INGENIERIA INDUSTRIAL MATERIA:
ESTADÍSTICA INFERENCIAL II.
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TEMA: UNIDAD V: SERIES DE TIEMPO. DOCENTE:
ING. MARY CARMEN BACA GUTIÉRREZ. ALUMNA:
Nº CONTROL:
DEL ANGEL SOBREVILLA ARELI
10500575
En las siguiente presentación se abordan los temas relacionados con “Series de Tiempo” que se pueden definir como un conjunto de mediciones de cierto fenómeno o experimento registradas secuencialmente en el tiempo, es decir, prevé la evolución de una variable que observamos a lo largo del tiempo. El objetivo de interés es describir el comportamiento de la serie, investigar el mecanismo generador de la serie temporal, además de buscar posibles patrones temporales que permitan sobrepasar la incertidumbre del futuro (describir, explicar, predecir y controlar algún proceso). Uno de los problemas que intenta resolver las series de tiempo es el de predicción.
Un modelo clásico de series de tiempo, supone que la serie Y(1), ..., Y(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia, componente estacional y un término de error aleatorio: 1. X(t) = T(t)+E(t)+A(t) 2. X(t) = T(t) E(t) A(t) 3. X(t) = T(t) · E(t) + A(t)
Modelo Aditivo Modelo Multiplicativo Modelo Mixto
donde: T(t): Tendencia de la serie. E(t): Componente estacional A(t) : Componente aleatoria (accidental)
El gráfico siguiente muestra la serie y sus componentes, para el caso aditivo.
El problema que se presenta es modelar adecuadamente las componentes de la serie.
MODELO ADITIVO. Admitiendo que las componentes de las series temporales actúan de modo absoluto e independiente entre sí, el modelo aditivo consiste en simplemente sumarlas. Simbólicamente, es representado por la siguiente expresión: Y=T+C+E+A donde, Y: es la variable observada. T: es la componente de tendencia. C: es la componente cíclica. E: es la componente estacional. A: es la componente aleatoria de la variable observada.
MODELO MULTIPLICATIVO. Alternativamente, podemos admitir que las componentes de las series temporales actúen de modo proporcional a las respectivas fuerzas. En este caso, este modelo es representado por la expresión: Y=T∗C∗E∗A Es evidente que los factores componentes del producto tienen los mismos significados que los descritos anteriormente para el modelo aditivo.
MODELO MIXTO. También hay la posibilidad de admitir que las componentes de las series temporales actúen de modo mixto, algunas sumando y otras multiplicando. En el caso del modelo mixto, hay varias posibilidades de combinación de las componentes de la variable estudiada. Algunas de ellas son las siguientes: Y = T + C ∗ E ∗ A, Y = T ∗ C + E ∗ A, Y = T ∗ C ∗ E + A.
La selección entre los modelos aditivo y multiplicativo es hecha con base en la sensibilidad de las variaciones estacionales con relación al nivel del propio fenómeno. Si es detectada una regularidad aritmética, debemos adoptar el modelo aditivo; si no, debemos escoger el modelo multiplicativo (en términos prácticos, el modelo multiplicativo es lo mas adecuado en cerca del 75 % de los casos). De acuerdo con los modelos de descomposición (sección 2.1), se asume el siguiente modelo para T(t), a) Aditivo b) Mixto
Una vez removida la tendencia se obtiene los siguientes gráficos, donde en la figuras 2.6 (a) aparece el modelo aditivo y en la (b) el modelo mixto.
(a)
(b)
Pues si no hay tendencia, se espera
Como para serie mensual, entonces basta estimar E(1), E(2), E(3), ... , E(12). Para una serie trimestral, bastaría conocer: E(1), E(2), E(3) y E(4). Suponga que se ha estimado la tendencia por alguno de los métodos vistos en la sección previa. Sea la estimación de la tendencia ya sea mediante una curva o filtros lineales. Entonces, Si el modelo es aditivo representa la serie con los efectos de tendencia removidos. Análogamente, si el modelo es mixto representa la serie, una vez removidos los efectos de tendencia.
Estas series generadas a partir de la original por eliminación de la tendencia se denominan “series de residuos” y deberán contener predominantemente fluctuaciones estacionales.
Para estimar la estacionalidad se requiere haber decidido el modelo a utilizar (mixto o aditivo), lamentablemente esto no es siempre claro, ya sea porque no contamos con información a priori para suponerlo o porque el gráfico no ha dejado evidencia suficientemente clara como para decidirnos por alguno de ellos.
En tal situación se propone calcular ambas series residuales y elegir aquella cuyos valores correspondientes a una estación dada oscilen menos en torno a su promedio.
Para fijar ideas, supongamos una serie con datos trimestrales y que la información de las series residuales pueden ser resumidas como en las tablas 2.4 y 2.5. Tabla 2.4. Residuos modelo Mixto
Tabla 2.4. Residuos modelo Mixto
Una forma de seleccionar el modelo, es por inspección de los coeficientes de variación (C.V.). Suponemos, que en aquellas filas donde la variación sea menor en torno a la media tendrá menor coeficiente de variación en términos absolutos. Luego, comparando dichos coeficientes parece razonable seleccionar el modelo cuyos coeficientes sean menores en términos absolutos. Esto puede complementarse con gráficos para cada fila en ambos modelos. Finalmente, una vez que se ha elegido el modelo a utilizar, se procede a estimar la estacionalidad. Si el modelo es Mixto, entonces,
Y si el modelo es aditivo, entonces,
Probablemente, la primera idea para estimar la estacionalidad consistiría de los promedios por estación en las series residuales. La corrección que aparece arriba para cada caso, apunta a garantizar que,
Como es de esperarse en el modelo teórico.
Las fluctuaciones son movimientos oscilatorios alrededor de una tendencia, caracterizados por diferentes fases sucesivas recurrentes, de expansión y contracción, de mayor o menor amplitud, que no se encuentran ceñidas a lapsos fijos y que son susceptibles de medición. El método de mínimos cuadrados es la base común que se utiliza para identificar el componente de tendencia de la serie de tiempo, determinando la ecuación que mejor se ajuste a la línea de tendencia. La línea de tendencia no es una línea de regresión, porque la variable dependiente Y no es una variable aleatorio, sino un valor histórico acumulado. Cuando existe un aumento o disminución a largo plazo se sigue una tendencia lineal, siendo la ecuación de la línea de tendencia utilizando X para representar el año es: Y t= bo + b1X donde: bo representa el punto de intersección de la línea de tendencia con el eje Y b1 representa la pendiente de la línea de tendencia .
Utilizando X para representar el año, Y para el valor observado de la serie de tiempo, las fórmulas para determinar los valores de bo y b1 en la ecuación de la línea de tendencia son: b1 = ΣXY - n XY bo = Y - b1X ΣX² - nX² Por ejemplo: Se muestra el número total de votos obtenidos por los tres candidatos como función del número de actas procesadas. Curiosamente, Calderón y AMLO incrementan su número de votos aproximadamente con la misma velocidad. Calderón y AMLO recibieron aproximadamente el mismo número de votos por casilla computada. Es por ello que me pareció atípico que en las primeras casillas computadas (no mostradas) Calderón estableciera una fuerte diferencia que no se modificó prácticamente en las demás casillas. Esta gráfica indica que la distancia entre los porcentajes de la votación obtenidos por Calderón y por AMLO disminuyó al transcurrir el tiempo sobre todo por el aumento del número total de votos computados y no por que hubiera disminuido la diferencia de votos entre ellos .
En la siguiente gráfica se ven reflejados los resultados arrojados del análisis anterior
Se ocupa de la dirección a largo plazo del movimiento en las series de tiempo, generalmente se realiza sobre la base de datos anuales. Habitualmente deben emplearse datos correspondientes a al menos 15 o 20 años, a fin de que movimientos cíclicos con una duración de varios años no se consideren como indicativos de la tendencia global delos valores de la serie de tiempo. El método de los mínimos cuadrados es la base de uso mas frecuente para la identificación del componente de tendencia de las series de tiempo, por medio de la determinación de la ecuación para la línea de tendencia con el mejor ajuste. Conviene señalar que, una línea de tendencia no es una línea de regresión, puesto que la variable dependiente Y no es una variable aleatoria, sino una serie de valores históricos; solo puede haber un valor histórico para un periodo dado, y es probable que los valores asociados con periodos contiguos sean dependientes, no independientes.
Cuando un incremento o decremento a largo plazo parecen seguir una tendencia lineal, la ecuación para los valores de la línea de tendencia, en la que X representa el año es: YT= b0 + b1X Donde: b0 representa el punto de intersección de la línea de tendencia con el eje Y. b1 representa la pendiente de la línea de tendencia.
Utilizando X para representar el año, Y para el valor observado de la serie de tiempo, las fórmulas para determinar los valores de b0 y b1 en la ecuación de la línea de tendencia son:
Es una variable influenciada por una serie de factores, como el crecimiento poblacional de la región a que se refiere, por las preferencias de los individuos, escasez de materias primas y por la legislación aplicable en aquellos instantes. El siguiente gráfico muestra el rendimiento de inversiones en los 12 meses de 2004.
Son oscilaciones periódicas que se producen con una frecuencia superior a un año, suelen deberse a la alternancia de etapas de prosperidad económica (crestas) con etapas de depresión (vallas). El componente cíclico puede determinarse dividiendo los valores observados entre el valor correspondiente de la tendencia de la siguiente manera:
Un ejemplo de estos ciclos puede ser el económico, caracterizado por las cuatro fases que son: recesión, recuperación, crecimiento y caída. El término variación cíclica se suele referir a ciclos grandes, cuyo período no es atribuible a alguna causa. Por ejemplo, fenómenos climáticos, que tienen ciclos que duran varios años.
Los ciclos son adecuadamente representados por las funciones trigonométricas, particularmente el seno y el coseno (cuya diferencia básica es la posición en la que se encuentra el origen de los tiempos) o por una función polinomial de tercer grado. De esa forma, la componente cíclica puede ser obtenida de una de las siguientes expresiones:
VARIACIONES ESTACIONALES. Son fluctuaciones de periodificación inferior a un año y reconocibles todos los años, que suelen tener que ver con la climatología ó el comportamiento de los agentes económicos al variar la época del año. Ejemplo de ellos son los picos de aumento de las ventas de flores el día de San Valentín ó en las ventas de regalos en Navidad.
La influencia del componente estacional sobre los valores de series de tiempo se identifica determinando el número índice estacional asociado con cada mes (o trimestre) del año. La media aritmética de los 12 números índice mensuales (o de los cuatro números índice trimestrales) es 100. La identificación de influencias estacionales positivas y negativas, es importante para la planeación de producción e inventario.
VARIACIONES IRREGULARES. Son variaciones erráticas con respecto a la tendencia, que no pueden adjudicarse a efectos estacionales ó cíclicos, es decir, consisten en movimientos esporádicos de las series temporales, debido a sucesos inesperados. Por ejemplo: una huelga, inundación, entre otros.
Procedimento para determinar numeros indices estacionales: metodo del cociente del promedio móvil.
1. Determinar el cociente de cada valor mensual, en relación con el promedio móvil centrado en ese mes. Se representa simbólicamente:
2. Promediar el componente irregular: Enlistando los diversos cocientes aplicables al mismo mes (o trimestre) de varios años, calculando la Media Modificada.
3. Ajustar los cocientes medios modificados con un factor de corrección tal que la suma de los doce cocientes mensuales sea de 1200.
Son particularmente pertinentes cuando se desea comparar datos de diferentes meses, para determinar si ha tenido lugar un incremento (o decremento) en relación con las expectativas estacionales. Se les llama “datos con ajuste estacional ó datos desestacionalizados” . Los valores de serie de tiempo mensuales, se ajustan respecto de la influencia estacional: 1.- Dividiendo cada valor entre el índice mensual de ese mes. 2.- El resultado se multiplica por 100.
Las variaciones de ellos consecuentes, caracterizadas por el retorno regular y sucesivo del fenómeno en las mismas épocas de anos seguidos; pueden ser separadas por cuatro métodos. PORCENTAJE DE LA MEDIA. El índice estacional de un subperiodo (mes, bimestre, trimestre o semestre) es definido como la media de las razones entre los datos de los subperıodos y las medias anuales del periodo analizado. En otras palabras, lo que se hace es expresar los datos en porcentajes de las medias (o medianas) anuales. Al conjunto de las 12 medias anuales se da el nombre de perfil de estacionalidad. La sumatoria de los ´índices de estacionalidad debe ser igual a 1200. En consecuencia, su media debe ser siempre igual a 100. En caso que esto no ocurra, los índices deben ser adecuadamente ajustados. El aislamiento de las variaciones estacionales se hace dividiendo el valor de la variable por el índice estacional correspondiente a su período.
PORCENTAJE DE LA TENDENCIA. En este caso, el ´índice estacional esta dado por la media de las relaciones entre los datos de los subperıodos y los respectivos valores de la tendencia. Aquí, los datos son expresados en porcentajes de las tendencias anuales, debiendo anualmente sumar 1200 y tener 100 como media, efectuándose los ajustes, cuando sean necesarios. Semejantemente a lo que se hace con los porcentajes de la media, el aislamiento de las variaciones estacionales se obtiene dividiendo el valor de la variable por el ´índice estacional correspondiente a su período. Note que, por el modelo multiplicativo, la división del valor real por el valor teórico de la variable suministra las demás componentes, que podrán incluir las variaciones cíclicas y las aleatorias.
PORCENTAJE DE LAS MEDIAS MÓVILES. También se puede obtener un índice estacional con la media de las relaciones entre los datos de los subperıodos y las respectivas medias móviles. El proceso en s ´ ´ı es exactamente idéntico a lo que se hace con el porcentaje de las medias y la tendencia. Cualquiera que sea la base (medias anuales, tendencia o medias móviles), la des estacionalidad de los datos es obtenida dividiendo los datos originales por los respectivos ´índices estacionales.
SERIES DE NEXOS RELATIVOS. Otra forma de extraer la estacionalidad de los datos es calculando los nexos de la serie anual de los respectivos relativos mensuales. Eso se hace dividiendo el valor de la variable en un mes dado por el valor correspondiente al mes inmediatamente anterior. Enseguida, se considera uno de los meses como base y se ajustan los demás valores a esa base (por ejemplo, si consideramos enero = 100, los índices de estacionalidad serán obtenidos dividiendo el índice de los demás meses del año por el índice de enero). Ejemplo: La tabla a continuación presenta las ventas de la TNCG en los últimos cuatro años. Determinar los índices de estacionalidad mensual.
Vamos a calcular los índices estacionales tomando por base el método del porcentaje de la media anual. Para esto, necesitamos, antes, determinar las referidas medias anuales. Son ellas:
Ahora, dividiendo las ventas mensuales por las ventas medias de los respectivos anos, tenemos los índices estacionales deseados. Son los valores mostrados en la tabla a continuación:
Así como en ciclos, el efecto de estacionalidad puede ser estudiado por un modelo de regresión polinomial de tercer grado. y = b0 + b1t + b2t2+ b3t3
Una consideración particularmente importante en los pronósticos a largo plazo, es el componente cíclico de las series de tiempo.
Ecuación de la línea de tendencia.
Los valores de tendencia se asocian con periodos y no con puntos temporales, por lo que deben reducirse los tres elementos de la ecuación de tendencia anual. (b0, b1 y X) Para efecto de la transformación a datos mensuales, el punto base del año anteriormente codificado como X = O, se ubicaría en el punto medio del año (01/07) Ecuación de tendencia modificada para obtener valores mensuales:
Una consideración particularmente importante en los pronósticos a largo plazo, es el componente cíclico de las series de tiempo. Los pronósticos basados en los componentes de tendencia y estacional de una serie de tiempo son apenas el punto de partida de los pronósticos económicos. La primera razón es la necesidad de considerar el probable efecto del componente cíclico durante el período de pronóstico. La segunda es la importancia de identificar los factores causales específicos que han influido en las variaciones de series de tiempo.
Ejemplo: • Históricamente, las ventas industriales de automóviles han coincidido estrechamente con el ciclo económico general de las economías nacionales. Por el contrario, las ventas de autopartes han sido comúnmente opuestas, en cuanto al factor cíclico, respecto del ciclo económico general. • El Instituto Nacional de Investigación Económica (NBER) de Estados Unidos ha identificado y dado a conocer series de tiempo históricamente indicadoras de expansiones y recesiones cíclicas respecto del ciclo económico general. • Indicadores líder: han llegado habitualmente a puntos de cambio de ciclo antes del cambio correspondiente en la actividad económica general. -Las horas semanales promedio laboradas en manufactura. -El valor de nuevos pedidos de bienes de consumo y materiales . -Índice común de precios de las acciones.
• Indicadores coincidentes: está compuesto por series de tiempo cuyos puntos de cambio han coincidido usualmente con el ciclo económico general. -La tasa de empleo -El índice de producción industrial. • Indicadores rezagados: es el integrado por series de tiempo cuyas cumbres y valles suelen retardarse en comparación con las del ciclo económico general. -Los inventarios de manufactura y comerciales y la tasa preferencial promedio que cobran los bancos. • Además de considerar el efecto de las fluctuaciones cíclicas y de pronosticar tales fluctuaciones, también :deben estudiarse las variables causales específicas que han influido históricamente en los valores de series de tiempo. - Los análisis de regresión y correlación son particularmente aplicables a tales estudios * Relación entre estrategia de precios y volumen de ventas.
