Interés Cuando una persona utiliza utiliza un un bien que no le pertenece, pertenece, por lo general debe pagar una pagar una r Por ejemplo, se paga una renta al habitar habitar una casa que no nos pertenece. Lo mismo mismo ocurre una renta por el uso de este dinero. dinero . En este caso la renta recibe un nombre especial inter El interés se define como el dinero que se paga por el uso del dinero ajeno. !ambién se puede decir que el interés es el rendimiento que se tiene al invertir e invertir en n for La cantidad de dinero tomada en préstamo o in"ertida, se llama
capital.
El interés generalmente se calcula como un porcentaje porcentaje de de capital, por unidad de tiempo. tiempo. Este porcentaje recibe el nombre de tasa
de interés.
La unidad de tiempo normalmente normalmente utili#ada utili#ada para expresar las tasas de interés es de un ao Sin embargo, embargo, las tasas tasas de interés se expresan expresan también en en unidades de tiempo menores menores de u Si la la tas tasaa de inte interé réss se da sol solo o como como un un porc porcen enta taje je,, sin sin espe especi cifi fica carr la unid unidad ad de de tiem tiempo po,, se s
Interés Simple El interés es simple cuando se paga al final de final de un inter"alo de tiempo previamente defini El interés simple se usa principalmente principalmente en en inversiones inversiones $ $ créditos créditos a a corto plazo %de plazo %de un año El interés a pagar por una deuda, o el que se "a a cobrar de una in"ersi'n, depende de la ca $ del tiempo que dure el préstamo o la in"ersi'n.
Interés Compuesto En el interés compuesto, el interés generado en generado en un periodo dado, se convierte en capital El interés simple generado simple generado al final del primer periodo se periodo se sum sumaa al al capi capita tall ori origi gina nal,l, for form( m(nd nd simple generado en el segudno periodo, periodo, $ el i Con este nue"o capital se calcula el interés simple generado La suma total obtenida total obtenida al final del proceso se conoce como valor
futuro. ) la diferencia diferencia entre entre el valor futuro $ futuro $ el valor original se original se le llama interés compuest rio odo de capitalizaci El periodo con"enido para con"ertir el interés en capital se llama peri Por ejemplo ejemplo,, la expresi' expresi'n n *periodo *periodo de capital capitali#aci i#aci'n 'n semestra semestral* l* significa significa que que el interés interés gana gana decir, se suma el capital al término de cada seis meses.
Frecuancias de capitalización más comunes
Si lo intereses se capitalizan cada )ño Semestre Cuatrimestre !rimestre /imestre 1es 2uincena Semana 45a
!a frecuencia de capitalización es + 0 + 3 -03
nta por el uso de dicho bien. on el dinero, cuando se pide dinero prestado se paga
és. a producti"a el dinero.
.
año. pone que se trata de una tasa anual.
o, sin que el capital original var"e. o menos&. tidad de dinero tomada en préstamo o in"ertida,
ara el siguiente periodo. se un nuevo capital. terés se suma al capital, $ as5 sucesi"amente. .
n. o por un cierto capital se capitali#a, es
Interés Simple #
)na pidi' prestado 60,-77 a pagar en meses. Si la tasa de interés es de --8 anual simple, 9qué cantidad deber( pagar por concepto % $ 0,-77 i $ --8 anual ? 7.-- por año t $ meses La unidad de tiempo de i y de t no coinciden. Debemos convertir la tasa de interés anual a tasa de interés mensual. i $ --8 anual ? --8 @ + meses ? .<38 mensual Fórmula para calcular el interés simple:
I $ %it
I $ %0,-77& %7.7<3& %& I $ &'()
)na deber( pagar &'() de intereses, m(s el capital original de &'+),,. En total+ -na debe pagar &'+(().
*
1arcela posee un capital de 6-,777. ;n"ierte el <78 de su capital a 3.3=8 trimestral, $ el resto a +7.38 semestral. 9Cu(nto recibe cada mes de interés total: Como se está utilizando el tiempo en meses, es necesario convertir las tasas de in ./0 trimestral ? 3.3=8 @ - ? +.=08 mensual ? ,.,#/' por mes #,.0 semestral ? +7.38 @ 0 ? +.<38 mensual ? ,.,#1 por mes El <78 de 6-,777 son 6,77 El resto son 6>,077
)l in"ertir 6,77 al 3.3=8 trimestral durante un mes, el interés ganado es I $ %,77& %7.7+=0& %+& I $ &2#'.'2 El interés mensual de 6>,077 in"ertidos al +7.38 semestral es I $ %>,077& %7.7+<3& %+& I $ '/.,, El interés total obtenido al cabo de un mes es de $41.4 ! $1" # &/2.'2
Interés Comercial 3 4eal Cuando el tiempo en un préstamo est( dado en d"as, es necesario convertir la tasa d Cuando la tasa anual se convierte a tasas diaria utili#ando el ao natural 5)' d"as6 c el interés obtenido se llama
Interés 4eal o E7acto.
Cuando la con"ersi'n se hace utili#ando el n8mero )',, se dice que se est( utili#ando llamado
)
Interés Comercial u 9rdinario.
Calcule el interés comercial $ real de un préstamo por 6+,<37 a -=8 por 37 d5as.
Interés Comercial % $ 6+,<37 t $ 37 d5as i $ -=8 anual ? -=8 @-07 d5as ? ,.)/ : )', d"as I $ %+,<37& %7.-= @ -07& %37& ? &11/.21
Interés 4eal % $ 6+,<37 t $ 37 d5as i $ -=8 anual ? -=8 @-03 d5as ? ,.)/ : )' d"as I $ %+,<37& %7.-= @ -03& %37& ? &1'1./# El interés comercial resulta más elevado que el interés real para el mismo capital+ tas Esta ganancia e7tra hace que el ao comercial sea mu$ utili#ado en los bancos, casa
2
Calcule el interés ordinario $ exacto de un préstamo por 6<,0<3 a --8, del +- de septie septiembre octubre no"iembre diciembre
+< d5as -+ d5as -7 d5as + d5as >7 d5as
;nterés Ardinario I$ %<0<3&%7.--@-07&%>7&
0--.+=<3
;nterés exacto I$ %<0<3&%7.--@-03&%>7&
0.3+-0>=0-
+@+@7+< >@+-@7+< >7
Encuentre el "alor presente de 6,777 que "encen dentro de nue"e meses, si la tasa de BP?1 @ %+it& BP? BP?
777 + %7.-=3@+&%>& +33.+3
Esto significa que 6+33.+3 in"ertidos ho$, durante > meses al -=.38, se con"ertir(n e !ambién se dice que 6+33.+3 son equi"alentes a 6,777 si el tiempo es de > meses $ l
El +> de no"iembre el pagaré ten5a un "alor presente de 6+,<<.>7 Esto significa que 6+,<<.>7 in"ertidos durante -< d5as se con"ertir(n en 6+,>03.si la tasa de interés es del -=8
de intereses:
erés a forma mensual:
e interés anual a una tasa de interés diaria. omo di"isor en la f'rmula de interés simple,
el ao comercial. En este caso el interés es
7.+708
a de interés 3 tiempo. de bolsa, $ en comercios que "enden a crédito.
mbre al + de diciembre del 7+<.
interés es de -=.38
6,777. tasa de interés es del -=.38
#
En //B) la tasa de interés en cuantas de ahorro, para el caso de personas f5sicas, es Dna persona abre una cuenta de ahorros depositando 6+-,777 $ no lle"a a cabo de Si se deja capitali#ar los intereses, calcule a& El monto compuesto al cabo de 3 meses. b& El interés compuesto ganado
a& Como el periodo de capitali#aci'n es mensual, es necesario con"ertir la tasa de i i? 7.0@+?+.<8 mensual ? 7.7+< por mes Capital Ariginal ;nterés del primer mes 1onto al final del primer mes ;nterés del segundo mes 1onto al final del segundo mes ;nterés del tercer mes 1onto al final del tercer mes ;nterés del cuarto mes 1onto al final del cuarto mes ;nterés del quinto mes 1onto al final del quinto mes El monto compuesto obtenido al final de los 3 meses es de
b& El interés compuesto ganado por la in"ersi'n se obtiene usando la ecuaci'n ;? +,+3<.+-+-,777
*
92ué cantidad de dinero se habr( acumulado al cabo de 3 años si se in"ierten 6=,7 La tasa de interes de del .708 mensual, pero pagadera cada bimestre, esto siginifi Como el tiempo total de in"ersi'n es de 3 años, entonces el nFmero total de period n? %3 años&%0 bimestres@año&? -7 bimestres )l sustituir los datos en la f'rmula G?P%+i&n
G? =777 %+7.7+&-7
)
92ué interés producir( un capital de 63,777 in"ertido al 78 anual compuesto ca Dtilice el año real La palabra compuesto cada = d5as significa capitali#able cada = d5as. La tasa de interés por periodo de capitali#aci'n se obtiene de la siguiente forma Dn año tiene -03@= ? +-.7-3<+ periodos de = d5as !asa de capitali#aci'n 7@+-.7-3<+? +.3-008 cada = d5as En dos años de in"ersi'n se tendr(n % años&%+-.7-3<+ periodos de capitali#aci'n@año& ? 0.7<+= periodos de capital )l sustituir los datos en la f'rmula G?P%+i&n G?3,777 %+7.7+3-00&H0.7<+= G? Por lo tanto ;? -<,+=.0>3,777
7.08 capitali#able cada mes. 'sitos ni retiros posteriores a la apertura de la cuenta.
terés anual a tasa de interés mensual
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
+-,777.77 -.07 +-,-.07 <.3 +-,3+.73 -+.-0 +-,0=.7 -3.- +-,>+<.< ->.-> +,+3<.+-
6 6
+,+3<.++,+3<.+-
6
+,+3<.+-
+<.<
7 al .708 mensual con intereses capitali#ables cada bimestre: a que se paga el .+8 en cada periodo bimestral. os de capitali#aci'n %n& ser( de
;abla de capitaliz Interés ganado 6 -.07 6 <.3 6 -+.-0 6 -3.- 6 ->.->
6
0,=07.3
a = d5as, en años:
+-.7-3<+=3<
i#acion
6
-<,+=.0>
6
+,+=.0>
ación +<.< 6 +,+3<.+-