INTERES COMPUESTO
Definición “El interés compuesto se caracteriza porque el interés generado en un período de tiempo ,siempre que no se retire, se suma al capital y este nuevo valor vuelve a ganar intereses y se acumula al nuevo capital. Y así sucesivamente tanta veces como períodos de capitalización se hayan establecido. En este método, se dice que los intereses se capitalizan.”
2
COMPARACION CON EL INTERES SIMPLE Ejemplo •
Calcular el Monto a interés simple y el interés compuesto de un capital de $ 4.000.000 invertido a una tasa de interés del 10% durante 6 períodos.
a) Interés simple. I= Cit = 4.000.000 (0,10) (6) = $ 2.400.000 M = C (1+it) = 4.000.000 [1 + 0,10(6)] = $ 6.400.000.-
3
b) Interés compuesto •
Para el primer período
M= 4.000.000 [1 + 0,10(1)] = $ 4.400.000
•
Para el segundo período M = 4.400.000 [1 + 0,10(2)] = $ 4.840.000.
•
Para el tercer período
M = 4.840.000 [1 +0,10(3)] = $ 5.324.000.
•
Para el cuarto período
M = 5.324.000 [1 + 0,10(4)] = $ 5.856.400.
•
Para el quinto período
M = 5.856.400 [1 + 0,10(5)] = $ 6.442.040.
•
Para el sexto período
M = 6.442.040 [1 + 0,10(6)] = $ 7.086.244.-
4
Note la diferencia: • •
El Monto final a Interés simple = $ 6.400.000. El Monto final a Interés Compuesto = $ 7.086.244. CONCLUSIONES: El interés simple es constante durante todo el período El interés compuesto es creciente a través del tiempo porque los interese se van capitalizando a través del tiempo
Mientras más períodos se capitalice, mayor será la diferencia entre el IS y el IC
5
VARIABLES DEL INTERES COMPUESTO
•
Período de capitalización = n: es el espacio de tiempo en el que el interés se adiciona o acumula al capital. Este período puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, etc.
•
Tasa de interés = i: es la tasa de capitalización del período que puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, diaria, etc.
6
Ejemplo: •
Calcular el número de períodos de capitalización y la tasa de interés por período de capitalización de un capital invertido a interés compuesto durante 7 años, a una tasa de interés de 15% anual capitalizable semestralmente.
•
t = 7 años
•
Entonces:
•
n= número total de meses / número de meses del período de capitalización
•
n = 7(12)/6 = 14 semestres
7
•
i= tasa anual/ numero de capitalizaciones al año= tasa anual /m en donde
•
m= 360 / Nº de días del período = 360/ 180 = 2
•
i = 0,15 anual / 2 (semestres) = 0,075 = 7,5% semestral
8
Ejemplo: •
Calcular el número de períodos de capitalización(n) y la tasa de interés por período de capitalización (i) de un capital colocado a interés compuesto durante 5 años, a una tasa de interés anual del 15%, capitalizable trimestralmente
•
t = 5 años
•
i= 15%
•
n= 5 (12/3) = 20 trimestres
•
m= 360 / 90 = 4 significa que se capitaliza 4 veces al año.
•
I = 0,15/ 4 (trimestres) = 0,0375 = 3,75% trimestral
9
FORMULA DEL MONTO A INTERES COMPUESTO •
El Monto (M) de un capital invertido a interés compuesto, o monto compuesto, es el valor del capital final, o capital acumulado, después de sucesivas adiciones de los intereses.
IC = MC – C En donde • • •
IC = interés compuesto MC= Monto Compuesto C= Capital original
10
Ejemplo: •
Calcular el monto (M) a interés compuesto de un capital de $ 100.000 a 4 años plazo invertidos a una tasa del 12% anual.
•
Si tenemos que I = Cit
• • •
Primer año: I = 100.000(0,12) (1) = $ 12.000. M= 100.000 + 12.000 = $ 112.000.
• • •
Segundo año: I = 112.000(0,12) (1)= $ 13.440 M= 112.000 + 13.440= $ 125.440
11
• • •
Tercer año: I = 125.440(0,12) (1)= $ 15.052,80 M = 125.440 + 15.052,80 = $ 140.492,80
• • •
Cuarto año: I = 140.492,80(0,12) (1)= $ 16.859,14 M= 140.492,80 + 16.859,14 = $ 157.351,94
Entonces, • • •
C= Capital i = Tasa de interés por período de capitalización n= número de períodos de capitalización
12
Entonces para n períodos de capitalización tenemos Período
Interés
Monto
1
Capital al inicio del período C
Ci
C + Ci = C(1 + i)
2
C(1+i)
C ( 1 + i)i
C(1+i) + C(1+i)i= C(1+i)2
3
C(1+i)2
C(1+i)2 i
C(1+i)2 + C(1+i)2 i= C(1+i)3
4
C(1+i)3
C(1+i)3 i
n
C ( 1 + i ) n-‐1
C ( 1 + i ) n-‐1 i
C ( 1 + i ) n-‐1 + C ( 1 + i ) n-‐1 i = C( 1+ i ) n
13
Entonces, para cualquier período de capitalización y tasa de interés por período, se obtiene la fórmula del monto a interés compuesto:
M= C (1 + i)n La fórmula del Monto también puede expresarse tomando en cuenta los períodos de capitalización menor de un año: semestral, trimestral, mensual, diaria.
14
Entonces, el INTERES será
I = M-C
15
Fórmula del Monto a interés compuesto en función de m y t
M = C (1 + i/m) mn En donde: •
M = Monto
•
C = Capital inicial
•
i = Tasa de interés nominal que puede ser capitalizable varias veces en un año
•
m = número de capitalizaciones al año
•
n = número de años 16
•
Si la capitalización es anual, la fórmula del monto en un año es:
M = C (1+i)n •
Si la capitalización es semestral
M = C (1 + i/2)2 •
Si la capitalización es trimestral
M = C (1 + i/4)4
17
•
Si la capitalización es bimestral
M = C (1 + i/6)6 •
Si la capitalización es mensual
M = C (1 + i/12)12 •
Si la capitalización es quincenal
M = C (1 + i/24)24 •
Si la capitalización es diaria
M = C (1 + i/360)360 18
Ejemplo •
Calcular el monto de un capital de $ 200.000 invertido al 12% interés anual compuesto durante 5 años capitalizable en la siguiente manera:
•
Anualmente ( o tasa efectiva) M= 200.000(1+0,12)5 = $ 352.468,34
•
Capitalizable semestralmente M = 200.000(1+0,12/2)10 = $ 358.169,54
•
Capitalizable trimestralmente M = 200.000(1+0,12/4)20 = $ 361.222,25
19
•
Capitalizable bimestralmente M = 200.000(1+0,12/6)30 = $ 362.272,32
•
Capitalizable mensualmente M = 200.000(1+0,12/12)60 = $ 363.339,34
•
Capitalizable diariamente M = 200.000(1+0,12/360)1.800 = $ 364.387,33 OBSERVE QUE CUANDO EL PERIODO DE CAPITALIZACION AUMENTA, AUMENTA EL MONTO PORQUE AUMENTA EL INTERES COMPUESTO
20
Ejemplo: •
Una empresa obtiene un préstamo de $ 3.000.000 a 6 años plazo a una tasa de interés anual del 15% capitalizable semestralmente. Calcular el monto que debe pagar al vencimiento y el interés pagado.
• •
M= 3.000.000(1+0,15/2)12 = 3.000.000(1,075)12 = 3.000.000(2,381780)= $ 7.145.338,80
• •
Interés que debe pagar: I=M–C
•
I = 7.145.338,80 – 3.000.000 = $ 4.145.338,80
21
Monto Compuesto con períodos de capitalización fraccionarios
Cuando el tiempo de pago no coincide con el período de capitalización, se presenta este caso Ejemplo: Calcular el valor de una deuda de $ 4.000.000 contraída a interés compuesto durante 6 años y 3 meses plazo, a una tasa de interés anual del 14% capitalizable semestralmente.
22
•
Resolucion
Toma el valor exacto de n en la fórmula del Monto compuesto Entonces tenemos: • •
n = 6(12) + 3 / 6 = 75/6 = 12, 5 semestres i = 0, 14/2= 0, 07 semestral (7% semestral)
•
M = 4.000.000 (1 +0, 07)12.5 = 4.000.000(2, 329685)= $ 9.318.740,34
23
Ejemplo: •
Calcular el Monto compuesto de un capital de $ 2.000.000 invertido a 7 años y 8 meses plazo a una tasa anual del 18% capitalizable trimestralmente
Calculo n e i • •
n= 7(12)+8/ 3 = 84+8 /3 = 30,6667 trimestres i = 0,18/4 = 0,045 trimestral M= 2.000.000(1+0,045)30,6667= $ 7.713.714,13
24
EJERCICIOS 1.- Una empresa obtiene un préstamo de $ 4.000.000. a 10 anos plazo a una tasa de interes del 15% anual capitalizable semestralemente . Calcule el interés y el Monto que debe pagar en la fecha de vencimiento. 2.- Una persona toma un depósito a plazo en su libreta de ahorros de $ 3.000.000. al 12% de interés anual capitalizable trimestralmente. Cuanto habrá en su libreta ala cabo de 8 años y 6 meses.
25
3.- Calcule el Monto a interes compuesto de un Capital de $ 1.000.000 invertido al 12% anual durante 10 años. 4.- Rubén abre una cuenta de ahorros hoy, con $ 800.000. a una tasa de interés del 14% capitalizable semestralmente .Calcule cuanto habrá en la cuenta al cabo de 7 años y 7 meses.
26
CALCULO DE LA TASA DE INTERES LA TASA NOMINAL O EFECTIVA DE INTERES SE PUEDE CALCULAR PARTIENDO DE LA FORMULA DEL MONTO M = C ( 1 + i ) n ; M= C ( 1 + i/m)mn
Y DESPEJAMOS APLICANDO LOGARITMOS
27
M log C
log (1 + i )
M log C
n log (1 + i )
M log C n
n
log (1 + i ) 28
O TAMBIEN i=
M C
1/ n
-1
29
EJEMPLO A qué tasa efectiva se convertirá un capital de $ 300.000 en un monto de $ 450.000 al cabo de 6 anos? M=C(1+i)n M/C = ( 1 + i )n
30
450.000 / 300.000 =( 1 + i ) 6
1,5 = ( 1 + i ) 6 Aplicamos logaritmos
log1,5 = log( 1 + i ) 6 log1,5 = 6 log( 1 + i ) log1,5 /6 = log( 1 + i ) 0,029348= log( 1 + i ) antilog 0,029348= 1 + i 31
1, 069913 = 1 + i 0,069913 = i i = 6,99132 %
32
ACTIVIDADES DE EJERCITACION
• A q u é t a s a a n u a l c a p i t a l i z a b l e trimestralmente, un capital de $ 400.000 se convertirá en ¾ veces más al cabo de 5 años? • A qué tasa efectiva es equivalente la tasa del 11,35037% anual capitalizable trimestralmente? 33
• A qué tasa efectiva se convertirá un capital de $ 500.000 en un Monto de $ 900.000 en 9 anos y 6 meses? • A que tasa de interés annual capitalizable trimestralmente se debe colocar un capital de $ 1.000.000 para que produzca un Monto de $ 5.500.000 en 6 anos y 9 meses.A qué tasa efectiva equivale?
34
CALCULO DEL TIEMPO A INTERES COMPUESTO PARA CALCULAR EL TIEMPO, SE DEBE CALCULAR PRIMERO n, POR LO CUAL SE APLICA LA FORMULA DEL MONTO M = C ( 1 + i ) n ; M= C ( 1 + i/m)mn M=C(1+i)n 35
n M log (1 + i ) log C
M n log (1 + i ) log C M log C log (1 + i )
n 36
EJEMPLO En qué tiempo un capital de $ 1.000.000. se convertirá en $ 1.500.000. a una tasa de interés efectiva del 18%? Tenemos: • M = $ 1.500.000 • C = $ 1.000.000 • i = 18% 37
• • • • • • • •
M/C = ( 1 + i )n 1.500.000 / 1.000.000 = ( 1 + 0,18)n 1,5 = ( 1 + 0,18)n log 1,5 = log ( 1 + 0,18 )n log 1,5 =n log ( 1 + 0,18) n=log 1,5 / log (1+0,18) n = 0,176091/0,071882 n= 2,449726 anos (1 ano = 360 días, 0,449726 son x días) • n= 2 anos, 5 meses, 12 días
38
EJERCICIOS • En qué tiempo un capital de $ 700.000 se duplicará invertido a una tasa del 18% capitalizable semestralmente? • En qué tiempo un capital de $ 2.500.000 , se convertirá en $ 5.625.000 invertido a una tasa de interés anual del 24% capitalizable semestralmente?
39
• En cuantos anos aumentará en ¾ su valor un capital de $ 600.000 invertido a una tasa de interés del 17% capitalizable semestralmente ?
40
VALOR ACTUAL A INTERES COMPUESTO • El VAC es el valor de un documento, inversión o deuda, antes de la fecha de su vencimiento, considerando determinada tasa de interés • VAC significa el valor de un pago futuro en una determinada fecha antes de su vencimiento
41
Responde por ejemplo a : • Cuanto vale HOY día una deuda de $ 1.000.000 que vencerá en 5 anos mas ? • En cuanto se puede vender HOY un documento de $ 5.000.000 que en vence en 4 anos más?
42
• Si tenemos que: M= C(1 + i )n
Despejamos C
C= M
para tasa efectiva
(1 + i )n
Para tasa nominal
C
=
M (1 + i/m )mn
43
• Para el cálculo del VAC (entre la fecha de suscripción y la fecha de vencimiento) pueden haber dos casos generales: • Caso 1: Cuando conocemos el valor que tendrá un documento al cabo de n periodos ( o sea, conocemos el Monto) • Caso 2 : Cuando conocemos el valor hoy día del documento que gana interés. En este caso desconocemos el Monto (hay que calcularlo).
44
Ejemplo Caso 1: • Cual es el VAC de un pagaré cuyo valor al vencimiento al final de 4 años es $ 3.500.000, considerando una tasa de interés del 12% anual capitalizable semestralmente? Entonces tenemos que : • M=$ 3.500.000.• J = 0,12 • m = 2 • t = 4 45
• C= M ( 1 + j/m)
- mt
• C = M ( 1 + 0,12/ 2) -(2)4 • C = 3.500.000 ( 1 + 0,06)
-8
• C = 3.500.000 (0,627412) = $ 2.195.943,30 $ 2.195.943,30
0
$ 3.500.000
1
2
3
4 46
Ejemplo Caso 2: • Cual es el VAC de un pagaré cuyo valor nominal es $ 500.000 a 6 años plazo considerando una tasa de interés del 12% anual capitalizable semestralmente desde su suscripción si se vende dos años antes de la fecha de vencimiento , considerando una tasa anual del 14% capitalizable semestralmente?
47
Solución gráfica
0
M= ?
C= ?
$ 500.000
1
2
3
4
5
6
48
Entonces primero se calcula el Monto a 6 anos: • M = C ( 1 + i/m)
mn
• M = 500.000 ( 1 + 0,12/ 2)
2(6)
• M = 500.000 ( 2,012196) • M = $ 1.006.098,236
49
Ahora calculamos el VAC 2 anos antes de su vencimiento C = M (1 + i/m)
-mn
C = 1.006.098,236 ( 1 + 0,14/ 2)
-2(2)
C = 1.006.098,236 (0,762895) C = $ 767.547,58 ( VAC) 50
VAC CON TIEMPO FRACCIONARIO Para calcular el VAC con períodos de capitalización fraccionarios, utilizamos la fórmula del interés compuesto C=
M (1 + i )
n
o lo que es lo mismo
C=M(1+i)
-n
51
Ejemplo El valor de un pagaré al cabo de 7 anos será $3.400.000. Calcular su VAC luego de transcurridos 3 años y 4 meses de la fecha de suscripción , considerando una tasa de interés del 14% capitalizable semestralmente M = $ 3.400.000 i/2 = 0,14 /2 = 0,07
52
Calculamos primero el tiempo n=
(7)(12) – [ (3)(12) + 4 ]
= 44/ 6 = 7,3333
6
Aplicamos la fórmula: C=
$ 3.400.000( 1 + 0,14/2)
- 7,3333
C = $ 2.070.131,25
53
EJEMPLO Luego de 3 años y 3 meses de la fecha de suscripción se negocia un documento suscrito el día de hoy por $ 2.800.000 a 6 años 9 meses con una tasa de interés del 12% capitalizable semestralmente. Calcular el valor actual a dicha fecha considerando una tasa de interés del 11,25% efectiva.
54
• Se calcula el Monto al final de los 6 años y 9 meses 81
(6)(12)+ 9
n=
6
=
= 13 3/6 = 13,5
6
M = 2.800.000 ( 1 + 0,12/2) M
=
13,5
$ 6.148.755,355
55
Ahora se calcula el valor actual a los 3 años y 3 meses, si la tasa de interés es del 11,25% efectiva El tiempo que falta para el vencimiento del documento es: n
[6(12) +9] – [3(12)+3] =
6
= 3,5 anos
C = $ 6.145.755,355 (1+0,1125)
- 3,5
C = $ 4.233.866,90 56
EJERCICIOS • Calcule el VAC de un pagaré cuyo valor al término de 3 años y 6 meses será de $ 2.100.000 considerando una tasa de interés del 16% anual capitalizable semestralmente. • Un documento suscrito hoy por $ 950.000 a 5 años plazo a una tasa del 17% anual capitalizable semestralmente , se vende dos anos antes de la fecha de su vencimiento considerando una tasa del 18% anual capitalizable semestralmente. Calcule el VAC a esa fecha 57