DINAMICA - CINEMATICA DE LA PARTICULA

DINÁMICA UNIDAD 01 Ing. Jesús Chancatuma Huamán EPIM – UNSAAC 2017 – 2

CONTENIDO • Cinemática de la partícula • Movimiento relativo de la partícula en el plano • Cinemática del cuerpo rígido en el plano

Ing. Jesus Chancatuma Huamán

CAP I: CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA Ing. Jesus Chancatuma Huamán

MOVIMIENTO CURVILÍNEO PLANO • Coordenadas rectangulares


MOVIMIENTO CURVILÍNEO PLANO • Coordenadas normal-tangencial


MOVIMIENTO CURVILÍNEO PLANO • Coordenadas polares


PROBLEMA 01 Si se desprecia la resistencia del aire, una bala disparada a la atmósfera tiene una aceleración vertical y hacia debajo de 9.81 m/s2. Si la bala lleva una velocidad inicial de 225 m/s en una dirección que forme 30° con la horizontal y en sentido ascendente, se pide calcular: a) La altura máxima que alcanza la bala b) El alcance de la bala Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 02 El pasador A es obligado a moverse a lo largo de la ranura parabólica y 2 = 4x , sobre la placa fija mostrada. Dicho pasador es guiado por el elemento ranurado que se mueve con velocidad constante de 10 cm/s hacia la derecha. Se pide: a) Si la barra es vertical (ver figura 1), hallar la velocidad y aceleración de A para x = 10 cm b) Si la barra es inclinada (ver figura 2), hallar la velocidad y aceleración de A para x = 10 cm Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 02 FIGURA 1

FIGURA 2


PROBLEMA 03 Una leva de forma r = 20 + 15cosθ se muestra en la figura. El pasador P se desliza por una ranura a lo largo del brazo AB manteniéndose en contacto con la leva por efecto de un resorte. El brazo AB gira alrededor de A en sentido antihorario a razón de 30rpm. Si θ = 0° en t = 0 seg. Se pide calcular: a) La velocidad y aceleración del pasador b) La velocidad y aceleración en t = 0.75 seg Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA


PROBLEMA 04 El pin P está fijo a la barra articulada AB. Dicho pin está obligado a moverse a lo largo de una corredera móvil en forma de parábola de eje vertical con vértice C. La barra ranurada es obligada a moverse verticalmente y en el instante mostrado tiene una velocidad de 6 cm/s hacia abajo decreciente a razón de 2 cm/s2. Calcular para ese instante:

a) La velocidad y aceleración del pin P en coordenadas cartesianas. b) La velocidad y aceleración angulares de la barra AB. Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 04


PROBLEMA 05 En el diseño de un mecanismo de control, la guía vertical ranurada es movida con velocidad constante x = 15 plg/seg durante el intervalo de movimiento desde x = - 8 plg hasta x = 8 plg. Para el instante donde x = 6 plg, se pide calcular: a) La aceleración normal de la partícula P b) La aceleración tangencial de la partícula P c) El radio de curvatura de la trayectoria en ese instante. Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 05


PROBLEMA 06 La partícula mostrada recorre una trayectoria parabólica definida por la ecuación y = 0.5x 2 . La componente de la velocidad a lo largo del eje y es vy = 2t 2 m/s, donde t esta dado en segundos. Sabiendo que cuando t = 0, x = 0, y = 0, se pide determinar para el instante t = 1 seg: a) La distancia de la partícula desde el origen O b) La velocidad y aceleración en componentes n-t c) La longitud de curva recorrida Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 06


MOVIMIENTO CURVILÍNEO ESPACIAL • Coordenadas rectangulares


MOVIMIENTO CURVILÍNEO ESPACIAL • Coordenadas cilíndricas


MOVIMIENTO CURVILÍNEO ESPACIAL • Coordenadas esféricas


MOVIMIENTO CURVILÍNEO ESPACIAL • Coordenadas esféricas


TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Tθ

cosθ senθ 0 = −senθ cosθ 0 0 0 1

Tθ Tφ

Tθ

−1

Tφ

Tφ

cosφ 0 senφ 0 1 0 = −senφ 0 cosφ

cosφcosθ cosφsenθ senφ −senθ cosθ 0 = −senφcosθ −senφsenθ cosφ

−1

cosθcosφ −senθ −cosθsenφ = senθcosφ cosθ −senθsenφ senφ 0 cosφ Ing. Jesus Chancatuma Huamán

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS • Caso 1: De rectangulares a cilíndricas

vrθz = Tθ vxyz arθz = Tθ axyz • Caso 2: De cilíndricas a rectangulares vxyz = Tθ axyz = Tθ

−1

−1

vrθz arθz Ing. Jesus Chancatuma Huamán

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS • Caso 3: De cilíndricas a esféricas vRθφ = Tφ vrθz aRθφ = Tφ arθz • Caso 4: De esféricas a cilíndricas

vrθz = Tφ arθz = Tφ

−1 −1

vRθφ aRθφ Ing. Jesus Chancatuma Huamán

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS • Caso 5: De rectangulares a esféricas vRθφ = Tφ Tθ vxyz aRθφ = Tφ Tθ axyz • Caso 6: De esféricas a rectangulares vxyz = Tθ

−1

axyz = Tθ

−1

Tφ Tφ

−1 −1

vRθφ aRθφ Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 07 El disco rota con una velocidad angular constante de ω = (𝜋/3) rad/s. Simultáneamente la barra OB se eleva con una velocidad constante φ = (2π/3) rad/ s. Si para t = 0 seg, θ = 0° y 𝜑 = 0°. La pequeña esfera se mueve bajo la ley de: 𝑅 = 50 + 200𝑡 2 (R en mm y t en seg). Para t = 0.5 seg, determine mediante la matriz de transformación: a) La velocidad de P en coordenadas cartesianas b) La aceleración de P en coordenadas cartesianas Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 07


PROBLEMA 08 Un auto está viajando a lo largo de un piso de estacionamiento por una rampa cilíndrica espiral con rapidez constante de v = 1.5 m/s. Si la rampa desciende una distancia de 12 m en cada revolución completa, si r = 10 m. Se pide calcular para el auto: a) La velocidad del auto en coordenadas cilíndricas b) La aceleración del auto en coordenadas cilíndricas y cartesianas Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 08


PROBLEMA 09 Un niño se desliza por un tobogán acuático AB, la descripción del movimiento en coordenadas θ 2 2 cilíndricas es R = 4m, θ = ω t y z = h 1 − , π donde h =3m, ω = 0.75 rad/s (cte), cuando el niño se encuentra en B, calcule: a) La aceleración cilíndricas b) La aceleración esféricas.

del

niño

en

coordenadas

del

niño

en

coordenadas


PROBLEMA 09


PROBLEMA 10 Para la escalera telescópica móvil de 10 m de largo en el instante mostrado, gira alrededor del eje vertical a razón constante de 3 rad/seg y el extremo B se aleja de O a razón constante de 0.2 m/seg. Si 𝜑 disminuye a razón constante de 2 rad/seg. Para el instante mostrado cuando φ = 30°. Se pide: a) La magnitud de la velocidad B en coordenadas esféricas. b) La magnitud de la aceleración en B en coordenadas cartesianas. Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 10


PROBLEMA 11 En un ensayo de una antena telescópica, el árbol soportante gira en torno al eje z fijo con ω = cte. Calcular las componentes x, y, z de la aceleración del extremo de la antena, siendo θ = 45°, L = 1.2m, β = 45°, ω = 2rad/s, β = 1.5 rad/s y L = 0.9 m/s constantes en el transcurso del movimiento.


PROBLEMA 11


PROBLEMA 12 Calcular la componente radial de la aceleración del niño, quien está moviéndose en un juego mecánico π (ver figura), se sabe que β = t y el instante 6 mostrado es cuando t =1 seg, asimismo N = 11.2 rpm constante. NOTA: obtener la componentes radial de dos formas, con coordenadas cilíndricas y esféricas. Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 12 N

𝛽

C


MOVIMIENTO RELATIVO EN EL PLANO • Consideramos dos puntos A y B en movimiento, fijamos en B un sistema de coordenadas y observamos el punto A desde la posición móvil en B.


MOVIMIENTO RELATIVO EN EL PLANO

Traslación

Traslación y rotación Ing. Jesus Chancatuma Huamán

MOVIMIENTO RELATIVO EN EL PLANO • Ecuaciones fundamentales del relativo (traslación) en el plano:

movimiento

rA = rB + rA/B

vA = vB + vA/B aA = aB + aA/B Ing. Jesus Chancatuma Huamán

MOVIMIENTO RELATIVO EN EL PLANO • Ecuaciones fundamentales relativo general en el plano:

del

movimiento

rA = rB + rA/B vA = vB + ωSM x rA/B + vA/B aA = aB + α x rA/B + ωSM x ωSM x rA/B + 2ωSM x vA/B + aA/B Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 13 El avión A, con equipo radar, vuela horizontalmente a 12 km de altura y aumenta su velocidad a razón de 1.2 m/s cada segundo. Su radar detecta un avión que vuela en la misma dirección y en el mismo plano vertical a una altura de 18 km. Si la velocidad de A es de 1000 km/h en el instante mostrado donde 𝜃 = 30°, determine los valores de 𝑟 y 𝜃 en ese mismo instante si B tiene una rapidez de 1500 km/h. Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 13


PROBLEMA 14 El collar B se desliza a lo largo de la varilla horizontal hacia la derecha con una rapidez de 180 km/h y una aceleración de 20 m/s2 en el mismo sentido. Si θ = 53°, determine: a) La magnitud de la velocidad relativa de B respecto de la guía ranurada b) La magnitud de la velocidad angular de la guía ranurada c) La magnitud de la aceleración relativa de B respecto de la guía ranurada d) La magnitud de la aceleración angular de la guía ranurada


PROBLEMA 15 El mecanismo es parte de un dispositivo de enganche donde la rotación del enlace AOB es controlada por la rotación de la guía ranurada D. Si la guía ranurada D tiene una velocidad angular en sentido horario de 10 rad/s y una aceleración angular horaria de 5 rad/s2, cuando la ranura es paralela a OC, determine por el método de movimiento relativo: Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 15 a) La magnitud de la velocidad relativa de A respecto de D (cm/s) b) La magnitud de la velocidad angular de la barra BOA (rad/s) c) La aceleración angular de la barra BOA (rad/s2) d) La magnitud de la aceleración relativa de A respecto de D (cm/s2) Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 16 El niño en C tiene una velocidad angular de ω = 20j rad/s y aceleración angular α = 10j rad/s2 en el π mismo sentido, se sabe que θ = t y para el instante 3 cuando t = 1 seg y θ = 60°, determine: a) b) c) d) e)

La magnitud de la velocidad de C (m/s) La aceleración transversal 𝑎𝜑 (m/s2) La aceleración 𝑎𝑧 (m/s2) La aceleración radial 𝑎𝑅 (m/s2) La aceleración 𝑎𝑥 (m/s2) Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 16

A

B

C


CAP II: CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO Ing. Jesus Chancatuma Huamán

MOVIMIENTO EN EL PLANO


MOVIMIENTO EN EL PLANO


ROTACION RESPECTO A UN EJE FIJO Escalarmente

Vectorialmente


ROTACION RESPECTO A UN EJE FIJO


MOVIMIENTO GENERAL


MOVIMIENTO GENERAL


MOVIMIENTO RELATIVO RESPECTO A UN MARCO DE REFERENCIA MOVIL



Aceleración tangencial at = α x rA/B Aceleración normal an = ωSM x ωSM x rA/B


ACELERACION DE CORIOLIS • El término 2ωSM x v𝑟𝑒𝑙 se conoce como aceleración de Coriolis. • Representa la diferencia entre la aceleración de A respecto a P en un sistema no giratorio y en uno sistema giratorio. • Siempre es normal a vrel Ing. Jesus Chancatuma Huamán

ACELERACION DE CORIOLIS




PROBLEMA 17 La faja flexible F está sujeta al sector en E, recibiendo una velocidad constante de 4 m/s; para el instante mostrado se pide determinar: a) La magnitud de la velocidad angular de la barra DA b) La magnitud de la velocidad angular de la barra BD c) La magnitud de la aceleración angular de la barra DA d) La magnitud de la aceleración angular de la barra BD Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 18 En el mecanismo, la manivela 2 tiene ω2 = 5k rad/s constante, donde la corredera A desliza sobre la barra 4. Se pide calcular: a) La magnitud de la velocidad del bloque C (cm/s) b) La magnitud de la aceleración de B (cm/s2) c) La magnitud de la aceleración angular de la barra 5 (rad/s2) d) La magnitud de la aceleración de C (cm/s2) Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 18

O2A = 5 cm O4A = 7.5 cm O4B = 12.5 cm BC = 10 cm Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 19 La varilla de conexión AC está animada por un movimiento oscilatorio de rotación en torno al punto C, el cual se hace oscilar en torno al punto O al miembro ranurado. Cuando θ = 30°, el movimiento angular de la varilla AC viene descrito por ω = 6rad/s y α = −30rad/s2 , se pide calcular: NOTA: OC = OB = 10 cm; AC = 20 cm Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 19 a) La velocidad angular de la guía ranurada (rad/s) b) La magnitud de la velocidad relativa de A respecto a la guía (m/s) c) La magnitud de la velocidad absoluta en B (m/s) d) La aceleración angular de la guía ranurada (rad/s 2 ) e) La magnitud de la aceleración relativa de A respecto de la guía (m/s 2 ) f) La magnitud de la aceleración absoluta en B (m/s 2 )

θ

A

B


PROBLEMA 20 Para el mecanismo de Cepillo de Manivela, si la barra O2A tiene una velocidad angular constante en sentido horario de 1 rad/s, Si B es una rotula, determine: a) La magnitud de la velocidad angular de la barra 5 (rad/s) b) La magnitud de la velocidad angular de la barra 6 (rad/s) c) La magnitud de la aceleración de B (m/s2) d) La magnitud de la aceleración de D (m/s2) Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 20


ANALISIS DE CUERPOS RODANTES Para contacto de superficies convexo – convexo 𝜌1 + 𝜌2

aP2 = an,P2

ω2 2 ρ1 ρ2 = en ρ1 + ρ2

𝝆𝟐 𝑷𝟐

𝒆𝒏

𝑷𝟏

𝝆𝟏

𝒆𝒕 Ing. Jesus Chancatuma Huamán

ANALISIS DE CUERPOS RODANTES

aP2 = an,P2

ω2 2 ρ1 ρ2 = en ρ1 − ρ2

𝒆𝒏 𝝆𝟏 − 𝝆𝟐

Para contacto de superficies cóncavo – convexo

𝒆𝒕

𝝆𝟏 𝝆𝟐


ANALISIS DE CUERPOS RODANTES Para contacto en superficie plana ao = αr i

𝒗𝒐 𝒂𝒐 𝝆𝟐

PROBLEMA 21 En el mecanismo, se sabe que AB = BC = 125 mm, la rueda mayor gira con 𝜔𝐴 = 12𝑘 rad/seg (cte). Se pide calcular: a) La magnitud de la aceleración angular de AB b) La magnitud de la aceleración angular de BC c) La magnitud de la aceleración relativa de A respecto de C (cm/s2) d) La magnitud de la aceleración de B (cm/s2) Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 21


PROBLEMA 22 En el mecanismo mostrado, el brazo ABC gira con 5 rad/seg en sentido horario y con una aceleración angular de 4 rad/s2, en el mismo sentido. Se pide determinar:

a) La velocidad angular de la rueda 2 y 3 (rad/s) b) La aceleración angular de la rueda 2 y 3 (rad/s2) c) La aceleración absoluta del punto D (m/s2) Ing. Jesus Chancatuma Huamán

PROBLEMA 22


FIN DE LA UNIDAD


DINAMICA - CINEMATICA DE LA PARTICULA

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