EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA EN EL ESPACIO 2.43._ En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe que α = 20°, determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.
A
B
C
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Con 𝑻𝑪𝑨
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Con 𝑻𝑪𝑩
A
D
B
40°
C
C
∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑥 = 0 −𝑇𝐶𝐴∗ cos 40° + 𝑇𝐶𝐵 ∗ cos 20° = 0 1
𝑇𝐶𝐵 =
𝑇𝐶𝐵 ∗ cos 40° cos 20°
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛 40° + 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛 20° − 1960 𝑁 = 0 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛 40° + (
𝑇𝐶𝐴∗cos 40° ) ∗ 𝑠𝑒𝑛 20° = 1960 𝑁 cos 40°
0,60𝑇𝐶𝐴 + 0,26 𝑇𝐶𝐴 = 1841,79 𝑁 𝑇𝐶𝐴 =
1841,79 𝑁 0,86
a)𝑻𝑪𝑨 = 𝟐𝟏𝟐𝟔, 𝟕𝟏 𝑵 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑇𝐶𝐴 𝑒𝑛 1 𝑇𝐶𝐵 =
2126,71 𝑁 ∗ cos 40° cos 20°
𝒃)𝑻𝑪𝑩 = 𝟏𝟕𝟑𝟑, 𝟕𝟎 𝑵
∝=20°
E
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se lo El valor de las componentes de 𝑻𝑪𝑨 obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director de 40° para hallar la sumatoria en las componentes x e y respectivamente, en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑪𝑨 . Este ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . principio se aplica en 𝑻𝑪𝑩
2.44._ En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.
A
C
60°
B C
A ∑𝐹 = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑦
D
40°
C
B
60 °
𝑇𝐶𝐴∗ sen 40° − 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛 60° = 0 1
𝑇𝐶𝐵 =
𝑇𝐶𝐴 ∗ sen 40° 𝑠𝑒𝑛 60°
⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑥 −𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠 40° − 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠 60° + 500 𝑁 = 0 𝑇𝐶𝐴∗ 𝑠𝑒𝑛 40° −𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠 40° − ( ) ∗ 𝑐𝑜𝑠 60° sen 60° = −500 𝑁 − 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠40°𝑠𝑒𝑛60° − 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛40°𝑐𝑜𝑠60° = (−500𝑁)𝑠𝑒𝑛60° −0,66𝑇𝐶𝐴 − 0,32 𝑇𝐶𝐴 = −433,01𝑁 𝑇𝐶𝐴 =
−433,01 𝑁 −0,98
𝑻𝑪𝑨 = 𝟒𝟒𝟏, 𝟖𝟒 𝑵 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑇𝐶𝐴 𝑒𝑛 1 𝑇𝐶𝐵 =
441,84 𝑁 ∗ sen 40° 𝑠𝑒𝑛 60°
𝑻𝑪𝑩 = 𝟑𝟐𝟕, 𝟗𝟓 𝑵
El valor de las componentes de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑪𝑨 se lo obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director de 40° para hallar la sumatoria en las componentes x e y respectivamente, en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑪𝑨 . Este ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . principio se aplica en 𝑻𝑪𝑩
E
2.45._ En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe que P = 500N y α = 60°, determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.
A ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0 D
𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛25° + 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛45 − (500 𝑁)𝑠𝑒𝑛60° = 0
C
45
B C
E
25°
𝑇𝐶𝐴∗ 𝑐𝑜𝑠45° + 250𝑁 ( ) 𝑠𝑒𝑛25° + 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛45° = 433,01 𝑁 𝑐𝑜𝑠25° 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠45°𝑠𝑒𝑛25° + 105,65𝑁 + 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛45°𝑐𝑜𝑠45° = 392,44𝑁 0,29𝑇𝐶𝐴 + 0,64 𝑇𝐶𝐴 = 392,44𝑁 − 105,65𝑁 0,93 𝑇𝐶𝐴 = 286,78𝑁
C
𝑻𝑪𝑨 = 𝟑𝟎𝟓, 𝟏𝟖 𝑵 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑇𝐶𝐴 𝑒𝑛 1 P 0
60°
F 𝑇𝐶𝐵 =
(305,48 𝑁) ∗ cos 45° + 250𝑁 𝑐𝑜𝑠25° 𝑻𝑪𝑩 = 𝟓𝟏𝟑, 𝟗𝟓 𝑵
∑𝐹 = 0 ∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑥 = 0 −𝑇𝐶𝐴∗ cos 45° + 𝑇𝐶𝐵 ∗ cos 25 ° − (500 𝑁) cos 60° = 0 1
𝑇𝐶𝐵 =
𝑇𝐶𝐴 ∗ cos 45° + 250𝑁 cos 25 °
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se lo El valor de las componentes de 𝑻𝑨𝑪 obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director de 60° para hallar la sumatoria en las componentes x e y respectivamente, en donde se tienen como ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Este valores el módulo de la fuerza 𝑻𝑪𝑨 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . principio se aplica en 𝑻𝑩𝑪
2.46._ En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Determine la tensión
a) En el cable AC y b) en el cable BC.
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑦
B −𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛15° + 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛75° − 1960 𝑁 = 0 E
75°
C
−𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛15° + (
𝑇𝐶𝐴∗ 𝑐𝑜𝑠15° ) ∗ 𝑠𝑒𝑛75° = 1960 𝑁 𝑐𝑜𝑠75°
− 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛15°𝑐𝑜𝑠75° + 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠15°𝑠𝑒𝑛75° = 1960𝑁𝑐𝑜𝑠75°
D 15°
C −0,06𝑇𝐶𝐴 + 0,93 𝑇𝐶𝐴 = 507,28𝑁
A
𝑇𝐶𝐴 =
507,20 𝑁 0,86
𝑻𝑪𝑨 = 𝟓𝟖𝟓, 𝟕𝟓𝑵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se lo El valor de las componentes de 𝑻𝑨𝑪 obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo directo para hallar la sumatoria en las componentes x e y respectivamente, en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑨𝑪 . Este ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . principio se aplica en 𝑻𝑩𝑪
∑𝐹 = 0 ∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑥 = 0 −𝑇𝐶𝐴∗ 𝑐𝑜𝑠15°+ 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠75° = 0 1
𝑇𝐶𝐵 =
𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠15° 𝑐𝑜𝑠75°
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑇𝐶𝐴 𝑒𝑛 1 𝑇𝐶𝐵 =
585,75 𝑁 ∗ cos 15° 𝑐𝑜𝑠75°
𝑻𝑪𝑩 = 𝟐𝟏𝟖𝟔, 𝟎𝟕 𝑵
2.47._ Si se sabe que α = 20°, determine la tensión a) en el cable AC, b) en la cuerda BC.
D
A ∑𝐹 = 0 5 °
∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑥 = 0 C
−𝑇𝐶𝐴∗ sen 5° + 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠20° = 0 1
𝑇𝐶𝐵 =
𝑇𝐶𝐴 ∗ sen 5° 𝑐𝑜𝑠20°
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠 5° − 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛20° − 1200 𝑙𝑏 = 0 𝑇𝐶𝐴∗ 𝑠𝑒𝑛 5° 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠 5° − ( ) ∗ 𝑠𝑒𝑛20° = 1200 𝑙𝑏 𝑐𝑜𝑠20° 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠5°𝑐𝑜𝑠20° − 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛5°𝑠𝑒𝑛20° = (1200 𝑙𝑏)𝑐𝑜𝑠20° 0,93𝑇𝐶𝐴 − 0,02𝑇𝐶𝐴 = 1127,63 𝑇𝐶𝐴 =
1127,63 𝑙𝑏 0,90
𝑻𝑪𝑨 = 𝟏𝟐𝟒𝟒, 𝟐𝟎 𝒍𝒃 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑇𝐶𝐴 𝑒𝑛 1 𝑇𝐶𝐵 =
1244,20 𝑙𝑏 ∗ sen 5° 𝑐𝑜𝑠20°
𝑻𝑪𝑩 = 𝟏𝟏𝟓, 𝟑𝟗 𝒍𝒃
E
C 20
B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se lo El valor de las componentes de 𝑻𝑪𝑨 obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director de 5° para hallar la sumatoria en las componentes x e y respectivamente, en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑪𝑨 . Este ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . principio se aplica en 𝑻𝑪𝑩
2.48._ Si se sabe que α = 55° y que el aguilón AC ejerce sobre la articulación C una fuerza dirigida a lo largo de la línea AC, determine a) la magnitud de la fuerza y b) la tensión en el cable BC.
B
A
C 20
35
D
60
C
C
E
F
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se lo El valor de las componentes de 𝑻𝑪𝑨 obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director de 60° para hallar la sumatoria en las componentes x e y respectivamente, en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑪𝑨 . Este ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . principio se aplica en 𝑻𝑪𝑩
300lb
𝑇𝐶𝐴 =
172,06 𝑙𝑏 0,99
𝑻𝑪𝑨 = 𝟏𝟕𝟐, 𝟕𝟏 𝒍𝒃
∑𝐹 = 0
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑇𝐶𝐴 𝑒𝑛 1 ⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑥 𝑇𝐶𝐵 = 1
−𝑇𝐶𝐵∗ 𝑐𝑜𝑠35°+ 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠 60° + 300 𝑙𝑏 ∗ cos 20° = 0
172,74 𝑙𝑏 ∗ 𝑐𝑜𝑠60° + 102,06𝑙𝑏 𝑐𝑜𝑠35° 𝑻𝑪𝑩 = 𝟐𝟑𝟎, 𝟔𝟕 𝒍𝒃
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛35° + 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛 60° − 300 𝑙𝑏 𝑠𝑒𝑛 20° = 0 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛60°𝑐𝑜𝑠35° + 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠60° ∗ 𝑠𝑒𝑛35°(102,60 𝑙𝑏)𝑠𝑒𝑛35° = 172,06 𝑙𝑏 0,71𝑇𝐶𝐴 + 0,28 𝑇𝐶𝐴 = 172,06 𝑙𝑏
2.49._ Las fuerzas P y Q se aplican al componente de una pieza de ensamble de avión como se muestra en la figura. Si se sabe que P = 500lb y Q = 650lb y que la pieza de ensamble se encuentra en equilibrio, determine las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre las varillas A y B.
50
40
El valor de las componentes de la fuerza ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝑨 se lo obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director de 50° para hallar la sumatoria en las componentes x e y respectivamente, en donde se tienen como ⃗⃗⃗⃗⃗ . Este valores el módulo de la fuerza 𝑭𝑨 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ principio se aplica en 𝑭𝑩.
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0 ∑𝐹 = 0 ⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑥 −𝐹𝐴∗ 𝑐𝑜𝑠50°− 𝐹𝐵 + 𝑄𝑐𝑜𝑠50° = 0 1
𝐹𝐵 = 𝐹𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠50° − 417,81 𝑙𝑏
𝐹𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛50° − (650 𝑙𝑏)𝑠𝑒𝑛50° − 500 𝑙𝑏 = 0 𝐹𝐴 =
997,92 𝑙𝑏 𝑠𝑒𝑛 50°
𝑭𝑨 = 𝟏𝟑𝟎𝟐, 𝟕𝟎 𝒍𝒃 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝐹𝐴 𝑒𝑛 1 𝐹𝐵 = (1302,70 𝑙𝑏) cos 50° − 417,81 𝑙𝑏 𝑭𝑩 = 𝟒𝟏𝟗, 𝟓𝟓 𝒍𝒃
2.50._ Las fuerzas P y Q se aplican al componente de una pieza de ensamble de avión como se muestra en la figura. Si se sabe que la pieza de ensamble se encuentra en equilibrio y que las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre las barras A y B son FA = 750lb y FB = 400lb, determine las magnitudes de P y Q.
O
A
40
B
50
O
P
Q
⃗⃗⃗⃗⃗ se lo El valor de las componentes de 𝑭𝑨 obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director de 50° para hallar la sumatoria en las componentes x e y respectivamente, en donde se tienen como ⃗⃗⃗⃗⃗ . Este valores el módulo de la fuerza 𝑭𝑨 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . principio se aplica en 𝑭𝑩
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0 ⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑥
𝐹𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛50° − 𝑄𝑐𝑜𝑠40° − 𝑃 = 0
−𝐹𝐴∗ 𝑐𝑜𝑠50°+ 𝐹𝐵 + 𝑄𝑠𝑒𝑛40° = 0
(750𝑙𝑏)𝑠𝑒𝑛50° − (127,71𝑙𝑏)𝑐𝑜𝑠40° = 𝑃
−750𝑙𝑏 𝑐𝑜𝑠50° + 400𝑙𝑏 + 𝑄𝑠𝑒𝑛40°= 0
𝑃 = 574,53 𝑙𝑏 − 97,83𝑙𝑏
𝑄=
482,09 𝑙𝑏 − 400𝑙𝑏 𝑠𝑒𝑛40° 𝑸 = 𝟏𝟐𝟕, 𝟕 𝒍𝒃
𝑷 = 𝟒𝟕𝟔, 𝟕𝟎 𝒍𝒃
2.51._ Una conexión soldada está en equilibrio bajo la acción de las cuatro fuerzas que se muestran en la figura. Si se sabe que FA = 8kN y que FB = 16kN, determine las magnitudes de las dos fuerzas resultantes.
E
O
B
36.86
A
O
36.86
∑𝐹 = 0 ∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑥 = 0
C
El valor de las componentes de ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝑪 se lo obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director de 36.86°para hallar la sumatoria en las componentes x e y respectivamente, en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝑪 . Este ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . principio se aplica en 𝑭𝑫
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0 −𝐹𝐷 − 𝐹𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛36,86° + 𝐹𝐵 𝑠𝑒𝑛36,86° = 0 𝐹𝐷 = −(8𝐾𝑁)𝑠𝑒𝑛36,86° + (16𝐾𝑁)𝑠𝑒𝑛36,86°
−𝐹𝐴∗ 𝑐𝑜𝑠36,86°+𝐹𝐵 𝑐𝑜𝑠36,86° − 𝐹𝑐 = 0 𝐹𝑐 = (−8𝐾𝑁)𝑐𝑜𝑠36,26 + (16𝐾𝑁)𝑐𝑜𝑠36,86° 𝑭𝒄 = 𝟔, 𝟑𝟓 𝑲𝑵
𝑭𝑫 = 𝟒, 𝟖 𝑲𝑵
2.52._ Una conexión soldada está en equilibrio bajo la acción de las cuatro fuerzas que se muestran en la figura. Si se sabe que FA = 5kN y que FD = 6kN, determine las magnitudes de las dos fuerzas resultantes.
O
M
B
36.86
36.86
A
O
H
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se lo El valor de las componentes de 𝑭𝑩 obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director de 36.86° para hallar la sumatoria en las componentes x e y respectivamente, en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝑩 . Este ⃗⃗⃗⃗⃗ . principio se aplica en 𝑭𝑪
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0 −𝐹𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛36,86° + 𝐹𝐵 𝑠𝑒𝑛36,86° − 𝐹𝐷 = 0 ∑𝐹 = 0 ⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑥
−5𝐾𝑁 ∗ 𝑠𝑒𝑛36,86° + 𝐹𝐵 𝑠𝑒𝑛36,86° − 6𝐾𝑁 = 0 𝐹𝐵 =
3 𝐾𝑁 + 6 𝐾𝑁 𝑠𝑒𝑛 36,86°
−𝐹𝐴∗ 𝑐𝑜𝑠36,86°+ 𝐹𝐵 𝑐𝑜𝑠36,86° − 𝐹𝑐 = 0
𝑭𝑩 = 𝟏𝟓𝑲𝑵
𝐹𝑐 = −(5𝐾𝑁)𝑐𝑜𝑠36,86° + 𝐹𝐵 𝑐𝑜𝑠36,86°
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝐹𝐵 𝑒𝑛 1
1
𝐹𝐶 = −4𝐾𝑁 + 𝐹𝐵 𝑐𝑜𝑠36,86
𝐹𝐶 = −4𝐾𝑁 + (15𝐾𝑁) cos 36,86° 𝑭𝑪 = 𝟖 𝑲𝑵
2.53._ En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe que Q = 60lb determine la tensión a) en el cable AC y b) en el cable BC.
A
60° D
C
P
30° C
E
F
C 30°
B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se lo obtiene de igual forma con las funciones El valor de las componentes de 𝑻𝑪𝑨 trigonométricas cos y sen y el ángulo director 60°para hallar x e y respectivamente, ⃗⃗⃗⃗⃗ mediante la sumatoria en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza 𝑇𝑪𝑨 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . de las componentes de las fuerzas en cada una ellas.Este principio se aplica en 𝑻𝑪𝑩
64,95 𝑙𝑏 − 𝑇𝐶𝐴 𝑠𝑒𝑛60° 𝑇𝐶𝐴 𝑠𝑒𝑛60° ( ) 𝑠𝑒𝑛30° = 22,5 𝑙𝑏 𝑐𝑜𝑠80°
∑𝐹 = 0
𝑇𝐶𝐴∗ 𝑠𝑒𝑛60°𝑐𝑜𝑠30° − (64,95 𝑙𝑏)𝑠𝑒𝑛30° + 𝑇𝐶𝐴 𝑐𝑜𝑠60°𝑠𝑒𝑛30° = 22,5 𝑙𝑏 𝑐𝑜𝑠30°
∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑥 = 0 −𝑇𝐶𝐴∗ 𝑐𝑜𝑠60°− 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠30° + 64,95 𝑙𝑏 = 0 1
𝑇𝐶𝐵 =
0,75𝑇𝐶𝐴 + 0,25 𝑇𝐶𝐴 = 51,95 𝑙𝑏
64,95 𝑙𝑏 − 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠60° 𝑐𝑜𝑠30°
𝑻𝑪𝑨 = 𝟓𝟏, 𝟗𝟔 𝒍𝒃 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑇𝐶𝐴 𝑒𝑛 1
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0 𝑇𝐶𝐴 =
𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛 60° − 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛30° + (75 𝑙𝑏)𝑠𝑒𝑛30° − 𝑄 = 0
64,95 𝑙𝑏 − (51,95𝑙𝑏) ∗ 𝑐𝑜𝑠60° 𝑐𝑜𝑠30° 𝑻𝑪𝑩 = 𝟒𝟓 𝒍𝒃
𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛60° − 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛30° = 𝑄 − 37,5 𝑙𝑏 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛60° − 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛30° = 22,5 𝑙𝑏°
2.54._ En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Determine el rango de valores de Q para los cuales la tensión no será mayor que 60lb en cualquiera de los cables.
A
P
F
C 30°
30° 60° D
C
C E
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se lo obtiene de igual El valor de las componentes de 𝑻𝑩𝑪 forma con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director 30°. para hallar x e y respectivamente, en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Este principio se aplica en ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑩𝑪 𝑻𝑨𝑪 .para reemplazar los valores y encontrar el valor de Q
B
⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑥 75 ∗ 𝑐𝑜𝑠30° − 𝑇𝐴𝐶 𝑐𝑜𝑠60° − 60 ∗ 𝑐𝑜𝑠30° = 0
⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑥
75 cos 30° ∗ 60 cos 30° = 𝑇𝐴𝐶 cos 60°
75 ∗ 𝑐𝑜𝑠30° − 60𝑐𝑜𝑠60° − 𝑇𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠30° = 0
𝑻𝑨𝑪 = 𝟐𝟓, 𝟗𝟖 𝒍𝒃
75𝑐𝑜𝑠30° − 60𝑐𝑜𝑠60° ( ) = 𝑇𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠30°
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0
𝑇𝐵𝐶 = 40,36 𝑙𝑏
75 𝑠𝑒𝑛30° + 𝑇𝐴𝐶 𝑠𝑒𝑛60° − 60 𝑠𝑒𝑛30° = 0
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0
𝑄 = 75 𝑠𝑒𝑛30° + (25,98)𝑠𝑒𝑛60° − 60𝑠𝑒𝑛30° 𝑸 = 𝟑𝟎 𝒍𝒃
75 𝑠𝑒𝑛30° + 60𝑠𝑒𝑛60° − 𝑇𝐵𝐶 𝑠𝑒𝑛30° − 𝑄 = 0 𝑄 = 75 𝑠𝑒𝑛30° + 60𝑠𝑒𝑛60° − 40,36𝑠𝑒𝑛30°
𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = (𝟑𝟎 ≤ 𝑸 ≤ 𝟔𝟖, 𝟐𝟖)𝒍𝒃
𝑸 = 𝟔𝟖, 𝟐𝟖 𝒍𝒃
2.55._ Un pescador es rescatado con una silla de contramaestre que se encuentra suspendida de una polea que puede rodar libremente sobre el cable de apoyo ACB y es jalada a una velocidad constante mediante el cable CD. Si se sabe que α = 30° y β = 10°, y que el peso combinado de la silla y el pescador es de 900N, determine la tensión a) en el cable de soporte ACB, b) en el cable de arrastre CD.
D
A
B
30° E
16°
30° C
F
C
C
G
∑𝐹 = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se El valor de las componentes de 𝑻𝑪𝑩 lo obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director Ɵ1para hallar x e y respectivamente, realizando la sumatoria de las componentes de las fuerzas en donde se tienen como ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . valores el módulo de la fuerza 𝑻𝑪𝑩
∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑥 = 0 −𝑇𝐶𝐴∗ 𝑐𝑜𝑠30°+𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠10° − 𝑇𝐶𝐷 ∗ 𝑐𝑜𝑠30° = 0 −𝑇𝐶𝐵∗ 𝑐𝑜𝑠30°+𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑐𝑜𝑠10° = 𝑇𝐶𝐷 ∗ 𝑐𝑜𝑠30° 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Este principio se aplica en 𝑻𝑪𝑫
𝑇𝐶𝐷 =
𝑇𝐶𝐵 (𝑐𝑜𝑠10° − 𝑐𝑜𝑠30°) 𝑐𝑜𝑠30° ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0
𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛30° + 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛 10° + 𝑇𝐶𝐷 𝑠𝑒𝑛30° − 𝑊 = 0 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛30° + 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛 10° + 𝑇𝐶𝐷 𝑠𝑒𝑛30° = 𝑊 𝑇𝐶𝐵 (cos 10° − cos 30°) 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛30° + 𝑇𝐶𝐵 𝑠𝑒𝑛10° + ( ) ∗ 𝑠𝑒𝑛30° = 𝑊 cos 30° 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛30° cos 30° + 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛10°𝑐𝑜𝑠30° + 𝑇𝐶𝐵 (𝑐𝑜𝑠10° − 𝑐𝑜𝑠30°)𝑠𝑒𝑛 30° = 𝑊 0,43𝑇𝐶𝐵 + 0,15 𝑇𝐶𝐵 + 0,05 𝑇𝐶𝐵 = (900 𝑁) cos 30° 𝑇𝐶𝐵 =
779,42 𝑁 0,64
𝑻𝑪𝑩 = 𝟏𝟐𝟏𝟐, 𝟓𝟔𝑵 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑇𝐶𝐵 𝑒𝑛 1 𝑇𝐶𝐷 =
1212,56 𝑁 (cos 10° − 𝑐𝑜𝑠30°) 𝑠𝑒𝑛 30° 𝑻𝑪𝑫 = 𝟏𝟔𝟔, 𝟑𝟏 𝑵
2.56._ Un pescador es rescatado con una silla de contramaestre que se encuentra suspendida de una polea que puede rodar libremente sobre el cable de apoyo ACB y es jalada a una velocidad constante mediante el cable CD. Si se sabe que α = 25° y β = 15°, y que la tensión en el cable CD es de 80N, determine a) el peso combinado de la silla y el pescador, b) la tensión en el cable de soporte ACB.
D
E
A
25°
F
B 25°
C
15°
C
G C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se lo obtiene con las El valor de las componentes de 𝑇𝑪𝑩 funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director 15°para hallar x e y respectivamente, realizando la sumatoria de las componentes de las fuerzas en donde se tienen como valores el ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Este principio se aplica en 𝑾 ⃗⃗⃗⃗ módulo de la fuerza 𝑻𝑪𝑩
∑𝐹 = 0 ⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑥 2. −𝑇𝐶𝐴∗ cos 25° + 𝑇𝐶𝐵 ∗ cos 15° − 𝑇𝐶𝐷 cos 25° = 0 −𝑇𝐶𝐵∗ cos 25° + 𝑇𝐶𝐵 ∗ cos 15° − (80𝑁) cos 25° = 0 𝑇𝐶𝐵∗ (cos 15° − cos 25°) = 72,50 𝑁 𝑇𝐶𝐵 =
72,50 𝑁 (cos 15° − cos 25°)
𝑻𝑪𝑩 = 𝟏𝟐𝟏𝟔, 𝟏𝟓 𝑵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑇𝐶𝐴 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑇𝐶𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑦 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛 25° + 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛 15° + 𝑇𝐶𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛 25° − 𝑊 = 0 𝑇𝐶𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛 25° + 𝑇𝐶𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛 15° + 𝑇𝐶𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛 25° = 𝑊 𝑊 = 𝑇𝐶𝐵 ∗ (𝑠𝑒𝑛 25° + 𝑠𝑒𝑛 15°) + (80 𝑁) ∗ 𝑠𝑒𝑛 25 𝑊 = (1216,15 𝑁)(𝑠𝑒𝑛25° + 𝑠𝑒𝑛 15°) + 33,80 𝑁 𝑊 = 828,72 𝑁 + 33,80 𝑁 𝑾 = 𝟖𝟔𝟐, 𝟓𝟑 𝑵
2.57._ Para los cables del problema 2.45 se sabe que la tensión permisible máxima es de 600N en el cable AC y 750N en el cable BC. Determine a) la máxima fuerza P que puede aplicarse en C, b) el valor correspondiente de α.
A
E
45° D
45°
C
P
B
C 25°
C
F
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ° se lo obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo El valor de las componentes de 𝑻𝑪𝑨 director 45para hallar x e y respectivamente, realizando la sumatoria de las componentes de las fuerzas en ⃗⃗⃗⃗⃗ . Este principio se aplica en 𝑻𝑪𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ para reemplazar donde se tienen como valores el módulo de la fuerza 𝑇𝑪𝑨 ⃗⃗ en las ecuacione plantiadas y obtener el valor de 𝑷 ∑𝐹 = 0
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0
∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑥 = 0
TCA Sen45° + TCB Sen25°- PSenα = 0
-TCA Cos45° + TCB Cos25°- PCosα = 0 (𝟏 ) 𝑃 =
(𝟐) 𝑃 =
−TCA Cos45° + TCB Cos25°
TCA Sen45° + TCB Sen25° Senα
Cosα Reemplazamos α en la ecuación 1 𝑃=
−TCA Cos45° + TCB Cos25° Cosα 𝑃=
255,46N Cos70,98
P = 783,86N
(1) = (2) −TCA Cos45° + TCB Cos25°
Cosα
=
−(600N)Cos45° + (750N) Cos25°
Cosα 255,46N
TCA Sen45° + TCB Sen25° Senα
=
(600)Sen45° +(750N) Sen25°
Senα
741,22
= Senα Cosα Sen α
Cosα
= 2,90
Tanα = 2,90 α = 70,98°
2.58._ Para la situación descrita en la figura P2.47, determine a) el valor de α para el cual la tensión en el cable BC es la mínima posible y b) el valor correspondiente de la tensión
B E A
C ∝ 25°
D
15°
C
C P
F
⃗⃗⃗⃗⃗ se lo obtiene con las funciones El valor de las componentes de 𝑇𝑨𝑪 trigonométricas cos y sen y el ángulo director 15°para hallar x e y respectivamente, realizando la sumatoria de las componentes de las fuerzas en ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Este principio se donde se tienen como valores el módulo de la fuerza 𝑻𝑨𝑪 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ aplica en 𝑻𝑩𝑪
𝑇𝐴𝐶∗ (cos5° ∗ sen 35°) + 𝑇𝐴𝐶 ∗ cos3 5° = 1195.45
⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑥
𝑇𝐴𝐶∗ (cos5° ∗ sen 35° + cos3 5°) = 1195.45 𝑇𝐵𝐶∗ cos 5° + 𝑇𝐴𝐶 ∗ cos 35° = 0
1195.4
𝑇𝐴𝐶 =(cos5°∗sen 35°+ cos3 5°)
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑦
𝑇𝐴𝐶 =859.68N 𝑇𝐴𝐶∗ sen 25° + 𝑇𝐵𝐶 ∗ sen 5° − 1200𝑙𝑏 = 0 𝑇𝐶𝐵 =
𝑇𝐵𝐶=
𝑇𝐴𝐶 ∗ 𝑐𝑜𝑠35°
𝑐𝑜𝑠5°
(859.68)cos35° cos5°
𝑇𝐵𝐶= 706.9N
𝑇𝐴𝐶𝑐𝑜𝑠35° )-1200lb=0 𝑐𝑜𝑠5°
𝑇𝐴𝐶∗ sen35°+(
2.59._ Para la estructura y la carga del problema 2.48, determine a) el valor de α para el que la tensión en el cable BC es mínima, b) el valor correspondiente de la tensión.
E B D
C 60°
∝
C
70°
300lb A
⃗⃗⃗⃗⃗ se lo obtiene con las funciones El valor de las componentes de 𝑇𝑨𝑪 trigonométricas cos y sen y el ángulo director 60°para hallar x e y respectivamente, realizando la sumatoria de las componentes de las fuerzas en ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Este principio se aplica donde se tienen como valores el módulo de la fuerza 𝑻𝑨𝑪 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en 𝑻𝑩𝑪
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0
∑𝐹 = 0
TBC Sen30°- TACSen60 - 300 Sen70° = 0
⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑥
(2)
300 Cos70° - TBC Cos30°- TACCos60 = 0 (1)
TAC =
TAC =
TBC Sen30°− 300 Sen70°
Sen60°
300 Cos70° − TBC Cos30°
Cos60°
TAC = TAC 300 Cos70° − TBC Cos30°
Cos60°
=
TBC Sen30°− 300 Sen70°
Sen60°
300 Cos70° Sen60° - TBC Cos30° Sen60° = TBC Sen30°Cos60° - 300 Sen70° Cos60° 300 Cos70° Sen60° + 300 Sen70° Cos60° = TBC Sen30°Cos60° + TBC Cos30° Sen60° 229,81lb = TBC (Sen30°Cos60° + Cos30° Sen60°)
TBC = 229,81𝑙𝑏 1 (b) TBC = 229,81lb. En el triángulo ABC 30°+90°+α = 180° α = 180° - 120° = 60° (a) α = 60° 2.60._ Si se sabe que las porciones AC y BC del cable ACB deben ser iguales, determine la longitud mínima que debe tener el cable para soportar la carga mostrada, si la tensión en éste no debe ser mayor que 870N.
⃗⃗⃗⃗⃗ se lo El valor de las componentes de 𝑇𝑪𝑨 obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director para hallar x e y respectivamente, realizando la sumatoria de las componentes de las fuerzas en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑪𝑨. Este
B
A
∝ D
∝ C
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ principio se aplica en 𝑻𝑪𝑩
C
∑𝐹 = 0 ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0
TCA Senα + TCB Senα – 1200N = 0
α = Sen-1(0.68) α = 43,60° Cosα =
2,1 𝑚 𝑥
2,1 𝑚
TCA = TCB
x= 𝐶𝑜𝑠 43,60°
TCA Senα + TCA Senα – 1200N = 0
x = 2,9 m
Sen α = Sen α =
E
1200 N
2(TCA ) 1200 N
T = 2X = 2(2,9 m) T= 5,8 m
2(870 N)
2.61._ En C se amarran dos cables y se carga como se muestra en la figura. Si se sabe que la tensión máxima permisible en cada cable es de 800N, determine a) la magnitud de la fuerza P máxima que puede aplicarse en C, b) el valor correspondiente de α.
A
D
C
35°
C
B
50° C
∝ E
F
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se lo obtiene con las El valor de las componentes de 𝑻𝑪𝑨 funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director Ɵ1para hallar x e y respectivamente, realizando la sumatoria de las componentes de las fuerzas en donde se tienen como valores el ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Este principio se aplica en 𝑻𝑪𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ módulo de la fuerza 𝑻𝑪𝑨 ∑𝐹 = 0 ∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑥 = 0
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0
-TCA Cos35° + TCB Cos50°- PCosα = 0
TCA Sen35° + TCB Sen50°- P Senα = 0
(𝟏 ) 𝑃 =
TCA Cos35° − TCB Cos50° Cosα
(𝟐) 𝑃 =
TCA Sen35° + TCB Sen50° Senα
P
(1) = (2) TCA Cos35°− TCB Cos50° TCA Sen35°+ TCB Sen50° = Cosα Senα
Senα TCA Sen35°+ TCB Sen50° = Cosα TCA Cos35°− TCB Cos50°
Tan α=
(800 N)Sen35°+ (800 N) Sen35° TCA Cos35°− TCB Cos50°
Tan α =
1071,63 𝑁 141,09𝑁
Tan α = 7,59536 α = Tan-1 (7,59536)
b) α = 82,5° Reemplazamos α en la ecuación 1 𝑃=
𝑷=
TCA Cos35° − TCB Cos50° Cosα
(800 N)Cos35° + 800 Cos50° Cos82,5° 𝑷=
141,09 N Cos82,5°
a) P = 1080,94 N
2.62._ En C se amarran dos cables y se carga como se muestra en la figura. Si se sabe que la tensión máxima permisible en el cable AC es de 1200N y que en cable BC es de 600N, determine a) la magnitud de la fuerza P máxima que puede aplicarse en C, b) el valor correspondiente de α.
D B ∝
35° C
A
P
E
50° C
F
50
El valor de las componentes de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑪𝑨 se lo obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director C Ɵ1para hallar x e y respectivamente, realizando la sumatoria de las componentes de las fuerzas en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑪𝑨. Este principio se aplica ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .reemplazando estos valores en las ecuaciones en 𝑻𝑪𝑩 plantiadas mediante la sumatoria de las componentes ⃗. obteniendo el ángulo ∝ y ⃗𝑷
∑𝐹 = 0 ⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑦
TCA Sen35° + TCB Sen50°- P Senα = 0
-TCA Cos35° + TCB Cos50°- PCosα = 0 𝑃= 𝑃=
TCA Cos35° − TCB Cos50° Cosα
𝑃= 𝑃=
TCA Sen35° + TCB Sen50° Senα
(1200 N)Sen35° + (600 N)Sen50°
Senα
(1200 N)Cos35° − (600 N) Cos50°
Cosα (𝟏) 𝑃 =
597,30 N Cosα
(𝟐) 𝑃 =
1147,91 N Senα
(1) = (2) 597,30 N Cosα
=
Reemplazamos α en la ecuación 1
1147,91 N Senα
Senα 1147,91 N = 597,30 N Cosα
Tan α=
1147,91 N
𝑃=
597,30 N Cosα
𝑃=
597,30 N Cos62,51
597,30 N
P = 1294,01 N
Tan α = 1,92 α = Tan-1 (1,92) α = 62,51°
2.63._ El collarín A puede deslizarse sin fricción sobre una barra horizontal y está conectado a una carga de 50lb, como se muestra en la figura. Determine la magnitud de la fuerza P requerida para mantener el collarín en equilibrio cuando a) x = 4.5 in., b) x = 15 in.
C
∝ A
D a) Tan α=
20 𝑖𝑛 4,5 𝑖𝑛
∑𝐹 = 0
Tan α= 4,44 α = Tan-1 (4,44) α = 77,31
∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑥 = 0 -P + 50lb*Cosα = 0 P = 50lb*Cos77,31 P = 10,97 lb
Tan α=
b)
20 𝑖𝑛 15 𝑖𝑛
∑𝐹 = 0
Tan α= 1,33
∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑥 = 0
-1
α = Tan (1,33) -P + 50lb*Cosβ = 0
α = 53,13
P = 50lb*Cos53,13° P = 30 lb
2.64._ El collarín A puede deslizarse sin fricción sobre una barra horizontal y está conectado a una carga de 50lb, como se muestra en la figura. Determine la distancia x para la cual el collarín se conserva en equilibrio cuando P = 48lb.
B
∝ A
D Cos α = 0,96 ∑𝐹 = 0
α = Cos-1(0,96)
∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑥 = 0
α = 16,26°
-P + TAB*Cosα = 0 20 𝑖𝑛
- 48 lb + 50 lb*Cosα = 0 48𝑙𝑏
Cos α = 50𝑙𝑏
Tanα =
𝑥
20 𝑖𝑛
x = 𝑇𝑎𝑛 16,26 x = 68,57 in
2.65._ Una carga de 160kg está sostenida por el arreglo de cuerdas y poleas que se muestran en la figura. Si se sabe que β = 20°, determine la magnitud y la dirección de la fuerza P que debe aplicarse en el extremo libre de la cuerda para mantener al sistema en equilibrio. (Sugerencia: La tensión es la misma en ambos lados de la cuerda que pasa por una polea simple. Esto puede comprobarse mediante los métodos del capítulo 4.)
P
B
70° ∝ D
A
A
E
El valor de las componentes de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑨𝑩 se lo obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director 70°para hallar x e y respectivamente, realizando la sumatoria de las componentes de las ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . fuerzas en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza 𝑻𝑨𝑩 ⃗⃗ . Este principio se aplica en 𝑷
a) ∑𝐹 = 0 ∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑥 = 0
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑦 P*Sen α + TAB*Sen70° - W = 0 TAB = 2P
-P Cos α + TABCos70° = 0 TAB = 2P
P*Sen α + 2P*Sen70° = W P(Sen 46,8 + 2*Sen70°) = 1568 N
-P Cos α + 2PCos70° = 0 Cos α =
− 2𝑃 𝐶𝑜𝑠 70° −𝑃
Cos α = 0,68404 α = Cos-1 (0,68404)
1568 𝑁
P= Sen 46,8 + 2∗Sen70° P=
1568 𝑁 2,61
P = 601,1 N
α =46,84°
b) ∑𝐹 = 0 ⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑥 -P Cos α + TABCos70° = 0
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0
TAB = 2P
- P*Sen α + TAB*Sen70° - W = 0
-P Cos α + 2PCos70° = 0
TAB = 2P
Cos α =
− 2𝑃 𝐶𝑜𝑠 70° −𝑃
Cos α = 0,68404
-P*Sen α + 2P*Sen70° = W P(- Sen46,83 + 2*Sen70°) = 1568 N 1568 𝑁
α = Cos-1 (0,68404)
P= − Sen 46,8 + 2∗Sen70°
α =46,84°
P = 1363,5 N
2.66._ Una carga de 160kg está sostenida por el arreglo de cuerdas y poleas que se muestran en la figura. Si se sabe que α = 40°, determine a) el ángulo β y b) la magnitud de la fuerza P que debe aplicarse en el extremo libre de la cuerda para mantener el sistema en equilibrio. (Vea la sugerencia del problema 2.65).
P
D
B
25
55 A
A
E
El valor de las componentes de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑨𝑩 se lo obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director para hallar x e y respectivamente, realizando la sumatoria de las componentes de las fuerzas en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑨𝑩.Reemplazando estos valores en las ecuaciones planteadas mediante la sumatoria de ⃗. las componentes obteniendo el ángulo𝛽 y ⃗𝑷
∑𝐹 = 0
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑦
⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑥
2P Cosβ + TAB*Sen40° - W = 0 TAB = 2P
-P Cos40° + TABSenβ = 0 2P*Cosβ + P*Sen40° = W TAB = 2P P(2*Cosβ + Sen40°) = 1568 N -P Cos40° + 2PSenβ = 0 1568 𝑁
Senβ =
𝑃 𝐶𝑜𝑠 40° 2𝑃
Sen β = 0,3830 β = Sen-1 (0,3830) β =22,52°
P= 2∗Cos 22,52 + Sen40° P=
1568 𝑁 2,4902
P = 629,64 N
2.67._ Una caja de madera de 600lb está sostenida por varios arreglos de poleas y cuerdas como se muestra en la figura. Determine la tensión en la cuerda para cada arreglo. (Vea la sugerencia del problema 2.65).
a) ∑𝐹 = 0 ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0 TAB + T – W = 0 T+T=W 2T = 600lb b)
T= 300lb ∑𝐹 = 0 ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0 TAB + T – W = 0 T+T=W 2T = 600lb T= 300lb
c) ∑𝐹 = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑦 T+ T + T – W = 0 T+T+T=W 3T = 600 lb T= 200 lb
d) ∑𝐹 = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑦 T+ T + T – W = 0 T+T+T=W 3T = 600 lb T= 200 lb
e)∑ 𝐹 = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑦 T+ T + T + T – W = 0 T+T+T+T=W 4T = 600 lb T= 150 lb
El valor de las componentes de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑨𝑩 se lo obtiene con la sumatoria de las componentes de las fuerzas en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑨𝑩. Reemplazando estos valores en las ecuaciones planteadas mediante la sumatoria de las componentes obteniendo el ⃗. 𝑻
2.68._ Retome los incisos b) y d) del problema 2.67, y ahora suponga que el extremo libre de la cuerda está unido a la caja de madera.
b)
d) ∑𝐹 = 0
∑𝐹 = 0
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑦 = 0
3T – W = 0
4T – W = 0
T= T=
𝑊 3
600 3
T= 200 lb
T= T=
𝑊 4
600 4
T= 150 lb
2.69._ La carga Q se aplica en la polea C, la cual puede rodar sobre el cable ACB. La polea se sostiene en la posición mostrada en la figura mediante un segundo cable CAD, el cual pasa a través de la polea A y sostiene una carga P Si se sabe que P = 750N, determine a) la tensión en el cable ACB, b) la magnitud de la carga Q.
El valor de las componentes de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑨𝑪𝑩 se lo obtiene con las funciones trigonométricas cos y sen y el ángulo director de 55 para hallar x e y respectivamente, realizando la sumatoria de las componentes de las fuerzas en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑻𝑨𝑪𝑩.Reemplazando estos valores ⃗. en las ecuaciones planteadas mediante la sumatoria de las componentes obteniendo ⃗𝑸
D
A
B
P 55° a)
25° C
C
E
F
55° C
b) ∑𝐹 = 0 ⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑦 P*Sen55° + TACB*Sen25° + TACB*Sen55° = Q
-P*Cos55° - TACB*Cos55° + TACB*Cos25 = 0
750N*Sen55° + TACB(Sen25° + Sen55°) = Q
-750N*Cos55° - TACB(- Cos55° + Cos25°) = 0
614,36 N + 1292,9(Sen25° + Sen55°) = Q
430,18 𝑁
TACB = (−𝐶𝑜𝑠55°+𝐶𝑜𝑠25°)
Q = 614,36 N + 1605,48 N
TACB = 1292,9 N
Q= 2219,84 N
2.70._ Una carga Q de 1800N se aplica a la polea C, la cual puede rodar sobre el cable ACB. La polea se sostiene en la posición mostrada en la figura mediante un segundo cable CAD el cual pasa a través de la polea A y sostiene una carga P. Determine a) la tensión en el cable ACB, b) la magnitud de la carga P.
P
D
55°
B
A
E
55°
25° C
C
C
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se lo obtiene con las funciones trigonométricas cos y El valor de las componentes de 𝑻𝑪𝑨 sen y el ángulo director para hallar x e y respectivamente, realizando la sumatoria de las ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . componentes de las fuerzas en donde se tienen como valores el módulo de la fuerza 𝑻𝑪𝑨 Reemplazando estos valores en las ecuaciones planteadas mediante la sumatoria de las ⃗⃗ . componentes obteniendo 𝑷
∑𝐹 = 0 ∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑥 = 0 -PCos55° - TACB*Cos55° + TACB*Cos25°= 0 P=
− TACB∗Cos55° + TACB∗Cos25° 𝐶𝑜𝑠 55°
a) ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ∑ 𝐹𝑦 PSen55° + TACB*Sen55° + TACB*Sen25° - Q= 0 − TACB∗Cos55° + TACB∗Cos25° ) 𝐶𝑜𝑠 55°
(
Sen55° + TACB*Sen55° + TACB*Sen25° = 0
-TACB*Cos55°*Sen55° + TACB*Cos25°*Sen55° + TACB*Sen55°*Cos55° + TACB*Sen25°*Cos55° = Q*Cos55° 0,98*TACB = (1800 N)Cos55° 1032,4375 𝑁
TACB=0,984807753 TACB= 1048,36 N Reemplazar TACB en la ecuación de P P=
− 1048,36∗Cos55° + 1048,36∗Cos25° 𝐶𝑜𝑠 55°
P=
348,82 N 𝐶𝑜𝑠 55°
P= 608,15 N
