TD
Sciences Appliquées Conversion continu-continu
STS
Hacheurs ____________________ ___________________________________________ _____________________________________________ ________________________________ __________2
Exercice 1: BTS 1995 Etk Nouméa Nouméa Hacheur série (Solution (Solution 1:) __________________________________ __________________________________2 Exercice 2: Hacheur série conduction continue et discontinue (Solution 2:) __________________________ __________________________3 Exercice 3: Association hacheur dévolteur et survolteur (Solution 3:) _____________________________ _____________________________4 Exercice 4: BTS 1984 commande en vitesse de MCC par hacheur série (Solution 4:) ___________________5 Exercice 5: BTS 1994 Métro HACHEUR A TRANSISTORS 4 QUADRANTS (Solution 5:) _______________5 Exercice 6: BTS 2007 Nouméa Etude de Hacheur parallèle (Solution 6:) ____________________________ ____________________________7 Exercice 7: BTS 2003 Nouméa Etude de Hacheur (Solution 8:) _________________________________ _________________________________ 10 Exercice 8: BTS 2002 Métropole Etude de Hacheur en conduction ininterrompue (Solution 9:) __________ 14 Exercice 9: BTS 2000 Nouméa Convertisseur en Hacheur (Solution 10:) ___________________________ ___________________________ 16 Exercice 10: BTS 2000 Métropole Excitation Alternateur par Hacheur dans Airbus A320 (Solution 11:) ___20 Exercice 11: Hacheur Série : Conduction continue - conduction discontinue (Solution 12:)_______________ 21 Exercice 12: BTS 1995 Etk Métro Hacheur 4 quadrants (Solution 13:) ____________________________ ____________________________22 Exercice 13: QCM (Solution 15:) _______________________________________ ________________________________________________________ _________________25 Exercice 14: Ondulations en tension et en courant d'un hacheur série (Solution 16:) __________________27 Exercice 15: Hacheur parallèle alimentant une batterie d'accumulateurs (Solution 17:) ________________28 Exercice 16: Machine en cycle robotique associée à un hacheur réversible (Solution 18:) _______________28 Exercice 17: Alimentation à découpage utilisant un hacheur réversible (texte d'examen)(Solution d'examen)(Solution 19:) _____ 30 Exercice 18: BTS 1987 M.C.C. Alimentée par un Hacheur réversible en courant (Solution 20:) ___________ 31 Exercice 19: Régulation de vitesse (Solution 21:) ____________________________________________ ____________________________________________34 Exercice 20: Régulation de température (Solution 22:) _______________________________________ _______________________________________35
Solutions ____________________ ___________________________________________ _____________________________________________ _______________________________ _________ 37 37
Solution 1: Exercice 1:BTS 1995 Etk Nouméa Hacheur série (Solution 1:) ________________________ ________________________ 37 Solution 2: Exercice 2:Hacheur série conduction continue et discontinue _________________________ _________________________40 Solution 3: Exercice 3:Association hacheur dévolteur et survolteur ____________________________ ____________________________40 Solution 4: Exercice 4:BTS 1984 commande en vitesse de MCC par hacheur ______________________ ______________________ 40 Solution 5: Exercice 5:BTS 1994 Métro HACHEUR A TRANSISTORS 4 QUADRANTS ______________40 Solution 6: Exercice 6:BTS 2007 Nouméa Etude de Hacheur parallèle ___________________________ ___________________________43 Solution 7: B.2 - Valeur de L ______________________________________ ______________________________________ Erreur ! Signet non défini. Solution 8: Exercice 7:BTS 2003 Nouméa Etude de Hacheur _________________________________ _________________________________46 Solution 9: Exercice 8: BTS 2002 Métropole Etude de Hacheur en conduction ininterrompue __________49 Solution 10: Exercice 9:BTS 2000 Nouméa Convertisseur en Hacheur ___________________________ ___________________________52 Solution 11: Exercice 10:BTS 2000 Métropole Excitation Alternateur par Hacheur dans Airbus A320 ____ A320 ____55 Solution 12: Exercice 11:Hacheur Série : Conduction continue - conduction discontinue (Solution 12:) ____57 Solution 13: Exercice 12:BTS 1995 Etk Métro Hacheur 4 quadrants ____________________________ ____________________________57 Solution 14: Exercice 13:QCM _______________________________________________ ________________________________________________________ _________59 Solution 15: Exercice 14:Ondulations en tension et en courant d'un hacheur série __________________60 Solution 16: Exercice 15:Hacheur parallèle alimentant une batterie d'accumulateurs (Solution 17:) ______ ______ 61 Solution 17: Exercice 16:Machine en cycle robotique associée à un hacheur réversible _______________63 Solution 18: Exercice 17:Alimentation à découpage utilisant un hacheur réversible (texte d'examen)(Solution d'examen)(Solution 19:) ____________________________________________ __________________________________________________________________ _______________________________ _________ 64 Solution 19: Exercice 18:BTS 1987 M.C.C. Alimentée par un Hacheur réversible en courant ___________65 Solution 20: Exercice 19: Régulation de vitesse __________________________________________ ____________________________________________ 66 Solution 21: Exercice 20: Régulation de température (Solution 22:) ____________________________ ____________________________68
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Hacheurs Exercice 1: BTS 1995 Etk Nouméa Hacheur série (Solution 1:) Le montage étudié est celui de la figure ci-dessous Il comprend • une batterie d'accumulateurs de résistance interne négligeable et de tension U b = 72 V, • une inductance de lissage de résistance négligeable et d'inductance L. • La diode est supposée parfaite. Le hacheur H se comporte com porte comme un interrupteur parfait. Il travaille à la fréquence f = 500 Hz avec un rapport cyclique . • Pour 0 < t < T, l'interrupteur H est fermé ; • pour T < t < T, l'interrupteur l'interrupteur H est ouvert. La charge est une machine à courant continu.
i L
Ub=72 V
v
u charge
1. Tracer v(t). 2. Quelle est la relation existante entre la valeur moyenne V moy de la tension v(t) et la valeur moyenne Umoy de la tension u aux bornes du moteur ? Justifier votre réponse. Etablir la relation entre U b et Vmoy lorsque la conduction dans le moteur est ininterrompue (le courant ne s'annule pas). Calculer alors la valeur de permettant d'obtenir V moy = 65 V. 3. Étude du courant dans le moteur : on suppose que la tension aux bornes de l'induit du moteur est constante et égale à E = U moy = 65 V (l'ondulation du courant étudié ci-dessous entraîne une variation du produit Ri autour de RI moy très inférieure à U moy, c'est-à-dire que l'on va négliger la résistance de l'induit). La conduction est ininterrompue (le courant ne s’annule jamais) . a. Pour 0 < t < T donner un modèle équivalent du montage. En déduire la relation vérifiée par i(t) en sachant qu'à t = 0, i = I min b. Etablir l'expression de l'ondulation de courant I = Imax - Imin en fonction de , f, L, Ub. c. Montrer que l'ondulation est maximale pour = ½ d. Calculer la valeur L de l'inductance de lissage pour que cette ondulation maximale soit égale à 2,0 A. e. Pour le fonctionnement nominal, I moy = 8,0 A ; calculer Imin et Imax lorsque L = 18 mH (on conserve cette valeur par la suite). Tracer i(t) en concordance de temps avec v(t). 4. Donner une méthode expérimentale pour mesurer i(t) et l’ondulation I. On précisera le matériel choisi, le montage utilisé et le protocole de mesure. 5. Le moteur tourne à vide à 3000 tr/min, ce qui correspond à E = 53 V en absorbant I moy = 0,42 A. On moy = constate que le rapport cyclique est alors = = 0,56. a. La conduction est-elle interrompue ? Justifier votre réponse. b. On constate que le courant dans l'induit s'annule à un instant t 1compris entre T et T. Que vaut la tension aux bornes du moteur pour : t 1
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i L
Ub=72 V
v
u charge
Exercice 2: Hacheur série conduction continue et discontinue (Solution 2:) On considère le circuit de la figure ci dessous dans lequel: H is
ic iD
LC
D uC
E EC
E est une source de tension continue parfaite de valeur 140 V H est un interrupteur i nterrupteur parfait dont la période de fonctionnement est T, ➢ H est fermé de 0 à T ➢ H est ouvert de T à T . La fréquence de hachage est 500 Hz . Le récepteur est un moteur à courant continu à aimant permanent de f.é.m. Ec en série avec une inductance Lc = 2 mH . On négligera pour faire l'étude suivante la résistance interne de la machine à courant continu. Un essai a montré que la vitesse n= 1500 tr/min est atteint quand Ec= 126 V . 1) Etude en conduction c onduction continue: a) Déterminer l'expression mathématique de i c dans l'intervalle l'intervalle 0 , T . On note note IM et I m les valeurs maximale et minimale de i c . b) Quelle relation simple existe-t-il entre Ec, et E ? Calculer la vitesse de rotation du moteur dans le cas où = 0.64 . c) Donner, dans le cas d'une conduction continue dans la charge, l'allure des courants i c , id et is en fonction du temps . d) On note
la valeur moyenne du courant i c. Calculer en fonction fonction de de IM et de Im . e) Quelle relation doit-il exister entre I M et Im ? Pour quelle valeur I0 de , la la conduction conduction cesse-t-elle d'être continue ? Déterminer I 0 pour = 0,9 , 0,64 et 0,3 .
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f) Calculer le couple électromagnétique de la machine si = 0,64 et = 40 A . 2) Etude en conduction discontinue : a) La tension qui est appliquée aux bornes de la charge est indiquée par le diagramme de la figure ci dessous. Quelle relation existe-t-il entre , ' , E et Ec ? b) Déterminer, comme pour la première partie, les expressions de i C en fonction du temps. On notera I M le courant maximal. c) Déterminer les expressions de IM et du courant moyen . d) De la dernière expression, donner l'allure des caractéristiques n=f() pour fixé . Conclure.
uC
E EC t
0
T 'T
T
Exercice 3: Association hacheur dévolteur et survolteur (Solution 3:) On considère maintenant l'association de 2 hacheurs, un dévolteur et un survolteur. Ils sont utilisés pour alimenter une machine à courant continu d'un véhicule électrique. E= 96 V, L C = 5 mH et T= 0.5 ms . T 1 et T 2 sont commandés de manière complémentaire : ➢ de 0 à T C ,T 1 commandé et T 2 bloqué T , T 2 commandé et T 1 bloqué . ➢ de T c à T , Le courant ic (t) ayant l'allure indiquée par la figure 2 , a) représenter v(t) en indiquant indiquant quels sont, à tout instant les composants qui conduisent. b) En déduire l'allure de V moy=f(ICmoy) à = Cte (I Cmoy pouvant être positif ou négatif) . Existe-t-il une zone de conduction discontinue ? c) Calculer ITmoy et ICmoy en fonction de , Im et I'm . Relation entre , ITmoy et ICmoy . Le moteur a une f.é.m. E C = K. et un couple Ce= I Cmoy avec K= 0.414 Vs/rad . Sur un sol horizontal , le couple résistant résistant est de la forme Cr=3.5 + 0.05 d) pour une vitesse de 20 km/h calculer , ICmoy ,
I C
( = µ.V ; µ=35.4 rad/s/m/s ).
I Cmoy
La voiture descend à vitesse constante, le couple résistant est de la forme Cr=17.7+0.005 (Nm) ; on donne =0.68 . e) Calculer la vitesse de la voiture V , la valeur de I Cmoy , f) Calculer la puissance récupérée par la batterie. g) Comment peut-on ralentir la voiture ?
iT
E
iC
T1
D1
v
T2
D2
LC u L
EC
Im
iC T
0 ' Im
t1
TC
t
t2
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Exercice 4: BTS 1984 commande en vitesse de MCC par hacheur série (Solution 4:) Dans le montage ci-contre : iH (t) H i (t) • U est une tension continue, constante, L • En fonctionnement périodique de période T, H est commandé à la (t) D v (t) fermeture pour 0 < t < T, n'est pas commandé pour T < t < T U E (0 < < 1). est le rapport cyclique réglé par la commande. • D est une diode idéale. • H désigne un élément unidirectionnel commandé, dont le fonctionnement est caractérisé par : (t) < 0 : i H (t) = 0. en l'abscenc l'abscencee de commande commande i (t ) 0 en (t) ≥ 0 H . présence de commande commande , alors H fermé fermé et (t)=0 i H (t ) 0 en présence
La charge est constituée par l'induit d'une machine à courant continu, compensée, à excitation séparée constante, de sorte que la f.é.m. peut peut s'écrire E=K. (E en volts et en radians par seconde). • La résistance de l'induit est négligée. La vitesse reste invariable pendant la période T du hacheur. • La machine a été essayée en moteur sous la tension nominale de 150 V , à la vitesse de 1500 tr/min; l'intensité du courant appelé est, à vide I 0 =1.5A et à charge nominale I n =10A . T 0 , T e et T u sont respectivement les moments du couple à vide , du couple électromagnétique et du couple utile . •
1) Etude du moteur : a) Calculer la constante K . b) A la vitesse de 1500 tr/min , calculer T 0 , T e et T u à charge nominale c) On admet que les pertes à vide sont proportionnelles à la vitesse de rotation : en déduire le couple de pertes. 2) Fonctionnement en alimentation découpée, conduction continue .Le moteur fonctionne à T e constant, à vitesse établie, dans des conditions telles que i(t) est ininterrompu. a) Exprimer Imoy en fonction de T e , (L.di/dt)moy puis de Vmoy . b) Représenter sur un même graphique l'allure de (t) et de v(t) . c) En déduire E en fonction de U et de . d) Application numérique U= 200 200 V . calculer calculer pour obtenir des vitesses de 1000 tr/min et 1500 tr/min. e) Ecrire l'équation différentielle à laquelle satisfait i(t) pour t compris entre 0 et T . En déduire l'expression de i(t) . on posera i(0) = I m f) Mêmes questions pour t compris entre T et T . On posera posera i (T) = IM . g) Calculer i = IM - Im en fonction de ,T , U et L . h) Montrer que pour U , L et T fixés , i passe par un maximum pour une valeur de que l'on précisera . i) Application numérique : U = 200 V et f = 1 kHz . Calculer L pour ( i)Max = 4 A . j) Représenter i(t) à 1500 tr/min pour le couple T e=4.8 Nm et pour les valeurs de U , f et L précédentes . Echelles 1 cm pour 1 A et pour 0.1 ms 3) Le moteur est à vide . On a toujours U=200 V , f=1 kHz et on prend L= 12.5 mH . a) Le moteur tourne à la vitesse de 1500 tr/min . Montrer en comparant i à I0 que ce fonctionnement est à la limite de la conduction continue. b) Représenter i(t) . c) La vitesse reste comprise entre 500 et 1500 tr/min . Montrer que la conduction n'est plus continue. Représenter l'allure de v(t) , i(t) en notant t 0 l'instant où i(t) s'annule . ' T < t0 < T, ( ' nouveau rapport cyclique). d) Montrer que V Moy reste égal à E .Montrer que le maintien de la vitesse oblige à choisir un nouveau rapport cyclique ' = . t0 / T ( rapport cyclique donnant la même vitesse en conduction continue) .
Exercice 5: BTS 1994 Métro HACHEUR A TRANSISTORS 4 QUADRANTS (Solution 5:) La machine est commandée par un hacheur 4 quadrants à transistors ( figure 2).
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La machine idéalisée vérifie les lois : Ua = k et Te = k i amoy La tension Vs est continue : Vs = 300 volts. La bobine de lissage d'inductance L 2 est parfaite : L 2 = 100 mH. Les transistors et les diodes sont également considérés comme parfaits. 1) ETUDE DU FONCTIONNEMENT DU MOTEUR : Les transistors sont commandés avec la période période T = 1,2 ms. Pour ce fonctionnement fonctionnement : T 2 et T 4 restent bloqués. T 1 et T 3 sont commandés avec le rapport cyclique . Pendant la première période considérée, ils sont passants entre O et T , bloqués entre T et T. On suppose le régime établi et la conduction permanente. 1-1 Etude de la tension u h : 1-1-1 Quels composants sont passants entre T et T ? Que vaut alors u h ? 1-1-2 Quels composants sont passants entre T et T ? Que vaut alors u h ? En déduire pour = 2/3 la représentation graphique de u h en fonction du temps (sur le document réponse n° 2 à rendre avec la copie). 1-1-3 Déterminer dans le cas général l'expression de la tension moyenne u hmoy en fonction de et Vs. Dans quel cas est-elle positive ? Application numérique : = 2/3. 1-1-4 Quelle relation existe-t-il entre u hmoy et Ua? Justifier la réponse. 1-2 Etude du courant d'intensité i a L'intensité ia varie entre I M (maximum) et I m(minimum). 1-2-1 Pour 0 < t < T : - Ecrire l'équation différentielle à laquelle satisfait i a . - Déterminer l'expression de i a(t). - En déduire l'expression de l'ondulation ia = IM - Im en fonction de , Vs, L2 et T.I Application numérique : = 2/3. 1-2-2 Pour T < t < T : - Ecrire l'équation différentielle vérifiée par i a. - Déterminer l'expression de i a(t). 1-2-3 Représenter graphiquement i a en fonction du temps pour : iamoy = 4,0 A et = 2/3. Calculer préalablement I M et Im. 2 FREINAGE : La machine fonctionnant dans le même sens de rotation, on désire la freiner en "récupération". - Quels doivent être les signes de Ua et i amoy ? -Cette modification étant réalisée, indiquer quels transistors il faut commander (Simultanément) en précisant les valeurs possibles du rapport cyclique ?
D1
T 2
T 1
D2
Uh Vs
K ia D4
T 4
H
L2 Ua
T 3
D3
FIGURE 2
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Exercice 6: BTS 2007 Nouméa Etude de Hacheur parallèle (Solution 6:) Le hacheur parallèle est modélisé par le schéma ci-contre. L'interrupteur L'interrupteur T H est commandé à l'ouverture et à la fermeture à la fréquence fH avec un rapport cyclique H. Les tensions UC et EC sont supposées constantes. On donne U C = 192,5V. On néglige la résistance de la bobine d'inductance L. On a relevé les oscillogrammes de u T et et de iL sur le système étudié dans une situation d'éclairement donnée voir document réponse 2. B.1 - Exploitation des chronogrammes du document réponse B.1.1 - Indiquer les intervalles de durée de conduction pour T H et pour DH sur le document réponse 2. B.1.2 - Donner la valeur numérique de la fréquence de découpage (qu'on notera fH). B.1.3 - Donner le rapport cyclique de commande de l'interrupteur T H durée durée de fermetur fermeturee H période
B.1.4 - Donner la valeur numérique de E C, de et de . B.1.5 - Déterminer la valeur numérique de l'ondulation de i L (iL = ILmax – ILmin) B.2 - Valeur de L B.2.1 - Pour t compris entre 0 et 15 µs, écrire l'équation différentielle vérifiée par i L, Donner la solution i L(t) de cette équation en fonction de U C, L, ILmin et t. B.2.2 - En partant de l'expression de i L(t) obtenue, déterminer l'expression de iL en fonction de U C, H , L et fH. B.2.3 - En déduire la valeur numérique de L. B.3 - Constitution de la bobine L est l'inductance d'une bobine réalisée autour d'un circuit magnétique en ferrite représenté ci-dessous.
En faisant l'hypothèse que le champ magnétique est uniforme dans le circuit magnétique (ferrite et air), le théorème d'Ampère appliqué à ce circuit s'énonce : B µ 0
e
B µ f
L f N iL
avec
e = 2,3 mm = épaisseur de l'entrefer Lf = 20 cm = longueur moyenne du circuit en ferrite S = 1 cm2 = section du circuit magnétique N = 300 = nombre de spires µ o = 4.10-7 SI = perméabilité magnétique de l'air On suppose que la perméabilité magnétique µ f de la ferrite est infinie. B.3.1 - Exprimer le flux à travers une section S du circuit magnétique en fonction de N, S, e, µ o et iL. B.3.2 - Le circuit étant supposé non saturé, on rappelle que l'inductance de la bobine est donnée par
L
N i L
Exprimer L en fonction de µ o, N, S et e. B.3.3 - Donner la valeur numérique de L. Comparer avec la valeur obtenue à la question B.2.3.
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Partie D - Etude de la chaîne auxiliaire
La partie étudiée de la chaîne auxiliaire est représentée en annexe 1. On suppose que : la batterie a une force électromotrice constante de valeur E B = 96V ; sa résistance interne est négligeable. la tension aux bornes du capteur solaire est constante et égale à U C = 192,5 V. D.1 - Charge de la batterie : Hacheur série Le hacheur série assure la charge des batteries à courant moyen constant : = 5A. Le transistor T' H est commandé par le système de contrôle : il devient passant lorsque i' L descend à 4A, il se bloque lorsque i' L atteint 6A. On donne L' = 1 mH . On néglige la résistance de la bobine.
D.1.1 - Exprimer d(iL')/dt quand T' H conduit, puis quand T' H ne conduit pas. En déduire l'allure du chronogramme de i’ L
D.1.2 - En supposant qu'à l'instant t = 0, i' L est égale à 4A, tracer les chronogrammes de i' L et de v’ sur le document réponse 4. D.1.3 - Déterminer la fréquence de découpage du hacheur.
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Document réponse Question B.1.1
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Question D.1.2
Exercice 7: BTS 2003 Nouméa Etude de Hacheur (Solution 7:) L'induit de la machine à courant continu est piloté par un hacheur alimenté à partir du réseau 375 V continu symbolisé par la source de tension V, conformément au schéma électrique représenté figure 2.
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H est un interrupteur unidirectionnel en courant, commandé à l'ouverture et à la fermeture. Cet interrupteur, interrupteur, ainsi que les diodes D et D', sont considérés comme parfaits : aucune chute de tension à l'état passant, aucun courant à l'état bloqué et commutations instantanées. Ktr est un contacteur dit de traction qui peut être ouvert ou fermé suivant l'utilisation de la machine à courant continu. Lo est une inductance de lissage. On néglige la résistance de l'induit de la machine à courant continu. Le schéma électrique équivalent de la charge du hacheur entre les points A et B se ramène alors à celui représenté figure 3 où L 1 représente la somme des inductances i nductances de l'induit et de l'inductance de lissage ; E représente la force électromotrice développée par l'induit de la machine à courant continu.
La fréquence de hachage est telle que, compte tenu de l’inertie des piè ces en mouvement, la
fréquence de rotation de la machine à courant continu peut être considérée comme constante sur une période de fonctionnement du hacheur.
2.1 2.1 Étude en traction : Ktr est constamment fermé, Ie et
sont positifs : la machine à courant continu délivre
une f.e.m E positive.
2.1.1 Montrer que tant que Ktr est fermé, la diode D' ne peut pas conduire. 2.1.2 L'interrupteur L'interrupteur H est commandé à la fréquence f= 300 Hz. Sur une période de fonctionnement, il conduit de t = 0 jusqu'à t = T (0 < < 1). Il est bloqué sur le reste de la période. On s'intéresse au fonctionnement en régime permanent : le courant i(t) est alors périodique et ses variations sont données sur le chronogramme représenté sur le document réponse n°2 .
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Sur ce document, représenter en les hachurant, les intervalles de conduction des différents interrupteurs. En déduire le graphe des variations de la tension u(t) en sortie du hacheur. 2.1.3 Donner Donner la valeur moyenne Uo de cette tension en fonction de V et . Montrer que la force électromotrice E développée par la machine à courant continu est égale à Uo. 2.1.4 Représenter Représenter sur le document réponse n°2 les variations des tensions uH(t) aux bornes de l'interrupteur H et u D(t) aux bornes de la diode D. 2.1.5 Représenter Représenter sur le document réponse n°2 les variations des courants iH et iD qui traversent respectivement H et D et exprimer leurs valeurs moyennes I HO et IDO en fonction de , IM et I m , . 2.1.6 Etablir l'expression du courant courant i(t) pour 0< 0< t < T. En déduire l'expression de l'ondulation i = IM - I m en en fonction de , V, L1 et f. 2.1.7 Calculer Calculer la valeur de l'inductance L l pour =0,7 =0 ,75, 5, f=30 f=3000 Hz, Hz, IM=400 A et Im=350 A. en phase de freinage freinage : Ktr est constamment ouvert. Ie est est négatif, négatif, 2.2 2.2 Étude en
est positif, positif, la machine à
courant continu délivre une f.e.m E négative. L'interrupteur H est toujours commandé à la fréquence f= 300 Hz avec le rapport cyclique : il conduit de t= 0 jusqu jusqu'à 'à t=T (0 < < 1) ; il est bloqué sur le reste de la période. Le courant dans l'induit de la machine à courant continu évolue suivant le graphe représenté sur le document réponse n°3 : le régime permanent est atteint, i(t) est périodique. 2.2.1 Pour 0 < t < T faire le schéma électrique électrique équivalent montrant montrant la maille dans laquelle circule le courant i(t). 2.2.2 Même Même question pour T < t < T. 2.2.3 Sur Sur le document réponse n°3 , représenter en les hachurant, les intervalles de conduction des différents interrupteurs. 2.2.4 En En déduire le graphe des variations de la tension u(t) en sortie du hacheur et le représenter sur le document réponse n°3. En déduire l'expression de sa valeur moyenne Uo en fonction de V et . 2.2.5 Pour Pour chacune des phases de fonctionnement, tracer sur le document réponse n°3 les variations du courant dans la source j(t) (voir figure 2). En déduire l'expression de sa valeur moyenne J 0 en fonction de IM, Im et et . 2.2.6 En fonction de J 0 et V, exprimer la puissance moyenne P 0 fournie par la source V. Quel est son signe ? Donner en le justifiant le type de fonctionnement, moteur ou génératrice, de la machine à courant continu. 2.2.7 Pour Pour =0,10 le courant i évolue entre Im=300 A et IM=325 A. Calculer Calculer P o .
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Exercice 8: BTS 2002 Métropole Etude de Hacheur en conduction ininterrompue (Solution 8:) Sous caténaire 1,50 kV continu, des hacheurs associés dans une configuration élévateur de tension maintiennent la tension d'alimentation des onduleurs triphasés à 2750 V continu. Ces hacheurs reprennent certains constituants du PMCF, tous considérés comme parfaits. Les interrupteurs sont supposés parfaits. 1) Étude du hacheur simple : * G1 est commandé à la fermeture de l'instant t = 0 à l'instant t = T, et à l'ouverture de t = T jusqu'à T. * T est la période de fonctionnement. * f = 300 Hz. * E sera considéré comme constant (E = 2,75 kV) et ili l ininterrompu, variant entre les valeurs extrêmes I1min et I1max * V = 1,50 kV * L = 5,0 mH (bobine idéale)
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1-1) Pour 0 valeur moyenne de u G1, et V. 1-4) Tracer uG1 sur le document réponse 2, figure 12. En déduire sa valeur moyenne u G1 en fonction de et de E.
L
D2
i1
id2
uG1
E
C0
G1
V
e g r a h C
iG1
Figure 5 1-5) Déduire des deux questions précédentes la relation : E
V 1
.
Calculer la valeur de qui permet d'avoir E = 2,75 kV lorsque V = 1,50 kV. 1-6) Déterminer l'équation différentielle relative au courant dans la bobine pour 0 < t < T. En déduire l'expression de i L lorsque 0 < t < T. 1-7) Déterminer l'équation différentielle relative au courant dans la bobine pour T < t < T. En déduire l'expression de i L lorsque T < t < T. 1-8) Pour iL variant entre I Lmax et ILmin , tracer sur le document document réponse 2 : i L (figure 13) iG1 (figure 14) 1-9) L'ondulation de i L est définie par la relation : i L
I L max I L min
2
Montrer, à partir de l'équation trouvée en 1-6) que : i L
V 2 Lf
Calculer iL pour = 0,45.
2) Étude de deux hacheurs à commandes décalées :
Afin de réduire les harmoniques de courant côté ligne, on double le montage traité en 3-1) d'un deuxième hacheur dont la commande sera décalée. La configuration est représentée figure 6.
i
L
i'1
D4
L
i1
D2
V
uG1
G1
G3
id2
id2
uG3
E
C0
e g r a h C
iG1
Figure 6 - G1 est commandé à la fermeture de l'instant t = 0 à l'instant t = T et à l'ouverture de t = T jusqu'à T. - G2 est commandé à la fermeture de l'instant t = T2 à l'instant t = T2 +T, et à l'ouverture de t = T2 +T jusqu'à T+ T2 . T est la période de fonctionnement. f = 300 Hz. E sera considérée comme constante (E =2,75 kV). V = 1,50 kV. 2-1) il (t) est représenté sur le document réponse 3 (figure 15) ; en déduire la représentation graphique de i' l(t). 2-2) Écrire la relation entre i, i l et i'l. En déduire la représentation graphique de i(t) sur la figure 16 du document réponse 3. Préciser la fréquence de i et la comparer à celle de i l du montage étudié en 3-1). 2-3) Pour 0
' di di1 di1 , , dt dt dt
Expliciter alors
di dt
en fonction de E, V et L.
2-4) En travaillant sur l'intervalle [0 , T], déduire de la réponse précédente, que : i =
E (1 - 2 ) 2 L f
avec i =
I max - I min 2
pour i variant entre I max et Imin
2-5) Calculer i pour = 0,45 ; comparer le résultat avec celui de la réponse 3-1-9). Nom :
documents réponses
BTS 2 002
15/68
Document réponse 2
Document réponse 3
Exercice 9: BTS 2000 Nouméa Convertisseur en Hacheur (Solution 9:) Un convertisseur (fig.1) comporte un pont redresseur PD3 6 thyristors, un condensateur de filtrage de capacité 2000 µF, trois bras de pont constitués chacun de 2 transistors IGBT, et d'un bras hacheur de freinage, constitué lui-même d'un transistor IGBT et d'une résistance de freinage. Les composants représentés sont considérés comme parfaits, les commandes des transistors ne sont pas représentées. Les trois parties 1 A, 1B et 2 peuvent être traitées indépendamment.
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R
U0 C
S
RF
T 1
T 2
T 3
D 1
D 2
D 3
1
2
3
T F T
T 4
T 5
T 6
D 4
D 5
D 6
Figure 1
1. ETUDE DU CONVERTISSEUR EN CONFIGURATION HACHEUR (figure 2): iS
T 1
D1
U0
i T 4
D4
UM charge
MCC
Figure 2
Les deux IGBT sont commandés suivant la séquence suivante (figure 3) T 1 T 4 4
0
T
T
T+T
Figure 3
- entre 0 et T , seul T1 est commandé à la fermeture - entre T et T , seul T4 est commandé à la fermeture est le rapport cyclique du hacheur, T est la période de fonctionnement. La machine commandée par le hacheur est une machine à courant continu à excitation séparée. L'excitation est maintenue constante et nominale pour toute cette partie, elle n'est pas figurée sur le schéma. Sa plaque signalétique comporte les indications suivantes UN = 350 V, I N = 10 A, nN = 2 000 tr/min en moteur La machine est parfaitement compensée, sa résistance d'induit R a une valeur de 1,0 . La tension Uo est maintenue fixée à 480 V .
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Le courant dans l'induit est supposé ininterrompu.
A. Etude du hacheur réversible en courant (figure 2) :
A.1.
A.1.1) Déterminer la force électromotrice nominale de la machine, en déduire la valeur du coefficient K défini par la relation E = K , étant la vitesse de rotation de la machine exprimée en rad/s. A.1.2) Ecrire la relation qui relie le moment du couple électromagnétique T e , à l'intensité moyenne I du courant d'induit de la machine. A.1.3) Déterminer la valeur du moment du couple électromagnétique nominal. Dans la suite du problème, on néglige R. A.2. La machine entraîne une charge lui imposant de fonctionner à courant d'induit de de valeur moyenne I constante. On donne : I = 10 A, = 0,60, f = 20 kHz; on se place en régime permanent et le schéma équivalent de la machine à courant continu, où L est l'inductance de l'induit, est le suivant ( figure 4 ) : i L
uM
E
On donne L = 1,8mH
Figure 4
A.2.1. A partir de la figure 3, indiquer les intervalles de conduction des éléments T 1, D1, T 4, D4 A.2.2. Tracer le graphe de u M (t). A.2.3. Calculer la valeur moyenne de u M (t). En déduire la valeur de E. A.2.4. À l'instant t = 0, le courant d'induit i prend sa valeur minimale I min ; à l'instant t = T, il prend sa valeur maximale Imax. Ecrire la loi d'Ohm en valeurs instantanées aux bornes de la machine, en déduire l'expression littérale de l'ondulation de courant, notée i = Imax.- Imin Tracer l'allure du graphe de i (t) sur une période et calculer i. A.3. La machine est à vide, en régime permanent et on néglige toutes ses pertes On a: = 0,60, f = 20 kHz, i = 3,2 A. 3.1 Montrer que l'intensité moyenne du courant d'induit est nulle. 3.2 Dans ces conditions tracer l'allure du graphe de i (t) sur une période. 3.3 Indiquer les intervalles de conduction des éléments T 1, D1, T 4, D4 A.4. La machine fonctionne maintenant en génératrice tout en conservant le même sens de rotation. Lorsque le régime permanent est atteint, on relève: = 0,60, f = 20 kHz, I = 10 A, i = 3,2 A. A.4.1 Tracer les graphes de u M (t) et de i (t), préciser les éléments conducteurs. conducteurs. A.4.2 Tracer dans ces conditions l'allure de is (t), intensité du courant débité par la source de tension U o définie sur la figure 2. A.4.3 Quelle est la relation entre U o et E ?
B. Etude du freinage (figure 5) :
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iS RF
uRF
T 1
D1
U0
Machine à C.C.
i
T F
uTF
T 4
uM
D4
charge
Figure 5 B.1. Etude de la tension aux bornes du condensateur (figure 6) : Le transistor T F n'est pas commandé, on étudie l'évolution de la tension aux bornes du condensateur is C= 2000 F
uc
Figure 6 On suppose que l'intensité du courant is (t) a l'allure suivante (figure 7) is T T t
I= - 10 A
Figure 7 On donne f = 20 kHz et = 0,60 ; à l'instant initial t = 0, la tension u c est égale à 480 V. B.1.1. Écrire la relation reliant u c (t) à is (t). B.1.2. En déduire l'expression de u c (t) entre 0 et T, puis entre T et T. B.1.3. Calculer uc, accroissement de u c(t) sur une période. B.1.4. Calculer le temps au bout duquel u c (t) = 600V . B.2. Etude du bras hacheur de freinage (figure 5) : On suppose maintenant que le bras de freinage est commandé automatiquement dès que la tension U 0 atteint 480 V, on la considère alors comme constante. Ce hacheur est commandé périodiquement à la fréquence f=1/T', avec un rapport cyclique tel que: - entre 0 et T' : TF conduit et u TF = 0 ; - entre T' et T' : TF est bloqué et u TF = Uo. On donne RF = 40 B.2.1. Tracer le graphe de u RF (t) pour = 0,50 et T' = 100 µs. B.2.2. Exprimer la puissance moyenne dissipée dans la résistance de freinage R F en fonction de , U0 et RF.
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B.2.3. La machine à courant continu fonctionne en génératrice dans les conditions définies à la question A4. Calculer la puissance fournie par la machine à courant continu ; en déduire la valeur du rapport cyclique permettant à R F d'absorber cette puissance.
Exercice 10: BTS 2000 Métropole Excitation Alternateur par Hacheur dans Airbus A320 (Solution 10:) 2° partie : Etude du circuit d'excitation
Schéma du circuit d'excitation de l'alternateur principal
1
Ie Ve
2
Alternateur principal
3
V
N
=
Régulateur
i1 Excitatrice
v1
PMG : alternateur à aimants permanents
Partie fixe Partie mobile Ligne d'arbre (liaison mécanique)
=
U0
commande
= PMG
Partie fixe Partie mobile Ligne d'arbre (liaison mécanique)
PMG : alternateur à aimants Figure 3
La tension aux bornes de l'inducteur de l'alternateur principal est produite à l'aide d'un alternateur intermédiaire, appelé excitatrice, dont l'inducteur est fixe et l'induit, solidaire de l'arbre principal, tournant. L'inducteur de l’alternateur int ermédiaire est modélisé par sa résistance R1 et son inductance L1 ; il est parcouru par un courant i1 t de valeur moyenne I 1 . L'excitatrice n'étant pas saturée on peut considérer que le courant I e est proportionnel à I 1. Le réglage du courant d'excitation principal I e s'effectue donc par l'intermédiaire d'un hacheur qui contrôle I 1 . L'alternateur à aimants permanents et le redresseur à diodes qui alimentent le hacheur sont modélisés par un générateur, considéré comme une source de tension continue parfaite, fournissant une tension U0 = 140 V. Le schéma équivalent du système est celui de la figure 4.
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i1 D
L1 v1
R1 = 9,0
R1
U0
L1 = 0,10 H
H
Figure 4
On étudie le régime permanent où la conduction dans la charge ( R1 , L1 ) est ininterrompue. Les semi-conducteurs qui composent le hacheur sont considérés comme parfaits. L'interrupteur L'interrupteur H est commandé à la fréquence f = 2,0 kHz kHz et on note son rapport cyclique. Au cours d’une période T, l'interrupteur H est passant de 0 à T, il est bloqué de T à T. 2.1 Etude de l'inducteur de l'excitatrice. 2.1.1 Tracer l'allure l'allure de de la tension v1 t lorsque vaut 0,60. 2.1.2 Calculer V 1 , valeur moyenne de v1 t , en fonction de et U 0 . 2.1.3 En déduire l’expression de I 1 , valeur moyenne de i1 t , en fonction de , U 0 et R1 . Faire l'application numérique pour = 0,60. 2.2 Etude des variations du courant. 2.2.1 Ecrire les équations différentielles auxquelles satisfait et T. 2.2.2 En remarquant que
L1 R1
i1 t entre
les dates 0 et T, puis entre T
T , représenter sans calcul l'allure du courant i1 t .
2.3 On définit l'ondulation l'ondulation du courant courant par l’expr ession i1
I M I m
2
.
Dans le cas où i1 I 1 , on admet que l'ondulation peut s'exprimer sous la forme : i1
(1 ) U 0 2 L1 f
Pour quelle valeur de l'ondulation i1 est-elle maximale ? Justifier la réponse. Quelle est son expression dans ce cas ? Calculer sa valeur numérique sachant que L 1 = 0,10 H.
Exercice 11: Hacheur Série : Conduction continue - conduction discontinue (Solution 11:) L'induit d'une MCC indépendante est alimenté par un hacheur série (cf. figure 3.1). Les semi conducteurs sont considérés comme parfaits. Les commutations ne sont pas prises en compte. H est fermé de 0 à T.
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1.
Conduction continue : = 0,75 a. Représenter u(t) et i(t).
(1 ) U 0
b. Montrer qu'à la conduction continue limite (l'indice L est pour limite), I L
2 L f
. Calculer I L et
E (f.e.m du moteur). 2. Conduction discontinue La charge appelant toujours le même courant moyen (1,5 A), a diminue et est égal à 0,5 : le courant s'annule entre T et T, à l'instant T (0 < < 1). On se propose, entre autre chose de calculer la f.e.m E. a. Représenter les allures de u(t) et i(t). b. Montrer que u U 0 1 E c. Montrer, par ailleurs qu'on a toujours = E. En déduire que d. Montrer que I
1 2
U 0 E
I max •
e. En écrivant i(t) de 0 à T, déterminer une expression de I en fonction de U 0, , , L et f. Déterminer l'expression de E en fonction de U 0, I , , L et f. f. Calculer E. Conclusion pour la vitesse. g. Calculer , Imax. 3. Courbes E = f( I ) A partir de ce qui vient d'être déterminé, tracer E = f( I ) pour plusieurs valeurs de a. Donner l'équation de la courbe du courant moyen limite IL en fonction de a et tracer la sur le réseau de courbes E = f( I ).
Exercice 12: BTS 1995 Etk Métro Hacheur 4 quadrants (Solution 12:) Une machine à courant continu est alimentée par le convertisseur dont le schéma est représenté ci-dessous. Les ordres d’ouvertures et de fermetures des interrupteurs commandés (H 1, H2, H3, H4) sont élaborés à partir d’une tension de contrôle Vc. H1, H2, H3, H4 sont des interrupteurs unidirecti unidirecti onnels en courant commandés à l’ouverture et à la fermeture; à l’état fermé, ils ne présentent pas de chute de tension à leurs bornes. H1
D1
H2
D2
Ua i M u H4
D4
H3
D3
On assimilera l'induit de la machine à courant continu à une f.e.m E. L'induit est en série avec une inductance de lissage L. 1. T est la période de fonctionnement; est un coefficient compris entre 0 et 1. Pour 0 < t < T H1 et H3 sont commandés à l’état fermé; H2 et H4 sont commandés à l’état ouvert. Pour T < t < H1 et H3 sont commandés à l’état ouvert; T H2 et H4 sont commandés à l’état fermé. a. Dans ces conditions, représenter sur l’annexe 1, à rendre avec la copie, la tension u(t) en fonction du temps. b. Exprimer la valeur moyenne U moy de u(t). Montrer que U moy =E c. Comment varie le signe de U moy en fonction de ?
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2. L’annexe 2 présente 4 cas de fonctionnement. Pour chacun de ces 4 cas, i(t) évolue entre une valeur minimale Im et une valeur maximale I M: la conduction est ininterrompue. a. Tracer u(t) et en déduire le signe de Umoy. b. Entre 0 et T, déterminer l'équation différentielle qui régit l'évolution de i(t). En déduire i(t) sur cet intervalle. c. Entre T et T, déterminer l'équation différentielle différentielle qui régit l'évolution de i(t). En déduire i(t) sur cet intervalle. d. Tracer l'allure de i(t) et en déduire le signe de I moy. e. Calculer l'ondulation i I M I m en fonction de , E, L et f. f. Quel est le régime de fonctionnement de la machine à courant continu ( moteur ou génératrice ) ? g. Compléter l’annexe 2, à rendre avec la copie, en indiqua nt pour chacun des cas les éléments du convertisseur en conduction. 3. On désire piloter le convertisseur avec une tension de commande Vc pour avoir la relation U moy = H VC où H est une constante propre au montage. L’ensemble ci-dessous sert à élaborer 2 signaux V 13 et V24 utilisés pour la commande des interrupteurs. +Vcc Vers la commande de H 1 et H3
Comp. - Vcc
V13 0V
VT
+Vcc Vc
Vers la commande de H 2 et H4
Comp. - Vcc
V24 0V
Les 2 comparateurs sont alimentés entre - V cc et + Vcc. La tension de sortie de chacun de ces comparateurs commute entre + V cc et - Vcc. Lorsque la tension de sorti e d’un comparateur est au niveau - Vcc, les interrupteurs associés sont commandés à la fermeture; quand cette tension est au niveau - V cc, les interrupteurs sont commandés à l’ouverture. La tension VT est est définie en annexe 3; sa période est T, elle évolue entre – VTM et + VTM. On considère le cas ou V C > 0 a. Représenter les signaux V 13 et V24 en complétant l'annexe 3, à rendre avec la copie. b. Calculer la date t 1 en fonction T, V C, VTM. c. Repérer T et l'exprimer en fonction de t 1. d. En déduire en fonction de V C et de VT M ; exprimer ensuite la constante H en fonction de Ua et V TM. ANNEXE 1 u Ua
t T
T
T+T
2T
- Ua
23/68
ANNEXE 2 Cas n°1
Cas n°2
u Ua
u Ua
t T/2 T
T
T/2 T
- Ua
- Ua
i IM
i
t T/2 T
T t
T/2 T
Im
T
IM Im
T
Conductions
Conductions
Cas n°3
Cas n°4
u Ua
u Ua T T/2
T
- Ua
T
T/2
T
T
T/2
T
- Ua
i
t T T/2
IM
T
i IM Im
Im
Conductions
t
Conductions
24/68
ANNEXE 3 Vt, Vc VTM
t 0
t1
T/4
T/2
3T/4
T
- VTM V13 Vcc
t 0
T/2
T
- Vcc V24 Vcc t 0
T/2
T
- Vcc
Exercice 13: QCM (Solution 13:) Entourer la ou les bonnes réponses. 1. Utilisation d'un hacheur a. Le hacheur permet le transfert de puissance entre deux sources continues. b. Le hacheur permet le réglage de la vitesse d'un moteur à courant continu.
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c. Le hacheur permet le réglage de la tension d'un transformateur. d. Le hacheur permet le réglage du courant de charge d'une batterie. e. Le hacheur permet d'obtenir un courant alternatif. 2. Commande d'un hacheur a. Un hacheur à demi-pont est commandé en agissant simultanément et de manière identique sur deux interrupteurs. b. Un hacheur à pont en « H » est commandé en agissant simultanément et de manière identique sur deux des interrupteurs placés en « diagonale ». c. La variable de commande d'un hacheur est le rapport cyclique = t1 /T. d. La valeur moyenne de la tension de sortie d'un hacheur série varie linéairement en fonction du rapport cyclique si le débit est continu. 3. Transfert de puissance a. Un hacheur série ne fonctionne que dans un seul quadrant. b. Un hacheur série transfère de la puissance de la source de tension vers la source de courant. c. Un hacheur parallèle transfère de la puissance de la source de tension vers la source de courant. d. Un hacheur quatre quadrants (en « H ») peut transférer de la puissance de la source de tension vers la source de courant. e. Un hacheur deux quadrants (en « H ») peut transférer de la puissance de la source de tension vers la source de courant. 4. Ondulations a. L'ondulation de courant d'un hacheur est maximale ( II max) pour = 0,5. b. En débit continu, l'ondulation maximale du courant II max. est inférieure à 2 I 0. c. Le rôle de l'inductance L est de réduire II max max. d. Le rôle de l'inductance L est de réduire VS. e. Le rôle du condensateur C S est de permettre à la source de tension « d'absorber » les discontinuités de courant de i s(t). f. Les discontinuités de courant de i s(t) sont également celles de i es (t). 5. Principe de fonctionnement du hacheur série Un hacheur série parfait alimente un moteur à courant continu. La résistance de la bobine de lissage est négligeable. On donne V 0 = 750 V.
a. b. c. d. e. f.
L'interrupteur K est un interrupteur unidirectionnel commandé à la fermeture et à l'ouverture. Le courant ik peut être positif ou négatif. Lorsque l'interrupteur K est fermé, la diode D est bloquée. iC= ik + id Le rapport cyclique a permet de régler la tension moyenne. La tension u évolue entre +750 V et +750 V.
6. Étude d'un point de fonctionnement particulier ( = 2/3) On fixe pour le hacheur précédent la valeur du rapport cyclique = 2/3 et une fréquence de hachage f = 600 Hz. La valeur de l'inductance est suffisamment grande pour que le courant i C, varie linéairement. Les valeurs instantanées de i C sont • à l'instant t = 0 iC = IC min = 250 A • à l'instant t = T iC = IC max = 450 A
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a. b. c. d. e. f.
La valeur moyenne de la tension vaut 500 V. La conduction de courant est ininterrompue. L'ondulation de courant est nulle car il y a une inductance de lissage dans la charge. La valeur moyenne du courant i, est de 300 A. Le hacheur utilisé permet de faire fonctionner le moteur dans les deux sens. Le hacheur étudié permet de faire fonctionner la machine à courant continu en génératrice.
7. Hacheur 4 quadrants On utilise un hacheur de structure suivante a. Les interrupteurs unidirectionnels H 1 et H3 sont commandés simultanément. b. Lorsque les interrupteurs K 2 et K4 sont fermés, u = E. c. Lorsque K1 et K3 sont fermés, un courant i positif dans la charge est conduit par les composants H 1 et H3. d. Lorsque K2 et K4 sont fermés, un courant i positif dans la charge est conduit par les diodes D 2 et D4.
Exercice 14: Ondulations en tension et en courant d'un hacheur série (Solution 14:) Un hacheur « série » est utilisé pour la commande en vitesse d'un moteur à courant continu à excitation séparée. La fréquence du hacheur est de f = 2 kHz. Le moteur est caractérisé par les grandeurs suivantes :
constante de f.é.m. K = 1,1 Wb ; moment d'inertie total rotor du moteur + charge J t = 0,2 Kg m2 ; résistance d'induit Ra = 2 ; inductance d'induit L a = 5 mH ; couple résistant total : T r = 6,05 N.m = couple résistant + couple de pertes ; ce couple est supposé constant avec la vitesse ; • vitesse angulaire nominale n = 50 rad/s. La source es(t) est la sortie d'un redresseur monophasé PD2 à diodes. Ce redresseur est alimenté par une tension alternative sinusoïdale : v(t ) V 2 sin S t avec V = 230 Volts et s = 100 rad/s. On rappelle le développement en série de Fourier de es(t) : • • • • •
eS (t )
2V 2
4V 2 1 1 1 t t t c o s 2 c o s 4 c o s 6 S S S 1 3 35 57
1. Calculer le courant nominal I n et la tension nominale V n du moteur. 2. La bobine d'inductance Ls est supposée « pure » (sans résistance). Expliquer pourquoi
Vs V s moy
V 2
.
Donner alors la valeur du rapport cyclique et du courant I s moy lorsque le moteur fonctionne dans les conditions nominales.
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3. On veut comparer l'ondulation de la tension vs(t) due au filtrage de e s(t) et celle provenant du courant i s(t). s2 1 a. Calculer l'ondulation crête vs ond 2 , vs ond 4 , vs ond 6 , obtenue en v s(t). On fera 4 LsC s b. Déterminer l'ondulation crête à crête Vs = Vs max – Vs min correspondant à la fréquence f du hacheur. Le courant dans le moteur est le courant nominal. c. Comparer vs ond 2 et Vs. Quelle valeur de L S serait-il nécessaire de choisir pour que ces deux ondulations soient égales ? (Dans les conditions les plus défavorables.) d. On choisit LS = 5 mH et C S = 4 000 µF. Que deviennent les ondulations ? 4. L'inductance de lissage du hacheur est l'inductance du moteur. En étudiant l'effet « roue libre », déterminer le cas où l'ondulation du courant iI dans le moteur est la plus importante. (On néglige les effets de la résistance R a.) Le débit est-il continu à charge nominale ? On ne néglige plus les effets de la résistance Ra. 5. Le hacheur sert à commander la vitesse du moteur. Déterminer la relation entre la vitesse angulaire , le rapport cyclique du hacheur, et le couple résistant T r 6. Le courant maximal pouvant être fourni par le hacheur est I I Max = 10 A. Déterminer : – l'accélération maximale possible du moteur associé à sa charge ; – la décélération maximale possible du moteur associé à sa charge. S
S
S
S
Exercice 15: Hacheur parallèle alimentant une batterie d'accumulateurs (Solution 15:) On s'intéresse au fonctionnement d'un hacheur parallèle survolteur (BOOST).
Dans ce qui suit, on considère que E est constant, et est une source continue. Le transistor T MOS MOS est saturé (conducteur) pendant T et bloqué durant (1 - ) T, où T est la période du hacheur, très petite devant la période du secteur (20 ms). 1. Exprimer iL en fonction de E, L, V s moy selon que le transistor est bloqué ou saturé. En déduire la condition nécessaire pour atteindre le régime permanent (i L(T) = iL(0)) 2. En déduire la relation entre V s moy, E et . Que se passe-t-il si le rapport cyclique tend vers 1 ? 3. En pratique, il faut tenir compte de la résistance r L de la bobine d'inductance L. Montrer que dans ces conditions : V smoy
E
1
r L R 1
4. Montrer que le rapport V s moy / E passe par un maximum en fonction de . Donner son expression en fonction de rL et R. 5. La charge R est remplacée par une batterie d'accumulateurs de tension constante E acc. La source E provient d'une dynamo. On admet, pour simplifier, que E = K . où est la vitesse d'une dynamo, et K la constante de la machine. La résistance totale Rt = rL+ Ra tient compte de la résistance de la génératrice et de celle de la bobine. On s'impose un courant donné I D moy de charge de la batterie. Déterminer la relation entre , , IDmoy , et Eacc (On déterminera la relation entre le courant I d moy et II moy en négligeant les pertes dans les résistances.) 6. On introduit ' = 1 - . On impose un courant de charge I D moy = 10 A, avec Eacc= 120V, K = 0,4 et R t = 1 . Déterminer la relation entre la vitesse et '.
Exercice 16: Machine en cycle robotique associée à un hacheur réversible (Solution 16:) (texte d'examen) On considère le hacheur réversible série-parallèle suivant, associé à un moteur à courant continu.
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Le moteur est de type AXEM dont les grandeurs nominales sont les suivantes : U n = 150 V ; I n = 33 A et vitesse nominale 3 000 tr/min. Le moment d'inertie total moteur + charge mécanique est J = 0,04 kg m 2. On donne : Résistance d'induit R a = 0,4 . Inductance d'induit L a = 0,2 mH. 1. Étude du Hacheur réversible série-parallèle : a. Représenter les formes d'onde u(t) et i s(t) pour un rapport cyclique > 0,5. b. Quelle est la différence avec un hacheur série ? c. Déterminer la tension U moy valeur moyenne de u(t) en fonction de V et le courant moyen I s moy de is(t) en fonction de I0, valeur moyenne de i(t). d. En déduire la formule donnant la puissance fournie par la source en fonction de , Umoy et I0. 2. On s'intéresse à l'évolution du courant et de la commande du hacheur, ainsi qu'au transfert de la puissance dans une période de cycle robotique. On donne t 1=0,5 s;t2=1,5 s;t3=2 s;t4=4 s;t5=4,5 s et ainsi de suite.
À vitesse stabilisée constante, le moteur accouplé avec la charge mécanique consomme I = 6 A. Ce courant d'induit I ne dépend pas de la valeur de la vitesse angulaire. On veut que le moteur décrive le cycle robotique périodique indiqué ci-dessus. La vitesse angulaire 0 = 314,16 rad/s, est la vitesse nominale du moteur.
a. Donner la nature de la charge mécanique utilisée. b. Préciser pourquoi le fonctionnement est hacheur série de 0 à t2 (puis de t4 à t6 et ainsi de suite) et pourquoi il est hacheur parallèle de t2 jusqu'à une valeur t ’3 < t3 que l'on déterminera. Quel type de hacheur aurait-il fallu utiliser pour obtenir le cycle robotique demandé ? Que se passe-t-il ensuite (après t'3 jusqu'à t 4...)? Donner l'allure réelle du cycle de la vitesse. On désignera par t' 3 l'instant d'arrêt du fonctionnement du hacheur, et t’’3 l'instant d'arrêt du moteur. Tracer l'évolution du courant I 0 dans le cycle robotique. c. En déduire l'évolution du rapport cyclique du hacheur. d. Donner l'évolution de la puissance fournie par le générateur continu d'alimentation du hacheur dont la tension est V S . e. En déduire la valeur moyenne de la puissance fournie P 0 par la source d'alimentation, de la puissance moyenne récupérée P r. par le hacheur parallèle sur une période du cycle et du rapport k = P r / P0. 3. On veut déterminer la fréquence et l'inductance de lissage les plus appropriées pour un bon fonctionnement de l'ensemble.
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a. Sachant que la période du hacheur doit être au moins 20 fois plus petite que la constante de temps L électrique e i du moteur, quelle serait la fréquence minimale de découpage du hacheur ? R
b. On choisit la fréquence du hacheur = 10 kHz. Quelle est la valeur de L, inductance à placer en série avec le moteur (dont on néglige l'influence de la résistance des bobinages) pour que la condition précédente soit vérifiée ?
d'examen) (Solution Exercice 17: Alimentation à découpage utilisant un hacheur réversible (texte d'examen) (Solution 17:)
On s'intéresse au comportement d'une alimentation à découpage destinée à assurer la charge d'une batterie d'accumulateurs. À partir du réseau alternatif, après redressement et filtrage, on obtient une source de tension continue, constante, supposée parfaite de tension U = 530 V. À partir de cette source, on veut charger une batterie de V sN = 48 V, en lui fournissant un courant nominal de I N = 75 A. L'alimentation à découpage consiste à utiliser un hacheur à plusieurs quadrants associé à un transformateur à noyau de ferrite. La fréquence du hacheur est de 20 kHz.
K1 et K’2 sont des transistors de puissance commandés à l'ouverture et à la fermeture selon un cycle de période T (fréquence du hacheur 20 kHz). K2 et K’1 sont deux interrupteurs identiques dont la nature sera déterminée plus tard. On suppose les interrupteurs interrupteurs parfaits, y compris les diodes D 3 et D4. Pour t [0, T] modulo T, les interrupteurs K 1 et K’2 sont fermés, et K 2 et K’1 ouverts. Pour t [ T, T] modulo T, les interrupteurs K 1 et K’2 sont ouverts. est le rapport cyclique du hacheur. On admet que le lissage du courant dans la bobine d'inductance L est parfait, et que le courant est constant, égal à IsN = 75 A. Le transformateur a pour rapport de transformation m. Le modèle est le suivant :
On donne : nombre de spires au primaire N1 = 40 ; – – nombre de spires au secondaire N2 = 8 ; L0 = 5 mH. 1. Que représente l'élément L 0 ? 2. Donner les relations entre les courants i 1, iL0, et i2, puis entre les tensions v 1 et v2. 3. Pour t [0, T] modulo T, la diode D 3 est conductrice. a. Que valent les tensions v 1, v2, v4 ? Donner les valeurs numériques. b. Dans quel état est la diode D 4 ? c. Établir l'équation différentielle relative au courant i L0(t). La résoudre. d. Déterminer la valeur maximale I LO Max. En déduire la valeur de qui permet d'obtenir I LO Max = 2,4 A.
30/68
4.
5. 6.
7.
e. En déduire l'expression du courant i 1(t). Pour t [ T, T ] modulo T, la diode D3 est bloquée. a. Montrer qu'en bloquant à l'instant t = T les interrupteurs K 1 et K’2, la conséquence en est que les interrupteurs K 2 et K’1 deviennent conducteurs. b. Quelle est la nature des interrupteurs K 2 et K’1, et donc le type de hacheur utilisé ? c. Que vaut alors la tension v 1 ? En déduire la valeur de v 2 et justifier le blocage de la diode D 3, et la conduction de la diode D 4. d. Que vaut i2(t) ? En déduire l'expression de i 1(t). À l'instant t = T, le courant i L0(t) s'annule. Déterminer la relation entre et . Que se passe- t-il ensuite ? Influence du rapport cyclique. a. Déterminer la valeur moyenne de la tension de sortie V s moy en fonction du rapport cyclique et du rapport de transformation. b. En déduire la valeur nominale N du rapport cyclique (V s N = 48V). c. Quelle est la valeur maximale du rapport cyclique permettant une démagnétisation complète du transformateur ? À quoi sert le condensateur C ?
Exercice 18:
BTS 1987 M.C.C. M.C.C. Alimentée par un Hacheur réversible réversible en courant (Solution 18:)
Cette épreuve comporte trois parties, liées entre elles, mais pouvant être traitées de façon indépendante. On se propose d'étudier une machine à courant continu alimentée par un hacheur à partir d'un réseau continu fixe, la charge entraînée présentant un couple constant quelle que soit la vitesse.
I \ Etude de la machine à courant continu :
L'excitation, réalisée, par aimant permanents, sera supposée constante ; par ailleurs la machine est parfaitement compensée. La f.é.m. est proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation : E = KE E en volts ; en radians par seconde. Pour cette machine, le constructeur donne les caractéristiques suivantes : tension nominale : 200 V courant nominal : 15 A constante de f.é.m., KE : 0,61 V.s.rad -1 couple de pertes à 3 000 tr/min : T P = 0,7 Nm (supposé proportionnel à la vitesse résistance de l'induit : R a = 0,45 ; inductance de l'induit : L a = 1,6 mH courant impulsionnel maximal : 100 A.
I-1 \ Déterminer, au point nominal, en fonctionnement fonctionnement moteur : a) la vitesse de rotation : n n (tr/min) et n (rad.s-1). b) le couple électromagnétique T em em . c) le couple utile T U . I-2 \ Le moteur fonctionne à vide. Calculer Calculer le courant dans l'induit par les les 2 vitesses de : 3000 tr/min et 1000 tr/min. I-3 \ La machine fonctionne en génératrice génératrice à vitesse nominale. Le moment du couple résistant résistant total est T r = 8 Nm. Calculer le courant d'induit et la puissance électrique échangée avec le réseau continu, lors d'un fonctionnement en récupération. I-4 \ A partir du point de fonctionnement fonctionnement nominal en moteur, on réalise un freinage freinage en récupération à courant induit constant Ia = 30 A et à couple T r constant, T r = 8 Nm. L'ensemble (rotor de la machine - charge) présente un moment d'inertie ramené sur l'arbre de la machine J = 0,33 kg.m 2. On négligera le couple de pertes de la machine. a) Ecrire l'équation différentielle régissant l'évolution de la vitesse angulaire en fonction du temps. b) Résoudre cette équation et donner l'allure de la courbe = f (t). c) En déduire la durée t 1 nécessaire pour atteindre la vitesse nulle avec récupération. d) Calculer l'énergie récupérée pendant la phase de freinage.
II \ Etude du hacheur hacheur alimentant alimentant l'induit de la machine à courant continu :
31/68
Soit le montage de la figure ci-contre . iR T1
v be1
D1
A
U R T2
v be2
D2
i L v
E
B
UR est une tension continue constante : U R = 200 V. L'inductance L représente l'inductance l'inductance globale de l'induit de la machine et de la bobine de lissage sans pertes : L = 11,8 mH. La f.é.m. E représente la f.é.m. développée par l'induit. Dans les conditions de fonctionnement, on a toujours : 0 < E < UR . T 1 et T 2 sont deux transistors de puissance jouant le rôle d'interrupteurs unidirectionnels commandés à la fermeture et à l'ouverture par leur tension v be. les temps de commutation et l'influence des circuits d'aide à la commutation sont négligés. - Pour vbe > 0 : le transistor considéré est saturé, - Pour vbe < 0 : le transistor considéré est bloqué. II-1 \ On commande commande périodiquement périodiquement T 1 (figure ci-contre). T 2 est maintenu bloqué (v be2 < 0). la conduction est continue, le courant est ininterrompu dans le moteur (i > 0). v be1
t
0
T
T
T + T
a) Montrer que seuls T 1 et D2 participent au fonctionnement en régime établi et faire les schémas utiles pour cette étude, étude, respectivement pour : 0 < t < T et pour T < t < T. b) Ecrire les équations différentielles vérifiées par le courant i (t) durant chaque séquence. c) En déduire l'expression i (t) pendant chaque séquence, en appelant I m et IM les valeurs extrêmes de i (t). On pourra poser t' = t - T. d) Montrer que I = IM - Im = et E = UR : f est la fréquence fréquence du signal v be1. e) Application numérique : En régime établi, le hacheur fonctionne à ondulation de courant I constante et à fréquence et rapport cyclique variables (commande par fourchette de courant), I = 1 A. 1) Calculer, pour n = 1 200 tr/min, les valeurs de et f. 2) Représenter Représenter i (t) si sa valeur moyenne vaut 15 A puis déterminer la fréquence fréquence maximale maximale de fonctionnement fM (on précisera la valeur correspondante de ). II-2 \ On commande périodiquement T 2 (figure ci-contre). T 1 est bloqué, continue (i < 0). v be2
t
0
U R
vbe1 < 0. La conduction est
T
T
T
T
T
T
T + T
v t
0
0
I0
i
t
I1
a) En régime établi seuls T 2 et D1 interviennent. En déduire les schémas utiles pour : T < t < T. b) Représenter l'allure de la tension v (t). c) Ecrire la relation liant v (t), i (t) et E. En déduire que l'on a : U R =
0 < t < T et pour
. 32/68
d) En écrivant les équations différentielles vérifiées par le courant i, donner l'allure de i (t). En déduire que
l'ondulation du courant s'écrit :
UR.
On notera I0 et I1 les valeurs de i à t = 0 et t = T. 1) Pour n = 1 200 tr/min, = 30 A et f = 4 kHz, calculer , I, I0 et I1 . 2) Calculer la puissance mise en jeu au niveau du réseau (U R , iR) en précisant le sens du transfert. 3) Quel est le type de réversibilité de ce montage ?
e)
II-3 \ Les transistors T 1 et T 2 sont commandés de manière complémentaire. La charge peut être active. Pour les trois valeurs du couple, on a relevé les oscillogrammes de courant. a) Déterminer pour chaque cas, la séquence de conduction des quatre interrupteurs. Que peut-on dire de la vitesse de rotation du groupe si a la même valeur dans les trois cas ? b) En considérant le cas 2 quel est l'avantage d'une commande complémentaire de T 1 , T 2 par rapport aux fonctionnement envisagés aux § II-1 et II-2 ? v be1
t
0
v be2
t
0
i cas 1
t
0
T
T1 D 1
T
T2 D 2
cas 2
i
t
i
t
0 T1 D 1 T2 D 2
0 cas 3 T1 D 1 T2 D 2
III \ Commande en courant de hacheur :
On réalise le contrôle du courant dans la machine à courant continu avec le montage de la figure cidessous. Les amplificateurs opérationnels sont alimentés sous les tensions suivantes : + V CC , 0 , - V CC . Ils sont considérés comme parfaits : En fonctionnement linéaire, la tension différentielle d'entrée = e+ - e- = 0. Les courants d'entrée I + et I- sont nuls. En commutation : la tension de sortie vaut + V CC si e+ > e- et - VCC si e+ < e-. Le changement d'état de la sortie lors d'un basculement est instantané. -VCC
U R = 200 V R 3
i-
R 1
T1
A1
R 2
V ref
A2
v1 R 6
R 4 R 5
Commande des bases de T1 et T2
v2
D1
i L
A
T2
D2 B
masse circuit de puissance
v s
E
masse de l'alimentation des A.O
i+
ee+
+VCC
v3
R1 = 10 k ; R2 = 1 k ; R3 = 50 k R4 = 1,2 k ; R5 = 68 k ; R6 = 820 L = 11,8 mH ; s = 0,01 ; VCC = 15 V
III-1 \ Déterminer la relation liant V1 , Vref et i en fonction de R 1 , R2 , R3 et s. III -2 \ a) Mettre cette relation sous la forme : V 1 = A (i - Iref) avec Iref = k Vref . b) Exprimer et calculer A et k. Pour la suite, on posera : j = i - I ref V1 = A j. III -3 \
33/68
a) Déterminer la caractéristique de transfert V 2 = f (V1) du montage comparateur à hystérésis réalisé avec l'amplificateur opérationnel A 2 . b) Calculer les valeurs numériques de la tension V 1 provoquant les basculements. c) En déduire que les valeurs des seuils en courant j + et j- sont : j+ = + 0,52 A, et j - = - 0,52 A. III -4 \ En régime régime établi : E = 150 V ; I ref = 10 A ; = 0,75. a) Justifier la valeur de ? b) A l'instant t = 0 ; i (0) = 9,5 A et V 2 = V CC . Pour quelles valeurs de i observera-t-on un basculement de la tension V2 ? c) Tracer l'évolution des courants i et j et de la tension V 2 .
Exercice 19:
Régulation de vitesse (Solution 19:)
Le dispos dispositi itiff repr représe ésenté nté,, dest destiné iné à rég ul er en vi te ss e un mo te ur à couran courantt conti continu, nu, compor comporte te un circuit de commande, un hacheur série, un moteur à courant continu (M) et une dynamo tachymétrique (DT).
I. Étude du moteur Celui-ci est à excitation indépendante. Le flux est maintenu constant. La f.é.m. E est proportionnelle à la vitesse angulaire : E = k. avec k = 1,53 V.rad -1.s . Résistance de l'induit : R = 2,0 . Tension nominale d'induit : U = 180 V. Intensité nominale d'induit : I= 10 A . Calculer pour le fonctionnement nominal 1) La force électromotrice E. 2) La vitesse angulaire et la fréquence de rotation n en tr.min -1. 3) La puissance électromagnétique Pe, et le moment du couple électromagnétique T e. II. Étude du hacheur 1. La tension ug commande l'interrupteur électronique H. C'est une tension en créneaux représentée sur le document-réponse situé en fin d'énoncé. Calculer sa fréquence f et la valeur de son rapport cyclique . 2. Analyse du fonctionnement du hacheur L'interrupteur H et la diode D sont supposés parfaits. La tension d'alimentation est : V = 300 volts. Quand ug > 0 V, l'interrupteur H est fermé. Quand ug < 0 V, l'interrupteur H est ouvert. a) Donner les valeurs de u H et de u pour chacune des deux phases de fonctionnement du hacheur, sachant que le courant dans le moteur ne s'annule jamais. b) Représenter sur le document réponse les graphes u(t), i H(t) et iD(t). c) Exprimer la valeur moyenne de u(t) en fonction de V et de . d) Rappeler la valeur moyenne de uL(t). Exprimer alors en fonction de E, R et , valeur moyenne de i(t). Dans les conditions du document réponse, donner la valeur de . En déduire la valeur numérique de E. e) L'ondulation du courant peut se caractériser par I ma x - I mi n , où I ma x et e t I min sont les valeurs extrêmes de l'intensité du courant.
34/68
On donne :
I max I min
V 1 Lf
Indiquer deux façons de diminuer l'ondulation pour une v aleur de donnée. Calculer la valeur de l'inductance pour avoir un fonctionnement conforme au document réponse ci-dessous.
Exercice 20:
Régulation de température (Solution 20:)
Dans ce problème, on étudie un dispositif autonome, qui permet, en fonction de la température, de brasser plus ou moins d'air selon le schéma fonctionnel indiqué ci -dessous. I. Étude du comparateur Le comparateur permet de générer les signaux de rapport cyclique variable, commandant le hacheur. Sa structure comprend un AO considéré idéal, alimenté symétriquement symétriquement entre +15 V et 15 V. v(t) est une tension triangulaire fonction du temps, représentée sur le document -réponse. 1. Quel est le mode de fonctionnement de l'amplificateur opérationnel A2 ? 2. Quelles vont être les valeurs prises par la tension v s2 ? 3. Écrire les conditions de basculement de v s2 en fonction des tensions d'entrées du montage. 4. Pour la valeur intermédiaire v S1 = 5 V, tracer ci-dessous l'allure de la tension v S2 (t).
II. Étude du hacheur
35/68
Le transistor T utilisé possède les caractéristiques suivantes: VCE sat = 0 V VBE = 0,6 V , VCC = 15 V VS2 = ±15 V La diode D est supposée idéale.
1. Le m ont age fon cti onn e e n ré gi me de commutatio commutationn (bloqu (bloqué-sat é-saturé uré). ). Pour Pour quelles quelles valeurs valeurs de V S2 le transis t ransistor tor est-il est-i l bloqué bl oqué ou satur aturéé ? 2. Déterminer le courant IBsat, lorsque le transistor est saturé. 3. On appe appellllee u la tens tensio ionn aux aux born bornes es du dipô dipôle le c o ns ti t ué pa r l e m ot eu r M et l a b ob i ne d'in d'indu duct ctan ance ce L. Montrer, en faisant un schéma équivalent, que u=V CC lorsque le transistor est est saturé. 4. On considère maintenant le transistor bloqué. Déterminer la tension u lorsque le transistor se bloque. Expliquer le rôle de la diode D. 5. Compléter le document-réponse suivant, où vous tracerez l'allure de la tension u en concordance des temps avec la tension de commande V S2
6. La valeur moyenne de u s'écrit : U V CC , où désigne le rapport cyclique. Calculer la valeur de , au vu de l'allure de u(t). Calculer la valeur moyenne U . 7. Quel est le rôle de l'inductance L ? Que peut-on dire de la valeur moyenne de u L(t) notée U L ?
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Solutions Solution 1: Exercice 1:BTS 1:BTS 1995 1995 Etk Nouméa Hacheur série (Solution (Solution 1:)
1°)
Pour 0 < t < T, l'interrupteur H est fermé donc v = Ub =72 V; • pour T < t < T, l'interrupteur l'interrupteur H est ouvert, •
comme l’inductance impose que le courant
continue à circuler, il passe par la diode qui est passante donc v=0 2°) On écrit la loi des mailles v u L u di
vL
dt
v L
i uL=Ldi/dt
u di dt
L
u L
di
Ub=72 V
u
u
v
dt
charge
0
vmoy U moy
D’après le cours
Ub=72 V
U moy U b
U moy U b
65 72
T
0, 9 v
Pour avoir umoy il faut =0,9
T U b T
T
U b
3°) a) Entre 0 et T le modèle équivalent revient à u La loi des mailles donne L
Ub uL E 0
i L
Ub=72 V
Umoy=E
On remplace Ub L di
u L par L
di dt
di
E dt U b E
dt L On se retrouve avec la dérivée d’une fonction qui est une constante donc la
fonction est une fonction affine i(t )
U b E L
à t 0
i(t )
3°)b) pour t=T on atteint I max
t C te
i (0) I min C te U b E L
t I min ou i (t )
U b U moy L
C’est un courant croissant qui croitra jusqu’à
t I min
T où il atteindra I max max 37/68
Donc i(T )
Ub U moy L
Donc I I max I min
T I min I max
U b U moy L
T
Comme U moy U b alors I I max I min T
Donc en remplaçant
1
U b U b L
T
et en factorisant par U b on obtient I
U b 1
Lf f 3°) c) Pour savoir où se trouve le maximum de cette fonction il faut d’abord étudier la dérivée
I ( ) d I d
d I d
U b d 1 d
Lf
U b d
2
d
Lf
U b
1 2 Lf
La dérivée s’annule lorsque
d I d
U b Lf
1 2 0 donc si 1 2 0 soit
On obtient donc un maximum d’ondulation pour
L’ondulation vaut alors I max
I ( ) I ( )
U b 1
0
2
1 2
11
22
Lf
U b
4 Lf
1/2 0
+
1
1 -
U b
4 Lf 3°) d) Si l’on veut limiter l’ondulation à 2A U I max b 4 Lf
L
U b
4 I max f
72 4 2 500
18 103
Il faut donc une inductance i nductance d’au minimum 18mH pour limiter l’ondulation du courant à 2 A 3°) e) E=Umoy=65 V alors que U b=72V donc le rapport cyclique vaut Au fonctionnement nominal la valeur moyenne du courant est de 8 A Donc U b 1 72 1 0, 9 0, 9 I
Lf
18 103 500
65 72
0,9 0, 9
0,72
Le courant oscille autour de sa valeur moyenne nominale soit 8 A avec une ondulation de 0,72 A. Soit 0,72/2=0,36 A de chaque côté de 8 A. Soit entre 8-0,36=7,64 A et 8+0,36=8,36 8+0,36=8,36 A.
8,36A
0,72 A
8A
7,64A
38/68
4°) Le relevé du courant se fait par le biai s d’une pince ampèremétrique (ou d’une résistance de visualisation) et un oscilloscope. 5°) a) L’ondulation du courant en conduction ininterrompue serait de U 1 72 1 0, 56 0, 56 I b 1,97 A Lf 18 103 500
Or comme le courant moyen est de 0,42 A la valeur de I min serait I min I moy
I 2
0, 42
1,97 2
0, 57 A <0 donc la conduction est interrompue car la diode ne peut faire
conduire un courant négatif. U moy U b
U moy 0,56 ,56 72 40,32 ,32
5°) b) si le courant s’annule de t 1 à T , donc la diode s’ouvre,
5°) c)
v=uL+u or uL =0 car i=0 donc v=u la tension d’induit du moteur persiste à E= 53 V donc v=u=E le courant moyen est de 0,42 A 53 V =0,56
72 V 53 V
Rien ne D conduit conduit
H conduit
uL i L
Ub=72 V
v
u charge
0,42 A
Remarque : on peut chercher les valeurs atteintes du courant i ( T ) I max
U b U moy
L 72 53
0, 018
T I min I max
0, 56
1 500
0 1,18 A
Le temps t1 sera atteint lorsque le courant redescendra à 0 Or lors de la décroissance t'
1,18 ,18 0,018 53
E L
di dt
i (t ')
53 L
t ' I max donc le courant atteint 0 lorsque
0, 4ms
Comme T=2 ms , T=0,56x2=1,12 ms donc t 1=1,52 ms On peut vérifier cette valeur avec la valeur moyenne du courant I moy
1,18 1, 52
0,448 différent de la valeur donnée de 0,42 mais cette valeur peut être issue de 2 2 l’expérience or on n’a pas pris en compte les valeurs des résistance de l’induit, et de la bobine
39/68
Solution 2: Exercice 2:Hacheur série conduction continue et discontinue Solution 3: Exercice 3:Association hacheur dévolteur et survolteur Solution 4: Exercice 4:BTS 1984 commande en vitesse de MCC par hacheur
1. 1.1. K = 0,955 Wb 1.2. T 0 = 1,43 Nm ; Te = 9,55 Nm ; Tu = 8,12 Nm 1.3. T 0 = 1,43 Nm pour tout . 2. 2.1. moy
T e K
di ; L
dt moy
0 ; Vmoy = E = K
w(t) et v(t) sont périodiques de période T : de 0 à T : v(t) = U et w(t) = 0 de T à T : v(t) = 0 et w(t) = U E = U ; 1000 = 0,5 ; 1500 = 0,75 2.2. U E L 2.3.
0 E L
2.4. i
UT L
di dt di dt '
;
i(t )
U E L
; i t '
1
t m
E L
t ' M
;
i(t )
E L
t T M
; i est maxi pour = 0,5
2.5. L = 12,5 mH 2.6. i(t) est une dent de scie entre 3,5 A et 6,5 A, en croissance entre 0 et 0,75 T. 3. 3.1. On a i = 3 A et I moy = I0 = 1,5 A donc on est en limite de conduction continue 3.2. 3.2.1 Comme T 0 = cte pour tout , à vide Imoy = 1,5 A pour tout . Pour que la conduction soit ininterrompue il faut que l’ondulation soit inférieure à 3 A. Or d’après la question 2.4. et avec U = 200 V, f = 1 kHz et L = 12,5 mH on a i = 16 (1 - ). La courbe i() est une parabole dont la concavité est « vers le bas ». Son maximum est à = 0,5 et i = 4 A. Pour = 0,25 et = 0,75, i = 3 A. En conduction ininterrompue pour que la vitesse soit comprise entre 500 et 1500 tr/mn il faut que 0,25 ≤ ≤ 0,75. Alors i ≥ 3 A donc la conduction ne peut plus être continue.
Les courbes v(t) et i(t) sont périodiques de période T : de 0 à ’T : v(t) = U et i(t) croît linéairement de 0 à Imax. de ’T à t0 : v(t) = 0 et i(t) décroît linéairement de I max à 0. de t0 à T : v(t) = E et i(t) = 0. 3.2.2 Vmoy = E puisque i(t) est périodique. La courbe v(t) montre que Vmoy. t 0 = U. ’T donc : E. t0 = U. ’T. En conduction ininterrompue on aurait E = .U donc .t0 = ’.T.
Solution 5: Exercice 5:BTS 1994 Métro HACHEUR A TRANSISTORS 4 QUADRANTS
1. Etude du fonctionnement du moteur 1-1 Etude de la tension u h : T 2 et T 4 sont bloqués, T 1 et T 3 sont passants de 0 à T et bloqués de T à T 1-1.1 Entre 0 et T , T 2 ,T 4 sont bloqués T 1 et T 3 sont passants Alors : uh = VS uh = 300 V de 0 à T ; 1-1.2 Entre T et T , T 2 ,T 4 ,T 1 et T 3 sont bloqués, Le courant dans la charge est maintenu, donc il doit circuler par les seuls éléments possibles , D 1 et D3 sont opposés au sens du courant, il ne reste plus que D 2 et D4 pour faire passer le courant.
40/68
D2 et D4 passantes Donc par une loi des mailles passant par D 2 et D4 uh = - VS uh = - 300 V de T à T. uH VS=300
T
T
-300
1-1.3
Calcul de u hmoy hmoy , uh uh uh uh
VS T VS T T T VS T T T T VS 2 T T
T V S 2 1
Alors Uhmoy > 0 si > 0,5. Si = 2/3 Uhmoy = 100 V. 1-1.4
uh L2
On voit figure 2 que
dia dt
U a .
En fonctionnement périodique, la valeur moyenne de L2 1-2 Etude de i a. 1-2.1 Pour 0 ≤ t ≤ T : L2
dia dt
Alors
dt
étant nulle on a U hmoy = Ua.
uH VS=300
VS U a .
T
T
-300
ia (t )
VS U a L2
t m
T 1
ia T I M
VS U a L2
On sait de plus que Donc I M
D2 Uh
Uh
Pour trouver ia On regarde la valeur atteinte par ia ( T ) I M
Vs
K ia
Vs
H
K
L2
ia Ua
T 3
D4
H
L2 Ua
T m
uh U a V S 2 1 que je remplace dans l’équation précédente
VS V S 2 1 L2
T m
Soit en factorisant VS : ia I M m
dia
V S 1 2 1 L2
T
41/68
Donc ia ia
2 V S 1 L2
2 300 1 2 0,1
3
T
2
1, 2 103 1, 6 A 3
1-2.2 Pour T ≤ t ≤ T
en posant t’ = t – T : di L2 a U a V s dt ' di L2 a VS 2 1 V s dt ' di L2 a 2 V S dt ' Alors on en déduit l’expression de ia(t) 2 V S dia dt ' L2 ia t
2 V S L2
t C te
Le courant étant décroissant à t’=0, on est parti de I M 2 V S t M Alors ia t L2 D’où le grap he de i a(t) : avec amoy = 4 A et ia = 1,6 A M = 4,8 A et m = 3,2 A. uH VS=300
T
T
-300 ia 4,8 4 3,2
De 0 ≤ t ≤ 2T/3, ia(t) évolue en rampe croissante de 3,2 à 4,8 A. De 2T/3 ≤ t ≤ T, ia(t) évolue en rampe décroissante entre 4,8 et 3,2 A. 2. Freinage Même sens de rotation même signe pour Ua > 0 et amoy < 0.
42/68
L’onduleur de la première partie ne convient pas car les thyristors imposent 0, donc amoy > 0.
On doit donc utiliser un deuxième pont en antiparallèle (montage tête-bêche) sur le premier. T 1 et T 3 resteront bloqués. On commandera T 2 et T 4. Qui conduiront de T à T. Et D1 et D3 conduiront pendant le reste du temps (D 2 et D4 ne peuvent pas conduire car ils sont opposés au sens du courant) Pour que Uhmoy, donc Ua > 0 il faut que < 0,5. T 2
D1
D2
Uh Vs
K ia D4
H
L2 Ua
T 4
D3
FIGURE 2
Solution 6: Exercice 6:BTS 2007 Nouméa Etude de Hacheur parallèle
B.1 - Exploitation des chronogrammes du document réponse B.1.1 –
T H
B.1.2 – T T = 50 µs donc B.1.3 - H
f
DH
1
50 106 durée de fermeture fermeture période période
T H
DH
kHz 20kHz donc f 20kHz
15 50
0, 3 donc le rapport rapport cyclique est de H 0,3 0,3
B.1.4 – Quand Quand T H ne conduit pas D H conduit donc uT EC 275 V Pour trouver on peut procéder de 2 manières : 275 50 15 uT
192,5 V
•
L’analyse de la courbe
•
On peut se servir des données du texte : U C est constante et égale à 192,5 V
UC L
di dt
UC L
50
uT di dt
uT 192,5
0
43/68
L’analyse de la courbe de i L donne
i L
6,3 5,7
6A 2 i L 6, 3 5, 7 0, 6 A
B.1.5 - L’analyse de la courbe de i L donne B.2 - Valeur de L B.2.1 – Entre Entre 0 et 15 µs , T conduit donc u T =0 =0 et UC = uL Entre 0 et 15 µs la bobine étant soumise à la tension u C. U C L
La tension aux bornes de la bobine vaut Donc
di L dt
di L
.
dt
U C L
En intégrant l’expression i L (t )
U C L
t c
te
I min
La constante est trouvée en cherchant la valeur de
i L (0)
Comme le courant croit, il part de sa valeur minimale soit B.2.2 – En En regardant aux extrémités de cette équation.
U C
0 cte donc
L te i L (0) c I min
L’équation fait apparaître un coefficient directeur positif donc la courbe décrit la phase de croissance du
courant. Le courant va donc croître : • de Imin pout t=0 • à Imax pour t=T. i L (T )
U C L
T I min I max . i I max I mi min
B.2.3 – On – On déduit de l’expression précédente L
U C
i f
UC L
T i
192,5 92,5 0,3 20 103 0, 6
L = 4,8 mH B.3 - Constitution de la bobine
U C Lf H
4,8 mH
Donc l’inductance est
B µ 0
e
B µ f
L f N iL
e = 2,3 mm Lf = 20 cm S = 1 cm2 N = 300 µ o = 4.10-7 SI µ f de la ferrite est infinie.
B.3.1 – Le Le flux à travers la section du matériau ferromagnétique est SB et
B µ 0
e
B µ f
L f N iL
L f N i L S µ 0 µ f S N i L µ 0 S N i L µ0 S N i L Donc donc L e e e f
Donc
e
µ 0
µ f
négligeable
B.3.2 – On On nous rappelle que B.3.3 – Calcul Calcul : L
L
N i L
en remplaçant dans l’expression précédente
1 104 3002 4 107 2,3 103
L
S N 2 µ0 e
4, 9 mH Donc L = 4,9 mH Proche du résultat de la question B.2.3. 4,9
44/68
- Charge de la batterie : Hacheur série EB = 96V = 5A UC = 192,5 V Le transistor T' H est commandé par le système de contrôle : il devient passant lorsque i' L descend à 4A, il se bloque lorsque i' L atteint 6A. On donne L' = 1 mH .
D.1.1 – Si T’ H H conduit conduit L’ est soumis à la tension UC-EB donc L '
UC - EB = 192,5-96 > 0 Si T’ H H ne ne
diL dt
U C E B et i’L croit car
conduit pas donc D’ H conduit donc L’ est soumis à la tension E B donc L
di L dt
E B donc i’L
décroit
D.1.2 –
Le problème nécessite de savoir en combien de temps s’effectue la croissance et la décroissance du
courant. Pour cela on peut chercher au bout de combien de temps les équations différentielles atteignent les extrêmes. • Pour que l’on croisse de 4 à 6 A donc i L 2 A , on obéit à la première équation différentielle trouvée : L '
diL dt
U C E B . Donc U C EB L
i L iL 2 t1 L 1 103 2, 07 10 5 soit t1 U C E B 192,5 96
20,7 µs • La phase de décroissance de 6 à 4 A, on obéit à la deuxième équation différentielle trouvée i L i 2 t2 L L 1 103 2, 08 10 5 soit 20,8 µs 96 t2 E B 07 105 2, 08 08 105 4,15 105 soit f=24kHz Donc T t1 t 2 2, 07
Or E B L
On peut aussi procéder à une autre approche : Si l’on se souvient que E B U C on en déduit
Comme on a démontré en question B.2.2. i f
E B
i L
96 0,5 2 1103
uC Lf
E B U C
0, 5 0,5
f
uC
i L
donc appliqué à notre montage
24 kHz soit f=24kHz
45/68
D.1.3 D.2 - Production d'une tension sinusoïdale D.2.1 – (1) impossible (96 V à la charge impossible) (2) OK (3) impossible (d’avoir 0V)
(4) impossible (96 V à la charge impossible) (5) impossible (d’avoir 0V)
(6) OK
D.2.2 -
N 2 N1
U 2 f U 1 f
230 40
5,75 .
D.2.3 - Lf, Cf filtre les harmoniques et laisse donc passer le fondamental
Solution 7: Exercice 7:BTS 2003 Nouméa Etude de Hacheur
2.1. Etude en traction 2.1.1. La conduction d’une diode se détermine par l’étude de la tension de celle -ci : uD’ La loi des mailles permet d’écrire V= u Ktr - uD’ Comme Ktr est fermé uKtr=0 Donc uD’=-V < 0 donc D’ est bloquée. 2.1.2. D’ est bloquée sur toute la période , lorsque H est bloqué cela entraine la mise en conduction de D. Les intervalles où les interrupteurs conduisent sont hachurés sur le document réponse 1
46/68
2.1.3. La valeur moyenne de u est
UO
Aire T
On a u E u L soit en valeur moyenne
T V T
V donc UO V
u E u L E U 0 0
car la valeur moyenne de la tension aux bornes d’une bobine est nulle. U 0 E
2.1.4. Lorsque H est passant, entre 0 et T, uH=0 et comme : v u H uD alors u D v Lorsque H est bloqué, entre T et T, D est passante passante donc uD=0, uH=V
2.1.5. Lorsque H est passant, i H=i, 0 sinon. Lorsque D est passante, i D=i, 0 sinon
En passant par les aires on détermine les valeurs moyennes I H 0
TI m T
1
2 T
I M I m
I M I m
2
I donc
1
I D0
donc
1 TI m 1 T I M I m 2
T
I D0 1
1
I M I m
2
I I m I H 0 M 2
1 I
I M I m
2
2.1.7. Entre 0 et T, la loi des mailles nous donne
47/68
u L1
V L1 di dt
di dt
u L1
E
L1
V E V 1 L1
L1
donc
A t=T, on atteint le maximum donc
i(t )
V 1 L1
i ( T ) I M
t Im
V 1 L1
T I m
On en déduit donc l’ondulation du courant V 1 i I M I m T L1
i
V 1 f L1
2.1.7. A.N. L1
V 1 f i
375 0, 75 75 1 0, 75 300 400 350
L’inductance nécessaire est de L1 =
0,00469 H
4,7mH
2.2. Etude en phase de freinage 2.2.1. de 0 à T, seuls H et D’ peuvent être passants. La maille dans laquelle circule le courant est 2.2.2. de T à T, H ouvert, seules D et D’ peuvent être passantes. La maille dans laquelle circule le courant est 2.2.3. Comme évoqué plus haut
2.2.4.
La valeur moyenne de u se calcule immédiatement : U 0 1 V 2.2.5. Entre 0 et T , d’après la question 2.2.1. j(t)=0 Entre T et T, d’après la question 2.2.2. j(t)= -i(t)
La valeur moyenne de j(t) vaut
I m I M 2
J 0 1 I 1
2.2.6. L’expression de P 0 est P0 V j(t ) V j(t)
48/68
Donc P0 V J 0 0 La source reçoit de la puissance, la MCC fonctionne donc en génératrice 2.2.7. Application numérique :
I m I M 300 325 375 1 0,1 105, 5 kW 2 2
P0 V 1
La MCC restitue donc 105,5 kW Solution 8: Exercice 8: BTS 2002 Métropole Etude de Hacheur en conduction ininterrompue
1°) Hacheur simple 1.1) Pour 0
Donc
uG1 u L V O
V
1.4)
Soit uG1 V Tracé de uG1
1.5)
On en déduit la valeur moyenne de u G1 uG1 1 E On en déduit uG1 V uG1 1 E
Donc V 1 E soit E Application numérique : 1
1.6)
V E
1
1, 5 2,75
V
1
0, 455
Equation différentielle différentielle du courant courant de de 0 à T (G 1 fermé) La loi des mailles nous donne V u L L
Donc
di L
di L dt V
donc c’est équivalent à L y a y( x) a x C te V Donc i L (t ) t C te L V i L (0) 0 C tete C te L dt
L
D2
i1 uG1
V
id2 E
G1
C0
e g r a h C
iG1
La constante est la valeur de départ (t=0) et sachant que le courant croit par la suite (E/L>0) alors on pourra prendre
49/68
pour constante i L (0) imin Donc 1.7)
V
i L (t )
L
t imin
Equation différentielle différentielle du courant courant de de T à T (G 1 ouvert) La loi des mailles nous donne
L
V E u L V EL
V
dt V E
Donc Donc
i L (t )
dt
uG1
di
di L
D2
i1
L V E
id2 E
G1
C0
e g r a h C
iG1
t C te
L On considère le temps t’ qui commence à T Donc t’=t-T V E i L (0) 0 C tete C te L
La constante est la valeur de départ (t=0) et sachant que le courant décroit par la suite (E>V) alors on pourra prendre pour constante i L (0) imax Donc
i L (t )
V E L
t imax
De plus on sait que E Donc Soit
V
V
1
V
1 t i L max L V 1 i L (t ) 1 t iL max L 1 i L (t )
On met au même dénominateur i L (t )
Donc
V 1 1
t imax L 1 V i L (t ) t imax courbe décroissante L 1
Et i L (t ) est donné en changeant t’=t -T Donc 1.8)
i L (t )
V t T imax L 1
Tracé de iL et iG1
50/68
1.9)
Ondulation du courant Le courant Donc
i L (t )
V L
t imin atteint son maximum pour T
i L (T ) imax
Donc i L
imax imin
2
V L
T imin donc imax imin 1 V 2 L
T soit i L
V L
T
V 2 Lf
Si =0,45 Alors i L
0, 451500 1500 2 5 103 300
225 A
2°) Hacheur à commande décalée 2.1) Représentation de i’ 1(t)
2.2)
La loi des nœuds donne i i1 i1 La fréquence de l’ondulation est double de celle
de i1 soit 600 Hz 51/68
2.3)
Pour 0
V L
di1
et
dt
V 1 L
Comme i i1 i1 alors di
Donc
dt di
Donc 2.4)
dt
V
di
dt V
L 1 L 1 2 V
di1
soit
dt di
di1
dt V 1 dt L 1
1 L
Pour 0
2
i 1 2 V t 1 L
t T 2 i
Avec
1 2 V
T 1 L 1 1 2 V i T 2 1 L
i
1 2
2 Lf
V
1 E
2.5)
Pour =0,45 : on obtient 1 2 i i
2 Lf
E
0, 45 45 1 2 0, 45 45
2750 2 5 10 3 300 i 41,3 A L’ondulation est bien réduite Solution 9: Exercice 9:BTS 2000 Nouméa Convertisseur en Hacheur
On reconnaît ici la structure d'un hacheur 2 quadrants réversibles en courant avec commande complémentaire. Cette commande permet d'avoir la même allure pour la tension U 0 et le courant i que l'on soit en génératrice ou en moteur. C'est le signe de I qui va s'inverser lors du passage entre les deux fonctionnements. A.1.1) La constante de vitesse K intervient dans la relation : E = K avec N L'équation de l'induit appliquée au point nominal donne : La fem du moteur est donc de 340 V La constante de vitesse K vaut : K
U N RI N 2 n N 60
soit
K
2
nN 60 10 340 E N U N RI N 350 110
350 110 1,62 2 2000 60
La constante K vaut 1,62 V.rad -1.s A.1.2)
La relation entre le moment du couple et le courant est: Tem K I A.1.3) TemN K I N Nm 1,62 10 16, 2
Le couple nominal est de 16,2 Nm.
52/68
A.2) On néglige R. La présence de l'inductance va lisser le courant d'induit et on aura affaire à des portions de droites. A.2.1) En fonctionnement moteur. D 1 et T 4 ne peuvent être passants (à cause du sens du courant). Les composants susceptibles d'être passants ne peuvent être que D 4 et T 1. Vu la séquence de commande : T 1 sera passant de 0 à T, D4 de T à T A.2.2) Donc entre 0 et T : T 1 passant donc uM = UO T et T : Et entre D4 passant donc uM = 0. uM U0
T
A.2.3)
La relation entre uM et E est donnée par la loi des mailles : u M = uL + E E étant considéré comme lissé. En passant aux valeurs moyennes, on obtient: obti ent: = + E = E Donc = E car la valeur moyenne de la tension aux bornes d'une inductance est nulle. La valeur moyenne de u M vaut : = Uo (en passant par le calcul d'aire). La f.é.m. E a pour expression : E=U0 E = 0,6 x 480 = 288 V Donc la fem E est de 288 V
A.2.4)
Pour trouver l'équation différentielle qui régit le courant i, remplaçons l'équation (2) : Soit
di
u M L
di dt
u L L
di dt
, et E par Uo dans
U 0 .
u M U 0
dt L Entre 0 et T : uM = U0.
L'équation précédente devient
Donc i(t )
U 0 1 L
c
t C te
Comme à t=0 : i(0)= I min alors i(t )
U 0 1
A t=T: i(T)=Imax donc i(T ) I max Donc I I max I min On obtient : I
U 0 1
L U 0 1
T et en remplaçant T par 1/f
L f
Application numérique : I
t I min L U 1 T I min 0 L
U 0 1 L f
480 1 0, 6 0, 6 18 103 20 103
3,2 3, 2 A
53/68
Imax I Imin
T
T
Comme I = 3,2 A alors que I = 10 A , I max est alors égal à 10+1,6= 11,6 A et I min=10-1,6= 8,4 A A.3) Etude du fonctionnement à vide A.3.1) La machine est à vide donc le moment du couple résistant est nul. Comme on néglige toutes les pertes (donc on néglige le couple de pertes) : T e = T r = 0 ; donc, d'après la relation couple courant pour une machine à courant continu T e =KI =0 donc I = 0 A. A.3.2) Imax I
T
T
Imin
A.3.3)
Comme I = 3,2 A est inchangé, les valeurs minimale I min et maximale Imax du courant i(t) valent : I min =1,6 A et Imax=+1,6 A Imax I
T
T
Imin T 1
D1
T 4
D4
Afin de tracer i(t), il nous reste à déterminer les instants t 1 et t2 où i s'annule respectivement entre 0 et T et T et T. La période T est de 50 µs donc T= 30 µs soit t 1=15 µs et t2 = 40 µs A.4) Fonctionnement en génératrice La machine fonctionne en génératrice tout en conservant le même sens de rotation : il y a inversion du moment du couple électromagnétique donc du courant. Le courant i est alors négatif. Compte tenu des valeurs indiquées de sa valeur moyenne et de son ondulation, il ne s'annule pas sur une période. T 1 et D4 ne peuvent alors pas être passants. De plus, entre 0 et T, T 4 n'est pas commandé, seule D 1 peut alors être passante. Entre T et T, T 4 sera passant. A.4.1)
L'équation différentielle qui régit le courant est toujours l'équation:
di dt
u M U 0 L
(On sait toutefois que le courant est négatif). - Entre 0 et T : D1 est passante. On a alors : u M = U0, et l'inductance se charge. di(t ) U 0 1 L'équation devient : . dt
L
Le courant i(t) a pour expression : i(t )
U 0 1
Avec Im = -11,6 A.
L
t Im
- Entre T et T : T 4 est passant donc u M = 0. L'équation devient : Le courant i(t) a pour expression : i(t )
U 0 L
di (t ) dt
E
U 0
L
L
t T I M 54/68
Avec IM = -8,4 A. A.4.2) U0 T
i
T
T
T
T
T
Imax I Imin is Imax I Imin D1
T 4
A.4.3)
On constate que i et u ont la même allure qu’en fonctionnement fonctionnement moteur. La relation entre E et u M est la même donc la relation entre les valeurs moyennes aussi : Donc E U 0
Solution 10: Exercice 10:BTS 2000 Métropole Excitation Alternateur par Hacheur dans Airbus A320
itatrice 1°) Etude de l’inducteur de l’exc itatrice 1.1°) de 0 à T : H fermé donc v1 U 0
de T à T: H ouvert donc v1 (t ) 0 1(t)
U0
0,6T
1.2° ) D’après le graphique di1
1.3°) v1 (t ) L1 v1 (t ) L1
dt di1 (t ) dt
v1
U 0 T T
T
U 0 0, 6 14 140 84V
R1 i1 R1 i1 (t )
0
V1 U 0 R1 i1 (t ) I 1
I1
U 0 R1
0, 6 140 9
9, 3 A 9,3
2°) Etude des variations de courant
2.1°) Entre 0 et T : H fermé donc
U 0 L1
di1 dt
R1 i1
55/68
Entre T et T : H ouvert donc D conduit donc 0 L1 2.2°)
L1 R1
0,1 9
0, 011 T
1 f
1 2000
di1 dt
R1 i1
5 10 4
Comme la constante de temps est très grande l es portions d’exponentielles croissantes et décroissantes (solutions des équations différentielles trouvées précédemment) sont assimilables à des portions de droite. 1(t)
U0
0,6T
T
2.3°) I ( ) d I d
d I d
U 0 d 1
2 U 0 d
d
2 L1 f
d
2 L1 f
La dérivée s’annule lorsque
U 0
1 2 2 L1 f d I d
U 0
2 L1 f
1 2 0 donc si 1 2 0 soit
On obtient donc un maximum d’ondulation pour
U 0 1
L’ondulation vaut alors I max
I ( ) I ( )
0
2
1 2
11
U 22 0 2 L1 f 8 L1 f
1/2 0
+
1
1 -
U 0
8 L1 f
I max
U 0
8 L1 f
140 8 0,1 2000
0,087
56/68
Solution 11: Exercice 11:Hacheur Série : Conduction continue - conduction discontinue (Solution 11:)
Solution 12: Exercice 12:BTS 1995 1995 Etk Métro Métro Hacheur 4 quadrants quadrants
1°) 1-a) 1-b) 1-c)
Pour 0 ≤ t ≤ T : u = U a. Pour T ≤ t ≤ T : : u = - U a. Umoy = (2 - 1).Ua. Pour 0 ≤ < 0,5 : U moy < 0 ; pour = 0,5 : U moy = 0 ; pour 0,5 < ≤ 1 : Umoy > 0.
2°) Remarque préliminaire : L’énoncé précise : « i(t) évolue entre une une valeur minimale minimale m et une valeur maximale M : la conduction est ininterrompue ». Ce fonctionnement est impossible sans la présence d’une inductance de
57/68
lissage en série avec le moteur. En effet, le modèle équivalent au moteur étant l’association en série d’un électromoteur E et d’une résistance R, la discontinuité de la tension u entraînera celle de i(t). Nous supposerons donc la présence d’une inductance L « suffisante » en série avec le moteur. 2-a) Cas 1 : Pour 0 ≤ t ≤ T : u = Ua ; pour T ≤ t ≤ T : : u = - U a ; Umoy > 0 Cas 2 : Pour 0 ≤ t ≤ T : u = U a ; pour T ≤ t ≤ T : : u = - U a ; Umoy > 0 Cas 3 : Pour 0 ≤ t ≤ T : u = U a ; pour T ≤ t ≤ T : : u = - U a ; Umoy < 0 Cas 4 : Pour 0 ≤ t ≤ T : u = U a ; pour T ≤ t ≤ T : : u = - U a ; Umoy < 0 2-b) Cas 1 : Pour 0 ≤ t ≤ T : i(t) croît exponentiellement de m à M ; pour T ≤ t ≤ T : : i(t) décroît exponentiellement de M à m ; moy > 0. Cas 2 : Pour 0 ≤ t ≤ T : i(t) croît exponentiellement de m à M ; pour T ≤ t ≤ T : : i(t) décroît exponentiellement de M à m ; moy < 0. Cas 3 : Pour 0 ≤ t ≤ T : i(t) croît exponentiellement de m à M ; pour T ≤ t ≤ T : : i(t) décroît exponentiellement de M à m ; moy < 0. Cas 4 : Pour 0 ≤ t ≤ T : i(t) croît exponentiellement de m à M ; pour T ≤ t ≤ T : : i(t) décroît exponentiellement de M à m ; moy > 0.
2-c)
2-d)
Cas 1 : fonctionnement en moteur Cas 2 : fonctionnement en génératrice Cas 3 : fonctionnement en moteur Cas 4 : fonctionnement en génératrice Cas 1 : Pour 0 ≤ t ≤ T : H1 et H3 conduisent ; pour T ≤ t ≤ T : : D2 et D4 conduisent. Cas 2 : Pour 0 ≤ t ≤ T : D1 et D3 conduisent ; pour T ≤ t ≤ T : : H2 et H4 conduisent. Cas 3 : Pour 0 ≤ t ≤ T : D1 et D3 conduisent ; pour T ≤ t ≤ T : : H2 et H4 conduisent. Cas 4 : Pour 0 ≤ t ≤ T : H1 et H3 conduisent ; pour T ≤ t ≤ T : : D2 et D4 conduisent.
3°) Commande des interrupteurs 3-a) v13 = VCC entre 0 et t 1 ; v13 = - VCC entre t1 et T/2 – t1 ; v13 = VCC entre T/2 – t1 et T ; v 24 = - v13. V 3-b) t1 T C 4 VTM
3-c)
T = T/2 + 2.t 1.
3-d)
1
2
VC 2 VTM
et H
Ua VTM
.
58/68
Solution 13: Exercice 13:QCM
1) a-b-d
59/68
2) b-c-d 3) a-b-d 4) a-b-c-e 5) a-c-d-e 6) a-b 7) a-c Solution 14: Exercice 14:Ondulations en tension et en courant d'un hacheur série
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Solution 15: Exercice 15:Hacheur parallèle alimentant une batterie d'accumulateurs (Solution 15:)
1°) di L diL de 0 à T: T fermé E L v E L K dt dt 0 de T à T: T ouvert E L di L v D vS E L diL vS dt dt 0
Quand T fermé : i1 L t
E L
t iL (0)
Quand T ouvert :
Comme RC est une charge de tension donc la fluctuation de la tension est faible et peut être considérée
constante E L Donc
di L
V Smoy . dt E V Smoy i2 L (t ) t C te L
En changeant de variable (comme t t T )
i L (t )
E V Smoy L
t T C te
La constante est telle que le courant atteint lorsque T était fermé (soit au temps T) servira de point de départ à cette nouvelle équation du courant. Donc
i L T
E V Smoy E E T iL (0) soit i L (t ) t T T iL (0) L L L
La condition nécessaire pour atteindre le régime permanent est telle qu ’il n’y ait plus de variation de la valeur moyenne de i L donc que i L (T ) iL (0) .
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E V smoy E T T T iL (0) iL (0) L L E V smoy E Donc T T T 0 L L
Soit
i L (T )
iL(t) i L t
E L
iL(t’) t iL (0)
i(T)
i(0)
t’
T
T
t
2°) Simplifions E V smoy L
E T T T 0 L E V smoy E 1 Factorisons par T : T 0 L L E V smoy E Puis par L : 1 L L E Vsmoy 1 E Vsmoy 1 E 1 E Vsmoy 1 E E 1 V smoy
E 1
1 E
V smoy
1 Si tend vers 1 théoriquement V smoy tend vers l’infini ( donc courant infini, destructif pour le transistor) 3°) V smoy
E
1
r L R 1
Si on prend la tension moyenne aux bornes du transistor Vkmoy 1 V smoy
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Solution 16: Exercice 16:Machine en cycle robotique associée à un hacheur réversible
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Solution 17: Exercice 17:Alimentation à découpage utilisant un hacheur réversible (texte d'examen)(Solution 17:)
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Solution 18: Exercice 18:BTS 1987 M.C.C. M.C.C. Alimentée par un Hacheur Hacheur réversible en courant
I Etude de la MCC I-1) nn = 3025 tr/mn ; T em em = 9,15 Nm ; T u = 8,44 Nm I-2) 3000 = 1,15 A ; 1000 = 0,383 I-3) = 12 A ; P = 2,25 kW
I-4)
J
d dt
26,3 ; = 317 – 79,7 t ; t 1 = 4 s ; W R = 9900 J
II-1-2) UR E L di ; 0 E L di , en posant t’ = t - T dt
II-1-3) i
UR
E
L
dt'
t m ; i
E L
t ' M
II-1-4) On écrit qu’à t = T, i = M i
UR
E
L
T ; On écrit qu’à t’ = (1 - )T, i = m i 1
ET L
. En
comparant les deux expressions, on tire : E = UR. II-1-5) = 0,383 ; f = 4 kHz ; i(t) est périodique, de période T = 0,25 ms. La courbe représentative est décrite par deux segments de droite : l’un allant de {0 ms, 14,5A} à {95,8 µs, 15,5A}, l’autre allant de {95,8µs, 15,5A} à {0,25 ms, 14,5A}. fM = 4,24 kHz ; M = 0,5. di II-2-2) v(t) est nulle de 0 à T et égale UR de T à T ; v E L Vmoy = E et avec la courbe de v(t) on dt
obtient UR
E 1
.
II-2-3) De 0 à T : i E t 0 ; de T à T : i L
UR
E
L
t' 1 i
II-2-4) = 0,617 ; i = 1 A ; 1 = - 30,5 A ; 0 = - 29,5 A ; P = - 2300 W ; La puissance transite de la machine vers le réseau ; montage réversible en courant.
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II-3-1) cas a : T 1 quand i augmente puis D 2 quand i diminue cas b : D1 quand i < 0 augmente, puis T 1 quand i >0 augmente, puis D 2 quand i >0 diminue, puis T 2 quand i < 0 diminue. cas c : D1 quand i augmente puis T 2 quand i diminue. Même vitesse dans les trois cas. II-3-2) Permet une conduction continue dans la machine.
III-3-1)
v1
R3 R2 R3
III-3-2) A
R2
si
R3 R1
Vref
s A = 0,5 ; k
R2 R1s
k = 10 -1
III-3-3) V1 = 0,26 V et – 0,26 V sont les seuils de basculements valeurs de j+ et jIII-3-4) Pour 0 ≤ t ≤ T : i(t) évolue linéairement de 9,5 à 10,5 A ; j(t) évolue linéairement de –0,52 à +0,52 A ; v(t) est constant et égal 15 V. Pour T ≤ t ≤ T : i(t) évolue linéairement de 10,5 à 9,5 A ; j(t) évolue linéairement de +0,52 à -0,52 A ; v(t) est constant et égal -15 V. Solution 19: Exercice 19:Régulation
de vitesse
I. Moteur
I.1) Le modèle de l’induit du MCC donne E U RI Donc E 180 2 10 10 160V 60 60 E 160 I.2) 105 rad .s 1 soit n 105 105 1003 1003 tr/min 2 2 k 1,53 I.3) Pem E I 160 10 1600W Pem
Te
II. Hacheur
II.1.
f
1 T
1600 105
1 2,5 103
15,2 Nm 400 Hz
Le rapport cyclique est de
T T
II.2. a) ug > 0 V, l'interrupteur H est fermé
uH = 0 u=V
1, 5 2,5 2, 5
0, 6 0,6
u g < 0 V, l'interrupteur H est ouvert
uH = V u= 0
II.2.
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V T
c)
u
d)
u L 0
V
T
u E Ri L
di dt
u E Ri L
di dt
u E Ri L
di dt
u L 0
u E Ri u ER i
Comme la vitesse est constante E est constant . R est constant donc on peut le sortir de la moyenne. La lecture de la courbe donne i min=9 A et i max=11 A i
Aire T
1
T
i(t ) dt
T 0
triangle
Base hauteur 2
rectangle i
2,5 2, 5
ou plus rapidement
i
imax imin
2
9 11 2
10 A
2, 5 2 2 10 A
9 2, 5 i
2,5 2, 5
Comme u E R i Alors E U R i E V R i E 0, 6 300 2 10 1 0 160V
e) I max I min
V 1 Lf
Pour réduire l’ ondulation du courant on peut : • Augmenter L afin de lisser davantage le courant • Augment f afin de limiter la variation du courant V 1 0, 6 300 1 0, 6 0,09 L 1 i f 2 1 2,5 10 3 T
L’inductance correspondant correspondant aux mesures du texte est de 90 mH
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Solution 20: Exercice 20:Régulation
de température (Solution température (Solution 20:)
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