Alumno: Aldair Rios Marin
Docente: Ing. Juan Omar López marcial
Materia: Estadística Inferencial 1
Especialidad: ing. Industrial Semestre: 3° Grupo: “Q” UNIDAD 2
Juchitan de Zaragoza Oaxaca, noviembre 2017
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INDICE UNIDAD 2 2.1 INTRODUCCIÓN A LA ESTIMACION…………………………………………. 3 2.2 CARACTERISTICA DE UN BUEN ESTIMADOR…………………………….. 4 2.3 ESTIMACIÓN PUNTUAL…………………………………………… PUNTUAL………………………………………………………… …………… 5 2.4 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS………………………………………… INTERVALOS………………………………………………. ……. 6 2.4.1 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA…………………………… MEDIA…………………………… 10 10 2.4.2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA L A DIFERENCIA DE MEDIA…………………….10 MEDIA…………………….10.. 2.4.3 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA L A PROPORCIÓN ………………………………..14 ………………………………..14 2.4.4INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………16 16… … 2.4.5 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA …………………………………… ……………………………………17 17 2.4.6 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA RELACIÓN DE VARIANZAS……………………………………………… VARIANZAS………………………………………………………………………………………… ………………………………………… 18 2.5 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA………………………………………………. MUESTRA……………………………………………….20 20 2.5.1 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA BASADO EN LA MEDIA DE LA POBLACIÓN …………………………………………………………… ……………………………………………………………21 21 2.5.2 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA BASADO EN LA PROPORCIÓN P ROPORCIÓN DE LA POBLACIÓN………………………………….21 POBLACIÓN………………………………….21 2.5.3 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA BASADO EN LA DIFERENCIA ENTRE LAS MEDIAS DE LA POBLACIÓN………………………. POBLACIÓN……………………….23
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UNIDAD 2 2.1 INTRODUCCIÓN A LA ESTIMACION La Estadística descriptiva y la teoría de la Probabilidad van a ser los pilares de un nuevo procedimiento (Estadística Inferencial) con los que se va a estudiar el comportamiento global de un fenómeno. La probabilidad y los modelos de distribución junto con las técnicas descriptivas, constituyen la base de una nueva forma de interpretar la información suministrada por una parcela de la realidad que interesa investigar. Los métodos básicos de la estadística inferencial son la estimación y el contraste de hipótesis, que juegan un papel fundamental en la investigación. Por tanto, algunos de los objetivos que se persiguen en este tema son: Inferencia, estimación y contraste de hipótesis
Calcular los parámetros de la distribución de medias o proporciones muestrales de tamaño n, extraídas de una población de media y varianza conocidas.
Estimar la media o la proporción de una población a partir de la media o proporción muestral.
Utilizar distintos tamaños muestrales para controlar la confianza y el error admitido.
Contrastar los resultados obtenidos a partir de muestras.
Visualizar gráficamente, mediante las respectivas curvas normales, las
estimaciones realizadas.
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2.2 CARACTERISTICA DE UN BUEN ESTIMADOR Insesgado. - Se dice que un estimador puntual qˆ es un estimador insesgado de q si E(qˆ) = q, para todo valor posible de q. En otras palabras, un estimador insesgado es aquel para el cual la media de la distribución muestral es el parámetro estimado. Si se usa la media muestral x para estimar la media poblacional m, se sabe que la mx = m, por lo tanto, la media es un estimador insesgado.
Eficiente o con varianza mínima. - Suponga que q ˆ 1 y q ˆ 2 son dos estimadores insesgados de q. Entonces, aun cuando la distribución de cada estimador esté centrada en el valor verdadero de q, las dispersiones de las distribuciones alrededor del valor verdadero pueden ser diferentes. Entre todos los estimadores de q que son insesgados, seleccione al que tenga varianza mínima. El q ˆ resultante recibe el nombre de estimador insesgado con varianza mínima (MVUE, mínimum variance unbiased estimator) de q. En otras palabras, la eficiencia se refiere al tamaño de error estándar de la estadística. Si comparamos dos estadísticas de una muestra del mismo tamaño y tratamos de decidir cuál de ellas es un estimador más eficiente, escogeríamos la 33 estadística que tuviera el menor error estándar, o la menor desviación estándar de la distribución de muestreo. Tiene sentido pensar que un estimador con un error estándar menor tendrá una mayor oportunidad de producir una estimación más cercana al parámetro de población que se está considerando. Como se puede observar las dos distribuciones tienen un mismo valor en el parámetro sólo que la distribución muestral de medias tiene una menor varianza, por lo que la media se convierte en un estimador eficiente e insesgado.
Coherencia. - Una estadística es un estimador coherente de un parámetro de población, si al aumentar el tamaño de la muestra se tiene casi la certeza de que el valor de la estadística se aproxima bastante al valor del parámetro de la población. Si un estimador es coherente se vuelve más confiable si tenemos tamaños de muestras más grandes.
Suficiencia. - Un estimador es suficiente si utiliza una cantidad de la información contenida de la muestra que ningún otro estimador podría extraer información adicional de la muestra sobre el parámetro de la población que se está estimando. Es decir, se 4|Página
pretende que al extraer la muestra el estadístico calculado contenga toda la información de esa muestra. Por ejemplo, cuando se calcula la media de la muestra, se necesitan todos los datos. Cuando se calcula la mediana de una muestra sólo se utiliza a un dato o a dos. Esto es solo el dato o los datos del centro son los que van a representar la muestra. Con esto se deduce que si utilizamos a todos los datos de la muestra como es en el caso de la media, la varianza, desviación estándar, etc. se tendrá un estimador suficiente.
2.3 ESTIMACIÓN PUNTUAL La inferencia estadística está casi siempre concentrada en obtener algún tipo de conclusión acerca de uno o más parámetros (características poblacionales). Para hacerlo, se requiere que un investigador obtenga datos muestrales de cada una de las poblaciones en estudio. Entonces, las conclusiones pueden estar basadas en los valores calculados de varias cantidades muestrales. Po ejemplo, representamos con m (parámetro) el verdadero promedio de resistencia a la ruptura de conexiones de alambres utilizados para unir obleas de semiconductores. Podría tomarse una muestra aleatoria de 10 conexiones para determinar la resistencia a la ruptura de cada una, y la media muestral de la resistencia a la ruptura x se podía emplear para sacar una conclusión acerca del valor de m. De forma similar, si s 2 es la varianza de la distribución de resistencia a la ruptura, el valor de la varianza muestral s2 se podría utilizar para inferir algo acerca de s 2. Cuando se analizan conceptos generales y métodos de inferencia es conveniente tener un símbolo genérico para el parámetro de interés. Se utilizará la letra griega q para este propósito. El objetivo de la estimación puntual es seleccionar sólo un número, basados en datos de la muestra, que represente el valor más razonable de q. Una muestra aleatoria de 3 baterías para calculadora podría presentar duraciones observadas en horas de x1=5.0, x2=6.4 y x3=5.9. El valor calculado de la duración media muestral es x = 5.77, y es razonable considerar 5.77 como el valor más adecuado de m.
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El símbolo q ˆ (theta sombrero) suele ut ilizarse para representar el estimador de q y la estimación puntual resultante de una muestra dada. Entonces mˆ = x se lee como “el estimador puntual de m es la media muestral x ”. El enunciado “la estimación puntual de m es 5.77” se puede escribir en forma abreviada mˆ = 5.77. Ejemplo: En el futuro habrá cada vez más interés en desarrollar aleaciones de Mg de bajo costo, para varios procesos de fundición. En consecuencia, es importante contar con métodos prácticos para determinar varias propiedades mecánicas de esas aleaciones. Examine la siguiente muestra de mediciones del módulo de elasticidad obtenidos de un proceso de fundición a presión: 44.2 43.9 44.7 44.2 44.0 43.8 44.6 43.1 Suponga que esas observaciones son el resultado de una muestra aleatoria. Se desea estimar la varianza poblacional s 2. Un estimador natural es la varianza muestral: ( ) ( ) ( ) ( ) 0.251 8 1 44.2 44.0625 43.9 44.0625 ... 43.1 44.0625 1 ˆ 2 2 2 2 2 2 = - - + - + + - = - S - = = n x x s i s En el mejor de los casos, se encontrará un estimador q ˆ para el calcular = q ˆ siempre. Sin embargo, q ˆ es una función de las Xi muestrales, por lo que en sí misma una variable aleatoria. q = q ˆ + error de estimación entonces el estimador preciso sería uno que produzca sólo pequeñas diferencias de estimación, de modo que los valores estimados se acerquen al valor verdadero.
2.4 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Un estimado puntual, por ser un sólo número, no proporciona por sí mismo información alguna sobre la precisión y confiabilidad de la estimación. Por ejemplo, imagine que se usa el estadístico x para calcular un estimado puntual de la resistencia real a la ruptura de toallas de papel de cierta marca, y suponga q Distribución muestral de medias Distribución muestral de medianas 34 que x = 9322.7. Debido a la variabilidad de la muestra, nunca se tendrá el caso de que x =m. El estimado puntual nada dice sobre lo cercano que esta de m. Una alternativa para reportar un solo valor del parámetro que se esté estimando es calcular e informar todo un intervalo de valores factibles, un estimado de intervalo o intervalo de confianza (IC). Un intervalo de confianza se calcula siempre seleccionando primero un nivel de confianza, que es una medida del grado de fiabilidad en el intervalo. Un intervalo de confianza con un nivel de confianza de 95% de la resistencia real promedio a la ruptura podría tener un límite inferior de 9162.5 y uno 6|Página
superior de 9482.9. Entonces, en un nivel de confianza de 95%, es posible tener cualquier valor de m entre 9162.5 y 9482.9. Un nivel de confianza de 95% implica que 95% de todas las muestras daría lugar a un intervalo que incluye m o cualquier otro parámetro que se esté estimando, y sólo 5% de las muestras producirá un intervalo erróneo. Cuanto mayor sea el nivel de confianza podremos creer que el valor del parámetro que se estima está dentro del intervalo. Una interpretación correcta de la “confianza de 95%” radica en la interpretación frecuente de probabilidad a largo plazo: decir que un evento A tiene una probabilidad de 0.95, es decir que si el experimento donde A está definido re realiza una y otra vez, a largo plazo A ocurrirá 95% de las veces. Para este caso el 95% de los intervalos de confianza calculados contendrán a m. Esta es una construcción repetida de intervalos de confianza de 95% y se puede observar que de los 11 intervalos calculados sólo el tercero y el último no contienen el valor de m. De acuerdo con esta interpretación, el nivel de confianza de 95% no es tanto un enunciado sobre cualquier intervalo en particular, más bien se refiere a lo que sucedería si se tuvieran que construir un gran número de intervalos semejantes.
Ejemplo Se generan 100000 muestras aleatorias (n=25) de una población que sigue la distribución Normal, y resulta:
La distribución de las Medias muestrales aproxima al modelo Normal:
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En consecuencia, el intervalo dentro del cual se halla el 95% de las Medias muestrales es
(Nota: Los valores +-1.96 que multiplican la Desviación Típica de la distribución muestral son los valores cuya función de distribución es igual a 0.975 y 0.025 respectivamente y se pueden obtener en las tablas de la distribución Normal estandarizada o de funciones en aplicaciones informáticas como Excel). Seguidamente generamos una muestra de la población y obtenemos su Media, que es igual a 4.5. Si establecemos el intervalo alrededor de la Media muestral, el parámetro poblacional (5.1) está incluido dentro de sus límites:
Ahora bien, la distancia de un punto A a un punto B es la misma que de B a A. Por esa razón, la distancia desde m a la Media muestral es la misma que va de la Media muestral a m. En consecuencia, si hacemos un muestreo con un número grande de muestras observamos que el 95% de las veces (aproximadamente) el valor de la Media de la población (m) se encuentra dentro del intervalo definido alrededor de cada uno de los valores de la Media muestral. El porcentaje de veces que el valor de m se halla dentro de alguno de los intervalos de confianza es del 95%, y es denominado nivel de confianza. Si queremos establecer un intervalo de confianza en que el % de veces que m se halle dentro del intervalo sea igual al 99%, la expresión anterior es:
(Obtenemos el valor +-2.58 que multiplica la Desviación Típica de la distribución muestral en las tablas de la distribución Normal estandarizada o de funciones en aplicaciones informáticas como Excel), y son los valores cuya función de probabilidad es igual a 0.995 y 0.005 respectivamente).
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Ejemplo La siguiente imagen muestra la distribución de las Medias muestrales obtenidas de 100000 muestras aleatorias y los intervalos alrededor de cada una de las Medias obtenidas de diez de las muestras:
donde ls y le simbolizan los límites superior e inferior del intervalo de confianza al 95%.
Nueve de los diez intervalos (salvo el definido alrededor de la Media muestral igual a 3.7) incluyen el valor del parámetro dentro sus límites.
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2.4.1 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA En estadística, se llama intervalo de confianza a un par o varios pares de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo. El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más probabilidad de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumenta su probabilidad de error. Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ. Es habitual que el parámetro presente una distribución normal. También pueden construirse intervalos de confianza con la desigualdad de Chebyshev. En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por ciento para la estimación de un parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una expresión del tipo [θ1, θ2] tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la función de distribución de probabilidad de θ.
2.4.2 Intervalo de confianza para la diferencia de media Caso de varianza desconocida y común Supondremos la existencia de dos poblaciones sobre las que una variable determinada sigue una distribución Normal con idéntica varianza en las dos. Sobre la población 1, la variable sigue una distribución N (µ 1, σ) y, sobre la población 2, sigue una distri bución N (µ2, σ). Igualmente supondremos que disponemos de dos muestras aleatorias
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independientes,
una
para
cada
población,
de
tamaños
muestrales n1 y n2 respectivamente. El objetivo es construir un intervalo de confianza, con nivel de confianza (1 − α) · 100 %, para la diferencia de medias µ1 − µ2 El método se basa en la construcción de una nueva variable D, definida como la diferencia de las medias muestrales para cada población
Esta variable, bajo la hipótesis de independencia de las muestras, sigue una distribución Normal de esperanza µ1 − µ2 Y de varianza
La estimación conjunta, a partir de las dos muestras, de la varianza común viene dada por la expresión
Y, utilizando la propiedad de que la variable
Sigue una distribución χ2 con n1 + n2 − 2 grados de libertad, podemos construir un estadístico pivote que siga una distribución t de Suden y que nos proporciona la fórmula siguiente para el intervalo de confianza para la diferencia de medias: 11 | P á g i n a
