1.1 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA INFERENCIAL Una introducción a la Estadística Inferencial El arte de obtener con confianza conclusiones sobre el modo de proceder del fenómeno que se estudia es el objeto de las diferentes técnicas existentes de Inferencia Estadística. La estadística inferencial o inductiva plantea y resuelve el problema de establecer previsiones y conclusiones generales sobre una población a partir de los resultados obtenidos de una muestra. Los modelos estadísticos actúan como puente entre lo observado (muestra) y lo desconocido (población). Su construcción y estudio están basados en el cálculo de probabilidades. Podemos concluir entonces que la Inferencia Estadística es la metodología tendente a hacer descripciones, predicciones, comparaciones y generalizaciones de una población estadística a partir de la información contenida en una muestra. Utiliza resultados obtenidos mediante la Estadística Descriptiva y se apoya fuertemente en el cálculo de probabilidades.
1.2 Muestreo: Introducción al muestreo y tipos de muestreo. Muestra: La muestra es una parte de la población, que es representativa de la misma. Entonces una muestra es una parte o un subconjunto de una población seleccionado con la finalidad de analizar y obtener propiedades de esta Muestreo: es el procedimiento mediante el cual se obtiene una muestra Algunas razones que que justifican justifican el uso del del muestreo muestreo son: 1) naturaleza destructiva del proceso de investigación 2) imposibilidad de revisar todos los elementos de la población. 3) Costo: al obtener los datos de una pequeña porción del total. 4) tiempo: al considerar solo una parte del total, su recolección y resumen se hará con mayor rapidez. 5) precisión: las posibilidades de usar personal mas capacitado y supervisar cuidadosamente el trabajo de campo y el procesamiento de la información Seleccionar una muestra adecuada:
Para seleccionar una muestra se deben tomar en cuenta algunas consideraciones elegir el tamaño de la muestra, lo cual depende no solo de la cantidad de información que se quiere conseguir, y el grado de certeza deseada, sino también del costo del muestreo y la selección de los elementos que la constituyen . Cualquiera sea el método elegido, el requisito mas importante es que la muestra obtenida proporciona una imagen tan real como sea posible de aquella población que se ha sometido al muestreo. Ya visto esto, este es otra definición del Muestreo: Proceso de medición de la información en solo una parte de la población estadística. Se define como el proceso de seleccionar un número de observaciones de un grupo Tipos de muestreo Existen dos métodos para seleccionar muestra de poblaciones Muestreo no aleatorio: Es práctica común seleccionar una muestra en forma intencional. De acuerdo a opiniones o criterios personales, fundamentalmente con el objeto de obtener información sin mucho costo. Ejemplo: si estamos estudiando el numero de personas que practican fútbol en una determinada región del país, tenemos que buscar específicamente a una persona que practique fútbol, es decir el proceso de elegir a quien se le aplica la encuesta no es aleatorio, a diferencia de que se pregunte que opina de la selección de fútbol de Venezuela, que la forma de elegir al encuestado si es aleatorio. Para ser no aleatorio tiene que cumplir con estas características: 1) la muestra consiste en los elementos que estén mas a la mano. 2) se seleccionan un grupo de unidades tipo. 3) La muestra esta compuesta por voluntarios. 4) La muestra es restringidas a la parte de la población que es fácilmente accesible. Muestreo aleatorio: En el cual todos los elementos de la población tienen la oportunidad de ser escogidos para la muestra. Este procedimiento da a cada elemento de la población una probabilidad de ser seleccionado. Dentro de este tipo se encuentran: a) muestreo aleatorio simple: Permite que cada muestra posible pueda ser elegida con la misma probabilidad. Por su parte cada elemento de la población tiene la misma oportunidad igual de ser incluido en la muestra.
b) muestreo sistemático: En algunos casos la manera más práctica de realizar un muestreo consiste en seleccionar, un primer elemento al azar y luego ir escogiendo cada x-término de una lista, o dejar pasar a x- individuos y preguntar al que sigue y así sucesivamente. Aunque un muestreo sistemático puede no ser aleatorio de acuerdo con la definición, a menudo es razonable tratar las muestras sistemáticas como si fueran aleatorias. El riesgo de los muestreos sistemáticos es el de las periodicidades ocultas. Supongamos que queremos testear el funcionamiento de una máquina, para lo cuál vamos a seleccionar una de cada 15 piezas producidas. Si ocurriera la desgracia de que justamente 1 de cada 15 piezas fuese defectuosa y el error de la máquina fuera defectuoso periódicamente, tendríamos dos posibles resultados muestrales: - Que falla siempre - Que no falla nunca.
c) Muestreo estratificado 1.-Si tenemos información a cerca de una población (es decir de su composición) y esta es importante para nuestra investigación, podemos mejorar el muestreo aleatorio por medio de la estratificación. Este es un procedimiento que consiste en estratificar o dividir la población en un numero de subpoblaciones o estratos. Y seleccionamos de cada estrato una muestra aleatoria. Este procedimiento se conoce como muestreo aleatorio (simple) estratificado.
Supongamos una población de tamaño N que se divide en k estratos cuyos tamaños son: N1, N 2, .....,Nk (N1 +N 2 +.....+Nk =N) Para obtener una distribución proporcional hemos de tener en cuenta que :
n N 1
1
n N
2
2
.......
n N
n
k
k
N
de donde se obtiene que y=1,2,3,4,.... k donde n= tamaño de la muestra.
n
i
N n N para i
•
Esta seria una distribución proporcional, pero hay otras formas de distribuir porciones de una muestra entre los distintos estratos, que serían: - Distribución óptima.
- Estratificación cruzada. - Muestreo por cuotas.
2.-Consiste en la división previa de la población de estudio en grupos o clases que se suponen homogéneos respecto a característica a estudiar. A cada uno de estos estratos se le asignaría una cuota que determinaría el número de miembros del mismo que compondrán la muestra. Dentro de cada estrato el muestreo se realizaría mediante m.a.s. Según la cantidad de elementos de la muestra que se han de elegir de cada uno de los estratos, existen dos técnicas de muestreo estratificado: Asignación proporcional: el tamaño de cada estrato en la muestra es proporcional a su tamaño en la población. Asignación óptima: la muestra recogerá más individuos de aquellos estratos que tengan más variabilidad. Para ello es necesario un conocimiento previo de la población. Por ejemplo, para un estudio de opinión, puede resultar interesante estudiar por separado las opiniones de hombres y mujeres pues se estima que, dentro de cada uno de estos grupos, puede haber cierta homogeneidad. Así, si la población está compuesta de un 55% de mujeres y un 45% de hombres, se tomaría una muestra que contenga también esa misma proporción. d) Muestreo por conglomerados: Por algunas razones naturales, los elementos muéstrales se encuentran formando grupos, como por ejemplo, las personas que viven en colonias de una ciudad, lo elementos de una caja de una línea de producción, los clubes de personas, las áreas arboladas de un terreno, etc. Como el objetivo del muestreo es levantar la mayor cantidad de información al menor costo, en este tipo de casos lo más económico el encuestar a un elemento muestral y a todos sus vecinos, así se ahorran los costos de un traslado del encuestador. A este modelo de muestreo se llama “Por conglomerados”, ya que una vez seleccionado un elemento para la muestra, se incluyen también a todos los elementos que estén alrededor de él. A diferencia del muestreo estratificado, este muestreo no requiere que los elementos tengan características homogéneas.
1.3 Teorema del límite central El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.
Ejemplo: la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una distribución normal. Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables continuas. Los parámetros de la distribución normal son: Media: n * m (media de la variable individual multiplicada por el número de variables independientes) Varianza: n * s2 (varianza de la variable individual multiplicada por el número de variables individuales) Veamos un ejemplo: Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25. Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras. La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto, según una distribución normal. Media = 100 * 0,5 = 50 Varianza = 100 * 0,25 = 25 Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la variable normal tipificada equivalente: (*) 5 es la raiz cuadrada de 25, o sea la desviación típica de esta distribución Por lo tanto: P (X > 60) = P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228 Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salga más de 60 caras es tan sólo del 2,28%
1.4 Distribuciones fundamentales para el muestreo Concepto de distribución de muestreo
La comprensión del concepto de la distribución de muestreo es fundamental para el correcto entendimiento de la inferencia estadística.
Una distribución de la población es la distribución de la totalidad de las medidas individuales de una población, en tanto que una distribución muestral es la distribución de los valores individuales incluidos en una muestra. En contraste con estas distribuciones de medidas individuales, una distribución de muestreo se refiere a la distribución de los diferentes valores que una estadística muestral, o estimador, podría adoptar en muchas muestras del mismo tamaño. Así, aunque por lo general disponemos únicamente de una muestra aleatoria o subgrupo racional, reconocemos que la estadística muestral particular que determinamos, como la media o mediana de la muestra, no es exactamente igual al respectivo parámetro de la población. Más aún, el valor de una estadística muestral variará de una muestra a otra, a causa de la variabilidad del muestreo aleatorio, o error de muestreo. Ésta es la idea en la que se apoya el concepto de que toda estadística muestral es de hecho un tipo de variable cuya distribución de valores está representada por una distribución de muestreo. Distribución muestral de medias Una distribución muestral de medias o una distribución en el muestreo de la media se define como el conjunto de todas las medias que se pueden calcular en todas las muestras posibles que se pueden extraer, con o sin reemplazo, de una determinada población. Para detectar las relaciones a que nos hemos referido, partiremos de un ejemplo con una población pequeña. Media
Es el promedio aritmético de las medias del conjunto de datos; ya sea de la población o de la muestra.
También habremos de referirnos a la media como el valor esperado de X, y se denotará con E (X). Varianza
Es el promedio de la suma de los cuadrados de las desviaciones. Se entiende por desviación la diferencia de una media respecto a la media
Como puede verse, la varianza es una medida de dispersión. Indica, en promedio, qué tan alejados están los datos respecto de la media. Desviación típica o estándar
Es la raíz cuadrada de la varianza.
Por simplicidad, en las expresiones anteriores se acostumbra suprimir el subíndice i, así como los límites de las sumatorias:
Objetivo:
Obtener por medio de los estadígrafos (media y varianza) los parámetros poblacionales para poder determinarla distribución que presentan los años de las monedas de 10 centavos Hipótesis: Haciendo un muestro en la población de monedas de 10C, decimos que la medias
poblacionales del año de fabricación se distribuirán de manera normal
1.4.2 Distribución Muestral de Diferencia de Medias Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media
1
y desviación
estándar 1, y la segunda con media 2 y desviación estándar 2. Más aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n2 de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias entre medias o ladistribución muestral del estadístico
1.4.3 Distribución Muestral de Diferencia de Proporciones Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben compararse utilizando proporciones o porcentajes. A continuación se citan algunos ejemplos:
Educación.- ¿Es mayor la proporción de los estudiantes que aprueban matemáticas que las de los que aprueban inglés?
Medicina.- ¿Es menor el porcentaje de los usuarios del medicamento A que presentan una reacción adversa que el de los usuarios del fármaco B que también presentan una reacción de ese tipo? Administración.- ¿Hay diferencia entre los porcentajes de hombres y mujeres en posiciones gerenciales. Ingeniería.- ¿Existe diferencia entre la proporción de artículos defectuosos que genera la máquina A a los que genera la máquina B?
Cuando el muestreo procede de dos poblaciones binomiales y se trabaja con dos proporciones muestrales, la distribución muestral de diferencia de proporciones es aproximadamente normal para tamaños de muestra grande (n1p1 5, n1q1 5,n2p2 5 y n2q2 5). Entonces p1 y p2 tienen distribuciones muestrales aproximadamente normales, así que su diferencia p 1-p2 también tiene una distribución muestral aproximadamente normal.
Cuando se estudió a la distribución muestral de proporciones se comprobó que
y
que
y
que
,
por
lo
que
no
es
difícil
deducir
que
.
La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de proporciones es:
La distribución es aproximadamente normal para n1 30 y n2 30. Si las poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de medias es normal sin importar los tamaños de las muestras.
En ejercicios anteriores se había demostrado que
deducir que
y que
y que
, por lo que no es difícil
.
La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de medias es:
1.4.4 Distribución muestral de la diferencia de proporciones Una proporción poblacional se define como =X/N, donde X es el número de elementos en la población que poseen cierta característica y N es el total de elementos de la población. Una proporción muestral se define como p = x/n, donde x es el número de elementos en la muestra que poseen cierta característica y n es el total de elementos de la muestra. Cuando se desea estimar una proporción, el tamaño de la muestra siempre debe ser grande, es decir, n 30.
Si la muestra se obtiene con reemplazo, x tiene distribución binomial y debido a que la muestra es grande, por el teorema central del límite se aproxima a una distribución normal; por consiguiente:
Debido a que se desconoce la proporción poblacional, se utiliza la proporción muestral para estimar la varianza, por lo tanto:
1.4.5 Distribución t-Student Condiciones: Se utiliza en muestras pequeñas de 30 o menos elementos. La desviación estándar de la población no se conoce. Características: La distribución t-Student es menor en la media y más alta en los extremos que una distribución normal. Tiene mayor parte de su área en los extremos que la distribución normal.
Existe una distribución t para cada tamaño de la muestra, por lo que “Existe una distribución para cada uno de los grados de libertad”.
Los grados de libertad son el número de valores elegidos libremente. Para un conjunto de datos de una muestra, con distribución t-Student los grados de libertad se calculan de la siguiente manera: G.L. = n – 1 Ejemplo:
Se tiene una muestra de 7 elementos con una media de 16. Media= a+b+c+d+e+f+g =16 7 G.L.= n – 1 =7-1= 6 El supuesto fundamental es que la población tiene distribución normal con media . De esta población se obtiene una muestra aleatoria de tamaño n.
1.4.6 Distribución muestral de la varianza La varianza de la muestra se define como:
Si se multiplica por n/
se obtiene:
(1.1)
y varianza
La expresión (1.1) es similar a:
que tiene distribución chi-cuadrado con n grados de libertad. La única diferencia es que en el uno interviene la media muestral (x) y en el otro la media poblacional ( ). Por lo tanto, la pregunta es si la expresión (1.1) también tiene distribución chi-cuadrado con n grados de libertad. que tiene distribución chi-cuadrado con n grados de libertad. La única diferencia es que en el uno interviene la media muestral (x) y en el otro la media poblacional ( ). Por lo tanto, la pregunta es si la expresión (1.1) también tiene distribución chi-cuadrado con n grados de libertad. Recordemos que una variable aleatoria con distribución normal estándar, elevada al cuadrado, tiene distribucion chi-cuadrado y sus grados de libertad dependen del número de observaciones. Si una variable aleatoria X tiene distribución normal, N( ,
), por el teorema central del límite:
Para hacer la demostración partimos de la expresión (1.2), a la que se le resta y se le suma la media muestral:
Desarrollando el binomio y aplicando propiedades de la suma se obtiene:
Por propiedades de la media:
Despejando:
Por lo tanto,
Es decir que la sustitución de la media poblacional por la media muestral reduce en 1 los grados de libertad de la chi-cuadrado. Lo anterior nos indica que cada vez que se reemplaza un parámetro por un estimador, se reduce en 1 los grados de libertad de la distribución chi-cuadrado. Si se utiliza la varianza corregida,
Lo anterior se debe a que la varianza corregida se define como:
En caso de ser iguales se trabaja con el 3 y si son diferentes se trabaja con el caso 4 de los casos especiales.
1.4.7 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL
DE
LA RELACIÓN DE
VARIANZAS.
