Jhony desea formar un negocio; pero requiere de cierta cantidad de dinero y para ello recurre a Jaime, quien le presta S/. 1, 200 pero, Jhony observa que Jaime hará uso de ese dinero para obtener beneficios, además que el poder adquisitivo de su dinero no sea el mismo cuando este le sea devuelto. Entonces acuerdan que Jhony (deudor) devolverá a Jaime (acreedor). Luego de 6 meses, la suma de S/. 1500.
Esquema:
-
10% mensual <> 120% 120% anual (1 año = 12 12 meses) meses) 4% bimestral <> 24% anual ( 1 año = 6 bimestres) 8% trimestral <> 32% (1 año = 4 trimestres) 13% semestral <> 26% anual (1 año = 2 semestres) semestres) Usualmente se trabaja con tasas siempre anuales.
MONTO. Es la cantidad total recibida de final del tiempo de imposición, y es igual a la suma del capital más el interés que genera.
I = 300 Jhony devuelve a Jime S/. 1, 500
Jaime prestó a Jhony S/. 1, 200 6 meses
ELEMENTOS DE LA REGLA DE INTERÉS INTERÉS. ( I ). Es la ganancia (utilidad o beneficio) que se obtiene por cedes (prestar ó imponer) un bien, durante un determinado tiempo a ciertas condiciones. En el ejemplo: I = S/. 300
EL CAPITAL
Es lo que se presta o impone, pudiendo ser un bien (mercancía, maquinaria, etc). Generalmente, para nuestro e studio, el capital es dinero. En el ejemplo C = S/. 1, 200
Es decir : M = C + I En el ejemplo : M = 1200 + 900 = 2100
CLASES DE INTERÉS Interés Simple: Es cuando el interés, generado al cabo de cada período de tiempo, no se acumula al capital. Esquema:
TIEMPO DE PRÉSTAMO ( T ) Es el período en el que permanece prestado o impuesto un capital, y durante el cual genera intereses. En el ejemplo: t = 6 meses
3 me me ssee s
TASA DE INTERÉS ( r %) Llamado también crédito, nos indica que tanto por ciento del capital se obtiene como ganancia en un período de tiempo, para el ejemplo. Si ganó S/. 300, que es el 25% del capital prestado, en el capital se impuso a una taza del 25 % semestral.
NOTA:
3 me me se se s
5% (80 (800) 0) 5% (80 (800) 0)
3 meses
3 meses
Se observa que el interés total al finalizar el año es : I = 4 x 5 % (800) = S/. 160
CONSIDERACIONES CONSIDERACIONES ACERCA DEL TIEMPO. 1 año comercial tiene 360 días. 1 mes comercial tiene 30 días. 1 año común tiene 365 días. 1 año bisiesto tiene 366 días.
5% (800)
C : 800 5% (800)
r % trimestral t (en trimestres)
Luego I
t
r % x C
Donde “ t ” y “ r% ”, se deben expresar en las mismas unidades de tiempo. El monto que se obtiene al final del año es: M = S/. 800 + S/. 160 = S/.960
Nota: En el interés simple, el interés es proporcionar al tiempo de préstamo, considerando una misma tasa y un mismo capital.
Interés Compuesto.- Es cuando el interés que produce un capital, se acumula a dicho capital (se capitalizara) al cabo de cada intervalo de tiempo especificado, generando un nuevo capital para el siguiente intervalo de tiempo; a esto le llamamos proceso de capitalización.
El interés producido al final del año y medio es: I = M – C I = 6655 – 5000 = S/. 1655
PRACTICA DE CLASE Ejm: inductivo Se impone S/. 5000 al 20% semestral capitalizable trimestralmente, durante 9 meses. Halle el interés y el monto. Resolución: C = S/. 5000 R% = 20% semestral < > 10% trimestral T = 9 meses < > 3 trimestres
5500
5000
6 meses
6050
6655
6 meses
6 meses
02.
Hallar el interés cuatrimensual que produce 1200 soles al 2, 1% semanal.
03.
¿Qué interés producirá un capital de 5200 prestado al 21% anual en 7 y 5
04.
El interés de un capital al 12% es el 60% de dicho capital. Hallar el tiempo
05.
Durante cuanto tiempo estuvo depositado un capital al 12% anual si los intereses producidos alcanzan el 60% del capital.
06.
I (1 semestre) = 500
A que tiempo estuvo prestado un capital al 10% si los intereses son 40%
del capital.
I (2 semestre) = 1050 I (3 semestre) = 1655
Se observa que: - El monto al cabo del 1er trimestre 110% (5000) = 5500. - El monto al cabo del 2do trimestre es: -
anual ¿Calcular sus intereses?
meses?
10% (5000) 10% (5500) 10% (6050) S
01. Alexandro deposita 700 en un banco durante 3 años a i nterés simple a una tasa del 20%
110% 110% (5000) = 110 2 (5000) = 6050 El monto al cabo del 3er trimestre es: 110% 110% 110% (5000) = 110 %3 (5000) = 6655.
07.
¿Cuánto tiempo debe ser prestado un capital al 20% para que se triplique?
08.
Carlos coloca los 4/7 de su capital al 40% y el resto al 5% como resultado obtiene un interés anual de 3100. ¿Cuál fue el impulso al 5%?
09.
Una persona divide su capital en 3 partes iguales y los impone al 1% mensual, 5% trimestral y 4% semestral respectivamente logrando una renta anual de 10, 000. ¿Cuál será su capital?
10. Un capital produce m% del monto en t años ¿Qué % del monto producirá en (100 –m) años?
Se deduce que: Números de trimestres
11. ¿A que tasa estuvo impuesto un capital de tal me3nera que en 20 meses se triplica? M
1 10 %3
x 5000
12. ¿A que tasa debe ser colocado un capital para que en 3 años 4 meses produzca un interés equivalente a los 2/5 del monto?
Taza Luego : M 1
capital
n
r % x c
Donde “n” nos indica el número de período de capitalización contenido en el tiempo de préstamo de imposición.
Nota: El período de capitalización determina las unidades de taza y tiempo que se debe utilizar necesariamente.
13. La diferencia de 2 capitales es 330; el primero se impone al 2,5% mensual y el segundo al 12% semestral. Si al cabo de 1 año los montos son iguales. Hallar el menor capital.
14. Un capital durante 1 año al 3% produce 21 más que otro, impuesto en 9 meses al 4%. ¿Cuál es la diferencia de dichos capitales?
15. los 5/7 de un capital colocado al 3% produce anualmente 420 soles más que el resto colocado al 4% ¿Cuál es el capital?
16. La tercera parte de un capital se impone al 80% anual y el resto al 30% anual. Si el interés producido en 5 meses por todo el capital fue de 3850. ¿Cual era el capital?
17. Si un capital se duplicase y la tasa de interés se triplicase el interés en el mismo tiempo seria 20, 000 mayor ¿Cuál era el interés primitivo?
18. El interés obtenido por un capital es equivalente a los 7/31 del monto. ¿Qué interés se obtiene si se presta 40, 000 en un tiempo triple del anterior y a la misma tasa?
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 3 01. ¿Cual es el capital que colocado al 10% trimestral al cabo de tres años se convierte S/. 4300, habiéndose hecho un descuento previo del 5 % del capital por gastos de seguro por todo el tiempo que estuvo impuesto el capital? a) 2000 d) 1975
b) 2025 e) 1700
c) 1850
02.
¿Cuál es el capital que impuesto al 15% semestral durante 5 años se convirtió en 5000 soles? a) 2600 soles b) 1500 soles c) 1800 soles d) 1750 soles e) 2000 soles
03.
¿Que tiempo estuvo colocado un capital, de tal manera que si estuviera 2, meses más al 30% trimestral; el capital se habría duplicado? a) 8 meses d) 7 meses
b) 6 meses e) 10 meses
c) 9 meses
04.
¿Qué tiempo que estuvo impuesto un capital? A una tasa del 2% bimestral, si al final se obtiene un monto que es el 150% del capital.
a) 30 meses <> 4 años y 2 meses b) 48 meses <> 4 años c) 46 meses <> 3 años y 10 meses d) 36 meses <> 3 años e) 40 meses <> 3 años y 4 meses
05.
Un capital colocado a interés por 8 meses produjo un monto de S/. 19800. Si el mismo capital se hubiera impuesto a la misma tasa por 2 años el monto hubiera sido 29400. Determine la tasa anual a) 49% d) 46%
b) 42% e) 48%
c) 44%
06.
Dora impone su dinero al 20% anual de intereses simples durante 5 años. Determine su monto final, sabiendo que si hubiese impuesto su capital inicial al 20% anual de intereses compuesto capitalizable anualmente el interés recibido en el tercer año habría sido 728. a) 2100 d) 2000
b) 1800 e) 1700
c) 1900
07.
Dos capitales están en la relación de 5 a 8; si al primero se le impone al 20% semestral durante 1 año 6 meses y el segundo al 25% cuatrimestral durante 1 año 4 meses; se observa que el monto total obtenido excede al capital total en 1375. Calcule el monto que se obtendrá, si todo el capital se impone al 40% semestral durante 9 meses capitalizable trimestralmente. a) 2808 d) 2920
b) 2088 c) 3010
c) 50%
09.
A que tasa de interés a un capital de S/. 20000 llegará a un monto de 21200 colocado a interés simple en 9 meses. a) 14% b) 8% c) 21% d) 16% e) 13%
10. A qué tasa estuvo impuesto un capital de tal manera que en 20 meses se triplica. a) 128% b) 123% c) 125% d) 120% c) 126% 11. Se deposito un cierto capital y se convierte en S/. 4750 en 5 años y 6 meses, pero en 7 años y 3 meses se convierte en S/. 5625. Determine a qué tasa estaba impuesta. a) 25% d) 29%
b) 27% e) 24%
c) 23%
TAREA DOMICILIARIA 01. ¿Cual es la suma que al 5% de interés simple anual se convierte en 3 a ños en 3124 soles? a) 2 760 d) 2 800
02.
b) 2 685 e) 2 653
c) 29 000
03.
Un capital de S/. 40 000 estuvo impuesto durante un cierto número de años, meses y días, por los años se cobró el 5% anual, por los meses el 4% y por los días del 3%. Calcular la utilidad producida por dicho capital Sabiendo que si se hubiera tenido impuesto durante todo el tiempo al 5% habría producido S/. 3840 ó más que si se hubiera colocado todo el tiempo al 3%. a) 9 260 d) 9 500
b) 9 620 e) 9 600
c) 10 000
04.
Un capital estuvo impuesto al 9% de interés anual después de 4 años se obtuvo un monto de 10 200 ¿Cuál es el valor del capital? a) 6 528 d) 9 260
Un televisor cuesta S/. 1400 y se tiene un capital de S/. 1200 el cual se depositará por 8 meses en un banco para poder compararlo y que al cabo de dicho tiempo su precio aumentará en un 15%. Halle la tasa anual. b) 49, 75% e) 53, 25%
b) 58 000 e) 30 000
c) 2750
08.
a) 48, 25% d) 51, 25%
a) 42 500 d) 40 000
c) 3 000
Carlos impone los 4/7 de su capital al 4% y el resto al 5% y resulta un interés anual de 3 100. Diga cual es la suma impuesta al 4%.
b) 12 000 e) 7 500
c) 13 872
05.
Un artículo vale S/. 180 000 al contado, un comprador conviene en pagar S/. 80.00 como cuota inicial y el resto a 60 días con un recargo del 5% sobre el precio de contado. ¿Qué tasa de interés simple anual pagó? a) 54% d) 46%
06.
b) 52% e) 48%
c) 50%
menos que si se impusiera al 4 % mensual durante el mismo tiempo? a) 5 000 d) 9 000
b) 6 000 e) 12 000
c) 7 000
13. Un capital se impuso a interés simple, al 3% durante 5 años, 2 meses, 20 días y otro
¿En cuanto se convertirán 7 millones 200 mil soles al 68% anual en 5
meses? a) 2 040 000 c) 8 240 000 e) 9 240 000
12. ¿Que capital es aquel que impuesto al 4% anual durante 5 meses, produce S/. 1 100
b) 11 040 000 d) 10 040 000
07.
¿A que tasa de interés la suma de 20 000 llegará a un monto de 21200 colocada al interés simple en 9 meses?
capital que está con el anterior en la relación 3/4, se impuso al 4% durante el mismo tiempo. Los capitales con sus intereses han dado una suma de 74, 280, averiguar cada uno de los capitales. a) 64 600 y 64 600 b) 64 200 y 62 4000 c) 60 400 y 60 600 d) 62 400 y 62 400 e) 60 800 y 68 000
14. Un capital de 6 000 depositado durante 10 meses se ha convertido en S/. 6 910 calcular la tasa semestral de interés simple.
a) 5% d) 8%
b) 6% c) 9%
c) 7% a) 8, 1% d) 8, 9%
08.
La suma de un capital con sus intereses durante 2 meses ha sido de 4 200 000 y el mismo capital con sus intereses impuestos a igual tanto por ciento, durante 4 meses. Ha sido de S/. 6 400 000, calcular el porcentaje anual a que estuvo impuesto. a) 400% d) 600%
b) 500% e) 650%
c) 660%
09.
La diferencia de dos capitales es 2 000, el primero se impone al 16% anual y e l segundo al 10% semestral. Si al cabo de un año los montos son iguales, hallar el mayor capital. a) 48 000 d) 60 800
b) 46 200 e) 48 400
c) 60 000
10. Un artefacto que cuesta 25 000 se desvaloriza uniformemente a razón de 2 5 00 nuevos soles al año. Una persona que desea comprarlo deposita S/. 12 500 al 4% de interés simple. Dentro de cuanto tiempo podrá adquirir dicho artefacto. a) 7 años 5 meses c) 2 años 4 meses e) 4 años 2 meses
b) 3 años 1 mes d) 5 años 3 meses
11. Una persona coloca 60 000 a crédito parte al 4, 5% y parte total a fin de año 2 880 de interés, dígase que cantidades impuestas a cada uno de los tantos. a) 36 000 y 24 000 b) 3 0000 y 24 000 c) 24 000 y 32 000 d) 32 000 y 24 000e) 30 000 y 20 000
b) 8, 3% e) 9, 1%
c) 8, 7%
15. Se han colocado las 2/7 partes de un capital al 6% y las 3/5 al 10% y el resto al 7,5%, si se obtiene una renta de 12 000, hallar el capital. a) 140 000 d) 170 000
b) 150 000 e) 180 000
c) 160 000
16. La suma de un capital con sus intereses durante 2 años ha sido de 16 200 y el mismo capital con sus intereses al mismo porcentaje durante 4 años ha sido 17 400, calcular el capital y el porcentaje a que estuvo impuesto. a) 15 000 y 4% c) 14 000 y 8% e) 16 000
b) 16 000 y 3% d) 15 000 y 2%
17. Si un capital de 239 200 es dividido en 3 partes para imponerlas al 50 %, 45% y 55% respectivamente, resulta que producen el mismo interés. Hallar la parte impuesta al 45%. a) 88 000 d) 82 000
b) 80 000 e) 68 000
c) 78 000
18. La fortuna de una persona está dividida en dos partes la primera que es los 2/3 está colocada al 4%, la segunda parte produce S/. 180 siendo la renta anual de dicha persona S/. 260, calcular la segunda parte y el porcentaje a que estuvo colocado. a) 3 000 y 6% c) 3 000 y 4% e) 3 000 y 2%
SOLUCIONARIO
b) 3 000 y 5% d) 3 000 y 3%
Nº 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12.
Ejercicios 01
02
03
A
C
A
D
C
E
D
E
A
B
B
A
A
B
E
A
A
D
A
D
A
D
A
D
D
B
B
A
D
D
C
A
A
A
19. Tres capitales cuya suma es 209 300 son impuestos separadamente al 25%; 22, 5% y 27, 5% semestral respectivamente, generando la misma renta, ¿Cuál es el capital impuesto al 25%? a) 69 300 d) 69 350
b) 69 000 c) 63 900 e) 63 700 Un empleado coloca una suma al 50% durante 3 años y retira el 20% de 20. dicha suma, deja el resto de dicha suma durante 2 años al cabo de los cuales retira el 20% de lo que le quedo y deja la nueva suma durante 1 año. Si el total de los intereses percibidos es 209 600 determinar el capital inicial. a) 80 200 d) 9 000
b) 80 100 e) 12 000
c) 80 050
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