – σ i x + σ. Digues, aproximadament, quin tant per cent de baixos, normals i alts hi ha. • Solució:
Alts → 21,77% Baixos → 17,88% Normals → 60,35% 9.36
D’una enquesta sobre la tasca d’un alcalde, n’obtenim les dades següents: Molt dolenta 22 Dolenta 27 Acceptable 17 Bona 19 Molt bona 15 a) Quin percentatge opina que la tasca ha estat dolenta o molt dolenta? b) Quin percentatge aprova la tasca de l’alcalde? c) Calcula la moda i la mediana i digues quin d’aquests dos paràmetres et sembla que representa millor l’opinió de la majoria.
• Solució:
a) 49% b) 51% c) Me = acceptable Mo = dolenta. És més relativa la mitjana.
Hem enquestat 3 820 persones per saber l’audiència d’un debat (D) i d’una pel·lícula (P) que s’han emès en hores diferents en una cadena de televisió. 9.37
HAN VIST D
NO HAN VIST D
HAN VIST P
2 712
NO HAN VIST P TOTALS
TOTALS
1041 1187
3 820
a) Una taula d’aquest tipus es diu «de contingència». Completa la taula. b) Quin percentatge ha vist la pel·lícula i el debat? c) Dels que han vist la pel·lícula, quin percentatge no ha vist el debat? 180
• Solució:
a)
HAN VIST D
NO HAN VIST D
HAN VIST P
1120
1 592
2 712
NO HAN VIST P
67
1041
1108
2 633
3820
TOTALS
b) 29,3%
1187
TOTALS
c) 58,7%
9.38
Hem passat una prova de 25 preguntes als 120 estudiants d’un centre escolar. D’aquests, el 10% ha respost correctament 5 preguntes, el 45% n’ha encertades 15, el 25% n’ha encertades 20, i la resta ha contestat correctament totes les preguntes. Calcula la mitjana i la desviació típica. x = 7 σ = 5,58 • Solució: 9.39
Aquestes tres distribucions tenen la mateixa mitjana. Quina és? b)
a)
2 4 6 8 1012
c)
2 4 6 8 1012
2 4 6 8 1012
Les desviacions típiques són 3,8; 1,3 i 2,9. Associa a cada distribució un d’aquests valors. • Solució:
x = 7
a) σ = 2,9
b) σ = 1,3
c) σ = 3,8
Pàgina 205 Tenim tres conjunts d’esportistes d’elit: de bàsquet, de futbol i de marató. Els paràmetres mitjana i desviació típica de les seves respectives alçades (en cm) són: 9.40
Bàsquet
Futbol
Marató
MITJANA
201 cm
176 cm
172 cm
D. TÍPICA
12 cm
7 cm
4 cm
Compara la variació de les alçades dels tres col·lectius. Si ens fixem en la taula és fàcil veure que els esportistes més alts són els jugadors de bàsquet, després vénen els jugadors de futbol i per últim els corredors de marató. D’altra banda, és clar que els jugadors de bàsquet tenen unes alçades més extremes i els corredors de marató tenen unes alçades més semblants. • Solució:
9.41
Hem fet el mateix examen a dues classes. Els resultats han estat aquests: x
• Solució:
σ
CLASSE A
5,8
2,9
CLASSE B
6,3
1,2
Si hi ha una classe amb 6 excel·lents i 8 suspensos i una altra amb 2 suspensos i 3 excel·lents, quina és la classe que té més excel·lents?
Hi ha més excel·lents a A.
181
Què passa a x i σ si sumem a totes les dades un mateix nombre? I si les multipliquem pel mateix nombre? Comprova la teva conjectura amb aquestes dades: 3, 5, 6, 3, 4, 2, 3. 9.42
• Solució:
Si sumem el mateix nombre, n, a totes les dades, llavors la mitjana és la mateixa que l’anterior més n, i la desviació típica és exactament igual. Si multipliquem pel mateix nombre, n, totes les dades, llavors la mitjana queda multiplicada per n, i la desviació també queda multiplicada per n.
Si restes la mitjana d’una distribució a cada dada i sumes aquestes diferències, quin resultat obtindràs? Justifica la resposta i posa’n un exemple. 9.43
• Solució: 9.44
Obtenim 0.
EXERCICI RESOLT. La nota mitjana d’un examen ha estat 6,2 en 3r A, en què hi ha 15 estudiants, i 4 en 3r B, que té 35 estudiants. Calcula la nota mitjana de la totalitat d’alumnes de les dues classes. Resolució
Si la mitjana dels 15 alumnes de 3r A és 6,2, la suma de les 15 qualificacions és 6,2 · 15 = 93. En 3r B, la suma de totes les qualificacions és: 4 · 35 = 140 Suma les qualificacions de les dues classes i divideix-la pel total d’alumnes, 50, i obtindràs la nota mitjana global. 9.45
Completa la taula d’aquesta distribució, de la qual sabem que la mitjana és 2,7: x i
1
2
3
4
f i
3
…
7
5
x i
1
2
3
4
f i
3
5
7
5
• Solució:
Per calcular la nota d’una avaluació, es fa la mitjana de quatre exàmens. Si en els tres primers tinc una mitjana de 4,2, quina nota he de treure en l’últim per aprovar? • Solució: 7,4 9.46
Per calcular la nota d’una assignatura, el segon examen val el doble que el primer, i el tercer, el triple. Quina és la nota d’una alumna que ha tret un 5, un 6 i un 4? I si aquestes notes són el 10%, el 40% i el 50% de la nota final? • Solució: 9.47
Si va treure un 5, un 6 i un 4, la nota és 4,83. Si les proporcions són el 10%, el 40% i el 50%, la nota és 4,9. 9.48
En una empresa treballen 30 empleats i 5 directors. El sou mitjà de l’empresa és de 1082 €. Quin és el sou mitjà dels directors si sabem que el de la resta dels empleats és de 766,3 €?
• Solució: 2976,2 €
182
La freqüència amb què apareixen les lletres en un idioma té aplicacions curioses, com ara desxifrar un missatge secret. Segons l’estudi fet amb u n processador de textos en català, les lletres apareixen amb aquestes freqüències: a, e → més del 10% d, l, n, o, s, u → 9% – 6% i, r → 6% – 4% c, g, q → 4% – 3% h, m, t → 3% – 2% b, f, p → 2% – 1% resta → menys de l’1% Amb aquesta informació, desxifra aquest missatge: 9.49
Investiga i treballa en equip.
$* ⋅ 2∅$5?51*1 ⋅ 87 ⋅ ?78959 α ∅ ⋅ ∅8 ⋅ 3*8* ≠ ⋅ >ββ ?<7 ⋅ 158∅ ≠ 7 ⋅ 9587 ⋅ ∅8 ⋅ ↓ β ∅ ⋅ $* ⋅ α * ≠ ∅ *⋅ ↓ β ∅ ⋅ 9∅ ⋅ <*?∅ ⋅ 9∅ ⋅ <*3* ⋅ ? 78 ⋅ 3β 9α 7 PUNT ∅$ ⋅ 15 * ⋅ ↓ β ∅ ⋅ ?* 1 * ⋅ 85 7 ⋅ *$ ⋅ $$∅3* ≠ ⋅ * ⋅ < 7 > = ≠ ∅ ⋅ β∅1 * ⋅ 9∅ ≠ ⋅* ↓ β ∅$$7 ⋅ ↓ β ∅ ⋅ 1∅9∅ * ⋅ π ⋅ +* ≠ * ⋅ $7 ⋅ ↓ β∅ ⋅ ∅9α * ⋅17α * 17 ⋅ < * = ≠ ∅>79 ⋅ ? 789 ∅3β517 ⋅ β 8 ⋅ >β 817 ⋅ 2∅$5 PUNT >53β ∅$ ⋅1 ∅$5=∅9 • Solució:
Apareix un text de Miguel Delibes en castellà. LA FELICIDAD NO CONSISTE EN GANAR MUCHO DINERO SINO EN QUE LA TAREA QUE SE HACE SE HAGA CON GUSTO . EL DÍA QUE CADA NIÑO AL LLEGAR A HOMBRE PUEDA SER AQUELLO QUE DESEA Y PARA LO QUE ESTÁ DOTADO HABREMOS CONSEGUI DO UN MUNDO FELIZ. Miguel Delibes
183
