Tema 1: TANTO POR CIENTO Y TANTO POR MIL 1. TANTO POR CIENTO: %
Es el número de partes que se tomaron de un entero, que se dividió en 100 partes. Ejemplo: 30% representan = 30/100 Forma
=
fraccionaria
0.30 decimal.
3.2% representa a 3.2/1000 = 0.032 0.42% representa a 0.42/100 = 42/10000 = 0.0042 Ejercicio1: Convierte
a %
a) 0.82 = 82/100 =82% b) 0.042 = 42/1000 = 4.2/100 = 4.2% c) 0.0345 = 345/10000 = 3.45/100 = 3.45% d) 1.25 = 125/100 =125% e) 2.034 = 2034/1000 = 203.4/100 = 203.4% Ejercicio2: Convierte de fracción a %
a) 5/6= x/100 = (100)(5)/6= 500/6=83.3/100 = 83.3% b) 9/10= x/100 =(100)(9)/10 =900/10 =90/100 = 90% c) 56/58 = x/100 =(100)(56)/58 = 560/58 =96.5/100 =96.5% d) 4/5 =x/100= (100)(4)/5 =400/5=80/100 =80% e) 1/3 =x/100=(100)(1)/3 =100/3 = 33.3/100 = 33.3% Tanto por ciento de una cantidad.
Para obtener el % de una cantidad, esta se multiplicara por la forma decimal del tanto por ciento para obtener el porcentaje. Ejercicio3. Obtén el por ciento de las siguientes cantidades.
a) 20% de 45 es 0.20*45 = 9 b) 4% de 125 = 0.04*125 = 5 c) 82% de 25000 = 0.82* 20500 = 16810 d) 15% de 3000000= 450000 e)30% de 50000 = 15000
Ejercicio 4:
Calcula el número original sabiendo el porcentaje.
a) 796 es 50% de … 796
es el
x
1592
(100 100 )(796 796 )
50% 100%
b) 40 es 25% de…
160
(100 100 )(40)
40 es el 25% x
25
160 160
100%
c) 25000 es el 40% de…
62500
25 es el 40% x
1592
50
(100 100 )(25000 ) 40
62500
100%
2. TANTO POR MIL:
Es el número de partes que se tomaron de un entero, que se dividió en 1000 partes. Símbolo : %o .Ejemplo: 30%o representan = 30/1000 Forma
fraccionaria
3.2 %o representa a 3.2/1000 = 0.032 0.42% representa a 0.42/1000 = 42/10000 = 0.0042 Ejercicio5.
Obtén el tanto por mil de las siguientes cantidades. a) 20%o de 450 es 0.020*450 = 9 b) 4%o de 1250 = 0.004*1250 = 5 c) 82%o de 25000 = 0.082* 20500 = 1681 d) 15%o de 3000000 = 45000 e) 30%o de 50000 = 1500 2
=
0.030 decimal.
Tema 2 : TASAS DE INTERES
Es la medida de los intereses pagados por el uso del capital ajeno, representado por un porcentaje. Éste se mide por el cociente que resulta de dividir el interés con el principal. TASA NOMINAL: Es una Tasa Referencial que no incorpora Capitalizaciones. TASA PROPORCIONAL:
Es la expresión de la tasa nominal expresada en diferentes periodos de tiempo.
TASA EFECTIVA: Es la expresión de capitalizar una tasa nominal varias veces en el
Horizonte de tiempo. Se dice que es la tasa de interés pagado realmente. La tasa de interés nominal y su relación con la tasa de interés efectiva :
La tasa de interés efectiva es aquella que se utiliza en las fórmulas de la matemática financiera. En otras palabras, las tasas efectivas son aquellas que forman parte de los procesos de capitalización y de actualización. En cambio, una tasa nominal, solamente es una definición o una forma de expresar una tasa efectiva. Las tasas nominales no se utilizan directamente en las fórmulas de la matemática financiera. En tal sentido, las tasas de interés nominales siempre deberán contar con la información de cómo se capitalizan. Por ejemplo, tenemos una Tasa Nominal Anual (TNA) que se capitaliza mensualmente, lo que significa que la tasa efectiva a ser usada es mensual. Otro caso sería contar con una TNA que se capitaliza trimestralmente, lo que significa que la tasa efectiva será trimestral. Ahora bien, ¿cómo se halla el valor de la tasa de interés efectiva? Las tasas nominales pueden ser divididas o multiplicadas de tal manera de convertirla en una tasa efectiva o también en una tasa proporcional. En el primer caso, si se recibe la información de una tasa nominal con su capitalización respectiva, entonces esta tasa se divide o se multiplica, según sea el caso por un coeficiente,
al que se le denomina normalmente con la letra “m”. En el segundo caso, el de la proporcionalidad, cuando la tasa nominal se divide o multiplica, se halla su respectiva tasa proporcional. Por ejemplo, una TNA puede ser convertida a una Tasa Nominal Semestral (TNS) simplemente dividiéndola entre dos. O también en sentido contrario, una Tasa Nominal Semestral (TNS) puede ser convertida en una TNA, multiplicándola por dos. 3
Por ejemplo, se tiene una TNA del 24% que se capitaliza mensualmente, entonces la Tasa Efectiva Mensual (TEM) será: TEM = 24% *(1/12) = (24%)/12 Esta TNA del 24% también puede convertirse a una TNS dividiéndola entre dos, la misma que sería del 12%. Como se tiene la información de que la TNA se capitaliza mensualmente, la TNS también deberá capitalizarse mensualmente, la que se obtendría dividiendo la TNS entre seis. Entonces estas operaciones se pueden sintetizar con la siguiente fórmula: TasaEfectiva
TasaNomin al m
m : es el número de capitalizaciones efectivas durante el periodo Nominal La Tasa de Interés Efectiva
Como se explicara en el párrafo anterior, las tasas efectivas son las que capitalizan o actualizan un monto de dinero. En otras palabras, son las que utilizan las fórmulas de la matemática financiera. Ahora bien, las tasas de interés efectivas pueden convertirse de un periodo a otro, es decir, se pueden hallar sus tasas de interés efectivas equivalentes. En otras palabras, toda tasa de interés efectiva de un periodo determinado de capitalización tiene su tasa de interés efectiva equivalente en otro periodo de capitalización. Una diferencia notoria con la tasa de interés nominal es que la efectiva no se divide ni se multiplica. Las tasas nominales pueden ser transformadas a otras proporcionalmente pero el periodo de capitalización sigue siendo el mismo. Un capital puede ser capitalizado con diferentes tasas efectivas las mismas que se relacionan con diferentes periodos de capitalización, pero el horizonte de capitalización puede ser el mismo. Por ejemplo, si tenemos un capital HOY de 1,000.00 unidades monetarias (u.m.), y se desea capitalizar durante un año, entonces se puede efectuar la operación con una TEA, o también con su equivalente mensual, que vendría a ser una TEM pero que capitaliza doce veces en un año. También sería igual utilizar una TES como tasa equivalente de una TEA, teniendo en consideración que la TES capitaliza dos veces en un año. En el caso de las tasas nominales, se pueden transformar independientemente de la capitalización tal como se señalara anteriormente. En tal sentido, la tasa nominal se podría 4
definir como “una presentación de cómo se va a capitalizar o actualizar un monto de dinero en un horizonte de tiempo”. Para la conversión de una tasa efectiva a otra tasa efectiva deberá tenerse en cuenta que el horizonte de tiempo de la operación financiera deberá ser el mismo mas no así el periodo capitalizable.
Siguiendo la misma terminología del documento de “La Capitalización con Tasa de Interés Compuesta”1, el horizonte de tiempo de la operación financiera se define con la letra “H”, y el periodo capitalizable se define con la letra “f”. Sabemos que el núm ero de capitalizaciones (n) se obtiene del ratio de “H” y “f”, y que la tasa de interés efectiva siempre deberá estar en la misma unidad de tiempo que el coeficiente “n” (ver documento mencionado líneas arriba). Por ejemplo, si se desea hallar la TEA a par tir de una TEM, entonces vemos que el “dato”
es la TEM y la “incógnita” es la TEA. Se puede plantear la siguiente ecuación: 1 TEA
(1 TEM )12
1 TEA
(1 ieqm )12
En este caso, la TEM hará las veces de tasa equivalente de una TEA. La TEA capitaliza una vez en un año, y la TEM capitaliza doce veces al año. Sin embargo el horizonte de tiempo de ambos miembros de la ecuación es un año. La diferencia está en que la TEA abarca todo el horizonte en una capitalización y la TEM solamente abarca un mes, consecuentemente capitaliza doce veces. Siguiendo la terminología
mostrada anteriormente, el coeficiente “Será “12” si está en meses, y “360” si está en días; el coeficiente “f” será “1” si está en meses y “30” si está en días. Lo importante es que “H” y “f” estén en la misma unidad de tiempo al igual que la tasa equivalente. La ecuación, la que llamaremos la “ecuación clave” para la conversión de tasas será la siguiente: H
1 TEA
(1 ieq) f
esta es una ecuación que relaciona una TEA con una tasa equivalente de cualquier periodo, pudiendo ser una TEM, TEB, TET, TES o una TEA. Inclusive la tasa equivalente puede estar en días como por ejemplo, 12 días, 35 días, etc.
5
EJERCICIOS RESUELTOS DE TASAS DE INTERES
1. Del 18% efectivo trimestral encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable mensualmente. (1+ 0,18)4/12 = [1 + TNT ]12/12 3 T. nominal trimestral capitalizable mensualmente = 0, 17 17,01% R. 2. Del 24% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente. (1+ 0,24)1/2 = (1 + TNT * 2)2/2 Tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente = 5,6 % Respuesta. 3.
Del 12% nominal anual capitalizable trimestralmente, encuentre la tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente. (1+ 0,12)4/4 = (1 + TNS)4/4 4
2
Tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente =0,06 6% R . 4. Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual. (1+ 0,22)2/6 = (1 + TEb)6/6 Tasa efectiva bimensual = 0,06852 6,85% Respuesta. 5. Del 30% nominal bimensual capitalizable semestralmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable anualmente. (1+ 0,30 * 3)2 = (1 + TNT) 3 Tasa nominal trimestral capitalizable anualmente = 0,6525 65,25% R . 6. Del 52% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.
(1+ 0,52)1/2 = (1 + TNT * 2)2/2
Tasa nominal capitalizable semestralmente = 0,1164 11,54% Resp. 6
Tema 3 : INTERES : SIMPLE Y COMPUESTO
Para definir el interés nos podemos remitir a algunas definiciones: Valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del tiempo. Utilidad o ganancia que genera un capital. Alquiler que se paga por hacer uso del capital ajeno. Retribución económica que le devuelve el capital inicial al inversionista. Existen dos tipos de Intereses: Simple y Compuesto 3.1. INTERES SIMPLE
Se dice que una operación financiera está sujeta al concepto de interés simple, cuando los intereses liquidados periódicamente no se suman al capital, es decir los intereses no generan intereses; por lo cual el capital inicial (VP) permanece constante durante la vigencia de crédito o de la inversión. FORMULA:
I = VP* i * n
VP: Capital Inicial o Inversion i : Tasa de Interés simple ( % /100 ) n: Numero de periodos de Tasa transcurridos.
NOTA:
La tasa de interés simple se aplica sobre el capital inicial, lo que hace que los
intereses sean iguales en todos los periodos. Ejemplo 1:
Una persona presta $ 4.000.000 al 3% mensual, durante 7 meses. ¿Cuánto se espera recibir de intereses? DATOS: VP = $ 4.000.000 i= 3% mensual = 0.03 TIEMPO (n) = 7 meses
7
I =? Solución:
I = VP * i * n
Tenemos que
I = $ 4.000.000 * 0.03 * 7 I = $ 840.000 Respuesta, el interés producido por $ 4.000.000 al 3% mensual durante 7 meses es $ 840.000. Nota: la tasa de interés y el tiempo tienen que estar en la misma base, es decir, si los intereses son mensuales el tiempo tiene que ser mensual; si es bimestral el tiempo es bimestral.
Ejemplo 2:
Un CDT de $5.000.000 paga un interés del 2.8% trimestral simple; cuánto genera en concepto de intereses en un año. DATOS VP = $ 5.000.000 i= 2.8 % trimestral n = 1 año = 4 trimestres. Solución
I = $ 5.000.000 * 0.028 *4 I = $ 560.000 Respuesta, un CDT de $ 5.000.000 colocados al 2.8% trimestral durante un año genera un interés de $ 560.000 Ejemplo 3:Una
inversión generó un interés de $ 1.250.000 durante 3 años, si la tasa de
interés que se reconoció por esta inversión fue el 2.3% mensual, ¿cuál fue el capital que inicialmente se invirtió?
8
DATOS: I = $ 1.250.000 i= 2.3% mensual 0.023 n = 3 años = 36 meses Solución
Por formula general tenemos que
I = VP * i * n
Se despeja de la formula VP, VP = I / (i * n) entonces,
VP = $1.250.000 / (0.023 * 36) VP = $ 1.250.000/ 0.828 VP = $ 1.509.661, 84 Respuesta, para que una inversión produzca un $ 1.250.000 de interés, durante tres años a una tasa del 2,3% su capital inicial debe ser $1.509.661.84
FORMULAS DE INTERES SIMPLE
Fórmula 1
Interés simple
I = VP * i * n
Fórmula 2
Valor Presente o Valor Actual
VP = I /( i * n)
Fórmula 3
Tasa de Interés
i = I / ( VP *n)
Fórmula 4
Número de Periodos
n = I / (VP * i)
Fórmula 5
Monto o Valor Futuro
VF = VP * (1 + i* n )
9
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERES SIMPLE:
1. Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de $10.000.000 para que al 4% bimestral produjera $ 6.700.000 de intereses. DATOS VP = $ 10.000.000 I= $ 6.700.000 i= 4% bimestral = 0.04 n=? Por fórmula general tenemos que
I = VP * i * n
Despejamos de la formula, n= I / (VP * i)
entonces
n = $ 6.700.000 / ($ 10.000.000 *0.04) n = $ 6.700.000 / $400.000 n= 16.75 bimestres Respuesta, el tiempo que se necesita para un capital de $10.000.000 produzca $ 6.700.000 de interese a una tasa de 4 % bimestral es de 16,75 bimestres. 2. Una persona realizo una inversión de $ 12.000.000 y al año y medio recibió de intereses la suma de $ 1.370.000, cual fue la rentabilidad mensual de esta inversión. DATOS: VP = $ 12.000.000 I = $ 1.370.000 n = 1, 5 años = 18 meses i= ?
I = VP * i * n
Por formula general tenemos que Desperados i i= I /( VP*n)
Entonces, i= $ 1.370.000 / ($12.000.000 * 18) i = $ 1.370.000 / $216.000.000
10
i = 0.00634 equivalente a 0.634% mensual. NOTA: Cuando la respuesta sea en tasa de interés, esta se debe dar en términos porcentuales.
3. ¿Qué suma tendrá que pagar una persona al término de 3 años, si en este momento le prestan $7.500.000 al 5% semestralmente y se debe pagar al final los intereses y el capital? Antes de solucionar el ejercicio, cabe aclarar que en ocasiones no se pagan periódicamente los intereses sino que se pacta desde el inicio, entre las partes, el pago de los intereses y el capital al finalizar el vencimiento del plazo, esto es conocido como monto o valor final o valor futuro y lo denominamos VF. Se denomina monto o valor futuro al capital inicial (VP) más los intereses (I), entonces: VF = VP + I
Recordar que I = VP * i * n Reemplazamos en la fórmula, VF = VP + (VP * i * n) VF = VP * (1+ (i*n)) |Solución del ejercicio
DATOS: n = 3 años = 6 semestres. VP = $ 7.500.000 i= 5% semestral 0,05 VF = ? Tenemos que
VF = VP * (1 + (i * n))
VF = $7.500.000 * ( 1 + ( 0,05 * 6) VF = $ 7.500.000 * ( 1 + ( 0,3)) VF = $7.500.000 * 1,3 VF = $ 9.750.000
11
Respuesta, al término de tres años, una persona que presta $7.500.000 al 5% semestral debe pagar al vencimiento $ 9,750.000. 4. Calcule el monto a recibir en nueve meses por ahorrar $ 1.000.000 hoy, con una tasa de interés del 8,5% anual. DATOS. VP = $ 1.000.000 i= 8,5% anual = 0,085 n = 9 meses = 9/360 = 0,025 VF= ? Utilizamos la fórmula VF = $ 1.000.000 * ( 1+ (0,085 * 0,025)) VF = $ 1.000.000 * 1.002125 VF = $ 1.002.125 Respuesta, por ahorrar $1.000.000 hoy, a una tasa de interés del 8,5% anual por nueve meses recibe $ 1.002.125. 5. Un crédito tiene un valor al vencimiento de $90.000 ¿Cuál será el valor presente en 60 días antes del vencimiento? Suponga una tasa de interés del 28% anual. DATOS VF = $ 90.000 n= 60 días = 60 / 360 = 0,166666666 i= 28% 0,28 VP = ? Solución
Sabemos que Despejamos de la fórmula VP = VF / (1+ (i*n))
VF = VP * (1 + (i * n))
entonces,
VP = $ 90.000 / (1+ (0,28 * 0,166666666)) VP = $ 90.000 / (1,046666667) VP = $ 85.987, 26 Respuesta, el valor presente de un crédito que estaba al 28% en 60 días es de $85.987, 26.
12
3.2. INTERES COMPUESTO
La gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto con el objeto de tener en cuenta que los intereses liquidados no entregados, entran a formar parte del capital y para próximos periodos generarán a su vez intereses. Este fenómeno se conoce con el nombre de Capitali zación de I ntereses . La diferencia fundamental que existe entre el interés simple y el interés compuesto consiste en que el interés simple liquida los intereses cada período y se pagan inmediatamente; en el interés compuesto los intereses liquidados se acumulan al capital para formar un nuevo capital denominado Monto y sobre este monto se calculan los nuevos intereses del siguiente periodo. Supongamos que una persona invierte $1.000.000 en un CDT a 4 meses, a una tasa del 0.9% mensual, con liquidación mensual de intereses. ¿Cuánto dinero recibirá la persona al cabo de los 4 meses cuando se haya madurado el CDT? El cálculo puede ilustrarse en la siguiente tabla: Valor del CDT Número total de períodos Tasa de interés mensual Período Saldo Inicial
Intereses
1.000.000,00 4 0,90%
Saldo Final
1
1.000.000,00 1.000.000 x 0,9% = 9.000
1.009.000,00
2
1.009.000,00 1.009.000 x 0,9% = 9.081
1.018.081,00
3
1.018.081,00 1.018.081 x 0,9% = 9.162,73
1.027.243,73
4
1.027.243,73 1.027.243,73 x 0,9% = 9.245,19
1.036.488,92
Observemos el procedimiento paso por paso para que tratemos de deducir una fórmula que nos permita calcular directamente el monto final.
13
0
1
2
3
n
/__________/__________________/________________
/ ______________/
VP
VF1 = VP + I
VF2 = VF1 + VF1 *i*n
VF3 = VF2 + VF2 *i*n
I
VF1 = VP + VP * i *n
VF2 = VF1* (1+ i)
VF3 = VF2* (1+ i)
VF1 = VP * (1 + i)
VF2 = VP (1+i) * (1+i)
VF3 = VP (1+i)2 * (1+i)
VF2 = VP (1+ i)2
VF3 = VP (1+ i)3
Como se acumula período a período, la n va tomando el valor de uno, y los intereses de cada período se liquidan sobre el monto anterior. De acuerdo al anterior desarrollo, si continuamos y llegamos al periodo 15 el valor futuro es: VF 15 = VP (1+ i) 15 Podemos concluir que a los n periodos el monto o valor futuro será:
VF = VP (1 + i)
n
Ejemplo 4:
Un capital de $36.000.000 estuvo invertido 3 años, al 28% anual compuesto. ¿Cuál fue su monto o valor futuro? DATOS: VP = $ 36.000.000 n= 3 años i= 28% 0,28
14
VF = ? Solución
Sabemos que
VF = VP (1+ i) n
Reemplazamos en la fórmula. VF = $ 36.000.000 (1 + 0,28) 3 VF = $ 36.000.000 * 2,097152 VF = $ 75.497.472 Respuesta, un capital de $36.000.000 invertido hoy al 28% anual durante 3 años equivale a $75.497.472.
Ejemplo 5:
Una persona desea disponer de $3.000.000 dentro de dos años. ¿Cuánto debe invertir hoy para cumplir su objetivo, si la tasa de interés que le reconoce la entidad financiera es del 18% anual con capitalización mensual?
DATOS. VF = $ 3.000.0000 n = 2 años 24 meses i = 18% anual con capitalización mensual 18%/12 = 1.5% mensual
15
Nota: recordemos que la tasa de interés y el tiempo siempre deben de estar en la misma base. Cuando se habla de capitalización se está indicando que los intereses se suman al capital de acuerdo al periodo de referencia. Ejemplo. Si decimos que se tiene una tasa de interés del 30% anual con capitalización bimestral, entonces los periodos de referencia son 6 bimestres puesto que seis corresponde a los bimestres que tiene un año. Solución al ejercicio
VF = VP (1+ i) n
Sabemos que Despejamos la fórmula, VP = VF / (1+ i)
n
Entonces, VP = $ 3.000.000 / (1 + 0.015) 24 VP = $ 3.000.000 / 1,429502812 VP = $ 2.098.631, 75 Respuesta, si una persona quiere disponer de $3.000.000 dentro de dos años a una tasa del 18% anual con capitalización mensual debe invertir hoy $2.098.631,75
FORMULAS DE INTERES COMPUESTO
Fórmula 1
Monto o Valor Futuro
VF = VP x (1 + i ) n
Fórmula 2
Valor Presente o Valor Actual
VP = VF /( 1 + i ) n
Fórmula 3
Tasa de Interés
i = ( VF / VP) 1/n – 1
Fórmula 4
Número de Periodos
n = log (VF/VP)/log (1+i)
Formula 5
Interés compuesto
I = VP ((1+i)n – 1) 16
EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERES COMPUESTO
1. Una persona invierte $5.000.000 durante año y medio con intereses liquidados y capitalizados mensualmente y le entregan al final $6.250.000. ¿Cuál fue la tasa de interés que le reconocieron en esta inversión? DATOS VP = $ 5.000.000 VF = $ 6.250.000 n= 1, 5 años = 18 meses i= ? Sabemos que:
VF = VP (1+ i) n
Despejamos de la fórmula, VF / VP = (1 + i)n Para poder despejar el interés se saca raíz cuadrada de n a ambos lados.
√(VF/ VP) = ( 1+i )
n
√(VF/ VP ) – 1
n
i= (
i = ( 18√$6.250.000/ $ 5.000.000) – 1 i = 1.012474024 -1 i = 0,012474 = 1, 2474% mensuales. Respuesta, la tasa de interés que se reconoce en una inversión de $5.000.000 a un año y medio con periodos de capitalización mensuales, es de 1,2474% mensual. 2. Una persona tomo prestado $10.000.000 a una tasa de interés del 2% mensual compuesto, y al final del crédito pagó $41.611.403, 75 ¿qué plazo le concedieron? DATOS: VP = $ 10.000.000 VF = $ 41.611.403,75
17
i= 2% mensual n=? Sabemos que
VF = VP (1+ i) n
Despejamos la variable n, VF / VP = (1 + i) n Por las propiedades de la potenciación, para despejar la n debemos utilizar los logaritmos, así. Log (VF/VP) = n log (1+i) n = log (VF/ VP) / log (1+ i)
n = log ($41.611.403,75/ $10.000.000) /log ( 1+ 0,02) n = 72 meses = 6 años Respuesta, el tiempo que le concedieron en este crédito es de 72 meses equivalente a 6 años.
18
DESCUENTO:
La tasa de descuento fijada por los bancos centrales por realizar el redescuento resulta de suma importancia para la economía, pues ellas inciden sobre el conjunto de tasas de descuento y de interés cobradas en un país durante períodos determinados. La tasa de descuento es
la razón del pago por el uso del dinero devuelto al liquidar la
operación. Descuento,
es el proceso de deducir la tasa de interés a un capital determinado para
encontrar el valor presente de ese capital cuando el mismo es pagable a futuro. Del mismo modo, aplicamos la palabra descuento a la cantidad sustraída del valor nominal de la letra de cambio u otra promesa de pago, cuando cobramos la misma antes de su vencimiento. La proporción deducida, o tasa de interés aplicada, es la tasa de descuento . La operación de descontar forma parte de las actividades normales de los bancos. A estos acuden los clientes a cobrar anticipadamente el monto de las obligaciones de sus acreedores; los bancos entregan dichas cantidades a cambio de retener tasas de descuento, esto forma parte de sus ingresos. Los bancos comerciales, a su vez, necesitan descontar documentos, en este caso, son tomados por el banco central, tal operación es denominada, redescuento. DESCUENTO SIMPLE Y COMPUESTO:
Siendo el descuento un interés, este puede ser simple o compuesto. La persona (prestatario) puede pagar a un prestamista el costo (precio) del préstamo al inicio del período o al final del mismo. En el primer caso este precio recibe el nombre de descuento; en el segundo interés respectivamente. 1. Descuento simple:
es la operación financiera que tiene por objeto la representación
de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, a través de la aplicación de la fórmula del descuento simple. Es un procedimiento inverso al de capitalización. Particularidades de la operación :
Los intereses no capitalizan, es decir que: -
Los intereses producidos no son restados del capital inicial para generar (y restar) nuevos intereses en el futuro y, 19
-
Por tanto a la tasa de interés vigente en cada período, los intereses los genera el mismo capital a la tasa vigente en cada período.
Los procedimientos de descuento tienen un punto de partida que es el valor futuro conocido (VF) cuyo vencimiento quisiéramos adelantar. Es necesario conocer las condiciones de esta anticipación: duración de la operación (tiempo y el capital futuro) y la tasa de interés aplicada. El capital resultante de la operación de descuento (valor actual o presente VA) es de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. Concluyendo diremos, si trasladar un capital presente al futuro implica incrementarle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la disminución de esa misma cantidad porcentual. Nomenclatura: D
: Descuento o rebaja.
DR
: Descuento racional
DC
: Descuento comercial
VN(VF)
: Valor final o nominal, es el conocido valor futuro
VA
: Valor actual, inicial o efectivo.
iód
: Tasa de interés o descuento
A partir de éste apartado, los intereses serán “d” si éstos son cobrados por adelantado e
“i” si son cobrados a su vencimiento Considerar esta observación al usar las fórmulas para calcular Tasas Equivalentes, tanto en operaciones a interés simple como a interés compuesto. El valor actual (VA) es inferior al valor futuro (VF) y la diferencia entre ambos es el descuento (D). Cumpliéndose la siguiente expresión: DR = VF - VA
Como vimos, el descuento, es una disminución de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, es calculado como el interés total de un intervalo de tiempo. Cumpliéndose: DR = VF*n*i
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Dependiendo del capital considerado para el cálculo de los intereses, existen dos modalidades de descuento: - Descuento racional o matemático - Descuento comercial o bancario. Cualquiera sea la modalidad de descuento utilizado, el punto de partida siempre es un valor futuro VF conocido, que debemos representar por un valor actual VA que tiene que ser calculado, para lo cual es importante el ahorro de intereses (descuento) que la operación supone.
1.1. Descuento racional o matemático
La diferencia entre la cantidad a pagar y su valor actual recibe el nombre de descuento racional o matemático, no es lo mismo que el descuento bancario. Designamos el descuento bancario simplemente con la palabra descuento. Calculamos el descuento racional, determinando el valor actual de la suma a la tasa indicada y restando este VA de dicha cantidad. El resultado es el descuento racional. El descuento racional es el interés simple. La incógnita buscada es el valor actual (capital inicial). Es decir, el descuento racional es igual a la cantidad a pagar (VN) menos el valor actual [VA] del capital. Luego: 1.2. Descuento comercial
En este tipo de descuento, los intereses son calculados sobre el valor nominal VN empleando un tipo de descuento d. Por esta razón, debemos determinar primero el descuento Dc y posteriormente el valor actual VA o capital inicial. El capital inicial es obtenido por diferencia entre el capital final (VN) y el descuento (Dc): Ejercicio 3 (Descuento racional y comercial)
Deseamos anticipar al día de hoy un capital de UM 5,000 con vencimiento dentro de 2 años a una tasa anual del 15%. Determinar el valor actual y el descuento de la operación financiera Solución:
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VN = 5,000; n = 2; i = 0.15; VA =?; DR =? Primer tema:
Asumiendo que el capital sobre el que calculamos los intereses es el capital inicial (descuento racional): VA = 5000/ (1+2*0.15) DR = 5,000 - 3,846 = UM 1,153.85 Segundo tema:
Asumiendo que el capital sobre el que calculamos los intereses es el nominal (descuento comercial): D C = 5,000*2*0.15 = UM 1,500 VA = 5,000 - 1,500 = UM 3,500
o también: VA = 5,000(1 - 2*0.15) = UM 3,500 1.3. Tasa de interés y de descuento equivalentes
Si el tipo de interés (i) utilizado en el descuento racional coincide en número con el tipo de descuento (d) aplicado para el descuento comercial, el resultado no es el mismo porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cálculo de intereses; razón por la cual el descuento comercial será mayor al descuento racional (DC > DR ),
Para hacer
comparaciones, buscar una relación entre tipos de interés y de descuento que nos resulte indiferentes una modalidad u otra; es necesario, encontrar una tasa de descuento equivalente a uno de interés, para lo cual deberá cumplirse la igualdad entre ambas: DC = DR .
las fórmulas que nos permiten cumplir con esta condición son: d = i/ (1+n*i)
Fórmula que nos permite conocer d a partir de i. i = d/ (1-n*d)
Fórmula que nos permite conocer i a partir de d. 22
Estas fórmulas son de aplicación sólo con tasas periódicas; aquellas tasas utilizadas en determinado período para calcular el interés. La relación de equivalencia entre tasas de interés y descuento, en el interés simple, es una función temporal, esto quiere decir, que una tasa de descuento es equivalente a tantas tasas de interés como valores tome n de la operación y a la inversa (no hay una relación de equivalencia única entre una i y un d). Ejercicio 4 (Calculando la tasa de descuento)
Si consideramos en el ejemplo 24, que la tasa de interés es del 15% anual. Calcular la tasa de descuento anual que haga equivalentes ambos tipos de descuento. Solución:
i = 0.15; d =? 1º Calculamos la tasa de descuento anual equivalente: d = 0.15/ (1+2*0.15)
2º Luego calculamos el valor actual y el descuento considerando como tasa de interés el 15% (descuento racional): VA = 5000/ (1+2*0.15) = 3846 DR = 5,000 - 3,846 = UM 1,153.86
3º Calculamos el valor actual y el descuento considerando la tasa de descuento encontrada del 11.54% (descuento comercial): D C = 5,000*2*0.1154 = UM 1,153.86 VA = 5,000 - 1,154 = UM 3,846
o también:
VA = 5,000(1 - 2*0.1154) = UM 3,846
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2.
Descuento Compuesto
Denominada así la operación financiera que tiene por objeto el cambio de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la fórmula de descuento compuesto. Es la inversa de la capitalización.
Particularidades de la operación
Los intereses capitalizan, esto significa que:
Al generarse se restan del capital inicial para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro,
Los intereses de cualquier período los produce éste capital (anterior), a la tasa de interés vigente en dicho momento.
Los procedimientos de descuento tienen un punto de partida que es el valor futuro conocido (VF) cuyo vencimiento quisiéramos adelantar. Es necesario conocer las condiciones de esta anticipación: duración de la operación (tiempo y el capital futuro) y la tasa de interés aplicada. El capital resultante de la operación de descuento (valor actual o presente VA) es de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. Concluyendo diremos, si trasladar un capital presente al futuro implica incrementarle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la disminución de esa misma cantidad porcentual. En forma similar al interés simple, se distinguen dos clases de descuento racional y comercial, según la cuál sea el capital considerado en el cálculo de los intereses en la operación: - Descuento racional. - Descuento comercial. Nomenclatura: D
: Descuento o rebaja.
DR
: Descuento racional
DC
: Descuento comercial
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VN(VF)
: Valor final o nominal, es el conocido valor futuro
VA
: Valor actual, inicial o efectivo.
iód
: tasa de interés o descuento de la operación
2.1. Descuento racional
En este tipo de descuento los intereses son calculados sobre el capital inicial, es decir, sobre el que resulta de la anticipación del capital futuro (VN o VF). Es la operación de capitalización compuesta, con la peculiaridad de que el punto de partida es el capital final (VN) con el debemos calcular el valor actual (VA), capital hoy. Para el cálculo del VA del capital, operamos con la fórmula [21]. VA = VF/ (1+i)n
Calculado el capital inicial con la fórmula anterior, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, determinamos el interés total de la operación (DR ), o descuento propiamente dicho: DR = VN*(1- (1/ (1+i)n)
Fórmula del descuento racional a interés compuesto. Ejercicio 5 (Ahorro por pago anticipado)
Debemos anticipar el pago de una obligación de UM 12,000 con vencimiento dentro de 18 meses. Si el pago lo efectuamos hoy. ¿Qué valor tenemos que entregar si la operación se acuerda a una tasa de interés del 18% anual compuesto? ¿De cuánto será el ahorro por el pago anticipado?. Solución:
VN = 12,000; n = (18/12) = 1.5; i = 0.18; DR =?; VA =?; Aplicando directamente la fórmula [C] obtenemos el descuento buscado: DR = 12000*(1- (1/ (1+0.18)15) = 2638.22
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El valor líquido a entregar es: VA = 12,000 - 2,638.22 = UM 9,361.78 o también: 15
VA = 12000/ (1+0.18) = 9361.78 DR = 12,000 - 9,361.78 = UM 2,638.22 Respuesta:
El valor a entregar es
UM 9,361.78
El ahorro por el pago anticipado es de
UM 2,638.22
2.3. Descuento comercial
Este caso considera al capital final de un período a otro generador de los intereses a un tipo de descuento (d) dado, vigente en ese momento. Aplicando la fórmula [B] calculamos el capital inicial (VA): VA = VN*(1-d)
n
Por diferencias entre el capital de partida y el inicial obtenido, calculamos el interés total de la operación (Dc):
DC = VN*(1-(1-d))n
Ejercicio 6 (Descuento comercial)
Tenemos que anticipar UM 15,000 con vencimiento dentro de 3 años. Si el pago lo hacemos el día de hoy. ¿Qué valor tenemos que entregar si la operación es pactada al 22% anual compuesto? ¿Cuánto será el descuento por el pago anticipado? Solución:
VN = 15,000; n = 3; VA =?; d = 0.22; DC = ? 1º Calculamos el valor actual y el descuento bancario: [D] VA = 15,000*[1 - 0.22]3 = UM 7,118.28 DC = 15,000
- 7,118.28 = UM 7,881.72
2º En forma directa, obviando el cálculo previo del capital inicial (VA): [E] Dc = 15,000 * [1 – (1 – 0.22)3] = UM 7,881.72 Respuesta: El monto a entregar es UM 7,118.28 y el descuento es UM 7,882.72.
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BIBLIOGRAFIA UTILIZADA
TEMA 1:
1. Aritmética de BALDOR . WEB 2. ALIAGA VALDEZ(2008) Manual de matemáticas Financieras, Problemas y casos. UP. Lima Perú. TEMA 2:
1. AYRES, FRANK (1982). Matemática Financiera, México. Mc. Graw Hill. 2. MOORE,Justin H.(1981). Manual de Matemática Financiera, México UTHA. TEMA 3:
1. ALIAGA VALDEZ(2008) Manual de matemáticas Financieras, Problemas y casos. UP. Lima Perú. 2. GIL PELAEZ,Lorenzo(1989). Matemática de las operaciones Financieras, Madrid, Editorial AC. 3. Internet. Htp//www.abanfin.com/?tit=guía-de-matemática
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