Estadística Inferencial I Unidad 4
PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y PRUEBAS NO PARAMETRICAS 4.1 BONDAD DE AJUSTE Las pruebas de bondad de ajuste tratan de verificar si el conjunto de datos se puede ajustar o afirmar que proviene de una determinada distribución. Las pruebas básicas que pueden aplicarse son: la ji-cuadrada y la prueba de Smirnov-Kolmogorov. Ambas pruebas caen en la categoría de lo que en estadística se denominan pruebas de “Bondad de Ajuste” y miden, como el
nombre lo indica, el grado de ajuste que existe entre la distribución obtenida a partir de la muestra y la distribución teórica que se supone debe seguir esa muestra. Ambas pruebas están basadas en la hipótesis nula de que no hay diferencias significativas entre la distribución muestral y la teórica, H 0 es la distribución que se supone sigue la muestra aleatoria. La hipótesis alternativa siempre se enuncia como que los datos no siguen la distribución supuesta. Hablamos de bondad de ajuste cuando tratamos de comparar una distribución de frecuencia observada con los valores correspondientes de una distribución esperada o teórica. Algunos estudios producen resultados sobre los que no podemos afirmar que se contribuyen normalmente, es decir con forma acampanada concentradas sobre la media. Su fórmula es la siguiente: k
2
f
oi
i 1
f ei
2
f ei
= Valor observado en la i-ésimo dato. = Valor esperado en la i-ésimo dato. Página 1
Estadística Inferencial I Unidad 4
= Categorías o celdas. =
Parámetros estimados sobre la base de los datos de la muestra
Los grados de libertad vienen dados por: gl= K-m-1. Criterio de decisión es el siguiente: Se rechaza H 0 cuando
2
2
t ; K m1
. En caso contrario se acepta.
Donde t representa el valor proporcionado por las tablas, según el nivel de significación elegido. Cuanto más se aproxima a cero el valor de chi-cuadrada, más ajustadas están ambas distribuciones.
Página 2
Estadística Inferencial I Unidad 4 4.1.1 ANALISIS JI-CUADRADA Es considerada como una prueba no paramétrica que mide la discrepancia (bondad de ajuste) entre una distribución observada a partir de la muestra y otra teórica que se supone debe seguir esa muestra, indicando en qué medidas las diferencias existentes entre ambas se deben al azar en el contraste de la hipótesis. Esta prueba se basa en la hipótesis nula H 0 de que no hay diferencias significativas entre la distribución muestral y la teórica. La estructura básica de la prueba para la bondad de ajuste se muestra en la siguiente tabla: Clases
Frecuencia observada
Frecuencia esperada
1
Foi 1
Fe1
2
Foi 2 2
Fe2
.
.
.
.
.
.
k
Foi k k
Fek
n
n
Total
Donde para calcular la Frecuencia esperada se tiene:
Fórmula para el análisis de ji-cuadrada
∑
Interpretación: cuanto mayor sea el valor de ji-cuadrada menos creíble es la
hipótesis nula H 0. De la misma forma, cuanto más se aproximan acero el valor de
, más ajustadas están las distribuciones.
H0 se acepta
H0 se rechaza Página 3
Estadística Inferencial I Unidad 4 4.1.2 PRUEBA DE INDEPENDENCIA La prueba de independencia trata de la comparación de dos situaciones en las cuales podemos esperar que sean dependientes o independientes, esto quiere decir que, pueden o no estar relacionados sus datos debido a muchos factores que pueden influir en ellos, o bien, un problema no tenga relación con otro. Su objetivo es determinar si alguna situación es afectada por otra, basándose en datos estadísticos y valores probabilístico obtenidos de la fabulación de datos o de pronósticos por medio de formulas y tablas, para esto se basa en un nivel de significancia en un caso y en el otro a comparar, valiéndonos de tablas de contingencia para obtener frecuencias esperadas y poder aplicarlas, para así obtener datos comparativos que son determinantes en la decisión de independencia. Para todas las pruebas de independencia, las hipótesis son: H0: las dos variables de clasificación son independientes. H1: las dos variables de clasificación son dependientes. Los métodos para poner a prueba H 0 contra H1 son idénticos a los usados para poner a prueba las diferencias entre proporciones poblacionales basados en la prueba de
2
. De nuevo compararemos las frecuencias observadas con las
esperadas, las obtenidas bajo el supuesto de que H 0, para determinar que tan grande debe ser el alejamiento permitido para que la hipótesis de independencia pueda rechazarse. Si el valor del estadístico de prueba
2
es mayor o igual que el
valor critico calculado, ya no podremos suponer que pueda resultar de dos variables de clasificación independientes, siendo esta la razón de que todas las pruebas de
2
sobre independencia sean de cola derecha.
Página 4
Estadística Inferencial I Unidad 4 La estadística de prueba que será utilizada en la toma de una decisión acerca de la hipótesis nula es ji cuadrado X 2. Los valores de ji-cuadrada se obtienen con la siguiente fórmula:
Grados de libertad v = (r-1)*(c-1) Frecuencia Esperada = Total de la columna * Total del renglón Gran total
Características 2
toma valores no negativos; es decir, puede ser cero o positiva.
2
no es simétrica; es asimétrica hacia la derecha.
X X
Existen muchas distribuciones X 2 como en el caso de la distribución t, hay una distribución, X 2 diferente para cada valor de los grados de libertad.
Nos dan una tabla de contingencia.
El procedimiento de la prueba ji-cuadrada puede también utilizarse para probar la hipótesis de independencia de dos variables de clasificación.
Ejemplo: Supóngase que desea determinar si las opiniones de los residentes votantes del estado de Illinois respecto a una nueva reforma impositiva son independientes de sus niveles de ingreso. Una muestra aleatoria de 1000 votantes registrados del estado de Illinois se clasifica de acuerdo con sus ingresos como bajo, medio y alto y si están a favor o en contra de la nueva reforma impositiva. Las frecuencias observadas se presentan en la siguiente tabla, la cual se conoce como una tabla de co ntingencia. Página 5
Estadística Inferencial I Unidad 4 Tabla de co ntingencia 2 x 3
Nivel de ingresos Reforma
Bajo
Medio
Alto
Total
A favor
182
213
203
598
En contra
154
138
110
402
Total
336
351
313
1000
impositiva
A una tabla de contingencia con r renglones y c columnas se le conoce como una tabla r x c (“r x c” se lee r por c ), a los totales de renglones y columnas en la tabla anterior se les denomina frecuencia m arginales . La decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula, H 0, de independencia entre la opinión de votantes respecto a la nueva reforma de impuestos y su nivel de ingresos se basan en que tan bien se ajustan las frecuencias observadas en cada una de las 6 celdas de la tabla, y las frecuencias que se esperarían para cada celda bajo la suposición de que H0 es verdadera. Para encontrar estas frecuencias esperadas, defínanse los siguientes eventos:
L: una persona seleccionada esta en el nivel bajo de ingresos. M: una persona seleccionada esta en el nivel medio de ingresos. H: una persona seleccionada esta en el nivel alto de ingresos. F: una persona seleccionada está a favor de la nueva reforma fiscal. A: una persona seleccionada está en contra de la nueva reforma fiscal.
Página 6
Estadística Inferencial I Unidad 4 Al utilizar las frecuencias marginales, es posible escribir las siguientes estimaciones de probabilidad:
,
,
,
,
Ahora si H0 es verdadera y las dos variables son independientes, debe tenerse:
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
P (L F) = P (L) P (F) = P (L A) = P (L) P (A) =
,
,
P (M F) = P (M) P (F) =
,
P (M A) = P (M) P (A) =
,
P (H F) = P (H) P (F) =
P (H A) = P (H) P (A) =
, .
Las frecuencias esperadas se obtienen al multiplicar cada probabilidad de una celda por el número total de observaciones. Como antes, estas frecuencias se redondean a un decimal de esta manera el número esperado de votantes de bajos ingresos en la muestra y que favorecen la nueva reforma impositiva, se estima que es:
x 100 =
= 200.9
Cuando H0 es verdadera. La regla general para obtener la frecuencia esperada de cualquier celda la proporciona la siguiente fórmula:
Página 7
Estadística Inferencial I Unidad 4 Frecuencia Esperada = Total de la columna * Total del renglón Gran total La frecuencia esperada para cada celda se registra entre paréntesis a un lado del valor observado real en la siguiente tabla. Nótese que la suma de las frecuencias esperadas en cualquier renglón o columna da el total marginal o apropiado. Nivel de ingresos Reforma
Bajo
Medio
Alto
Total
A favor
182(200.9)
213(209.9)
203(187.2)
598
En contra
154(135.1)
138(141.1)
110(125.8)
402
Total
336
351
313
1000
impositiva
En el ejemplo, se necesitan calcular únicamente las dos frecuencias esperadas del renglón de arriba de la tabla y entonces encontrar las otras por sustracción. El numero de grados de libertad asociado a la prueba ji cuadrada que se utiliza aquí es igual al número de frecuencias de celdas que pueden llenarse libremente cuando se dan los totales marginales y el gran total; en este ejemplo ese número es 2. Una formula simple que proporciona el número correcto de grados de libertad es:
v = (r-1)*(c-1) de aquí que, para este ejemplo V = (2-1)*(3-1) = 2 grados de libertad. Para probara la hipótesis nula de independencia, se utiliza el siguiente criterio de decisión:
Página 8
Estadística Inferencial I Unidad 4 Prueba De Independ encia:
Calcúlese:
Donde la sumatoria se extiende a todas las celdas rc en la tabla de contingencia r x c . Si
>
con v = (r-1)(c-1) grados de libertad se rechaza la hipótesis nula
de independencia en el nivel de significancia α; de lo contrario, se acepta la
hipótesis nula. Al aplicar este criterio a este ejemplo, se encuentra que:
+ + + +
+ = 7.85
P 0.02 De la tabla de Valores críticos de las distribuciones
2
resulta que
= 5.991
para v= (2-1) (3-1) = 2 grados de libertad. La hipótesis nula se rechaza. Se concluye que la opinión de un votante referente a la nueva reforma fiscal y su nivel de ingresos no son independientes. Es importante recordar que el estadístico sobre el cual se basa la decisión tiene una distribución que solo se aproxima por la distribución JI cuadrada. Los valores calculados
2
dependen de las frecuencias de la celda y, en
consecuencia, son discretos. La distribución ji cuadrada continua parece aproximar muy bien la distribución muestral discreta de x 2 en la medida en la que el numero de grados de libertad sea mayor que 1. En una tabla de contingencia de
Página 9
Estadística Inferencial I Unidad 4 2 x 2, donde se tiene únicamente un grado de libertad, se aplica una corrección que recibe el nombre de corrección de yates para continuidad. La formula corregida se convierte entonces en:
|| Si las frecuencias esperadas de celdas son grandes, los resultados corregidos y sin corregir son casi los mismos. Cuando las frecuencias esperadas están entre 5 y 10, debe aplicarse la corrección de Yates. Para frecuencias esperadas menores que 5, debe utilizarse la prueba exacta de Fisher-Irwin. Sin embargo, puede evitarse el uso de la prueba Fisher-Irwin al seleccionar una muestra grande.
Página 10
Estadística Inferencial I Unidad 4 4.1.3 PRUEBA DE LA BONDAD DEL AJUSTE Es considerada como una prueba no paramétrica que mide la discrepancia entre una distribución observada y otra teórica, indicando en qué medida las diferencias existen entre ambas. En este tema se describe un procedimiento formal para probar la bondad de ajuste basado en la distribución ji- cuadrada. El procedimiento de prueba requiere una muestra aleatoria de tamaño n de la población cuya distribución de probabilidad es desconocida. Éstas n observaciones se ordenan en un histograma de frecuencia, con k intervalos de clase. Sea O i la frecuencia observada en el intervalo de clase i . Se calcula la frecuencia esperada a partir de la distribución de probabilidad hipotética, para el intervalo de clase i -ésimo, denotado por E i , el estadístico de prueba es:
∑
Para demostrar que si la población sigue la distribución hipotética propuesta,
tiene, aproximadamente, una distribución ji-cuadrada en donde los grados de libertad vienen dados por:
gl= K-m-1 donde m representa el numero de parámetros de la distribución hipotética, estimados por los estadísticos muestrales. Esta aproximación mejora conforme n se incrementa. El criterio de decisión es el siguiente: Se rechaza H 0 cuando el valor del estadístico de prueba contrario se acepta.
. En caso
Donde t representa el valor proporcionado por las tablas, según el nivel de significación elegido. Cuanto más se aproxima a cero el valor de ji-cuadrada, más ajustadas están ambas distribuciones. Página 11
Estadística Inferencial I Unidad 4 Un punto que cabe destacar en la aplicación de este procedimiento de prueba se refiere a la
magnitud de las frecuencias esperadas. Si éstas frecuencias
esperadas son muy pequeñas, entonces el estadístico de prueba
no reflejará la
desviación de las frecuencias observadas y las esperadas, no únicamente la pequeña magnitud de las frecuencias esperadas. No hay consenso generalizado en cuanto al valor mínimo de las frecuencias esperadas, pero valores de 3, 4 y 5 se usan ampliamente como mínimos. Algunos autores proponen que una frecuencia esperada podría ser tan pequeña, como 1 o 2, siempre que la mayoría de ellas excedan 5. Cuando una frecuencia esperada sea muy pequeña, puede cambiarse con la frecuencia esperada de un intervalo de clase adyacente. Las frecuencias observadas correspondientes también se combinarían, y k se reduciría una unidad. No es necesario que los intervalos de clase tengan la misma anchura. Ejemplo:
Una distribución continua. Un ingeniero está probando una fuente de poder usada en una computadora notebook. Utilizando α = 0.05, el quiere determinar si una distribución normal
describe adecuadamente el voltaje de salida. De una muestra aleatoria de n = 100 unidades obtiene las estimaciones muestrales de la media y la desviación estándar x = 5.04 V y s = 0.08 V. Una práctica común cuando se construyen los intervalos de clase para la distribución de frecuencia usada en la prueba ji-cuadrada de la bondad del ajuste es elegir los limites de clase de las celdas de tal modo que las frecuencias esperadas E i = npi sean iguales para todas lsa celdas o intervalos de clase. Para usar este método, los limites de clase a0 ,a1,…,a k de los k intervalos de clase se elegirían de tal modo que todas las probabilidades
∫ =
sean iguales. Suponga que se decide usar k = 8 intervalos de clase. Para la distribución normal estándar, los intervalos que dividen la escala en ocho
segmentos igualmente factibles son [ 0, 0.32), [0.32, 0.675), [0.675, 1.15), [1.15, ) y los cuatro intervalos “reflejados” al otro lado de cero.
Página 12
Estadística Inferencial I Unidad 4 Para cada intervalo pi = 1/8 = 0.125, por lo que las frecuencias esperadas de las celdas son E i = npi = 100(0.125) = 12.5. La tabla completa de las frecuencias observadas y las esperadas se presenta a continuación:
Intervalo de clase x < 4.948 4.948 ≤ x < 4.986 4.986 ≤ x < 5.014 5.014 ≤ x < 5.040 5.040 ≤ x < 5.066 5.066 ≤ x < 5.094 5.094 ≤ x < 5.132 5.132 ≤ x
Totales
frecuencia observada
frecuencia observada
O i 12
E i 12.5
14 12 13 12 11 12
12.5 12.5 12.5 12.5 12.5 12.5
14
12.5
100
100
La cota del primer intervalo de clase es x – 1.15s = 4.948. Para el segundo intervalo de clase es [ x – 1.15s, x – 0.675s), y así sucesivamente. Puede aplicarse el procedimiento de prueba de hipótesis de ocho pasos en este problema. 1. La variable de interés es la forma de la distribución del voltaje de la fuente de poder. 2. H0: la forma de la distribución es normal. 3. H1: la forma de la distribución no es normal. 4. α = 0.05 5. el estadístico de la prueba es:
6. puesto que se estimaron dos parámetros de la distribución normal, el estadístico ji-cuadrada anterior tiene k-p-1 = 8-2-1 = 5 grados de libertad. Por lo tanto, se rechazará H0 si 7. cálculos
>
= 11.07
Página 13
Estadística Inferencial I Unidad 4
8. conclusiones: puesto que
= 0.64 <
= 11.07 no puede rechazarse
H0 y no hay evidencia robusta que indique que el voltaje de salida no tenga una distribución normal. El valor P del estadístico ji-cuadrada
= 0.64 es
P = 0.9861.
Página 14
Estadística Inferencial I Unidad 4 4.1.4 TABLAS DE CONTINGENCIA En muchas ocasiones, los n elementos de una muestra de una población pueden clasificarse con base en dos criterios diferentes. Entonces es de interés saber si los dos métodos de clasificación son estadísticamente independientes. Suponga que el primer método de clasificación tiene r niveles y que el segundo tiene c niveles. Será Oij la frecuencia observada del nivel i del primer método de clasificación y el nivel j del segundo método de clasificación. Los datos aparecerían, en general, como en la siguiente tabla. A una tabla como esta se le llama tabla de contingencia r x c.
TABLA DE CONTINGENCIA r x c Columnas 1
Renglones
2
…
c
1
O11
O12
…
O1c
2
O21
O22
…
O2c
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
r
Orl
Or2
…
Orc
En estadística las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la relación entre dos o más variables, habitualmente de naturaleza cualitativa (nominales u ordinales). Sea P ij la probabilidad de que un elemento seleccionado al azar esté en la celda ij, dado que las dos clasificaciones son independientes. Entonces pij = ui v j , donde ui es la probabilidad de que un elemento seleccionado al azar este en la clase del renglón i y v j es la probabilidad de que un elemento seleccionado al azar esté en la clase de la columna j. ahora bien, con el supuesto de independencia, los estimadores de ui y v j son
̂
̂ Página 15
Estadística Inferencial I Unidad 4 Por lo tanto, la frecuencia esperada de cada celda es
̂ ̂
Entonces, para n grande, el estadístico
Tiene una distribución ji-cuadrada aproximada con ( r-1) (c-1) grados de libertad si la hipótesis nula es verdadera. Por lo tanto, la hipótesis de independencia se rechazaría si el valor observado del estadístico de prueba
.
excediera
Para calcular grados de libertad se tiene la siguiente fórmula: gl= (r-)(c-1)
NOTA: El cálculo de grados de libertad nos dará la pauta para calcular el valor total de frecuencias.
Página 16
Estadística Inferencial I Unidad 4 Ejemplo: Una compañía tiene que elegir entre tres planes de pensiones. La administración quiere saber si la preferencia por los planes es independiente de la clasificación laboral y desea usar α = 0.05.
En la siguiente tabla se muestran las opiniones de una muestra aleatoria de 500 empleados.
Plan de pensión 1
2
3
totales
Trabajadores asalariados
160
140
40
340
Trabajadores por hora
40
60
60
160
Totales
200
200
100
500
Clasificación laboral
Para encontrar las frecuencias esperadas, primero debe calcularse = 0.68, 0.32, 0.40 y 0.20. Ahora pueden calcularse las frecuencias esperadas con la ecuación
̂ ̂ ̂ ̂
̂
̂
Por ejemplo, el número esperado de trabajadores asalariados que prefieren el plan de pensión 1 es
̂ ̂
En la siguiente tabla se muestran las frecuencias esperadas.
Plan de pensión Clasificación laboral Trabajadores asalariados Trabajadores por hora Totales
1
2
3
totales
136
136
68
340
64
64
32
160
200
200
100
500 Página 17
Estadística Inferencial I Unidad 4 Ahora puede aplicarse el procedimiento de prueba de hipótesis de ocho pasos en este problema. 1. La variable de interés es la preferencia de los empleados entre los planes de pensiones. 2. H0: la preferencia es independiente de la clasificación laboral asalariado o por horas. 3. H1: la preferencia no es independiente de la clasificación laboral asalariado o por horas. 4. α = 0.05 5. el estadístico de prueba es
6. puesto que r = 2 y c = 3, los grados de libertad de ji-cuadrada son (r-1) (c-1)= (1)(2) = 2, se rechazaría H0 si > = 5.99
7. cálculos
8. conclusiones: puesto que
= 49.63 >
, se rechazará la
hipótesis de independencia y se concluye que la preferencia por los planes de pensiones no es independiente de la clasificación laboral. El valor P para
= 49.63 es P = 1.671 x 10 -11.
Página 18
Estadística Inferencial I Unidad 4 4.1.5 SOFTWARE ESTADÍSTICO Los métodos estadísticos cambiaron con la aparición de los ordenadores. Desde sus orígenes, las computadoras se han empleado en el procedimiento estadístico de datos. El procesamiento estadístico es una necesidad muy frecuente en diversas áreas. Dada esta estandarización de necesidades se han elaborado paquetes estadístico que difieren entre si en los aspectos de capacidad, facilidad de uso, subprogramas incorporados, computadoras en las que se pueden ejecutar, apoyo (documentación) y precio. Dentro del grupo de paquetes estadísticos mundialmente conocidos, podemos destacar, además de STARTGRAPHICS los siguientes: SAS
(Statistical Analysis System): Sistema para el análisis estadístico y econométrico con gran potencia de manejo de volúmenes extensos de datos.
SPSS (Statistical Packge for the Social Sciencies): Se trata de un paquete especial diseñado para cubrir la mayor parte de las necesidades del proceso estadístico que suelen plantearse en las necesidades del proceso estadístico que suelen plantearse en la realización de investigaciones y estudios de tipo empírico en el campo de las ciencias sociales y humanas.
SYSTAT (the SYstem for STATistics): Es un potente paquete estadístico, susceptible de ser implementado incluso en microordenadores de pequeña capacidad. Viene avalado por una merecida fama de programa eficiente y de fácil uso.
TSP (Time Series Processor): como su nombre indica, sirve para el procesamiento de series de tiempo; sin embargo, también tiene rutinas de procesamiento de regresión muy poderosas y toca una gran parte de los temas económicos
SCA (Scientific Computing Associates): se trata de un paquete estadístico que aborda la mayoría de los temas elevados de esta disciplina, con especial hincapié en el análisis de series temporales.
Página 19
Estadística Inferencial I Unidad 4 Existen muchos otros paquetes, como LISREL, SPAD, STATPACH, MINITAB, LISA, OSIRIS, ABSTAT y otros más, que con más o menos profundidad tocan la mayor parte de las materias estadísticas. Por otro lado encontramos otra herramienta que se utiliza para realizar cálculos estadísticos.
La Hoja de Cálculo Excel/Calc puede convertirse en una poderosa herramienta para crear entornos de aprendizaje que enriquezcan la representación (modelado), comprensión y solución de problemas, en el área de la estadística y probabilidad. Excel ofrece funcionalidades que van más allá de la tabulación, cálculo de fórmulas y Graficación de datos: En
inferencia estadística calcula los intervalos de confianza, el tamaño de la muestra y se puede aplicar al contraste de hipótesis, tanto en el bilateral como en el unilateral. La instalación del programa es muy sencilla, además Microsoft Excel incluye un comando para el análisis de datos, dentro de las "herramientas para el análisis", su uso es poco común, ya que no se tiene cuidado de instalar todas las funciones dentro de las "herramientas", perdiendo la oportunidad de utilizar un medio poderoso para el estudio dentro de la estadística.
Página 20
Estadística Inferencial I Unidad 4 4.2 PRUEBA NO PARAMETRICA La mayor parte de los procedimientos de prueba de hipótesis que se presentan en las unidades anteriores se basan en la suposición de que las muestras aleatorias se seleccionan de poblaciones normales. Afortunadamente, la mayor parte de estas pruebas aún son confiables cuando experimentamos ligeras desviaciones de la normalidad, en particular cuando el tamaño de la muestra es grande. Tradicionalmente, estos procedimientos de prueba se denominan m é to d o s p ar am é tric o s . En esta sección se consideran varios procedimientos de prueba
alternativos, llamados no pa ram é , que a tr ic os ó mé to do s d e di st rib uc ión li br e menudo no suponen conocimiento de ninguna clase acerca de las distribuciones de las poblaciones fundamentales, excepto que éstas son continuas. Los procedimientos no paramétricos o de distribución libre se usan con mayor frecuencia por los analistas de datos. Existen muchas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería donde los datos se reportan no como valores de un continuo sino más bien en una escala ordinal tal que es bastante natural asignar rangos a los datos. Se debe señalar que hay desventajas asociadas con las pruebas no paramétricas. En primer lugar no utilizan la información que proporciona la muestra, y por ello una prueba no paramétrica será menos eficiente que el procedimiento paramétrico correspondiente, cuando se pueden aplicar ambos métodos. En consecuencia, para lograr la misma eficiencia, una prueba no paramétrica requerirá la correspondiente prueba paramétrica. Como se indicó anteriormente, ligeras divergencias de la normalidad tienen como resultado desviaciones menores del ideal para las pruebas paramétricas estándar.
Página 21
Estadística Inferencial I Unidad 4 EJEMPLO .-
Dos jueces deben clasificar cinco marcas de cerveza de mucha demanda mediante la asignación de un grado de 1 a la marca que se considera que tiene la mejor calidad global, un grado 2 a la segunda mejor, etcétera. Se puede utilizar entonces una prueba no paramétrica para determinar donde existe algún acuerdo entre los dos jueces. Se debe señalar que hay varias desventajas asociadas con las pruebas no paramétricas. En primer lugar, no utilizan la información que proporciona la muestra, y por ello una prueba no paramétrica será menos eficiente que el procedimiento paramétrico correspondiente, cuando se pueden aplicar ambos métodos. En consecuencia, para lograr la misma potencia, una prueba no paramétrica requerirá la correspondiente prueba no paramétrica. Como se indicó antes, ligeras divergencias de la normalidad tienen como resultado desviaciones menores del ideal para las pruebas paramétricas estándar. Esto es cierto en particular para la prueba t y la prueba F . En el caso de la prueba t y la prueba F , el valor P citado puede ser ligeramente erróneo si existe una violación moderada de la suposición de normalidad. En resumen, si se puede aplicar una prueba paramétrica y una no paramétrica al mismo conjunto de datos, debemos aplicar la técnica paramétrica más eficiente. Sin embargo, se debe reconocer que las suposiciones de normalidad a menudo no se pueden justificar, y que no siempre se tienen mediciones cuantitativas.
Página 22
Estadística Inferencial I Unidad 4 4.2.1 ESCALA DE MEDICION Definición de escala Cualquier recurso para determinar la magnitud o cantidad de un objeto o hecho de cualquier clase; instrumento para asignar un número o guarismo que indicará cuánto hay de algo; un recurso de medición que provee un conjunto de normas (numeradas de acuerdo con ciertas reglas de trabajo) con las que se puede comparar el objeto que será medido, para asignarle un número o valor matemático que represente su magnitud. El término es de amplia aplicación: una escala de alguna clase está incluida en toda medición o estimación. Implícito en cada caso hay un conjunto de reglas para asignar números o valores: son estas reglas las que dan significado a las cantidades. Los objetos pueden ser perceptuales o conceptuales. La escala de medida de una característica tiene consecuencias en la manera de presentación de la información y el resumen. La escala de medición-grado de precisión de la medida de la característica también determina los métodos estadísticos que se usan para analizar los datos. Por lo tanto, es importante definir las características por medir. Las escalas de medición más frecuentes son las
siguientes: Escala Nominal.- No poseen propiedades cuantitativas y sirven únicamente para identificar las clases. Los datos empleados con las escalas nominales constan generalmente de la frecuencia de los valores o de la tabulación de número de casos en cada clase, según la variable que se está estudiando. El nivel nominal permite mencionar similitudes y diferencias entre los casos particulares. Los datos evaluados en una escala nominal se llaman también "observaciones cualitativas", debido a que describen la calidad de una persona o cosa estudiada, u "observaciones categóricas" porque los valores se agrupan en categorías. Por lo regular, los datos nominales o cualitativos se describen en términos de porcentaje o proporciones. Para exhibir este tipo de información se usan con mayor frecuencia tablas de contingencia y gráficas de barras. Página 23
Estadística Inferencial I Unidad 4 Escala Ordinal.- Las clases en las escalas ordinales no solo se diferencian unas de otras (característica que define a las escalas nominales) sino que mantiene una especie de relación entre sí. También permite asignar un lugar específico a cada objeto de un mismo conjunto, de acuerdo con la intensidad, fuerza, etc.; presentes en el momento de la medición. Una característica importante de la escala ordinal es el hecho de que, aunque hay orden entre las categorías, la diferencia entre dos categorías adyacentes no es la misma en toda la extensión de la escala. Algunas escalas consisten en calificaciones de múltiples factores que se agregan después para
llegar
a
un
índice
general.
Debe mencionarse brevemente una clase espacial de escala ordinal llamada "escala de posición", donde las observaciones se clasifican de mayor a menor (o viceversa). Al igual que en las escalas nominales, se emplean a menudo porcentajes y proporciones en escalas ordinales.
Escala de Intervalo.- Refleja distancias equivalentes entre los objetos y en la propia escala. Es decir, el uso de ésta escala permite indicar exactamente la separación entre 2 puntos, lo cual, de acuerdo al principio de isomorfismos, se traduce en la certeza de que los objetos así medidos están igualmente separados a la distancia o magnitud expresada en la escala.
Escala de Razón.- Constituye el nivel óptimo de medición, posee un cero verdadero como origen, también denominada escala de proporciones. La existencia de un cero, natural y absoluto, significa la posibilidad de que el objeto estudiado carezca de propiedad medida, además de permitir todas las operaciones aritméticas y el uso de números representada cantidades reales de la
propiedad
medida.
Con esto notamos que esta escala no puede ser usada en los fenómenos psicológicos, pues no se puede hablar de cero inteligencia o cero aprendizaje, etc.
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Estadística Inferencial I Unidad 4 4.2.2 METODOS ESTADÍSTICOS CONTRA NO PARAMETRICOS 1.- EL CASO DE DOS MUESTRAS: Las pruebas estadísticas de dos muestras se usan criando el investigador desea establecer la diferencia entre chis tratamientos o si un tratamiento es mejor que otro. Por ejemplo adiestramiento, uso de psicofármaco, en cada caso el grupo que ha sufrido el tratamiento es comparado con el que no lo ha experimentado o que ha sufrido un tratamiento diferente. En la comparación de estos grupos, a veces se observan diferencias significativas que no son el resultado del tratamiento, por ejemplo, en el estudio de los trabajadores que se someten a un entrenamiento diferente para determinar cuál es el mejor para elevar su calificación, puede ser que la diferencia no se deba, realmente, a uno u otra tratamiento, sino que uno de los grupos estaba más motivado por elevar rápidamente su calificación y, de esta forma, no se refleja verdaderamente la efectividad del procedimiento de enseñanza. Una forma de eliminar esta dificultad, es usar MUESTRAS RELACIONADAS estas se pueden lograr: Cuando el propio sujeto es su propio control. Con parejas de sujetos en las que se asignan los miembros de cada pareja, a las dos condiciones. La técnica paramétrica usual para analizar datos provenientes de dos muestras relacionadas es aplicar la prueba t a los puntajes, estos se pueden obtener de los dos puntajes de cada pareja igualada o de los puntajes de cada sujeto bajo las dos condiciones. Éstas pruebas determinan la medida en dije las diferencias de las muestras indican, de forma convincente, una diferencia en el proceso aplicado en ellos. En el caso de dos MUESTRAS INDEPENDIENTES, ellas pueden obtenerse: Tomando al azar sujetos de dos poblaciones. Asignando al azar ambos tratamientos a miembros de algunas muestras de orígenes arbitrarios. No es necesario que la muestra sea del mismo tamaño. En este caso, la prueba t es la técnica paramétrica indicada para analizar los datos de las dos muestras independientes. Página 25
Estadística Inferencial I Unidad 4 Los métodos estadísticos no paramétricos adecuados para estos casos, son:
2.-EL CASO DE K MUESTRA: Hasta aquí hemos visto las pruebas estadísticas idóneas para probar la significación de las diferencias. Entre una sola muestra y una población determinada. Entre dos muestras relacionadas o independientes. Ahora veremos las pruebas que determinan la significación de las diferencias entre 3 o más grupos, relacionados o independientes. A veces las circunstancias requieren de diseños experimentales de más de dos muestras o condiciones que puedan estudiarse simultáneamente y entonces es necesario usar una prueba estadística que indique si existe una diferencia total entre las k muestras o condiciones, ya que no es posible tener confianza en una decisión acerca de k muestras, en la que el análisis se haga probando las muestras, 2 a 2.La técnica paramétrica para probar si varias muestras proceden de una misma población, es el análisis de varianza o prueba F. La misma facilita que no haya pérdida de precisión al estimar la varianza por separado, pues se utiliza una varianza combinada.
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Estadística Inferencial I Unidad 4 En el caso no paramétrico, tenemos:
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Estadística Inferencial I Unidad 4
EJEMPLO: Una compañía de taxis trata de decidir si el uso de llantas radiales en lugar de llantas regulares con cinturón mejora la economía de combustible.se equipan 16 automóviles con llantas radiales y se manejan por un recorrido de prueba establecido. Sin cambiar de conductores, se equipan los mismos autos con las llantas regulares con cinturón y se manejan una vez más por el recorrido de prueba.se registra el consumo de gasolina, en kilómetros por litro, de la siguiente manera:
Automóvil 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Llantas radiales 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7 4.5 5.7 6.0 7.4 4.9 6.1 5.2 5.7 6.9 6.8 4.9
llantas con cinturón 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8 4.4 5.7 5.8 6.9 4.9 6.0 4.9 5.3 6.5 7.1 4.8
¿Podemos concluir en el nivel de significancia de 0.05 que los autos equipados con llantas radiales obtienen mejores economías de combustible que los equipados con llantas regulares con cinturón?
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Estadística Inferencial I Unidad 4
Solución: representemos con
µ1 y µ2 los kilómetros por litro promedio
para los autos equipados con llantas radiales y con cinturón, respectivamente.
1. Hо: µ12.
µ2= 0
H1: µ1- µ2 > 0
3. α= 0.05 4. Estadística de prueba : variable binomial x con p= ½ 5. Cálculos: después de reemplazar cada diferencia positiva con un símbolo “ + `` y cada diferencia negativa con un símbolo "-, y después descartar las dos diferencias cero ,obtenemos la secuencia + - + - + - + - + - + - + - + - + -+ - + Para la que n= 14 y x =11. Con el uso de la aproximación de la curva normal, encontramos que
Z= 10.5 – 7 = 1.87
√14/2 Y entonces P= P(X ≥ 11) ≈ P ( Z>1.87)= 0.0307
6. DECISION: rechazar Ho y concluir que, en promedio, las llantas radiales mejoran la economía de combustible.
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Estadística Inferencial I Unidad 4
4.2.3 PRUEBA DE KOLMOGOROV – SMIRNOV Recuérdese que para aplicar la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada cuando el modelo propuesto bajo
es continuo, es necesario aproximar
mediante
el agrupamiento de los datos observados en un número finito de intervalos de clase. Este requisito de agrupar los datos implica tener una muestra ´más o menos grande. De esta manera, la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada se
encuentra limitada cuando
es continua y la muestra aleatoria disponible
tiene un tamaño pequeño. Una prueba de bondad de ajuste más apropiada que la chi-cuadrada cuando Kolmogorov – Smirnov.
es continua, es la basad en la estadística de
La prueba de Kolmogorov – Smirnov no necesita que los datos se encuentren agrupados y es aplicable a muestras de tamaño pequeño. Ésta se basa en una comparación entre las funciones de distribución acumulativa que se observa en la muestra ordenada y la distribución propuesta bajo la hipótesis nula. Si esta comparación revela una diferencia suficientemente grande entre las funciones de distribución muestral y propuesta, entonces la hipótesis nula de que la distribución es
, se rechaza.
Considérese la hipótesis nula por en forma completa. Denótese por
, en donde
se especifica
a las observaciones ordenadas
de una muestra aleatoria de tamaño acumulativa muestral como
{
y defínase la función de distribución
En otras palabras, para cualquier valor ordenado de la muestra aleatoria,
es la proporción del número de valores en la muestra que son iguales o menores a
. Ya que
se encuentra completamente especificada, es posible evaluar a
para algún valor deseado de , y entonces compara este último con el valor
correspondiente de
. Si la hipótesis nula es verdadera, entonces es lógico Página 30
Estadística Inferencial I Unidad 4 esperar que la diferencia sea relativamente pequeña. La estadística de Kolmogorov – Smirnov se define como
||
.
La estadística
tiene una distribución que es independiente del modelo
propuesto bajo la hipótesis nula. Por esta razón, se dice
es una estadística
independiente de la distribución. Lo anterior da como resultado que la función de distribución para cualquier
valores cuantiles superiores de
. En la tabla J del apéndice, se proporcionan los para varios valores de la muestra. El lector debe
notar que los valores asintóticos de
que se encuentran en la parte inferior de la
tabla proporcionan una adecuada aproximación para los valores de mayores de 50.
Para un tamaño del error de tipo i, la región crítica es de la forma
( √ )
De acuerdo con lo anterior, la hipótesis observado del valor
se rechaza si para algún valor
se encuentra dentro de la región crítica de tamaño
Como se hizo anteriormente, la estadística de Kolmogorov – Smirnov es, en general, superior a la prueba de bondad de ajuste chi – cuadrada cuando los datos involucran una variable aleatoria continua, debido a que no es necesario agrupar los datos. Además, la prueba de Kolmogorov – Smirnov tiene la atractiva propiedad de ser aplicable a muestras de tamaño pequeño. Por otro lado, la estadística se encuentra limitada, ya que el modelo propuesto bajo
debe
especificarse en forma completa. La estadística de Kolmogorov – Smirnov no se aplica a todos aquellos casos para los que as observaciones no son inherentemente cuantitativas a consecuencia de las ambigüedades que pueden surgir cuando se ordenan las observaciones. Página 31
Estadística Inferencial I Unidad 4 4.2.4 PRUEBA DE ANDERSON-DARLING. Esta prueba compara la función de distribución acumulada empírica de los datos de su muestra con la distribución esperada si los datos son normales. Si esta diferencia observada es suficientemente grande, la prueba rechazará la hipótesis nula de normalidad en la población. En estadística, la prueba de Anderson-Darling es una prueba no paramétrica sobre si los datos de una muestra provienen de una distribución específica. La fórmula para el estadístico A determina si los datos
(observar
que los datos se deben ordenar) vienen de una distribución con función acumulativa F A2 = − N − S Donde:
El estadístico de la prueba se puede entonces comparar contra las distribuciones del estadístico de prueba (dependiendo que F se utiliza) para determinar el P-valor.
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Estadística Inferencial I Unidad 4 4.2.5 PRUEBA DE RYAN-JOINER Esta prueba evalúa la normalidad calculando la correlación entre sus datos y las puntuaciones normales de sus datos. Si el coeficiente de correlación se encuentra cerca de 1, es probable que la población sea normal. La estadística de Ryan-Joiner evalúa la solidez de esta correlación; si se encuentra por debajo del valor crítico apropiado, se rechazará la hipótesis nula
H0
de normalidad en la población. Esta prueba es similar a la prueba de normalidad de Shapiro-Wilk.
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Estadística Inferencial I Unidad 4 4.2.6 PRUEBA DE SHAPPIRO – WILK En estadística, la prueba de Shappiro –Wilk, se usa para contrastar la normalidad de un conjunto de datos. Se plantea como hipótesis nula que una muestra X 1,..., X n proviene de una población normalmente distribuida. Se considera uno de las
pruebas más potentes para el contraste de normalidad, sobre todo para muestras pequeñas (n<30). El estadístico de la prueba de Shappiro – Wilk es:
Donde:
= con el subíndice i entre paréntesis es el número que ocupa la i-ésima
posición en la muestra; = ( x 1 + ... + x n) / n es la media muestral;
Las constantes ai se calculan
Donde:
Siendo m1,..., mn son los valores medios del estadístico ordenado, de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, muestreadas de distribuciones normales. V es la matriz de covarianzas de ese estadístico de orden. La hipótesis nula se rechazará si W es demasiado pequeño.
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Estadística Inferencial I Unidad 4 CONCLUSION De esta manera puedo finalizar que es muy substancial tener siempre en cuenta la escala de medición que se está utilizando, pues no todos los procedimientos estadísticos son apropiados para cualquier análisis. En general, las variables estadísticas se clasifican en variables continuas o cuantitativas y variables discretas o cualitativas, según el nivel de escala en que estén medidas. Las variables continuas se refieren a magnitudes medidas en escala de intervalos o de razón, mientras que las variables discretas comprenden magnitudes medidas en escalas de nivel nominal y ordinal. Por otro lado puedo concluir que las pruebas no paramétricas se encargan de estudiar las pruebas y modelos estadísticos cuya distribución no se ajusta; o sea que no asumen ningún parámetro de las variables muéstrales, por eso es muy importante el conocimiento de las pruebas no paramétricas, ya que se aplica en la administración debido a la prueba de la tabla de contingencia como la de bondad de ajuste analizan datos nominales u ordinales. Estas pruebas, se usan ampliamente en las aplicaciones de negocios, lo que demuestra la importancia de la habilidad para manejar datos categóricos o jerarquizados además de los cuantitativos.
Domínguez Pérez Ruth Abigail
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Estadística Inferencial I Unidad 4 CONCLUSION Para el desarrollo de esta unidad nuevamente llevamos a cabo la formulación de hipótesis, y a partir de ello se realizan diversas pruebas, de las cuales hablare a continuación. Como pudimos notar el trabajo anterior trato a cerca de las pruebas de bondad de ajuste y las pruebas no paramétricas, a partir de ello puedo concluir que, una prueba de bondad de ajuste mide como su nombre lo indica, el grado o nivel de ajuste que existe entre una distribución obtenida a partir de una muestra y una distribución teórica que se supone debe seguir dicha muestra. Ambas pruebas están basadas en la hipótesis nula. Para probar la bondad de ajuste se utiliza un procedimiento basado en la distribución ji-cuadrada, y al obtener el valor de jicuadrada, mientras más cercano a cero esté, más ajustadas estarán las distribuciones. Otra de las pruebas es la de independencia, ésta trata de la comparación de dos situaciones, basándose en datos estadísticos obtenidos de la formulación de datos por medio de formulas y tablas, lo cual involucra las denominadas tablas de contingencia, estas agrupa los datos según renglones y columnas. Por otra parte tenemos las pruebas no paramétricas, éstas se refieren a aquellas pruebas que se realizan considerando varios procedimientos alternativos, llamados no paramétricos y que se encargan de estudiar las pruebas cuya distribución no se ajusta a los criterios paramétricos; es decir, que no asumen ningún parámetro de las variables muestrales. En resumen, las pruebas de Shappiro- Wilk, la de prueba de Anderson-Darling y la de Ryan-Joiner se utilizan para contrastar la normalidad de un conjunto de datos. Por otro lado se encuentra la prueba de Kolmogorov-Smirnov la cual es una de las pruebas básicas de bondad de ajuste. Para finalizar con el trabajo anterior pude notar que la distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística, la más conocida es la denominada prueba χ² la cual es utilizada como prueba de bondad de ajuste.
Estévez Ortega Abigail
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