Unidad 2. Interes Simple y Compuesto

Matemáticas financieras Unidad 2. Interés simple y compuesto

Licenciatura en: Gestión y Administración de las Pequeñas y Medianas Empresas (PyMES)

Programa de la asignatura: Matemáticas financieras

Clave 080920414

Universidad Abierta y a Distancia de México

División de Ciencias Sociales y Administrativas | Licenciatura en Gestión y Administración de PyMES.

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Índice Unidad 2. Interés simple y compuesto .......................................................................................... 4 Presentación de la unidad........................................................................................................... 4 Propósitos ...................................................................................................................................... 4 Competencia específica .............................................................................................................. 4 2.1. Conceptos básicos ............................................................................................................... 5 2.1.1. Valor presente y futuro ..................................................................................................... 5 2.1.2. Monto................................................................................................................................... 7 2.1.3. Interés simple ..................................................................................................................... 7 2.1.4. Plazo .................................................................................................................................. 11 2.1.5. Descuento......................................................................................................................... 13 Actividad 1. Ensayo .................................................................................................................... 15 2.1.6. Interés compuesto y ecuaciones de valor cronológico derivadas ........................... 15 2.1.6.1. Simbología y diagramas de flujo monetario para interés simple y compuesto y concepto de equivalencia .......................................................................................................... 15 2.1.6.2. Concepto de interés compuesto y su comparación con el interés simple .......... 18 2.1.6.3. Fórmula para obtener el valor futuro (𝐅) de un capital presente (𝐏).(𝐅/𝐏)........ 20 2.1.6.4. Fórmula para obtener el valor presente (𝐏) a partir de un valor futuro 𝐅. (𝐏/𝐅) 21 2.1.6.5.Fórmula para obtener el valor futuro (𝐅) a partir de una serie uniforme (anual) de flujos monetarios (𝐅/𝐀) ............................................................................................................. 22 2.1.6.6. Fórmula para obtener una serie uniforme (𝐀) a partir de de un valor futuro (𝐅) en un periodo enésimo 𝐧. (𝐀/𝐅) ............................................................................................... 24 2.1.6.7. Fórmula para obtener el valor presente (𝐏) derivado de una serie de depósitos iguales (𝐏/𝐀). ............................................................................................................................. 25 2.1.6.8. Fórmula para obtener el valor uniforme (𝐀) a partir de un valor presente (𝐏).(𝐀/𝐏) ..................................................................................................................................... 26 2.1.6.9. Concepto de gradiente y fórmulas respectivas para determinar un valor futuro (𝑭) a partir de (𝑮) (𝑭/𝑮); un valor uniforme (𝑨) a partir deun gradiente (𝑮) (𝑨/𝑮) y un valor presente (𝑷) a partir de un valorgradiente (𝑮) (𝑷/𝑮)................................................. 27 2.2. Aplicaciones......................................................................................................................... 31 2.2.1. Aplicaciones de interés simple ...................................................................................... 32 2.2.2. Aplicaciones de interés compuesto .............................................................................. 33 2.2.3. Aplicaciones de valor presente y futuro con interés simple y compuesto .............. 35


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2.2.4. Tasa nominal y efectiva y equivalente ......................................................................... 37 Actividad 2. Cuadro sinóptico ................................................................................................... 40 Actividad 3. Formulario .............................................................................................................. 40 Actividad 5. Investigación y exposición ................................................................................... 41 Autoevaluación ........................................................................................................................... 42 Evidencia de aprendizaje: Ejercicios Prácticos ..................................................................... 44 Para saber más…....................................................................................................................... 45 Fuentes de consulta ................................................................................................................... 45


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Unidad 2. Interés simple y compuesto Presentación de la unidad Desde la antigüedad, el ser humano se ha valido del intercambio de bienes para satisfacer necesidades. Con el paso del tiempo, las sociedades implementaron el uso del dinero para realizar estos intercambios. En esta unidad, comprenderás que la utilización del dinero implica el uso del interés, que es una cantidad a pagar por el uso del mismo. El interés puede expresarse en cantidad o en porcentaje, y puede ser simple o compuesto, y es a través del interés compuesto que es posible determinar equivalencias del dinero a través del tiempo. Además, realizarás ejercicios que te permitirán conocer equivalencias en el tiempo de algunas cantidades de dinero. Como información adicional, conocerás las tasas nominal y efectiva y cómo calcular cada una de éstas.

Propósitos Al finalizar la unidad serás capaz de: • • • •

Entender y explicar el valor presente y futuro de un flujo de efectivo. Entender y explicar los conceptos de monto, interés y plazo. Diferenciar el interés simple del interés compuesto. Aplicar el interés compuesto y las ecuaciones de valor cronológico del dinero derivadas.

Competencia específica Aplicar los diferentes factores de interés (interés simple e interés compuesto) para realizar equivalencias del dinero a través del tiempo.


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2.1. Conceptos básicos Para garantizar la comprensión al cien por ciento del material de esta unidad, es necesario que realices una revisión de conceptos financieros que te proporcionarán bases fuertes para la utilización de las matemáticas financieras. Los conceptos con los que las personas y los microempresarios se enfrentan cotidianamente son los siguientes: valor presente y futuro, monto, interés simple, interés compuesto, entre otros. Ahora, conocerás más a fondo estos conceptos. Las matemáticas financieras se caracterizan por manejar valores monetarios equivalentes en el tiempo y conceptos tales como valor presente y futuro, monto, interés simple, interés compuesto, entre otros. El papel que desempeña el tiempo en el valor del dinero es la idea general que integrará todos los conceptos.

2.1.1. Valor presente y futuro El valor del dinero a través del tiempo es clave en las matemáticas financieras, en el sentido de que, si se posee cierta cantidad de efectivo, se puede tener la certeza del valor del dinero hoy, mientras que en el futuro, el valor del efectivo es incierto. Una forma de analizar el dinero a través del tiempo es trasladar las diferentes equivalencias de una cantidad al valor presente.

Concepto de equivalencia El dinero, dependiendo de muchos factores y del punto de vista de sus poseedores, puede tener diferentes valores. A saber:

Valor intrínseco

Valor extrínseco

Valor sentimental

Valor nominal

Valor adquisitivo


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El valor intrínseco del dinero se identifica de acuerdo con la cantidad de metal precioso (oro y plata) que contenga una moneda. Esta interpretación, carece de valor práctico en el caso del papel moneda. En relación a los valores extrínseco y nominal, se puede asentar que son equivalentes, ya que ambos calificativos se refieren al sello y denominación asignada a una moneda o billete durante un cierto periodo de tiempo. El valor sentimental del dinero, se origina en determinadas prácticas y actitudes que no persiguen de una manera directa, un beneficio económico, sino que se presenta como una manifestación del arte o de la ciencia humanística, es decir, la actividad tendiente a coleccionar y clasificar monedas y billetes. El dinero por sí mismo, aislándolo de la presencia de los satisfactores, no constituye una riqueza, ya que solamente es un símbolo adoptado como una medida del valor para la realización de las operaciones de intercambio. Este valor o poder adquisitivo del dinero, es el concepto que interesa maximizar a través de los beneficios obtenidos al decidir su aplicación. En los estudios económicos es imprescindible considerar el valor cronológico del dinero y tratar de cuantificar en el futuro, los efectos de una decisión adoptada. Puesto que en el futuro todo parece incierto, la preferencia del dinero en el momento presente es inobjetable. En términos cualitativos, esta preferencia se justifica a través de diferentes situaciones que se pueden sintetizar en las siguientes:

Posibilidad de inversión La posesión de una determinada cantidad de dinero en el momento presente, implica la posibilidad de invertirla, en cuyo caso, las alternativas se identifican desde una mínima aceptable que consiste en la conformidad de depositarla a plazo fijo, situación en la cual, el ritmo de las tasas de rendimiento no superarán al incremento de la inflación, y por lo tanto, ni siquiera se conserva el poder adquisitivo del dinero. Los niveles correspondientes a las alternativas más ventajosas deberán ofrecer tasas de interés superiores al mayor interés bancario.

Posibilidad de uso Por lo general, todas las personas físicas o morales tienen necesidades insatisfechas, por cuya circunstancia se procede a la disposición de una cantidad de dinero en el presente para la obtención del bien o servicio requerido.


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Inflación y riesgo Argumentos importantes que se suman a la lista son la inflación y el riesgo, sobre todo, en épocas de inestabilidad económica. La inflación es el aumento de los precios de los bienes y/o servicios en un periodo de tiempo determinado, o bien, la disminución del valor adquisitivo del dinero. Por otra parte, el riesgo se manifiesta mediante la desconfianza y desconocimiento que se posee acerca del acontecer de determinados eventos en el futuro. En suma, el valor del dinero en el tiempo, en términos cuantitativos, se refiere al aumento o disminución del dinero según una escala de tiempo, ya sea que se contabilice hacia el horizonte (capitalización), o hacia atrás (operación de descuento). Aunado al concepto anterior, intervendría una tasa de interés por periodo.

2.1.2. Monto Capital o principal (𝑃) se le denomina al valor del dinero actual o presente. Para ejemplificar lo anterior, supón que el señor Ramos pide un préstamo al banco, la cantidad prestada es el capital; al utilizar el crédito en esta institución bancaria, éste genera intereses, que es la cantidad de dinero extra a pagar por el uso del crédito y el monto es la cantidad de dinero a pagar o que se recibe al finalizar un periodo determinado(plazo), es decir, la cantidad total a pagar y su expresión matemática es: 𝑀 = 𝑃+ 𝐼

2.1.3. Interés simple Para fines prácticos de la asignatura se denominará tasa de interés al costo que genera hacer uso de recursos que no son propios. Se conocen dos tipos de interés: el interés simple y el interés compuesto. En el interés simple, solamente se ganan intereses a partir del capital o principal. Y se calculan multiplicando el capital por la tasa de interés. Ejemplo Si un banco presta 100 pesos ahora al 10% por periodo, al final del primer periodo la deuda ascenderá a 100 + (100 × 0.10) = 110.


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Matemáticas financieras Unidad 2. Interés simple y compuesto (100 × 0.10) representan los intereses a una tasa de interés simple cuyo valor será uniforme desde 1 hasta el 𝑒𝑛é𝑠𝑖𝑚𝑜 periodo.

Ejemplo Un microempresario tomó prestado 120pesos por 5 meses y se cargó el 9% de interés. 1. ¿Cuánto interés pago? Para calcular la tasa de interés de este ejemplo se utiliza la siguiente fórmula: 𝐼 = 𝑃𝑟𝑡 En donde: 𝐼 = (interés) se desconoce. 𝑃 =(principal o capital) es el importe tomado prestado = 120. 𝑟 = (tasa) es el 9% anual. Cambiar a 0.09 antes de sustituir. 𝑡 = (tiempo) es 5 meses.

= 120 𝑥 0.09 𝑥 =

5 = 120 𝑥 0.09 𝑥 0.4167 12

54 = 4.492 = 4.50 12

El cargo por intereses es 4.50 pesos. Es importante recalcar, que el periodo de tiempo se dividió entre doce debido a que es necesario unificar las medidas. En este caso, el interés es expresado anualmente, y el periodo, mensualmente.

Determinación del valor al vencimiento 2. ¿Cuánto tendrá que liquidar al finalizar los 5 meses? 𝑆 = 𝑃 + 𝐼 𝑆 = 120 + 4.50 𝑆 = 124.50 Comprobación: El monto del interés para un periodo corto debe ser pequeño con relación al capital. Por lógica, el importe liquidado tiene que ser mayor que el capital.


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Determinación de la tasa Ejemplo Una deuda de 260pesos se liquidó al finalizar 3 meses con 5.20 pesos adicionales por concepto de intereses. ¿Cuál fue la tasa de interés? I= es el importe del interés 5.20. P= es el importe tomado prestado = 260. r= se desconoce. 3

𝑡 = 3 meses, o 12 , o 0.25 de un año. 𝐼 = 𝑃𝑟𝑡 1 4 Multiplica 260 por ¼ para simplificar el coeficiente de r 5.20 = 65𝑟 Divide ambos lados de la ecuación entre el coeficiente de r 5.20 = 260 𝑟

5.20 65

=

65𝑟 65

𝑟 = 0.08 = 8%

La tasa es 8% anual. Dado que el tiempo se utilizó como parte de 1 año, la tasa también se basa en un año.

Determinación del tiempo El tiempo es una “magnitud física que permite ordenar la secuencia de los sucesos, estableciendo un pasado, un presente y un futuro. Su unidad en el Sistema Internacional es el segundo” (RAE, 2011). Para fines prácticos, en esta asignatura, el tiempo será un periodo, que como tal, puede durar un día, un mes, un bimestre, un trimestre, un semestre, un año, etcétera. Ejemplo Una deuda de 480pesos se liquidó con un cheque por el importe de 498pesos. Si 1 2

la tasa de interés fue del 7 %, ¿cuánto tiempo se tuvo prestado el dinero? 𝑃 = 480 1 𝑟 = 7 % = 0.075 2 t es la incógnita 𝑆 = 498


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Para determinar el interés, resta el valor al vencimiento del principal 𝐼 = 498 − 480 = 18 𝐼 = 𝑃𝑟𝑡 18 = (480)(0.075)𝑡 18 = 36 𝑡 18 36𝑡 = 36 36 0.5 = 𝑡 ó 1 2 = 𝑡 El tiempo es 1 2 año, o 0.5 años. Como la tasa es una tasa anual, el tiempo también es parte de un año. Comprobación: el tiempo es inferior a un año. Esto es cierto en la mayor parte de los problemas de interés simple.

Determinación del principal o capital Ejemplo ¿Cuánto se tomó prestado si el interés es 27pesos, la tasa es 9% y el tiempo 2 meses? 𝐼 = 27 P se desconoce 𝑟 = 9% = 0.09 2 𝑡 = 2 meses, ó 12 de un año. Se utilizará el quebrado 2/12 en lugar del decimal repetitivo equivalente, es decir, 0.16666666, ya que el quebrado es exacto. 𝐼 = 𝑃𝑟𝑡 2 27 = 𝑃 0.09 12 Multiplica 0.09 por 2 y divide el resultado entre 12. 27 = 𝑃 (0.015) Divide ambos lados entre el coeficiente de 𝑃. 27 𝑃 0.015 = 0.015 0.015 1,800 = 𝑃 El capital (principal) es 1,800 pesos. Comprobación: 𝐼 = 𝑃𝑟𝑡 2 = (1,800) (0.09) 12 𝐼 = 27


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2.1.4. Plazo El plazo es el intervalo regular establecido (que puede ser anual, semestral, trimestral) por el cual se calcula el interés y después se añade al principal o capital (𝑃). Ejemplo ¿En cuánto tiempo se duplica un capital invertido al 49% de interés anual simple, si 𝑀 = 2 y 𝑃 = 1? De la fórmula: 𝑀 = 𝑃(1 + 𝑖𝑡) 2 = 1 1 + 0.49 𝑡 1 + 0.49𝑡 = 2 0.49𝑡 = 2 − 1 = 1 𝑡 = 1/0.49 𝑡 = 2.04 𝑎ñ𝑜𝑠 0.04 𝑎ñ𝑜𝑠 = 365 0.040 𝑑í𝑎𝑠 = 14.84 𝑑í𝑎𝑠. 𝑡 = 2 𝑎ñ𝑜𝑠𝑦 15 𝑑í𝑎𝑠, 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒. Nota: Para calcular esto sólo se necesitó suponer un monto del doble de cualquier capital. Utilizando 𝑀 = 30 𝑃 = 15. 30 = 15(1 + 0.49𝑡) 30 = 1 + 0.49𝑡 15 2 = 1 + 0.49 𝑡, que es la misma expresión anterior.

Ejemplo ¿En cuánto tiempo se acumularían 5,000pesos si se depositaran hoy 3,000pesos en un fondo que paga 4% simple anual? 𝑀 = 5,000 𝑃 = 3,000 𝐼 = 0.04 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 5,000 = 3,000(1 + 0.04𝑡) 5,000 = 1 + 0.04𝑡 3,000 1.666667 = 1 + 0.04𝑡 0.04𝑡 = 0.666667 𝑡 = 0.666667/0.04


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Matemáticas financieras Unidad 2. Interés simple y compuesto 𝑡 = 16.67 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠. Como la tasa 𝑖 estaba dada en meses, el resultado que se obtiene en 𝑡 también está en meses, y 0.67 meses= 0.67(30) días = 20.1 días; entonces, se acumulan 5,000 pesos si se depositan hoy 3,000pesos a 4% mensual simple en 16 meses y 20 días, aproximadamente. Existen situaciones en las que el plazo de una operación se especifica mediante fechas, en lugar de mencionar un número de meses o años.

Ejemplo ¿Cuál será el monto el 24 de diciembre de un capital de 10,000pesos depositado el 15 de mayo del mismo año en una cuenta de ahorros que paga 49%de interés anual simple? 𝑃 = 10,000 𝑖 = 0.49 𝑡 =? a) Para calcular el tiempo real es necesario determinar el número de días que transcurren entre las dos fechas (obsérvese que el 15 de mayo no se incluye, ya que si se deposita y retira una cantidad el mismo día, no se pagan intereses). 16 días de mayo 30 días de junio 31 días de julio 31 días de agosto 30 días de septiembre 31 días de octubre 30 días de noviembre 24 días de diciembre El total de días es de 223. 𝑦, 𝑡 = 223/365 223 𝑀 = 10,000 1 + 019 ( ) 365 𝑀 = 10,000(1.116082) 𝑀 = 11,160.82 b) En muchos casos se calcula el tiempo en forma aproximada, contando meses enteros de 30 días y años de 360 días:


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Del 16 de mayo al 15 de diciembre hay 7 meses, más 9 días del 16 de diciembre al 24 de diciembre: 7 30 + 9 = 219 𝑑í𝑎𝑠 219 𝑡= 360 219 𝑀 = 10,000.00 1 + 0.1 360 𝑀 = 10,000(1.115583) 𝑀 = 11,155.83

=

Aunque ocasiona diferencias en los valores que se obtienen, se utiliza el cálculo aproximado del tiempo debido a que es más sencillo.

2.1.5. Descuento En matemáticas financieras, el descuento no se refiere a que el precio de un bien sea menor en un determinado porcentaje, sino a la bonificación que se recibe por pagar anticipadamente una deuda. En ocasiones, se adquieren documentos en los que se compromete a pagar cierta cantidad en una fecha determinada. Si se presenta la oportunidad de saldar deudas de manera prematura, se está llevando a cabo una operación de descuento.

Existen básicamente dos formas de calcular el descuento: Descuento comercial: En este caso la cantidad que se descuenta se calcula sobre el valor nominal del documento. Ejemplo de descuento comercial Una PyME realizó una operación de descuento. Por esta operación, recibió un documento con un valor de 166,666.67 pesos. Si el descuento es del 30% y la fecha límite de pago era de 4 meses después de su descuento, ¿Cuál era el valor nominal del documento en la fecha límite de pago?

Solución: 𝑃 = 166,666.67 𝑑 = 0.30


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Matemáticas financieras Unidad 2. Interés simple y compuesto 𝑡 = 4/12 = 1/3 Tomar en cuentaque el descuento 𝐷 = 𝑀𝑑𝑡 𝑦 𝑀 = 𝑃 + 𝐷 𝐷 = 𝑃 + 𝐷 𝑑𝑡 = 𝑃𝑑𝑡 + 𝐷𝑑𝑡 𝐷 − 𝐷𝑑𝑡 = 𝑃𝑑𝑡 𝐷 1 − 𝑑𝑡 = 𝑃𝑑𝑡 𝑃𝑑𝑡 𝐷= 1 − 𝑑𝑡 166,666.67 0.30 1/3 166,666.67 0.10 16,666.67 𝐷= = = = 1 − 0.30 (1/3) 1 − 0.10 0.90 𝐷 = 18,518.52 Y el valor del pagaré en su fecha de vencimiento es: 166,666.67 + 18,518.52 = 185,185.19

Descuento real o justo: A diferencia del descuento comercial, el descuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa, y no sobre el valor nominal.

Ejemplo de descuento real o justo Una empresa descontó en un banco un pagaré. Recibió 166,666.67 pesos. Si el tipo de descuento es de 30% y el vencimiento del pagaré era 4 meses después de su descuento, ¿cuál era el valor nominal del documento en la fecha de su vencimiento? Se sabe que: 𝑃 = 166,666.67 𝑑 = 0.30 𝑡 = 4/12 = 1/3 Solución: 𝑀 = 166,666.67 1 + 0.3 1 3 𝑀 = 166,666.67(1.10) 𝑀 = 183,333.34 Si la operación se hubiera llevado a cabo bajo descuento real, el valor nominal del pagaré habría sido de 183,333.34 pesos.


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Actividad 1. Ensayo

En esta actividad integrarás todos los conceptos expuestos en el contenido de la unidad hasta este momento, mediante la explicación del valor del dinero en el tiempo. Para ello: 1. Investiga en fuentes primarias y secundarias (libros de texto, revistas, material virtual, entre otros) la equivalencia del dinero a través del tiempo, considerando ya la información que revisaste en esta unidad. 2. Analiza la información y elabora un ensayo en el cual expliques, con tus propias palabras, el valor del dinero a través del tiempo. *Recuerda que tu argumento debe de ser bien fundamentado y organizado. 3. Guarda tu archivo con la nomenclaturaMF_U2_A1_XXYZ. Envíalo a tu Facilitador(a) a través de la sección de Tareas y espera retroalimentación.

2.1.6. Interés compuesto y ecuaciones de valor cronológico derivadas Tomando en consideración la simbología que más adelante se describe, el interés compuesto y el número de periodos en un horizonte dado, se derivarán una serie de expresiones que arrojarán como resultado diferentes equivalencias del dinero a través del tiempo. En este apartado, se explicarán ampliamente los conceptos antes mencionados.

2.1.6.1. Simbología y diagramas de flujo monetario para interés simple y compuesto y concepto de equivalencia Antes de abordar el concepto de equivalencia y las expresiones algebraicas que te llevarán a comprenderlo, es necesario considerar el uso de la siguiente simbología. Sea: 0 =el momento presente. 𝑛 =número de periodos. 𝑃 =valor actual o presente del capital. Se le representa en el momento presente “0” (cero). 𝐹 =valor futuro de una cantidad de dinero. Esta se indica en un periodo “𝑛”.


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Matemáticas financieras Unidad 2. Interés simple y compuesto 𝐴 =valor de cada componente en una serie de pagos o ingresos iguales. Se representa a partir del periodo 1 hasta 𝑛 dentro de un diagrama de flujo monetario. 𝑖 =tasa de interés compuesto por periodo. 𝐺 =valor en que se incrementa en cada periodo, la magnitud de cada componente 𝐴. El valor de 𝐺 se representa a partir del periodo número 2 hasta “𝑛”.

Diagrama de flujo monetario Con el propósito de tener una idea más concreta acerca de la interpretación de la simbología anterior, vas a utilizar un diagrama de flujo monetario. Dicha figura, es una representación diagramática consistente en una línea horizontal delimitada por el cero (0) y 𝑛. En esta representación, se indicarán los ingresos (hacia arriba) y los egresos (hacia abajo) en referencia a la línea horizontal. La simbología descrita anteriormente, se ubica en el diagrama de la siguiente forma:


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Un diagrama de flujo de efectivo lo constituiría el siguiente ejemplo:

En el cual: 𝑃 = Inversión 𝐴1 = Ingresos anuales 𝐴2 =Egresos anuales 𝐹 = Valor futuro Es conveniente aclarar, que tanto los ingresos como los egresos, no se comportan a través del tiempo, de una manera uniforme. Al respecto, es precisamente mediante el concepto de equivalencia, que se obtiene del empleo de los factores de interés compuesto, lo que te permitirá representar comouna serie uniforme, los flujos monetarios para un horizonte de tiempo dado. Por otra parte, al tratar de esta manera los datos de un problema, se simplifican los cálculos relativos a su evaluación. Por lo general, el interés compuesto es el concepto que mejor representa el valor del dinero a través del tiempo, ya sea capitalización o descuento. Un ejemplo del valor cronológico del dinero es el siguiente: Si inviertes100 pesos ahora al 10% de interés, dentro de 3 años poseerías 133.10pesos. En términos de poder adquisitivo, 100 pesos de ahora, serían equivalentes a 133.10pesos dentro de 3 años, si los 100 pesos referidos se invirtieran al 10% anual de interés compuesto. En términos concretos, el concepto de equivalencia se puede enunciar de la siguiente manera: Si dos cantidades (100pesos ahora y 133.10pesos dentro de 3 años) se refieren o trasladan a un mismo punto o periodo, en dicho punto las cantidades resultarían iguales.


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Este concepto se aclarará cuando analices al menos los primeros 2 factores de interés compuesto, es decir, 𝐹/𝑃 y 𝑃/𝐹.

2.1.6.2. Concepto de interés compuesto y su comparación con el interés simple Recuerda el concepto de tasa de interés simple: cantidad a pagar o a recibirse por la utilización del dinero. Esta renta o cantidad, es uniforme por periodo, ya que se calcula tomando como base el préstamo o depósito original. Interés compuesto: en este tipo de interés se ganan o se pagan intereses sobre capital e intereses, es decir, en el primer periodo se ganarán determinados intereses (𝑃. 𝑖), de tal manera que al final del periodo 1 adeudarán 𝑃 + (𝑃. 𝑖). Para el segundo periodo, los intereses ganados serán igual a 𝑃 + (𝑃. 𝑖) 𝑖, y así sucesivamente hasta un periodo 𝒏. Lo anterior pudiera prestarse a confusiones. Parano abrigar ninguna duda, observael siguiente problema, en el cual se compararán los resultados utilizando interés simple e interés compuesto. Prestas100 pesos ahora a un interés de 10% por periodo. ¿A cuánto asciende la deuda al final de cada periodo si: 𝑖 = a) Interés simple b) interés compuesto. 𝑛 = 5para los dos incisos Al respecto: 𝑃 = 100

a) interés simple

𝑖 = 10%

𝑛 = 5

n

Interés

b) interés compuesto

Interés


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1 2 3 4 5

simple 110 120 130 140 150

compuesto 110 121 133.1 146.41 161.05

Periodo 1 𝐼𝑆 = 𝐹1 = 100 + (100 x 0.1) = 110 𝐼𝐶 = 𝐹1 = 100 + (100 x 0.1) = 110 Periodo 2 𝐼𝑆 = 𝐹2 = 110 + (100 x 0.1) = 120 𝐼𝐶 = 𝐹2 = 110 + (110 x 0.1) = 121 Periodo 3 𝐼𝑆 = 𝐹3 = 120 + (100 x 0.1) = 130 𝐼𝐶 = 𝐹3 = 121 + (121 x 0.1) = 133.1 Periodo 4 𝐼𝑆 = 𝐹4 = 130 + (100 x 0.1) = 140 𝐼𝐶 = 𝐹4 = 133.1 + (133.1 x 0.1) = 146.41 Periodo 5 𝐼𝑆 = 𝐹5 = 140 + (100 x 0.1) = 150 𝐼𝐶 = 𝐹5 = 146.41 + (146.41 x 0.1) = 161.05 La fórmula general para un valor futuro en interés compuesto 𝐹𝑛 = 𝐹 (1 + 𝑖)𝑛 .


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Matemáticas financieras Unidad 2. Interés simple y compuesto 2.1.6.3. Fórmula para obtener el valor futuro (𝐅) de un capital presente (𝐏).(𝐅/𝐏) Prestas100 pesos ahora a un interés de 10% compuesto por periodo, durante 5 periodos. ¿A cuánto asciende la deuda al final de cada periodo? n 1 2 3 4 5

Interés compuesto 110 121 133.1 146.41 161.05

Tomando como referencia los datos de esta tabla, se deriva el siguiente diagrama:

Si analizas con detenimiento el diagrama, podrás observar que de éste, resulta la expresión 2.1, la cual te permitirá calcular un valor futuro en cualquier periodo utilizando interés compuesto. 𝐹𝑛 = 𝐹 = 𝑃 (1 + 𝑖)𝑛

Expresión 2.1

El factor de valor futuro o de capitalización de un solo flujo está representado por (1 + 𝑖)𝑛 , que en lo sucesivo se indicará como (𝐹/𝑃) de tal manera que la expresión general se indicará así: 𝐹 = 𝑃 (𝐹/𝑃, 𝑖, 𝑛)


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Matemáticas financieras Unidad 2. Interés simple y compuesto En esta expresión, los símbolos del paréntesis corresponden al valor del factor (𝐹/𝑃) a una tasa de interés𝑖 para un periodo𝑛 determinado. Ahora bien, en este punto es conveniente mencionar, que para facilitar el cálculo de valores en el tiempo, se hace uso de tablas de factores de interés, en las cuales se presentan los valores para los factores en diferentes periodos de tiempo y con diferentes tasas de interés. Sin embargo, para lograr las competencias marcadas en el programa de esta asignatura, es importante que te familiarices con las expresiones algebraicas, para esto, es recomendable que todos los cálculos los realices manipulando las fórmulas (expresiones) que se presentan. Para fines prácticos, en el contenido de la asignatura se hará uso indistinto de las formulas (expresiones) y los factores.

2.1.6.4. Fórmula para obtener el valor presente (𝐏) a partir de un valor futuro 𝐅 . (𝐏/𝐅) El factor(𝑭/𝑷, 𝒊, 𝒏), es el inverso de la expresión 2.1 y por lo tanto, se encuentra despejando 𝑃 de la expresión citada. Observa: 𝐹𝑛 = 𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑃 = 𝐹

1 1+𝑖

𝑛

Expresión 2.2 𝑛

1

El factor en referencia está expresado por (1+𝑖)𝑛 y en lo sucesivo se identificará como (𝑃/𝐹) de tal manera que la representación de la expresión 2.2 será: 𝑃 = 𝐹 (𝑃/𝐹, 𝑖, 𝑛)

Al igual que el factor (𝐹/𝑃)anterior, y de los correspondientes factores que más adelante se determinan, los símbolos dentro del paréntesis, implican que hay que encontrar el valor del factor empleado, a una tasa de interés 𝑖, y a un periodo 𝑛. El factor de valor presente o de descuento de un solo flujo se emplea para encontrar la cantidad actual equivalente de un monto futuro 𝐹.


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Ejemplo Calcular el valor presente de una inversión que originó un flujo de efectivo de 16,105.10pesos en el periodo 5 a una tasa de interés compuesto del 10%. 𝑃 = ¿? 𝐹 = 16,105.10 𝑖 = 10% 𝑛 = 5 1 1+𝑖 𝑛 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 1 𝑃 = 16,105.10 1 + .10 𝑃 = 10,000.00 𝑃 = 𝐹

5

2.1.6.5.Fórmula para obtener el valor futuro (𝐅) a partir de una serie uniforme (anual) de flujos monetarios (𝐅/𝐀) La determinación del factor (𝑭/𝑨, 𝒊, 𝒏) proviene de las modalidades económicas y financieras existentes en las relaciones de intercambio dentro del ámbito del comercio, la banca y la industria. Específicamente, en una gran cantidad de operaciones se ha generalizado la forma de cubrir el valor de un bien o de un servicio a través de una serie de pagos iguales que se deben efectuar al final de cada periodo para un horizonte de tiempo previamente fijado y a una tasa de interés por periodo. Con el fin de obtener el factor en mención, supón que tratas de acumular o capitalizar una cantidad futura 𝐹, mediante la acción de depositar una cantidad 𝐴, a partir del periodo 1 hasta 𝑛; es decir:


22

Matemáticas financieras Unidad 2. Interés simple y compuesto Bajo estas condiciones, la cantidad futura acumulada 𝐹, a un interés compuesto𝑖 por periodo, se determina con la expresión 2.3: Expresión 2.3 𝐹 = 𝐴[

1+𝑖 𝑛 − 1 ] 𝑖

El factor de valor futuro o de capitalización de una serie de flujos o depósitos iguales está asentado por la expresión: 𝑛

1+𝑖

[

𝑖

− 1

]

Y se simboliza por (𝐹/𝐴), de tal manera que la expresión general correspondiente se representará por: 𝐹 = 𝐴(𝐹/𝐴, 𝑖, 𝑛) Observa con atención el siguiente ejemplo: Se trata de una inversión consistente en una serie de depósitos de mil pesos a fin de periodo durante 3 años, a una tasa de interés anual de 50%, en el cual, se desea conocer el monto acumulado 𝐹. 𝐴 = 1,000 𝑛 = 3 𝑖 = 50% 𝐹 = ¿? Fórmula: 1+𝑖 𝑛– 1 𝐹 =𝐴 𝑖 Sustituyendo: 1 + 0.50 3 – 1 0.50 𝐹 = 4,750

𝐹 = 1000


23

Matemáticas financieras Unidad 2. Interés simple y compuesto 2.1.6.6. Fórmula para obtener una serie uniforme (𝐀) a partir de de un valor futuro (𝐅) en un periodo enésimo 𝐧 . (𝐀/𝐅) El factor (𝐀 𝐅 , 𝐢, 𝐧)en referencia, es el inverso del factor del valor futuro para una serie de depósitos iguales y por lo tanto, se encuentra despejando 𝐹 de la expresión 2.3, es decir: 𝐹 = 𝐴[

𝐴 = 𝐹[

𝑛

1+𝑖

− 1

𝑖

Expresión 2.4

𝑖 1+𝑖

]

𝑛

− 1

]

El factor de pago o amortización constante a través de series iguales, está representado por la expresión: 𝑖 [ ] 1+𝑖 𝑛 − 1

Quedando simbolizado por (𝐴/𝐹) y la expresión general por 𝐴 = 𝐹(𝐴/𝐹, 𝑖, 𝑛). Ejemplo Se obtiene una cantidad futura 𝐹 = 4,750 pesos a partir de una serie uniforme de 3 depósitos de mil pesos a una tasa de 50% anual. Ahora, a partir de 𝐹 = 4,750, calcula la magnitud de los depósitos. 𝐴 = 𝐹[

𝑖

] − 1 0.50 𝐴 = 4,750 [ ] 1 + 0.50 3 − 1 𝐴 = 4,750 (0.21053) 𝐴 = 1,000.00 1+𝑖

𝑛


24

Matemáticas financieras Unidad 2. Interés simple y compuesto 2.1.6.7. Fórmula para obtener el valor presente (𝐏) derivado de una serie de depósitos iguales (𝐏/𝐀). La obtención de este factor (𝐏 𝐀 , 𝐢, 𝐧)se deriva de las expresiones 2.1 y 2.3. 𝐹𝑛 = 𝐹 = 𝑃 (1 + 𝑖)𝑛 1+𝑖 𝑛 − 1 𝐹 = 𝐴[ ] 𝑖 Las cuales, a una misma tasa de interés i y al mismo número de periodos 𝑛, son equivalentes. Por lo tanto: 𝑃 (1 + 𝑖)𝑛 = 𝐴[ 𝑃 = 𝐴[

1+𝑖 𝑛 − 1 ] 𝑖

1+𝑖 𝑛 − 1 ] 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛

Expresión 2.5

La expresión algebraica que representa al factor de valor presente de una serie de depósitos iguales, corresponde a: [

1+𝑖 𝑛 − 1 ] 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛

En lo sucesivo se empleará la notación (𝑃/𝐴), de tal manera que la expresión 2.5 se indicará también como: 𝑃 = 𝐴 (𝑃/𝐴, 𝑖, 𝑛) La utilidad el factor (𝑃/𝐴) consiste en calcular el valor presente o actual 𝑃 de una serie de depósitos iguales 𝐴. Observa: Sea una serie de 5 pagos iguales de 1,000 pesos al 10% de interés compuesto anual. El valor de𝑃 está dado por: 1+𝑖 𝑛 − 1 𝑃 = 𝐴[ ] 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 Sustituyendo: 1 + .10 5 − 1 𝑃 = 1,000 [ ] . 10 (1 + .10)5 𝑃 = 1,000 (3.7908) 𝑃 = 3790.80


25


2.1.6.8. Fórmula para obtener el valor uniforme (𝐀) a partir de un valor presente (𝐏).(𝐀/𝐏) Factor de recuperación de un capital presente Este factor es el inverso del factor de valor presente de una serie de depósitos iguales, por lo tanto se deduce despejando 𝐴 de la expresión 2.5: 𝑃=𝐴

1+𝑖 𝑛 −1 𝑖 1+𝑖 𝑛

𝐴=𝑃

𝑖 1+𝑖 𝑛 1+𝑖 𝑛 −1

Expresión 2.6

El factor de recuperación de capital corresponde a la siguiente expresión: 𝑖 1+𝑖 𝑛 1+𝑖 𝑛 −1 Y se simboliza por (𝐴 𝑃), resultado que la expresión 2.6 se describe como: 𝐴 = 𝑃(𝐴 𝑃 , 𝑖, 𝑛) Para ejemplificar la utilización del factor 𝐴 𝑃 , encuentra el valor equivalente anual durante 5 años, a una tasa de interés de 10%, para un valor presente de 3,970.80. Es decir: 𝐴 = 𝑃(𝐴 𝑃 , 𝑖, 𝑛) Fórmula: 𝑖 1+𝑖 𝑛 𝐴=𝑃 1+𝑖 𝑛 −1 Sustituyendo: . 10 1 + .10 5 𝐴 = 3,970.80 1 + .10 5 − 1 𝐴 = 3,790.80(0.2638) 𝐴 = 1,000


26


2.1.6.9. Concepto de gradiente y fórmulas respectivas para determinar un valor futuro (𝑭) a partir de (𝑮) (𝑭/𝑮); un valor uniforme (𝑨) a partir deun gradiente (𝑮) (𝑨/𝑮) y un valor presente (𝑷) a partir de un valorgradiente (𝑮) (𝑷/𝑮). En este apartado, observarás que existen tres fórmulas para calcular gradientes, éstas van en función de la equivalencia que se esté usando, es decir, 𝑃, 𝐴, 𝑜 𝐹.

Factor de valor futuro de una serie aritmética (𝑭/𝑮) La deducción de los factores anteriores, se sustentó en la consideración de cantidades simples y series uniformes. Sin embargo, el comportamiento real de determinados flujos de efectivo, no es uniforme a través del tiempo, sobre todo en las inversiones relativas a los proyectos industriales. Por ejemplo, los gastos de operación y mantenimiento de una máquina aumentan según avanza el tiempo; si se supone que este incremento ocurre bajo ciertas tendencias, es posible determinar otros factores de interés compuestos de gran importancia para obtener cantidades equivalentes a estos aumentos. Con el propósito de facilitar la determinación de los factores a que se ha hecho referencia, considera que los gastos mencionados crecen en forma aritmética. En la escala de tiempo, el primer incremento ocurrirá en el periodo dos y para el tercer periodo se tendrán dos incrementos y así sucesivamente hasta el periodo enésimo. Bajo estas circunstancias el diagrama de flujo monetario es el siguiente:


27


𝑛−1 Serie última

𝑛−2

𝐺

𝐺

Serie penúltima ...

...

3G

Serie 3 2G Serie 2 G Serie 1 0

1

2

3

𝑛 −1

4

𝑛

La ecuación que te permitirá calcular un valor futuro a partir de un gradiente es: 𝐹=𝐺

(1+𝑖)𝑛 −1 𝑖2

−

𝑛 𝑖

El factor (𝐹 𝐺) está representado por la expresión:

Expresión 2.7

𝐹 = 𝐺 (𝐹 𝐺 , 𝑖 , 𝑛) Esta ecuación, independientemente de su representación, se emplea para simplificar el cálculo de un valor futuro (𝐹) correspondiente a una serie aritmética. Para ejemplificar el empleo de la expresión 2.7, observael siguiente caso: Considerauna máquina, cuyos gastos de operación y mantenimiento anuales, experimentan un incremento aritmético de 500 pesos, en un horizonte de 10 años y una tasa de interés anual de 50%. ¿Cuál es el valor futuro equivalente 𝐹? Es decir: Valor del factor (𝐹 𝐺) (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑛 𝐹 =? 𝐹 𝐺= − 𝑖2 𝑖 Si: Sustituyendo: 𝐺 = 500.00 (1.5)10 10 𝐹 𝐺= − 𝑛 = 10 𝑎ñ𝑜𝑠 0.5 × 0.5 0.5 𝑖 = 50% 𝐹 = 500.00 206.64 𝐹 = 103,320


28


La serie uniforme (𝐴) para este caso sería: 𝐴 = 𝐹 𝐴 𝐹 , 50, 10 = 103,320 0.00882 𝐴 = 911.28 Factor de valor uniforme de una serie aritmética (𝑨/𝑮) La expresión (𝐹/𝐴) y la expresión 2.7 son equivalentes. De esta equivalencia surge la expresión 2.8 que te servirá para calcular una serie de flujos de efectivo a partir de un gradiente. 𝐹 = 𝐴(𝐹 𝐴, 𝑖, 𝑛), 𝐹=𝐺 𝐴=𝐺

(1+𝑖)𝑛 −1 𝑖2

−

𝑛 𝑖

1 𝑛 𝑖 − × 𝑖 𝑖 1+𝑖 𝑛 −1

Expresión 2.7

La expresión 2.8 también se indica:

Expresión 2.8 𝐴 = 𝐺(𝐴 𝐺 , 𝑖, 𝑛)

Para mostrar el empleo del factor (𝐴 𝐺), observa el siguiente ejemplo: Se trata de una máquina que tiene un costo inicial de 100,000 pesos, con una vida estimada de 10 años. Los gastos anuales de operación serán de 10,000pesos con un crecimiento aritmético de 500pesos a partir del año2. Determina el costo anual equivalente para dicha máquina, es decir una serie 𝐴 a una tasa de interés del 50%. Sintetizando el problema tiene: 𝑖 = 50% 𝑃 = 100,000 𝐴1 = 10,000 𝐺 = 500 𝑛 = 10 𝑎ñ𝑜𝑠 𝐴𝑡 =¿ ? (Serie equivalente total)


29


El diagrama de flujo monetario para el presente caso es: 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10,000 500

…

1,000 1,500

100,000 4,500

Por lo tanto: 𝐴𝑡 = −100,000 𝐴 𝑃 , 10%, 10 − 10,000 − 500(𝐴 𝑃 , 50%, 10) 𝐴𝑡 = −100,000 0.50882 − 10,000 − 500(1.8235) 𝐴𝑡 = −50,882 − 10,000 − 911.75 𝐴𝑡 = −61,793.75

Factor de valor presente de una serie aritmética (𝑷/𝑮) Si lo que requieres es encontrar un valor presente dado un gradiente, la expresión que emplearás es: 1 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑛 𝑃=𝐺 − 𝑖 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 (1 + 𝑖)𝑛 Expresión 2.9

Para ejemplificar el empleo de la expresión 2.9, analiza el siguiente problema. Una pareja de socios desean ahorrar dinero depositando 500 pesos en su cuenta dentro de un año. Calculan que los depósitos aumentarán cien pesos por año durante 9 años a partir del periodo 1. ¿Cuál es el valor presente de tal inversión, si la tasa de interés es de 5% anual? Sintetizando el problema: 𝐴 = 500en el periodo 1 𝐺 = 100a partir del periodo 2 hasta el periodo 10 𝑖 = 5% 𝑃 = ¿?


30


El diagrama de flujo monetario para este problema es el siguiente:

Solución: Primeramente, es necesario llevar al momento presente el flujo uniforme de efectivo 1 al 10, es decir 500 pesos (esta cantidad está representada por una línea punteada); a esta cifra se le suma el gradiente que es de 100 pesos a partir del periodo 2. Esto es: 𝑃 = 500 (𝑃/𝐴, 5%, 10) + 100(𝑃/𝐺, 5%, 10) 𝑃 = 500(7.7217) + 100(31.652) 𝑃 = 7,026.05

2.2. Aplicaciones Si observas detenidamente a tu alrededor, notarás que cotidianamente, banqueros, amas de casa, estudiantes, inversionistas, empresarios, prestamistas, contadores, consultores, microempresarios, y en general, todas las personas que manejen capital se enfrentan ante situaciones que les exige tomar decisiones, por ejemplo, se deben considerar opciones de inversión, de ahorro, de crédito, tasas de interés, descuentos al saldar una deuda anticipadamente, etcétera. Este dilema surge de la escasez de recursos y de las necesidades ilimitadas que todo ser humano o empresa posee. Entonces, se debe de tomar en cuenta esta situación para elegir la opción que optimice el uso de tales recursos. En este apartado, verás en acción el empleo del interés simple y del interés compuesto. También conocerás las tasas nominales y efectivas, así como algunos ejemplos de la aplicación de éstas. Todas estas herramientas proveerán una visión más amplia para la toma de decisiones en el ámbito financiero.

Sin más preámbulos, entra de lleno a estas aplicaciones tan interesantes.


31


2.2.1. Aplicaciones de interés simple Con la finalidad de que complementes la información concerniente a la tasa de interés simple, es necesario que observes el ejemplo que se presenta a continuación. Ejemplo Un banco presta a un comerciante 10, 000 pesos, y el acuerdo fue que la deuda se pagaría después de 3 meses, entregando 13,000. Este caso permite ejemplificar una operación en la que interviene el interés simple. El supuesto fundamental de que se parte es que el dinero aumenta su valor con el tiempo: . El comerciante obtuvo inicialmente 10,000 pesos y pago 3 meses después13,000 pesos; los 10,000 pesos que obtuvo inicialmente más 3,000 pesos de interés, de acuerdo con el supuesto básico, es la cantidad que aumentó el valor del préstamo original en 3 meses. Desde el punto de vista del banco, esos intereses son su ganancia al haber invertido su dinero en el préstamo, y desde el punto de vista del comerciante, son el costo de haber utilizado los 10,000 pesos durante los 3 meses. Los elementos que intervienen en una operación de interés simple son: 𝑃 = El capital que se invierte = 10,000 𝑡 = El tiempo o plazo = 3 meses 𝐼 = El interés simple = 3, 000 𝑀 = El monto = capital más intereses = 13, 000 𝑖 = La tasa de interés La tasa de interés refleja la relación que existe entre los intereses y el capital; en el ejemplo: 𝑖=

3,000 = 0.3 10,000

Este cociente indica, si se le multiplica por 100, que el capital ganó 30% de interés en dos meses; 3, 000 pesos es 30% de 10,000pesos. Luego, para convertir a la misma base, se acostumbra expresar tanto la tasa de interés 𝑖 como el tiempo 𝑡 en unidades de año, por lo que, según el ejemplo, 𝑡 = 3 meses, y si el año tiene 12 meses, el tiempo expresado en unidades de año es:


32


𝑡=

3 1 = 12 4

La tasa de interés, si es de 0.3 por trimestre, en 4 trimestres será: 𝑖 = 0.3(4) = 1.2 ó, expresado en porcentaje : 1.2 × 100 = 120%anual. También se hace la diferenciación entre: a) La tasa de interés 1.2 (expresada en decimales). b) El tipo de interés 120% (expresado en porcentaje). Es importante observar que ambas son solo expresiones distintas de lo mismo, sólo que la primera es la forma algebraica de plantearlo, mientras que su expresión porcentual es la que más se utiliza cuando se le maneja verbalmente y también es de uso común hablar de tasas porcentuales de interés (por ejemplo: “con una tasa de 50% anual”).

2.2.2. Aplicaciones de interés compuesto Con la finalidad de que complementes la información concerniente a la tasa de interés compuesto, es necesario que observes los ejemplos que se presentan a continuación. Ejemplo Si el costo de la gasolina aumentará 2.10% mensual durante los próximos 12 meses, ¿de cuánto será el aumento total expresado en porcentaje? Se sabe que el costo de un litro de gasolina es de 9 pesos. 𝐹 = 9(1 + 0.021)12 = 11.5491 El incremento de la gasolina en el año será de 11.5491 − 9 = 2.5491 pesos. Si 𝑥representa el porcentaje total del aumento, entonces: 9(𝑥) = 2.5491 𝑥 = 2.5491/9 = .2832 = 28.32%


33


Ejemplo Una persona invierte 10,000 pesos ahora a un interés compuesto del 10% anual. ¿Cuánto acumulará o capitalizará en el periodo 8? 𝐹5 =? 𝑃 = 10,000 𝑖 = 10% 𝑛 = 8 𝐹𝑛 = 𝐹 = 𝑃 (1 + 𝑖)𝑛 Sustituyendo: 𝐹5 = 10000(1 + 0.10)8 𝐹5 = 10,000 (2.1436) 𝐹5 = 21,436 pesos.


34


2.2.3. Aplicaciones de valor presente y futuro con interés simple y compuesto Ahora, observa estos ejemplos, en los cuales se elaboran cálculos de valores presentes y futuros utilizando los diagramas de flujo monetarios y aplicando ambos tipos de interés, es decir, el interés simple y el interés compuesto. ¡Adelante! Ejemplo 1: Si en una cuenta de ahorros que paga el 15% anual y se depositan 1,000pesos anuales durante 5 años, ¿qué cantidad se acumularía al final del año 10, si el primer deposito se hizo al final del año 1? 𝑖 = 15% 𝐴 = 1,000 𝑛 = 10 𝐹 =? 𝐹 =?

0

1

2

3

4

5

𝐴ñ𝑜𝑠 𝑛

𝐴 = 1,000 𝑃 =?

Se realiza el diagrama de flujo; y se establece la ecuación mediante los factores de interés compuesto. Se calcula el presente 𝑃 = 𝐴(𝑃 𝐴 , 𝑖, 𝑛) 𝑃 = 𝐴(𝑃 𝐴 , 15%, 5) Y sustituyendo: 𝑃 = 1,000(3.3522) 𝑃 = 3,352.2


35


Después se calcula el valor futuro: 𝐹 = 𝑃(𝐹 𝑃 , 𝑖, 𝑛) 𝐹 = 𝑃(𝐹 𝑃 , 15%, 𝑛) Sustituyendo: 𝐹 = 3,352.2(4.0455) 𝐹 = 13,561.32 Ejemplo2: Una persona desea recibir 1,000pesos al final de cada uno de los próximos cuatros trimestres. Si la cuenta de ahorros paga un 8% anual capital, cada trimestre, ¿cuál es el depósito inicial requerido? 𝐴 = 1,000 8% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑃 =?

𝐴 = 1,000

0

𝑛= 𝑖=

12 = 4 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑎ñ𝑜 3 8% 4

= 2% 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒

𝑇𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 1

2

3

4

5

𝑃 =?

𝑃 = 𝐴(𝑃 𝐴 , 2%, 4) 𝑃 = 1000(3.8077) 𝑃 = 3,807.7


36


2.2.4. Tasa nominal y efectiva y equivalente La tasa de interés actual que se capitaliza 𝑚 veces en un año se conoce como tasa nominal. La tasa nominal es la tasa de interés convenida en cualquier operación de índole financiero y queda acordada en los contratos. Las tasas de interés que has utilizado en los ejercicios de la unidad, han sido tasas nominales. Sea 𝑖la tasa de interés anual nominal capitalizable 𝑚 veces en un año y sea 𝑖𝑒𝑞 , la tasa de interés anual nominal equivalente capitalizable 𝑞 veces en un año. Si se invierte 𝑃 a la tasa de 𝑖%, el monto al cabo de𝑡 años será: 𝐹1 = 𝑃(1 +

𝑖 𝑚𝑡 ) 𝑚

La misma cantidad 𝑃 invertida a 𝑖𝑒𝑞 % proporcionará un monto, al cabo de 𝑡 años, de: 𝐹2 = 𝑃(1 +

𝑖𝑒𝑞 𝑞𝑡 ) 𝑞

Matemáticamente, la tasa equivalente se expresa: 𝐹1 = 𝐹2 Por lo tanto: 𝑖 𝑃 1+ 𝑚

𝑚𝑡

𝑖 𝑚

𝑚𝑡

𝑖𝑒𝑞 =𝑃 1+ 𝑞

𝑞𝑡

Es decir: 1+

= 1+

𝑖𝑒𝑞 𝑞

𝑞𝑡

1

Elevando ambos lados de la igualdad a la potencia 𝑞𝑡 , se tiene: 𝑖 1+ 𝑚

𝑚𝑡 /𝑞𝑡

= 1+

𝑖𝑒𝑞 𝑞

Esto es: 𝑖 1+ 𝑚

𝑚 𝑞

= 1+

𝑖𝑒𝑞 𝑞

Por lo tanto: 𝑖𝑒𝑞

𝑖 =[ 1+ 𝑚

𝑚 𝑞

– 1]𝑞


37


Ejemplo Encuentra la tasa de interés nominal con capitalización semestral que sea equivalente a la tasa del 20% capitalizable cada mes. Si 𝑖 = 20% anual, 𝑚 = 12 y 𝑞 = 2, entonces: 12

𝑖𝑒𝑞

0.20 2 𝑖𝑒𝑞 = [ 1 + – 1]2 12 = 1.104260424 – 1 2 = 0.208520848 = 20.852085% anual capitalizable cada semestre.

Una tasa equivalente muy utilizada en diversas situaciones financieras es la tasa de interés anual efectiva o tasa efectiva, simbolizada como 𝑖𝑒 . La tasa efectiva es tasa de rendimiento que se obtiene al cabo de un periodo de un año debido a la capitalización de los intereses; es decir, la tasa efectiva refleja el efecto de la reinversión. A la tasa efectiva también se le llama rendimiento anual efectivo. Si un determinado capital se invierte a una tasa de interés capitalizable cada año, el monto compuesto al final del primer año es el mismo que el monto obtenido por interés simple a un año de plazo. Por tal motivo, la tasa efectiva anual puede también definirse como la tasa de interés simple que produce el mismo interés en un año que la tasa nominal capitalizada 𝑚 veces al año. 𝑚

La fórmula de la tasa efectiva se obtiene de la ecuación 𝑖𝑒𝑞 = [ 1

𝑖 𝑞 +𝑚

– 1]𝑞, haciendo

que 𝑞 sea igual a uno. Esto es: 𝑖 𝑖𝑒 = 1 + 𝑚

𝑚

–1

Ejercicio ¿Cuál es la tasa efectiva del dinero invertido a la tasa nominal del 24.7% capitalizable en forma semestral? 𝑖 = 24.7% anual 𝑚 = 2 periodos de capitalización en el año Por lo tanto:


38


𝑖𝑒 = 1 +

. 247 2

2

– 1 = .26225225 = 26.225225

Si una persona invierte dinero al 24.7% anual capitalizable semestralmente, la tasa de interés realmente ganada es de 26.22% anual.


39


Actividad 2. Cuadro sinóptico

En esta actividad, elaborarás un cuadro sinóptico en el cual plasmarás las descripciones de las tasas de interés nominal y efectiva, con la finalidad de identificar las diferencias entre ellas. 1. Realiza en Word un cuadro sinóptico representando de forma gráfica los conceptos de tasa nominal y efectiva. El diseño debe de ser sencillo, pero recalcando las semejanzas y diferencias de estos conceptos. 2. Al finalizar, guárdalo con la siguiente nomenclatura: MF_U2_A2_XXYZy envía la actividad a tu Facilitador(a) a través de la sección de Tareas. Mantente atento(a)a su retroalimentación.

Actividad 3. Formulario

En esta actividad realizarás un formulario de las ecuaciones que has revisado hasta este punto, con la finalidad de que generes un resumen de las fórmulas que utilizarás en la resolución de ejercicios. Una vez que hayas revisado los contenidos de interés simple e interés compuesto: 1. Identifica las expresiones (fórmulas) expuestas en los temas. 2. Elabora un formulario en un documento y guárdalo con la siguiente nomenclatura MF_U2_A3_XXYZ.

3. Envía tu formulario a la base de datos,revisa los trabajos de tus compañeros(as) y coméntalos. *Recuerda enriquecer tu trabajo a partir de las observaciones que recibas.


40


Actividad 5. Investigación y exposición Esta actividad tiene el propósito de activar tus conocimientos sobre las aplicaciones del interés simple e interés compuesto. Para ello, realiza lo siguiente: 1. Investiga en diversas fuentes (libros de texto, revistas, foros, entre otros) las aplicaciones de interés simple e interés compuesto. 2. Ingresa al Foro: Investigación y exposición y comparte con tus compañeros(as) un ejemplo de la aplicación de interés simple e interés compuesto en la vida cotidiana. 3. Revisa y compara tus ejemplos con los de tus compañeros(as). *Como recomendación, toma nota de las aplicaciones investigadas que consideres más importantes y útiles. 4. Consulta la rúbrica de foro que se encuentra en la pestaña Material de Apoyo.


41


Autoevaluación En este apartado pondrás a prueba los conocimientos adquiridos en la unidad 2. Lee con atención el enunciado y resuelve lo que se te pide. Identifica el tipo de ejercicio que estás solucionando. 1. El arquitecto Díaz solicita un préstamo bancario por $450,000 pesos para completar el presupuesto de un proyecto. Acuerda pagar un total de $12,000 pesos por concepto de intereses. ¿Qué monto deberá pagar al término del plazo establecido? a) b) c) d)

$462,000 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 $453,000 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 $469,000 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 $457,000 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠

2. ¿Cuánto es necesario depositar en el momento presente en una cuenta que paga 15% para acumular al final del quinto año $10,000 pesos? a) b) c) d)

𝑃 = $4,924 𝑃 = $4,897 𝑃 = $4,972 𝑃 = $4,909

3. Un empresario depositó en una cuenta bancaria $350,000 pesos hace un año. Al final de este tiempo se le entregaron $410,500 pesos. Identifica el capital, el monto y calcula el interés ganado. a) b) c) d)

𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙

= = = =

$350,000, 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑜 = $410,500, 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜 = $60,500 $410,500, 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑜 = $60,500, 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜 = $350,000 $60,500, 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑜 = $350,000 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜 = $410,500 $350,000, 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑜 = $60,500, 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑑𝑜 = $410,500

4. Si en una cuenta de ahorros que paga el 10% anual se depositan $10,000 pesos anuales durante 5 años, ¿Qué cantidad se acumularía si el primer deposito se hizo al final del año 1? a) b) c) d)

𝐹 𝐹 𝐹 𝐹

= $98323.45 = $98321.98 = $98322.21 = $98322.87


42

Matemáticas financieras Unidad 2. Interés simple y compuesto 5. Una persona desea recibir $2,000 pesos al final de cada uno de los próximos tres cuatrimestres si la cuenta de ahorros paga 12% anual capitalizable cuatrimestralmente ¿Cuál es el depósito inicial requerido? a) b) c) d)

𝑃 𝑃 𝑃 𝑃

= $5,554.3 = $5,550.2 = $5,551.8 = $5,553.1

6. ¿Qué cantidad es necesario depositar ahora en una cuenta de ahorros que paga 12% para acumular al final del cuarto año $15,000? a) b) c) d)

𝑃 𝑃 𝑃 𝑃

= $23,603.70 = $23,601.30 = $23,600.70 = $23,602.50

7. Determina el costo anual uniforme equivalente de una sierra eléctrica que cuesta $8,500 pesos al final del periodo 1, un gradiente de $500 pesos por año hasta el año 8 a una tasa de 25% anual de interés compuesto. Para este problema, no olvides incluir el diagrama de flujo monetario. Diagrama de flujo:

a) b) c) d)

𝐴 = $9,694.70 𝐴 = $9,692.20 𝐴 = $9,691.20 𝐴 = $9,693.50


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Evidencia de aprendizaje: Ejercicios Prácticos Mediante esta actividad puedes poner en práctica la resolución de problemas a través del interés simple y compuesto; descuento; tasa nominal efectiva y equivalente y ecuaciones de valores equivalentes. Para ello: 1. Descarga el documento “Ejercicios” y sigue las instrucciones. Debes leer con atención el enunciado antes de desarrollar todo el procedimiento y llegar a la solución. 2. Consulta la rúbrica de evaluación para identificar los criterios con los que serás evaluado. 3. Guarda tu documento con la nomenclatura MF_U2_EA_XXYZ, envíalo a tu Facilitador(a) a través del portafolio de evidencias y espera su retroalimentación.

Autorreflexión Recuerdaque debes realizar un ejercicio de autorreflexión al terminar la autoevaluación. Para ello, ingresaal Foro:Preguntas de Autorreflexióny consulta las preguntas quetu Facilitador(a) haya formulado. Envía tus respuestasmediante la herramienta Autorreflexiones.

Cierre de la unidad ¡Felicidades! Has finalizado la segunda unidad de Matemáticas Financieras, en la cual conociste los conceptos de valor presente, valor futuro, la equivalencia del dinero a través del tiempo, las fórmulas que permiten calcular estas equivalencias, así como la simbología que se utiliza para realizar operaciones financieras. Ahora estás listo para explorar la Unidad 3. Amortización. ¡Adelante!


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Matemáticas financieras Unidad 2. Interés simple y compuesto Para saber más… Para facilitar el cálculo de equivalencias del dinero a través del tiempo puedes hacer uso de los factores de interés de los cuales podrás encontrar algunos en la siguiente liga: http://es.scribd.com/doc/64094292/Tablas-de-Interes-Compuesto Revisalas siguientes páginas, en ellas encontrarás un resumen de las definiciones vistas y ejercicios que te ayudarán a reforzar tus conocimientos sobreinterés simple y compuesto: http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes.html http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto.html http://www.euv.cl/archivos_pdf/libros_nuevos/matematicas_cap1.pdf

Fuentes de consulta Fuentes bibliográficas Vidaurri Aguirre, Héctor Manuel (2008). Matemáticas Financieras. Cuarta edición. México:CengageLearning.

Díaz Mata, Alfredo; Aguilera Gómez, Víctor M. (1999). Matemáticas Financieras. Tercera Edición. México: Mc Graw Hill. Highland, Esther H.; Rosenbaum, Roberta S. (1987).Matemáticas Financieras. Primera Edición. México: Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A.

Fuentes electrónicas Real Academia Española. Diccionario de la lengua española (2011). Disponible en: http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?LEMA=tiempo


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Unidad 2. Interes Simple y Compuesto

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