Capítulo 1 Interés Simple 1.1 Tanto por ciento En matemáticas el “tanto por ciento” es una forma de expresar un número en proporción cien (de ahí el nombre “por ciento”), y se denota con el símbolo “%”. El símbolo “%” proviene de una manera “estilizada” para poner dos ceros. Ejemplo 1. ¿Cuál es el 25% de 240? Solución Como se trata de una proporción entonces tenemos: 𝑋 25 = 240 100 Estamos interesados en calculas X, despejamos… 25 × 240 = 60 100
𝑋= Por lo tanto el 25% de 240 es 60 Ejemplo 2.
Carlos le presta a Pedro $130 con la condición de que al final del mes le devuelva el préstamo mas el 5% de la suma original. ¿Cuál será la cantidad total que Pedro le dará a Carlos a final del mes? Solución Primero calculemos el 5% de $130 𝑋 5 = 130 100 Estamos interesados en calculas X, despejamos… 𝑋=
5 × 130 = 6.5 100
Entonces, a final de mes Pedro le devuelve a Carlos un total de $136.5
-1-
Interés Simple
1.2 Interés simple. Todos los cálculos que se efectúan con las matemáticas financieras descansan sobre la costumbre de las personas a pagar un rédito por el uso del dinero ajeno. Y de hecho, la mayor parte de las ganancias de las empresas que prestan servicios financieros provienen de este recurso. Toda persona que pide dinero prestado está obligada a pagar una renta (un interés) por el uso del mismo, es decir, el dinero genera dinero que se va acumulando mientras transcurre el tiempo.
1.3 Definición.
Interés simple: el interés simple se caracteriza por que los intereses generados en un periodo no se “reinvierten” en siguiente periodo, de esta manera, los intereses que se van ganando se calculan siempre sobre el capital inicial de la inversión.
Capital inicial: es la suma de dinero que se tiene al principio de la operación financiera, puede ser un préstamo o una inversión, depende desde la perspectiva que se observe el problema.
Tasa de Interés: es la proporción entre la suma de intereses ganada por la inversión y el capital inicial.
Monto: es la suma del capital inicial mas los intereses ganados durante el tiempo que duró la inversión.
Para poder llevar a cabo los cálculos vamos a usar la siguiente notación: Concepto Capital Inicial Intereses Tasa de interés Tiempo (o número de periodos) Monto Valor Futuro Valor Presente
Notación 𝑃 𝐼 𝑖 𝑛 𝑆 𝐹𝑉 𝑃𝑉
A esta notación se le conoce como “notación americana” No debemos confundir lo que significan los intereses y la tasa de interés, el primero es la suma (en dinero) de lo que genera la inversión y el segundo es la proporción entre los intereses y el capital inicial, son conceptos bien distintos. Casi siempre la tasa de interés se representa como un porcentaje, cuando se de este caso lo que tenemos que hacer es dividir la tasa entre cien, para tener una proporción de “Tanto por uno” en vez de “Tanto por cien”.
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Interés Simple
1.4 Deducción de la formula y despeje de las literales. Si se invierte una cantidad de capital 𝑃, durante 𝑛 periodos a una tasa 𝑖 (al tanto por uno), es decir por cada unidad invertida, la inversión retribuye una cantidad 𝑖 por cada unidad monetaria, en cada periodo de tiempo al que se fijó la tasa. Entonces la cantidad de intereses 𝐼que devolverá la inversión al final del tiempo que dura será de: 𝐼 =𝑛×𝑃×𝑖 Siempre hay que tener presente que para poder utilizar la fórmula anterior la tasa tiene que estar al “tanto por uno” (por ejemplo el 0.05 por cada unidad monetaria), si la tasa estuviera al “tanto por ciento” (por ejemplo al 5%) tendríamos que dividir entre cien, por ejemplo con una tasa 𝑖2 al tanto por ciento tendríamos que hacer la siguiente operación: 𝐼 =𝑛×𝑃×
𝑖2 100
Ahora, si quisiéramos calcular el tiempo de la inversión a través de las otras variables: 𝐼 𝑛= 𝑃𝑖 Para calcular el capital inicial: 𝐼 𝑃= 𝑛𝑖 Para calcular la tasa: 𝐼 𝑖= 𝑛𝑃
Ejemplo 3. Determinar los intereses de la inversión Se invierte la cantidad de $120,000 en un fondo que paga una tasa de 17.5% (interés simple) anual. ¿Qué cantidad de intereses habrá generado el fondo al final de 3 años? Solución: Datos:
𝑃 = $120,000 𝑖 = 17.5% = 0.175 𝑛 = 3 (𝑎ñ𝑜𝑠)
Utilizando la fórmula de interés simple: 𝐼 = 𝑛 × 𝑃 × 𝑖 = 3 × 120 000 × 0.175 𝐼 = $63,000.00
-3-
Interés Simple
El ejemplo anterior (y en general todos los problemas de interés simple) queda mejor ilustrado con la siguiente gráfica:
Monto i=17.5 %
I=$63,000 P=$120,000 Tiempo 1 año
2 años
3 años
Ejemplo 4. Determine los intereses de la inversión. Se invierten $260,000 en una cuenta que pagará 20% de interés simple anual. Calcule los intereses ganados en 2 años. Solución: Datos:
𝑃 = $160,000 𝑖 = 20% = 0.2 𝑛 = 2 (𝑎ñ𝑜𝑠)
Utilizando la fórmula de interés simple: 𝐼 = 𝑛 × 𝑃 × 𝑖 = 2 × 260 000 × 0.2 𝐼 = $104,000.00 Ejemplo 5. Determine los intereses ganados. Considere el ejemplo anterior (Capital inicial de $120,000) al mismo plazo (3 años) pero con una tasa del 9%. ¿Qué cantidad de intereses habrá ganado la inversión al final de los tres años? Solución: Datos:
𝑃 = $120,000 𝑖 = 9% = 0.09 𝑛 = 3 (𝑎ñ𝑜𝑠) -4-
Interés Simple
Utilizando la fórmula de interés simple: 𝐼 = 𝑛 × 𝑃 × 𝑖 = 3 × 120 000 × 0.09 𝐼 = $32,400.00 Ejemplo 6. Determine el tiempo de la inversión. Se invirtieron $40,000 en una cuenta de ahorro al 14%, al final de algunos años, el fondo generó intereses por $28,000. ¿Cuántos años duró la inversión? Solución: Datos:
𝑃 = $40,000 𝐼 = $28,000 𝑖 = 14%
Sabemos que 𝑛=
𝐼 𝑖𝑃
Entonces 𝑛=
28 000 =3 0.14 × (40 000)
Por lo tanto, la inversión duró tres años. Ejemplo 7. Determine la tasa de interés. Una persona que pidió un préstamo de $650,000 a cinco años, pagó Intereses por $78,000. ¿Cuál fue la tasa de interés pactada? Solución: Datos:
𝑃 = 650,000 𝐼 = 78,000 𝑛 = 5 𝑎ñ𝑜𝑠
Con la fórmula de interés simple tenemos que: 𝑖=
𝐼 𝑛𝑃 -5-
Interés Simple
Sustituyendo. 𝑖=
78 000 3 × 650 000
Entonces 𝑖 = 0.04 = 4% Ejemplo 8. Determine el Capital Inicial. El señor Martínez quiere invertir en un fondo de ahorro que paga 11% de interés simple de tal manera que genere $100,000 por concepto de intereses en 5 años. ¿Cuánto deberá invertir ahora para tener la cantidad requerida? Solución: Datos:
𝐼 = 100,000 𝑖 = 0.11 𝑛 = 5 𝑎ñ𝑜𝑠
Con la fórmula de interés simple 𝑃=
𝐼 𝑖𝑛
Sustituyendo, tenemos que 𝑃=
100 000 0.11 × (5)
Lo que nos da una cantidad inicial de: 𝑃 = $142,857.14
1.4.1 Interés con tiempo fraccionado Muchas veces se da el caso en que la tasa de interés es presentada por un tiempo mayor al tiempo de la inversión, por ejemplo un préstamo por seis meses con una tasa anual, en problemas de interés simple lo que se hace es multiplicar al interés por la fracción de tiempo de la que se está hablando, por ejemplo un préstamo de $100 con una tasa de interés del 10% anual generará intereses por $5 en medio año. Ejemplo 9. Determine los intereses generados
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Interés Simple
Un hombre pide un préstamo por $95,000 con una tasa de interés (simple) anual de 17%, si el hombre liquida el préstamo al final del primer cuatrimestre, ¿Cuánto pagará por concepto de intereses? Solución: Datos:
𝑃 = $95,000 𝑖 = 17%
𝑛 = 4 (𝑎ñ𝑜𝑠)
1
El monto de los intereses será: 𝐼 = 𝑃 × 𝑛 × 𝑖 = 95 000
1 4
0.17 = $4,037.50
1.5 Deducción de la formula de monto y despeje de las literales. En matemáticas Financieras, estamos interesados no solamente en encontrar cuál será la cantidad de intereses ganados por un fondo, sino también la suma total de Capital inicial + intereses ganados, a esta suma se le llama monto. Al monto también lo podemos interpretar como el “Valor Futuro” de una inversión, por ejemplo si invertimos $100 a una tasa del 10% anual, el valor futuro (o monto) de esta cantidad en un año será de $110.
Para calcular el monto de la inversión: 𝑀 = 𝑃+𝐼 Como 𝐼 = 𝑛𝑃𝑖; entonces podemos sustituir 𝐼 en la ecuación anterior 𝑀 = 𝑃 + 𝐼 = 𝑃 + 𝑛𝑃𝑖 Al factorizar 𝑃 queda: 𝑀 = 𝑃 1 + 𝑛𝑖
Para calcular 𝑃, podemos despejar de la ecuación anterior 𝑀 𝑃= 1 + 𝑛𝑖
Si queremos calcular el tiempo 𝑛
𝑛=
𝑀 1 − 𝑃𝑖 𝑖
𝑖=
𝑀 1 − 𝑃𝑛 𝑛
Para calcular la tasa 𝑖 tenemos:
-7-
Interés Simple
Al igual que en el caso de los intereses, no hay que olvidar que, en caso de que la tasa de interés esté al tanto por ciento, hay que dividirla entre cien para que quede una proporción de tanto por uno. Ejemplo 10. Determine el monto de la inversión. Se invierte la cantidad de $120,000 en un fondo que paga una tasa de 17.5% (interés simple) anual. ¿A cuánto asciende la suma en el fondo después de tres años? Solución: Datos: 𝑃 = $120,000 𝑖 = 17.5% 𝑛 = 3 (𝑎ñ𝑜𝑠) Lo que necesitamos calcular es el monto después de tres años, sustituimos en la ecuación del monto: 𝑀 = 120 000 1 + 3 × 0.175 𝑀 = $183,000 Podemos ver el ejemplo anterior mediante la siguiente gráfica:
Monto i=17.5 %
M=I+C=$183,000
P=$120,000 1 año
2 años
3 años
Ejemplo 11. Determine el monto de la inversión. ¿Qué monto habrá que cubrir si se pide un préstamo por $437,000 a una tasa del 22% si se paga dentro de 4 años? Solución: Datos:
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Interés Simple
𝑃 = $437,000 𝑖 = 22% 𝑛 = 4 (𝑎ñ𝑜𝑠)
Hay que calcular el monto: 𝑀 = 437 000 1 + 4 × 0.22 𝑀 = $821,560
Ejemplo 12. Determine el capital inicial. Una empresa emite un bono al principio de este año que pagará dividendos por $100 al final del primer semestre, además al final del año el bono redimirá en $1,200. Si considera una tasa de interés del 7% semestral, ¿Cuál es el precio “justo” a fijar para el bono? Solución: Para calcular el valor teórico actual de este bono, debemos tomar en cuenta tanto los intereses que pagará a mediados de año como el valor de redención (los $1,200). Entonces vamos a llamar 𝑃1 al capital inicial correspondiente a los dividendos que paga el bono y 𝑃2 al capital inicial correspondiente al valor de redención del bono; así la suma 𝑃1 + 𝑃2 será el precio actual del bono (ver ilustración)
P2 P1
P=P1 + P2
$100
$1,200
1 semestre
1 año
Ahora, al calcular 𝑃1 estaremos calculando el “capital inicial” de una inversión de $100 durante un semestre con un interés del 7%. 𝑃1 =
𝑀 100 = = 93.4579 1 + 𝑛𝑖 1 + 1 × 0.07
De la misma manera, al calcular 𝑃2 estaremos calculando el capital inicial de una inversión de dos semestres cuyo monto final será de $1,200. Con un interés del 7% semestral (2 semestres=1 año).
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Interés Simple
𝑃2 =
𝑀 1 200 = = 1 062.6315 1 + 𝑛𝑖 1 + 2 × 0.07
Por lo tanto el precio “justo” del bono será de: 𝑃 = 𝑃1 + 𝑃2 = 93.4579 + 1 062.6315 = $1,146.08 Ejemplo 13. Calcule el tiempo de la inversión Una persona invierte en un fondo la cantidad de $300,000 en un fondo que paga el 15% de interés simple, ¿Cuánto tiempo deberá estar invertido el dinero para que cuando la persona lo retire tenga $480,000? Solución: Para resolver el problema debemos calcular el tiempo (𝑛) a partir del capital inicial (𝑃 = $300,000), el monto (𝑀 = $480,000), y la tasa de interés (𝑖 = 15%). De las fórmulas anteriores, sabemos que 𝑛=
𝑃 1 300 000 1 − = − 𝑀𝑖 𝑖 480 000 × 0.15 0.15
Entonces el tiempo que el dinero deberá estar invertido es: 𝑛 = 4 𝑎ñ𝑜𝑠
Ejemplo 14. Determine la tasa de interés simple. Un banco administra un fondo de retiro, al principio del año tenía $1,200,000 y después de dos años ascendió a $1,500,000. ¿Cuál fue la tasa de interés simple anual que rindió el fondo de inversión? Solución: Vamos a calcular la tasa de interés con los datos: Capital inicial ($1,200,000) Monto ($1,500,000) y tiempo (2 años). 𝑖=
𝑀 1 1 500 000 1 − = − 𝑃𝑛 𝑛 1 200 000 × 2 2
Entonces el rendimiento anual del fondo es de: 𝑖 = 0.125 = 12.5%
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Interés Simple
1.6 Casos prácticos. 1.6.1 Préstamos Prendarios. Una persona acude al Monte de Piedad a empeñar una computadora, para lo cual la persona presenta la máquina y la factura de la misma. El valuador examina el aparato y le ofrece un préstamo de $10,200 que es aceptado por el pignorante. Si el monte de piedad cobra un 3.5% de interés mensual sobre el préstamo, ¿Cuánto deberá pagar la persona para recuperar su computadora al cabo de 120 días? Solución: Este es un caso muy común de interés simple, los datos que el problema suministra son: tasa de interés, tiempo, y capital inicial, estamos interesados en conocer el monto.
𝑃 = $10,200 𝑖 = 3.5% (𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙) 𝑛 = 120 𝑑í𝑎𝑠 = 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
Ahora, con la fórmula de monto sabemos que: 𝑀 = 𝑃 1 + 𝑛𝑖 = 10 200 × 1 + 4 × 0.035 Entonces 𝑀 = $11,628
Actividad: Investiga en que otros instrumentos financieros se utiliza la tasa de interés simple y elabora un reporte con sus características.
-11-
Descuento simple.
Capítulo 2 Descuento simple. 2.1 Definición. En el capítulo 3 estudiamos un tipo de operaciones financieras en las que los intereses por una deuda se pagan al final del periodo transcurrido, es decir, se consigue un préstamo y al final del periodo pactado se pagará la cantidad del préstamo mas los intereses. En este capítulo vamos a estudiar lo que llamamos descuento simple, que es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias y consiste en que estas adquieren letras de cambio o pagares, de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha de vencimiento. Con esto se anticipa el valor actual del documento. Para que los desarrollos matemáticos de este capítulo cobren sentido tenemos que definir los siguientes conceptos:
Valor nominal: El valor nominal es el que se deberá pagarse en la fecha de vencimiento que señala el pagaré o letra de cambio.
Descontar un pagaré: es la acción de pagar una suma de dinero a cambio de recibir una cantidad mayor (v. nominal) en el futuro. Un pagaré puede ser comerciado (vendido o comprado) cualquier número de veces antes de la fecha de vencimiento de éste, a la operación de comerciar con el pagaré se le llama redescuento.
Descuento: Es la diferencia entre el valor nominal pactado y el valor actual que se paga a cambio del pagaré o letra de cambio.
Valor efectivo: es el valor nominal menos el descuento aplicado al pagaré.
Tasa de descuento: es la razón entre el descuento y el valor nominal del pagaré, al igual que el interés simple, puede ser expresado en tanto por cien (porcentaje) o tanto por uno.
Plazo: es el tiempo que transcurre entre la fecha que se adquirió el pagaré y la fecha pactada en la que se pagará el valor nominal.
En las operaciones matemáticas utilizaremos la nomenclatura: Concepto Valor Nominal Descuento Tasa de descuento Plazo (tiempo)
Notación 𝑉𝑛 𝐷 𝑑 𝑛 -12-
Descuento simple.
𝑉𝑒
Valor efectivo (actual)
2.2 Deducción de la formula y despeje de las literales. Si se adquiere un pagaré con valor nominal 𝑉𝑛 con una tasa de descuento 𝑑 que se vence dentro de 𝑛 periodos, entonces el descuento 𝐷 que se aplica al pagaré será de: 𝐷 = 𝑉𝑛 × 𝑛 × 𝑑 Al igual que en el caso de interés simple si el pagaré está valuado a una tas representada en porcentaje, entonces tendremos que dividir entre cien, por ejemplo un pagaré con valor nominal 𝑉𝑛 con una tasa de descuento 𝑑2 (en porcentaje) que se vence dentro de 𝑛 periodos, entonces el descuento 𝐷 que se aplica al pagaré será de: 𝐷 = 𝑉𝑛 × 𝑛 ×
𝑑2 100
Ahora, si que remos calcular el valor nominal del pagaré en función de las otras variables: 𝐷 𝑉𝑛 = 𝑛𝑑 Para calcular el plazo del pagaré: 𝐷 𝑛= 𝑑𝑉𝑛 Para calcular la tasa de descuento: 𝑑=
𝐷 𝑛𝑉𝑛
Gráficamente el comportamiento de la operación financiera de descuento se vería: $$
t0
t1
t2
t3
Valor Nominal
Descuento
Valor Efectivo Ve
Tiempo
Ejemplo 1. Determine el descuento Un pagaré por valor de $80,300 vence dentro de 1 año. Se descuenta al 15%. Calcular el valor descontado.
-13-
Descuento simple.
Solución: Datos:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = $80,300 𝑃𝑙𝑎𝑧𝑜 = 1 𝑎ñ𝑜 𝑑 = 15%
Sustituimos en la fórmula: 𝐷 = 𝑉𝑛 × 𝑛 × 𝑑 = 80 300 × 1 × 0.15 = 12 045 Entonces el descuento aplicado al pagaré es de $12,045.
Ejemplo 2. Determine el valor nominal. Una persona vende un pagaré por $240,000 que vence en 5 meses a una tasa de descuento del 14.5% anual. ¿Cuál es el descuento aplicable al pagaré? Solución: Datos:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = $240,000
𝑃𝑙𝑎𝑧𝑜 = 5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12 𝑎ñ𝑜𝑠
𝑑 = 14.5%
5
Al sustituir en la fórmula queda: 𝐷 = 𝑉𝑛 × 𝑛 × 𝑑 = 240 00 ×
5 × 0.145 = 14 500 12
Ejemplo 3. Determine la tasa Calcular la tasa de descuento anual de una letra cuyo valor nominal es $2,000, que vence dentro de dos meses y que se pagaron $1,900. Solución: Datos:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = $2,000 -14-
Descuento simple.
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 = $1,900
𝑃𝑙𝑎𝑧𝑜 = 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 6 𝑎ñ𝑜𝑠
1
Para sustituir en la fórmula debemos tomar en cuenta que el Descuento es el valor nominal menos el valor actual: 𝑑=
𝐷 100 = = 0.3 𝑛𝑉𝑛 1 × 2 000 6
Y por lo tanto la tasa de descuento simple anual es: 𝑑 = 30%.
Ejemplo 4. Determine el valor nominal Sabemos que a una letra que vencía a los tres meses le descontaron $35 al aplicar el 9 % de descuento simple comercial anual. ¿Cuál fue el valor nominal? Solución: Datos:
𝐷𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 = $35 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 = 9%
𝑃𝑙𝑎𝑧𝑜 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 4 𝑎ñ𝑜𝑠
1
Con la fórmula de descuento simple, sabemos que: 𝑉𝑛 =
𝐷 35 = 𝑛𝑑 1 × 0.09 4
Entonces el valor nominal de la letra es de $1,555.55
Ejemplo 5. Determinar el plazo del pagaré. ¿Cuánto duró una operación de descuento si sabemos que el descuento simple era del 10% anual y que se descontaron $2,500 a un valor nominal de $20,000? Solución: Datos:
𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 = 10% -15-
Descuento simple.
𝐷𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 = $2,500 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = $20,000
De la fórmula de descuento simple sabemos: 𝑛=
𝐷 2 500 = = 1.25 𝑑𝑉𝑛 0.1 20 000
Entonces el plazo del pagaré fue de 1.25 años=1 año y un trimestre.
2.3 Deducción de la formula de valor efectivo y despeje de las literales. Como se mencionó al principio del capítulo, el valor efectivo del pagaré es el valor que tiene la letra en el momento inicial del plazo, y corresponde al valor nominal menos el descuento aplicado al pagaré. Con esta diferencia podemos calcular el valor efectivo: 𝑉𝑒 = 𝑉𝑛 − 𝐷 Y sustituyendo a 𝐷 con la fórmula de descuento que ya habíamos calculado. 𝑉𝑒 = 𝑉𝑛 − 𝐷 = 𝑉𝑛 − 𝑉𝑛 𝑛𝑑 = 𝑉𝑛 1 − 𝑛𝑑
Entonces, el valor efectivo queda 𝑉𝑒 = 𝑉𝑛 1 − 𝑛𝑑
Para calcular el valor nominal a partir de las otras variables: 𝑉𝑛 =
𝑉𝑒 = 𝑉𝑒 1 − 𝑛𝑑 1 − 𝑛𝑑
−1
Si necesitamos calcular la tasa de descuento, tenemos que: 𝑑=
1 𝑉𝑒 1− 𝑛 𝑉𝑛
𝑛=
1 𝑉𝑒 1− 𝑑 𝑉𝑛
Para calcular el plazo de la letra:
Ejemplo 6. Determine el valor efectivo.
-16-
Descuento simple.
Una hipoteca tiene un valor de $1,200 al vencimiento. Determine el valor de la hipoteca 8 meses antes del vencimiento suponiendo que el banco ofrece una tasa de descuento simple anual de 5.7%. Solución: Datos:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = $1,200,000
𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 = 8 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 =
𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 = 5.7%
8 12
𝑎ñ𝑜𝑠
Tenemos que calcular el valor efectivo de la hipoteca. 𝑉𝑒 = 𝑉𝑛 1 − 𝑛𝑑 = 1 200,000 × 1 −
8 0.057 12
Entonces el valor efectivo de la hipoteca es: 𝑉𝑒 = $1,154,400 Ejemplo 7. Determine el valor nominal. Una persona necesita ahora $10,000. La persona va a firmar un pagaré por un plazo de seis meses con una tasa de descuento del 13% anual. ¿Qué valor nominal deberá tener el pagaré, para disponer ahora de $10,000? Solución: Datos:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = $10,000
𝑃𝑙𝑎𝑧𝑜 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 =
𝑑 = 13%
1 2
𝑎ñ𝑜
Al sustituir en la fórmula queda: 𝑉𝑛 = 𝑉𝑒 1 − 𝑛𝑑
−1
1 = 10 000 × 1 − × 0.13 2
−1
Entonces el valor nominal del pagaré será de: 𝑉𝑛 = $10,695.18 Ejemplo 8. Determinar la tasa de descuento.
-17-
Descuento simple.
Se sabe que al firmar un pagaré por $25,000 el señor Rojas recibió una suma de $23,950. Si el pagaré vence dentro de un año y medio, ¿Cuál será la tasa de descuento simple anual que esta cobrando el banco? Solución: Datos:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = $23,950 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = $25,000 𝑃𝑙𝑎𝑧𝑜 = 1.5 𝑎ñ𝑜𝑠
Debemos encontrar la tasa de descuento simple: 𝑑=
1 𝑉𝑒 1 23 950 1− = 1− 𝑛 𝑉𝑛 1.5 25 000
Entonces la tasa de descuento anual simple es: 𝑑 = 0.028 = 2.8%
Ejemplo 9. Determinar el plazo. Una persona acuerda recibir $5,000 en este momento a cambio de pagar $5,952.38 en el futuro, si se considera un interés del 8%, ¿En cuánto tiempo deberá pagar la suma? Solución: Datos:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = $5,952.38 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 = $5,000 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑜 = 8%
Para calcular el tiempo usamos la fórmula: 𝑛=
1 5 000 1− 0.08 5 952.38
Entonces, el plazo del pagaré es de dos años.
-18-
Descuento simple.
2.3.1 Relación entre tasa de interés y tasa de descuento Como el lector ya lo habrá notado, existe una relación directa entre la tasa de interés y la tasa de descuento simple. Algunos autores llaman “interés racional” a la tasa de interés equivalente a una tasa de descuento, que también se le llama “descuento comercial”. Desde el punto de vista de un banco, cuando una persona firma un pagaré, la institución está invirtiendo el valor efectivo del pagaré, que en teoría de interés simple este valor nominal sería el Capital inicial (𝑃). Entonces, para un periodo, tenemos las dos ecuaciones: 𝑉𝑒 = 𝑉𝑛 1 − 𝑑 𝑃=
𝑀 1+𝑖
Podemos igualar las ecuaciones ya que se trata del mismo valor. 𝑀 = 𝑉𝑛 1 − 𝑑 1+𝑖 Por medio de un despeje tenemos que: 𝑀 = 1−𝑑 1+𝑖 𝑉𝑛 Así como el valor efectivo es igual al capital inicial, también el monto de la inversión es igual al valor nominal del pagaré, entonces el cociente
𝑀 𝑉𝑛
es igual a uno, entonces podemos sustituir en la
ecuación anterior. 1= 1−𝑑 1+𝑖 Despejando 𝑖 de la ecuación anterior podemos ver que: 𝑖 = 1−𝑑
−1
−1
Y por lo tanto para calcular la “tasa de interés racional” solo sustituimos la tasa de descuento comercial en la fórmula anterior. Análogamente podemos despejar la variable 𝑑 para obtener la tasa de descuento en función de la tasa de interés. 𝑑 =1− 1+𝑖
−1
-19-
Descuento simple.
Ejemplo 10. Encuentre la “Tasa de interés Racional” Una institución financiera otorga un préstamo de $9,500 a una persona a cambio de un pagaré por $11,000 con vencimiento a dos años. Calcule primero la tasa de descuento anual del préstamo, luego calcule la tasa de interés equivalente a dicha tasa de descuento. Solución: Para encontrar la tasa de descuento sustituimos en la fórmula: 𝑑= 𝑑=
1 𝑉𝑒 1− 𝑛 𝑉𝑛
1 9 500 1− = 0.0681 = 6.81% 2 11 000
Entonces la tasa de descuento simple anual será de 6.81% Para calcular la tasa de interés equivalente (interés racional) sustituimos en la ecuación: 𝑖 = 1−𝑑
−1
𝑖 = 1 − 0.0681
−1 −1
−1
𝑖 = 0.0731 = 7.31%
-20-
Descuento simple.
2.4 Casos prácticos. 2.4.1 Pagaré Bancario La mayoría de los banco ofrecen alguna clase de inversión en pagarés porque mientras llega la fecha de vencimiento de éste, el banco tiene la oportunidad de disponer del dinero para otras inversiones. El siguiente es un ejemplo de cotización de un pagaré:
Por razones prácticas, los pagarés en este banco se calculan en base al valor efectivo (líquido) y no en base al interés nominal, entonces el banco pregunta:” ¿Cuánto vas a invertir?” Para calcular el monto (Valor nominal) del pagaré. Sin contar los impuestos que se pagan por concepto de ganancia de intereses, ¿Cuál será el valor nominal del pagaré?, Calcula la tasa de interés simple (anual) del pagaré tomando en cuenta que los intereses ganados que marca la cotización son por un periodo de 28 días. Ya sabemos que el valor nominal del pagaré es la suma del valor efectivo + intereses, entonces el valor nominal del pagaré es de: 𝑉𝑛 = $100,289.33 𝑖=
360 289.33 = 0.0372 28 100 000
Entonces la tasa de interés aplicable a este pagaré es de 3.72%; ¿Cuál será la tasa de descuento en el pagaré?, para calcularla utilizamos la fórmula: 𝑑 =1− 1+𝑖
−1
𝑑 = 1 − 1 + 0.0372
−1
𝑑 = 0.03586 -21-
Descuento simple.
Entonces, la tasa de descuento es de 3.58% Este mismo banco, tiene la promoción de que, si conservas el pagaré no uno sino seis meses, entonces pagará un bono de cuatro meses mas de rendimiento, como lo explica la cotización:
Bajo estas nuevas circunstancias, ¿cuál es la tasa anual de rendimiento del pagaré? Recordemos que para estos cálculos no tomamos en cuenta a los impuestos; el valor nominal a los seis meses será el rendimiento de los seis meses + el bono del rendimiento por los cuatro meses; es decir: 𝑉𝑛 = 100 000 + 100 000
30 × 6 30 × 4 𝑖 + 100 000 𝑖 360 360
Donde 𝑖 es el interés simple anual que ya habíamos calculado 𝑖 = 3.72%; entonces… 𝑉𝑛 = 100 000 + 1 860 + 1 240 = 103 100 Para calcular el interés usamos: 12 3 100 = 0.062 6 100 000
𝑖′ =
Entonces, la tasa de interés con la nueva promoción es de: 6.2% Y la correspondiente tasa de descuento del pagaré será de: 𝑑′ = 1 − 1 + 𝑖′
−1
𝑑′ = 0.0583 = 5.83% Evidentemente es un descuento mayor.
-22-
Interés Compuesto.
Capítulo 3 Interés Compuesto. En este capítulo vamos a estudiar como se realizar cálculos financieros con una característica que llamamos “Capitalización compuesta” (interés compuesto), muy diferente al interés simple, para tener una buena compresión de los fundamentos matemáticos de dichos cálculos, primero vamos a examinar temas relacionados con propiedades de logaritmos y detalles de cálculos relacionados con progresiones geométricas, indispensables para entender la teoría de interés compuesto.
3.1 Logaritmos. En matemáticas llamamos logaritmo de un número a la potencia (o exponente) que debemos elevar un número fijo (base) para obtener el número deseado. En otras palabras, el logaritmo es la función inversa de la función exponencial, si 𝑥 = 𝑏𝑎 Entonces log 𝑏 𝑥 = 𝑎 Y se lee “a es el logaritmo de x en base b”. Cualquier número real diferente de cero (0) y uno (1) puede ser la base de un sistema de logaritmos, sin embargo, la mayor parte de las veces usamos el sistema de logaritmos en base al número e=2.7182818… o en base al número diez (10). Cuando usamos logaritmos en base al número diez, se llama sistema de logaritmos decimal o de Briggs, en honor a su creador, y se escribe: log10 𝑥 O para simplificar la notación podemos escribir: log 𝑥 Por ejemplo, sabemos que 100 = 1 ⇒ log10 1 = 0; también sabemos que 101 = 10 ⇒ log10 10 = 1; entonces podemos decir que el logaritmo de cinco en base diez está entre cero y uno. 100 101 102 103 104
=1 = 10 = 100 = 1000 = 10000
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
log10 1 = 0 log10 10 = 1 log10 100 = 2 log10 1000 = 3 log10 10000 = 4
Al sistema de logaritmos en base al número de Euler (e=2.7182818…) se le conoce también como sistema de logaritmos naturales (o neperianos), la importancia de este sistema de logaritmos está -23-
Interés Compuesto.
en que la función logaritmo natural es la derivada de la función 𝑓 𝑥 = logaritmo natural es la función inversa de 𝑔 𝑥 = 𝑒 𝑥 .
1 𝑥
además la función
3.1.1 Propiedades de los logaritmos. 1. Dos números distintos tienen distintos logaritmos: Si 𝑥 ≠ 𝑦 entonces log 𝑏 𝑥 ≠ log 𝑏 𝑦 2. El logaritmo de la base es uno. log 𝑏 𝑏 = 1 3. El logaritmo de uno es cero para cualquier base. log 𝑏 1 = 0 4. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. log 𝑏 𝑥 ∙ 𝑦 = log 𝑏 𝑥 + log 𝑏 𝑦 5. El logaritmo de un cociente es el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. log 𝑏
𝑥 𝑦
= log 𝑏 𝑥 − log 𝑏 𝑦
6. El logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base de la potencia. log 𝑏 𝑥 𝑎 = 𝑎 ∙ log 𝑏 𝑥 7. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice. log 𝑏
𝑛
𝑥 =
log 𝑏 𝑥 𝑛 f(x)=log(X)
8. Cambio de base: el logaritmo en una base se puede representar a partir del cociente de logaritmos en otra base, de la siguiente manera: log 𝑥
log 𝑏 𝑥 = log 𝑐 𝑏 𝑐
y 0.8
0.6
0.4
0.2
x -0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
Gráfica de la función logaritmo natural. -24-
Interés Compuesto.
Ejemplo 1. Logaritmos Determine el valor de x. a) log 8 64 = 𝑥 1
b) log 𝑥 3 = 2 c) log 9 𝑥 = 3 Solución: a) log 8 64 = 𝑥 Dado que 82 = 64 entonces log 8 64 = 𝑥 1
b) log 𝑥 3 = 2 1
Como 92 = 3 entonces 1
log 9 3 = 2 c) log 9 𝑥 = 2 Si 92 = 81 entonces log 9 81 = 2 Ejemplo 2. Aplique propiedades de logaritmos Exprese las siguientes expresiones en términos de logaritmos de x, y, z. a) 𝑙𝑜𝑔𝑏
𝑥𝑦 𝑧 𝑦2 𝑥𝑧
b) 𝑙𝑜𝑔𝑏 c) 𝑙𝑜𝑔𝑏
3
𝑥2 + 𝑦2
Solución: a) 𝑙𝑜𝑔𝑏
𝑥𝑦 𝑧
𝑦2 𝑥𝑧
b) 𝑙𝑜𝑔𝑏 c) 𝑙𝑜𝑔𝑏
= 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥𝑦 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑧 = 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙 + 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒚 − 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒛
3
𝑦2
= 12 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥𝑧 = 12 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦 2 − 12 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥𝑧 = 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒚 − 𝟏𝟐 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙 + 𝟏𝟐 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒛
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝟏𝟑𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
*Se recomienda al lector hacer los ejercicios correspondientes a logaritmos al final del capítulo.
3.2 Progresiones Geométricas. En matemáticas llamamos sucesión geométrica (o progresión geométrica) a un conjunto de números ordenados, donde cada uno de los números se obtiene de multiplicar al número anterior por una constante fija a la que llamamos razón de la progresión.
-25-
Interés Compuesto.
Por ejemplo la secuencia de números: 1,2,4,8,… es una progresión geométrica, la razón de esta progresión es 2 ya que 1 × 𝟐 = 2, 2 × 𝟐 = 4, 4 × 𝟐 = 8, … y así sucesivamente. Para que una progresión geométrica quede completamente determinada debemos conocer el término inicial de la progresión y la razón, por ejemplo en el caso anterior tenemos que el término inicial es uno (1) y la razón es dos (2) así podemos conocer todos los términos de la progresión. Ejemplos de progresiones geométricas
5, 10, 20, 40… es un ejemplo de progresión geométrica con término inicial 5 y razón 2. La razón de una progresión geométrica no necesariamente es un número entero, por 1 1 3 6
1 3
ejemplo: 27, 9, 3, , … es una progresión geométrica con término inicial 27 y razón .
Además, la razón de una progresión geométrica también puede ser negativa: La progresión 3, -6, 12, -24,… es una progresión geométrica con razón -2.
3.2.1 Formulas pertinentes para progresiones geométricas. Si sabemos que una progresión geométrica tiene los términos: 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 … Entonces podemos calcular la razón dela progresión con el cociente 𝑟=
𝑎𝑛 𝑎𝑛−1
Es decir, podemos tomar cualquier número de la progresión y dividirlo por el obtenemos la razón de la progresión. Dado que los términos de una progresión geométrica tienen la forma 𝑎1 , 𝑟𝑎1 , 𝑟 2 𝑎1 𝑟 3 𝑎1 , … Entonces para obtener el enésimo término de una progresión en base al primer término de la progresión queda: 𝑎𝑛 = 𝑟 𝑛−1 𝑎1 De la formula anterior se puede decir que podemos obtener cualquier término de la progresión si conocemos el primer término y la razón. Ejemplo 3. Determina la razón. Calcula la razón de cada una de las siguientes progresiones geométricas, y escribe los siguientes dos términos. a) 10,100,1000, … b) 3, 15,75, 375, … c) 1, 4, 16, 64, … -26-
Interés Compuesto.
Solución: a) Para poder obtener la razón, podemos dividir: 100 𝑟= = 10 10 La razón es igual al segundo entre el primer término. Para obtener el cuarto término: 𝑎4 = 𝑟 4−1 𝑎1 = 𝑟 3 10 = 103 10 = 10000 𝑎5 = 𝑟 5−1 𝑎1 = 𝑟 4 10 = 104 10 = 100000 b) Podemos tomar cualquier término y dividirlo por el anterior 375 𝑟= =5 75 Y para obtener los siguientes términos: 𝑎5 = 𝑟 5−1 𝑎1 = 𝑟 4 3 = 54 3 = 1875 𝑎6 = 𝑟 6−1 𝑎1 = 𝑟 5 3 = 55 3 = 9357 c) Podemos tomar cualquier término y dividirlo por el anterior 64 𝑟= =4 16 Y para obtener los siguientes términos: 𝑎5 = 𝑟 5−1 𝑎1 = 𝑟 4 1 = 44 1 = 256 𝑎6 = 𝑟 6−1 𝑎1 = 𝑟 5 1 = 45 1 = 1024
Ejemplo 4. Determine los elementos de la progresión. Una progresión geométrica tiene como primer elemento al número 7, y su tercer elemento es 112. Escribe los primeros cinco elementos de la progresión. Solución: Sabemos que el tercer elemento es 𝑎3 = 𝑟 2 𝑎1 = 𝑟 2 7 = 112 Para saber cual es la razón solo hay que despejar r de la ecuación: 𝑟 2 7 = 112; entonces: 𝑟=
112 = 16 = 4 7
Como ya sabemos el valor de la razón entonces para obtener los términos de la progresión solo tenemos que aplicar la fórmula: 𝑎𝑛 = 𝑟 𝑛 𝑎1
-27-
Interés Compuesto.
n 1 2 3 4 5
Fórmula 𝑎1 = 4 𝑎2 = 4 𝑎3 = 4 𝑎4 = 4 𝑎5 = 4
0 1 2 3 4
Término 7 7 7 7 7
7 28 112 448 1792
Se denomina 𝑆𝑛 a la suma de los primeros n términos de una progresión: 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛
… (1)
Podemos multiplicas ambos miembros de la ecuación por r. 𝑟𝑆𝑛 = 𝑟𝑎1 + 𝑟𝑎2 + 𝑟𝑎3 + ⋯ + 𝑟𝑎𝑛 Podemos escribir la ecuación anterior como: 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑛+1 Si a la ecuación anterior le restamos la ecuación uno, queda: 𝑟𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 = 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑛+1 − 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 Que simplificando, es: 𝑆𝑛 𝑟 − 1 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎1 El término 𝑎𝑛+1 lo podemos expresar como 𝑟 𝑛 𝑎1 , al sustituir, la ecuación queda: 𝑆𝑛 𝑟 − 1 = 𝑟 𝑛 𝑎1 − 𝑎1 Y factorizando 𝑎1 tenemos que: 𝑆𝑛 𝑟 − 1 = 𝑎1 𝑟 𝑛 − 1 Solo resta despejar 𝑆𝑛 de la ecuación anterior: 𝑆𝑛 =
𝑎1 𝑟 𝑛 − 1 𝑎1 1 − 𝑟 𝑛 = 𝑟−1 1−𝑟
Entonces, por ejemplo, si queremos saber la suma de los primeros cinco términos de una progresión de la que conocemos el término inicial y la razón, tendríamos que calcular el valor de: 𝑆5 =
𝑎1 𝑟 5 − 1 𝑟−1
Ejemplo 5. Determine la suma de la progresión.
-28-
Interés Compuesto.
Encuentra la suma de los primeros 6 elementos de la progresión: 3, 6, 12, 24,… Solución: Primero calculemos la razón de la progresión: 𝑟=
6 =2 3
Una vez calculada la razón, ya podemos sustituir en la fórmula de la suma de los primeros seis término de la progresión. 𝑆𝑛 =
𝑎1 1 − 𝑟 𝑛 1−𝑟
Donde:
n=6 r=2 𝑎1 = 3
Sustituyendo el la fórmula: 𝑆6 =
3 1− 2 1−2
6
=
−189 = 189 −1
Por lo tanto, la suma de los seis primeros términos de la progresión: 3, 6, 12, 24,… es 189.
Ejemplo 6. Determine la razón. La suma de los primeros siete términos de una progresión es 127. Se sabe que la razón es 0.5 ¿cuál el primer término de la progresión geométrica? Solución: Podemos sustituir estos datos en la ecuación: 𝑆𝑛 =
𝑎1 1 − 𝑟 𝑛 1−𝑟
Entonces: 127 =
𝑎1 1 − 0.5 1 − 0.5
7
Y despejando 𝑎1 tenemos que: -29-
Interés Compuesto.
𝑎1 =
127 0.5 = 64 1 − 0.5 7
Por lo tanto, bajo las condiciones anteriores, el primer término es 64. Ejemplo 7. Calcule la suma de la progresión Una progresión geométrica tiene como tercer elemento al número 81 y su sexto elemento es el número 3. Calcule la suma de los primeros siete elementos de la progresión. Solución: En primer lugar debemos encontrar la razón, para ello utilizamos la siguiente fórmula: 𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1 Aplicando esta fórmula al tercer y sexto elementos, tenemos los siguientes resultados: 𝑎3 = 𝑎1 𝑟 3−1 = 𝑎1 𝑟 2 𝑎6 = 𝑎1 𝑟 6−1 = 𝑎1 𝑟 5 Despejando 𝑎1 de ambas ecuaciones… 𝑎1 =
𝑎3 𝑟2
𝑎1 =
𝑎6 𝑟5
Ahora podemos igualar ambas ecuaciones: 𝑎3 𝑎6 = 𝑟2 𝑟5 Despejando r tenemos que: 𝑟3 =
𝑟=
3
𝑎6 𝑎3 𝑎6 𝑎3
Como ya conocemos los valores de 𝑎3 y 𝑎6 , entonces sustituimos… 𝑟=
3
3 = 81
3
1 1 = 27 3
Ahora podemos calcular el primer término de la progresión utilizando la ecuación: -30-
Interés Compuesto.
𝑎3 = 𝑎1 𝑟 2 = 𝑎1 9 Entonces 𝑎1 =
81 1
2
= 81 9 = 729
3
Ahora sí, ya que sabemos la razón y el primer término de la progresión, podemos aplicar la fórmula para calcular la suma de los primeros siete elementos de la progresión. 𝑆𝑛 =
𝑆7 =
𝑎1 1 − 𝑟 𝑛 1−𝑟 1 7 3
729 1 −
= 1 093
1 3
1−
Por lo tanto la suma de los primeros siete términos de dicha progresión es 1 093.
Supongamos que necesitamos calcular el valor de la suma infinita de todos los términos de una progresión geométrica, para ello es necesario calcular el siguiente límite: lim 𝑆𝑛
𝑛 →∞
Donde 𝑆𝑛 es la suma de los primeros n términos., entonces 𝑆∞ = lim 𝑆𝑛 = lim 𝑛→∞
𝑛→∞
Solo para el caso en que 𝑟 < 1 el valor de 𝑟 𝑛
𝑛→∞
𝑎1 1 − 𝑟 𝑛 1−𝑟 0, entonces para calcular la suma infinita de
términos de la sucesión, evaluamos: 𝑆∞ =
𝑎1 1−𝑟
Ejemplo 8. Determina el valor de la suma infinita. 1 1 1
Encuentre la suma de todos los términos (suma infinita) de la progresión: 1, 2 , 4 , 8 , … Solución: 1
Ya conocemos el valor del primer término de la sucesión (1), también conocemos la razón (2). Ahora como la razón está entre -1 y 1, entonces podemos conocer el valor de la suma infinita aplicando la fórmula de la suma infinita: -31-
Interés Compuesto.
𝑆∞ =
𝑎1 1 = =2 1 − 𝑟 1 − 0.5
Entonces la suma de todos los términos de dicha progresión es 2.
Ejemplo 9. Determina el valor de la suma infinita. Se dispara una bala desde el cañón de una pistola, la bala recorrió cien metros el primer segundo, suponga que al siguiente segundo recorre solo 80% de lo que recorrió en el primer segundo, al 3° segundo recorre 80% de lo que recorrió en el 2° segundo y así sucesivamente. ¿Cuál será la distancia total recorrida por la bala? Solución: Si sumamos la distancia que recorre la bala durante todos los segundos, tendremos la distancia total. La progresión que denota la distancia recorrida (en metros) en cada segundo es: 100, 80, 64, … Es decir, una progresión con término inicial 100 y razón 0.8 Como 0.8<1, entonces podemos aplicar la fórmula: 𝑆∞ =
𝑎1 100 = = 500 1 − 𝑟 1 − 0.8
Por lo tanto esta bala recorrió 500 mts. en total.
3.3 Definición de interés compuesto. En la práctica, la mayoría de las veces que usamos matemáticas financieras, utilizamos el tipo de interés compuesto. Cuando usamos el interés simple, el capital que genera los intereses se mantiene constante a través de todo el tiempo que dura la inversión, por otro lado con el interés compuesto, los intereses generados durante un periodo se convierten en un nuevo capital que se reinvierte para generar mas intereses. Antes de empezar con el interés compuesto, es importante señalar que cuando se refiera a las “capitalizaciones” esta indicando el numero de periodos que deben de ir en la misma frecuencia que el interés. Ahí es donde entre el papel de las tasas nominales y tasas proporcionales. Para llevar a cabo los desarrollos matemáticos, es conveniente tener en claro los siguientes conceptos:
-32-
Interés Compuesto.
Periodo de capitalización: Es el intervalo de tiempo convenido por ambas partes para capitalizar los intereses. Tasa de interés compuesto: Es la tasa de interés que rendirá la inversión por cada periodo de capitalización. Valor futuro de un capital a interés compuesto: Es el valor del capital final después de las sucesivas adiciones de intereses.
Ejemplo 10. Determine el monto de la inversión. Suponga que se deposita en una cuenta $120,000. El banco paga una tasa de interés compuesto del 8% capitalizable anualmente. ¿Cuál es la cantidad que tendrá el fondo después de 3 años? Solución: Vamos a desarrollar el problema a través de una tabla: Periodo 1 2 3
Cantidad al inicio del Intereses en el periodo. Cantidad al final del periodo. periodo $120,000 $9,600 $129,600 $126,600 $10,368 $139,998 $139,998 $11,197.44 $151,116.44
Entonces, al final de los tres años, el fondo tendrá la cantidad de $151,116.44.
3.4 Deducción de la formula de monto y despeje de sus literales. Si P es el capital inicial de una inversión, i es la tasa de interés por periodo de capitalización. Calcular el valor de la inversión al final de n periodos. Periodo 1 2 3 4 ⋮ n
Capital al principio del periodo 𝑃 𝑃 1+𝑖 𝑃 1+𝑖 2 𝑃 1+𝑖 3 ⋮ 𝑛 −1 𝑃 1+𝑖
Intereses en el Capital al final del periodo periodo 𝑃𝑖 𝑃 + 𝑃𝑖 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑃 1+𝑖 𝑖 𝑃 1+𝑖 +𝑃 1+𝑖 𝑖 = 𝑃 1+𝑖 2 2 𝑃 1+𝑖 𝑖 𝑃 1 + 𝑖 2 + 𝑃 1 + 𝑖 2𝑖 = 𝑃 1 + 𝑖 3 𝑃 1 + 𝑖 3𝑖 𝑃 1 + 𝑖 3 + 𝑃 1 + 𝑖 3𝑖 = 𝑃 1 + 𝑖 4 ⋮ ⋮ 𝑛−1 𝑛−1 𝑃 1+𝑖 𝑖 𝑃 1+𝑖 + 𝑃 1 + 𝑖 𝑛−1 𝑖 = 𝑃 1 + 𝑖
𝑛
Entonces, si 𝑉𝐹 es el valor final de la inversión (Monto o Valor Futuro) de una cantidad P a una tasa de interés compuesto i. 𝑉𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖
𝑛
-33-
Interés Compuesto. Cuando no se tenían calculadoras, el valor del factor 1 + 𝑖 𝑛 se obtenía usando tablas financieras en las que estaban tabulados los valores del factor en función de n y de i, o utilizando el binomio de Newton, ambos métodos eran bastante imprácticos, en la actualidad se usa una calculadora científica o calculadoras financiera, donde tenemos los resultados de manera instantánea.
Para calcular el valor del capital inicial de la inversión (o valor presente), en función de las otras variables, basta con despejar P de la siguiente manera: 𝑉𝐹 𝑃= 1+𝑖 𝑛
Si queremos calcular el tiempo de la inversión: Tenemos que despejar n de la ecuación: 𝑉𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛 Aplicando la función logaritmo natural en ambos miembros de la ecuación ln 𝑉𝐹 = ln 𝑃 1 + 𝑖
𝑛
ln 𝑉𝐹 = ln 𝑃 + ln 1 + 𝑖
𝑛
ln 𝑉𝐹 = ln 𝑃 + 𝑛 ln 1 + 𝑖 ln 𝑉𝐹 − ln 𝑃 = 𝑛 ln 1 + 𝑖 𝑉𝐹 ln 𝑃 ∴ 𝑛= ln 1 + 𝑖 Para evaluar el logaritmo natural podemos usar tablas de la función de logaritmo natural, o bien, para tener un cálculo mas preciso, podemos usar una calculadora científica o financiera.
Para calcular la tasa de interés, tenemos que despejar la variable i de la ecuación: 𝑉𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛 𝑉𝐹 = 1+𝑖 𝑛 𝑃 𝑛
𝑉𝐹 =1+𝑖 𝑃
∴ 𝑖=
𝑛
𝑉𝐹 −1 𝑃
Ejemplo 11. Determina el monto.
-34-
Interés Compuesto.
Se obtiene un préstamo bancario de $27,000 a una tasa de interés compuesto del 12% capitalizable anualmente que deberá pagarse en cuatro años, ¿cuál será el monto que deberá liquidarse al final del plazo del préstamo? Solución: Datos:
P=$27,000 i=12%=0.12 n=3 (años)
Aplicamos la fórmula para calcular el monto 𝑉𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖
𝑛
𝑉𝐹 = 27 000 1 + 0.12
4
𝑉𝐹 = $42,485.02 Será la cantidad que deberá liquidarse después de cuatro años.
Ejemplo 12. Determina el valor presente de la inversión. Una persona invierte en un negocio que promete redimir $400,000 al cabo de 6 años, si se toma en cuenta una tasa de interés compuesto del 7% anual, ¿Cuál es el valor presente de la inversión? Solución: Datos:
VF=$400,000 i=7%=0.07 n=6 (años)
Aplicamos la fórmula para calcular el valor presente (capital inicial) 𝑉𝐹 1+𝑖 𝑛 400 000 𝑃= 1 + 0.07 6 𝑃 = $266,536.89 𝑃=
Es el valor presente de dicha inversión.
-35-
Interés Compuesto.
Ejemplo 13. Determina el tiempo. El Sr. Sánchez dispone en este momento de $210,000 y necesita comprar una máquina para su empresa que cuesta $500,000 (el Sr. Sánchez sabe que el precio de la máquina se mantendrá invariante durante al menos la próxima década). El banco local le ofrece una cuenta de inversión que paga 15% de interés anual compuesto a plazos fijos de un año. El Sr. Sánchez decidió depositar su dinero en esa cuenta y retirarlo en el momento en que tenga al menos $500,000 para comprar la máquina que necesita. ¿Cuánto tiempo tendrá que esperar para poder comprar la máquina? Solución: Datos:
P=$210,000 i=12%=0.12 VF=$500,000
Aplicamos la fórmula para calcular el tiempo 𝑉𝐹 ln 𝑃 𝑛= ln 1 + 𝑖 500 000 210 000 𝑛= ln 1 + 0.15 ln
Con ayuda de la calculadora, podemos evaluar la expresión anterior 𝒏 = 𝟔. 𝟐𝟎𝟔𝟗 𝒂ñ𝒐𝒔 Ahora, por tratarse de una cuenta de inversión a plazo fijo, deberá retirar su dinero al final del sexto o séptimo periodo pero no en el 6.2069, entonces tiene que retirarlo al final del séptimo periodo, es decir, n=7. Y al año 7 retirará la cantidad de: 𝑉𝐹 = 𝑃 1 + 𝑖
𝑛
= 210 000 1 + 0.15
7
= $532,003.976
Ejemplo 14. Determina la tasa. Un banco invertirá $20,000,000 ahora para redimir en $45,500,000 al cabo de seis años. ¿Cuál será la tasa de interés compuesto que deberá pactar el banco para que la operación cumpla con los supuestos anteriores?
-36-
Interés Compuesto.
Solución: Datos:
Valor futuro VF=$45,500,000 Capital inicial P=$20,000,000 Tiempo n=6 (años).
Aplicamos la fórmula para encontrar el interés: 𝑖=
𝑛
𝑉𝐹 −1= 𝑃
6
45 000 000 − 1 = 14.47% 20 000 000
3.5 Tasas nominal, proporcional y equivalente. Una tasa de interés compuesta se puede comportar de distintos valores de acuerdo a los periodos de capitalización que se le asigne, por ejemplo una tasa anual de 10% capitalizable anualmente, se comportará de distinta manera que si fuera capitalizable semestralmente o mensualmente.
La tasa nominal es la que se pacta a una tasa de interés (generalmente anual) que rige durante el lapso que dure la operación.
Mientras que la tasa proporcional es la que se capitaliza de forma semestral, cuatrimestral, trimestral, bimestral, mensual, quincenal, semanal o diaria; dicha tasa resulta de dividir la tasa nominal entre las capitalizaciones que se harán durante un año (de ahí el nombre de proporcional).
Tasas equivalentes: Son aquellas que, correspondiendo a períodos de capitalización distintos, hacen adquirir a capitales iguales valores definitivos, también iguales, al cabo de un mismo tiempo.
Cabe señalar que algunos libros llaman “tasa efectiva” a la tasa de interés proporcional, ya que es lo que efectivamente paga el interés. Para calcular el monto con la tasa de interés nominal, pero capitalizable “m” veces por periodo quedaría: 𝑉𝐹 = 𝑃 1 +
𝑖 𝑚
𝑛𝑚
En el caso de que el periodo fuera anual, m toma los siguientes valores: Capitalización Anual Semestral
m 1 2 -37-
Interés Compuesto.
Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual quincenal Semanal Diaria
3 4 6 12 24 52 360
Ejemplo 15. Determine el monto. La Sra. Carrillo depositó en una cuenta la cantidad de $310,000 el banco paga una tasa de interés nominal compuesto de 17% capitalizable bimestralmente. La Sra. Carrillo planea retirar su dinero al cabo de 4 años. Identifique la tasa proporcional (efectiva) y calcule el monto de la inversión. Solución:
Capital inicial P=$20,000,000 Tiempo n=4 (años). Tasa de interés i= 17% (Tasa nominal)
Tasa de interés =
17% 12
= 1.416% (Tasa proporcional)
Utilizamos la fórmula para el interés compuesto: 𝑉𝐹 = 𝑃 1 +
𝑖 𝑚
𝑛𝑚
= 310 000 1 +
0.17 12
4 12
𝑉𝐹 = $608,989.27 Es la cantidad que la Sra. Carrillo retirará al final de los 4 años
Ejemplo 16. Determine el capital inicial. El Sr. Ramírez pretende tener $15,000 dentro de tres años invirtiendo en un fondo de inversión que paga una tasa de interés compuesto de 22% capitalizable semestralmente, Encuentre el monto que deberá depositar para tener dicha cantidad en tres años. Solución: Datos:
Valor Futuro (monto) VF=$15,000 Tasa de interés i=22% -38-
Interés Compuesto.
Capitalizable semestralmente m=2 Tiempo de la inversión n=3 (años)
Podemos despejar P de la siguiente ecuación. 𝑖 𝑉𝐹 = 𝑃 1 + 𝑚
𝑛𝑚
Y queda 𝑃=
𝑃=
𝑉𝐹 𝑖 1+𝑚
15 000 0.22 1+ 2
3(2)
𝑛𝑚
= $8,019.61
Ejemplo 17. Determine la tasa nominal. Una persona Invierte en un negocio la cantidad $178,400 el administrador del negocio promete que redimirá la cantidad de $350,000 después de dos años. Encuentre la tasa de interés nominal (anual) del convenio si se sabe que es capitalizable cuatrimestralmente. Solución: Datos
Capital inicial P=$178,400 Monto VF=$350,000 n=2 (años) m=3 (por que son cuatrimestres)
Podemos despejar i de la ecuación: 𝑉𝐹 = 𝑃 1 +
𝑖 𝑚
𝑛𝑚
Queda: 𝑖=
𝑛𝑚
𝑉𝐹 −1 𝑚 𝑃
Al sustituir en la fórmula…
-39-
Interés Compuesto.
2 3
𝑖=
350 000 − 1 3 = 0.3566 178 400
Entonces la tasa nominal de interés es de 35.66% capitalizable cuatrimestralmente.
Ejemplo 18. Determine la tasa equivalente. Un banco ofrece un producto financiero que paga el 13% de interés anual capitalizable bimestralmente. Calcule cual sería la tasa de si se expresa en términos de tasa de interés capitalizable trimestralmente. Solución: Sea la tasa de interés capitalizable trimestralmente que estamos buscando 𝑖′ y vamos a suponer que invertimos un peso en ambos casos (bimestral y trimestral) el valor futuro al final de un año, en ambos casos, debe ser el misma. 𝑖 𝑉𝐹 = 1 + 6
6
𝑖′ 𝑉𝐹 = 1 + 4
4
… … (𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒)
… … 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
Igualando ambas ecuaciones tenemos: 1+
𝑖 6
6
= 1+
𝑖′ 4
4
Sabemos que i es 0.13, sustituimos: 0.13 1+ 6
6
𝑖′ = 1+ 4
4
Y despejamos 𝑖′ 0.13 1+ 6
6 4
= 1+
𝑖′ 0.13 1+ = 1+ 4 6
𝑖′ 4 6 4
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Interés Compuesto.
𝑖′ 0.13 = 1+ 4 6 𝑖′ = 4 ∙
6 4
0.13 1+ 6
−1 6 4
−1
Al evaluar la expresión queda: 𝑖 ′ = 0.130701 Aunque es poca la diferencia, es importante señalar que mientras mas veces al año se capitaliza la suma de dinero, mayor será el rendimiento de la inversión. En general, si tenemos una tasa de interés nominal 𝑖, capitalizable 𝑚 veces al año, entonces la tasa de interés equivalente (𝑖′) capitalizable 𝑘 veces al año, puede ser calculada de la siguiente manera: ′
𝑖 =𝑘
𝑖 1+ 𝑚
𝑚 𝑘
−1
-41-
