Introducción Tipos de Fuerzas Equilibrio Estático de la Partícula
Contenido
Parte III Estática de la partícula 11
Introducción
12
Tipos de Fuerzas Fuerzas Conservativas Fuerzas de Reacción
13
Equilibrio Estático de la Partícula
53/80
Introducción Tipos de Fuerzas Equilibrio Estático de la Partícula
Estática de las Partículas: Fuerzas y Equilibrio
Una Partícula es un cuerpo rígido ideal de dimensiones relativas pequeñas cuya energía interna es despreciable frente a la energía aplicada. Una es una acción que causageométrica. que un objeto sufra un cambio que o afectaFuerza al movimiento o a su forma La Estática es la rama de la Mecánica que se ocupa del análisis de las cargas sobre un sistema físico en estado de equilibrio estático. El Equilibrio Estático es un estado en el que las posiciones relativas entre subsistemas no varían con el tiempo. Las Fuerzas son magnitudes vectoriales.
54/80
Introducción Tipos de Fuerzas Equilibrio Estático de la Partícula
Fuerzas Conservativas Fuerzas de Reacción
Tipos de Fuerzas z
Las fuerzas Actuantes son el conjunto de fuerzas que actúan sobre una partícula.
Applied F
Las fuerzas Aplicadas son aquellas debidas a acciones externas y que tienen por objeto producir algún efecto. Las fuerzas de Reacción son aquellas que aparecen como consecuencia de las restricciones externas al movimiento.
y
Reaction F x
55/80
Introducción Tipos de Fuerzas Equilibrio Estático de la Partícula
Fuerzas Conservativas Fuerzas de Reacción
Fuerzas Aplicadas: Fueras Conservativas
# »
La fuerza conservativa F es aquella que puede expresarse como el negativo del gradiente de una función potencial escalar V : F i− Vj− Vk = −∇ V = − ∂∂V x ∂∂ y ∂∂ z
El campo potencial debe ser una función continua y derivable. Estas fuerzas tienen la propiedad de que el trabajo realizado al mover la partícula entre dos puntos es independiente del camino tomado. La denominación viene del hecho de que los sistemas sometidos exclusivamente a esas fuerzas conservan la energía mecánica.
56/80
Introducción Tipos de Fuerzas Equilibrio Estático de la Partícula
Fuerzas Conservativas Fuerzas de Reacción
Fuerzas Conservativas: Fuerzas Constantes Una Fuerza de módulo constante viene dada por:
V
= ai + bj + c k F 2.5
Tras integrar obtenemos el potencial como: V = −a x
−
by
−
c z + cte
Ejemplo, bajo la suposición de gravedad constante, el peso es: = −mg k F
2.0
1.5
# »
F
1.0
0.5
0
Y la energía potencial:
0
0.5
1. 0
1.5
2.0
2.5
x
V = mg z + cte 57/80
Introducción Tipos de Fuerzas Equilibrio Estático de la Partícula
Fuerzas Conservativas Fuerzas de Reacción
Fuerzas Conservativas: Fuerza Elástica Un muelle o resorte es un elemento elástico que proporciona una fuerza que es: 1
proporcional a la elongación
2
en la dirección axial u en el sentido que restaure su estado natural.
δ = (x 3
−
# »
F = K (x
−
L0 ) u
L0 )
x
Los muelles tienen una longitud natural cuando no se les aplica carga, denominada L0 . L0
La constante de proporcionalidad se denomina constante elástica K . La fuerza viene dada por: = K (x F
−
# »
F
L0 ) u 58/80
Introducción Tipos de Fuerzas Equilibrio Estático de la Partícula
Fuerzas Conservativas Fuerzas de Reacción
Fuerzas Conservativas: Fuerza Elástica La fuerza de un muelle viene dada por: = K (x F
−
V
L0 ) u 2.5
Integrando obtenemos la energía potencial elástica: V =
1 K (x 2
−
L0 )2
que en términos de elongación δ es: 1 V = K δ2 2
2.0
1.5
# »
F
1.0
0.5
0 0
0.5
1. 0
1.5
2.0
2.5
x
Los muelles ideales son aquellos cuya longitud natural L0 es nula. 59/80
Introducción Tipos de Fuerzas Equilibrio Estático de la Partícula
Fuerzas Conservativas Fuerzas de Reacción
Fuerzas Conservativas: Fuerza Central
V
Una Fuerza Central emana radialmente de un foco de
0 0.5
1. 0
1.5
2.0
2.5
x
−0.5
atracción y viene dada por: = − K u F r2
Integrando se obtiene la energía potencial: V =−
K + cte r
−1.0 # »
−1.5
F
−2.0 −2.5 −3.0
60/80
Introducción Tipos de Fuerzas Equilibrio Estático de la Partícula
Fuerzas Conservativas Fuerzas de Reacción
Fuerzas de Reacción: Fuerzas de contacto sin rozamiento. E el contacto sin rozamiento con una superficie f (x , y , z ) = 0, el movimiento restringido es el de la dirección normal a la superficie un .
z
La fuerza de reacción se genera en esa dirección un : = R un = R R
∂f ∂f ∂f i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
R
y
Si el contacto es Unilateral, implica restricción en un sólo sentido.
x
f (x , y , z )
En ese caso, la fuerza de reacción sólo puede ser positiva. 61/80
Introducción Tipos de Fuerzas Equilibrio Estático de la Partícula
Fuerzas Conservativas Fuerzas de Reacción
Fuerzas de Reacción: Fuerzas de contacto sin rozamiento. z
f1 ( x , y , z )
1 R
En contacto sin rozamiento con unaelcurva f1 (x , y , z ) = 0 , f2 (x , y , z ) = 0, la fuerza de reacción está en el plano normal a la curva:
2 R y
= R 1un + R2un R 1 2 x
f2 ( x , y , z )
62/80
Introducción Tipos de Fuerzas Equilibrio Estático de la Partícula
Equilibrio Estático de la Partícula Equilibrio Estático de la Partícula Una partícula está en equilibrio estático si la suma geométrica de todas las fuerza que actúan sobre ella es nula. n
i 1 =
a
F acti =
i 1 =
r
F appli +
i 1
F reaci = 0
=
Las fuerzas sobre la partícula constituyen un sistema de vectores concurrentes. Éste puede ser reducido a la Resultante aplicada en la partícula. El momento mínimo es nulo. El punto central del sistema está en la misma partícula. Por tanto, está en equilibrio si el sistema equivalente es el sistema nulo. 63/80
Introducción Tipos de Fuerzas Equilibrio Estático de la Partícula
Ejemplo: Enunciado x 0.5
−0.5
Dos muelles ideales K1 y K2 , fijos por uno de sus
−1.0
extremos en los puntos
−1.5
O1 (x1 , y1 ) y O2 (x2 , y2 )
respectivamente, soportan una partícula de masa M en un campo gravitatorio. Obténgase la posición de M, (x , y ) en la situación de equilibrio estático.
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
O 2 ( x2 , y2 )
O1
K1
−2.0
K2
−2.5
M (x , y ) Mg
−3.0 −3.5 y
64/80
Introducción Tipos de Fuerzas Equilibrio Estático de la Partícula
Ejemplo: Fuerzas en el Equilibrio x 0.5
K = K1 δ1 uˆ1 F 1 δ1 =
(x
ˆ1 = − u
(x
2
− x1 )
i
+ (y
−
(y
2
− y1 )
ˆ2 = − u Mg F
(x
(x
2
− x2 )
− x2 )
δ2 = −Mg j
2.0
2.5
3.0
3.5
− y1 )
δ1
j
−1.0
K = K2 δ2 uˆ2 F 2 δ2 =
1.5
−0.5
− x1 )
δ1
1.0
i
+ (y
−
(y
2
− y2 )
− y2 )
δ2
−1.5
K F 1
−2.0
K F 2
−2.5
Mg F
−3.0
j
−3.5 y
65/80
Introducción Tipos de Fuerzas Equilibrio Estático de la Partícula
Ejemplo: Ecuaciones del Equilibrio por componentes K + F K + F FMg = 0 1 2 i /
−
j/
−
K1 δ1
(x
− x1 )
δ1 (y
K1 δ1
− y1 )
−
K 2 δ2
(x
δ2 (y
−
− x2 ) − y2 )
δ1
K2 δ2
δ2
=0 −
Mg = 0
i /
−
K1 ( x
− x1 ) −
K2 ( x
− x2 )
j /
−
K1 ( y
− y1 ) −
K2 ( y
− y2 ) −
=0 Mg = 0
Coordinadas de la Partícula en equilibrio K1 x1 + K2 x2 K1 + K2 K1 y1 + K2 y2 − Mg y = K1 + K 2
x =
66/80
