Cinetica de La Particula

Universidad Nacional Agraria La Molina Facultad de Ingeniería Agrícola

Departamento de Mecanización Agrícola

Guía de Estudio

Solucionario de algunos problemas propuestos en el libro Ingeniería Mecánica – Dinámica de R. C. Hibbeler

Cinética de la Partícula Elaborado por : Ing° Hugo D. Pachas Luna

La Molina, Enero del 2002

Contenido Pág

Cinética de la Partícula ................ .................................. .................................. ................................ ................ 1 I.

Fuerza y Aceleración ................. .................................. .................................... ........................... ........ 1 I.1. Componentes Rectangulares ........................................ ........................................ Ejemplo 1.1.1. .................. .................................... ................................... .............................. ............. Ejemplo 1.1.2. .................. .................................... ................................... .............................. ............. Ejemplo 1.1.3. .................. .................................... ................................... .............................. ............. Ejemplo 1.1.4. .................. .................................... ................................... .............................. ............. Ejemplo 1.1.5. .................. .................................... ................................... .............................. ............. Ejemplo 1.1.6. .................. .................................... ................................... .............................. ............. Ejemplo 1.1.7. .................. .................................... ................................... .............................. ............. Ejemplo 1.1.8. .................. .................................... ................................... .............................. ............. Ejemplo 1.1.9. .................. .................................... ................................... .............................. .............

2 2 3 3 4 4 5 6 6 7

I.2. Componentes Normales y Tangenciales .................... ........................ 8 Ejemplo 1.2.1. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 8 Ejemplo 1.2.2. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 9 Ejemplo 1.2.3. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 9 Ejemplo 1.2.4. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 10 Ejemplo 1.2.5. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 10 Ejemplo 1.2.6. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 11 Ejemplo 1.2.7. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 11 Ejemplo 1.2.8. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 12 Ejemplo 1.2.9. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 13 I.3. Componentes Cilíndricas .................. .................................. .............................. .............. 14 Ejemplo 1.3.1. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 14 Ejemplo 1.3.2. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 15 Ejemplo 1.3.3. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 16 Ejemplo 1.3.4. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 16 Ejemplo 1.3.5. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 17 Ejemplo 1.3.6. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 17 Ejemplo 1.3.7. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 18 Ejemplo 1.3.8. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 18

Ejemplo 1.3.9. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 19 Ejemplo 1.3.10. ................... ..................................... ................................... ........................... .......... 20 II.

Trabajo y Energía ...................................... ....................................................... ............................. ............ 21 II.1. Principio del Trabajo y la Energía .................. .................................. ................22 Ejemplo 2.1.1. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 23 Ejemplo 2.1.2. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 24 Ejemplo 2.1.3. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 24 Ejemplo 2.1.4. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 24 Ejemplo 2.1.5. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 25 Ejemplo 2.1.6. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 25 Ejemplo 2.1.7. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 26 Ejemplo 2.1.8. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 26 Ejemplo 2.1.9. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 27 Ejemplo 2.1.10. ................... ..................................... ................................... ........................... .......... 27 II.2. Potencia y Eficiencia ................. .................................. .................................... ..................... 28 Ejemplo 2.2.1. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 29 Ejemplo 2.2.2. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 29 Ejemplo 2.2.3. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 30 Ejemplo 2.2.4. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 30 Ejemplo 2.2.5. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 31 Ejemplo 2.2.6. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 31 Ejemplo 2.2.7. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 31 Ejemplo 2.2.8. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 32 Ejemplo 2.2.9. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 32 II.3. Energía Potencial .................. ..................................... ................................... ....................... ....... 33 Conservación de la Energía ................. .................................... ......................... ...... 34 Ejemplo 2.3.1. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 34 Ejemplo 2.3.2. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 35 Ejemplo 2.3.3. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 35 Ejemplo 2.3.4. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 35 Ejemplo 2.3.5. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 37 Ejemplo 2.3.6. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 37 Ejemplo 2.3.7. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 38 Ejemplo 2.3.8. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 38 Ejemplo 2.3.9. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 39

Ejemplo 2.3.10. ................... ..................................... ................................... ........................... .......... 39 Ejemplo 2.3.11. ................... ..................................... ................................... ........................... .......... 40 Ejemplo 2.3.12. ................... ..................................... ................................... ........................... .......... 40 III.

Impulso y Momento Lineales .................. ................................... .............................. ............. 41 III.1. Principio del Impulso y Momento Lineales ................. 41 Ejemplo 3.1.1. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 42 Ejemplo 3.1.2. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 42 Ejemplo 3.1.3. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 43 Ejemplo 3.1.4. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 43 Ejemplo 3.1.5. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 44 III.2. Conservación del Momento Lineal ................. ............................... .............. 44 Ejemplo 3.2.1. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 45 Ejemplo 3.2.2. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 45 Ejemplo 3.2.3. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 46 Ejemplo 3.2.4. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 46 III.3. Impacto ................. ................................. .................................. .................................. ......................... .........47 Ejemplo 3.3.1. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 48 Ejemplo 3.3.2. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 49 Ejemplo 3.3.3. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 49 Ejemplo 3.3.4. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 50 Ejemplo 3.3.5. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 50 Ejemplo 3.3.6. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 51 Ejemplo 3.3.7. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 52 Ejemplo 3.3.8. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 52 Ejemplo 3.3.9. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 52 Ejemplo 3.3.10. ................... ..................................... ................................... ........................... .......... 53 Ejemplo 3.3.11. ................... ..................................... ................................... ........................... .......... 54 Ejemplo 3.3.12. ................... ..................................... ................................... ........................... .......... 54 Ejemplo 3.3.13. ................... ..................................... ................................... ........................... .......... 55 Ejemplo 3.3.14. ................... ..................................... ................................... ........................... .......... 55 Ejemplo 3.3.15. ................... ..................................... ................................... ........................... .......... 56 Ejemplo 3.3.16. ................... ..................................... ................................... ........................... .......... 56

IV.

Impulso y Momento Angulares IV.1. Principio del Impuso y Momento Angulares ................ 57 Ejemplo 4.1.1. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 58 Ejemplo 4.1.2. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 58 Ejemplo 4.1.3. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 59 Ejemplo 4.1.4. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 59 Ejemplo 4.1.5. .................. .................................... ................................... .............................. ............. 60

Bibliografía ................... ................................... ................................... .................................... ................................ ............... 61

Mecánica II Ing° Hugo D. Pachas Luna

Página 1 Cinética de la Partícula

Cinética de la Partícula I. Fuerza y Aceleración La cinética estudia los efectos provocados por fuerzas no equilibradas que actúan sobre una partícula. De acuerdo con la segunda ley de Newton una partícula sobre la que actúa una fuerza no equilibrada F experimenta una aceleración a con la misma dirección que la fuerza y con una magnitud directamente proporcional a la fuerza. Esta constante de proporcionalidad m es un valor escalar positivo, conocido como masa de la partícula , la cual nos da una medición cuantitativa de la resistencia de la partícula a un cambio de velocidad.

F ma

...( C )

Algunas fuerzas típicas:

Unidades S.I. Británico Fuerza Newton (N) libra (lb) Masa Kilogramo (Kg) slug Aceleración metros/s² (m/s²) pies/s² (p/s²) 1 N = 21.62 lb 1 p = 0.3048 m

El peso ( W) de una partícula es la fuerza de atracción que ejerce sobre ésta el planeta Tierra. Luego W = m g, donde g es la aceleración de la gravedad, medida en un punto de la superficie terrestre, a nivel del mar y a una latitud de 45°. El peso siempre está dirigido hacia el centro de la Tierra. Según el sistema de unidades empleado:

g = 9.81 m/s² g = 32.2 p/s²

(Sistema Internacional de Unidades) (Sistema Británico de Unidades)

W

N

La fuerza normal ( N) es la fuerza de reacción que ejerce una superficie sólida sobre la cual está apoyada la partícula. Esta fuerza siempre está dirigida en forma perpendicular al plano de contacto, hacia el centro de la partícula. La fuerza de fricción (Ff ) es la fuerza de reacción que ejerce una superficie áspera sobre la partícula como resultado del movimiento. Esta fuerza siempre se opone al movimiento de la partícula en relación con la superficie con la que está en contacto, siendo paralela a ésta. La magnitud de la fuerza de fricción depende de la fuerza normal N y del coeficiente de fricción cinético k entre la partícula y la superficie de contacto. Es decir: Ff = = k N. Si la partícula en estudio se encuentra en reposo, se debe calcular la fuerza de fricción utilizando el estático ( s), es decir Ff = s N, siempre oponiéndose a la tendencia al movimiento y paralela al plano de contacto con la superficie.

vv v

Ff


Página 2 Cinética de la Partícula s

La fuerza de resorte (Fs) es la fuerza de reacción que ejerce un resorte elástico como resultado de una variación de su longitud de equilibrio. La magnitud de la fuerza de resorte depende de la rigidez del resorte k y su distancia estirada o comprimida s. Es decir : Fs = k s.

No deformada Fs Estirada

Para la resolución de los ejercicios planteados debe plantearse siempre el diagrama de cuerpo libre (DCL) de la partícula en estudio, ubicando todas las fuerzas que actúan sobre dicha partícula.

I.1. Componentes Rectangulares

m ax

Fy

m ay

Fz

m az

Comprimida

Fz P Fy Fx

Cabe mencionar que si la partícula se desplaza en un solo plano sólo se necesitan las ecuaciones referentes a ese único plano.

Ejemplos :

Fs

z

En este caso se expresan en la ecuación (C) las fuerzas y aceleraciones usando un sistema coordenado fijo x, y, z.

Fx

s

z y

x

y

x

1.1.1. Al utilizar un plano inclinado para retardar el movimiento de un objeto que cae y, por lo tanto, poder realizar observaciones más precisas, Galileo pudo determinar de manera experimental que la distancia que recorre un objeto en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo necesario para realizar tal recorrido. Demuestre que si éste es el caso, es decir s = f (t²) , al determinar los tiempos tB, tC y tD necesarios para que un bloque de masa m, partiendo del reposo en A, se deslice hasta los puntos B, C y D, respectivamente. Ignore los efectos de la fricción.

s v 0 t 21 at² 21 g sen 20 t² s 1.6776 t² R ta. para sB 2 m : t B 1.0919 s para sC 4 m : t C 1.5441 s para sD 9 m : t D 2.3162 s

sD

9m

sC

4m

sB

B

R ta.

C D

20

2m

A



1.1.2. Cada uno de los bloques A y B tiene una masa m. Determine la máxima fuerza horizontal P que es posible aplicar a B de manera que A no se mueva en relación con B. Todas las superficies son lisas. Fy

NB DCL A

mg

Fx N B sen

max ma

mg

DCL AB

B

Fx P P

P B

mg cos

NB

N B sen m

a

A

P

0

N B cos

A

A

mg cos

max 2ma 2 m g tan

sen m

g tan

R ta.

1.1.3. Un paracaidista, con una masa m, abre el paracaídas desde el reposo a una gran altitud. Si la resistencia atmosférica al avance es FD = kv2, donde k es constante, determine la velocidad que alcanza después de caer durante un tiempo t. ¿Cuál es la velocidad en el momento del aterrizaje? Esta velocidad terminal se se obtiene cuando t . F D

Fy dv m dt

may m dv mg k v2 k

mg k v2 mg k

si

m k

2

dv

v 2

0

v2

0

v2

0

v 2

v v

t

dv 2 v2

cosec d

dt v dt

cos v2

1 cos Ln sen

dv sen d 2 2 cos 2 θ sen 2θ

2

Ln

2

v v2

v

0

Reemplazando : t

m Ln k

2

v v2

0

e

kt m 2

v v2

e

2kt m 2

v2 v2

v v

v v

v v

Mecánica II Ing° Hugo D. Pachas Luna v e 2kt m

e 2kt m

v

e 2kt m 1 e 2kt m 1

Finalmente : v

Página 4 Cinética de la Partícula 1

v 1 e 2kt m

mg e 2kt m k e 2kt m

Velocidad terminal : Lim t 0 v

mg 1 k 1

1 1

R ta.

1

mg k

1

R t a.

1.1.4. Determine el tiempo necesario para jalar de la cuerda en B hacia abajo 4 pies, iniciando del reposo, cuando se aplica una fuerza de 10 lb a dicha cuerda. El bloque A pesa 20 lb. Ignore la masa de las poleas y las cuerdas.

Fy m a y 4 T WA mA a A 20 4 10 20 a 32.2 A a A 32.2 p s² aB 4 a A 128.8 p s² s v 0 t 21 a t ² 2s aB

t

2 4 128.8

0.2494 s

C

DCL B

D

F FX m g cos

A

B

DCL A

mg

0 : NB

10 lb

R t a.

B

Fn

a

W

1.1.5. La caja B tiene una masa m y es liberada del reposo cuando se encuentra en la parte más elevada del carro A, que tiene una masa 3m. Determine la tensión necesaria en la cuerda CD para impedir que el carro se mueva cuando B se desliza hacia abajo. Ignore la fricción.

NB

B

4T

C

A

NA A 3mg NB 0 : F NB sen F m g sen cos

R t a.



1.1.6. El bloque B descansa sobre una

superficie lisa. Si los coeficientes F de fricción estática y cinética son y 0.3, s = 0.4 k = 0.3, respectivamente, determine la aceleración de cada bloque si alguien empuja el bloque A en lb, y (b) F = 50 lb. lb. forma horizontal con una fuerza de (a) F = 6 lb, Fy NB NB s

A 20 lb B 30 lb

NB

m ay WA 0 WA 20 lb 0 .4 20 8 lb

F

A

Ffr WA

Para F = 6 lb, No hay desplazamiento de A con respecto a B F

Fx m a x 20 30 6 ax 32 .2 a x 3.8640 p s ²

A WA

B

R ta.

WB

Para F = 50 lb, A se desplaza con respecto a B Ffr 0.3 20 k NB bloque A : Fx 50 6 aBx

6 lb mAa A x 20 a 32 .2 A x 70 .84 p s ²

NB F

A

R t a.

Ffr WA NB

bloque B :

mB aB x 30 6 a 32 .2 B x a B x 6.44 p s²

Ffr

Fx

B

R t a. WB



1.1.7. El cilindro B tiene una masa m y es levantado utilizando un sistema de cuerdas y poleas que se ilustra. Determine la magnitud de la fuerza F como función de la posición vertical y del bloque de tal forma que cuando se aplica F, el bloque se eleva con una aceleración constante aB. Ignore la masa de la cuerda y las poleas.

d

Fy

ma y y 2F mg maB 2 d y2 4 m aB g 4y2 d2 F 4y

F y

R t a.

aB

B

1.1.8. La masa del elevador E es de 500 kg y la del contrapeso en A es de 150 kg. Si el motor proporciona una fuerza constante de 5 kN sobre el cable en B, determinar la rapidez del elevador en t = 3 s a partir del reposo. Ignorar la masa de las poleas y el cable.

L1 S A SE L2 SE SB

aA

aB

-aE

DCL A : TA - mAg m A a A -mA aE TA mAg - m A aE DCLE : TA TB - mEg mE aE , donde TB 5000 N

E

. . . (1) . . . (2)

B Reemplazando (2) en (1) : m Ag - mA aE 5000 - mEg mE aE (150) (9.81) - (150)aE 5000 - (500) (9.81) (500) aE aE 2.41 m/s v f v 0 a t 0 (2.41)(3) 7.23 m s

R t a.

A

TA A mAg

TA

TB

E mE g



1.1.9. El bloque A tiene una masa mA y se encuentra sobre la placa B, que tiene una masa mB. Ambos se encuentran en reposo sobre un resorte con una rigidez k y que a su vez está adherido al suelo en el fondo de la placa. Determine la distancia d que es preciso empujar hacia abajo la placa desde la posición de equilibrio y luego soltarla desde el reposo de modo que el bloque se separe de la superficie de la placa en el instante en que el resorte regresa a su posición no deformada.

(hacia abajo) : Fy (hacia arriba) : Fy

m a y : WA WB - Fs (m A m B ) a m a y : -WA - WB Fs (m A m B ) a

Igualando (1) (2) : m A g mB g - k d k d - m A g - mB g d

g mA

mB k

R t a.

. . . (1) . . . (2) A B

y d

k



I.2. Componentes Normales y Tangenciales En este caso se expresan en la ecuación (C) las fuerzas y aceleraciones usando un sistema coordenado móvil n – t : Fb

Ft

mat

Fn

m an

Fb

0

Debe recordarse que a t

Fn

Ft P

v& y a n

v2

.

v vO at t 2 1 s s v t a t O O t 2 Si la aceleración tangencial es constante, se pueden usar las ecuaciones de cinemática simplificadas. v 2 v O2 2 a t s s O Si la trayectoria se expresa en coordenadas x – y , de tal modo que y = ƒ(X), el radio de curvatura puede calcularse a partir de la expresión

1

dy dx 2 d 2 y dx 2

3

2

Ejemplos : 1.2.1. La lenteja del péndulo tiene una masa m y se le suelta desde el reposo cuando = 0°. Determine la tensión en la cuerda como una función del ángulo de descenso . Ignore el tamaño de la lenteja.

Fn T V T T

2

ma n

V2 m g sen m L 2 Vo 2 g h 2 g L sen 2 m g L sen m g sen L 3 m g sen R t a.

L



1.2.2. Determine la rapidez constante de los pasajeros en el juego en el parque de diversiones si se observa que los cables de soporte se dirigen hacia = 30° con respecto de la vertical. Cada silla, incluyendo el pasajero, tiene una masa de 80 kg. También, ¿cuáles son las componentes de la fuerza en las direcciones n, t y b que la silla ejerce sobre un pasajero de durante el 50 kg movimiento?

4m

b

6m t

n

T Ft

m a t : T cos 30 mT g 0 80 9.81 T 523.2 3 cos 30 v2 Fn m an : T sen 30 mT 7 7 T sen 30 7 523.2 3 v2 22.89 3 mT 2 80 Fb

0 : Nb

W 50 9.81

Ft

0 : Nt

0

Fn

m an : Nn

490.5 N

30

WT Nb

R ta.

Nn

R t a. v² 50 7

50 22.89 3 7

W 163.5 3

283.1903 N

R ta.

1.2.3. Al cruzar una esquina, un motociclista encuentra un leve peralte, o abultamiento, provocado por el camino que intersecta. Si la cresta del peralte tiene un radio de curvatura = 50 p, determine la rapidez máxima constante a la que puede desplazarse si abandona la superficie del camino. En el cálculo, ignore el tamaño de la motocicleta y del tripulante. Éstos tienen una masa total de 450 kg.

Fn

m an

mg m v

v2

50 32.2

= 50 p 40.1248 p s

R ta.



1.2.4. El hombre tiene una masa de 80 kg y se sienta a 3 m de distancia del centro de la plataforma giratoria. Debido a ala rotación, su rapidez se incrementa desde el reposo por v& = 0.4 m/s². Si el coeficiente de fricción estática entre la ropa del hombre y la plataforma es de determine el tiempo s = 0.3, necesario para que comience a deslizarse hacia el borde.

3m

10 m

N

Fn

m an v² mg m 0.3 9.81 v&

v² 3 dv dt

N

v ² 8.8290 t

v v&

N

7.4284 s

R t a.

1.2.5. El perno cilíndrico con peso de 2 lb tiene libertad para moverse dentro de los límites de un tubo liso. El resorte tiene una rigidez k = 14 lb/p, y cuando no existe movimiento, la distancia d = 0.5 p. Determine la fuerza del resorte sobre el perno cuando éste se encuentra en reposo con respecto del tubo. El perno se desplaza con una rapidez constante de 15 p/s, a causa de la rotación del tubo en torno del eje vertical.

15 p s v2 15 2 aG 2.5 s Fn m a n

mg

3p d G k = 14 lb/p

vG

ks

2 15 2 32.2 2.5 s

14 32.2 2.5 s s 2 225 450.8 s 2 1127 s 450 0 s 0.350227 m F k s 14 0.350227 4.9032 lb

mg

R ta.



1.2.6. El bloque tiene un peso de 2 lb y presenta libertad para moverse sobre la ranura lisa del disco giratorio. El resorte tiene una rigidez de 2.5 lb/p y una longitud no estirada de 1.25 p. Determine la fuerza del resorte sobre el bloque y la componente tangencial de la fuerza que ejerce la ranura sobre los lados del bloque, cuando éste se encuentra en reposo con respecto del disco y éste se desplaza con una rapidez constante de 12 p/s.

Fn

m an : Fs

m

v2

2 122 k 1.25 32.2 80.5 2 100.625 288 0 2.61705 p R ta. Fs k 1.25 3.4176 lb R ta. v " constante" Ft m a t 0

k = 2.5 lb/pie

A 1.2.7. El bloque de 2 lb se suelta desde el reposo en A y se desliza sobre una superficie cilíndrica lisa. Si el resorte anexo tiene una rigidez k = 2 lb/p, determine la longitud no estirada de tal manera que no permita que el bloque se despegue de la superficie hasta = 60°.

Eje t : Ft m a t m g senθ m a t a t g senθ g senθ a t α r α 2 3 g senθ α dθ ωdω ωdω 0 0 2 Integral : g 1 0.5 ω2 g2 ω π

ω

Longitud no estirada estirada = 2 - s = 1.5 p

Eje n : Fr Fr s

Fn

2 pies k = 2 lb/p

m an

2ω 2 m g cos 60 m 2 mg mg mg ks 2 2 Fr mg 0.5 pies 2k

R ta.

n

60° mg t



1.2.8. Si la bicicleta y el ciclista tienen un y peso total de 180 lb, determine la fuerza normal resultante que actúa sobre la bicicleta cuando se encuentra en el punto A mientras se 5p desliza en movimiento libre a vA = 6 p/s. Asimismo, calcule el incremento en la rapidez del ciclista 20 p en este punto. Ignore la resistencia debida al viento y el tamaño de la bicicleta y el ciclista.

1

Fn

dy dx d² y dx ²

2

N

W

2

30934.8924 p

m a n : W cos

N m

N 180 cos Ft

y

m a t : W sen mat 180 sen at 180 32.2

v² 180 6² 32.2

20 cos

x x 20

x

x y 20 cos x 20 dy x x x 20 sen 20 cos dx 20 20 20 x x 20 cos x sen 20 20 d² y x x x 2 sen cos dx ² 20 20 20 para x 5 p : dy d² y 19.9780 , 0.2587 dx dx ² dy arc tan 87.1344 dx 3

vA = 6 p/s

9.0052 lb

32.1597 p s²

R ta.

R ta.



1.2.9. El bloque B, de 2 kg, tiene una velocidad vA = 2 m/s cuando llega al punto A. Determine la rapidez v del bloque y la fuerza normal NB del plano sobre el bloque, como una función de . Trace estos resultados como v contra y NB contra , y especifique el ángulo en el cual la fuerza normal es máxima. Ignore la fricción y el tamaño del bloque en el cálculo.

Ft m a t m g sen

0.5 m

B A

m at

NB

a t ds v dv a tr d v dv v

g r sen 0 g r cos

0

v dv 4 1 2

4.905 cos v

9.81cos Fn

NB NB

v² 1

v

g r sen 0

4

v dv

v 4 1 2

mg

v² 2

5.81 m s

R t a.

m an m g cos

m an v² 19 .62 cos 2 19 .60 cos r 58 .86 cos 23 .24 R ta.

v

2 9.81cos 0.5

5.81

NB

2

R ta.

35.62

R ta.

11.62 0

53.6830

0

53.6830 Nmáx 36 .62 lb R t a. para 0



I.3. Componentes Cilíndricas En este caso se expresan en la ecuación (C) las fuerzas y aceleraciones usando un sistema coordenado móvil r, θ, z : Fz Fr m a r

F

ma

Fz

maz

F P Fr

En el DCL de la partícula, cuando se va a realizar la sumatoria de fuerzas es conveniente conocer el ángulo que hace la z tangente de la trayectoria en el punto P (partícula) y el eje r , de tal manera que O r podamos hallar la dirección de la fuerza normal (perpendicular a la tangente, dirigida al centro de curvatura) y la fuerza de rozamiento (paralela a la tangente, en sentido opuesto al movimiento). El ángulo que hace la tangente a la trayectoria y el eje r , se conoce como (psi).

tra ectoria r = f θ

Cuando se trabaja en tres dimensiones, el ángulo es el que hace la proyección de la trayectoria sobre el plano r – , y el eje r .

r dr d

v

vvuˆ

r P

El valor de se calcula mediante la siguiente expresión :

tan

tangente

N

Fr

O

Ejemplos : 1.3.1. Una partícula, que tiene una masa de 1.5 kg, se desplaza sobre una trayectoria tridimensional que se define por las ecuaciones r = (4 + 3t) m , = (t ² - 2) rad y z = (6 – t³) m , donde t se expresa en segundos. Determine las componentes r , y z de la fuerza que ejerce la trayectoria sobre la partícula cuando t = 2 s . 3 160 m s 2 Fr m a r 2 a r &r & r θ& 2 r 4 3t 10 θ t 2 2 2 z 6 t & &θ& θ& r 3 2t 4 z& 3t 2 12 a r θ&& 2r 44 m s 2 F m a && &r & 0 &z& 2 6t 12 a z &z& θ FZ m a z 12 m s 2 θ

θ

θ

240 N 66 N 18 N

R ta.



1.3.2. El rastreador incorporado a un resorte AB tiene un peso de 0.75 lb y se desplaza hacia z = 0.1 sen C adelante y hacia z atrás a medida que su extremo se 0.2 p A B mueve sobre la & superficie irregular = 6 rad/s de la leva, donde k = 12 lb/p y r = 0.2 p z = (0.1 sen ) p. Si la leva gira con una rapidez constante de 6 rad/s, determine las fuerzas máxima y mínima que ejerce el rastreador sobre la leva si el resorte está comprimido 0.2 p cuando = 90°.

z 0.1sen z& 0.1cos &z& 0.1 cos & 6 && 0

& &&

sen

&2

N

para para

90 : z 0.1, s 0.2 0 : z 0, s 0.1

Fz F Fs

maz m &z& 0 .75 0 .1 32 .2 41 .34 sen 32 .2

F

Para Para

sen

F

s 0 .1 z

36

k 0 .1 0 .1 sen

1 .2

290 .8222 : Fmín 90 : Fmáx

0 2.4839 lb

Fs

R ta. R ta.

2.7 sen 32 .2

N

1 .2 1.2 sen



1.3.3. Una partícula tiene una masa de 0.5 kg y se encuentra confinada a moverse en la ranura horizontal lisa debida a la rotación del brazo OA. Determine la fuerza de la barra sobre la partícula y la fuerza normal de la ranura sobre la partícula cuando = 0°. La barra gira con una velocidad angular constante & 2 rad s . Suponga que la partícula tiene contacto con sólo un lado de la ranura en cualquier instante.

r 0.5 sec 0 .5 & r 0.5 sec tan & 0 &r & 0.5 sec 3 sec tan 2 para

0,

&

Fr 0

&2

0.5 sec tan

A &

2 rad s

0.5 m

O

2

&&

F 0

R ta.

1.3.4. La partícula partícula lisa tiene una masa de 80 g. Está unida a una cuerda elástica que se extiende de O a P y, debido al brazo ranurado de guía, se mueve sobre la trayectoria circular horizontal r = (0.8 sen ) m. Si la cuerda tiene una rigidez k = 30 N/m y una longitud no estirada de 0.25 m, determine la fuerza de la guía sobre la partícula cuando = 60°. La guía tiene una velocidad angular constante & = 5 rad/s. 90 r 0.8 sen 0.4 3 m F & r 0.8 cos & 2 m s &r & 0.8 sen & 2 10 3 m s²

ar &r & r 10 3 10 3 && a r && 2 r 20 m s²

R t a.

a r &r & r & 2 2 0.5 4 0 a 0 && a r && 2 r 0

2 , && 0

N m g 0.5 9.81 4.9050 N

&2

r

P r

0.4 m

&

= 5 rad/s

N O 90

20 3 m s² Fs W

Fs k s 30 r 0.25 12 3 7.5 N W 0.08 9.81 0.7848 N Fr m a r : N sen F

Fs W sen

3N 2 12 3 7.5 m a : F N cos W cos F

10.7924 2.5 3

0.08

20 3

0.3924 3 0.08 20

1 .6 3

0.3924 1.6

N 21.5848 5 3 N F

12.7848 2.5 3

8.4547 N

R ta.



1.3.5. El brazo OA guía la bola de 0.5 lb por una trayectoria circular vertical. Si el brazo tiene una velocidad angular & = 0.4 rad/s y una aceleración angular && = 0.8 rad/s² en el instante = 30°, determine la fuerza del brazo sobre la bola. Ignore la fricción y el O tamaño de la bola. Establezca r c = 0.4 p.

& &&

r r C 1 cos 2

30 0 .4 0 .8

r & &r &

0.4 sen 2 0.8 cos 2

2& 2 &2

&r &

Fr

r C

0.16 3 0.8 sen 2

30 30

60

W

ma

F Nsen30 F

r

0.128 0.32 3

0.224 0.32 3 0.48 0.128 3

0. 5 0.224 0.32 3 32.2 N 3 0.5 0.112 0.16 3 2 2 32.2 7.938 0.16 3 2.646 3 0.16 N 16.1 16.1 3 W cos 60

30

&&

F

N

F

0 .6

m a r

N cos 30

A

r

0. 4 1 0 .5

r & 2 0.128 0.32 3 0.6 0.4 2 r && 2 r 0.6 0.8 2 0.16 3 0.4 &&

a r a

P

Wsen60

0.4 5.34 3 32.2

0 .5 0.48 0.128 3 32.2

0.2997 lb

1.3.6. Un muchacho que se encuentra de pie en tierra firme hace girar a la niña sentada en el trineo o O “plato” redondo con una trayectoria circular de r=2m radio r o = 3 m, de tal forma que la rapidez angular de rotación de la niña es θ& o = 0.1 rad/s. 1 m Si el cable que los une, OC, se recoge hacia r o = 3 m adentro con una velocidad constante & = –0.5 m/s, determine la tensión que ejerce r sobre el trineo en el instante r = 2 m. La masa total del trineo y la niña es de 50 kg. Ignore el tamaño de éstos y los efectos de la fricción entre el trineo y el hielo.

Rpta.

C



1 d r 2θ& Se puede demostrar que : a 0 r dt Integrando : r 2θ& C , donde para r 0 3,θ& 0 0.1 C 0.9 del mismo modo : θ& 0.225 rad s r 2 4 1 Fr m ar θ

C 9 0.1 0.9 5

T cosα m &r & r θ& 2 T

m r θ& 2 cosα

50 2 0.225 2 5

2

5.66 N

R ta.

2

1.3.7. Utilizando la presión del aire, se fuerza a la bola bola de 0.5 kg a atravesar el tubo que se encuentra en el plano horizontal, que tiene la forma de una espiral logarítmica r 0.2 e 0.1 . Si la fuerza tangencial, debida al aire que se ejerce sobre la bola es de 6 N, determine el ritmo del incremento de la rapidez de la bola en el instante = /2. ¿En qué dirección actúa, medida a partir de la horizontal?

mat : F mat F 6 R ta. at 12 m s 2 m 0.5 0.2 e 0.1 r tan 10 dr d 0.02 e 0.1 R ta. ángulo 90 5.7106

r

r

0.2 e 0.1

F=6N

Ft

horizontal

84.2894 F

1.3.8. Utilizando la presión del aire, se fuerza a la bola bola de 0.5 kg a atravesar el tubo que se encuentra en el plano vertical, que tiene la forma de una espiral logarítmica r 0.2 e 0.1 . Si la fuerza tangencial, debida al aire que se ejerce sobre la bola es de 6 N, determine el ritmo del incremento de la rapidez de la bola en el instante = /2. ¿En qué dirección actúa, medida a partir de la horizontal?

0.2 e 0.1 r tan 10 84.2894 dr d 0.02 e 0.1 Ft m a t : F W cos mat R ta. 6 0.5 9.81cos 84.2894 at 11.0239 m s 2 0.5 ángulo 90 5.7106 R t a.

r

0.2 e 0.1

r F=6N

horizontal

F W



1.3.9. La barra en forma de horquilla se emplea para mover la la partícula lisa de 2 lb sobre la trayectoria horizontal en la forma de caracol, r = (2 + cos ) pies. Si en todo momento & = 0.5 rad/s, determine la fuerza que ejerce la barra sobre la partícula en el instante = 60°. La horquilla y la trayectoria hacen contacto con la partícula en sólo un lado.

2 .5 60 r 2 cos & 0.5 r sen & 3 4 &r & 0 cos & ² sen &&

& &&

2p

18

r

&

a r

&r &

a

r & ²

&& r && 2 r

tan

r dr d 70.8934

1 2.5 0.5 ² 8 3 2 0.5 4 r sen

Fr m a r N G sen m a r 2 3 NG csc 32.2 4 F NB

ma NG cos

NB

ma

3 p s² 4 3 p s² 4

3p

5 3 3

r

NB 3 64.4 sen

lb

tangente NG 90

ma NG cos

2 32.2

3 4

3 cot 64.4

0.01076 lb

R ta.



1.3.10. La barra en forma de horquilla se emplea para mover la partícula lisa de 2 lb sobre la trayectoria horizontal en la forma de caracol, r = (2 + cos ) p. Si = (0.5 t²) rad , donde t se expresa en segundos, determine la fuerza que ejerce la barra sobre la partícula en el instante t = 1 s. La horquilla y la trayectoria hacen contacto con la partícula en un solo lado. & &&

a r a

0 .5 t ² 0.5 rad t 1 rad s 1 1 rad s ² r r & 2 & & r && 2 r

&&

2p

r

&

r 2 cos 2 cos 0 .5 & r sen & sen 0 .5 &r & cos & 2 sen && cos 0.5 sen 0 .5

cos 0.5 sen 0.5 2 cos 0.5 2 cos 0 .5 2 sen 0.5

3p

2 2 cos 0.5 sen 0.5

m a r 2 N cos 2 2 cos 0.5 sen 0.5 32.2 4 4 cos 0.5 2 sen 0.5 N 32.2 cos F ma 2 F N sen 2 cos 0.5 2 sen 0.5 32.2 4 2 cos 0.5 4 sen 0.5 F N sen 0.1630 lb 32.2

N

Fr

F uˆ

tangente

2 cos 0.5 r dr d sen 0.5 1.4057 rad

tan

R t a. 2

(ángulos en radianes)

uˆ r



II. Trabajo y Energía Trabajo (U) El trabajo de una fuerza es el producto escalar de de la componente de dicha fuerza en dirección del desplazamiento, por el desplazamiento mismo. v

v

F

ds

v

dU F dr

s

dU F ds cos

v

d r Luego :

U1 2 U1 2

r 1 v r 2

s1 s2

v

F dr

... (T)

F cos ds ... (T)

Unidades S.I. Británico Trabajo Joule (J) Libra.pie (lb.p) Fuerza Newton (N) Libra (lb) Desplazamiento Metro (m) Pies (p)

y si F es constante : U1 2

F cos

U 0 s2

s1

U

Se debe remarcar que no todas las fuerzas producen trabajo, y una misma fuerza puede producir Umín imo ( ) trabajos distintos, dependiendo del ángulo que hace con el desplazamiento de la partícula. U

F

F F

F

U F

P

Umáx imo ( )

F

F F U 0

desplazamiento U

Trabajo de algunas fuerzas típicas : El trabajo del peso (UW) es el producto de la magnitud del peso de la partícula por su desplazamiento vertical. Si la partícula se eleva, el trabajo del peso será negativo. Si la partícula se desplaza hacia abajo, el trabajo del peso será positivo. UW W h La fuerza normal no genera trabajo porque, al asumir que toda partícula y las superficies de contacto sólidas son indeformables, el movimiento de toda partícula queda limitado por las superficies de contacto sólidas, y no puede haber movimiento a través de ellos.

N

h



El trabajo de la fuerza de fricción (Uf ) es el producto de la magnitud de la fuerza de fricción por el desplazamiento. En este caso, como existe desplazamiento, la fuerza de fricción se expresa utilizando el coeficiente de fricción cinético, es decir Ff = k N. Cabe mencionar que, como la fuerza de fricción siempre va en sentido opuesto al movimiento, el trabajo de la fuerza de fricción es siempre negativo.

vv s v

Ff N Uf

k

N s

El trabajo de la fuerza de resorte (Us) es el producto de la fuerza de resorte por el desplazamiento de la partícula sujeta al resorte por uno de los extremos de éste. En este caso, como la fuerza del resorte se incrementa con su estiramiento, la fuerza de resorte se debe obtener por integración. Cabe mencionar que, como el resorte siempre se opone al movimiento, el trabajo que realiza es siempre positivo.

desplazamiento s s s2

U1 2

s1

U1 2

s2

Fsds

1 2

k s22

s1 1 2

No deformada

k s ds

F

k s12 F

Estirada

Comprimida

II.1. Principio del Trabajo y la Energía La expresión del trabajo de una fuerza puede hallarse a partir de la expresión (C), de la segunda ley de Newton, la que quedaría: v

v

F ma v

v

v

v

F dr m a dr

z

Como las fuerzas normales no generan trabajo, ya que el movimiento de una partícula es siempre tangencial a la trayectoria, sólo se considera a las fuerzas tangenciales: s

genera trabajo v

v

d r

Ft v

v

r

Fn no genera trabajo y

x

Mecánica II Ing° Hugo D. Pachas Luna v

v

v


v

Ft dr m a t d r m a t ds 2v

v

2

1 2 2

F d r 1 U1

2

1 2

U1

2

EK 2

mv

m v dv 1 2

m v 12

EK 1

Esta última ecuación representa el principio del trabajo y la energía de una partícula, en donde U1 2 es el trabajo realizado por la sumatoria de fuerzas que actúan sobre la partícula mientras se desplaza desde el punto 1 al punto 2, y E K es la energía cinética que posee la partícula en un punto dado, 1 ó 2. La energía cinética ( 21 m v 2 ) es siempre un valor escalar positivo, cuyas unidades son las mismas que para el trabajo, es decir Joules o lb.p. El principio del trabajo y la energía es también representada por la siguiente expresión: EK 2

EK 1

U1 2

Lo cual significa que si a una partícula, con una energía cinética inicial E K 1 se le aplica un trabajo U1 2 , al final la partícula tendrá una energía cinética EK 2 .

Ejemplos: 2.1.1. Una bala que se desplaza con una rapidez de 1000 pies/s experimenta una reducción de ésta a 900 pies/s al atravesar una tabla. Determine la cantidad de tablas que penetrará antes de detenerse.

U0

1

Ek 2 v2

Ek 1 Ek 0

1 2

m 900

E k 1 U : 21 m v 22

1 2

2

1 2

m 900

m 1000 2

2

95000 m U

" constante"

95000

100 62

igualmente , v 3 100 43 , v 4 100 24 , v 5 100 5 Luego, sólo atraviesa 5 tablas y hace una marca en la 6ta.

R ta.



2.1.2. El peso del bloque A es de 60 lb y el del bloque B es de 10 lb. Si el coeficiente de ficción cinética entre el plano y el bloque es de k = 0.2, determine la rapidez del bloque A después de deslizarse 3 pies por una pendiente, comenzando desde el reposo. Desprecie la fricción y la masa de la cuerda y las poleas.

B

A

5 3 4 4 Fy 0 : N 60 N 48lb fr N k 9.6 lb 5 1 1 3 E k 2 E K1 U1 2 : m A VA2 m B VB2 0 0 60 9.6 3 10 6 2 2 5 1 60 2 1 10 VB 2VA : VA 4 VA2 19.2 VA 3.5164 pies s 2 32.2 2 32.2

A

2.1.3. Las canicas, que tienen una masa de 5 g, caen desde el reposo en A a través del tubo de vidrio y se acumulan en el bote en C. Determine la ubicación R del bote, con respecto del extremo del tubo, y la rapidez con que las canicas caen dentro de aquél. Desprecie el tamaño del bote.

EK C 1 2

m v C2

vC EK C 1 2

m v C2

vB

EK A

UA

C

R ta.

B 3m 2m C

:

R

0 m ghA 2 ghA 2 9.81 3 E K B UB C : 1 2

v C2

m v B2 2 g hB

58.86

R ta.

7.6720 m s

m g hB 58.86 2 9.81 2

19.62

2.1.4. La barra de acero, cuya masa es de 1800 kg, se desplaza por una banda transportadora con una rapidez de v = 0.5 m/s cuando chocó con un par de resortes “anidados”. Si la rigidez del resorte externo es kA = 5 kN/m, determine la rigidez del resorte interior requerida kB para que la barra se detenga cuando el frente C de la barra se encuentre a 0.3 m del muro.

R ta.

4.4294 m s

0.5m 0.45m kB kA

C A

B

Mecánica II Ing° Hugo D. Pachas Luna EK 1 U1 2 1 2

m v²

1 2


EK 2 k A s 2A

1 2

k B sB2

0

1800 0.5 2 21 5000 0.5 0.3 225 100 0.01125 k B 0 100000 kB 11111 .1111 N m 9 1 2

2

1 2

k B 0.45 0.3

0

R t a.

2.1.5. El cilindro de 5 lb cae desde A, con una rapidez vA = 10 p/s, a una plataforma. Determine el desplazamiento máximo de la plataforma causado por la colisión. El resorte tiene una longitud no estirada de 1.75 pies y originalmente se encuentra comprimido gracias a los cables de 1 pie de longitud unidos a la plataforma. Desprecie la masa de la plataforma y el resorte y cualquier energía que se pierda durante la colisión.

EK 2

2

vA = 10 p/s

A

3 pies

E K 1 U1- 2

2 2 1 1 m v 22 21 m v 12 W h 1 h 2 2 k s1 2 k s2 5 10² 0 5 3 d 21 400 0.75² 0.75 d 2 32.2 - 200 d² - 295 d 22.763975 0 R ta. resolviendo : d 0.0735032 pies 1 2

k = 400 lb/p 1 pie

2

2.1.6. El camión T arrastra la piedra de 100 kg por una superficie lisa. Si el cable de arrastre pasa por una pequeña polea en A, determine la rapidez de la piedra cuando = 60°. Dicha piedra T está en reposo cuando = 30° y el A B camión ejerce una fuerza constante F = 500 N sobre el cable B.

8m

s 8 cot ds 8 csc 2 d U

F ds 8F

EK 1 U

60 30

60

2 F cos 8 csc d 30

cot csc d

8 F csc 60 U1 2 EK 2 m v2 2

C

csc 30 v

8 F csc 16 F 1 32 F 1 m

60 30

33 33

8.2234 m s

R ta.



2.1.7. El ciclista se dirige d irige al punto A, pedaleando hasta que alcanza una rapidez v A = 8 m/s. Luego se mueve por la sola inercia, hacia arriba sobre la superficie curva. Determine la altura a la que llega antes de detenerse. También, calcule la fuerza normal resultante sobre la superficie y la aceleración en ese punto. La masa total de la bicicleta y el hombre es de 75 kg. Desprecie la fricción, la masa de las ruedas y el tamaño de la bicicleta.

EK1 U1 2 1 2

2 1

mV

1 2

2 2

x

2

y

y

2

x

4m y=x

B 45°

A x 4m

dy dx

2

x m

mg

N m g cos arc tan N 78.54 N

mat

V22

R ta.

0.0376 m

a

N

x

N m g cos

2

m g sen

x1/2 + y1/2 = 2

mV

V12 h 3.2620 m 2g 2

C

tan

EK 2

m gh

y

g sen arc tan

2

x x

2

x x

R t a. 9.7539 m s 2

R ta.

2.1.8. El ciclista de la pregunta anterior se dirige al punto A, pedaleando hasta que alcanza una rapidez vA = 4 m/s. Luego se mueve por la sola inercia, hacia arriba sobre la superficie curva. Determine la altura a la que llega antes de detenerse. También, calcule la fuerza normal resultante sobre la superficie y la aceleración en ese punto. La masa total de la bicicleta y del hombre es de 75 kg. Desprecie la fricción, la masa de las ruedas y el tamaño de la bicicleta. N

Ek 2

E k 1 U1 2 m v 12

0

1 2

mg y

y

v 12 2g

16 0.8155 m 2 9.81

x

2

y

y

2

2 2

1.2033

x dy x 2 tan dx x 39.4623

Fn

R t a.

m an

N W cos m02 N W cos 75 9.81 cos N 568.0304 lb R ta. Ft m a t m g sen m a t a t g sen 9.81sen at 6.2349 p s² R ta.

W



2.1.9. El hombre de la ventana A desea lanzar al suelo el saco de 30 kg. Para esto, desde el reposo lo hace oscilar de B a C; luego suelta la cuerda a = 30°. Determine la rapidez con la que 16 m golpea el suelo y la distancia R que recorre.

A B 8m 8m

C

D R E kB

UB

C

0 8 cos vC

4

3 2

EkC

E kB

30 9.81 30 v C2 2

0 16 30 9.81 30 v D2 2

9.81 11.65896 m s v D

UB

v C sen 30 t

1 2

E kD

R ta.

4 2 9.81 17.71779 m s

Tramo C D : Eje y : Caída Libre 16 8 cos 30

D

h vOt

1 2

a t2

(

)

g t2

4.905 t 2 11.65896 21 t 4 3 16 0 t 2.07836 s Eje x : R 8 8 sen 30 v C cos 30 t 32.98511 m

R ta.

2.1.10. El resorte tiene una rigidez k = 50 lb/p y longitud no estirada de 2 p. Como se ilustra, está confinado entre la placa P y el muro por medio de cables, de modo que su longitud es de 1.5 p. Determine la rapidez vA del bloque de 4 lb cuando se encuentra en A, de modo que se deslice sobre el plano horizontal, golpee la placa y la empuje hacia delante 0.25 p antes de detenerse momentáneamente. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano es k = 0.2. Desprecie la masa de la placa y del resorte, así como la pérdida vA de energía entre la k P placa y el bloque durante la colisión.

EK 1 U1 2

EK 2

1.5 p

m A v 2A 21 k s 22 21 k s12 WA 5.25 0 4 1 v 2A 21 50 0.75 ² 0.5² 0.2 4 5.25 0 2 32 .2 vA 193 .40125 13 .9069 p s R ta. 1 2

5p

A



II.2. Potencia y Eficiencia La potencia es la cantidad de trabajo realizada por unidad de tiempo, es decir:

P

dU 1 dt

Unidades S.I. Británico 1 Potencia Watt (W = J/s) Horse Power (HP = 550 lb.p/s) 1HP=746W v

v

Si expresamos el trabajo dU como F d r :

P

dU dt

v

v

F dr v v F v dt

La eficiencia mecánica ( m) es la relación entre la potencia proporcionada por un sistema y la potencia recibida por dicho sistema. Asimismo, la pérdida mecánica (Pm) es la relación entre las pérdidas de potencia en un sistema y la potencia recibida por dicho sistema.

potencia de entrada (Pe ) m

Pm

potencia de salida potencia de entrada pérdidas potencia de entrada

Luego :

m +

Pm = 1

sistema

pérdidas potencia de salida (Ps )

Si las cantidades de las potencias de entrada y de salida son evaluadas en el mismo intervalo de tiempo, la eficiencia también puede expresarse como una relación de energías, dado que P = dU/dt. f

1

energía de salida energía de entrada

En el sistema métrico también se suele usar el caballo de fuerza (Pferdestärke (PS)), o caballo de vapor (CV), ambos equivalentes a 75 kgf·m/s = 735.5 N·m/s = 735.5 W



Ejemplos : 2.2.1. El automóvil deportivo mostrado tiene una masa de 2.3 Mg y mientras se desplaza a 28 m/s, el conductor causa una aceleración de 5 m/s². Si la resistencia al avance del carro, opuesta por el viento es FD = (0.3 v²) N , donde v es la velocidad en m/s, determine la potencia proporcionada al motor en ese instante. Dicho motor tiene una eficiencia de operación m = 0.68.

Fx

m a : F FD

ma

F 0.3 28 2 2300 5 11735.2 Ps F v 11735.2 28 328585.6 W 328585.6 Pe (motor ) 483.2141K W 647.74 HP 0.68

R ta.

2.2.2. Se utiliza el motor M para izar el elevador de 500 kg con una velocidad constante VE = 8 m/s m/s. Si el motor consume 60 KW de potencia eléctrica, determinar su eficiencia. Despreciar la masa de las poleas y el cable.

WE T Ps m

FD

3T WE 500 9.81 1635 3 3 F v 3T v 3 1635 8 39.24 Ps 39.24 0.654 65.4 % Pe 60 R ta.

T

M

2T E

WE E



2.2.3. El collarín de 10 libras se encuentra en reposo cuando de pronto es elevado al aplicar una fuerza horizontal F = 25 libras a la cuerda. Si la barra es lisa, determine la potencia que desarrolla la fuerza en el instante = 60°. 3p s 3 cot F ds 3 csc 2 d

UF

F ds 3F

Uw

60 37

F

60

2 F cos 3 csc d 37

cot csc d

60

3 F csc

w

4p

37

3 F csc 60 csc 37 3F 2 3 3 5 3 4 3 w 10 3 4

25 5 2 3

A

U UF U w 85 40 3 E K 1 U1 2 E K 2 U P

m v2 10 v 2 2 32.2 2 F v cos 60 0.22866 HP 550

32.2 85 40 3 5

v

547.4 257.6 3

R ta.

2.2.4. La caja tiene una masa de 150 kg y se encuentra en reposo sobre una superficie cuyos coeficientes de fricción estática y cinética son M y s = 0.3 k = 0.2, respectivamente. Si el motor M proporciona una fuerza al cable de F = (8 t² + 20) N , donde t se expresa en segundos, determine la potencia de salida que desarrolla el motor cuando N t = 5 s.

t 1 para que el bloque se mueva : Fy 0 : N m g 150 9 .81 1471 .5 0 .3 1471 .5 sN Fx 0 : 3 F N F 147 .15 s 3 3 F 20 5 dv t1 15 .89375 a a dt 8 t1 dt 5 0 .16 t 2 1 .562 dt Fx m a : 3 F kN m a t 1

3 8 t 2 20 0.2 1471 .5 a 0.16 t 2 1.562

150 a

v

1 3

0 .16 t 3

1 .562 t

2F F

N mg

v

dv

0

v 0 5 t1

dv 1 .7045

F 8 5 2 20 220 Pot 3 v F Pot 1124 .9680 W

R ta.

Mecánica II Ing° Hugo D. Pachas Luna 2.2.5. La carga de 50 libras es levantada por medio de un sistema de poleas y un motor M. Si el motor ejerce una fuerza constante de 30 libras sobre el cable, determine la potencia que es preciso proporcionar al motor si la carga fue elevada s =10 pies iniciando desde el reposo. El motor tiene una eficiencia m = 0.76.

ma WB m B a B Potencia de salida : T v 60 vB 60 50 32.2 aB 6.44 pies s 2 M M 50 Potencia de entrada : 2 2 para s 10 m : v B v 0 2 a B s B 60 vB 1.6290 HP 0.76 550 vB 128.8 , v M 2 v B

Página 31 Cinética de la Partícula M

F 2 TM

B s

R t a.

2.2.6. Un carro tiene una masa m y acelera sobre una trayectoria rectilínea horizontal, partiendo del reposo, tal que la potencia es siempre una cantidad constante P. Determine la distancia d que debe recorrer para alcanzar una rapidez v. dv P F v , a ds v dv a v ds d v dv P mv v P 0 ds m 0 v 2 dv ds m v3 v3 Pd m d R ta. 3 3P F [N] 2.2.7. Una bola de béisbol, con una masa masa de 800 0.4 kg, es lanzada de modo que la fuerza que actúa sobre ella varía con el tiempo, según se muestra en la primera gráfica. Asimismo, la 0.2 0 .3 velocidad de la bola, que actúa en la v [m s ] misma dirección que la fuerza, varía 20 con el tiempo, según se ilustra en la segunda gráfica. Determine la potencia máxima que desarrolla 0 .3 durante el lapso de 0.3 s.

Los valores de la fuerza y la velocidad varían según las siguientes expresiones : 160000 t F 800 , para 0 t 0.2 P para 0 t 3 F 2400 8000 t para 0.2 t 0.3 1600000 t ² P 160000 t para 0.2 t 200 t v 3 3

t [ s]

t [ s]

0.2 0.3



P F V , donde Pmáx se producirá cuando t P

160000 0.2 3

P 160000 0.2

0.2 s, ya que después la pendiente de F será negativa y mayor que la pendiente de la velocidad

32000 10666.6667 W 3 1600000 t ² 32000 10666.6667 W 3 3

R ta.

2.2.8. El trineo cohete tiene una masa de 4 Mg y se desplaza, desde el reposo, sobre una pista horizontal cuyo coeficiente de fricción cinética es k = 0.20. Si el motor proporciona un impulso constante T = 150 KN, determine la potencia de salida del motor como v una función del tiempo. Desprecie la T pérdida de masa de combustible y la resistencia del aire.

Eje y : N m g 4 9.81 39.24 Eje x : T KN m a 150 0.2 39.24 4 a a 35.5380 m s² v a t 35.5380 t Ps T v 150 35.5380 t 5330.7 t KW R t a.

T

N K

N

mg

2.2.9. El trineo cohete tiene una masa de 4 Mg y se desplaza, desde el reposo, sobre una pista horizontal lisa de tal manera que mantiene una potencia de salida constante de 60 kW. Desprecie la pérdida de masa de combustible y la resistencia del aire, hallar la v distancia que debe recorrer para T alcanzar una rapidez de v = 60 m/s.

Ek 2 1 2

s

E k 1 U1 2

m v2 1 2

0 F s , donde F

4000 60² 60 60000

7200 m

P v

R ta.



II.3. Energía Potencial Es una medida del trabajo que puede realizar una fuerza o conjunto de fuerzas para desplazar una partícula desde un nivel de referencia hasta un nivel determinado, sin pérdida ni ganancia de energía desde o hacia el exterior. Las unidades son las mismas que para la energía cinética o el trabajo. En este apartado se tomarán en cuenta la energía potencial debida al peso (energía potencial gravitacional) y al resorte elástico (energía potencial elástica). La Energía Potencial Gravitacional (EPG) es el producto de la magnitud del peso de la partícula ( W) por su distancia por encima del nivel de referencia. De esto se deduce que, si la partícula se encuentra por debajo del nivel de referencia, su energía potencial gravitacional será negativa. Asimismo, se infiere que si la partícula se encuentra sobre el nivel de referencia, su E PG será cero. Otra forma de interpretar esta idea es evaluar el trabajo que requerirá hacer el peso para llevar la partícula hacia el nivel de referencia.

E P G = W (∆h) EPG = 0

Nivel de referencia

∆h ∆h

E P G = − W (∆h)

La Energía Potencial Elástica (EPE) es equivalente al trabajo requerido por un resorte elástico para retornar a su punto de no deformación (nivel de referencia), y, por consiguiente, su valor es siempre un escalar positivo.

s

s No deformada F

F

EP E = 0 E P E = 21 k s 2

Estirada

Comprimida

E P E = 21 k s 2



Conservación de la Energía Se puede expresar en forma genérica la ecuación de la conservación de la energía como:

E K 1 + E P 1 + ∑ (U1− 2 )no conservativas = E K 2 + E P 2 donde

∑ (U

)

1− 2 no conservativas

es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas

desde el punto 1 hasta el punto 2. Las fuerzas no conservativas son aquéllas que provocan un incremento o disminución de la energía del sistema de partículas. Son fuerzas no conservativas las de resistencia al avance (fuerza de rozamiento, ocasionan una pérdida de energía) y las fuerzas externas (ocasionan, ya sea una ganancia de energía, si aceleran la partícula, o una pérdida de energía, si desaceleran la partícula). Si sobre el sistema de partículas no actúan fuerzas no conservativas, entonces se dice que la energía mecánica se conserva, por lo que:

EK 1 + EP 1 = EK 2 + EP 2

Ejemplos : 2.3.1. El collarín tiene un peso de 8 lb. Si se le suelta desde el reposo, a una altura h = 2 p, desde la parte superior de un resorte no comprimido, determine la rapidez del collarín después de caer y comprimir el resorte 0.3 p (k = 30 lb/p).

EK1 + EP1 = EK2 + EP2

h

0 + W h = 21 m v2 + 21 k s2 W h − 21 k s2 v= 1 2m 8 (2.3) − 21 (30)(0.3)2 = 137.2525 ≅ 11.7155 p s v= 1  8   2  R ta.  32.2 

k = 30 lb/p



2.3.2. Cada una de las ligas de hule de la resortera tiene una longitud no deformada de 200 mm. Si son jaladas hasta la posición que se ilustra y se sueltan desde el reposo, determine la altura máxima que alcanzará la munición de 25 g si es disparada en forma vertical hacia arriba. Desprecie la masa de las bandas de hule y el cambio de elevación de la munición mientras se halla constreñida en ellas. 50 mm Cada una tiene una rigidez k = 50 N/m. 50 mm

s = 0.24 2 + 0.05 2 − 0.2 EK 1 + EP 1 = EK 2 + EP 2 2 21 (50 ) s 2 + 0 = 0 + 0.025 (9.81)h h = 0.4157 m R t a.

2.3.3. Si se suelta el cilindro de 20 kg desde el reposo en h = 0, determine la rigidez k requerida para cada resorte de modo que el movimiento se detenga cuando h = 0.5 m. Cada resorte tiene una longitud no deformada de 1 m.

240 mm

2m

2m h

k = 40 N/m

k = 40 N/m

s1 = 2 − 1 s 2 = 2 2 + 0.5 2 − 1 E K 1 + EP 1 = EK 2 + EP 2 0 + 2 (21 k s12 ) = 0 − m g h + 2 (21 k s22 ) m gh 20 (9.81) (0.5 ) 98 .1 k= 2 = ≅ 773 .0839 N m 2 2 = s 2 − s1 ( 4.25 − 1) − 12 4.25 − 2 4.25

R ta.

2.3.4. Sólo por divertirse, dos estudiantes de Ingeniería, A y B, de 100 lb cada uno, intentan lanzarse, desde el reposo, de un puente utilizando una cuerda elástica (cuerda bungee) que tiene una rigidez k = 80 lb/p. Desean llegar sólo a la superficie del río, cuando A, unido a la cuerda, suelta a B en el momento que tocan el agua. Determine la longitud no deformada de la cuerda adecuada para hacerlo, y calcule la aceleración máxima del estudiante A y la altura máxima que alcanza sobre el agua después de rebotar. A partir de los resultados, comente la factibilidad de realizar este salto.



120 p

EK 1 + EP1 = EK 2 + EP 2

,1 = puente ,

A

B

2 = agua

0 + (200 )(120 ) = 0 + 21 (80 )(120 − L )2 L = 120 − 10 6 ≅ 95.5051 p ∑ FA = m A a A : Fs − WA = m A a A k s − WA (80 )(120 − L ) − 100 aA = = = 257.6 6 − 32.2 ≅ 598.7886 p s² 100 mA 32.2 E K 2 + E P 2 = E K 3 + E P 3 ,2 = agua , 3 = altura máxima

R ta.

0 + 21 (80 )(120 − L )2 = 0 + (100 )(h max ) h máx = 240 p (> 120 + L ) 0 + 21 (80 )(120 − L )2 = 0 + (100 )(h max ) + 21 (80 )(h max − 120 − L )2 h max ≅ 206.3305 p

R ta.

No es recomendable hacer este salto, pues el estudiante A rebotará en el aire, una vez alcanzada la altura máxima, y caerá con fuerza al puente.

R t a.



2.3.5. La bola tiene un peso de 15 libras y está unida a la barra cuya masa es despreciable. Si se suelta desde el reposo cuando = 0°, determine el ángulo en el que la fuerza de compresión de la barra llega a cero.

∑F

n

= m an

v2 m g cos θ = m ρ v2 → 32.2 cos θ = 3 EK1 + EP1 = EK 2 + EP 2

θ

w

v 2 = 96.6 cos θ

3p

3 m g = 21 m v 2 + m g 3 cos θ 3 (32.2 ) = 21 96.6 cos θ + 32.2 (3 cos θ ) θ = arc cos (2 3 ) = 48.1897° cos θ = 2 3 →

R ta.

2.3.6. Si el carro de la montaña rusa y tiene una rapidez se vA = 5 pies/s cuando encuentra en A y desciende x² por la pista gracias a la sola y = inercia, determine la rapidez 200 vB que alcanza cuando llega al punto B; también, la fuerza normal que un pasajero de B 150 libras ejerce sobre el carro cuando está en B. En este punto, la pista sigue una trayectoria definida por y = x²/200. Desprecie los efectos de la fricción, la masa de las ruedas y el tamaño del carro. 2

Ek 1 + EP 1 = Ek 2 + Ep 2 1 2

m v 2A + m g h = 21 m v B2 + m g 0

1 2

(5 )² + 32.2 (150 ) = 21 v B2

v B = 9685 ≅ 98.4124 p s dy d² y x 1 = = , dx 100 dx ² 100

3

[1 + (dy dx ) ]

ρ=

A

150 pies

x

2

= 100

d² y dx ² x=0

v² ρ 150 × 9685 v² ≅ 601.1646 lb N = W + m = 150 + ρ 32.2 × 100

∑F

n

= m an

:

N− W = m

R t a.



2.3.7. El ensamble consiste en dos bloques A y B cuyas masas son de 20 kg y 30 kg, respectivamente. Determine la rapidez de cada bloque cuando B desciende 1.5 m. Los bloques se sueltan desde el reposo. Desprecie la masa de las poleas y las cuerdas.

3 v A = − v B → para s B = 1.5 m (↓ , s A = 0.5 m (↑ ∑ EK1 + ∑ EP1 = ∑ E K2 + ∑ E P2

+ 0 = 21 m A v 2A + 21 mB v B2 + m A g h A + m B g h B 0 = 10 v 2A + 15 v B2 + (10 − 45 ) g 343.35 = 1.5388 m s (↑ ) 3 v A = −v B → v A = 145 v B = −3 v A = 4.6164 m s (↓ ) R ta. 0

B A

2.3.8. Se utiliza el tope de doble resorte para v = 8 pies/s B k2 detener la barra de acero de A k1 1500 libras en la banda de rodillos. Determine la rigidez k = k1 = k2 de cada resorte, de modo que no se compriman más de 0.2 pie después de ser golpeados por una barra que se desplaza con una rapidez de 8 pies/s. Desprecie la masa de los resortes, rodillos y las placas A y B.

Ek 1 + Ep 1 = Ek 2 + Ep 2 1 2

m v 2 + 0 = 0 + 21 k s² + 21 k s²

1500 2 (8) = 2 k s² 32.2 48000 = 37.2671 klb p k= 32.2 (0.2)2

R t a.



2.3.9. Cuatro cables no elásticos C se encuentran unidos a la placa P y mantienen el resorte de 20” con una compresión de 6”, cuando no actúa compresión alguna sobre la placa. Si el bloque B, que tiene un peso de 7 libras, es colocado sobre la placa, ésta sufre un empuje hacia abajo y = 8” y se suelta desde el reposo, determine la altura a la que se eleva el bloque desde el punto en que se libere. Desprecie la masa de la placa. El resorte tiene una rigidez k = 20 lb/pie.

B P y 14”

C

EP1 + EK1 = EP 2 + EK 2 W (− y) + 21 k (y + 6 )2 + 0 = 21 k (6 )2 + 21 (7 g) v 22 20 20  2 g 464 g  = v 22 =  − 7 (8) + 21 (14 )2 − 21 (6 )2  12 12 7 21   464 v 23 = v 22 − 2 g h : 0 = g − 2 gh 21 232 400 ≅ 19.0476 pu lg h= , se pide h + 8 = 21 21

R ta.

2.3.10. Un pistón es diseñado para disparar un bloque de 3 lb a 2 p en el aire, medido con respecto del punto en que el bloque es empujado hacia abajo, y = 5”, y se suelta desde el reposo. Si la rigidez del resorte es k = 30 lb/p, determine la longitud no comprimida de éste que es 14” preciso utilizar en el instrumento. Cuatro cables no elásticos C mantienen en su lugar a la placa P, cada uno de los cuales tiene una longitud de 14”.

B P y C

EP2 + EK 2 = EP3 + EK 3

EP1 + EK1 = EP2 + EK2

0 + 21 m v 22 = W h 3 + 0 1  3  2  v 2 = 3 (2 ) 2  32 .2 

W y + 21 k (s + y )2 + 0 = 0 + 21 k s 2 + 21 m v 22 3 (−

1 12

5 ) + 21 30 (s +

1 12

 3  128 .8 5 )2 = 21 30 s 2 + 21    32 . 2 

1 .115 3 14 1 .115 4 .615 + = ≅ 1 .5833 p = 18 . 46 " long. no def. = 12 3 3

→ v 22 = 128 .8

→ s=

R t a.



2.3.11. El esquiador arranca A desde el reposo en A y desciende por la rampa. Si es posible despreciar la fricción 50 m y la resistencia del aire, determine la rapidez vB al llegar a B. También, calcule la distancia s que recorrerá para aterrizar en C, si realiza el salto desplazándose en dirección horizontal en B. Desprecie el tamaño del esquiador, que tiene una masa de 70 kg.

vB B

4m

s

C

30°

E K A + E P A = E K B + E P B : 0 + m (9.81) (46) = 21 m v B2 → v B = 902.52 ≅ 30.0420 m s Eje y : s y = v 0 t + 21 a t ² R t a. 8+s 8 s 9 . 81 t ² t + = → = 9.81 4 + s sen 30° = 21 9.81t ² Eje x : s x = v x t 3 s² − 368 s − 2944 = 0 8+s s cos 30° = 902.52 9.81 184 + 8 667 R ta. s = ≅ 130.2036 m 3 s ² 736 92 s = + 3 4 2.3.12. El bloque tiene tiene una masa de 20 kg y se suelta desde el reposo cuando s = 0.5 m. Si se desprecia la masa de los topes A y B, determine la deformación máxima de cada resorte debida a la colisión.

∑E

K1

+ ∑ EP 1 = ∑ EK 2 + ∑ EP 2

kA = 500 N/m

s = 0.5m

0 + 20 (9.81) (0.5 + s A + s B ) = 0 + 21 k A s 2A + 21 k B s B2

B

kB = 800 N/m

196.2 + 392.4 (s A + s B ) = k A s 2A + k B s B2 Fr A = Fr B : k A s A = k B s B → s B = 58 s A 196.2 + 637.65 s A = [500 + 800 (58 ) ] s 2A 2

812.5 s 2A − 637.65 s A − 196.2 = 0 →

s A = 1.02125 m s B = 0.63828 m

A

R ta.



III. Impulso y Momento Lineales III.1. Principio del Impulso y Momento Lineales Con el propósito de analizar el movimiento en el que una fuerza es aplicada durante un determinado tiempo, debemos expresar la expresión (C), de la segunda ley de Newton, de la siguiente manera:

dvv ∑ F = m a = m dt v

∑∫ ∑∫

v

t2 v t1

v2

F dt = m ∫ v dvv 1

t2 v t1

F dt = m vv 2 − m vv 1

Esta ecuación, escrita de la siguiente manera:

Unidades

∑∫

t2 v

m vv 1 + ∑ ∫ t F dt = m vv 2 ,

t2 v t1

F dt

m vv

1

S.I.

Británico

N·s

lb·s

kg·m/s

slug·p/s

se conoce como el principio del impulso y momento lineales. Como puede demostrarse, las unidades del Impulso y del Momento lineales son equivalentes. t2 v

El Impulso Lineal ( ∑ ∫ t F dt ) es una cantidad vectorial que que mide el efecto 1

de la fuerza durante el tiempo ven que ésta actúa. Este vector tiene la misma dirección y sentido que el vector F . El Momento Lineal ( m vv ) es una cantidad vectorial que que mide el movimiento de una partícula. Este vector tiene la misma dirección y sentido que el vector vv y es conocido también como cantidad de movimiento .

∑∫

v

m v1

t2 v t1

F dt

=

+ m vv 1

∑∫ m vv 2

t2 v t1

F dt

m vv 2

Principio del Impulso y Momento Lineales



Si se descompone el movimiento de la partícula en sus componentes rectangulares, se puede descomponer los vectores Impulso y Momento Lineales en sus componentes x, y y z: t2 v

m vv x 1 + ∑ ∫ t Fx dt = m vv x 2 1

t2 v

m vv y 1 + ∑ ∫ t Fy dt = m vv y 2 1

t2 v

m vv z 1 + ∑ ∫ t Fz dt = m vv z 2 1

Ejemplos : 3.1.1. Se lanza una bola de 2 lb en la dirección que aparece en la figura con una rapidez inicial vA = 18 p/s. Determine el tiempo necesario para que alcance el punto más alto B y la rapidez a la que se desplaza en dicho punto B; use el principio del impulso y el momento para resolver el problema.

B v A = 18 p s A

30 °

v

m vv 1 + ∑ ∫ F dt = m vv 2 t

Eje y : m v sen 30° + ∫0 W dt = 0 2 (18 )( 21 ) + 2 t = 0 32.2 9 R ta. t= ≅ 0.2795 s 32.2 Eje x : vB = v cos 30° = 18 ( 23 ) = 9 3 ≅ 15.5885 p s

R ta.

3.1.2. Si se requieren 35 s para que el remolcador de 50 Mg (vB)1 (vT)1 incremente su rapidez de manera uniforme hasta B T 25 km/h, desde el reposo, determine la fuerza de la cuerda sobre el remolcador. La hélice proporciona una fuerza de propulsión F que da al remolcador un impulso hacia delante, en tanto que la barcaza se mueve libremente. Asimismo, determine F que actúa sobre el remolcador. La barcaza tiene una masa de 75 Mg.



Barcaza :

Re molcador :

35

35

m v 1 + ∫ 0 F dt = m v 2 0 + 35 T = 75000 (25 ) T = 14880.9524 N

m v 1 + ∫ 0 F dt = m v 2 5 18

R ta.

0 + (F − T ) (35 ) = 50000 (25 ) F = 24801.5873 N

3.1.3. El bloque de 5 kg cae con una velocidad v1 = 2 m/s cuando se encuentra a 8 m de la superficie de la arena. Determine el impulso necesario de la arena sobre el bloque para frenar su movimiento. Desprecie la distancia que el bloque se hunde en la arena y suponga que no rebota. Desprecie el peso del bloque durante el impacto con la arena.

5 18

R ta.

v1 = 2 m s

8m

v 22 = v 12 + 2 g h v 2 = 2 2 + 2 (9.81)(8 ) = 160 .96 m v 2 − ∑ ∫ F dt = 0

∑ ∫ F dt = m v

2

= 5 160 .96 ≅ 63 .4350 N ⋅ s

R ta. A

3.1.4. El bloque A pesa 10 lb y el bloque B, 3 lb. Si B se mueve hacia abajo con una velocidad vB1 = 3 pies/s en t = 0, determine la velocidad de A cuando t = 1 s. Suponga que el plano horizontal es liso. Desprecie la masa de las poleas y la cuerda.

vB1 = 3 p/s Bloque A :

Bloque B :

m A v A 1 + ∫ F dt = m A v A 2

m B v B 1 + ∫ F dt = m B v B 2

10 × 6 10 × v +T= 32.2 32.2 10 v 60 +T = ... (a) 32.2 32.2

3 21 v 3×3 + 3 − 2T = 32.2 32.2 1 .5 v 9 + 3 − 2T = ... (b) 32.2 32.2

B

Sumando 2(a) + (b) : 21.5 v 129 +3= 32.2 32.2 2256 ≅ 10.49 p s v= 215

R ta.



3.1.5. El bloque B de 50 kg se eleva por medio del arreglo de motor y cables de la figura. Si el bloque asciende a una velocidad v1 = 2 m/s cuando t = 0 y el motor desarrolla una tensión sobre la cuerda de T = (500 + 120 t ) N, donde t se expresa en segundos, determine la velocidad del bloque cuando t = 2 s . Desprecie la masa de las poleas y el cable.

B

v

m v 1 + ∫ F dt = m v 2 2

50 (2 ) + ∫ 0 (500 + 120 t − 50 (9.81))dt = 50 v 2 100 + (9.5 t + 120 t 2 3

3

)

2 0

T

= 50 v 2

v 2 = 2.38 + 3.2 2 ≅ 6.9055 m s

v

R ta.

W

III.2. Conservación del Momento Lineal Cuando se tiene un sistema de partículas con movimiento interdependiente, es decir, unidas por contacto o por cables, en los cuales el movimiento de una de las partículas ocasiona un movimiento inminente en la otra, los impulsos de acción y reacción se anulan, por ser iguales en magnitud y dirección, pero de sentido contrario. Esta anulación de los impulsos externos hace que la ecuación del impulso y momento lineales se simplifique:

∑ m vv = ∑ m vv 1

2

Hay que tomar en cuenta que si las fuerzas externas son relativamente grandes y el tiempo en que éstas actúan sobre el sistema de partículas es muy pequeño, no pueden anularse los impulsos que generan.

Casos de conservaci ón del momento lineal



Ejemplos : 3.2.1. El hombre M pesa 150 lb y salta a la lancha B, que originalmente está en reposo. Si el hombre tiene una componente horizontal de velocidad de 3 p/s un instante antes de entrar a la lancha, determine el peso de la embarcación si adquiere una velocidad de 2 p/s una vez que el hombre ha entrado.

∑mv = ∑mv 1

M 2

150 m (150 + m) (3 ) + (0) = (2) 32.2 32.2 32.2 150 × 3 − 150 = 75 lb m= R ta. 2

B

3.2.2. Un remolcador T, con una masa de 19 Mg está atado a una barcaza B que tiene una masa de (vB)1 (vT)1 75 Mg. Si la cuerda es "elástica" B T de tal manera que tiene una rigidez k = 600 kN/m, determine el estiramiento máximo en la cuerda durante el arrastre inicial. Originalmente el remolcador y la barcaza se mueven en la misma dirección con rapidez (vT)1 = 15 km/h y (vB)1 = 10 km/h, respectivamente. Desprecie la resistencia del agua.

m T v T 1 + mB v B 1 = m B v 2 + m T v 2 5  5    19000  15 ×  + 75000  10 ×  = (19000 + 75000 ) v 2 18  18    E K 1 + EP 1 = E K 2 + E P 2 2

2

→

v 2 = 3.058510 m s

5  5   (19000 )  15 ×  + 21 (75000 ) 10 ×  + 0 = 21 (19000 + 75000 ) v 22 + 21 (600000 ) s 2 18  18    s = 0.22076 m 1 2

R ta.



3.2.3. La rampa en deslizamiento libre tiene un peso de 120 lb. La caja, cuyo peso es de 80 lb, se desliza desde el reposo en A, 15 p por la rampa hasta B. Determine la rapidez de la rampa cuando la caja llega a B. Suponga que la rampa es lisa y desprecie la masa de las ruedas. Fx 4

A 15 p 5

3

4

N = W cos θ = 80 (5 ) = 64 θ θ 3 Fx = N sen θ = 64 (5 ) = 38.4 −N B θ W ∑ Fy = m c a y W Wc − N cos θ = c a y → a y = 3280.2 (80 − 54 64 ) = 11 .592 g EP1 + EK 1 = EP 2 + EK 2 2 sy 18 80 2 120 2 s y = v 0 t + 21 a y t ² → t = = + = + ( ) 80 9 0 0 v + v a 11 .592 32 .2 c 32 .2 r 23184 = 80 v 2c + 120 v r 2 m v + F dt = m v

∑

∫

x1

∑

x

x2

W c + Wr W v r − C ( 53 v c ) 32 .2 32 .2 18 200 48 38 .4 v r − v = 11 .592 32 .2 32 .2 c 25 18 vc = v r − 25 .76 6 11 .592 0 + 38 .4 t =

2

 25 18  2 + 23184 = 80  v r − 25 .76 120 v r 11 .592   6 13580 2 51520 18 v r − v + 59248 = 0 9 3 11 .592 r v r = 10 .4109 p s

R ta.

3.2.4. Los bloques A y B tienen masas de 40 y 60 kg, respectivamente. Están colocados en una superficie lisa y el resorte que los une está estirado 2 m. Si se los libera desde el reposo, determine la rapidez de ambos bloques en el instante en que el resorte pierde su estiramiento.

∑mv = ∑mv 1

2

0 = 40 v A − 60 vB vB = 23 v A Ek 1 + Ep1 = Ek 2 + Ep 2 1 2

k s² = 21 m A v 2A + 21 mB vB2

180 × 2² = 40 v 2A + 60 vB2 36 = 2 v 2A + 3 vB2 36 = 2 v 2A + 43 v 2A v A = 10.8 = 3.2863 m s vB = 23 v A = 4.8 = 2.1909 m s

R ta.



III.3. Impacto Cuando dos partículas colisionan libremente entre sí, se conservan los momentos lineales del sistema. Para facilitar el análisis del impacto, se definen la línea de impacto y el plano de contacto entre ambas partículas. Plano de contacto

A

y

vv A 2

θ2

B

A

θ1

Línea de impacto

vv B 2 B

φ2 φ1

vv A 1

vv B 1

x

La línea de impacto es la línea que une los centros de masa de las partículas en colisión y siempre es perpendicular al plano de contacto. El plano de contacto es el plano que forma la deformación natural de las partículas en colisión al chocar entre sí. Si llamamos eje x a la línea de impacto y eje y a una línea del plano de contacto que corte a la línea de impacto, podemos analizar el movimiento en cada eje por separado.

Eje x : A lo largo de la línea de impacto se va a producir una conservación del momento lineal del sistema, de tal manera que:

m A v A x 1 + mB v B x 1 = m A v A x 2 + mB v B x 2 Además, podemos hallar una relación entre las velocidades de ambas partículas, según el tipo de impacto, haciendo uso del coeficiente de restitución (e). − vAx2 v e = Bx2 v A x1 − vB x1 Para ambas ecuaciones, es importante notar que las velocidades deben ser colocadas con su signo, dependiendo de su sentido. El coeficiente de restitución e está relacionado con el tipo de impacto y su valor está comprendido entre 0 y 1. El impacto elástico ( e = 1) se produce cuando la colisión entre las dos partículas es perfectamente elástica. En este caso no existe pérdida de energía durante la colisión, porque la suma de las velocidades de las partículas del sistema se mantiene. Este es un caso ideal, imposible de reproducir en la práctica. El impacto plástico ( e = 0) se produce cuando, después de la colisión, las partículas se mantienen pegadas, manteniendo una velocidad común. En este caso existe una pérdida máxima de energía, producida por la deformación permanente (plástica) de las partículas.



Eje y : Al no existir ningún impulso a lo largo del plano de contacto en ninguna de las partículas que colisionan los momentos lineales de cada partícula se van a conservar, de tal manera que: mA v A y1 = mA v A y2

mB v B y 1 = m B v B y 2

y

En este capítulo no vamos a considerar la pérdida de masa de ninguna de las partículas en colisión, podemos simplificar las últimas expresiones como: v A y1 = v A y 2

vB y1 = vB y2

y

En los casos especiales en que las velocidades, tanto de entrada como de salida, de las partículas en colisión son perpendiculares a la línea de impacto, éste se conoce como impacto central y sólo se analiza el movimiento en el eje x , .ya que las velocidades en el eje y valen valen cero.

A

Ejemplos :

vA = 2 m/s

3.3.1. El tubo A expulsa una bola de 0.5 kg con una velocidad horizontal vA = 2 m/s. Determine la distancia horizontal R a la que golpea el plano inclinado liso. Si el coeficiente de restitución es e = 0.6, determine la rapidez con que rebota en el plano.

4m

30°

Eje x : R = v t = 2 t Eje y : h = v o y + 21 g t 2 4 + R tan 30° = 0 + 21 9.81t 4 + 2 t 13 = 4.905 t 2

R

+ 78.48 2 + 0.2 5986 t= = 9.81 9.81 3 4 + 0.4 5986 R =2t = ≅ 2.0568 m R t a. 9.81 3 1 + 0 .1 5986 v t = v y sen 30 ° + v x cos 30 ° = + 3 2 3 3

+

B 2

4 3

3 v n = v y cos 30 ° − v x sen 30 ° = 0 .1 5986 v − v piso v = n 2 → v n 2 = − 0 .6 v n e = 0 .6 = n 2 − vn v piso − v n

v y = v 0 y + g t = 0 + 9.81 t

=

2 + 0.2 5986 3 vx 30° vt

v n 30° v y

2

v= v

2 t2

+v

2 n2

 1 + 0 .1 5986  2 =  + 3  + (0 .06 5986 ) ≅ 8 .2139 m s 3  

R ta.



3.3.2. La bola se suelta desde el reposo y cae una distancia de 4 pies antes de golpear el plano liso en A. Si e = 0.8, determine la distancia d a la que golpea de nuevo en el plano e n B. v1

v 1 = 2 g h = 2 × 32.2 × 4 = 4 16.1 16 v n 1 = 45 v 1 = 16.1 5 vn1 12 v t 1 = 35 v 1 = 16.1 5 e=

4 pies A

vn 2

d

4 3

4

3

3

4

432 16.1 125 76 = 16.1 125

v x = vnx + v t x = v y = vn y + v t y

16 64 16.1 = 16.1 5 25 Descomponiendo v n 2 y v t 2 : 64 192 vnx = 16.1 (53 ) = 16.1 25 125 64 256 vny = 16.1 ( 54 ) = 16.1 25 125 12 48 vtx = 16.1 ( 45 ) = 16.1 5 25 12 − 36 vty = 16.1 ( −53 ) = 16.1 5 25 v n 2 = e v n 1 = 0.8 ×

∆x = v x t 25 d 432 4 = → = d 16 . 1 t t 5 125 108 16.1 ∆y = v y 0 t + 21 a t ² 76  25 d  1  25 d  16.1   − 2 32.2  ² 125 108 16 . 1 108 16 . 1     19 d 625 d² 3 − 5d = 135 11664 625 d² 62 d + = 0 → d = 8.5709 p R t a. 11664 135 3 5

d=

A

3.3.3. Si la niña lanza la pelota con una velocidad horizontal de 8 p/s, determine la distancia d de manera que la pelota rebote una vez en la superficie suave y después caiga en la taza en C. Tome e = 0.8.

vA 3p C B d

Tramo A − B : 2 (3 ) 2h 3 , = = g 32.2 16.1

Eje x : d 1 = v A t = 8

5

v t1 = vt 2

vp 2 − vn2 vn2 = vn1 − vp 1 vn1

Eje y : t =

B

3 16.1

,

⇒

3 = 193.2 16.1 v y − v piso vy e = 0 .8 = 2 = 2 v piso − v y − vy v y = g t = 32.2

v y 2 = −0.8 v y = −0.8 193.2



Tramo B − C : v 2y 2 123.648 E je y : h = = = 1.92 (subida) , 2 g 2 (32.2 ) 1.92 1.92 = 16 16.1 16.1 3 1.92 D = d1 + d2 = 8 + 16 ≅ 8.9786 p 16.1 16.1

t=

2h 2 (1.92 ) 1.92 = = g 32.2 16.1

E je x : d2 = 2 v A t = 2 (8 )

R ta.

3.3.4. Las tres pelotas tienen la misma masa m. Si se suelta a A desde el reposo en , determine el ángulo que forma C después de la colisión. El coeficiente de restitución entre cada bola es e.

EK A 1 + EP A 1 = EK A 2 + EP A 2 0 + m g (L − L cos θ ) = m v 1 2

2 A2

+0

L

L L

A B

C

v A 2 = 2 g L (1 − cos θ ) v − vA3 − vA3 = e = B3 , pero : v C 3 = − v A 3 = e v A 2 = e 2 g L (1 − cos θ ) v A 2 − vB2 vA2 EK C 3 + EP C 3 = EK C 4 + EP C 4 m e 2 (2 g L (1 − cos θ ) ) + 0 = 0 + m g (L − L cos φ ) φ = arc cos (1 − e 2 (1 − cos θ ) ) R t a. 1 2

3.3.5. Se suelta la maleta A, de 20 lb, desde el reposo en C. Después de eso, se desliza por una rampa lisa y C golpea a la A maleta B, de 10 lb, que se encuentra originalmente en reposo. Si el coeficiente de restitución entre B las maleta s es D E e = 0.3 y el coeficiente de fricción cinética entre el piso DE y cada maleta es k = 0.4, determine: (a) la velocidad de A un instante antes del impacto, (b) las velocidades de A y B un instante después del impacto, y (c) la distancia que se desliza B antes de regresar al reposo.

6p



EP 0 + EK 0 = EP 1 + EK 1 6 (20 ) + 0 = 0 + 21 (20 32.2 ) v 12

R ta. v 1 = 386.4 ≅ 19.6571 p s m A v A 1 + mB v B 1 = m A v A 2 + mB v B 2 20 386.4 + 0 = 20 v A 2 + 10 v B 2 v − vA2 v − vA2 e = B2 , 0.3 = B 2 v A 1 − vB1 386.4 − 0 E K 2 + U2−3 = E K 3 1 2

 v B 2 = v A 2 + 0.3 386.4 = 2 386.4 − 2 v A 2   v A 2 = 1.7 386.4 3 ≅ 11.1390 p s  v = 2.6 386.4 3 ≅ 17.0361 p s R ta.  B2

(10 32.2) v B2 2 + µ N (s) = 0

10 v B2 2 32617 = ≅ 11.2550 p s= 2 (32.2 ) (10) (0.4 ) 2898

R ta.

3.3.6. El hombre A tiene un peso de 175 lb y salta desde el reposo, a una altura h = 8 pies, sobre una plataforma P que pesa 60 lb. La plataforma está montada en un resorte cuya rigidez es k = 200 lb/p. Determine: (a) las velocidades de A y P un instante después del impacto, y (b) la compresión máxima que experimenta el resorte por el impacto. Suponga que el coeficiente de restitución entre el hombre y la plataforma es e = 0.6 y que el hombre permanece rígido durante el movimiento.

A h

P

v A 1 = 2 g h = 2 × 32.2 × 8 = 515.2 v − vA2 → 0 .6 = P 2 v P 2 = v A 2 + 0.6 515.2 515.2 m A v A 1 + mP v P 1 = m A v A 2 + mP v P 2 175 515.2 + 0 = 175 v A 2 + 60 (v A 2 + 0.6 515.2 ) 139 515.2 ≈ 13.4256 p s R ta. 235 139 515.2 56 515.2 = + 0.6 515.2 = ≈ 27.0444 p s 235 47 + EP 2 = EK 3 + EP 3

vA2 = vP2 EK 2 1 2

m P v P2 2 + w P s = 0 + 21 k s 2 2

 60   56 515.2  + 60 s = 100 s 2 64.4  47  1505280 =0 100 s 2 − 60 s − 2209 Re solviendo : s ≈ 2.9276 p R ta.

R ta.



3.3.7. El bloque A, que tiene una masa m, se suelta desde el reposo, cae una distancia h, y golpea la placa B, que tiene una masa 2 m. Si el coeficiente de restitución entre A y B es e, determine la velocidad de la placa un instante después de la colisión. El resorte tiene una rigidez k.

v 2A 1 = v 2A 0 + 2 g h v A1 = 2 gh − vB2 − v A 2 e= − v A1 e v A1 = v A 2 + vB2 v A 2 = e v A1 − vB2

∑mv

= ∑ m v y 2 − m v A 1 = −2 m v B 2 + m v A 2 2 vB = v A1 + v A2 2 vB = 2 gh + e 2 gh − vB2 e+1 vB2 = 2 gh R ta. 3

A h B k

y1

v A1

A

vA2

B

+ vB2

3.3.8. El bloque A, que tiene una masa de 2 kg, se suelta desde el reposo, cae una distancia h = 0.5 m, y golpea la placa B que tiene una masa de 3 kg. Si el coeficiente de restitución entre A y B es e = 0.6, determine la velocidad del bloque justo después de la colisión. El resorte tiene una rigidez k = 30 N/m. A v A 1 = 2 g h = 2 × 9.81× 0.5 = 9.81 h vB2 − v A 2 → 0 .6 = vB 2 = v A 2 + 0.6 9.81 B 9.81 mA v A1 + mB vB1 = mA v A 2 + mB vB 2 k 2 9.81 + 0 = 2 v A 2 + 3 vB 2

vA2 =

9.81 ≈ 0.1253 m s 25

R ta.

3.3.9. A una pelota de tamaño despreciable y vo masa m se se le aplica una velocidad de vo estando en el centro del carro, cuya A masa es M y originalmente se encuentra en reposo. Si el coeficiente de restitución entre la pelota y los muros A y B es de e, d d determine la velocidad de la bola y del carro justo después de que la pelota go lpea A. También, determine el tiempo total necesario para que la bola golp ee A, rebote, golpee después B, rebote y regrese al centro del carro. Desprecie la fricción.

B



v C 2 − vP 2 → v C2 − vP2 = e v O vO mP v P 1 + m C v C 1 = mP v P 2 + m C v C 2 m v O + 0 = m vP2 + M vC2 m v O = m v P 2 + M (v P 2 + e v O ) v (m − M e ) vP2 = O R t a. m+M v m (1 + e ) v C2 = vP2 + e vO = O R ta. m+M v − vC3 vP3 − v C3 = e = P3 v C 2 − v P 2 v O m (1 + e ) v O (m − M e ) − m+M m+M vP3 − vC3 = e 2 vO e=

tO→A =

d vO

2d 2d = vC2 − vP2 e vO d d = 2 tB→O = vP 3 − v C 3 e v O t = t O → A + t A →B + t B →O 2d d d + + 2 t= vO e vO e vO t A →B =

d  1  t= 1 +  v O  e 

3.3.10. Se observa que una pelota de A vA tenis, cuando se sirve en forma horizontal a 7.5 pies por encima de la cabeza, golpea el 7.5 p piso liso en B a 20 pies de distancia. Determine la velocidad inicial vA de la pelota 20 p y la velocidad vB (y ) de la pelota justo después de que golp ea la cancha en B. Tome e = 0.7.

v y 1 = 2 g h = 2 × 32.2 × 7.5 = 483 v y1 483 = g 32.2 e 20 × 32.2 ≈ 29.3030 p s vA = vx = = R ta. t 483 vP − v y2 → v y 2 = −e v y 1 = −0.7 483 e= v y1 − vP t=

vv B = v x ˆi + v y 2 jˆ 20² × 32.2² + 0.7²(483 ) 483 529047.61 ≈ 33.0959 p s vB = 483 vy 0.7 × 483 = 0.525 tan θ = 2 = vX 20 × 32.2 θ ≅ 27.6995° vB =

R ta.

R t a.

2

R ta.

vB B



3.3.11. Se golpea la pelota de tenis con una velocidad horizontal vA, choca con el piso en B y rebota hacia arriba formando un ángulo = 30°. Determine la velocidad inicial vA, la velocidad final vB y el coeficiente de restitución entre la bola y el suelo.

A

vA 7.5 p

vB 20 p

Eje y : v y = 2 g h = 2 (32.2 ) (7.5 ) = 483 , t = Eje x : v A =

e 32.2 = 20 ≅ 29.3030 p s t 15

m v B cos 30° = m v A e=

⇒

vB =

vA 32.2 = 40 ≅ 33.8362 p s cos 30° 45

vB2 − v A 2 vB2 − v A2 = v A 1 − vB1 15 − 0

R ta.

R t a.

v = 15 p/s k

2p

m A v A1 + mB v B1 = m A v A 2 + mB v B2 W A v A 1 + 0 = W A v A 2 + WB v B 2 20 (15 ) = 20 v A 2 + 10 v B 2

e = 0.8 =

vy 15 = g 32.2

R ta.

v B sen 30° 32.2 4 3 = 20 = ≅ 0.7698 vy 45 (483 ) 9

3.3.12. La caja de 20 lb se desliza sobre una superficie lisa a v = 15 p/s cuando golpea la placa de 10 lb. Determine la rigidez necesaria en el resorte si se le permite comprimirse un máximo de 4". Tome e = 0.8 entre la caja y la placa.

B

→

2 v A 2 + v B 2 = 30

→

v B 2 − v A 2 = 12

Resolviend o :

v B 2 = 18

EP 2 + EK 2 = EP 3 + EK 3 0 + 21 mB vB2 = 21 ks ² + 0 WB vB2 10 (18 )2 29160 k= = = ≅ 905.5901 lb p g s 2 32.2 (1 3 )2 32.2

R ta.

Mecánica II Ing° Hugo D. Pachas Luna vA2

3.3.13. Dos monedas lisas A y B, con la misma masa, se deslizan sobre una superficie lisa moviéndose como se ilustra. Determine la rapidez de cada moneda después de la colisión si se separan sobre las trayectorias punteadas.

∑mv

2 2

vA2 −

3 2

vB2

− 0.3 + 0.4 3 = 22 v A 2 − 21 v B 2 − 1.1 + 0.4 3 = 1+2 3 v B 2 3.3.14. Dos discos lisos A y B tienen cada uno una masa de 0.5 kg. Si ambos se desplazan cuando chocan con las velocidades que se ilustran, determine las velocidades finales un instante después de la colisión. El coeficiente de restitución es e = 0.75.

45° 5

30° B

= ∑ m v x 2 − 0.5 ( 45 ) − 0.8 sen 30° = − v A 2 sen 45° − v B 2 cos 30° ∑ m v y1 = ∑ m v y2 − 0.4 − 0.4 = −

vA1 = 0.5 p/s

A

vB2

x1

− 0.5 (35 ) + 0.8 cos 30° = v A 2 cos 45° − v B 2 sen 30°

Página 55 Cinética de la Partícula y

3 4

x

O 30° B

vB1 = 0.8 p/s

2.2 − 0.8 3 ≅ 0.2981 p s 1+ 3 0.8 − 23 v B 2 = ≅ 0.7663 p s 2

vB2 = vA2

2

R ta.

y vA1 = 6 m/s x B

5

4 3

A

Eje x : vB1 = 4 m/s m A v A x1 + mB vB x1 = m A v A x 2 + mBvB x 2 − 6 + 4 ( 53 ) = v A x 2 + v B x 2 = − 3 . 6 m v − mAv Ax2 e = B Bx2 Eje y : m A v A x1 − mBvB x1 v A y 2 = v A y1 = 0 vBx2 − v A x2 0 .75 = v B y 2 = v B y 1 = 4 ( 54 ) = 3 .2 − 6 − 4 ( 53 ) v B x 2 − v A x 2 = − 6 .3  v B x 2 = − 4 .95  v B x 2 + v A x 2 = − 3 .6  v A x 2 = 1 .35 v A 2 = v A x 2 = 1 .35 m s v B 2 = v B2 x 2 − v B2 y 2 ≅ 5 .8943 m s

A

R ta.



3.3.15. Dos discos lisos A y B tienen cada uno una masa de 0.5 kg. Si ambos se desplazan con las velocidades que se ilustran, cuando chocan, determine el coeficiente de restitución entre los discos si después de la colisión B se desplaza 30° sobre una línea, en sentido opuesto a las manecillas del reloj, a partir del eje y.

y (vA)1 = 6 m/s B

5

x

A

4 3

(vB)1 = 4 m/s

m v A x1 + m vB x1 = m v A x 2 + m vB x 2 − 6 + 4 × 35 = v A x 2 + vB x 2 → v A x 2 = −3.6 + vB x 2 vB x 2 = − vB y 2 tan 30° = − vB y1tan 30° = −4 × 54 × vB x 2 − v A x 2 − 3.2 33 + 3.6 − 3.2 = e= v A x 1 − vB x 1 − 6 − 4 × 35

3 3

3 3

= 3.2

3 3

= 0.01131449

R ta. y

3.3.16. Dos discos lisos A y B tienen las velocidades iniciales que se indican un instante antes de chocar en O. Si sus masas son mA = 10 kg y mB = 8 kg, determine sus velocidades justo después del impacto. El coeficiente de restitución es e = 0.4.

13 12

5 A

m A v An1 + m B v Bn1 = m A v An2 + mB v Bn2 O 10 (− 7 (135 )) + 8 (3 (135 )) = 10 v A n 2 + 8 v B n 2 230 − = 10 v A n 2 + 8 v B n 2 vB = = 3 m/s 13 v − v An2 v − v An2 = B n 25 e = 0.4 = B n 2 v A n 1 − v B n 1 − 7 ( 13 ) − 3 ( 135 ) 20 − = vB n 2 − v A n 2 13 35 215 Resolviend o : v A n2 = − , v Bn2 = − 117 117 2

vA2 = v

2 A t2

+v

2 An2

vA = 7 m/s x B

2

 12    − − 35  7 11689 =  7  ≅ 6.4685 m s    +   = 117   13    117  2

2

 12    − 151201 − 215  v B 2 = v B2 t 2 + v B2 n 2 =  3  ≅ 3.3235 m s  =    +  13 117 117      

R t a.



IV. Impulso y Momento Angulares IV.1. Principio del Impulso y Momen to Angulares El principio del Impulso y Momento Angulares, alred edor del punto O, está definido por la siguiente ecuación: v

v

O

Unidades

v

M dt

∑∫

t2 v t1

MO dt

v

HO

y

d v r

b

v

1

HO ,

x

t2 v

HO1 + ∑ ∫ t MOdt = HO 2

z

S.I.

Británico

N·m·s

lb·p·s

kg·m²/s

slug·p²/s

b = brazo de palanca del impulso lineal d = brazo de palanca del momento lineal

m vv v

F dt Como puede demostrarse, las unidades del Impulso y del Momento Angulares son equivalentes. t2 v

t2 v

1

1

v

El Impulso Angular ( ( ∑ ∫ t M O dt = ∑ ∫ t (r × F) dt ) es una cantidad vectorial que resulta de la integración en el tiem po de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, multiplicadas por su brazo de palanca con respectova un punto O. v Este vector es perpendicular al plano formado por los vectores r y F . s

v

v El Momento Angular ( HO = r × m v ) es una cantidad vectorial que resulta del producto vectorial del momento lineal de una partí cula, por su brazo de palanca con respecto a un punto O. Este v ector es perpendicular al plano formado v por los vectores r y vv .

Si se des compone el movimiento de la partícula en sus componentes rectangulares, y si el movimiento de la partícula se produce sólo en el plano x-y, se puede descomponer los vectores Impulso y Momento Lineales en sus componentes cartesianos: t2 v

m vv x 1 + ∑ ∫ t Fx dt = m vv x 2 1

t2 v

m vv y 1 + ∑ ∫ t Fy dt = m vv y 2 1

v

t2 v

v

HO 1 + ∑ ∫ t M O dt = HO 2 1



En el caso de que no existan impulsos angulares, ya sea por la inexistencia de impulsos externos o porque el impulso angular sea dirigido hacia el punto O, el mome moment nto o angu angula larr se cons conser erva vará rá,, qued quedan ando do simp simplilififica cad da la ec uaci uación ón del del impu impuls lso oy momento angulares, como sigue: v

HO 1

v

HO 2

y si se tiene un conjunto de partículas con movimiento angular interdependiente, podemos escribir: v

HO 1

v

HO 2

Ejemplos : 4.1.1. Dos esferas, cada una con una masa de 3 kg, están unidos a una varilla de masa despreciable. Determine el tiempo en que el torque M = (8 t) N·m , donde t se expresa en segundos, debe aplicarse a la varilla, de modo que cada esfera logre una rapidez de 3 m/s a partir del reposo. t

HO 0

0 t 0

0.4 m

0.4 m

M

MO dt H1

8 t dt r m v

4 t2

0.4 3 2 3

t

1.8 1.34164 s

4.1.2. El pequeño cilindro C tiene una masa de 10 kg y está unido al extremo de una varilla cuya masa puede despreciarse. Si la estructura está sujeta a un par M = (8 t² + 5) N·m, donde t se expresa en segundos, y el cilindro está sujeto a una fuerza de 60 N, que siempre está dirigida en la forma que se ilustra, determine la rapidez del cilindro cuando t = 2 s. El cilindro tiene una x rapidez vO = 2 m/s cuando t = 0.

HO r m v O

t 0

MO dt H1

2 0

8 t 5 60

3 5

0.75 dt r m v1

8 t3 0.75 10 2 32 t 0.75 10 v1 3 602 v1 13.37778 m s R ta. 45

R ta. z

60 N 5

0.75 m

4 3

v C M = (8 t² + 5) N·m



4.1.3. Una bola B de 4 lb se desplaza alrededor de un círculo, cuyo radio es r 1 = 3 pies, con una rapidez vB1 = 6 pies/s. Si la cuerd a es jalada a través de un agujero en el centro del círculo, con una rapidez constante vr = = 2 pies/s, determine el tiempo necesario para que la bola alcance una rapidez de 12 pies/s. ¿A qué distancia r 2 del agujero se encuentra la bola cuando esto ocurre? Desprecie la fricción y el tamaño de la bola.

HO 1 r 2

HO 2 : m r 1 v 1 m r 2 v 2 r 1v 1 3 6 1.5213 p s v2 12² 2²

t

r 1 r 2 v r

B

r 1 = 3 p vB1 = 6 p/s vr = = 2 p/s

3 18 140 2

0.7394 s

4.1.4. Un pequeño bloque, que tiene una masa de r 1 = 500 mm 0.1 kg, experimenta una velocidad horizontal v1 = 0.4 m/s cuando r 1 = 500 mm. Se desliza v1 = 0.4 m/s por una superficie cónica lisa. Cuando desciende a h = 100 mm, determine su rapidez y el ángulo de caída , es decir, el r 2 ángulo medido desde la horizontal a la tangente de la trayectoria. v2

EK 1 E P1 EK 2 EP 2 m v 12 m g h v 12 2 g h v 22 1 2

v2

v 12 2.122

2 gh

1 2

m v 22

r 1

0

0.4² 2 9.81 0.1

1.4567 m s

R ta.

HO 1 HO 2 m r 1 v1 m r 2 v 2 h v 2h

r 1 v 1 r 2

0.5 0.4 3 0.6 0 .5 3 0 .1 1 .5 0 .1 3

r 2

h

30°

0 .5 60

R t a.

0 .1

r 1 tan 60

0 .5 3 r 2 0 .5 0 . 5 3 0 .5 3 0 .1 0 .5 3 0 . 1 r 2 3

arc cos

v 2h v2

arc cos

0.6 1.5 0 .1 3 2.122

71 .9144

R t a.



r = 500 mm 4.1.5. Un pequeño bloque, que tiene una masa de v = 0.41m/s 0.1 kg, experimenta una velocidad horizontal 1 v1 = 0.4 m/s cuando r 1 = 500 mm. Se desliza por una superficie cónica lisa. Determine la distancia h que debe descender para r 2 alcanzar una rapidez de v2 = 2 m/s. Asimismo, ¿cuál es el ángulo de descenso , es decir, el que se toma entre la horizontal y v2 la tangente de la trayectoria?

E K 1 EP 1 EK 2 E P 2 1 2

mv

v 12 h

2 1

m gh

1 2

mv

2 2

2 g h v 22 v 22 v 12 4 0.16 2g 2 9 .81

0

r 1 60 r 2

r 1 v 1 r 2

0 .1

0.1957 m

0 . 5 0 .4 3 0 .6 0 .5 3 0 .1 1 .5 0 .1 3

r 1 tan 60 r 1 r 2

R ta.

HO 1 HO 2 m r 1 v 1 m r 2 v 2 h v 2h

30°

r 1 tan 60 64 327

h

0 .5 3 3

r 1 tan 60 r 2 64 327

arc cos

v 2h v2

arc cos

0 .6 1.5 0 .1 3 2.122

h

981 128 3 1962

71 .9144

R t a.



Bibliografía Los ejemplos resueltos fueron propuestos en el libro Ingeniería Mecánica – Dinámica de R. C. Hibbeler , 7ma edición, Capítulos 12, 14 y 15, siendo entregados como solucionario a los alumnos de Ingeniería Agrícola, no habiendo ninguna disconformidad con los desarrollos planteados. El desarrollo de los ejemplos, así como la exposición teórica al principio de cada capítulo son de responsabilidad del autor de este trabajo.

Bibliografía Adicional Recomendada J.L. Meriam – DINÁMICA. Editorial Reverté. Harry R. Nara – MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. VOLUMEN II: DINÁMICA – 1ra Edición. Editorial Limusa. Ferdinand L. Singer – MECÁNICA PARA INGENIEROS: DINÁMICA – 3ra Edición. Editorial Harla.

Cinetica de La Particula

Recommend Documents