ESTADISTICA 4TA UNIDAD

UNIDAD 4 Análisis de Regresión Lineal Simple, no Lineal y Múltiple. 4.1 Introducción al análisis de Regresión. 4.2 Diagrama de Dispersión. 4.3 Correlación; Medición de la intensidad y dirección de la asociación entre Variables. 4.4 Significación de la R de Pearson. 4.5 Tipos de Modelo de Regresión. 4.6 Desarrollo de Modelos de Regresión Lineal Simple. 4.7 Método de mínimos cuadrados y su interpretación. 4.8 Desarrollo del Modelo de Regresión Múltiple. 4.9 Coeficiente de Determinación Múltiple y su interpretación. 4.10 Predicción de la Variable Dependiente e Independiente. 4.11 Desarrollo del Modelo de Regresión Exponencial y su Interpretación. 4.12 Desarrollo del Modelo de Regresión Logarítmica y su interpretación. ING. NADIA PUENTES- ESTADISTICA APLICADA

INTRODUCCIÓN AL ANALISIS DE REGRESIÓN • Si existe una relación entre dos variables que se estén considerando, también sería deseable determinar la fuerza de esa relación o dependencia y el valor de una variable a partir del valor de la otra. Donde los métodos empleados para manejar este tipo de problemas se conocen como técnicas de regresión y correlación. • Dos o mas variables pueden estar involucradas en el análisis de regresión y correlación. Si solamente están involucradas dos variables se dice que la técnica es una regresión o correlación simple. Cuando están implicada tres o mas variables se trata se una regresión o correlación múltiple. • La técnica de regresión se refiere al procedimiento de obtener una ecuación con fines de estimación o predicción.

ING. NADIA PUENTES- ESTADISTICA APLICADA

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN • Un diagrama de dispersión proporciona una imagen visual del tipo de relación involucrada y sugiere el tipo de ecuación que mejor se ajustará a los datos . • La forma usual de construir un diagrama de dispersión es localizar los valores de las variables independientes X sobre el eje horizontal y los de las variable dependientes Y sobre el eje vertical; así se forma un plano bidimensional con X y Y. • EJEMPLO: – Se desea estimar la relación de los PPC (promedios de puntos de calificación) de bachillerato y universidad . Supóngase que se obtiene una muestra aleatoria de 20 estudiantes . El objetivo es ver si es posible predecir el valor de Y a partir de los valores conocidos de X. Primero se localizarán los datos en un diagrama de dispersión.


DIAGRAMA DE DISPERSIÓN •

Sugiere claramente una relación lineal positiva entre X y Y, esto es, el PPC de un estudiante de la universidad tiende a variar directamente de acuerdo a su PPC en bachillerato y se obtiene como resultado una línea recta.

PPC de PPC de Bachillerato Universidad Estudiante (X) (Y) 1 3 5 2 2 4 3 4 4 4 12 9 5 11 8 6 8 9 7 9 7 8 7 8 9 6 5 10 5 6 11 4 8 12 8 4 13 3 7 14 12 6 15 9 8 16 8 5 17 11 10 18 7 7 19 8 6 20 10 5

12

10

8

6

4

2

0 0

2

4

6


8

10

12

14

CORRELACIÓN, MEDICIÓN DE LA INTENSIDAD Y DIRECCIÓN DE LA ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES. •

•

• •

•

El objetivo principal del análisis de correlación lineal es medir la intensidad de la correlación entre dos variables. Si no existe un cambio definido en los valores de Y conforme aumentan los valores de X, se dice que no hay correlación o que no existe relación entre X e Y. En cambio , si al aumentar X hay una modificación definida de los valores de Y. Si tanto los valores de X como los de Y tienden a seguir una dirección recta, existe una correlación lineal. Si los datos forman una recta vertical u horizontal no existe correlación, pues una variable no tiene efecto sobre la otra.

No hay correlación

Correlación Positiva

ING. NADIA PUENTES- ESTADISTICA Correlación Negativa APLICADA

Correlación Perfecta Positiva

Correlación Perfecta Negativa

• El coeficiente de correlación r es la medida de la intensidad de la relación lineal entre dos variables. El coeficiente refleja el grado de relación o efecto que tiene el cambio de una variable sobre otra. • El grado de exactitud de la predicción depende de la cercanía de la relación entre X e Y, lo cual también se conoce como grado de correlación entre las dos variables. • La medida usual del grado de correlación basándose en una muestra de n pares de observaciones es el coeficiente de correlación, comúnmente denotado r. • El coeficiente de correlación lineal r siempre tiene un valor entre -1 y +1. Un valor igual a +1, o bien a -1 indica una correlación positiva o correlación negativa perfecta. ING. NADIA PUENTES- ESTADISTICA APLICADA

• Si la correlación entre X e Y es débil, muy poco de la variabilidad de Y puede atribuirse a su relación con X y r será cercano a 0. • Cuando r=0, indica que no existe correlación; esto es nada de variabilidad de Y puede atribuirse a su relación con X. • Cuando r está entre 0 y 1, existe una correlación positiva entre las dos variables X e Y. Si estas tienen una correlación positiva, los valores de X e Y tienden a moverse en la misma dirección. El valor de la variable tiende a variar directamente con el valor de la otra. • Cuando r está entre -1 y 0, existe una correlación negativa entre X e Y. Entonces los valores de X e Y tienden a moverse en dirección opuesta; cuando uno aumenta, el otro tiende a disminuir y viceversa. ING. NADIA PUENTES- ESTADISTICA APLICADA

MOMENTO PRODUCTO DE PEARSON ( x) SC ( x)   x  n

2

2

SC ( y ) 



( y ) 2 y  n

SC ( xy )   xy 

2

( x)( y ) n


r 

SC ( xy ) SC ( x ) SC ( y )

CONTINUACIÓN DE EJEMPLO 1 Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 TOTAL

PPC de Bach. PPC de Univ. (X) (Y) 3

5

X2

Y2 9

XY 25

2

4

4

16

8

4

4

16

16

16

12

9

144

81

108

11

8

121

64

88

8

9

64

81

72

9

7

81

49

63

7

8

49

64

56

6

5

36

25

30

5

6

25

36

30

4

8

16

64

32

8

4

64

16

32

3

7

9

49

21

12

6

144

36

72

9

8

81

64

72

8

5

64

25

40

11

10

121

100

110

7

7

49

49

49

8

6

64

36

48

10

5

100

25

50

1,261

921

1,012

147

131

SUSTITUCIÓN

15

SC ( x) 

SC ( y ) 

x



2



( x) n

2

( y ) y  n

21,609 = 20

180.55

SC(y)= 921 -

17,161 = 20

62.95

2

2

SC ( xy )   xy 

SC(x)= 1261 -

( x)( y ) n

SC(x y)= 1012 -

19,257 =

49.15

20

RESULTADO r 

SC ( xy ) SC ( x ) SC ( y )


r =

49.15 = 0.46 106.61

ECUACIONES DE PREDICCIÓN

y  b0  b1 x

Lineal

y  a  bx  cx

2

Cuadrática

x

y  a(b )

Exponencial

y  a log b x ING. NADIA PUENTES- ESTADISTICA APLICADA

Logarítmica

PROBLEMA 1

• Se condujo a un experimento para estudiar la relación existente entre rendimiento de maíz y e la cantidad de fertilizante aplicada por parcela. 80

70

60

50

40

30

20

10

-

0.5

1.0

1.5

2.0


2.5

3.0

3.5

PROBLEMA 1

• Se condujo a un experimento para estudiar la relación existente entre rendimiento de maíz y e la cantidad de fertilizante aplicada por parcela. Cantidad de Estudio de la fertilizante relación entre Aplicada por Rend. rendimiento de parcela del maíz maíz fertilizante (X) (Y)

SC(x)= X2

Y2

1.3

60

2

3,600

78

2

2.5

72

6

5,184

180

3

1.8

61

3

3,721

110

4

3.1

70

10

4,900

217

5

2.7

68

7

4,624

184

22,029

768.40

11 .40

331

28.08

-

129.96 5

= 2.09

XY

1

TOTAL

28.08

SC(y)= 22,029.00 - 109,561.00 = 116.80 5

SC(xy)=

768.40

r= 13.72

15.62


-

3,773.40 = 13.20 5

= 0.88

DESARROLLO DE MODELOS DE REGRESIÓN MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Y SU

LINEAL SIMPLE. INTERPRETACIÓN.

• El análisis de regresión calcula una ecuación que produce valores de Y para valores dado de X. Uno de los principales objetivos del análisis de regresión es hacer predicciones. • Generalmente no se predice el valor exacto de Y . Se acepta por lo general si las predicciones están razonablemente cercanas a los valores reales. • El estadístico busca una ecuación que le permita expresar la relación entre los datos variables. La ecuación que se elige es aquella que se ajusta mejor al diagrama de dispersión. • La relación entre las dos variables será una expresión algebraica que describe la relación matemática entre X e Y.




• Si parece apropiada una relación definida por una recta, la recta de mejor ajuste se encuentra utilizando el método de mínimos cuadrados . • El criterio de mínimos cuadrado implica que la recta elegida para ajustar los puntos del diagrama de dispersión sea tal que la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los puntos y la recta sea lo mas pequeña posible. Es la ecuación de la recta del valor predicho de Y que corresponde a un valor particular de X.




Pendiente

SC ( xy ) b1  SC ( x) Ordenada en el Origen

1 b0  ( y  b1   x) n


Ecuación de la recta del mejor ajuste

y ˆ  b0  b1 x

DESARROLLO DE MODELOS DE REGRESIÓN MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Y SU CONTINUACIÓN DE EJEMPLO 1

b1 =

49.15 = 0.27 180.55

b0 =

4.56

yˆ  4.56  0.27 x



*DESARROLLO DEL MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE. *COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN MÚLTIPLE Y SU INTERPRETACIÓN. *PREDICCIÓN DE LA VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE .

• La regresión múltiple se define como el procedimiento estadístico en virtud del cual algunas variables se usan para predecir a otra variable.

• El objetivo del análisis de regresión múltiple consiste en dar a conocer aquellas variables que son de utilidad en la predicción del valor de una variable dependiente. Cuando existe una variable que no resulta de ayuda

en la predicción del análisis, esta variable puede ser eliminada del modelo de regresión múltiple y así resultaría un modelo mas fácil de utilizar.


*DESARROLLO DEL MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE. *COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN MÚLTIPLE Y SU INTERPRETACIÓN. *PREDICCIÓN DE LA VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE .

• La principal ventaja del análisis, es que permite utilizar un parte mayor de la

información que disponemos para estimar la variable dependiente. • El uso de regresión múltiple en cualquier tipo de problema, se puede pronosticar una variable en término de otra con mucha precisión. • El análisis de regresión múltiple se utiliza en situaciones donde se tiene mas de un factor (variables de regresión) afecten en el resultado observado (Variable de respuesta).


*DESARROLLO DEL MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE. *COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN MÚLTIPLE Y SU INTERPRETACIÓN. *PREDICCIÓN DE LA VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE . •

Ejemplos de situaciones en las que se utiliza regresión múltiple.

Variables Dependientes

Variables Independientes

Cosecha

Cantidad de fertilizante, lluvia, tipo de suelo.

Salario anual

Años en la compañía, escolaridad.

Dureza de acero

Tiempo de recorrido, cantidad de carbono, índice de enfriamiento

Volumen de Ventas

Gasto de publicidad, precio.

Demanda de la carne de pollo

Precio de carne de res, de cerdo, de pollo.


ECUACIONES NORMALES DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES.

 y  nb

0

 b1 ( x1 )  b2 ( x2 ) Ecuación

 x y  b ( x )  b ( x )  b ( x x ) 2

1

0

1

1

1

2

1 2

 x y  b ( x )  b ( x x )  b ( x ) 2

2

0

2

1

1 2

2


2

y  b0  b1 x1  b2 x2 Resultado DETERMINANTE

EJEMPLO 2 •

Los datos siguientes presentan el número de dormitorios, el número de baños y los precios a que se vendieron recientemente ocho casas unifamiliares en cierta comunidad: Número de dormitorios x1



Número de Baños x2

Precio (en dólares) y

3

2

78,800

2

1

74,300

4

3

83,800

2

1

74,200

3

2

79,700

2

2

74,900

5

3

88,400

4

2

82,900

Encuentre la ecuación lineal que nos permita pronosticar el precio de venta promedio de una casa unifamiliar en la comunidad de referencia en términos del número de baños y dormitorios. ING. NADIA PUENTES- ESTADISTICA APLICADA

PROBLEMA TAREA •

Los siguientes datos sobre las edades y los ingresos de una muestra aleatoria de cinco ejecutivos para una compañía multinacional grande y el número de años que cada uno asistió a la universidad: Edad



X1

Años de Universidad X2

Ingresos (en dólares) Y

38

4

81,700

46

0

73,300

39

5

89,500

43

2

79,800

32

4

69,900

Encuentre la ecuación lineal que nos permita pronosticar el ingreso promedio de los ejecutivos. Avalúe cada una de las fórmulas que nos permitirán realizar la determinarte para evaluar un de las x´s. ING. NADIA PUENTES- ESTADISTICA APLICADA

DESARROLLO DEL MODELO DE REGRESIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Ecuación curva exponencial

y  a b

2

x

SC ( xY ) 

( x)( Y)  xY   n

x

b1 

Ecuación logarítmica

log y  log a  x(log b)

( x)  n

SC ( x) 

2

SC ( xY ) SC ( x )

b0  Y  b1 x

Yˆ  log yˆ  b0  b1 x ING. NADIA PUENTES- ESTADISTICA APLICADA

EJEMPLO 3 •

Los datos siguientes son los beneficios netos de una compañía de una compañía durante el primero de seis años que ha operado: 1000 900

Año

Beneficio neto (miles de dólares)

1

112

700

2

149

600

3

238

500

4

354

400

5

580

300

6

867

200

800

100 0

1

2

3


4

5

6

EJEMPLO 4 •

Los siguientes datos relacionados con el crecimiento de una colonia de bacterias en un medio de cultivo:

Beneficio neto (miles de dólares)

700

Y

500

2

112

400

4

148

6

241

8

363

10

585

Días desde la inocula_ci ón

600

X

300 200 100

0 ING. NADIA PUENTES- ESTADISTICA APLICADA

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