UNIDAD II. TEORIA DE COLAS.doc

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS

Características operativas para el modelo M/M/1.

λ <1 µ

λ < < µ

λ 2 Lq = µ ( µ − λ )

Wq =

W = Wq

L = Lq

Po

=1−

+

Lq

+

λ 1

µ

λ =Tasa Tasa media de

llegadas. µ =Tasa =Tasa media de servicio.

Cantidad promedio de unidades en la fila.

Tiempo promedio de espera en la fila.

Tiempo promedio de espera en el sistema.

λ Cantidad µ

promedio de unidades en el sistema.

λ Probabilidad µ

de que no haya clientes en el sistema.

Pw = 1 − Po Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar. n

 λ  Pn = Po     Probabilidad de que haya !n" clientes en el sistema.  µ 

Probabilidad de !#" llegadas en un periodo especifico. P ( x) =

λ x  e − λ x$

Probabilidad de que el tiempo de servicio sea ≤ o % que el tiempo de duraci&n !t" P (ts ≤ t ) = 1 − e − µ t & P (ts > t ) = e − µ t

1   1 M.C. Emiliano Ferreira Díaz


Características operativas para el modelo M/M/K.

k = 'mero de canales. λ =Tasa Tasa media de llegadas.

k µ > > µ

µ =Tasa =Tasa media de servicio.

Probabilidad de que no haya unidades en el sistema. Po =

1

 k −1 (λ  µ ) n   (λ  µ ) k   k µ  ∑ n$  +  k $    k µ − λ    n =*    

Cantidad promedio de unidades en la l+nea de espera. Lq =

L = Lq

Wq =

W = Wq

+

Lq

+

λ

1

µ

(λ  µ ) k  λµ (k − 1)$(k µ − λ ) 2

λ Cantidad µ

 Po


Tiempo que pasa una unidad en la l+nea de espera.

Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema.

Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio. k

 λ  Pw =    k $  µ   1

 k µ     Po  k µ − λ 

 

Probabilidad de !n" unidades en el sistema. Pn =

( λ  µ ) n$

n

 Po

Para !n" ≤ ,

Pn =

(λ  µ ) n n k k $k ( − )


 Po

Para !n"% ,


Características operativas para el modelo M/M/K.

k = 'mero de canales. λ =Tasa Tasa media de llegadas.

k µ > > µ

µ =Tasa =Tasa media de servicio.

Probabilidad de que no haya unidades en el sistema. Po =

1

 k −1 (λ  µ ) n   (λ  µ ) k   k µ  ∑ n$  +  k $    k µ − λ    n =*    

Cantidad promedio de unidades en la l+nea de espera. Lq =

L = Lq

Wq =

W = Wq

+

Lq

+

λ

1

µ

(λ  µ ) k  λµ (k − 1)$(k µ − λ ) 2

λ Cantidad µ

 Po


Tiempo que pasa una unidad en la l+nea de espera.


Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio. k

 λ  Pw =    k $  µ   1

 k µ     Po  k µ − λ 

 

Probabilidad de !n" unidades en el sistema. Pn =

( λ  µ ) n$

n

 Po

Para !n" ≤ ,

Pn =

(λ  µ ) n n k k $k ( − )


 Po

Para !n"% ,


Características operativas para el modelo M/G/1.

Tasa media de λ =Tasa

llegadas. µ =Tasa =Tasa media de servicio. 1

µ

=Tiempo promedio de servicio.

σ = -esviaci&n estndar del tiempo de servicio. Po

Lq =

=1−

λ Probabilidad µ

de que no haya unidades en el sistema.

+ (λ  µ ) 2 Cantidad promedio de unidades en la l+nea de espera M/G/1. 2(1 − λ  µ )

λ 2σ 2

Lq =

(λ  µ ) 2 2(1 − λ  µ )

Cantidad promedio de unidades en la l+nea de espera M/D/1.

L = Lq

Wq =

Lq

λ

W = Wq

+

λ Cantidad µ


Tiempo promedio que pasa una unidad en la l+nea de espera. +

1

µ


Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio. λ Pw = µ



Características operativas para el modelo M/G/K.

Tasa media de λ =Tasa

llegadas. µ =Tasa =Tasa media de servicio serv icio para cada canal. k = /a cantidad de canales. Pj = /a probabilidad de que j de los k canales estarn ocupados para j = 1 0200...0 k Pj =

(λ  µ ) j  j$ K

∑ ( λ  µ )  i$ i

Probabilidad de que j de los

k canales

estn ocupados.

i =*

L =

λ  (1 − Pk ) Cantidad de unidades promedio en el sistema. µ

Otros Cálculos. Probabilidad de !#" llegadas en un periodo especifico. P ( x) =

λ x  e − λ x$

Probabilidad de que el tiempo de servicio sea ≤ o % que el tiempo de duraci&n !t" P (ts ≤ t ) = 1 − e − µ t & P (ts > t ) = e − µ t 3nlisis econ&mico de las l+neas de espera. TC = Cw  L + Cs  K Cw = 4l costo de esperar por periodo para cada unidad.

L = /a cantidad promedio de unidades en el sistema.

Cs = 4l costo de servicio por periodo para cada canal.

K = /a cantidad de canales.

TC = Costo total por periodo.



EJERCICIO #1. M/M/1

Investigación de Operaciones. Richard Bronson. McGraw Hill. Pág. 276.

n vendedor atiende el !ostrador en "na tienda de helados. #os clientes llegan de ac"erdo con "n proceso Poissoniano$ con "na tasa !edia de llegadas de %& por hora. 'e les atiende sig"iendo "n tipo (I(O$ ) de*ido a la calidad del helado$ aceptan esperar si es necesario. +parente!ente el tie!po de servicio por cliente se distri*")e e,ponencial!ente$ con "na !edia de -  !in"tos. /eter!0nese. a1 l n3!ero pro!edio de clientes en espera del servicio. *1 #a cantidad de tie!po de espera por el servicio 4"e "n cliente de*er0a esti!ar. c1 #a pro*a*ilidad de 4"e "n cliente tenga 4"e per!anecer !ás de -5 !in"tos en la l0nea de espera. d1 #a pro*a*ilidad de 4"e el dependiente este ocioso. DATOS:   %& clientes 8hr. &.5 clientes8!in"to. 9  -.5!in"tos8cliente  -8-.5&.6667clientes8!in"to. :  &.58&.6667&.75.

56/7C89': ( *.=) 2 = 2.2;<; a) Lq = ( *.>>>? )( *.>>>? − *.=)

b) Wq =

2.2;<; *.=

c) W = ;.;<@< + Wq (1=)

= ;.;<@<

1 *.>>>?

= =.<<@@

= ( *.?=)  e( −1=  =. <<@@) = *.*>1=

d) Po = 1 −

*.= *.>>>?

= *.2=

 5  M.C. Emiliano Ferreira Díaz


EJERCICIO #2. M/M/1

Modelos ;"antitativos para los

n el siste!a de l0nea de espera de =illow Broo?
≤ t ) = 1 − e − µ t 6 P (ts > t ) = e − µ t Probabilidad de que el tiempo de servicio sea ≤ o % que el tiempo de duraci&n !t" P (ts

SOLUCION:

a) P (ts ≤ 1 min) = 1 − e − ( *.>1.*) = *.;=11< b) P (ts ≤ 2 min) = 1 − e − ( *.>2.*) = *.><@@1 c) P (ts

> 2 min) = e −( *.>2.* ) = *.*11<



EJERCICIO #3. M/M/1


/eter!inar las caracter0sticas operativas 4"e se piden a contin"ación$ del caero para atención a a"to!ovilistas 4"e se citan en los pro*le!as anteriores. a1 *1 c1 d1 e1 D1

Pro*a*ilidad de 4"e no ha)a clientes en el siste!a. ;antidad pro!edio de clientes 4"e esperan. ;antidad pro!edio de clientes en el siste!a. Cie!po pro!edio 4"e pasa "n cliente esperando. Cie!po pro!edio 4"e pasa "n cliente en el siste!a. Pro*a*ilidad de 4"e los clientes 4"e llegan tengan 4"e esperar por el servicio.

por hora ∴ *.> clientes por minuto. λ = 2; Clientes por hora ∴ *.; clientes por minuto.

µ = > Clientes

a) Po = 1 − b) Lq =

*.; *.>

*.; 2 *.>(*.>

c) L = 1. + d) Wq =

− *.;) *.; *.>

1. *.;

e) W = . +

= *. = 1. clientes.

= 1.<<>>? clientes.

= . min. 1 *.>

= =.@ min.

f) Pw = 1 − . = *.>>>?



EJERCICIO #4. M/M/1

l escritorio de reDerencias de "na *i*lioteca "niversitaria reci*e solicit"des de a)"da. '"ponga 4"e p"ede "tiliEarse "na distri*"ción de pro*a*ilidad de Poisson$ con "na tasa !edia de -& solicit"des por hora para descri*ir el patrón de llegada ) 4"e los tie!pos de servicio sig"en "na distri*"ción de pro*a*ilidad e,ponencial$ con "na tasa !edia de servicio de -2 solicit"des por hora. a1 *1 c1 d1

@;"ál es la pro*a*ilidad de 4"e no ha)a solicit"des de a)"da en el servicioA @;"ál es la cantidad pro!edio de solicit"des 4"e esperaran por el servicioA @;"ál es el tie!po de espera pro!edio en !in"tos antes de 4"e co!ience el servicioA @;"ál es el tie!po pro!edio en el escritorio de reDerencias en !in"tos Ftie!po de espera !ás tie!po de servicio1A e1 @;"ál es la pro*a*ilidad de 4"e "na n"eva llegada tenga 4"e esperar por el servicioA µ = 12 5olicitudes

por hora. λ = 1* 5olicitudes por hora. a1 Po = 1 −

b)

Lq

c) Wq =

=

1* 2 12(12 − 1*)

;.1>>>? 1*

d) W = *.;1>>>? +

1* 12

= *.1>>>?

= ;.1>>>? solicitudes.

= *.;1>>?  >* min. = 2.***2 min. 1

12

= *.1>>?  >* min. = 1.***2 min.

e) Pw = 1 − *.1>>>? = *.@

EJERCICIO #5.



M/M/1

Movies Conight es "n esta*leci!iento t0pico de renta de videos ) // para clientes 4"e ven pel0c"las en s" casa. /"rante las noches entre se!ana$ los clientes llegan a Movies Conight a "na tasa pro!edio de -.25 clientes por !in"to. l dependiente del !ostrador p"ede atender "n pro!edio de 2 clientes por !in"to. '"ponga llegadas de Poisson ) tie!pos de servicio e,ponenciales. a1 *1 c1 d1

@;"ál es la pro*a*ilidad de 4"e no ha)a clientes en el siste!aA @;"ál es la cantidad pro!edio de clientes 4"e esperan por el servicioA @;"ál es el tie!po pro!edio 4"e espera "n cliente para 4"e co!ience el servicioA @;"ál es la pro*a*ilidad de 4"e "n cliente 4"e llega tenga 4"e esperar por el servicioA

λ = 1.2 clientes por !in"to.

µ = 2 clientes por !in"to.

a) Po = 1 − b) Lq = c) Wq =

1.2= 2

1.2= 2 2( 2 − 1.2=)

1.*;1>? 1.2=

= *.?**

= 1.*;1>? clientes.

= *.@  >* min. = * min.

d) Pw = 1 − *.?=** = *.>2*



EJERCICIO #6. M/M/1

#a ad!inistración de B"rger /o!e decide e!plear "n encargado de s"rtir pedidos 4"e asistirá al to!ador de pedidos 4"e se enc"entra en la caa registradora. l cliente co!ienEa el proceso de servicio colocando el pedido con el to!ador de pedidos conDor!e se coloca el pedido$ el to!ador de pedidos an"ncia la orden a travs de "n siste!a de interco!"nicación ) el encargado del s"rtido co!ienEa a llenar el pedido. ;"ando se co!pleta la orden$ el to!ador de pedidos !anea el dinero$ !ientras el encargado del s"rtido contin3a llenando el pedido. ;on este diseJo la ad!inistración de B"rger /o!e esti!a 4"e la tasa !edia de servicio p"ede a"!entarse de la tasa de servicio act"al de 6& a 75 clientes por hora. Por tanto$ la tasa !edia de servicio para el siste!a revisado es µ = 75 clientes86& !in"tos  -.25 clientes por !in"to. Para λ = &.75 clientes por !in"to ) µ = -.25 clientes por !in"to$ deter!ine las caracter0sticas operativas del siste!a.

µ = -.25 clientes por !in"to. λ = &.75 clientes por !in"to. ;antidad pro!edio de "nidades en la Dila.

Lq

=

Cie!po pro!edio de espera en la Dila.

Cie!po pro!edio de espera en el siste!a.

*.?=

2

1.2=(1.2= − *.?=)

Wq

=

*.< *.?=

= 1.2 min.

W = 1.2 +

;antidad pro!edio de "nidades en el siste!a. L = *.< +

Pro*a*ilidad de 4"e no ha)a clientes en el siste!a. Pro*a*ilidad de 4"e "n cliente 4"e llega tenga 4"e esperar.


= *.< clientes.

1 1.2=

*.?= 1.2=

Po = 1 −

= 2 min.

= 1. clientes.

*.?= 1.2=

= *.; =;*A

Pw = 1 − *.; = *.> =>*A


EJERCICIO !. M/M/1

Para la l+nea de espera con un solo canal de Burger -ome0 suponga que la tasa de llegada se incremento a 1 cliente por minuto y que la tasa media de servicio aument& a 1.2 clientes por minuto. Calcule las siguientes caracter+sticas operativas para el nuevo sistema: Po0 Lq0 L0 Wq0 W 0 Pw . 4ste sistema proporciona un servicio meDor o ms deficiente que el sistema originalE µ = 1.2 clientes por minuto. λ = 1 cliente por minuto.

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema. Po = 1 − =

1

= *.2 =2*A

1.2= 12

Cantidad promedio de unidades en la fila.

Lq

Cantidad promedio de unidades en el sistema.

L

Tiempo promedio de espera en la fila.

Wq

Tiempo promedio de espera en el sistema.

W = .2 +

1.2=(1.2= − 1)

= .2 +

=

1 1.2=

.2

Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar.

1

= .2 clientes.

= ; clientes.

= .2 min. 1 1.2=

= ; min.

Pw = 1 − *.2 = *.@ =@*A

Fespondiendo a la pregunta de este problema: el servicio seria deficiente. Gq*.? = 1.2 min H Gq1= .2 por lo tanto es meDor el eDemplo anterior a este.



EJERCICIO ". M/M/K

Considere una l+nea de espera con 2 canales con llegadas de Poisson y tiempos de servicio e#ponenciales. /a tasa media de llegadas es de 1; unidades por hora0 y la tasa media de servicio es de 1* unidades por hora para cada canal. a) b) c) d) e)

Cul es la probabilidad de que no haya unidades en el sistemaE Cual es la cantidad de unidades promedio en el sistemaE Cul es el tiempo promedio que espera una unidad por servicioE Cul es el tiempo promedio que una unidad esta en el sistemaE Cul es la probabilidad de tener que esperar por el servicioE

µ = 1* unidades por hora. λ = 1; unidades por hora. k = 2 canales.

a)

b)

Po =

Lq

1

 (1;  1*) (1;  1*)  *$ + 1$ 

=

c) Wq =

*

1

=   (1;  1*) 2   2 1*  *.1?>;?  +  2$    2 1* − 1;      

(1;  1*) 2  1;  1*  *.1?>;? = 1.;*< ( 2 − 1)$(2  1* − 1;) 2 1.;=*<

unidades.

= *.*<>*@  60 min. = .?>;>? min.

1;

d) W = *.*<>*@ +

1 1*

= *.1<>*@  60 min. = 11.?>;@ min.

2

1;   2 1*  e) Pw =         *.1?>;? = *.?>;? 2$  1*   2 1* − 1;  1



EJERCICIO #. M/M/K

Fem+tase al problema anterior. 5uponga que el sistema se e#pande a una operaci&n de  canales. a) Calcule las caracter+sticas operativas para este sistema de l+nea de espera. b) 4s preferible el sistema de 2 canales o el de  canalesE µ = 1* unidades por hora. λ = 1; unidades por hora. k =  canales.

a)

Po =

1

=  (1;  1*) * (1;  1*)1 (1;  1*) 2   (1;  1*)     1*  *.2<< +  *$ +  +  $     1* − 1;  1$ 2$      

b) Lq = c) Wq =

(1;  1*)   1;  1*  *.2=<< = *.1??*> ( − 1)$(  1* − 1;) 2 *.1??*> 1;

d) W = *.*12>; + e)

Pw =

1 $



 1;    1* 



unidades.

= *.*12>;  60 min. = *.?@@2 min. 1 1*

= *.112>; >* min. = >.?@; min.

   1*   *.2=<< =  *.2*2>     1* − 1; 



EJERCICIO 1$. M/G/1

Iubser Gelding opera un servicio de soldadura para trabaDos de construcci&n y reparaciones automotrices. 5uponga que la llegada de trabaDos a la oficina de la compaJ+a puede describirse con una distribuci&n de probabilidad de Poisson con una tasa media de llegada de 2 trabaDos por d+a de @ hrs. 4l tiempo requerido para completar los trabaDos sigue una distribuci&n de probabilidad normal con un tiempo medio de .2 horas y una desviaci&n estndar de 2 horas. Fesponda las siguientes preguntas0 asumiendo que Iubser usa un soldador para completar todos los trabaDos. a) b) c) d)

Cul es la tasa media de llegada en trabaDos por horaE Cul es la tasa media de servicio en trabaDos por horaE Cul es la cantidad promedio de trabaDos esperando por servicioE Cul es el tiempo promedio que espera un trabaDo antes de que el soldador pueda comenKar a trabaDar en elE e) Cul es la cantidad promedio de horas entre el momento en que se recibe un trabaDo y el momento en que se completaE f) Lu porcentaDe del tiempo esta ocupado el soldador de IubserE

λ = 2 trabaDos por d+a.

2@ = *.2 trabaDos por hora. µ = .2 horas por trabaDos. 1.2 = *.12* trabaDos por hora. σ = 2 horas por trabaDo. a)2@ = *.2 trabaDos por hora. b)1.2 = *.12* trabaDos por hora. c) Lq = d) Wq =

*.2= 2 2 2

2(1 − *.2=  .12=*) 2.22=**

1 *.12=*

*.2= *.12=*

= 2.22** trabaDos

= @.< horas.

*.2=

e) W = @.< + f) Pw =

+ (*.2=  .12=*) 2

= 12.1** horas.

= *.@

5ignifica que el soldador est ocupado el @*A. EJERCICIO 11. M/G/1



/os trabaDos llegan en forma aleatoria a una planta de ensambladoM suponga que la tasa media de llegada es de  trabaDos por hora. /os tiempos de servicio (en minutos por trabaDo) no siguen la distribuci&n de probabilidad e#ponencial. 3 continuaci&n se muestran dos diseJos propuestos para la operaci&n de ensamblado de la planta. Dise&o.

%iempo de servicio. Media. Desviaci'( está(dar.

3 >.* .* B >.2 *.> Calcule las caracter+sticas operativas del sistema. Cul es la tasa media de servicio en trabaDos por hora para cada diseJoE Para las tasas medias de servicio en el inciso a)0 Lu diseJo parece proporcionar la tasa de servicio meDor o ms rpidaE Cules son las desviaciones estndar de los tiempos de servicio en horasE Cul diseJo proporciona las meDores caracter+sticas operativasE porqueE

a) b) c) d) e)

λ =  trabaDos por hora.

>* = *.*@ trabaDos por minuto.

µ 1= > min por trabaDo. 1> = *.1>>>? trabaDos por minuto. µ 2= >.2 min por trabaDo. 1>.2 = *.1> trabaDos por minuto.

a) Dise&o )*+.

Caracter+sticas operativas.

σ =.*

µ 1= *.1>>>?

µ 2= *.1>

σ = *.> mintrab.

mintrab.

*.***

*.;?<1<

+ (λ  µ ) 2 2(1 − λ  µ )

*.12;

*.2@>

λ µ Lq

*.@12;2

*.@*>;

.?;< min.

.;2??* min.

<.?;<; min.

<.>??<* min.

*.;<<
*.2*@1

Po = 1 − Lq =

Dise&o ),+.

λ µ

λ 2σ 2

L = Lq

Wq =

W = Wq

+

λ

+

1

µ λ Pw = µ

b) *.1>>>?  >* min. = 1* trabaDos por hora. *.1>  >* min. = <.> trabaDos por hora. c) 4l diseJo !3" con µ = 1* trabaDos por hora. σ >* min. = *.>>* = *.*1 horas. d) σ >* min = .*>.* = *.* horas. e) 4l diseJo !B" EJERCICIO 1-. M/M/K

Mtodos ;"antitativos para +d!inistración. /avis8McLeown. Pag 6-2

4l centro de reparaci&n de computadoras TN sha, de Oc/eod0 Oontana0 maneDa la reparaci&n de las microcomputadoras que vende TN sha,. 7n problema comn de reparaci&n es la alineaci&n de unidades de disco. 3l llegar las microcomputadoras al centro de reparaci&n se  15  M.C. Emiliano Ferreira Díaz


asigna en forma rotatoria a uno de los tres tcnicos para que haga la alineaci&n. Por raKones de control de calidad0 una veK que se asigne una microcomputadora a un tcnico0 no se asigna a otro. 5uponiendo que las tasas de llegadas y de servicio son aleatorias y de * por mes y 2 por d+a por cada tcnico (2* d+as hbiles por mes)0 responda las siguientes preguntas: a. Cul ser el tiempo promedio de una microcomputadora permanece en el centro de servicioE b. 4n promedio0 en cualquier momento0 cuantas micros estarn esperando a cada tcnico para que les de servicioE c. C&mo responder+a usted las preguntas anteriores si una microcomputadora que llega pasara al primer tcnico disponible para que le diera servicio0 en veK de que se asignara en forma rotatoriaE a) Wq

=

*.*1;? *

W = *.**;< +

= *.**;< 1 ;*

= *.*2=;

b) 1

Po =

 ( *  ;*) * ( *  ;*) 1 ( *  ;*) 2  ( *  ;*)   (;*)  = *.;?*    *$ + 1$ + +  2 $  $  ( ;* * ) −      ( *  ;*)  (*)(;*)   Lq =  Lq = (*.*12=)  (*.;?*=) = *.*1;?   (*.;?*=) − − (  1 )$ (  ( ;* ) ( * ))  

c) Lq

  (*) 2  =   − ( ;* )  ( ;* * )  

Wq

=

2.2= *

= *.*?=

Lq

= 2.2=

W

=

*.*?= +

( ) = *.1 1

;*

EJERCICIO 1. M/G/1


4l Defe de la oficina de admisi&n de una escuela de negocios bien conocidas0 maneDa solicitudes de ingreso a la maestr+a de administraci&n de empresas sobre la base de que el primero que llega es el primero que se atiende. 4stas solicitudes llegan aleatoriamente a raK&n de  por d+a. /a distribuci&n de probabilidad en los tiempos de servicio es tal que la desviaci&n estndar es 11* de d+a y la media 1< de d+a. Cul es el tiempo promedio que una solicitud espera para ser procesadaE 4n promedio0 Cuntas solicitudes estn en espera de ser procesadas en cualquier momentoE  16  M.C. Emiliano Ferreira Díaz


λ = = Por d+a. µ = 1 
σ = 1  1* -e Lq =

Wq

=

d+a.

( =) 2 ( 11*) 2 + ( =< ) 2 2(1 − (=  <)) *.*>2@; =

= *.>2@;. 4studiantes que esperan

= *.12=> Tiempo que una solicitud espera (d+as).

EJERCICIO 1. M/D/1


4l irst 'acional Ban, esta planeando instalar una variedad especial de caDeros automticos en la librer+a de una universidad local. 4ste caDero automtico ser especial porque permitir solo hacer retiros (necesidad comn en una universidad). Puesto que el caDero solo permitir retiros0 tendr un tiempo deterministico de servicio de >* segundos. 5i las llegadas son aleatorias y a raK&n de * por hora0 Cul ser el tiempo promedio que un estudiante pasara en la fila y haciendo su retiroE 4n promedio0 Cuntos estudiantes estarn en espera de hacer retirosE @* llegadas por hora.  17  M.C. Emiliano Ferreira Díaz


5ervicio de >* segundos. λ = *.= /legadas por minuto. µ = 1

Cliente por minuto. ( *.=  1) 2

Lq

=

Wq

= (*.2=)  *.= = *.=

2(1 − *.=  1)

= *.2=

W = *.= + 1  1 = 1.=

EJERCICIO 10. M/G/K


7n hospital local esta planeando ofrecer un servicio a la poblaci&n general. 4ste servicio considera en dar informaci&n mdica sobre los diversos temas a las personas que marquen el nmero de informaci&n del hospital que es el pblico. 4l hospital pronostica que habar apro#imadamente 1* llamadas por hora y que sern de duraci&n aleatoria. 7na operadora contestara a las personas que llamen e intentara contestar sus preguntas. /a e#periencia a mostrado que la llamada promedio dura  min. 4l hospital desea reducir la probabilidad de que las personas a que llamen encuentren ocupada la l+nea al menos de *.* aumentando las l+neas telef&nicas. Qabr solo una l+nea telef&nica por operador. 7tilice la formula de la llamada perdida de 4rlang para calcular el numero de l+neas telef&nicas necesarias para alcanKar el nivel deseado de probabilidad del hospital. λ = 1* /lamadas por hora.

µ = = Oinutos

por llamada = *.2 llamadas por minuto = 12 llamadas por hora.  18  M.C. Emiliano Ferreira Díaz


 (1*  12) *     * $   = 1 P * = (1*  12) *

L

= =  >  (1 − 1) = *

L

= =  >  (1 − =  11) = =  11

*$

P 1 =

 (1*  12) 1     1 $   (1*  12)

*

+

*$

P 2 =

(1*  12)

1$

*

+

(1*  12)

1

1$

+

(1*  12)

2

= *.1=<2

(1*  12) *

+

(1*  12) 1 1$

+

L

= =  >  (1 − *.1=<2) = *.?*

2$

 (1*  12)       $  *$

L

= *.;=;=

 (1*  12) 2     2 $   *$

P  =

(1*  12)

1

(1*  12) 2 2$

+

(1*  12) 

= *.*;2

$

= =  >  (1 − *.*;2) = *.?<@*

 (1*  12) ;     ; $   P ; = = *.**@? * 1 2 (1*  12) (1*  12) (1*  12) (1*  12)  (1*  12) ; + + + + *$

L

1$

2$

$

;$

= =  >  (1 − *.**@?) = *.@2=

Con una cuatro l+neas se est dando un servicio del <<.1 A y cumple con lo pedido que era menos del *.* de fallas.



EJERCICIO 1. M/M/1


GilloR Broo, 'acional Ban, opera una ventanilla para atenci&n de automovilistas que permite a los clientes completar sus transacciones bancarias desde sus autos. 4n las maJanas de los d+as hbiles0 las llegadas a la ventanilla ocurren al aKar0 con una tasa media de llegadas de 2; clientes por hora o *.; clientes por minuto. a) Cul es la cantidad media esperada de clientes que llegara en un periodo de cinco minutosE b) 5uponga que puede usarse la distribuci&n de probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegada. 7se la tasa media de llegada del inciso a) y calcule las probabilidades de que llegara e#actamente *0 10 20 y  clientes durante un periodo de cinco minutos. c) 5e esperan demoras si llegan ms de tres clientes durante cualquier periodo de cinco minutos. Cul es la probabilidad de que ocurran esas demorasE Probabilidad de !#" llegadas en un periodo especifico. P ( x) =

λ x  e −λ x$



a) P (*) =

(*.;  =) *  e − ( *.;=) *$

= *.1;

P (1) = *.*=;1 P ( 2) = *.*1*@ P () = *.**1;; P (;) = *.***1; P (=) = *.****1

µ =*.*>

b) P (*) =

(*.*>=) *  e − ( *.*>=) *$

=*.<>><1

P (1) = *.*2=; P ( 2) = *.***== P () = *.****1

EJERCICIO 1!. M/M/1


7n peluquero atiende l solo un negocio. 'o acepta citas0 pero atiende a los clientes conforme llegan. -ebido al prestigio del peluquero0 los clientes estan dispuestos a esperar por el servicio una veK que llegan0 las llegadas sigue un patr&n poissoniano0 con una tasa de llegadas de 2 por hora. 3parentemente el tiempo de servicio del peluquero se distribuye e#ponencialmente0 con una media de 2* minutos. -eterm+nese: a) 4l nmero esperado de clientes en la peluquer+a. b) 4l nmero esperado de clientes que esperan el servicioM c) 4l tiempo promedio que un cliente permanece en la peluquer+a0 d) /a probabilidad de que un cliente permaneKca ms del tiempo promedio en la peluquer+a. -3T65: S = 2 clientes hr. =*.* clientesminuto.  = 12*minutoscliente 12*=*.*clientesminuto. U = *.>>> 56/7C89': ( *.*) 2 = 1.2@* a) Lq = ( *.*=)( *.*= − *.*)

b)

L

= 1.2@* +

*.* *.*=

= 1.<<;*  21  M.C. Emiliano Ferreira Díaz


c) Wq =

1.2@* *.*

W = <.@?<< +

= <.@?<< 1 *.*=

= =<.@?<<

d) Wq ( =<.@?<< ) = e( −=<.@?<<  =.<.@?<< ) = *.>?<

EJERCICIO 1". M/M/1


3parentemente el patr&n de llegada de autom&viles a la fila nica de una ventanilla bancaria de atenci&n a automovilistas es un proceso poissoniano0 con una tasa media de 1 por minuto. 3parentemente los tiempos de servicio del caDero se distribuyen e#ponencialmente0 con una media de ; segundos. Considerando que un auto que llega esperara tanto como sea necesario. -eterm+nese: a) 4l numero estimado de autos en espera de servicioM b) 4l tiempo promedio que un autom&vil espera por el servicioM c) 4l tiempo promedio que un autom&vil permanece en el sistema. -3T65: S =1 clientes min. = *.*1>?clientessegundo.  = ;segcliente = 1;=*.*222clientessegundo. U = *.?2 56/7C89': ( *.*1>? ) 2 = 2.2@;1 a) Lq = ( *.*222)( *.*222 − *.*1>? )

b) Wq = c)

2.2@;1 *.*1>?

= 1>.??2= ≈ 2.2?<= min .

W = 1>.??2= +

1 *.*222

= 1@1.@1?= ≈ .** min



EJERCICIO 1#. M/M/1


4n un aeropuerto de una sola pista0 un promedio de un avi&n cada  minutos solicita permiso para aterriKarM aparentemente la distribuci&n real es Poissoniana. /os aeroplanos reciben permiso para aterriKar de acuerdo al orden de llegada0 quedando en espera aquellos a los que no se les puede dar permiso de inmediato debido al trfico. 4l tiempo que toma al controlador de trfico ayudar a que un aeroplano aterrice varia de acuerdo con la e#periencia del piloto0 se distribuye e#ponencialmente0 con una media de  minutos. -eterm+nese: a) 4l numero promedio de aeroplanos en esperaM b) 4l numero promedio de aeroplanos que han pedido permiso para aterriKar0 pero que aun s encuentran en movimientoM c) /a probabilidad de que un aeroplano que llega este en tierra menos de 1* minutos0 despus de pedir por primera veK permiso para aterriKar. -3T65: S =  min. avi&n. = 1 avi&n  minutos  =  min. avi&n = 1 avi&n  minutos. U=

1 = 1 

=

 =

Probabilidad de que se atienda en menos tiempo = 1 − w(t ) 56/7C89': (1  =) 2 = <  1* = *.< a) Lq = (1  )(1   − 1  =)

b)

L = ( <  1*) +

1 = 1 

=   2 = 1.=



c) Wq =

<  1* 1 =

W = <  2 +

= < 2

1 1 

= 1=  2

d) 1 − w(1*) = 1 − e [ −1*  ( 1=  2 ) ] = *.?>; EJERCICIO -$. M/M/1


7na mecan&grafa recibe trabaDo de acuerdo a un proceso poissoniano0 con una tasa promedio d ; trabaDos por hora. /os trabaDos se mecanograf+an de acuerdo a la orden de llegada0 y el trabaDo promedio requiere de 12 minutos de tiempo de la mecan&grafaM aparentemente el tiempo real del trabaDo se distribuye e#ponencialmente alrededor de esta media. -eterm+nese: a) /a probabilidad de que un trabaDo quede concluido en menos de ; minutos despus de su llegada. b) /a probabilidad de que la mecan&grafa concluya todos los trabaDos al final del d+a. -3T65: S = ; trabaDos  hr. = *.*>>?trabaDos  min.  = 12 min. trabaDo = *.*@ trabaDos  minutos. 1 R = ( *.*@ − *.*>>?) = >*.2;1* 56/7C86': a) 1 − w(;=) = 1 − e [ −;=  >*.2;1* ] = *.=2>2 b) Po = 1 − *.@**? = *.2*



EJERCICIO -1. M/M/1


Conforme los mecnicos necesitan partes para los autos que estn reparando en un taller0 se dirigen al departamento de refacciones del taller y solicitan el material necesario. 4l dependiente nico de l departamento de refacciones atiende a los mecnicos de acuerdo al orden de llegadas. /os mecnicos llegan siguiendo un proceso poissoniano con una tasa media de  por hora y esperan su turno siempre que el dependiente este ocupado con alguien mas. 4n promedio0 el dependiente de refacciones tarda 1 minuto para a tender a un mecnico0 con el tiempo real de servicio distribuido e#ponencialmente alrededor de esta media0 Cul es el costo esperado por hora para el taller por hacer que los mecnicos obtengan las refacciones0 si a un mecanicote le pagan V12 por horaE -3T65: S =  mecnicos  hr = *.@ mec.  min.  = 1 min. mecnico = 1 mec.  Oinutos. 56/7C89': ( *.=@) 2 = *.@1>= a) Lq = (1)(1 − *.=@)

b) Wq =

*.@1>= *.=@

= 1.<<@

Costo por hora. 1.<<@  V12 = V1>.?


EJERCICIO --. M/M/1

Mtodos ;"antitativos para los
5peedy 6il proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceite y lubricaci&n de autom&viles. /as llegadas nuevas ocurren a una tasa de2. autom&viles por hora. 5uponga que las llegadas siguen una distribuci&n de probabilidad e#ponencial. a) Cul es la cantidad promedio de autom&viles en el sistemaE b) Cul es ele tiempo promedio que ser un autom&vil para que comience el servicio de aceite y lubricaci&nE c) Cul es el tiempo promedio que pasa un autom&vil en el sistemaE d) Cul es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por el servicioE -3T65: S = 2. autos  hr.  =  autos  hora. U = 2.=*. 56/7C89': ( 2.=) 2 = *.= unidades sen l+nea. a) Lq = ( =)( = − 2.=)

b) Wq =

*.= 2.=

c) W = *.2 +

d) Pw =

2.= =

= *.2 horas de espera en la fila. 1 *.=

= *.; horas de espera en el sistema.

= *.= = =*A factor de utiliKaci&n.



EJERCICIO -. M/M/1

OartyWs Barber 5hop tienen ulnae peluquer+a. /os clientes llegan a la tasa de 2.2 clientes por hora0 y los cortes de pelo se dan a la tasa promedio de  por hora. 7se el modelo de llegadas de poisson y tiempos de servicio e#ponenciales para responder las siguientes preguntas. a) Cul es la probabilidad de que no haya unidades en el sistemaE b) cual es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y nadie este esperandoE c) Cul es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y un cliente este esperandoE d) Cul es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y dos clientes esperandoE e) Cul es la probabilidad de que ms de 2 clientes estn esperandoE f) Cul es el tiempo promedio que un cliente espera por el servicioE -3T65: S = 2.2 clientes  hr.  =  clientes  hora. U = 2.2=*.;; 56/7C89': a) Po = 1 −

2.2 =

= *.=> = =>A 1

2.2  b) P (1) =     *.=> = *.2;>; = 2;.>;A  =    2.2   *.=> = *.*;?? = ;.??A = (  ) P c)    =  2 2.2   d) P (2) =    *.=> = *.1*@; = 1*.@;A  = 

1 − *.1*@; = *.@<1> = @<.1>A

Wq

=

*.;=? 2.2

W = *.1=?1 +

Pw =

2.2 =

= *.1=?1 Qoras de espera en la fila. 1 =

= *.=? Qoras de espera en el sistema.

= *.;; = ;;A actor de utiliKaci&n.

EJERCICIO -.


INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD 2: TEORÍA DE COLAS M/D/1

Modelos ;"antitativos para +d!inistración. /avis8Mc?eown. Gr"po ditorial I*eroa!rica. Pág. 6&6.

Cierta empresa ha decidido instalar un caDero automatiKado de atenci&n a automovilistas0 para las personas que desean hacer un solo retiro a dep&sito. 4l banco ha entablado plticas con respecto a esta unidad automatiKada con un fabricante y se le ha informado que en estos casos el tiempo de servicio es constante con ? X minutos (@ por hora). /a desviaci&n estndar es cero0 puesto que no e#iste varianKa en los tiempos de servicio y la tasa de llegada es ;. -3T65: S = ; clientes  hr.  = @ clientes  hora. ( ;  @) 2 = *.2= a) Lq = ( 2)(1 − ;  @)

b)

L = ( *.2=) +

c) Wq =

W

=

*.?= ;

*.2= ;

; @

=   2 = *.?=

= *.1@?=

= *.*>2=

EJERCICIO -0. M/G/1

Modelos ;"antitativos para +d!inistración. /avis8Mc?eown. Gr"po ditorial I*eroa!rica. Pág. 6&6.



4n la empresa anterior los tiempos de servicio para los caDeros que atienden automovilistas siguen una distribuci&n normal con media & 1 de 1@ de hra y desviaci&n estndar de 112 de hora. 7tiliKando estos valores Dunto con una tasa de llegada de ; por hora y la media de @ clientes por hora. -eterminase las caracter+sticas de operaci&n: -3T65: 1= 1@ de hora. σ = 112 de hora λ = ; clientes  hr.  = @ clientes  hora. a) Lq = ; 2 (1  12) 2 + ( ;  @) 2 = *.> personas en la l+nea de espera. b)

L

;

= ( *.>) + = *.@> personas en el sistema. @

c) Wq =

W =

*.> ;

*.@> ;

= *.*<* de hora en la l+nea de espera.

= *.21=* -e hora en el sistema.

EJERCICIO -. M/G/1

Fobotics Oanufacturing Company opera un negocio de reparaci&n de quipo donde los trabaDos de emergencia llegan en forma aleatoria a la tasa de  trabaDos por d+a de @ horas. /a instalaci&n de reparaci&n de la compaJ+a es un sistema de un solo canal operado por un  29  M.C. Emiliano Ferreira Díaz


tcnico en reparaci&n. 4l tiempo de servicio varia con un tiempo medio de reparaci&n de 2 horas y una desviaci&n estndar de 1. horas. 4l costo para la compaJ+a de operaci&n y reparaci&n es de V2@ por hora. 4n el anlisis econ&mico del sistema de l+nea de espera0 Fobotics usa un costo de V por hora para los clientes que esperan durante el proceso de reparaci&n. a) Cul es la tasa de llegada y la tasa de servicio en trabaDos por horaE b) Ouestra las caracter+sticas operativas incluyendo el costo total por hora. c) /a compaJ+a esta considerando comprar un sistema computariKado de reparaci&n de equipo que permitir+a un tiempo de reparaci&n constante de 2 horas. Para prop&sitos prcticos0 la desviaci&n estndar es *. debido al sistema computariKado0 el costo para la nueva compaJ+a de la nueva operaci&n seria V2 por hora. 4l director de operaciones de la firma diDo que no se pidiera el nuevo sistema porque el costo por hora es V; ms alto y el tiempo de reparaci&n medio es el mismo. 4sta de acuerdoE Lu efecto tendr el nuevo sistema en las caracter+sticas de la l+nea de espera del servicio de reparaci&nE d) Comprar el sistema computariKado para reducir la variaci&n en el tiempo de servicio tienen sentido econ&micoE Cunto le ahorrara el nuevo sistema a la compaJ+a durante una semana de trabaDo de ;* horasE 1 d+a de @ horas. k = 1 canal. λ =  trabaDos por d+a. µ = 2 horastrabaDador. σ = 1. horastrabaDador.

@ = *.? trabaDos por hora. 12 = *. trabaDos por hora.

a) λ = *.? trabaDos por hora. µ = *. trabaDos por hora b) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema. Po

= 1−

*.?= *.=

= *.2=

Cantidad promedio de unidades en la l+nea de espera 2 2 2 (*.?=) (1.=) + (*.?=  *.=) Lq = = 2.2= 2(1 − *.?=  *.=) Cantidad promedio de unidades en el sistema. L

= 2.2= +

*.?= *.=

=

Tiempo promedio que pasa una unidad en la l+nea de espera. Wq

=

2.2= *.?=

=>



Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema. 1

W = > +

=@

*.=

Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio. Pw =

*.?= *.=

= *.?=

3nlisis econ&mico. TC = Cw  L + Cs  K

CR = V por hora. Cs = V2@ por hora.

TC = V=   + V2@  1

= V 1 por hora. = V 1  ;* horas = V 02* por semana.

1 d+a de @ horas. k = 1 canal. λ =  trabaDos por d+a. µ = 2 horastrabaDador. σ = *

@ = *.? trabaDos por hora. 12 = *. trabaDos por hora.

c) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema. Po

= 1−

*.?= *.=

= *.2=

Cantidad promedio de unidades en la l+nea de espera (*.?=) 2 (*) 2 + (*.?=  *.=) 2 Lq = = 1.12= 2(1 − *.?=  *.=) Cantidad promedio de unidades en el sistema. L

*.?=

= 1.12= +

*.=

= 1.@?=

Tiempo promedio que pasa una unidad en la l+nea de espera. Wq

=

1.12=

=

*.?=

Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema. W =  +

1 *.=

==

Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio. Pw =

*.?= *.=

= *.?=



3nlisis econ&mico. TC = Cw  L + Cs  K

CR = V por hora. Cs = V2 por hora.

TC = V= 1.@?= + V2 1

= V 2 por hora. = V 2  ;* horas = V 0<* por semana.

4l director de esta empresa esta equivocado. -ebido a que el sistema es ms barato an con el incremento en el costo de la nueva operaci&n que es de V2 por hora. d) -e hecho si se debe comprar el sistema computariKado para reducir la variaci&n en el tiempo de servicio puesto que es ms barato. 3hora V 02* Y V 0<* = V 10;1 de ahorro semanal.

EJERCICIO -!. M/G/K

7na aseguradora mantiene un sistema de c&mputo central que contiene una variedad de informaci&n sobre las cuentas de los clientes. /os agentes de seguros en un rea de > estados usan l+neas telef&nicas para tener acceso ala base de datos de informaci&n de los clientes. 4n la actualidad0 el sistema de c&mputo central de la empresa permite que  usuarios tengan acceso simultneo a la computadora central. 3los agentes que intentan usar el sistema cuando esta saturado se le niega el accesoM no se permite la espera. /a administraci&n se da cuenta de que con la e#pansi&n de su negocio se harn ms solicitudes al sistema de informaci&n central. 4l hecho de que se les niegue el acceso al sistema es ineficiente al igual que molesto para los agentes. /as solicitudes de acceso siguen una distribuci&n de probabilidad de poisson0 con una media de ;2 llamadas por hora. /a tasa media de servicio por l+nea es de 2* llamadas por hora. a) Cul es la probabilidad de que *0 10 2 y  l+neas de acceso estn en usoE b) Cul es la probabilidad de que a un agente se le niegue el accesoE c) Cul es la cantidad promedio de l+neas de acceso en usoE  32  M.C. Emiliano Ferreira Díaz


d) 4n la planeaci&n para el futuro0 la administraci&n debe ser capaK de maneDar S= * llamadas por hora0 adems la probabilidad de que un agente se le niegue el acceso al sistema no deber ser mayor que el valor calculado en el inciso (b). Cuntas l+neas de acceso debe tener el sistemaE -3T65: λ = ;2 llamadas  hora.  = 2* llamadas  hora. Z= *0 10 20  l+neas de acceso a) i * 1 2 

( λ  µ ) i  i$ ( ;2  2*) *  *$= 1 ( ;2  2* ) 1  1$ = 2.1 ( ;2  2*) 2  2$ = 2.2*= ( ;2  2*)   $ = 1.=;=

∑

=>.@;@

D

     ( λ  µ i  i$)   k  ( λ  µ ) j    ∑i =*     j$      

* 1 2 

1>.@;@=*.1;>* 2.1>.@;@=*.*>> 2.2*>.@;@=*.22* 1.;>.@;@=*.22; =1.****

∑

b)

Pk =

( ;2  2*)   $ >.@;@=

= *.22=;

c) L = ( ;2  2*) + (1 − *.22=;) = 1.>2>? personas en el sistema. d) λ = * llamadas  hora.  = 2* llamadas  hora. Z= *0 10 20 0 ; l+neas de acceso. ( =*  2* ) ;  ;$ Pk = = *.1;<<   ( =*  2*) *     ( =*  2* ) 1     ( =*  2*) 2     ( =*  2* )      ( =*  2*) ;  

 

L

*$

 +   

1$

 +   

2$

 +   

$

 +   

= ( =*  2*) + (1 − *.1;<< ) = 2.12= Personas en el sistema.


;$

 


EJERCICIO -". M/G/K

OidYGest Publishing Company publica libros de te#to universitarios. /a compaJ+a opera un numero telef&nico @** mediante el cual los libreros y los maestros interesados en las preguntas pueden hacer preguntas respecto a los pr&#imos te#tos0 solicitar eDemplares de los mismos para e#aminarlos y hacer pedidos. 4n la actualidad se hacen 2 e#tensiones con 2 representantes maneDando las preguntas telef&nicas. /as llamadas que ocurren cuando 2 l+neas se estn usando reciben una seJal de ocupadoM nos e permite la espera. Cada representante puede atender un promedio de 12 llamadas por hora. /a tasa media de llegadas es de 2* llamadas por hora. a) Cuntas e#tensiones deben usarse si la compaJ+a desea maneDar el <*A de las llamadas de inmediatoE b) Cul es la cantidad promedio de e#tensiones que estarn ocupadas si se usa su recomendaci&n del inciso (a)E c) Lu porcentaDe de llamadas recibe una seJal de ocupado en el sistema telef&nico actual con 2 l+neasE λ = 2*

llamadas  hora.  = 12 llamadas  hora. Z= 2 l+neas de acceso.  34  M.C. Emiliano Ferreira Díaz


( 2*  12) 2  2$ Pk = = *.;2= = ;.2=A * 1 2       ( ) ( ) ( ) 2*  12 2*  12 2*  12 a) -e que los 2     +  +      *$   1$   2$ 

Canales estn ocupados. Por lo tanto: >.? menor que <*A no cumple con la pol+tica0 agregando otras 2 l+neas. Z=; ( 2*  12 ) 2  2$ Pk =   ( 2*  12 ) *     ( 2*  12 ) 1     ( 2*  12 ) 2   ( 2*  12 ) 

 

*$

 +   

1$

 +   

2$

 + 

$

+

( 2*  12 ) ;

= *.*>2; = >.2; A

;$

<.?> mayor que <*A ya cumple con la condici&n. b) Con ,=; c) Con ,=2

L

= ( 2*  12)(1 − *.*>2; ) = 1.=>2? e#tensiones ocupadas.

;.2A de las llamadas sonaran como ocupadas.

EJERCICIO -#. M/M/1

VS

M/M/K

7na franquicia de comida rpida esta considerando maneDar una operaci&n de servicio de comidas con ventanillas de servicio en el autom&vil. 5uponga que las llegadas de los clientes siguen una distribuci&n de probabilidad de Poisson0 con una tasa media de llegada de 2; autom&viles por hora y que los tiempos de servicio siguen una distribuci&n de probabilidad e#ponencial. /os clientes que llegan colocan pedidos en una estaci&n de intercomunicador en la parte posterior del estacionamiento y luego conducen hasta la ventanilla de servicio para pagar y recibir sus pedidos. 5e estn considerando las siguientes alternativas. *2 7na

operaci&n con un solo canal en el que un empleado toma el pedido y cobra al cliente. 4l tiempo de servicio promedio para esta alternativa es de dos minutos. ,2 7na

operaci&n con un solo canal en la que un empleado toma el pedido mientras un segundo empleado cobra al cliente. 4l tiempo de servicio promedio para esta alternativa es de 1.2 minutos. C2 7na

operaci&n con dos canales con dos ventanillas de servicio y dos empleados. 4l empleado ubicado en cada ventanilla toma el pedido y cobra a los clientes que llegan a la ventanilla. 4l tiempo de servicio promedio para esta alternativa es de dos minutos para cada canal. Fesponda las siguientes preguntas y recomiende un diseJo alternativo para la franquicia de comida rpida.  35  M.C. Emiliano Ferreira Díaz


a) b) c) d) e) f)

Cul es la probabilidad de que no haya autom&viles en el sistemaE Cul es la cantidad promedio de autom&viles que esperan por servicioE Cual es la cantidad promedio de autom&viles en el sistemaE Cual es el tiempo promedio que un autom&vil espera por servicioE Cual es el tiempo promedio en el sistemaE Cul es la probabilidad de que un autom&vil que llega tenga que esperar por servicioE

λ = 2; autoshora = *.; autos  min.

3)  = 2 min. auto=*. autos  min. B)  =1.2 min. auto=*.@ autosmin. C)  = 2 min. auto=*. autosmin. Z= 2 l+neas de acceso. '=*01

56/7C89': 3arámetros.

Po /q / Gq 3arámetros.

Po

G PR

/q

* Po

= 1−

,

*.; *.=

= *.2

= 1−

*.; *.@

= *.=

( *.;) 2 ( *.;) 2 Lq = = .2 Lq = = *.= ( *.=)( *.= − *.;) ( *.@)( *.@ − *.;) L

= ( .2) + Wq

=

*.;

*.= .2 *.; 1

=;

=@

L

= ( *.=) + *.; = 1

Wq

C

*.@

=

*.= *.;

= 1.2=

1 1 = *.;*<@ W W =2 1.2= + @ 1* = + = * 1  ( *.;  *.=)   ( **.;.= *.=)   ( *.;  *.=)  2 **.@.;= 2. =   *.;  +       + *.; ( ) * $ 1 $ 2 $ 2  * . ; * . ; −      Pw = Pw = = *.@ = @*A = *.= = =*A *.= *.@ 2

 ( *.;  *.=) ( *.;)( *.=)  ( *.;*<@) = *.1;=?  2  [ ] 2 − 1 $ 2  * . = − * . ; ( ) ( )  

/

*.1;=? +

*.;

*.= *.1;=?

Gq

*.;

G PR

Po

*.>; +

= *.<;=?

= *.>;

1 *.=

= 2.>;

2  *.;   ( 2  *.=) ( *.;*<@) = *.21@>     2$  *.=   ( 2  *.=) − *.; 

1



-e acuerdo a los resultados obtenidos0 la opci&n C es la ms conveniente puesto que los valores de sus parmetros son menores que 3 y B.

EJERCICIO $. M/M/1

Investigación de operaciones. 'e,ta edición. Ha!d) +. Caha. 6%K

/as instalaciones de lavado de autos 3ut&mata operan con solo una rampa. /os autos llegan de acuerdo con una distribuci&n de Poisson0 con una media de ; veh+culos por hora0 y esperan en el establecimiento de las instalaciones si la rampa esta ocupada. 4l tiempo de lavado y limpieKa de un auto es e#ponencial0 con una media de 1* minutos. /os autos que no se pueden estacionar dentro esperan en la calle que bordea las instalaciones de lavado. 4sto significa que para todo prop&sito prctico0 no hay l+mite en el tamaJo del sistema. 4l gerente de las instalaciones quiere determinar el tamaJo del estacionamiento. λ = ; por .ora µ = 1* por . min

= >*  1* = >autos. por .ora ρ = ;  > = *.>>>> Po

= 1 − ρ = 1 − *.>>>> = *.;

Ls

=

ρ 1 − ρ

=

Ws

=

Ls λ

1.<<

Wq

= Ws −

Lq

= λ Wq = ;(*.2) = 1.[email protected]

S =

=

Lnq λ Ln µ

*.>>>> 1 − *.>>>> ;

1

µ

= 1.<< Num .de.autos

= *.;<<@Tiempo .de.espera.

= *.;<<@ − 1  > = *.2Tiempo .en.la.cola.

−1 =

Ln (*.1) − 1 = ;.>?< ;   Ln    > 

≅ =espacios.de.estacionamiento.



EJERCICIO 1. M/M/1


4n las instalaciones de lavado de autos aut&mata del eDemplo anterior0 supongamos que se instala un nuevo sistema que permite que el tiempo de servicio para todos los autos sea constante e igual a 1* minutos. C&mo afecta el nuevo sistema la operación de las instalaciones? " (t )

= 1*  >* = 1  > $oras

λ = ;autos. por .ora.

#ar (t )

=*

Ls

= λ " (t ) +

Lq

= Ls +

λ 2 (t 2 (t ) + #ar (t )) 2(1 − λ " (t ))

λ ⇒ 1. = Lq µ

= ;(1  >) +

; 2 ((1  >) 2

+ *)

2(1 − ;  >))

= 1. Numero.de.autos.en.el . sistema

+ *.>>>> ⇒ Lq = *.>> !utos.en.la.cola

Ls 1. = = *.2=Tiempo.aprox.de.espera.en.el . sistema ; λ Wq = Lq  λ = *.>>  ; = *.1>=?Tiempo .aprox .en.la.cola Ws

=

/os resultados tienen sentido ya que un tiempo de servicio constante indica mas certidumbre en la operaci&n de las instalaciones. (5e compararon los resultados del problema anterior con los obtenidos en este. Con los valores de Gs y Gq).

EJERCICIO -. M/M/1




-os compaJ+as de ta#is atienden a una comunidad. Cada empresa posee dos ta#is y se sabe que ambas compaJ+as comparten el mercado casi igualmente. 4sto es evidente por el hecho de que las llamadas llegan a las oficinas despachadoras de cada compaJ+a a una tasa de ocho por hora. 4l tiempo promedio por viaDe es 12 minutos. /as llamadas llegan de acuerdo con una distribuci&n de Poisson y el tiempo de viaDe es e#ponencial. Fecientemente las dos compaJ+as fueron compradas por un inversionista que esta interesado en consolidarlas en una sola oficina despachadora para proporcionar un servicio ms rpido a los clientes. 3nalice la propuesta del nuevo propietario. −1

λ = @

     .2 * .21 .2 2  .2 ;  1    + + Po =   = *.*2  + ;$  .2  * $ 1 $ 2 $    − 1     ;    

µ = = ρ = @  =

= 1.>

.2 ; +1

−1

 (*.*2) = 2.?< Lq =    ( ; − 1)$( ; − .2) 2  c −1 ρ n ρ C  1      + Po = ∑ Ls = 2.?< + .2 = =.<<>1 ρ $ $ n C     n =* 1−     C   Ws = =.<<>1  1> = *.?;? −1 Wq = 2.?<  1> = *.1?;       * 1 2   1.>  1   =  1.> + 1.>   + 2$  1.>   = *.1111 * $ 1 $    1−     2    ρ c +1

=

Ls

= Lq + ρ = 2.@;;1 + 1.> = ;.;;;1

Wq

=

Ws

=

(c − 1)$(c − ρ )

Ls

λ Lq λ

= =

;.;;;1 @ 2.@;;1 @

Po 2

=

1.> 2+1

Lq

(2 − 1)$(2 − 1.>) 2

(*.1111)

= 2.@;;1

= *.==== = *.===

λ = 1> µ = = ρ = 1>  = = .2

/a combinaci&n de servicios es un modo ms eficiente de operaci&n. 4ste resultado es cierto aunque las instalaciones separadas estn muy ocupadas.

EJERCICIO . M/M/1

Investigación de operaciones. 'e,ta edición. Ha!d) +. Caha. 656

/os clientes llegan a un banco de una ventanilla de atenci&n en el auto de acuerdo con una distribuci&n de Poisson0 con una media de 1* por hora. 4l tiempo de servicio por cliente es e#ponencial0 con una media de  minutos. Qay tres espacios frente a la ventanilla0 incluyendo


UNIDAD II. TEORIA DE COLAS.doc

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