Unidad 3 Poligonal Abierta

TOPOGRAFÍA (INC 3201) CAPÍTULO III: POLIGONAL ABIERTA _______________________________________ ___________________________________________________________ ________________________________________ _____________________________ _________

Unidad III:

3.1

POLIGONAL ABIERTA

Poligonales

La poligonación es uno de los procedimientos topográficos más comunes. Las poligonales se usan generalmente para establecer puntos de control y puntos de apoyo para el levantamiento de detalles y elaboración de planos, para el replanteo de proyectos y para el control de ejecución de obras. Una poligonal es una sucesión de líneas quebradas, conectadas entre sí en los vértices. Para determinar la posición de los vértices de una poligonal en un sistema de coordenadas rectangulares planas, es necesario medir el ángulo horizontal en cada uno de los vértices y la distancia horizontal entre vértices consecutivos. En forma general, las poligonales pueden ser clasificadas en: -

Poligonales cerradas (Figura 3.1.a), en las cuales el punto de inicio es el mismo punto de cierre, proporcionando por lo tanto control de cierre angular y lineal.

-

Poligonales abiertas (Figura 3.1.b), en las cuales no es posible establecer los controles de cierre, ya que no se conocen las coordenadas del punto inicial y/o final, o no se conoce la orientación de la alineación inicial y/o final.

(a)

(b) Figura 3.1: Tipos de Poligonales

FGM/fgm

1.-


a) Poligonal Cerrada (Se verá en detalle en Capítulo IV) b) Poligonal Abierta: En poligonales abiertas sin control, se realizan las siguientes operaciones: 1. Cálculo de acimutes o rumbos entre alineaciones (ley de propagación de los acimutes). 2. Cálculo de las proyecciones de los lados. 3. Cálculo de las coordenadas de los vértices. Entonces; b.1 Cálculo de acimutes o rumbos entre alineaciones Los acimutes de los de lados una poligonal se pueden calcular a partir de un acimut conocido y de los ángulos medidos, aplicando la ley de propagación de los acimutes, la cual se puede deducir de la Figura 3.2.

Figura 3.2: Propagación de los acimutes

Supongamos que en la Figura 3.2, se tienen como datos el acimut φAB y los ángulos en los vértices y se desea calcular los acimutes de las alineaciones restantes, para lo cual procedemos de la siguiente manera:

FGM/fgm

2.-


Según la Figura 3.2; El acimut φB1 será:

φB1 = φAB - ΔB

Siendo,

ΔB = 180° - α

Luego,

φB1 = φAB + α – 180°

El acimut φ12 será:

φ12 = φB1 + Δ1

Siendo,

Δ1= 1ˆ – 180°

Luego,

φ12 = φB1 + 1ˆ – 180°

Si aplicamos el mismo procedimiento sobre cada uno de los vértices restantes, podremos generalizar el cálculo de los acimutes según la siguiente ecuación: φi = φi-1 +

∠ vértice ±

ƺ

(Ec. 3.1)

Donde, φi φi-1

: Acimut del lado. : Acimut anterior.

Los criterios para la utilización de la Ecuación (3.1) son los siguientes: Para determinar ƺ Si (φi-1 + ∠ vértice) < 180° Si (φi-1 + ∠ vértice) ≥ 180° Si (φi-1 + ∠ vértice) ≥ 540°

FGM/fgm

⇒ ⇒ ⇒

Se suma 180° Se resta 180° Se resta 540° (Ningún acimut puede ser mayor de 360°)

3.-


Ejemplo: Dado el acimut φA1 y los ángulos. Calcule los acimutes restantes.

Solución: Aplicando la ecuación (3.1) tenemos: Acimut de la alineación 1-2 φ12 = (125°30’12” + 100°18’30”) ± 180°

Si (125°30’12” + 100°18’30”) = 225°48’42” > 180° Entonces, φ12 = 125°30’12” + 100°18’30” -180° = 45°48’42”

⇒

Se resta 180°

Acimut de la alineación 2-3 φ2-3 = (45°48’42” + 120°40°32”) ± 180°

Si (45°48’42” + 120°40’32”) = 166°29’14” < 180° ⇒ Se suma 180° Entonces, φ2-3 = 45°48’42” + 120°40°32” + 180° = 346°29’14”

Acimut de la alineación 3-B φ3B = (346°29’14” + 210°25’30”) ± 180°

Si (346°29’14” + 210°25’30”) = 556°54’44” > 540° Entonces, φ3B = 346°29’14” + 210°25’30” - 540° = 16°54’44”

FGM/fgm

⇒

Se resta 540°

4.-


b.2 Cálculo de las proyecciones de los lados. Con Estación Total: Tabla tipo, de datos de terreno: Est.

Punto

Acimut (φ)

∠V

D. horizontal (DH)

H. Instrum. (HI)

H. Jalón (HJ)

Proyecciones: ∆ N −

S = Coseno( ) ⋅ DH

Si ∆ N − S > 0 ⇒ ∆ N Si ∆ N − S < 0 ⇒ ∆S

∆ E − O =

Seno( ) ⋅ DH

Si ∆ E − O > 0 ⇒ ∆ E Si ∆ E − O < 0 ⇒ ∆O

b.3 Cálculo de las coordenadas de los vértices. Coordenadas: N = Coordenada( N ) + ∆ N N = Coordenada( N ) − ∆S E = Coordenada( E ) + ∆ E E = Coordenada( E ) − ∆O Cota punto = Cota Estación + HI − HJ ± DV

Donde, DV = DH ⋅ Cotg (∠V )

FGM/fgm

5.-


Ejemplo: Siguiendo el Procedimiento descrito anteriormente, calcule las coordenadas de la Poligonal Abierta: BASE DE MEDICIÓN= (200,00; 300,00; 50,00) OBS: La Estación total, trabaja los ángulos en GRADIANES. Est.

Punto A0 A1 A2 A3 A4

A1 A0 A2 A1 A3 A2 A4 A3

Acimut (φ) 103,2851 303,2851 185,4052 385,4052 269,5109 69,5109 347,7363 147,7363

∠V

99,2155 100,7845 98,3296 101,6704 97,4880 102,5120 101,5765 98,4235

D. horizontal (DH) 101,43 101,43 92,59 92,59 98,28 98,28 124,35 124,35

H. Instrum. (HI) 1,532 1,370

H. Jalón (HJ) 1,532 1,370

1,460

1,460

1,520

1,520

1,51

1,51

Solución: a) Cálculo de acimutes o rumbos entre alineaciones OBS: El cálculo, enseñado en este Apunte, para la propagación de acimutes, es válido si y solo si, el dato entregado por el Instrumento (Taquímetro) es el ángulo entre alineaciones. La Estación total entrega los acimutes. acimutes . Por lo tanto, no es necesario realizar ningún cálculo, sólo si la Poligonal es Abierta. Cuando la Poligonal es Cerrada (Se verá en Capitulo IV), entonces, se deberán compensar los acimutes debido al error de cierre.

FGM/fgm

6.-


b) Cálculo de las proyecciones de los lados. De acuerdo a las ecuaciones señaladas anteriormente, se tiene: OBS: La Estación total, trabaja los ángulos en GRADIANES.

Est.

Punto

A0 A1

A1 A0 A2 A1 A3 A2 A4 A3

A2 A3 A4

Acimut (φ) 103,2851 303,2851 185,4052 385,4052 269,5109 69,5109 347,7363 147,7363

∠V

99,2155 100,7845 98,3296 101,6704 97,4880 102,5120 101,5765 98,4235

D. horizontal (DH) 101,43 101,43 92,59 92,59 98,28 98,28 124,35 124,35

ΔN

Proyecciones ΔS ΔE

ΔO

0,000

5,232 5 ,232

101,295

0,000

0,000

90,167

21,041

0,000

0,000

45,290

0,000

87,223

84,747

0,000

0,000

90,999

Veamos como se resuelve para la primera Estación A1: A1: ∆ N −

S = Coseno( ) ⋅ DH = −5,232

-

Como ∆ N − S < 0 , entonces la Proyección corresponde a ∆S

-

No se debe anteponer el signo negativo.

-

Debido a que la Proyección obtenida es

∆S =

5,232 , se tendrá como consecuencia

que ∆ N = 0

∆ E − O =

Seno( ) ⋅ DH = 101,295

-

Como ∆ E − O > 0 , entonces la Proyección corresponde a ∆ E

-

Debido a que la Proyección obtenida es

∆ E = 101,295 ,

se tendrá como

consecuencia que ∆O = 0 Para las siguientes estaciones A2, A3 y A4, se debe realizar el mismo procedimiento.

FGM/fgm

7.-


c) Cálculo de las coordenadas de los vértices. De acuerdo a las ecuaciones señaladas anteriormente, se tiene:

Est. A0 A0 A1

Punto

A2 A3 A4

A1 A0 A2 A1 A3 A2 A4 A3

ΔN

Proyecciones ΔS ΔE

ΔO

DV

0,000

5,232

101,295

0,000

0,000

90,167

21,041

0,000

0,000

45,290

0,000

87,223

84,747

0,000

0,000

90,999

1,250 -1,250 2,430 -2,430 3,880 -3,880 -3,080 3,080

Coordenadas N E 300,00 200,00 294,768 301,295 204,601

322,336

159,311

235,113

244,058

144,114

Cota 50,00 51,250 51,250 53,680 53,680 57,560 57,560 54,480 54,480

Notar que: Para el cálculo de coordenadas (N, E) y Cota, se debe utilizar la coordenada y cota de la ESTACIÓN ANTERIOR. Si calculamos la coordenada Norte, Norte, por ejemplo, tenemos: - Para A1: N = Coordenada( N ) − ∆S = 300 − 5,232 = 294,768

- Para A2: N = Coordenada( N ) − ∆S = 294,768 − 90,167 = 204,601

- Para A3: N = Coordenada( N ) − ∆S = 204,601 − 45,290 = 159,311

- Para A4: N = Cooordenad a ( N ) + ∆N = 159,311 − 84,747 = 244,058

Para la coordenada Este y Cota, no olvidar también utilizar la Estación anterior.

FGM/fgm

8.-


TABLA RESUMEN:

FGM/fgm

9.-


Trabajo de Terreno con Estación Total: ¿Cómo se realizó este procedimiento en terreno? Veamos Paso a Paso: A0 -

Fijar punto donde hacer Estación A0. (Hito: Clavo) Nivelar instrumento. Calar al Norte Magnético. Introducir coordenadas. (Ejemplo, 100, 100, 50) Introducir altura de Instrumento y altura de jalón.

A0-A1 - Fijar punto donde hacer Estación A1. (Hito: Clavo) - Desde Estación A0, tomar punto A1. Para ello el alarife, deberá poner el jalón sobre el punto establecido como A1. - La Estación Total, desplegará en pantalla los datos: Acimut, Ángulo vertical y Distancia horizontal. (Anotarlos ordenadamente, como se mostró en el ejemplo anterior). A1-A0 (Calado atrás) - Trasladar la Estación Total sobre el Hito que señala A1. - Nivelar instrumento. - Introducir altura de Instrumento y altura de jalón. - El alarife deberá poner el jalón sobre A0. - Al acimut entregado de A0-A1, sumar 200g, e introducir el valor obtenido al instrumento apuntando al jalón que esta sobre A0. (VER FIGURA 3.3) Es importante el Calado atrás, para que todas las Estaciones mantengan el mismo NORTE, fijado en A0.

Figura 3.3: Estación A0-A1 y Calado atrás (A1-A0)

FGM/fgm

10.-


A1-A2 -

La Estación está aún en A1. Ya se caló atrás (A1-A0) para orientar la Estación. Fijar punto donde hacer Estación A2. (Hito: Clavo) Desde Estación A1, tomar punto A2. Para ello el alarife, deberá poner el jalón sobre el punto establecido como A2. La Estación Total, desplegará en pantalla los datos: Acimut, Ángulo vertical y Distancia horizontal. (Anotarlos ordenadamente, como se mostró en el ejemplo anterior).

A2-A1 (Calado atrás) - Trasladar la Estación Total sobre el Hito que señala A2. - Nivelar instrumento. - Introducir altura de Instrumento y altura de jalón. - El alarife deberá poner el jalón sobre A1. - Al acimut entregado de A1-A2, sumar 200g, e introducir el valor obtenido al instrumento apuntando al jalón que esta sobre A1. (VER FIGURA 3.4) Es importante el Calado atrás, para que todas las Estaciones mantengan el mismo NORTE, fijado en A0.


FGM/fgm

11.-


A2-A3 -


A3-A2 (Calado atrás) - Trasladar la Estación Total sobre el Hito que señala A3. - Nivelar instrumento. - Introducir altura de Instrumento y altura de jalón. - El alarife deberá poner el jalón sobre A2. - Al acimut entregado de A2-A3, sumar 200g, e introducir el valor obtenido al instrumento apuntando al jalón que esta sobre A2. (VER FIGURA 3.5). Como en este caso el ángulo obtenido será 469,511 g, el ángulo a introducir será 69,511g, los ángulos no pueden sobrepasar los 400g.


FGM/fgm

12.-


A3-A4 -


A4-A3 (Calado atrás) - Trasladar la Estación Total sobre el Hito que señala A4. - Nivelar instrumento. - Introducir altura de Instrumento y altura de jalón. - El alarife deberá poner el jalón sobre A3. - Al acimut entregado de A3-A4, sumar 200g, e introducir el valor obtenido al instrumento apuntando al jalón que esta sobre A3. (VER FIGURA 3.6). Como en este caso el ángulo obtenido será 547,736 g, el ángulo a introducir será 147,736 g, los ángulos no pueden sobrepasar los 400g.


FGM/fgm

13.-


3.2

Trazado de Rutas

Un Plano topográfico bien elaborado constituye una base de información indispensable en la planificación, ejecución y control de todo proyecto. Además, de un Plano topográfico con curvas de nivel podemos determinar la cota o elevación de cualquier punto sobre el plano, la pendiente entre dos puntos, estimar los volúmenes de corte y relleno de material requeridos en la ejecución de una obra, proyectar trazado de vías, etc. Para el Trazado de una Ruta, se debe establecer, de manera primordial, las pendientes máximas que puede adoptar una ruta, de acuerdo a su Velocidad de Proyecto. (Ver Apunte Capitulo II). Cálculo de Pendientes: La pendiente de un terreno entre dos puntos ubicados en dos curvas de nivel consecutivas es igual a la relación entre el intervalo de las curvas de nivel o equidistancia y la distancia longitudinal que los separa (Figura 3.7) P =

e D

⋅ 100

(Ec. 3.2)

Donde, P e D

: Pendiente del terreno (%) : Equidistancia entre curvas de nivel (m) : Distancia horizontal entre los puntos considerados (m)

Figura 3.7: Pendiente del terreno

FGM/fgm

14.-


Ejemplo 1: Para calcular la pendiente del terreno entre los puntos A y B de la Figura 3.7, medir a escala indicada la distancia AB. Suponer que la distancia AB (20,0 m). La Figura indica que las curvas tienen una equidistancia de 5m. Entonces, P =

5 20

⋅ 100 =

25%

Calcular la pendiente entre A y B’ suponiendo que la distancia AB’ es 40 m Entonces, P =

5 40

⋅ 100 = 12,5%

Ejemplo 2: Suponiendo que se necesita trazar un camino, se cuenta con un plano topográfico a escala. El trazado se muestra en la Figura 3.8, verificar si este cumple con las pendientes máximas para un camino cuya Velocidad de Proyecto es 40 Km/h.

Figura 3.8: Trazado de una Ruta, en plano con curvas de nivel

FGM/fgm

15.-


Suponer que las distancias medidas a escala son las siguientes: DA-1 = 58 m D1-2 = 75 m D2-3 = 118 m D3-B = 30 m

Desarrollo: Tramo A-1: P =

5 58

⋅ 100 =

8,6%

Tramo 1-2: P =

5 75

⋅ 100 =

6,7%

Tramo 2-3: P =

5 118

⋅ 100 =

4,2%

Tramo 3-B: P =

5 30

⋅ 100 = 16,7%

Según la Tabla 3.204.302.A, del MC. Vol. 3, indicada en el Apunte Capítulo II, página 17; para una Velocidad de Proyecto de 40 Km/h, la pendientes máximas están en el rango 9-10%. Por lo tanto, el Tramo 3-B; no cumple con este requisito. Se deberá modificar el trazado de este tramo.

FGM/fgm

16.-


OBS: Las Poligonales Abiertas son utilizadas para el Trazado de Rutas, Líneas de alta tensión, canales, oleoductos, etc. Sin embargo, existe una dificultad mayor al realizar este tipo de Levantamiento, pues no se puede determinar el error.

FGM/fgm

17.-

Unidad 3 Poligonal Abierta

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