UNIDAD 2 ESTATICA DE LA PARTICULA 2.1. Conceptos básicos. 2.2. Resultante de fuerzas coplanares. 2.3. Descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares: en el plano y en el espacio. 2.4. Equilibrio de una partícula: en el plano y en el espacio. 2.1. Conceptos básicos. En este punto continuaremos utilizando los conceptos de cantidad escalar, vectorial y se proporcionaran los procedimientos para la suma de fuerzas, representación de las mismas por medio de sus componentes y su proyección a lo largo de un eje. Debido a que la fuerza es una cantidad vectorial, debemos usar las reglas del algebra vectorial para su estudio. 2.2. Resultante de fuerzas coplanares. Procedimiento para el análisis de suma o resta de vectores. Los problemas que involucran la suma de dos fuerzas que contienen como máximo dos incógnitas, pueden resolverse utilizando el siguiente procedimiento. Regla del paralelogramo: Haga un dibujo que muestre la suma vectorial utilizando la regla del paralelogramo. De ser posible, determine los ángulos interiores del paralelogramo que ilustra el problema. Recuerde que la suma de estos ángulos es 360°. Los ángulos desconocidos, junto con las magnitudes de las fuerzas conocidas o desconocidas, deberán estar especificados claramente en el dibujo. Vuelva a dibujar la mitad del paralelogramo diseñado para ilustrar la suma de las componentes triangular cabeza-cola. Trigonometría: Utilizando la trigonometría, las dos incógnitas pueden determinarse a partir de los datos proporcionados en el triángulo esto no contiene un ángulo de 90°, puede usarse la ley de los senos y los cósenos para su solución. Para el triangulo mostrado, estas formulas se proporcionan en la figura. Los siguientes ejemplos ilustran este método numéricamente. Ley de senos:
A
c
B a
b
A B C sen a sen b sen c Ley de cósenos:
C
C A 2 B 2 2AB cos c
Componentes rectangulares de una fuerza Suma de un sistema de fuerzas coplanares Cuando se va a determinar la fuerza resultante de mas de dos fuerzas, es mas fácil determinar las componentes de cada fuerza a lo largo de ejes específicos, sumar estos componentes algebraicamente y después obtener la resultante, en vez de obtener esta aplicación sucesiva de la regla del paralelogramo. En esta ocasión descompondremos cada fuerza en sus componentes rectangulares Fx y Fy las cuales se ubican a lo largo de los ejes x e y respectivamente.
Notación escalar: puesto que a los ejes x e y se les han asignado direcciones positivas y negativas, la magnitud y dirección de las componentes rectangulares de una fuerza pueden expresarse en términos de escalares algebraicos. Notación vectorial cartesiana: también es posible representar las componentes de una fuerza en términos de vectores unitarios cartesianos. De esta forma se aplican mas fácilmente los métodos del álgebra vectorial, lo cual hace en particular ventajosa la resolución de problemas en tres dimensiones. En dos dimensiones, los vectores unitarios cartesianos i y j se utilizan para designar las direcciones de los ejes x e y respectivamente. Estos vectores tienen una magnitud adimensional igual a la unidad y su sentido se describe analíticamente por un signo positivo o negativo por lo tanto la fuerza resultante estará dada por: F = Fxi + Fyj Para obtener la fuerza resultante de acuerdo a su magnitud y dirección se aplica al teorema de Pitágoras teniendo que: F R Fx 2 F y 2 Fy tg 1
Fx
PROBLEMA 2.1 Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si P = 15 lbs, y Q = 25 lbs, determine en forma grafica la magnitud y la dirección de su resultante empleando: a) La ley del paralelogramo b) La regla del triangulo
PROBLEMA 2.2 Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si P = 45 lbs, y Q = 15 lbs, determine en forma grafica la magnitud y la dirección de su resultante empleando: a) La ley del paralelogramo b) La regla del triangulo Utilizar la figura del problema anterior. PROBLEMA 2.3 Dos fuerzas son aplicadas a una armella sujeta a una viga. Determine en forma grafica la magnitud y la dirección de su resultante usando: a) La ley del paralelogramo b) La regla del triangulo
PROBLEMA 2.4 Un automóvil descompuesto es jalado por medio de cuerdas sujetas a las dos fuerzas que se muestran en la figura. Determine en forma grafica la magnitud y la dirección de la resultante usando: a) La ley del paralelogramo. b) La regla del triangulo.
PROBLEMA 2.5 La fuerza de 200 N se descompone en componentes a lo largo de las líneas a – a´ y b – b´ . a) Determine por trigonometría el ángulo α sabiendo que la componente a lo largo de a – a’ es de 150 N. b) ¿ Cual es el valor correspondiente de la componente a lo largo b – b´?
PROBLEMA 2.6 Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la figura.
PROBLEMA 2.7 Determine las componentes x y y de cada una de las fuerzas que se muestran en la figura.
PROBLEMA 2.8 Un collarín que puede deslizarse sobre una varilla vertical se somete a tres fuerzas mostradas en la figura. Determine: a) El valor del ángulo alfa para que la resultante de las tres fuerzas sea horizontal. b) La magnitud correspondiente de la resultante.
PROBLEMA 2.9 Si alfa es 65º, determine la resultante de las tres fuerzas que se muestran en la figura.
PROBLEMA 2.10 Si alfa es 50º, determine la resultante de las tres fuerzas que se muestran en la figura.
PROBLEMA 2.11 El aguilón AB se sostiene en la posición mostrada en la figura mediante tres cables. Si las tensiones respectivas en los cables AC y Ad son de 900 y 1200 lbs, respectivamente, determine: a) La tensión en el cable AE si la resultante de las tensiones ejercidas en el punto A del aguilón debe estar dirigida a lo largo de AB. b) La magnitud correspondiente de la resultante.
Suma de un sistema de fuerzas en el espacio Vectores cartesianos
z Az
A = A! + A z
A
A ! = Ax + A y
Ay
y
O Ax x
A!
Vector unitario En general un vector unitario es un vector que tiene una magnitud = 1. Si A es un vector cuya magnitud A = 0, entonces un vector unitario que tenga la misma dirección que A se representa como: A UA A
A
A 1
UA
Vector unitario cartesiano En tres dimensiones el conjunto de vectores cartesianos i, j, k se utiliza para designar las direcciones de los ejes x, y, z respectivamente.
z k y x
j
i
Representación vectorial cartesiana Utilizando los vectores unitarios cartesianos, las tres componentes vectoriales pueden escribirse en forma vectorial cartesiana: A = Axi + Ayj + Azk Magnitud de un vector cartesiano Se puede obtener la magnitud de un vector A siempre y cuando el vector se exprese en forma vectorial cartesiana.
A Ax 2 A y 2 Az 2 Dirección de un vector cartesiano
cos
Ax A
cos
Ay A
cos
Az A
El vector unitario en la dirección de A:
Ay A A Ax UA i j z k A A A A U A cos i cos j cos k como
UA 1
cos 2 cos 2 cos 2 1
PROBLEMA 2.12 Para estabilizar un árbol arrancado parcialmente durante una tormenta, se le amarran los cables AB y AC a la parte alta del tronco y después se fijan a barras de acero clavadas al suelo. Si la tensión en el cable AB es de 950 lb, determine: a) Las componentes de la fuerza ejercida por este cable sobre el árbol. b) Los ángulos θx, θy, y θz que forma la fuerza en A con los ejes paralelos a los ejes coordenados.
PROBLEMA 2.13 Determine: a) Las componentes x, y y z de la fuerza de 900 N y de la fuerza de 1900 N. b) Los ángulos θx, θy, y θz que forma la fuerza con los ejes coordenados.
PROBLEMA 2.14 El angulo entre el resorte AB y el poste DA es de 30º. Si la tension en el resorte es de 220 N, determine: a) Las componentes x, y y z de la fuerza ejercida por este resorte sobre la placa. b) Los ángulos θx, θy, y θz que forma la fuerza con los ejes coordenados.
Vectores de posición El vector de posición r se define como un vector fijo que ubica un punto en el espacio con relación con otro punto. Por ejemplo si r se extiende desde el origen de las coordenadas O, al punto P (x,y,z); ver figura (a) entonces r puede expresarse en forma vectorial cartesiana como: r = xi + yj + zk En particular, observe como la suma vectorial cabeza-cola de las tres componentes nos da el valor de el vector r; ver figura (b). Comenzando en el origen O, uno recorre una cierta distancia en la dirección +i, despues una cierta distancia en la dirección +j y por ultimo una cierta distancia en la dirección +k para llegar al punto P (x,y,z)
z
zk P (x,y,z)
Figura (a)
r O xi x
yj
y
z P (x,y,z)
Figura (b)
zk r
xi O
y yj
x Con frecuencia, el vector de posición puede dirigirse del punto A al punto B en el espacio, ver figura (c). Como se puede ver, este vector se denota también con el símbolo r. De manera convencional, sin embargo nos referimos en algunas ocasiones a este vector con dos subíndices para indicar el origen y destino hacia donde el vector esta dirigido, por lo que r puede expresarse como r AB. También observe que rA en la figura (c) están señalados con el subíndice solamente puesto que se extienden desde el origen del sistema coordenado.
z
B (XB,YB,ZB) r A (XA,YA,ZA)
rB rA
y O
x De la figura (c) por la suma vectorial cabeza-cola requerimos que: rA + r = rB Si despejamos r y expresamos rA y rB en forma vectorial cartesiana obtenemos:
r rB rA xBi y Bj z Bk x Ai y Aj z Ak o r xB x A i y B y A j z B z A k
Así las componentes i,j,k del vector de posición r puede expresarse formando las coordenadas de la cola del vector A (xA,yA,zA) y restándole las coordenadas correspondientes a la cabeza del vector B (xB,yB,zB). Otra vez se puede ver como la suma cabeza-cola de estas componentes nos da r, es decir yendo de A hacia B (figura d) uno primero viaja una cierta distancia (x B-xA) en la dirección +i, después una cierta distancia (yB-yA) en la dirección +j y por ultimo una distancia (zB-zA) en la dirección +k.
z
B A O
y
x PROBLEMA 2.15 Una torre de transmisión se sostiene por medio de tres alambres anclados con pernos en B, C y D. Si la tensión en el alambre AB es de 2100 N, determine las componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno colocado en B.
PROBLEMA 2.16 Dos cables BG y BH están unidos al marco ACD como se muestra en la figura. Si la tensión en el cable BG es de 450 N, determine las componentes de la fuerza ejercida por el cable BG sobre el marco en el punto B.
Equilibrio de la partícula en el plano y en el espacio. Condiciones de equilibrio, primera Ley de Newton. En esta parte de la unidad se utilizaran los métodos para descomponer una fuerza en sus componentes rectangulares y expresar la fuerza como un vector cartesiano para resolver problemas que involucren el equilibrio de la partícula. Para simplificar el estudio, se considerara en primer termino el equilibrio de la partícula en un sistema de fuerzas coplanares concurrentes. Después, en la parte final del tema, se consideraran los problemas de equilibrio que involucren sistemas de fuerzas concurrentes en el espacio. Condición para el equilibrio de una partícula. Una partícula se encuentra en equilibrio siempre y cuando permanezca en reposo si así se encontraba o mantenga una velocidad constante si se encontraba en movimiento. Con frecuencia, el termino equilibrio estático se utiliza para describir a un objeto en reposo. Sin embargo, para mantener el estado de equilibrio, es necesario satisfacer la primera Ley del movimiento de Newton, la cual establece que si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a cero, entonces la partícula se encuentra en equilibrio. Esta condición puede expresarse matemáticamente como:
F = 0
(4)
donde F es el vector de la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. La ecuación (4) no solamente es una condición necesaria para el equilibrio, sino que también es una condición suficiente. Esto proviene de la segunda Ley del movimiento de Newton, la cual puede expresarse como F = ma. Puesto que el sistema de fuerzas satisface la ecuación (4), entonces ma = 0 por lo tanto la aceleración de la partícula a = 0 y en consecuencia la partícula en realidad se mueve con velocidad constante o permanece en reposo.
Diagrama de cuerpo libre Puesto que debemos tomar en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, no se debe despreciar la importancia que tiene el dibujar un diagrama de cuerpo libre antes de aplicar la ecuación de equilibrio para la solución de un problema. Para construir un diagrama de cuerpo libre es necesario seguir los siguientes pasos: Paso 1: Imagine la partícula en forma aislada o libre de sus alrededores. Dibuje un bosquejo de su forma. Paso 2: Indique en este dibujo todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Se indican tanto las fuerzas activas que son las que tienden a poner en movimiento al cuerpo, como las reactivas que son las que tratan de impedirlo. Paso 3: A las fuerzas conocidas deben asignárseles las magnitudes y direcciones apropiadas. Se utilizan letras para representar las magnitudes y direcciones de las fuerzas desconocidas. Si de una fuerza se conoce la línea de acción pero no su magnitud, la punta de la flecha que define el sentido de la fuerza puede suponerse. PROBLEMA 2.17 Si α= 50º y el aguilón AC ejerce sobre la articulación C una fuerza dirigida a lo largo de la línea AC, determine: a) La magnitud de la fuerza b) La tensión en el cable BC.
PROBLEMA 2.18 Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como se indica la figura. Determine la tensión en: a) El cable AC b) El cable BC
PROBLEMA 2.19 Un bote jala un paracaídas y su pasajero a una velocidad constante. Si el pasajero pesa 550 N y la fuerza resultante R ejercida por el paracaídas sobre la horquilla A forma un ángulo de 65º con la horizontal, determine: a) La tensión en la cuerda de remolque AB. b) La magnitud de R.
PROBLEMA 2.20 Dos semáforos se cuelgan temporalmente de un cable como se muestra en la figura. Si el semáforo colocado en B pesa 300 N, determine el peso del semáforo en C.
PROBLEMA 2.21 Un contenedor se sostiene por medio de tres cables que están unidos al techo como se muestra en la figura. Determine el peso W del contenedor si la tensión en el cable AB es de 6 kN.
PROBLEMA 2.22 Tres cables son usados para amarrar el globo que se muestra en la figura. Si la tensión en el cable AB es de 259 N, determine la fuerza vertical P que ejerce el globo en A.
PROBLEMA 2.23 Una torre de transmisión se sostiene por medio de tres alambres que están unidos a una punta colocada en A y se anclan mediante pernos en B,C y D. Si la tension en el alambre AB es de 3.6 kN, determine la fuerza vertical P ejercida por la torre sobre la punta puesta en A.
PROBLEMA 2.24 Determine la magnitud y la dirección de F 1 requeridas para mantener el sistema de fuerzas concurrentes en equilibrio.
PROBLEMA 2.25 Los tres cables se usan para dar soporte a la lámpara de 800 N. Determine la fuerza desarrollada en cada cable en la posición de equilibrio.
