Unidad 3 Teoria de Decision

UNIDAD III TEORÍA DE DECISIÓN

3.1 Características generales de la teoría de decisiones. En términos generales, la teoría de decisiones se ocupa de decisiones contra la naturaleza. Esta frase se refiere a una situación donde el resultado (rendimiento) de una decisión individual depende de la acción de otro agente (naturaleza), sobre el cual no se tiene control. Por ejemplo, si la decisión consiste en llevar o no paraguas, el rendimiento (mojarse o no) dependerá del estado subsiguiente de la naturaleza. Es importante observar que en este modelo los rendimientos afectan únicamente al que toma la decisión. A la naturaleza no le importa cuál es el resultado. Esta condición distingue la teoría de decisiones de la teoría de juegos. En la teoría de los juegos ambos jugadores tienen un interés económico en el resultado. En los modelos de la teoría de decisiones, la pieza fundamental de información es la tabla de retribuciones, Como se observa en la tabla 3.1. Las decisiones alternativas están numeradas en un lado de la tabla y los posibles estados de la naturaleza están indicados en la parte superior. Las entradas del cuerpo de la tabla son las retribuciones para todas las combinaciones posibles de decisiones y estados de la naturaleza. El proceso de decisión es como sigue: 1. Usted, quien toma la decisión, selecciona una de las decisiones alternativas d 1 , d 2 ,......, d m . Suponga que elige d 1. 2. Una vez tomada su decisión, ocurre un estado de la naturaleza que queda fuera de su control. Suponga que ocurre el estado 2. 3. El rendimiento que usted reciba puede ser determinado ahora a partir de la tabla de retribuciones. Dado que usted tomó la decisión d 1 y ocurrió el estado de la naturaleza 2, el resultado es r 12 12.

Tabla 3.1 Tabla de retribuciones retribuciones Decisión

S 1

Estado de la naturaleza ...... S 2

d 1

r 11

r 12

d 2

r 21

r 22

. .

. .

. .

d m

r m1

r m2

...... ...... . . ......

S n r 1n

r 2 n

. . r mn

d 1 , d 2 ,......, d m

decisiones S 1 , S 2 ,......., S n estados de la naturaleza r 11 , r 1, 2 ,......., r mn rendimientos

Otra vez la decisión se toma primero y continuación ocurre uno de los estados de la naturaleza. Una vez tomada la decisión, no puede cambiarse después de ocurrido el estado de la naturaleza. En general la pregunta es, ¿cuál de las decisiones debemos seleccionar? Nos gustaría un rendimiento tan grande como sea posible; esto es el valor de r ijij más grande posible, donde i representa la 94

decisión tomada y j el estado de la naturaleza ocurrido. Es obvio que la decisión que debemos seleccionar dependerá de lo que creamos que la naturaleza hará, esto es cuál de los estados de la naturaleza ocurrirá. Si creemos que el estado 1 ocurrirá, seleccionaremos la decisión asociada con el valor mayor en la columna 1. Si creemos que es más probable que ocurra es estado 2, escogeremos la decisión a la que corresponde la retribución más alta en la columna 2 y así sucesivamente.

3.2 Criterios de decisión Determinísticos y Probabilísticos. Existen tres clases de modelos de decisión contra la naturaleza. Cada clase está definida por una suposición acerca del comportamiento de la naturaleza. Las tres clases son: decisiones bajo certidumbre, decisiones bajo riesgo y decisiones bajo incertidumbre.

3.2.1 Una decisión bajo certidumbre. Es aquella en la que se sabe cuál es el estado de la naturaleza que va a ocurrir. De manera alternativa, se puede pensar en ella como un caso con un solo estado de la naturaleza. Todos los modelos de programación lineal, los modelos de programación con enteros y otros modelos determinísticos, como el modelo CEP (Cantidad Económica del Pedido), pueden considerarse como decisiones contra la naturaleza debido a que solo hay un estado de la naturaleza. Esto es así dado que estamos seguros (dentro del contexto del modelo) del rendimiento que obtendremos para cada decisión que tomemos.

Ejercicio 3.1 Sea el siguiente problema de programación lineal: Max Z = 50 E + 40 F S.a: 10 E + 15 F ≤ 150 20 E + 10 F ≤ 160 30 E + 10 F ≥ 135 E – 3 F ≤ 0 E+ F≥ 5

Decisión E = 0, F = 0 E = 5, F = 4 E = 6, F = 3.5

Estado de la naturaleza No factible Z = 410 Z = 440

Teóricamente, es fácil resolver un modelo con un solo estado de la naturaleza. Simplemente se selecciona la decisión con el rendimiento más alto.

3.2.2 Decisiones bajo riesgo. Una falta de certidumbre respecto a los eventos futuros es una característica de muchos, si no es que de la mayoría de los modelos de decisiones administrativas. administrativas. Definición de riesgo. La teoría de decisiones proporciona procedimientos alternativos para modelos que tienen menos de una total certidumbre. Uno de esos procedimientos se llama decisiones bajo riesgo. En este contexto, el término riesgo tiene un significado bien definido. Cuando hablamos de decisiones bajo riesgo, nos referimos a una clase de modelos de decisión para lo cual hay más de un estado de la naturaleza y 95

que quien toma la decisión puede llegar a una estimación de probabilidades de la ocurrencia de cada uno de los diversos estados de la naturaleza En muchas situaciones de toma de decisiones podremos obtener estimaciones de probabilidades para cada uno de los estados de la naturaleza. Cuando estas probabilidades están disponibles, podemos utilizar el enfoque de valor esperado para identificar cuál es la mejor alternativa de decisión. Sea: n = número de estados de la naturaleza. P(S j) = probabilidad del estado de la naturaleza S j. P(S j) ≥ 0 n

 P(S )  1 j

j 1

El valor esperado (VE ) de la alternativa de decisión d i se define como: VE (d i ) 

n

 P(S )r j

ij

j 1

El valor esperado de una alternativa de decisión es la suma de los pagos ponderados correspondientes a la alternativa de decisión. La ponderación para un pago es la probabilidad de que dicho pago ocurra.

Ejercicio 3.2 Una empresa denominada PDC compró compró unos terrenos en los que construirá un nuevo complejo de condominios de lujo. PDC comisionó comisionó los bocetos arquitectónicos preliminares para 3 proyectos de diferente tamaño: uno con 30 condominios, otro con 60 y uno más con 90. El éxito financiero del proyecto depende del tamaño del complejo de condominios y el evento fortuito de la demanda que exista para los inmuebles. El problema de decisión de PDC es seleccionar el tamaño del nuevo proyecto que llevará a la mayor ganancia dada dad a la incertidumbre en la demanda de los condominios. cond ominios. Dado el planteamiento del problema, la decisión es seleccionar el mejor tamaño para el proyecto. PDC tiene tiene las siguientes alternativas de decisión: d 1 = un complejo pequeño con 30 condominios. d 2 = un complejo mediano con 60 condominiosd 3 = un complejo grande con 90 condominios.

Los estados de la naturaleza son: S 1 = demanda fuerte para los condominios. S 2 = demanda débil para los condominios.

La tabla de resultados con ganancias expresadas en millones de pesos se muestra en la tabla 3.2.

96

Tabla 3.2 Tabla de resultados para el proyecto de condominios Estado de la naturaleza Alternativa de decisión Demanda fuerte S 1 Demanda débil S 2 Complejo pequeño, d 1 8 7 Complejo mediano, d 2 14 5 Complejo grande, d 3 20 -9 P(S 1) = 0.8

y P(S 2) = 0.2.

Cálculo del Valor Esperado para cada alternativa de decisión. VE(d 1) = 0.8 (8) + 0.2 (7) = 7.8 VE(d 2) = 0.8 (14) + 0.2 (5) = 12.2 VE(d 3) = 0.8 (20) + 0.2 (-9) = 14.2

Por lo que utilizando el enfoque de valor esperado, encontramos que el complejo de condominios grande, con un valor esperado de $14.2, es la decisión recomendada.

Ejercicio 3.3 El modelo del repartidor de periódicos. Un repartidor de periódicos puede comprar cierto periódico a $4.00 cada uno y venderlo a $7.50. Sin embargo debe adquirir los periódicos antes de saber cuántos puede vender realmente. Si compra más periódicos de los que puede vender, simplemente desechará el excedente sin costo adicional. Si no compra suficientes periódicos, pierde ventas potenciales ahora y posiblemente en el futuro (los clientes disgustados podrían ya no comprarle). Suponga que esta pérdida de ventas futuras es representada por costo de pérdida estimado en $5.00 por cliente insatisfecho. Suponga que la distribución de la demanda es: P0 = Probabilidad (demanda = 0) = 0.1

P1 = Probabilidad (demanda = 1) = 0.3 P2 = Probabilidad (demanda = 2) = 0.4 P3 = Probabilidad (demanda = 3) = 0.2

En este modelo, cada uno de los 4 diferentes valores de la demanda es un estado de la naturaleza diferente y el número de periódicos ordenados es la decisión. Los rendimientos o retribuciones se presentan a continuación: Retribución = 7.5 (No. de periódicos vendidos) – 4 (No. de periódicos ordenados) – 5 (demanda no satisfecha)

97

Decisión 0 1 2 3

Estado de la naturaleza (demanda) 0 1 2 3 0 -5.0 -10.0 -15.0 -4.0 3.5 -1.5 -6.5 -8.0 -0.5 7.0 2.0 -12.0 -4.5 3.0 10.5

VE 0 = 0.1 ( 0 ) + 0.3 ( -5 ) + 0.4 ( -10) + 0.2 (-15 ) = -8.5 VE 1 = 0.1 ( -4 ) + 0.3 ( 3.5 ) + 0.4 ( -1.5) + 0.2 (-6.5 ) = -1.25 VE 2 = 0.1 ( -8 ) + 0.3 ( -0.5 ) + 0.4 ( 7 ) + 0.2 ( 2 ) = 2.25 VE 3 = 0.1 ( -12 ) + 0.3 ( -4.5 ) + 0.4 ( 3 ) + 0.2 (10.5) = 0.75

El mayor valor esperado es 2.25, por lo que la decisión recomendada es ordenar 2 periódicos.

3.2.3 Decisiones bajo incertidumbre. De igual forma se tiene más de un estado de la naturaleza, pero ahora quien toma la decisión no quiere o no puede especificar las probabilidades de que los diferentes estados de la naturaleza ocurran. Considerando enfoques en la toma de decisiones en la que se analiza el mejor y el peor caso. Debido a que en ocasiones enfoques diferentes conducen a diferentes recomendaciones, el tomador de decisiones necesita entender los enfoques disponibles y luego seleccionar el enfoque específico que, de acuerdo con su juicio sea el más apropiado. 3.2.3.1 Enfoque optimista: Evalúa cada alternativa de decisión en función del mejor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisión que se recomienda es la que da el mejor resultado posible. Para un problema en el que se desea la ganancia máxima, el enfoque optimista conduciría al tomador de decisiones a elegir la alternativa correspondiente a la mayor ganancia. Para problemas que implican minimización, este enfoque conduce a elegir la alternativa con el resultado más pequeño. Para un problema de maximización, el enfoque optimista a menudo se conoce como enfoque máximax; en un problema de minimización, la terminología correspondiente es minimin.

Ejercicio 3.4 Del ejercicio del vendedor de periódicos bajo el criterio optimista se tiene: Decisión 0 1 2 3

Estado de la naturaleza (demanda) 0 1 2 3 -5.0 -10.0 -15.0 0 -4.0 -1.5 -6.5 3.5 -8.0 -0.5 2.0 7.0 -12.0 -4.5 3.0 10.5

Rendimiento máximo 0 3.5 7.0 10.5 98

Debido a que 10.5, es el máximo resultado de los rendimientos máximos, la alternativa de decisión recomendada es d 3.

3.2.3.2 Enfoque conservador o pesimista: Evalúa cada alternativa de decisión desde el punto de vista del peor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisión recomendada es la que proporciona el mejor de los peores resultados posibles. Para un problema en el que la medida de salida es la ganancia, el enfoque conservador conduciría al tomador de decisiones, a elegir la alternativa que maximiza la ganancia mínima posible que podría obtenerse. Para problemas que implican minimización, este enfoque identifica la alternativa que minimizará el resultado máximo.

Ejercicio 3.5 Del ejercicio del vendedor de periódicos bajo el criterio conservador se tiene: Decisión 0 1 2 3

Estado de la naturaleza (demanda) 0 1 2 3 0 -5.0 -10.0 -15.0 -4.0 3.5 -1.5 -6.5 -0.5 7.0 2.0 -8.0 -4.5 3.0 10.5 -12.0

Rendimiento mínimo -15.0 -6.5 -8.0 -12.0

Debido a que -6.5, es el máximo resultado de los rendimientos mínimos, la alternativa de decisión recomendada es d 1.

3.2.3.3 Enfoque mínimax de arrepentimiento: Es un enfoque para la toma de decisiones que no es ni totalmente optimista ni totalmente conservador. (se elige el mínimo de los máximos arrepentimientos). Se obtiene la matriz de arrepentimiento de la siguiente manera: Si r ij es de utilidad Para j = 1 hasta n { Para i = 1 hasta m {obtener el máximo de r ij } Para i = 1 hasta m { aij  máximo  r ij } }

Si r ij es de costos Para j = 1 hasta n { Para i = 1 hasta m { obtener el mínimo de r ij } Para i = 1 hasta m { aij  r ij  mínimo } }

Se obtiene el mínimo de los máximos arrepentimientos (minimax).

99

Ejercicio 3.6 Del ejercicio del vendedor de periódicos bajo el criterio mínimax de arrepentimiento se tiene: Como es una matriz de utilidad, se elige el máximo de cada estado de la naturaleza: Decisión 0 1 2 3

Estado de la naturaleza (demanda) 0 1 2 3 -5.0 -10.0 -15.0 0 -4.0 -1.5 -6.5 3.5 -8.0 -0.5 2.0 7.0 -12.0 -4.5 3.0 10.5

Se obtiene la diferencia del mayor de cada columna menos cada uno de los elementos restantes. Decisión 0 1 2 3

Estado de la naturaleza (demanda) 0 1 2 3 0 8.5 17.0 25.5 4.0 0 8.5 17.0 8.0 4.0 0 8.5 12.0 8.0 4.0 0

Máximo arrepentimiento 25.5 17.0 8.5 12.0

Debido a que 8.5, es el mínimo resultado de los máximos arrepentimientos, la alternativa de decisión recomendada es d 2.

3.2.3.4 Criterio de Laplace:  1 n  r ij   n  j 1 

Max o min 

i = 1,2,....,m

Ejercicio 3.7 Del ejercicio del vendedor de periódicos bajo el criterio de Laplace se tiene: Decisión 0 1 2 3


Promedio -7.5 -2.125 0.125 -0.75

Debido a que 0.125, es el máximo de los promedios, la alternativa de decisión recomendada es d 2. 100

3.2.3.5 Criterio de Hurwicz Con este criterio la idea es combinar los criterios pesimista y optimista, donde se usa α como índice de optimismo. Si α = 0 el criterio es conservador porque es equivalente a aplicar el criterio mínimax regular. Si α = 1 el criterio genera resultados optimistas porque es equivalente a aplicar la mejor de las mejores condiciones. Se puede ajustar el grado de optimismo (o pesimismo) a través de una selección apropiada del valor de α. En ausencia de una fuerte opinión con respecto al optimismo o pesimismo, α = 0.5 será una elección apropiada. 1. El coeficiente de optimismo α estará entre 0 y 1. 2. Calcule para cada alternativa: Si la matriz es de utilidad: Ganancia = α * (ganancia máxima) + ( 1 – α ) * ( ganancia mínima ) Si la matriz es de costos: Costo = α * (costo mínimo) + ( 1 – α ) * ( costo máximo ) 3. Seleccione la alternativa: Si la matriz es de utilidad: Seleccione la de mayor ganancia. Si la matriz es de costos: Seleccione la de menor costo .

Ejercicio 3.8 Del ejercicio del vendedor de periódicos bajo el criterio de Hurwicz se tiene: Decisión 0 1 2 3


Ganancia máxima

Ganancia mínima

0 3.5 7.0 10.5

-15.0 -6.5 -8.0 -12.0

α = 0.6 α max + (1 – α )

*min -6.0 -0.5 1.0 1.5

Debido a que 1.5, es el máximo, la alternativa de decisión recomendada es d 3.

Ejercicio 3.9 Se tiene la siguiente matriz de costos, determinar que decisión tomar usando el enfoque optimista: Decisión 1 2 3 4

Estado de la naturaleza 1 2 3 4 5 10 18 25 8 7 12 23 21 18 12 21 30 22 19 15

101

Decisión

1

2

3

4

1 2 3 4

5 8 21 30

10 7 18 22

18 12 12 19

25 23 21 15

Costo mínimo 5 7 12 15

Debido a que 5, es el mínimo resultado de los costos mínimos, la alternativa de decisión recomendada es d 1.

Ejercicio 3.10 De la matriz de costos del ejercicio 3.9, determinar que decisión tomar usando el enfoque conservador: Decisión

1

2

3

4

1 2 3 4

5 8 21 30

10 7 18 22

18 12 12 19

25 23 21 15

Costo máximo 25 23 21 30

Debido a que 21, es el mínimo resultado de los costos máximos, la alternativa de decisión recomendada es d 3.

Ejercicio 3.11 De la matriz de costos del ejercicio 3.9, determinar que decisión tomar usando el enfoque mínimax de arrepentimiento: Como es una matriz de costos, se elige el mínimo de cada estado de la naturaleza: Decisión 1 2 3 4

1 5 8 21 30

2 10 7 18 22

3 18 12 12 19

4 25 23 21 15

Se obtiene la diferencia de cada elemento de la columna menos el menor de ella.

102

Decisión

1

2

3

4

1 2 3 4

0 3 16 25

3 0 11 15

6 0 0 7

10 8 6 0


Debido a que 8, es el mínimo resultado de los máximos arrepentimientos, la alternativa de decisión recomendada es d 2.

Ejercicio 3.12 De la matriz de costos del ejercicio 3.9, determinar que decisión tomar usando el enfoque de Laplace: Decisión 1 2 3 4

1 5 8 21 30

2 10 7 18 22

3 18 12 12 19

4 25 23 21 15

Promedio 14.5 12.5 18.0 21.5

Debido a que 12.5 es el mínimo de los promedios, la alternativa de decisión recomendada es d 2.

Ejercicio 3.13 De la matriz de costos del ejercicio 3.9, determinar que decisión tomar usando el enfoque de Hurwicz y diferentes valores de α: Decisión

1

2

3

4

1 2 3 4

5 8 21 30

10 7 18 22

18 12 12 19

25 23 21 15

Decisión 1 2 3 4 Decisión recomendada

Costo mínimo 5 7 12 15


α min + (1-α) max

25 - 20 α 23 - 16 α 21 - 9 α 30 - 15 α

5 α + ( 1 – α ) 25 7 α + ( 1 – α ) 23 12 α + ( 1 – α ) 21 15 α + ( 1 – α ) 30

Valores de α

0 25 23 21 30

0.2 21 19.8 19.2 27

0.4 17 16.6 17.4 24

0.5 15 15 16.5 22.5

0.6 13 13.4 15.6 21

0.8 9 10.2 13.8 18

1.0 5 7 12 15

3

3

2

1o2

1

1

1

103

3.3 Valor esperado de la información perfecta. Del ejercicio 3.2, suponga que PDC se tiene la oportunidad de llevar a cabo un estudio de investigación de mercados que le ayudaría a evaluar el interés en el proyecto de los compradores de condominios y proporcionar información que podría usar la administración para mejorar las evaluaciones de probabilidad para los estados de la naturaleza. Para determinar el valor potencial de esta información, comenzamos suponiendo que el estudio podría brindar información perfecta respecto a los estados de la naturaleza; es decir suponemos por el momento que PDC podría determinar con certeza, antes de tomar una decisión, cuál estado de la naturaleza va a ocurrir. Para usar esta información perfecta, elaboramos la estrategia de decisión que PDC seguirá una vez que supiera cuál estado de la naturaleza debe ocurrir. Si se supiera con certeza que ocurrirá el estado de la naturaleza S 1, la mejor alternativa de decisión sería d 3, con un pago de $20. De manera similar si se supiera con certeza que el estado de la naturaleza S 2 va a ocurrir, la mejor alternativa de decisión sería d 1 con un pago de $7. Por lo que se puede establecer la estrategia de decisión con base a la información perfecta como sigue. Si ocurre S 1, selecciona d 3 y recibe un resultado de $20. Si ocurre S 2, selecciona d 1 y recibe un resultado de $7 Para calcular el valor esperado con información perfecta (VEcIP), se usan las probabilidades P(S 1) = 0.8 y P(S 2) = 0.2 VEcIP = 0.8 (20) + 0.2 (7) = 17.4 El valor esperado sin información perfecta (VEsIP) es $14.2. Por consiguiente el valor esperado de la información perfecta (VEIP) es: VEIP = (VEcIP) - (VEsIP) VEIP = 17.4 – 14.2 = 3.2

En otras palabras, $3.2 representa el valor esperado adicional que podría obtenerse si se dispusiera de información perfecta acerca de los estados de la naturaleza.

3.4 Árboles de decisión. Una forma clara y sencilla de estructurar el proceso de toma de decisiones es por medio de un árbol de decisión. El árbol de decisión está formado por nodos de decisión que se denotan con un cuadro (□), nodos de probabilidad que se denotan con un circulo (○) y ramas. Los nodos de decisión

representarán aquellos lugares en los que se toma una decisión y los nodos de probabilidad indicarán aquellas partes del proceso de toma de decisiones en las que ocurre algún estado de la naturaleza. Las ramas se utilizan para denotar las decisiones o los estados de la naturaleza. También pueden anotarse probabilidades sobre las ramas para denotar la probabilidad de que ocurra un estado determinado de la naturaleza. Por último se colocan los pagos al final de las ramas terminales del estado de la naturaleza para mostrar el resultado que se obtendría al tomar una decisión particular. Como ejemplo de árbol de decisión, se hará el árbol del ejercicio 3.2.

104

Figura 3.1 Árbol de decisión para el proyecto de condominios de PDC Fuerte (S 1)

2 Pequeño (d 1)

Débil (S 2) Fuerte (S 1)

1

Mediano (d 2)

8

7 14

3 Débil (S 2) Fuerte (S 1)

Grande (d 3)

4

Débil (S 2)

5 20

-9

3.5 Análisis de decisión con información muestral. En la aplicación del valor esperado se ha demostrado cómo la información de probabilidad sobre estados de la naturaleza afecta los cálculos del valor esperado y por lo tanto afecta la recomendación de decisión. Frecuentemente quienes toman las decisiones tienen estimaciones de probabilidad preliminares o estimados de probabilidad anteriores a los estados de la naturaleza que son los mejores valores de probabilidad disponibles. Sin embargo para la mejor decisión posible, quien toma las decisiones pudiera desear tener información adicional sobre los estados de la naturaleza. Esta nueva información se puede utilizar para revisar o actualizar las probabilidades previas, de manera que la decisión final se base en estimaciones de probabilidad más precisas para los estados de la naturaleza. Casi siempre, la información adicional se obtiene a través de experimentos diseñados para proporcionar información muestral sobre los estados de la naturaleza. Al muestreo de materias primas, las pruebas de productos y los estudios de información de mercado son ejemplos de experimentos que puedan permitir que la administración revise o actualice las probabilidades del estado de la naturaleza. En el análisis que sigue se puede estudiar el problema PDC del ejercicio 3.2, mostrando cómo utilizar información muestral para revisar las probabilidades de los estados de la naturaleza y se muestra cómo utilizar las probabilidades revisadas para desarrollar una estrategia de decisión para PDC . Dado que P(S 1) = 0.8 y P(S 2) = 0.2 son estimaciones desarrolladas anteriormente a la obtención de cualquier información muestral, se conocen como probabilidades previas de los estados de la naturaleza. Suponga que PDC piensa llevar a cabo un estudio de investigación de mercado de 6 meses, diseñado para evaluar la aceptación del mercado y finalmente el interés de los compradores en la adquisición de las unidades del condominio. La investigación de mercado proporcionará nueva información que se puede combinar con las probabilidades previas, a través de un procedimiento de revisión bayesiano, a fin de obtener estimaciones de probabilidades actualizadas o revisadas para los estados 105

de la naturaleza. Estas probabilidades revisadas se conocen como probabilidades posteriores. La figura 3.2 ilustra el proceso de revisión de probabilidades.

Figura 3.2 Revisión de probabilidad con base en información nueva. Probabilidades previas

Información nueva proveniente de investigación o experimentación

Probabilidades posteriores

Ejercicio 3.14 A través de la investigación o de la experimentación como información muestral. Los resultados de la información muestral para el estudio de investigación de mercado de PDC son: F =

Informe favorable de investigación de mercado (las personas entrevistadas expresan interés en adquirir un condominio PDC ) U =

Informe no favorable de investigación de mercado (las personas entrevistadas expresan poco interés en adquirir un condominio PDC ) En el problema PDC suponemos que las siguientes estimaciones para las probabilidades condicionales están disponibles. Estado de la naturaleza Elevada aceptación (S 1) Baja aceptación (S 2)

Investigación de mercado Favorable (F ) No favorable (U ) P(F/S 1) = 0.90 P(U/S 1) = 0.10 P(F/S 2) = 0.25 P(U/S 2) = 0.75

Note que estas estimaciones de probabilidad dan un grado razonable de confianza en el estudio de investigación de mercado. Si el verdadero estado de la naturaleza es S 1, la probabilidad de un informe favorable de investigación de mercado es 0.90 y la probabilidad de un informe no favorable de investigación de mercado es 0.10. Si el verdadero estado de la naturaleza es S 2, la probabilidad de un informe favorable es de 0.25 y la probabilidad de un informe no favorable es de 0.75. Una estrategia de decisión es una regla que debe seguir quien toma la decisión, con base en si el informe de mercado es favorable o no. Se utiliza un árbol de decisión para determinar la estrategia de decisión para PDC . El árbol de decisión con información muestral presenta la secuencia lógica para las decisiones y los nodos de probabilidad en la figura 3.3. Primero la administración debe decidir si debe realizarse la investigación de mercados; si se hace la administración debe estar preparada para tomar una decisión acerca del tamaño de proyecto del condominio si el informe de investigación es favorable y tal vez una decisión diferente acerca del tamaño del propio proyecto si el informe es desfavorable. En cada nodo de decisión, la rama del árbol que se toma se basa en la decisión adoptada; en cada nodo de probabilidad, la rama del árbol que se toma se basa en la probabilidad o el azar. Por ejemplo, el nodo de decisión 1 de la figura 3.3, primero debe tomarse la decisión de si se realiza el estudio de investigación de mercados. Si se emprende el estudio de investigación de mercados, el 106

nodo de probabilidad 2 indica que tanto la rama del informe favorable como la rama del informe desfavorable no están bajo control y serán determinadas por las circunstancias. El nodo 3 es un nodo de decisión, lo que indica que PDC debe tomar la decisión de construir el complejo pequeño, mediano o grande si el informe de investigación de mercados es favorable. El nodo 4 es un nodo de decisión que muestra que PDC debe tomar la decisión de construir el complejo pequeño, mediano o grande si el informe de investigación de mercados es no favorable. El nodo 5 es un nodo de decisión que indica que PDC debe tomar la decisión de construir el complejo pequeño, mediano o grande si la investigación de mercados no se realiza. Los nodos 6 al 14 son nodos de probabilidad que indican que las ramas del estado de la naturaleza de demanda fuerte o demanda débil serán determinadas por las circunstancias. Para desarrollar una estrategia de decisión utilizando el árbol de decisión de la figura 3.3, se necesitan probabilidades de la rama de la información muestral P(F) y P(U) y probabilidades de la rama del estado de la naturaleza P(S 1 /F), P(S 2 /F), P(S 1 /U) y P(S 2 /U). Para calcular estas probabilidades se utiliza el Teorema de Bayes, mediante el enfoque tabular. Los cálculos basados en un informe de investigación de mercados favorable (F ) se resumen en la tabla 3.3. Los pasos para elaborar esta tabla son los siguientes: 1. En la columna 1 se introducen los estados de la naturaleza. En la columna 2 se introducen las probabilidades previas para los estados de la naturaleza. En la columna 3 se introducen las probabilidades condicionales de un informe de investigación de mercados favorable (F ) dado cada estado de la naturaleza. 2. En la columna 4 se calculan las probabilidades conjuntas multiplicando los valores de probabilidad previa en la columna 2 por los correspondientes valores de probabilidad condicional en la columna 3. 3. Se suman las probabilidades conjuntas en la columna 4, para obtener la probabilidad de un informe de investigación de mercados favorable, P(F). 4. Se divide cada probabilidad conjunta en la columna 4 entre P(F) = 0.77, para obtener las probabilidades posteriores o revisadas, P(S 1 /F) y P(S 2 /F).

Tabla 3.3 Probabilidades de las ramas para el proyecto de condominio de PDC , con base en un informe favorable de investigación de mercado. Estado de la naturaleza

Probabilidades previas

Probabilidades condicionales

Probabilidades conjuntas


S j S 1 S 2

P(S j)

P(F / S j)

P(F ∩ S j)

P(S j / F)

0.8 0.2

0.90 0.25

0.72 0.05 0.77

0.9351 0.0649

P(F) =

El procedimiento de cálculo de probabilidad posterior, debe repetirse para cada resultado de información muestral posible. Por lo tanto la tabla 3.4 muestra los cálculos de las probabilidades de las ramas con base en un informe de investigación de mercados no favorable. Las probabilidades de las ramas de las tablas 3.3 y 3.4 se muestran en el árbol de la figura 3.3.

107

Figura 3.3 Árbol de decisión de PDC , agregando los resultados de investigación de mercados. Fuerte (S1) Pequeño (d1)

Favorable (F) P(F) = 0.77

3

Mediano (d2)

Grande (d3) Estudio de investigación de mercados

7

8

2

Débil (S2) P(S2/F) = 0.0649 Fuerte (S1) P(S1/F) = 0.9351

No favorable (U) P(U) = 0.23

4

Mediano (d 2)

Grande (d3)

Pequeño (d1)

Sin estudio de investigación de mercados

5

Mediano (d2)

Grande (d3)

9

10

11

12

13

14

8 7 14

Débil (S2) P(S2/F) = 0.0649

5

Fuerte (S1) P(S1/F) = 0.9351

20

Débil (S2) P(S2/F) = 0.0649

-9

Fuerte (S1) Pequeño (d1)

1

6

P(S1/F) = 0.9351

P(S1/U) = 0.3478 Débil (S2) P(S2/U) = 0.6522 Fuerte (S1) P(S1/U) = 0.3478

8 7 14

Débil (S2) P(S2/U) = 0.6522

5

Fuerte (S1) P(S1/U) = 0.3478

20

Débil (S2) P(S2/U) = 0.6522

-9

Fuerte (S1) P(S1) = 0.8

8

Débil (S2) P(S2) = 0.2

7

Fuerte (S1) P(S1) = 0.8

14

Débil (S2) P(S2) = 0.2

5

Fuerte (S1) P(S1) = 0.8

20

Débil (S2) P(S2) = 0.2

-9 108

Tabla 3.4 Probabilidades de las ramas para el proyecto de condominio de PDC , con base en un informe no favorable de investigación de mercado. Estado de la Probabilidades Probabilidades Probabilidades Probabilidades naturaleza previas condicionales conjuntas posteriores S j S 1 S 2

P(S j)

P(U / S j)

P(U ∩ S j)

P(S j / U)

0.8 0.2

0.10 0.75

0.08 0.15 0.23

0.3478 0.6522

P(U) =

El enfoque usado para determinar la estrategia de decisión, se basa en una marcha en sentido inverso por el árbol de decisión empleando la secuencia siguiente: 1. En los nodos de probabilidad, calcular el valor esperado multiplicando el resultado al final de cada rama por las probabilidades de rama correspondiente. 2. En los nodos de decisión, seleccionar la rama que conduzca al mejor valor esperado. Este valor esperado se vuelve el valor esperado en el nodo de decisión. Iniciar los cálculos de la marcha inversa encontrando los valores esperados en los nodos de probabilidad 6 al 14. VE (nodo 6) = 0.9351 (8) + 0.0649 (7) = 7.935 VE (nodo 7) = 0.9351 (14) + 0.0649 (5) = 13.416 VE (nodo 8) = 0.9351 (20) + 0.0649 (-9) = 18.118 VE (nodo 9) = 0.3478 (8) + 0.6522 (7) = 7.348 VE (nodo 10) = 0.3478 (14) + 0.6522 (5) = 8.13 VE (nodo 11)= 0.3478 (20) + 0.6522 (-9) = 1.086 VE (nodo 12) = 0. 8 (8) + 0. 2 (7) = 7.8 VE (nodo 13) = 0.8 (14) + 0.2 (5) = 12.2 VE (nodo 14)= 0.8 (20) + 0.2 (-9) = 14.2

A continuación pasar a los nodos de decisión 3, 4 y 5. Para cada uno de éstos, se selecciona la rama de la alternativa de decisión que conduce al mejor valor esperado. Por ejemplo en el nodo 3 se tiene la opción de la rama del complejo pequeño con VE (nodo 6) = 7.935, la rama del complejo mediano con VE (nodo 7) = 13.416 y la rama del complejo grande con VE (nodo 8) = 18.118. Por lo tanto, se selecciona la rama de la alternativa de decisión del complejo grande y el valor esperado en el nodo 3 se convierte en VE (nodo 3) = 18.118. Para los nodos 4 y 5 se utiliza el mismo procedimiento. La figura 3.4 muestra el árbol de decisión reducido después de elegir las mejores decisiones en los nodos 3, 4 y 5. El valor esperado del nodo de decisión 2, se calcula como sigue VE (nodo 2) = 0.77 VE (nodo 3) + 0.23 VE (nodo 4) VE (nodo 2) = 0.77 (18.118) + 0.23 (8.13) = 15.82

Este cálculo reduce al árbol de decisión a uno que sólo implica las dos ramas de decisión del nodo 1 (ver figura 3.5). Por último puede tomarse la decisión en el nodo de decisión 1 seleccionando el

109

mejor valor esperado de los nodos 2 y 5. Esta acción conduce a la alternativa de decisión de realizar el estudio de investigación de mercados, lo que proporciona un valor esperado global de 15.82. La decisión recomendada para PDC es realizar la investigación de mercados y luego implementar la siguiente estrategia de decisión: Si la investigación de mercados es favorable, construir un complejo de condominios grande. Si la investigación de mercados es no favorable, construir un complejo de condominios mediano.

Figura 3.4 Árbol de decisión de PDC , después de elegir las mejores decisiones en los nodos 3, 4 y 5. Favorable (F) P(F) = 0.77 Estudio de investigación de mercados

VE(d3) = 18.118

4

VE(d2) = 8.13

5

VE(d3) = 14.2

2 No favorable (U) P(U) = 0.23

1

3


Figura 3.5 Árbol de decisión de PDC , reducido a dos ramas de decisión. Estudio de investigación de mercados

2

VE = 15.82

5

VE = 14.2

1


En el problema de PDC , la investigación de mercados es la información muestral usada para determinar la estrategia de decisión óptima. El valor asociado con el estudio es 15.82 y el valor 110

esperado si no se lleva a cabo el estudio es 14.2. Por lo tanto podemos concluir que la diferencia, $15.82 – $14.20 = $1.62, es el valor esperado de la información muestral. En otras palabras realizar la investigación de mercados agrega $1.62 al valor esperado de PDC , en general el valor esperado de la información muestral es como sigue: VEIM = (VEcIM ) - (VEsIM )

Ejercicio 3.15 Una constructora adquirió terrenos cerca del Golfo de México y está intentando determinar el tamaño del proyecto de condominios que debe construir. Esta considerando tres tamaños: pequeño, medio y grande. La administración se da cuenta de que un desarrollo grande seguido por una baja demanda, podría resultar muy costoso para la empresa. Sin embargo si se toma una decisión conservadora de un desarrollo pequeño y a continuación se encuentra ante una demanda elevada, las utilidades de la empresa serán inferiores a las que podrían haber sido. Con los 3 niveles de demanda baja, media y alta, la administración ha preparado la siguiente tabla de utilidades (en miles de pesos). Alternativa de decisión Pequeño, d 1 Medio, d 2 Grande, d 3 Probabilidad previa

Baja (S 1) 400 100 -300 0.2

Demanda Media (S 2) 400 600 300 0.35

Alta (S 3) 400 600 900 0.45

a) ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta? b) Suponga que la empresa hace una encuesta para ayudar a evaluar la demanda del nuevo proyecto de condominios. La encuesta informa sobre 3 indicadores de la demanda: débil (D), promedio (P) y fuerte (F ). Las probabilidades condicionales son: D P( D/ S 1) = 0.6 P( D/ S 2) = 0.4 P( D/ S 3) = 0.1

P P( P/ S 1) = 0.3 P( P/ S 2) = 0.4 P( P/ S 3) = 0.4

F P( F/ S 1) = 0.1 P( F/ S 2) = 0.2 P( F/ S 3) = 0.5

¿Cuál es el valor esperado de la información muestral?

111

Figura 3.6 Árbol de decisión del ejercicio 3.15, incluyendo los valores esperados en los nodos. S1

d1

24/61

7 400

28/61

S2 S3

9/61

S1 Débil (D) 61/200

3

d

24/61

8

403.28

403.28

S2

28/61

S3 9/61

S1

d

24/61

9 152.46

S2

28/61

S3 9/61

S1

d1

3/19 10

400

7/19

S2 S3

9/19

S1 2 538.5

Promedio (D) 4 19/50 521.05

d

3/19 11

521.05

S2

7/19

S3 9/19

S1

d

3/19 12

489.47

1

S2

7/19

S3 9/19

S1

d

4/63 13

400

2/9

S2 S3

5/7

S1 Fuerte (F) 63/200

5

d

4/63 14

568.25

690.48

S2

2/9

S3 5/7

S1

d

4/63 15

690.48

S2

2/9

S3 5/7

400 400 400 100 600 600 -300 300 900 400 400 400 100 600 600 -300 300 900 400 400 400 100 600 600 -300 300 900

112

S1 1/5

d1

16

400

7/20

S2 S3

9/20

S1 1/5

d2

6

17

500

500

S2

7/20

S3 9/20

S1 1/5

d

18

450

400 400 400 100 600 600 -300

S2

300

S3

900

7/20 9/20

a) Para calcular el valor esperado con información perfecta (VEcIP), se usan las probabilidades P(S 1) = 0.2, P(S 2) = 0.35 y P(S 3) = 0.45 VEcIP = 0.2 (400) + 0.35 (600) + 0.45 (900) = 695

El valor esperado sin información perfecta (VEsIP) es $695. Por consiguiente el valor esperado de la información perfecta (VEIP) es: VEIP = (VEcIP) - (VEsIP) VEIP = 695 – 500 = 195

b) Para calcular el valor esperado de la información muestral, primero se obtienen las probabilidades de las ramas, de cada uno de los 3 posibles resultados de la encuesta, esto se realiza en las tablas 3.5, 3.6 y 3.7. Para este ejercicio para mayor rapidez en los cálculos, los valores esperados se indican en el árbol de la figura 3.6 VEIM = (VEcIM ) - (VEsIM ) VEIM = 538.5 – 500.0 VEIM = 38.5

Tabla 3.5 Probabilidades de las ramas con base en un informe de la demanda débil ( D) Estado de la naturaleza





S j S 1 S 2 S 3

P(S j)

P(D / S j)

P(D ∩ S j)

P(S j / D)

1/5 7/20 9/20

3/5 2/5 1/10

3/25 7/50 9/200 61/200

24/61 28/61 9/61

P(D) =

113

Tabla 3.6 Probabilidades de las ramas con base en un informe de la demanda promedio ( P). Estado de la naturaleza





S j S 1 S 2 S 3

P(S j)

P(P / S j)

P(P ∩ S j)

P(S j / P)

1/5 7/20 9/20

3/10 2/5 2/5

3/50 7/50 9/50 19/50

3/19 7/19 9/19

P(P) =

Tabla 3.7 Probabilidades de las ramas con base en un informe de la demanda fuerte ( F). Estado de la naturaleza





S j S 1 S 2 S 3

P(S j)

P(F / S j)

P(F ∩ S j)

P(S j / F)

1/5 7/20 9/20

1/10 1/5 1/2

1/50 7/100 9/40 63/200

3/19 7/19 9/19

P(F) =

Ejercicio 3.16 Cada 3 días, la Bishop debe decidir cuántas cajas de fresas debe pedir para los siguientes 3 días, Ben Jones gerente de la Bishop ha determinado que si el clima es bueno en general durante ese periodo de 3 días, puede vender 100 cajas, en tanto que si el clima no es tan bueno puede vender sólo 75 cajas. Si el clima es malo, las ventas son muy deficientes y puede vender sólo 50 cajas durante los 3 días. Dado que la duración de las fresas en los anaqueles es de sólo 3 días, las fresas que no se venden deben tirarse y no tienen ningún valor de recuperación. Ben puede comprar fresas en $5 la caja y venderla en $10. Los registros pasados del clima muestran que para cualquier periodo de 3 días, el clima es bueno 50% del tiempo, regular 20% del tiempo y malo 30% de las veces. La tabla de utilidades es la siguiente: Alternativa pide 50, d 1 75, d 2 100, d 3

Vende si el clima es Malo 50 Regular 75 Bueno 100 250 250 250 125 375 375 0 250 500

Ben Jones ha iniciado trámites para suscribirse a un servicio meteorológico especial que cuesta $100 por periodo de 3 días. La compañía que vende ese servicio le ha dado a Ben información con respecto a la efectividad de dicho servicio en los últimos 5 años. Esa información se presenta en porcentaje de las veces en que la compañía pronosticó en forma correcta cada uno de los tipos de clima que ocurrieron.

114

Clima que ocurrió en realidad Malo Regular Bueno 50% 30% 20% 30% 40% 40% 20% 30% 40%

Clima que se hubiera pronosticado Malo Regular Bueno

a) ¿Cuál es valor de la información perfecta para este problema? b) Aconseje a Ben con respecto a si debe suscribirse o no al servicio de pronósticos meteorológicos. a) Valor esperado de la información perfecta. VEsIP = 300, este cálculo se obtiene del nodo de decisión 6 de la figura 3.8. VEcIP = 250(0.3) + 375(0.2) + 500(0.5) = 400 VEIP = (VEcIP) - (VEsIP) VEIP = 400 – 300 = 100

b) Valor esperado de la información muestral El cálculo de las probabilidades de las ramas se realiza usando un procedimiento alternativo que consiste en invertir el árbol de probabilidad, como se indica a continuación y los resultados en la figura 3.7.

Figura 3.7 Probabilidades de la ramas, a través de invertir el árbol de probabilidad. ÁRBOL 1 Probabilidades previas

Probabilidades condicionales M

S1 3/10

1/2 R 3/10 B 1/5 M

S2 1/5

3/10 R 2/5 B 3/10

S3 1/2

M

1/5 R 2/5 B 2/5

ÁRBOL 2 Probabilidades conjuntas S1 M

3/20

S1 R

9/100

S1 B

3/50

S2 M

3/50

S2 R

2/25

S2 B

3/50

S3 M

1/10

S3 R

1/5

S3 B

1/5

Probabilidades resultado

Probabilidades posteriores S1

M 31/100

15/31 S2 6/31 S3 10/31 S1

R 37/100

9/37 S2 8/37 S3 20/37

B 8/25

S1

3/16 S2 3/16 S3 5/8

Probabilidades conjuntas M S1 3/20 M S2 3/50 M S3 1/10 R S1 9/100 R S2 2/25 R S3

1/5

B S1 3/50 B S2 3/50 B S3

1/5 115

Figura 3.8 Árbol de decisión del ejercicio 3.16, incluyendo los valores esperados en los nodos. S1

d1

15/31

7 250

6/31

S2 S3

10/31

S1 Malo 31/100

3

d

15/31

8

254.03

254.03

S2

6/31

S3 10/31

S1

d

15/31

9 209.68

S2

6/31

S3 10/31

S1

d1

9/37 10

250

8/37

S2 S3

20/37

S1 2 313.75

Regular 4 37/100 324.32

d

9/37 11

314.19

S2

8/37

S3 20/37

S1

d

9/37 12

324.32

1

S2

8/37

S3 20/37

S1

d

3/16 13

250

3/16

S2 S3

5/8

S1 Bueno 8/25

5

d

3/16 14

328.13

359.38

S2

3/16

S3 5/8

S1

d

3/16 15

359.38

S2

3/16

S3 5/8

250 250 250 125 375 375 0 250 500 250 250 250 125 375 375 0 250 500 250 250 250 125 375 375 0 250 500

116

S1

d1

3/10 16

250

1/5

S2 S3

1/2

S1 6

d2

3/10 17

300

300

S2

1/5

S3 1/2

S1

d

3/10 18

300

250 250 125 375 375 0

S2

250

S3

500

1/5 1/2

250

Procedimiento para calcular las probabilidades de las ramas, por medio de un árbol de probabilidad. 1. En las ramas principales se anotan los estados de la naturaleza con sus probabilidades ( probabilidades previas), en las ramas secundarias se anotan las probabilidades condicionales de un estudio de investigación, dado cada estado de la naturaleza. 2. Se calculan las probabilidades conjuntas, multiplicando los valores de probabilidad previa de las ramas principales por los correspondientes valores de probabilidad condicional de las ramas secundarias. 3. En el árbol 2 de la figura 3.7, se anotan las probabilidades conjuntas, de acuerdo al orden de la multiplicación, se suman estas probabilidades conjuntas, obteniendo las probabilidades resultado de investigación y se anotan en las ramas principales del árbol 2. 4. Se divide cada probabilidad conjunta entre las probabilidades resultado, para obtener las probabilidades posteriores y se anotan en las ramas secundarias. Para este ejercicio para mayor rapidez en los cálculos, los valores esperados se indican en el árbol de la figura 3.8. VEIM = (VEcIM ) - (VEsIM ) VEIM = 313.75 – 300.0 VEIM = 13.75 Debido a que el VEIM es $13.75 y el servicio meteorológico a pagar es de $100, Ben no debe suscribirse al servicio de pronóstico del tiempo

117

3.6 Teoría de utilidad. La utilidad es una medida del valor total de un resultado en particular; refleja la actitud de quien toma las decisiones hacia un conjunto de factores como utilidad, pérdida y riesgo. Los investigadores han encontrado que siempre que los valores monetarios de los pagos queden en un rango razonable, para quien toma las decisiones, la selección de la alternativa de decisión con el mejor valor monetario esperado por lo general lleva a la selección de la decisión más preferida. Sin embargo, cuando los pagos se hacen extremos, la mayor parte de quienes toman las decisiones no quedan satisfechos con la decisión que simplemente proporcione el mejor valor monetario esperado.

Ejercicio 3.17 Como ejemplo de una situación en que la utilidad puede ayudar a seleccionar la mejor alternativa de decisión, consideremos el problema que tiene Suofor , pequeña empresa de bienes y raíces. Utilizando la mejor información disponible, Suofor estima las oportunidades, es decir los pagos asociados con cada combinación de alternativa de decisión y de estado de naturaleza. La tabla resultante de pagos (en miles de pesos) aparece en la tabla 3.8.

Tabla 3.8 Tabla de pagos para Suofor. Estado de la naturaleza Alternativa de decisión Precios suben S 1 Precios estables S 2 Precios bajan S 3 Inversión A, d 1 $30 $20 -$50 Inversión B, d 2 $50 -$20 -$30 Sin inversión, d 3 0 0 0 P(S 1) = 0.3, P(S 2) = 0.5 y P(S 3) = 0.2.

Cálculo del Valor Esperado para cada alternativa de decisión. VE(d 1) = 0.3 (30) + 0.5 (20) + 0.2 (-50) = 9 VE(d 2) = 0.3 (50) + 0.5 (-20) + 0.2 (-30) = -1 VE(d 3) = 0.3 (0) + 0.5 (0) + 0.2 (0) = 0

Utilizando el enfoque de valor esperado, la mejor decisión es seleccionar la inversión A con un valor monetario esperado de $9000. ¿Se trata realmente de la mejor alternativa de decisión? Consideremos algunos otros factores de importancia que se relacionan con la capacidad de Suofor para absorber la pérdida de $50000, si se efectúa la inversión A y los precios bajan. De hecho la posición financiera de Suofor es débil. Esta situación se refleja parcialmente en que Suofor solamente podrá hacer una inversión en este momento y el presidente de la empresa cree que si la siguiente inversión da como resultado pérdidas sustanciales, el futuro de Suofor estará en peligro. A pesar de que el procedimiento lleva a una recomendación para d 1, es probable que el presidente prefiera seleccionar d 2 o d 3, para evitar la posibilidad de incurrir en una pérdida de $50000. De hecho una conclusión razonable sería que, si una pérdida incluso de sólo $30000 pudiera sacar del negocio a Suofor, el presidente seleccionaría d 3, pensando que ambas inversiones A y B son demasiado riesgosas para la posición financiera actual de la empresa. El procedimiento que utilizamos para establecer valores de utilidad para los pagos en la situación de Suofor requiere que primero asignemos un valor de utilidad a los mejores y peores pagos posibles. 118

Cualquier valor será válido, siempre que la utilidad asignada al mejor pago sea superior a utilidad asignada al peor pago. En este caso $50 es el pago mejor y -$50 es el peor. Entonces haremos asignaciones arbitrarias a estos dos pagos como sigue: Utilidad de -$50 = U (-50) = 0 Utilidad de $50 = U (50) = 10 Determinaremos ahora la utilidad asociada con todos los demás pagos. Considerar el proceso de establecer la utilidad de un pago de $30. Primero le solicitaremos al presiente de Suofor exprese su preferencia entre un pago garantizado de $30 y la oportunidad de entrar en la siguiente lotería o apuesta: Lotería: Suofor obtiene un resultado de $50 con una probabilidad p y un pago de -$50 con una probabilidad (1 – p) Obviamente si p es muy cercano a 1, el presidente de Suofor preferirá la lotería al resultado garantizado de $30, porque la empresa se asegurará virtualmente un pago de $50, pero si p es muy cercano a cero, el presidente de Suofor claramente preferirá la garantía de $30. En cualquier caso, conforme p cambia de manera continua de 0 a 1, la preferencia del pago garantizado de $30 en algún momento cambiará a una preferencia hacia la lotería. A ese valor de p, el presidente de Suofor ya no tendrá mayor preferencia sobre el pago garantizado de $30 que por la lotería. Por ejemplo supongamos que p = 0.95, el presidente de Suofor queda indiferente hacia el pago garantizado de $30 o hacia la lotería. Para este valor de p, debemos calcular la utilidad de un pago de $30 como sigue: U (30) = p U (50) + (1 – p) U (-50) = 0.95 (10) + (0.05) (0) = 9.5 Antes de calcular la utilidad de los demás pagos, pensemos en la consecuencia de que el presidente de Suofor haya asignado una utilidad de 9.5 a un pago de $30. Claramente, cuando p = 0.95, el valor esperado de la lotería es: VE (lotería) = 0.95 (50) + (0.05) (-50) = 45 Aunque el valor esperado de la lotería cuando p = 0.95 es $45, el presidente de Suofor simplemente prefiere tomar el pago garantizado de $30, por lo que está tomando un punto de vista conservador, es decir evitando riesgos. El presidente prefiere tener $30 seguros que arriesgar cualquier cosa que no sea una posibilidad de 5% de incurrir en una pérdida de $50. En otras palabras, la diferencia entre el valor esperado de $45 y el resultado garantizado de $30 es el premio al riesgo que el presidente de Suofor estaría dispuesto a pagar para evitar la oportunidad de 5% de perder $50. Para calcular la utilidad asociada con un pago de -$20, debemos pedirle al presidente de Suofor que enuncie cuál sería su preferencia entre un pago garantizado de -$20 y una oportunidad de entrar de nuevo en la siguiente lotería: Lotería: Suofor obtiene un resultado de $50 con una probabilidad p y un pago de -$50 con una probabilidad (1 – p)

119

Notar que esta lotería es exactamente la misma que utilizamos para establecer la utilidad de un pago de $30. De hecho utilizamos esta lotería para establecer la utilidad de cualquier valor monetario de la tabla de pagos de Suofor . Necesitamos determinar el valor de p que haga que el presidente quede indiferente entre un resultado garantizado de -$20 y la lotería. Por ejemplo podríamos empezar pidiéndole al presidente que elija entre una pérdida cierta de $20 y una lotería con un pago de $50, con una probabilidad p = 0.90 y un pago de -$50, con una probabilidad (1 – p) = 0.10. Seguramente con esta elevada probabilidad de obtener un pago de $50, el presidente elegiría la lotería. Después pudiéramos preguntar si p = 0.85 daría como resultado indiferencia entre la pérdida segura de $20 y la lotería. Quizás de nuevo el presidente pudiera preferir la lotería. Suponga que continuamos hasta que obtenemos p = 0.55. Llegado a dicho punto, el presidente queda indiferente entre el pago de -$20 y la lotería. Esto es para cualquier valor inferior a 0.55 de p, el presidente preferiría aceptar una pérdida segura de $20, a arriesgar la pérdida potencial de $50 vía la lotería; y para cualquier valor de p por encima de 0.55, el presidente escogería la lotería. De ahí que la utilidad designada a un pago de -$20 es: U (-20) =

p U (50) + (1 – p) U (-50)

= 0.55 (10) + (0.45) (0) = 5.5 De nuevo comparemos el significado de esta asignación con el procedimiento de valor esperado. Cuando p = 0.95, el valor esperado de la lotería es: VE (lotería) =

0.55 (50) + (0.45) (-50) = 5

Por lo que el presidente de Suofor preferiría absorber una pérdida cierta de $20 a tomar la lotería, aún cuando el valor esperado de la lotería sea de solo $5. Otra vez esta preferencia demuestra un punto de vista conservador, es decir evita riesgos. En estos dos ejemplos calculamos la utilidad de los pagos monetarios de $30 y de -$20. De una manera similar, podemos determinar la utilidad para cualquier pago monetario M . Primero, debemos encontrar la probabilidad p en la cual, para quien toma las decisiones, resulta indiferente entre un pago garantizado de M y una lotería con un pago de $50 con una probabilidad de p y de -$50 con una probabilidad (1 – p). La utilidad de M se calcula entonces como sigue: U ( M ) =

= =

p U (50) + (1 – p) U (-50) p (10) + (1 – p) (0) 10 p

Utilizando este procedimiento, desarrollamos valores de utilidad para todos los demás pagos del problema de Suofor . Esto de presenta en la tabla 3.9. Ahora que hemos determinado el valor de utilidad de cada uno de los valores monetarios posibles, podemos escribir la tabla de pagos original en función de valores de utilidad. La tabla 3.10 muestra la utilidad para los diversos resultados al problema de Suofor .

120

Tabla 3.9 Utilidad de pagos monetarios para el problema de Suofor Valor de indiferencia Valor monetario Valor de utilidad p

$ 50 30 20 0 -20 -30 -50

No aplica 0.95 0.90 0.75 0.55 0.40 No aplica

10.0 9.5 9.0 7.5 5.5 4.0 0

Tabla 3.10 Tabla de utilidades para Suofor Estado de la naturaleza Alternativa de decisión Precios suben S 1 Precios estables S 2 Precios bajan S 2 Inversión A, d 1 9.5 9.0 0 Inversión B, d 2 10.0 5.5 4.0 Sin inversión, d 3 7.5 7.5 7.5 Ahora se puede aplicar los cálculos de valor esperado de la utilidad: UE(d 1) = 0.3 (9.5) + 0.5 (9.0) + 0.2 (0) = 7.35 UE(d 2) = 0.3 (10.0) + 0.5 (5.5) + 0.2 (4.0) = 6.55 UE(d 3) = 0.3 (7.5) + 0.5 (7.5) + 0.2 (7.5) = 7.5

Notar que la mejor decisión utilizando el procedimiento de utilidad esperada es d 3, es decir no invertir, aunque la inversión A tiene el valor monetario esperado más elevado de 9, el análisis indica que Suofor debe declinar esta inversión. La razón para no seleccionar la inversión A es que, según el presidente de Suofor , la probabilidad de 0.20 de una pérdida de $50, consideró implicaba un riesgo muy serio. Lo serio de este riesgo y su impacto asociado sobre la empresa no estaban reflejados adecuadamente en el valor monetario esperado de la inversión A.

Evasores de riesgos contra tomadores de riesgos. La posición financiera de Suofor era tal que el presidente de la empresa evalúo las oportunidades de inversión desde un punto de vista conservador, es decir evitando riesgos. Sin embargo de haber tenido la empresa un excedente de efectivo y un futuro estable, el presidente de Suofor quizás hubiera buscado alternativas de decisión que, aunque riesgosas, tuvieran cierto potencial de utilidad sustancial. Este tipo de comportamiento hubiera convertido al presidente en un tomador de riesgos. Para el problema de decisión que enfrenta Suofor y utilizando el procedimiento general para el desarrollo de utilidades, un tomador de riesgos pudiera expresar la utilidad para los diversos pagos que se muestran en la tabla 3.11. Como antes U (50) = 10 y U (-50) = 0. Note la diferencia en comportamiento, que se refleja en la tabla 3.11, en comparación con la tabla 3.9. Esto es al determinar el valor de p el cual quien toma la decisión queda indiferente entre un pago garantizado de valor M y una y una lotería en la cual obtiene $50 con una probabilidad de p y -$50 con una probabilidad de (1 – p), quien toma riesgos está aceptando un mayor riesgo de incurrir en una pérdida de $50, para tener la oportunidad de obtener una utilidad de $50. 121

Tabla 3.11 Valores de utilidad revisados para el problema de Suofor, suponiendo un tomador de riesgos Valor de indiferencia Valor monetario Valor de utilidad p

$ 50 30 20 0 -20 -30 -50

No aplica 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 No aplica

10.0 5.0 4.0 2.5 1.5 1.0 0

La tabla de utilidad de un tomador de riesgos, se observa en la tabla 3.12. Utilizando las probabilidades de los estados de la naturaleza, la utilidad esperada para cada alternativa de decisión es: UE(d 1) = 0.3 (5.0) + 0.5 (4.0) + 0.2 (0) = 3.50 UE(d 2) = 0.3 (10.0) + 0.5 (1.5) + 0.2 (1.0) = 3.95 UE(d 3) = 0.3 (2.5) + 0.5 (2.5) + 0.2 (2.5) = 2.5

La decisión recomendada, ahora es la alternativa B, con una utilidad esperada más elevada de 3.95.

Figura 3.9 Función de utilidad en función del dinero para quien evita riesgos U

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-50

-40

-30

-20 0 -10 10 20 Valor monetario (miles de pesos)

30

40

50

122

Tabla 3.12 Tabla de utilidad de un tomador de riesgos para el problema de Suofor Estado de la naturaleza Alternativa de decisión Precios suben S 1 Precios estables S 2 Precios bajan S 2 Inversión A, d 1 5.0 4.0 0 Inversión B, d 2 10.0 1.5 1.0 Sin inversión, d 3 2.5 2.5 2.5 Comparando el análisis de utilidad para un tomador de riesgos con las preferencias más conservadoras de una persona que evita riesgos, vemos que ante el mismo problema, diferentes actitudes frente al riesgo pueden llevar a diferentes decisiones recomendadas. Los valores de utilidad establecida por el presidente de Suofor indicaron que la empresa no debería invertir en este momento, en tanto que las utilidades establecidas por el tomador de riesgos mostraron una preferencia por la inversión B. Notar que ambas decisiones difieren de la decisión de mejor valor monetario esperado, que es la inversión A. En las figura 3.9, 3.10 y 3.11, se presentan las funciones de utilidad para el dinero, para quien evita riesgos, toma riesgos y es neutral al riesgo.

Figura 3.10 Función de utilidad en función del dinero para quien toma riesgos U

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-50

-40

-30


30

40

50

123

Figura 3.11 Funciones de utilidad para tomadores de decisión que evitan riesgos, que toman riesgos y que son neutrales a los riesgos U

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-50

-40

-30


30

40

50

3.7 Análisis de sensibilidad. Modificaciones en las estimaciones de probabilidad para los estados de la naturaleza afectan o alteran la alternativa de decisión recomendada. Un acercamiento al análisis de sensibilidad es considerando diferentes probabilidades para los estados de la naturaleza y volviendo a calcular el valor esperado para cada alternativa de decisión. Repitiendo esta cálculo para varias probabilidades, podemos empezar a aprender de qué manera las modificaciones en las probabilidades para los estados de la naturaleza afectan la decisión recomendada.

Ejercicio 3.18 En el ejercicio 3.2 del problema de PDC , suponga que la probabilidad de una elevada aceptación queda reducida a 0.2 y la probabilidad de una baja aceptación se eleve hasta 0.8, el valor esperado para cada alternativa de decisión es: VE(d 1) = 0.2 (8) + 0.8 (7) = 7.2 VE(d 2) = 0.2 (14) + 0.8 (5) = 6.8 VE(d 3) = 0.2 (20) + 0.8 (-9) = -3.2 124

Por lo que con estas probabilidades, la alternativa de decisión recomendada es construir un complejo de condominios pequeño (d 1) con un valor esperado de 7.2. La probabilidad de una elevada aceptación es de sólo 0.2, por lo que la construcción de un complejo de condominios grande (d 3) es la menos preferida, con un valor o pérdida esperada de 3.2. De la misma manera se podría continuar modificando las probabilidades de los estados de la naturaleza y ver como afectan a la alternativa de decisión recomendada. En el caso especial de dos estados de la naturaleza, un procedimiento gráfico facilita los cálculos de análisis de sensibilidad. Para demostrar este procedimiento, supongamos que p representa la probabilidad de S 1, esto es: P(S 1) = p y P(S 2) = 1 – p. Ahora se calculan los valores esperados. VE(d 1) = p(8) + (1 – p )(7) = 8 p + 7 – 7 p = p + 7 VE(d 2) = p(14) + (1 – p )(5) = 14 p + 5 – 5 p = 9 p + 5 VE(d 3) = p(20) + (1 – p )(-9) = 20 p – 9 + 9 p = 29 p – 9

Entonces hemos desarrollado tres ecuaciones que muestran el valor esperado de las tres alternativas de decisión, como una función de p. continuamos desarrollando una gráfica con los valores de p sobre el eje horizontal y valores esperados en el eje vertical. Para cada ecuación lineal se traza la línea recta, identificando dos puntos que satisfagan la ecuación, por ejemplo si hacemos p = 0, VE(d 1) = 7 y si p = 1, VE(d 1) = 8 y trazamos la línea como se muestra en la figura 3.12. Para hallar el punto en el que se interceptan las líneas rectas de VE(d 1) con VE(d 2), se igualan y se despeja p. p + 7 = 9 p + 5 p = 0.25

Para hallar el punto en el que se interceptan las líneas rectas de VE(d 2) con VE(d 3), se igualan y se despeja p. 9 p + 5 = 29p – 9 p = 0.7 Se puede concluir que la alternativa de decisión d 1 da el valor esperado más elevado para p < 0.25, la alternativa de decisión d 2 da el valor esperado más elevado para 0.25 < p < 0.7 y la alternativa de decisión d 3 da el valor esperado más elevado p > 0.7. El procedimiento gráfico que se acaba de describir para el problema PDC , únicamente se aplica cuando se tienen dos estados de la naturaleza. Sin embargo el análisis de sensibilidad para más de dos estados de la naturaleza se puede realizar usando una hoja de cálculo o programa de computadora. 125

Figura 3.12 Valor esperado para las alternativas de decisión de PDC , como una función de p VE 20

d1 proporciona el VE más alto



VE(d3)

15

VE(d2)

10

VE(d1)

5

0

0.2

0.6

0.4

1.0

0.8

p

-5

-10

Problemas propuestos de la Unidad III 1. Suponga que un tomador de decisiones que se enfrenta con cuatro alternativas de decisión y cuatro estados de la naturaleza elabora la siguiente tabla de resultados para las utilidades que puede esperar. Alternativa de decisión d 1 d 2 d 3 d 4

Estado de la naturaleza S 1

S 2

S 3

S 4

14 11 9 8

9 10 10 10

10 8 10 11

5 7 11 13

a) Si el tomador de decisiones sabe nada acerca de las probabilidades de los cuatro estados de la naturaleza, ¿cuál es la decisión recomendada usando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento minimax? b) Suponga que la tabla de resultados da costos en lugar de ganancias. ¿Cuál es la decisión recomendada usando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento minimax? Solución. a) Optimista: d 1 Conservador: d 3 Arrepentimiento minimax: d 3 126

b) Optimista: d 1 Conservador: d 2 o d 3 Arrepentimiento minimax: d 2

2. Cierta empresa se enfrenta a una decisión de compra para un producto estacional, para el cual la demanda puede ser alta, media o baja. El comprador puede ordenar 1, 2 o 3 lotes del producto antes que inicie la temporada, pero posteriormente no puede reordenar. Las proyecciones de utilidades se muestran en la tabla siguiente: Alternativa de decisión Pedido de 1 lote, d Pedido de 2 lotes, d Pedido de 3 lotes, d Probabilidades previas 1

2

3

Estados de la naturaleza S 1

S 2

S 3

60 80 100 0.25

60 80 70 0.35

50 30 10 0.4

Si se solicita realizar una encuesta para ayudar a evaluar la demanda, obteniéndose las probabilidades condicionales para cada estado de la naturaleza. Estados de la naturaleza S 1

S 2 S 3

Excelente ( E ) 0.40 0.25 0.42

Predicción Buena ( B) 0.30 0.15 0.35

Regular ( R) 0.30 0.60 0.23

a) Mediante en enfoque mínimax de arrepentimiento, seleccionar la mejor alternativa. b) Calcular el valor esperado de la información perfecta. c) Por medio del árbol de decisión, calcular el valor esperado de la información muestral. Solución: a) La alternativa de decisión recomendada es d 2. b) VEIP = 73 – 60 = 13 c) VEIM = 60.25 – 60 = 0.25

127

3. Suponga que quien debe tomar la decisión frente a 3 alternativas de decisión y cuatro estados de la naturaleza desarrolla la siguiente tabla o matriz de utilidades: Estados de la naturaleza

Alternativa de decisión d 1 d 2 d 3


S 1

S 2

S 3

S 4

140 110 100 0.2

130 100 120 0.15

100 90 150 0.35

120 80 130 0.3

Si se solicita realizar una encuesta para ayudar a evaluar la demanda, obteniéndose las probabilidades condicionales para cada estado de la naturaleza. Estados de la naturaleza S 1

S 2 S 3

S 4

Predicción Buena ( B) 0.15 0.25 0.42 0.55

Excelente ( E ) 0.55 0.50 0.18 0.30

Regular ( R) 0.30 0.25 0.40 0.15

a) Por medio del criterio de Hurwicz y con α = 0.2, seleccionar la mejor alternativa. b) Calcular el valor esperado de la información perfecta. c) Por medio del árbol de decisión, calcular el valor esperado de la información muestral. Solución: a) La alternativa de decisión recomendada es d 3. b) VEIP = 139 – 129.5 = 9.5 c) VEIM = 130.6 – 129.5 = 1.1

4. El administrador de un rancho con 1000 acres de tierra cultivable, debe decidir entre 4 cultivos para la próxima temporada. Para cada cultivo ha obtenido las siguientes estimaciones sobre la cosecha y la utilidad esperada Alternativa de decisión d cultivo 1 d cultivo 2 d cultivo 3 d cultivo 4 Probabilidades previas 1

2

3

3

Estados de la naturaleza (clima) Seco (S 1) Moderado (S 2) Húmedo (S 3) 20 35 40 18 20 30 30 25 25 40 30 32 0.25

0.45

0.3

Si se solicita realizar un estudio de investigación sobre el clima, obteniéndose las probabilidades condicionales para cada estado de la naturaleza. 128

Estados de la naturaleza S 1 S 2 S 3

Bueno ( B) 0.45 0.30 0.30

Predicción Regular ( R) 0.30 0.50 0.40

Malo ( M ) 0.25 0.20 0.30

a) Calcular el valor esperado de la información perfecta. b) Por medio del árbol de decisión, calcular el valor esperado de la información muestral. Solución: a) VEIP = 37.75 – 33.1 = 4.65 b) VEIM = 33.685 – 33.1 = 0.585

5. Los directores de Pension Planners, deben escoger uno de tres fondos mutuos comparables en el cuál invertir un millón de pesos. El personal del departamento de investigación ha estimado la recuperación estimada en un año para cada uno de los fondos mutuos, basándose en un desempeño pobre, moderado o excelente, según se presenta en la tabla siguiente: Desempeño

Probabilidad

Pobre (S 1) Moderada (S 2) Excelente (S 3)

0.2 0.6 0.2

Recuperación esperada Fondo 1 Fondo 2 Fondo 3 $50000 $25000 $40000 $75000 $50000 $60000 $100000 $150000 $175000

Utilice la matriz de ganancias para calcular la decisión recomendada, utilizando cada uno de los criterios siguientes: a) Optimista. b) Pesimista. c) De Hurwicz (con α = 0.6) d) Arrepentimiento Mínimax. e) Valor esperado. Solución: a) Decisión recomendada: Fondo 3, con un valor de 175. b) Decisión recomendada: Fondo 1, con un valor de 50. c) Decisión recomendada: Fondo 3, con un valor de 121. d) Decisión recomendada: Fondo 3, con un valor de 15. e) Decisión recomendada: Fondo 3, con un valor de 79

129

Unidad 3 Teoria de Decision

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