Estática Contenido temático y ejercicios prácticos
Centro de ingeniería y tecnología UABC valle de las palmas Manual de estática 1
Contenido temático
Acerca del manual ............................................................................................................. 3 Unidad I. Introducción a la mecánica clásica ...................................................................... 4 Competencia de unidad I ................................................................................................... 4 1.1 Resumen histórico y descripción .................................................................................. 4 1.2 Conceptos fundamentales: espacio, tiempo, masa y fuerza .......................................... 5 1.3 Leyes de Newton ................................................................................................... 6 y 7 1.4 Principios fundamentales de la mecánica ............................................................... 7 y 8 1.5 Ley de la gravitación universal ..................................................................................... 8 1.6 Sistemas de unidades................................................................................................... 9 Conversión de unidades .......................... 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
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Estática Contenido temático y ejercicios prácticos
Acerca del manual
PROPÓSITO GENERAL DEL CURSO El alumno al cursar esta materia será capaz de analizar y resolver problemas de mecánica vectorial aplicadas a fenómenos de sistemas en equilibrio. La asignatura se imparte en la etapa básica y corresponde al área de ciencias básicas, dicha materia establece las bases teóricas para la materia de dinámica.
COMPETENCIA (S) DEL CURSO Competencia Aplicar conceptos y principios de las fuerzas que actúan sobre partículas y cuerpos rígidos, utilizando la metodología de la mecánica clásica, para resolver problemas de fenómenos físicos, con una actitud crítica, reflexiva y responsable.
EVIDENCIA (S) DE DESEMPEÑO
Experimentación, discusión y elaboración de reportes de fenómenos de fuerzas actuando sobre partículas y cuerpos rígidos. El reporte debe incluir: objetivo, marco teórico, desarrollo y conclusiones. Resolución de ejercicios y problemas en talleres, tareas y exámenes, siguiendo un formato de planteamiento, desarrollo, resultados e interpretación de los mismos.
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Unidad I. Introducción a la mecánica clásica
Competencia de unidad l Aplicar los conceptos y principios de la estática, manejando los diferentes sistemas de unidades y sus conversiones, el análisis dimensional y los sistemas de coordenadas, para la resolución de problemas respecto a situaciones hipotéticas o reales, con objetividad y responsabilidad.
1.1
Resumen histórico y descripción
Mecánica. Ciencia que describe y predice las condiciones de reposo y movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas.
El estudio de la mecánica se remonta a los tiempos de:
• •
Aristóteles (384 – 322 a.C.) Arquímedes (287 – 212 a.C.)
Isaac Newton (1642 –1727) fue el que encontró una formulación satisfactoria de sus principios fundamentales. La mecánica Newtoniana es la base de las actuales ciencias de la ingeniería.
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1.2
Conceptos fundamentales: espacio, tiempo, masa y fuerza
Espacio •
Se asocia con la noción de la posición de un punto P.
•
La posición del punto P puede definirse por tres longitudes medidas desde cierto punto de referencia, llamado origen.
•
A estas longitudes se les conoce como coordenadas.
Tiempo Para definir un evento, no es suficiente con indicar su posición en el espacio sino que debe darse también el tiempo del evento.
Masa •
Tiene la función de caracterizar y comparar los cuerpos con base en ciertos experimentos mecánicos.
•
Ejemplo: dos cuerpos que tengan la misma masa serian atraídos por la Tierra de la misma forma.
Fuerza •
Representa la acción de un cuerpo sobre otro y puede ejercerse por contacto real o a distancia (fuerzas gravitacionales y magnéticas).
•
Se caracteriza por su punto de aplicación, magnitud, y dirección y se representa por un vector.
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1.3
Leyes de newton
1ª Ley. LEY DE LA INERCIA. “Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento uniforme rectilíneo si no actúan fuerzas sobre él”. Para estudiar el movimiento se define primero un sistema de referencia. Un mismo movimiento parece distinto si se observa desde distintos sistemas de referencia. Un sistema se define como inercial si está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Galileo demostró que no podemos, mediante experiencias físicas mecánicas, saber si estamos en un sistema en reposo o en uno en movimiento.
2ª ley. Una fuerza aplicada sobre un cuerpo le comunica una aceleración. (F= m·a). Hasta Newton se suponía que para que existiera movimiento se requería una fuerza (F velocidad), pero después de enunciada la 1ª ley, entendemos que un cuerpo se puede mover indefinidamente actuando sobre él una F = 0. (Nave en el espacio).
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3ª Ley de Newton. PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN. “Siempre que una partícula ejerza una fuerza (acción) sobre otra partícula, ésta segunda responderá simultáneamente con otra fuerza (reacción) igual en módulo y dirección pero sentido opuesto a la primera.” Las fuerzas proceden de una interacción y siempre aparecen de dos en dos. Se aplica cada una en uno de los cuerpos que interaccionan, (sí se aplicaran las dos en el mismo cuerpo producirían reposo).
1.4
Principios y fundamentos de la mecánica
LEY DEL PARALELOGRAMO PARA LA ADICIÓN DE FUERZAS Establece que dos fuerzas que actúan sobre una partícula pueden ser sustituidas por una solo fuerza llamada resultante, que se obtiene al trazar la diagonal del paralelogramo que tiene los lados iguales a las fuerzas dadas.
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PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza que actúa en un punto del cuerpo rígido se sustituye por una fuerza de la misma magnitud y la misma dirección pero que actúe en un punto diferente, siempre que las dos fuerzas tengan la misma línea de acción.
1.5
Ley de la gravitación universal
Establece que dos partículas de masa M y m se atraen mutuamente con fuerzas iguales y opuestas F y –F, de magnitud F dada por la fórmula
Mm F G 2 r
r= distancia entre las dos partículas G=constante universal de la Gravitación
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1.6
Sistema de unidades
Nombre
Longitud
Tiempo
Masa
Fuerza
Sistema Internacional de Unidades (SI)
metro
segundo
kilogramo
newton
(m)
(s)
(kg)
(Nw)
Sistema de Unidades comunes en Estados Unidos
pie
segundo
Slug
libra
(ft)
(s)
(lb.s2/ft)
(lb)
Sistema Internacional de Unidades El SI de medidas es reconocido y utilizado por la comunidad científica internacional como el medio preciso (y exacto) a través del cual se dan a conocer los resultados de las investigaciones realizadas en los distintos contextos de la ciencia. Los múltiplos y submúltiplos de las unidades de longitud, masa y fuerza de mayor uso en la ingeniería son: el kilómetro (km) y el milímetro (mm), la mega gramo (Mg) y el gramo (g) y el kilo newton (kNw).
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Taller #1
1. Una cancha de tenis tiene 100m de largo y 80m de ancho. ¿Cuáles son la longitud y la anchura de la cancha en pies? ¿Cuál es el área de la cancha en pulgadas? 2. Un cubo tiene 7 pulgadas por lado. ¿Cuál es el volumen del cubo en pies y en metros cúbicos? 3. Un carro viaja a una velocidad de 87mi/h. ¿A cuánto equivale su rapidez en pies/s? 2
4. Convertir 25 m/s a ft./s
2
3
5. Convierta las cantidades 300 lb.s y 52 slug/ft a las unidades del SI apropiadas. 3
6. Un cohete tiene una masa de 250(10 ) slugs sobre la Tierra. Especifique (a) su masa en unidades SI, y (b) su peso en unidades SI. Si el cohete está en la Luna, donde la aceleración de la gravedad gm = 5.30 ft/s2, determine con tres cifras significativas (c) su peso en unidades SI, y (d) su masa en unidades SI.
1.- 100m de largo a pies= 328.08 ft 80m de largo a pies= 262.46 ft y El área en pulgadas= 12’399’975.2 pul. 2.- 343
a
343
a
= 0.00562177 = 0.198508827
3.- 87 millas/horas a pies/segundo = 127.63 pies/segundo 4.- 25 m/
a pies/
= 82.04 pies/
5.- 1334.46 N/s y 26798.04 kg/ 6.a) 364’8250 kg b) 35’789’332.5 N c) 19.335 Mn d) 3.6482 x
Kg
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EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. El agua tiene densidad de 1.94 slug/ft3. ¿Cuál es su densidad expresada en unidades SI? Exprese la respuesta con tres cifras significativas. 2. Si un objeto tiene una masa de 40 slugs, determine su masa en kilogramos.
3. ¿Cuál es el peso en newtons de un objeto que tiene una masa de: (a) 10 kg, (b) 0.5 g, (c) 4.50 Mg? Exprese el resultado con tres cifras significativas. Use un prefijo apropiado. 4. Si un automóvil está viajando a 55 mi/h, determine su rapidez en km/h y en m/s.
5. La madera tiene una densidad de 4.70 slug/pie3. ¿Cuál es su densidad expresada en unidades SI? 6. Represente cada una de las siguientes cantidades en la forma SI correcta usando un prefijo apropiado: (a) 0.000431 kg, (b) 35.3(103) N, (c) 0.00532 km. 7. Un cohete tiene una masa de 250(103) slugs sobre la Tierra. Especifique (a) su masa en unidades SI, y (b) su peso en unidades SI. Si el cohete está en la Luna, donde la aceleración de la gravedad es gm = 5.30 pies/s2, determine con tres cifras significativas (c) su peso en unidades SI, y (d) su masa en unidades SI. 8. Convierta cada una de las siguientes cantidades y exprese la respuesta usando un prefijo apropiado: (a) 175 Ib/pie3 a kN/m3, (b) 6 pies/h a mm/s, y (c) 835 lb·pie a kN·m. 9. Convierta cada una de las siguientes cantidades a cantidades con tres cifras significativas. (a) 20 lb · pie a N . m, (b) 450 Ib/pie3 a kN/m3, y (c) 15 pies/h a mm/s. 10. Evalúe cada una de las siguientes cantidades con tres cifras significativas y exprese cada respuesta en unidades SI usando un prefijo apropiado: (a) (0.631 Mm)/(8.60 kg)2, (b) (35 mm)2 (48 kg)3.
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Unidad II. Estática de partículas Competencia de unidad I Resolver problemas con fuerzas que actúan sobre las partículas en equilibrio en dos y tres dimensiones, mediante la aplicación de la primera ley de Newton, que permitan explicar cómo interactúan las fuerzas en situaciones hipotéticas o reales con objetividad y responsabilidad.
2.1.3 Descomposición de una fuerza en sus componentes. Se ha visto que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula pueden sustituirse por una sola fuerza que produce el mismo efecto sobre la partícula. De la misma manera, una sola fuerza F que actúa sobre una partícula puede reemplazarse por dos o más fuerzas que produzcan juntas el mismo efecto sobre la partícula.
Dos casos son de especial interés: a) Una de las dos componentes P se conoce. La segunda componente se obtiene aplicando la Ley del Triángulo.
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b) Se conoce la línea de acción de cada una de las componentes. La magnitud y el sentido de las componentes se obtiene al aplicar la Ley del Paralelogramo y trazando líneas, por la punta de F, paralelas a la línea de acción dadas.
2.1.4 Vectores unitarios En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos i, j, k, se usa para designar las direcciones de los ejes x, y, z
Como las tres componentes de A actúan en las direcciones positivas i, j, k, podemos escribir A en forma vectorial cartesiana como:
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Notación vectorial cartesiana En dos dimensiones, los vectores unitarios i y j se usan para designar direcciones de los ejes x y y, respectivamente
Esos vectores tienen una magnitud adimensional de la unidad y sus sentidos serán descritos analíticamente por un signo mas o uno menos, dependiendo si señalan a lo lardo de los ejes x o y , positivos o negativos
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2.1.6 Equilibrio de una partícula Si la Resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en equilibrio. Una partícula a la acción de dos fuerzas estará en equilibrio si ambas fuerzas tienen la misma magnitud, la misma línea de acción, pero sentidos opuestos. Esto es una consecuencia de la segunda Ley de movimiento de Newton, la cual puede escribirse como: En consecuencia, la partícula se mueve con velocidad constante o permanece en reposo.
Otro caso de una partícula en equilibrio se muestra en la figura donde aparecen 4 fuerzas que actúan sobre A. Para expresar en forma algebraica las condiciones del equilibrio de una partícula se escribe:
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Descomponiendo cada fuerza F en sus componentes rectangulares, se tiene:
Se concluye que las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de una partícula son:
2.1.7 Primera Ley del movimiento de Newton. Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la partícula permanecerá en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se moverá con velocidad constante en línea recta (si originalmente estaba en movimiento). De esta Ley y de la definición de equilibrio se deduce que una partícula en equilibrio puede estar en reposo o moviéndose en línea recta con velocidad constante. 16
2.1.7 Diagrama de cuerpo libre Para aplicar la ecuación del equilibrio tenemos que tener e cuenta todas las fuerzas conocidas y desconocidas (F) que actúan sobre la partícula. La mejor manera de hacer esto es trazando el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Este diagrama es simplemente un croquis que muestra la partícula “libre” de su entorno con todas las fuerzas que actúan sobre ella.
Dos tipos de conexiones en equilibrio de partículas: a) Resortes: Si un resorte elástico lineal se usa como soporte, su longitud cambiara en proporción directa a la fuerza que actúe en el. Una característica que define la “elasticidad” de un resorte es la constante de resorte o rigidez, k. La magnitud de la fuerza ejercida en el resorte elástico es:
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Aquí s está determinada a partir de la diferencia de la longitud del resorte deformado l y su longitud no deformada lo, es decir:
Si F es positiva “jala”, mientras que si es negativa F lo “empuja”.
b) Cables y Poleas: Un cable puede soportar solo una tensión o jalón, y esta fuerza siempre actúa en la dirección del cable.
Procedimiento para trazar un Diagrama de Cuerpo Libre. 1) Trace la forma delineada: Suponga que la partícula esta aislada de su entorno trazando su forma delineada. 2) Muestre todas las fuerzas: Indique sobre ese croquis todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. 18
3) Identifique cada fuerza: Las fuerzas que son conocidas deben ser rotuladas con sus propias magnitudes y direcciones. Para representar las magnitudes y direcciones de las fuerzas desconocidas se usan letras.
Ejercicios. Equilibrio de una Partícula. Cuando una partícula esta en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la particula debe ser igual a cero. Instrucciones: Resolver los siguientes problemas de Equilibrio de una Partícula. Pasos a seguir: 1. Trace un diagrama de cuerpo libre 2. Si solo están involucradas 3 fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, utilice la ley del triángulo. 3. Si están involucradas más de 3 fuerzas, descomponga las fuerzas en sus componentes X y Y.
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Ejercicios Propuestos: 1. Si α= 50° y el aguilón AC ejerce sobre la articulación C una fuerza dirigida a lo largo de la línea AC, determine a) la magnitud de la fuerza, b) la tensión en el cable BC.
2. Las cuerdas AB y AC son lanzadas a una persona cuya lancha se ha hundido. Si α= 25° y la magnitud de la fuerza FR ejercida por el río sobre el lanchero es de 70 lb, determine la tensión en a) la cuerda AB, b) la cuerda AC.
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3. Dos cables se amarran juntos en C y son cargados como indica la figura. Si W= 190 lb, determine la tensión en a) el cable AC, b) el cable BC.
4. Un bloque de peso W está suspendido de una cuerda de 25 in. De largo y de dos resortes cuyas longitudes sin estirar miden 22.5 in. Cada una. Si las constantes de los resortes son KAB= 9 lb/in, y KAD= 3lb/in., determine a) la tensión en la cuerda, b) el peso del bloque.
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5. El aguilón AB está soportado por el cable BC y una bisagra colocada en A. Si el aguilón ejerce sobre el punto B una fuerza dirigida a lo largo de sí mismo y la tensión en la cuerda BD es de 310 N, determine a) el valor de α para el que la tensión en el cable BC es mínima, b) el valor correspondiente de la tensión.
6. El cincel ejerce una fuerza de 20 lb sobre la barra de madera que gira en un torno. Resuelva esta fuerza en componentes que actúen (a) a lo largo de los ejes n y t, Y (b) a lo largo de los ejes X y Y.
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7. Determine la magnitud y la dirección de la resultante FR = F1 + F2 + F3 de las tres fuerzas encontrando primero la resultante F’ = F2 + F3 , y formando luego FR = F1 + F’.
8. La viga va a ser levantada usando dos cadenas. Si la fuerza resultante debe ser de 600 N dirigida a lo largo del eje Y positivo, determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB sobre cada cadena y la orientación de FB de manera que la magnitud de FB sea mínima. FA actúa a 30° desde el eje Y como se muestra.
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9. Determine las componentes X y Y de las fuerza de 800 lb.
10. Si ( ) = 60° y F= 20 kN, determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje X positivo.
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Taller # 2 7. Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si P = 15 lb y Q = 25 lb, determine la magnitud y la dirección de su resultante.
8. Dos fuerzas son aplicadas a una argolla sujeta a una viga. Determine la magnitud y la dirección de su resultante.
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9. Dos esquiadores acuáticos están siendo jalados por un bote que provee una fuerza neta de 500 lb (5.00 x 102) a lo largo del eje x en la figura. Esta fuerza ocasiona una tensión en cada una de las cuerdas, la cual a su vez jala al esquiador. Calcula la tensión en las cuerdas utilizando la ley de senos.
10. Un automóvil descompuesto es jalado por medio de cuerdas sujetadas a las dos fuerzas que se muestran en la figura. Determine la magnitud y la dirección de su resultante.
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11. La armella roscada que se ve en la figura está sometida a dos fuerzas F 1 y F2. Determine la magnitud y la dirección de la resultante.
12. La fuerza de 500 lb que actúa sobre la estructura debe resolverse en dos componentes actuando a lo largo de los ejes de las barras AB y AC. Si la componente de la fuerza a lo largo de AC debe ser de 300 lb, dirigida de A C, determine la magnitud de la fuerza que debe actuar a lo largo de AB y el ángulo de la fuerza de 500
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Taller #3 1. La figura muestra tres fuerzas que actúan de forma concurrente en un plano en un solo punto (un perno de armella en la caja de un camión). Determine la fuerza Resultante que actúa sobre el perno.
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2. Dos varillas de control están unidas en A la palanca AB. Aplique trigonometría y, sabiendo que la fuerza en la varilla de la izquierda F1 =30lb, determine: a) La fuerza F2 requerida en la varilla derecha si la resultante R de las fuerzas ejercidas por las varillas sobre la palanca vertical; b) La magnitud de R.
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3. Cuatro fuerzas concurrentes actúan sobre el centro de masa de un avión que está aterrizando, como se muestra en la figura. Calcule la fuerza Resultante y el ángulo que forma con el eje horizontal.
2.00x103 lb cos90°=0lb 2.00x103 lb sen90°=2000lb 1.00 x103lb cos0°= 1000lb 1.00 x103lb sen0°=0lb 5.0 x102lb cos135°=-353.55lb 5.0 x102lb sen135°=353.55lb 2.00 x103lb sen30°=1000lb 2.00 x103lb cos30°=1732.05lb √(
)
(
)
R=1759.844lb
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4. El anillo mostrado en la figura está sometido a dos fuerzas, F1 y F2.Si se requiere que la fuerza resultante tanga magnitud de 1KNw y está dirigida verticalmente hacia abajo, determine: a) Las magnitudes de F1 y F2 si Ѳ=30°; b) Las magnitudes de F1 y F2 debe ser mínima.
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(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
b) Ѳ=70°
b) Ѳ=90°
(
)(
(
)(
)
)
b) Ѳ=110°
(
)(
(
)(
)
)
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Taller #4
1. Determine la fuerza resultante FR y su dirección, de los siguientes ejercicios: 1. a)
Fuerza F1 F2 F3
Magnitud 600 N 800N 450N
X 424.26 -692.82 -434.66 FRx=-702.72
Y 424.26 400 -116.46 Fry=707.8
√
33
Fuerza F1 F2
Magnitud 250 lb 375 lb.
X 125 265.16 FRx=390 lb.
Y 216.5 -265.16 Fry=-48.66 lb.
√
34
√
(
)
35
1. Determine el ángulo para conectar la barra A a la placa de manera que
la fuera resultante de FA y Fb este dirigida horizontalmente hacia la derecha, cual es la magnitud de la fuerza resultante?
(
)
(
)
√ √
(
)
36
2. SI F1=F2=30lb, determine los ángulos de manera que la fuerza resultante este dirigida a lo largo del eje X positivo y tenga una magnitud FR=20lb.
(
)
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Unidad III. Cuerpos rígidos, sistemas de fuerzas equivalentes. Competencia de unidad III
Resolver problemas de cuerpos rígidos, mediante la aplicación de los fundamentos de sistemas de fuerzas equivalentes, para explicar fenómenos físicos en equilibrio bajo diferentes condiciones, con creatividad, objetividad y responsabilidad.
3.1 Fuerzas externas e internas Las fuerzas que actuan sobre los cuerpos rígidos se pueden dividir en 2 grupos 1) fuerzas externas y 2) fuerzas internas . Las fuerzas externas representan la accion que ejercen otros cuerpos
sobre el
cuerpo rígido en consideracion. Ellas son las responsables del comportamiento externo del cuerpo rígido. Las fuerzas externas causan que el cuerpo se mueva o aseguran que este permanezca en reposo . Las fuerzas internas
son aquellas que mantienen unidas las particulas que
conforman al cuerpo rígido. Si este esta constituido en su estructura por varias partes, las fuerzas que mantienen unidas a dichas partes tambien se definen como fuerzas internas . Ejemplo 1: Las fuerzas externas que actuan sobre un camión
descompuesto
que
es
arrastrado
hacia
adelante por varios hombres mediante cuerdas unidas a la defensa delantera, son: la fuerza (F) que ejercen los hombres al tirar de la cuerda, el peso (W), el suelo se opone a la caida del camión
por medio de las
reacciones (R1) Y (R2), estas fuerzas se ejercen por el piso sobre el camión, como se observan en la figura 3.1 y 3.2.
Ejemplo 2: El diseño y análisis de cualquier miembro estructural requieren conocer las fuerzas internas que actúan en él. En la figura
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3.3 se aprecia una viga de acero donde estan actuando las fuerzas externas F1 y F2, y las reacciones de soporte Ax, Ay, y By, si se realiza una sección trasnversal en el punto C, se distinguen las fuerzas internas momento Mc, fuerza de corte Fc y fuerza axial
Nc,
según
se
aprecia en la figura 3.4,
Figura 3.4
3.2 Principios de transmisibilidad de fuerzas equivalentes El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F' que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción (figura 3.5).
Figura 3.5
3.3 Momento de una fuerza alrededor de un punto El momento de una fuerza con respecto a un punto o eje proporciona una medida de la tendencia de la fuerza a ocasionar que un cuerpo gire alrededor del punto o eje. Ejemplo: Considere la fuerza horizontal , que actua perpendicularmente al mango de la llave y está localizado a una distancia del punto O, se observa en la figura 3.6 a, 3.6 b, 3.6 c, la fuerza tiende a girar el tubo alrededor del eje , entre mayor es la fuerza o la distancia , mayor es el efecto de rotación, a esta tendencia a la rotación causada por se le denomina momento de una fuerza o simplemente momento ( ) , de donde el eje Z es perpendicular al plano ( ).
Figura 3.6 a.
Figura 3.6 c. Figura 3.6 b. Eje del momento 39
La magnitud de Mo es , donde d, brazo de momento o distancia perpendicular del eje en el punto O a la línea de acción de la fuerza. Las unidades de la magnitud del momento son el producto de la fuerza multiplicada por la distancia, N.m ó lb.pie.
3.3.1 Momento resultante de un sistema de fuerzas coplanares Si un sistema de fuerzas se encuentra en un plano x-y, entonces el momento producido por cada fuerza con respecto al punto O estará dirigido a lo largo del eje z, el momento resultante del sistema puede ser determinado sumando simplemente ∑ los momentos de todas las fuerzas algebraicamente, Ejercicio 1. Para cada caso ilustrado en las figuras determine el momento de la fuerza con respecto al punto O. Solución:
Ejemplo 2: Determine los momentos de la fuerza de 800N que actúa sobre la estructura que aparece en la siguiente figura, con respecto a los puntos A,B,C y D. Solución:
Ejemplo 3: determine el momento resultante de las
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cuatro fuerzas que actúan sobre la barra mostrada con respecto al punto O. Solución:
3.4 Teorema de Varignon y componentes rectangulares del momento de una fuerza. El principio de Varignon establece que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de la fuerza con respecto al punto Ejercicio 4: Una fuerza de 200 N actúa sobre la ménsula mostrada. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto A. Solución: La fuerza de 200 N puede ser resuelta en componentes x y y, de acuerdo con el principio de momentos. El momento de F calculado con respecto al punto A es equivalente a la suma de los momentos producidos por las dos fuerzas componentes, se aplica la ecuación:
3.5 Momento de un par de fuerzas Un par se define como dos fuerzas paralelas que tienen la misma magnitud, con direcciones opuestas, y están separadas por una distancia perpendicular d(figura pag 148). Como la fuerza resultante es cero, el único efecto de un par es producir una rotación o tendencia a rotar en una dirección específica. El momento producido por un par se denomina momento de par. El momento de un par , de donde F es la magnitud de una de las fuerzas y d la distancia perpendicular o brazo de momento entre las fuerzas, en todos los casos M, actúa perpendicularmente al plano que contiene esas fuerzas.
3.5.1 Pares equivalentes Dos pares son equivalentes si producen el mismo momento. Como el momento producido por un par es siempre perpendicular al plano que contiene las fuerzas del 41
par, es necesario que las fuerzas de pares iguales se encuentren en el mismo plano o en planos que sean paralelos entre sí. Los momentos par son vectores libres, pueden aplicarse en cualquier punto P sobre un cuerpo y ser sumados vectorialmente. (pagina 150 y 151). Ejercicio 5: Un par actúa sobre los dientes del engrane como se muestra en la figura. Reemplácelo por un par equivalente de un par de fuerzas que actúe a través de los puntos A y B.
Solución: El par tiene magnitud de M= Fd= 40(0.60)= 24 N.m y dirección hacia fuera de la página ya que las fuerzas tienden a girar en sentido contrario al de las manecillas del reloj. M es un vector libre, por lo que puede colocarse en cualquier punto sobre el engrane.
Para conservar la rotación de M en sentido contrario al de las manecillas del reloj, fuerzas verticales actuando a través de los puntos A y B deben dirigirse como se muestra en la figura. La magnitud de cada fuerza es:
3.6 Sistemas equivalentes de fuerzas Una fuerza tiene el efecto de trasladar y girar un cuerpo, y la medida en que lo hace depende de dónde y cómo es aplicada la fuerza. Para simplificar un sistema de fuerza y momentos de par que actúan sobre un cuerpo a una sola fuerza resultante y un momento de par actuando en un punto específico O, es necesario que el sistema de fuerza y el momento de par produzcan los mismos efectos “externos” de traslación y rotación del cuerpo que sus resultantes, cuando esto ocurre, se dice que esos dos conjuntos de cargas son equivalentes. Cuando el punto sobre el cuerpo esté sobre la línea de acción de la fuerza, simplemente transmita o deslice la fuerza a lo largo de su línea de acción al punto. Cuando el punto no esté sobre la línea de acción de la fuerza, traslade la fuerza al punto y sume un momento de par en cualquier lugar al cuerpo. Este momento de par se encuentra tomando el momento de la fuerza con respecto al punto. 42
Considere los efectos sobre la mano cuando una barra de peso insignificante soporta una fuerza F en su extremo. Cuando la fuerza se aplica horizontalmente, es percibida en el mango, independientemente de dónde esté aplicada a lo largo de su línea de acción. Esto es una consecuencia del principio de transmisibilidad.
Cuando la fuerza se aplica verticalmente, ocasiona que se perciba una fuerza F hacia abajo en el mango y un momento de par en el sentido de las manecillas del reloj de M= Fd. Esos mismos efectos son percibidos si F se aplica en el mango y M en cualquier lugar sobre la barra. En ambos casos los sistemas son equivalentes.
3.7 Reducción de un sistema de fuerzas y un par Cuando un cuerpo rígido está sometido a un sistema de fuerzas y momentos de par, a menudo es más sencillo estudiar los efectos externos sobre el cuerpo, reemplazando el sistema por una sola fuerza resultante equivalente actuando en un punto específico O y un momento de par resultante. Simplificar cualquier sistema de fuerza y momento de par a una fuerza resultante que actúe en el punto O y un momento de par resultante, puede ser generalizado y representado mediante la aplicación de las dos ecuaciones siguientes: ∑ , ec. 3.7.1 ∑
∑
, ec. 3.7.2
La ecuación 3.7.1 establece que la fuerza resultante del sistema es equivalente a la suma de todas las fuerzas. La ecuación 3.7.2 establece que el momento de par resultante del sistema es equivalente a la suma de todos los momentos de par ∑ , más los momentos con respecto al punto O de todas las fuerzas ∑ . Ejemplo: Si las dos fuerzas que actúan sobre la barra son reemplazadas por una fuerza resultante
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Si las dos fuerzas que actúan sobre la barra (fig. a) son reemplazadas por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes en el punto A (fig. 2), o por la fuerza resultante y un momento de par equivalentes en el punto B (fig. 3), entonces, en cada caso la mano debe proporcionar la misma resistencia a la traslación y la rotación para mantener la barra en la posición horizontal. En otras palabras, los efectos externos sobra la barra son los mismos en cada caso.
43
Ejercicio 5: Reemplace las fuerzas que actúan sobre la pieza mostrada en la figura, por una fuerza resultante y un momento de par equivalentes actuando en el punto A. Solución: aplicando el principio de momentos,
Suma de momentos: el momento del par resultante momentos de los fuerzas con respecto al punto A.
se determina sumando los
3.8 Reducción adicional de un sistema de una fuerza y un par Refiere a la simplificación a una sola fuerza resultante, partimos de que el sistema de fuerzas y momentos de par que actúan sobre un cuerpo rígido, se reduce en un punto ∑ y a un momento de par resultante determinado a una fuerza resultante ∑ , podemos simplificar aun más, desplazando a otro punto P, localizado sobre o fuera del cuerpo de manera que ningún momento de par resultante tenga que ser aplicado al cuerpo, es decir, solo la fuerza resultante tendrá que ser aplicada al cuerpo. Ejemplo: Las tres fuerzas paralelas que actúan sobre la barra pueden ser reemplazadas por una sola fuerza resultante actuando a una distancia d del mango. Para que sean equivalentes, se requiere que la fuerza resultante sea igual a la suma de las fuerzas, , y para encontrar la distancia d, el momento de la fuerza resultante son respecto al mango debe ser igual al momento de todas las fuerzas con respecto al mango . Ejercicio 6: La viga AE que se muestra en la figura está sometida a un sistema de fuerzas coplanares. Determine la magnitud, la dirección y la ubicación sobre la viga de
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una fuerza resultante que sea equivalente al sistema dado de fuerzas medido desde E. Solución: el origen de coordenadas se localiza en el punto E como se muestra en la figura,
Suma de momentos. Los momentos se sumarán con respecto al punto E
Ejercicio 7: La grua mostrada en la figura, está sometida a tres fuerzas coplanares. Reemplace esta carga por una fuerza resultante equivalente y especifique en qué punto la línea de acción de la resultante interseca la columna AB y el pescante BC. Solución: al resolver la fuerza de 250 lb en sus componentes x y y, y sumar las componentes de fuerza, resulta
Suma de momentos: Los momentos se suman respecto al punto A. Suponiendo que la línea de acción de interseca a AB, se requiere que el momento de las componentes de sea igual a los momentos del sistema 45
de fuerza presente con respecto al punto A
Ejercicios para resolver 1. Determine el momento con respecto al punto B de cada una de las tres fuerzas que actúan sobre la viga.
2. Si , determine el momento resultante con respecto al perno localizado en A.
3. Determine el momento de cada una de las tres fuerzas con respecto al punto A. Resuelva el problema usando primero cada fuerza como un todo, y luego aplique el principio de momentos.
4. Dos pares actuán sobre la viga. Determine la magnitud de F de modo que el momento del par resultante sea de 450 lb.pie en sentido contrario a l de las manecillas del reloj. ¿ en qué punto de la viga actúa el momento del par resultante?.
5. Los extremos de la placa triangular están sometidos a tres pares. Determine la dimensión d de la placa de 46
manera que le par resultante sea de 350 N.m en el sentido de las manecillas del reloj.pag 156
6. Dos pares actúan sobre la viga como se muestra. Determine la magnitud de F de manera que el momento de par resultante sea de 300 lb.pie en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿dónde actúa el par resultante sobre la viga?.
7. Reemplace el sistema de fuerzas actuando sobre la viga por una fuerza y momento de un par equivalente en el punto B. pag 175
8. Reemplace la carga que actúa sobre la viga por una sola fuerza resultante. Especifique dónde actúa la fuerza, medida desde el extremo A. pag 176
Unidad IV. Equilibrio de cuerpos rígidos Competencia de unidad IV. Resolver problemas relacionados a sistemas de cuerpos rígidos sobre los cuales actúan fuerzas no concurrentes y concurrentes, mediante la aplicación de las condiciones de equilibrio estático, para comprobar el funcionamiento de maquinas y estructuras simples hipotéticas o reales, con creatividad, objetividad y responsabilidad.
4.1 Equilibrio en dos dimensiones Las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden reducirse a un sistema fuerza-par en un punto arbitrario O. Cuando la fuerza y el par son iguales a cero, las fuerzas externas forman un sistema equivalente a cero y se dice que el cuerpo rígido se encuentra en equilibrio. Para un cuerpo rígido en equilibrio el 47
sistema de fuerzas externas no le impartirá un movimiento traslacional o rotacional al cuerpo en análisis. Las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido se pueden obtener igualando a cero: ∑
∑
∑(
)
Si se descompone cada fuerza y cada momento en sus componentes rectangulares, se pueden expresar las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido por medio de las seis ecuaciones escalares siguientes: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ,∑ , estas ecuaciones se pueden emplear para determinar fuerzas desconocidas que están aplicadas sobre el cuerpo rígido o reacciones desconocidas ejercidas sobre éste por sus puntos de apoyo. Las mejor manera de tomar en cuenta esas fuerzas es trazando el diagrama de cuerpo libre del cuerpo(DCL), que es un croquis del contorno del cuerpo, que lo representa aislado o “libre” de su entorno, sobre este croquis, es necesario mostrar todas las fuerzas y los momentos de par que el entorno ejerce sobre el cuerpo.
4.2 Reacciones en los apoyos y conexiones de una estructura bidimensional Antes de trazar un DCL, primero se debe considerar los diversos tipos de reacciones que ocurren en soportes y puntos de soporte entre cuerpos sometidos a sistemas coplanares de fuerza. Como regla general, si un soporte previene las traslación de un cuerpo en una dirección dada, entonces una fuerza es desarrollada sobre el cuerpo en esa dirección, de igual manera, si una rotación es prevenida, sobre el cuerpo se ejerce un momento de par. Por ejemplo, en la figura 4.2 se consideran tres maneras en que un miembro horizontal, como una viga, está soportado en sus extremos:
Figura 4.2
48
4.3 Equilibrio de un cuerpo rígido en dos dimensiones Las dos ecuaciones que son necesarias y suficientes para obtener el equilibrio de un ∑ cuerpo rígido, es decir, ∑ . Cuando el cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas que se encuentran en el plano X-Y, es decir, en dos dimensiones, las fuerzas pueden ser resueltas en sus componentes X y Y, las condiciones de equilibrio en dos dimensiones son: ∑
, representa la sumatoria algebraica de las componentes X
∑
, representa la sumatoria algebraica de las componentes Y
∑ , representa la suma algebraica de los momentos de par y los momentos de todas las componentes de fuerza con respecto a un eje perpendicular al plano X-Y. Ejercicio 1: Una grúa fija tiene una masa de 1000 kg y se usa para levantar una caja de 2400 kg. La grúa se mantiene en su lugar por medio de un perno en A y un balancín en B. El centro de gravedad de la grúa está ubicado en G. Determine las componentes de las reacciones en A y B.
Solución: se dibuja un diagrama de cuerpo libre de la grúa. Si se multiplica las masas de la grúa y de la caja por g= 9.81 m/s2 se obtienen sus respectivos pesos, esto es, 9810 N ó 9.81 kN. La reacción en el perno A es una fuerza con dirección desconocida; ésta se representa por sus componentes y . La reacción en el balancín B es perpendicular a su superficie; por tanto, dicha reacción es horizontal.
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Ejercicio 2: Se aplican tres cargas a una viga como se muestra en la figura. La viga se apoya en un rodillo en A y en un perno en B. Sin tomar en cuenta el peso de la viga, determine las reacciones en A y B cuando P= 15 kips.
Solución: se realiza un diagrama de cuerpo libre, la reacción en A es vertical y se representa con A. La reacción en B se representa con las componentes .
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Ejercicios propuestos: 1. Al sostener la piedra de 5 lb en equilibrio, el húmero H, supuesto liso, ejerce fuerzas normales sobre el radio C y el cúbito A como se muestra. Determine esas fuerzas y la fuerza que el bíceps B ejerce sobre el radio por equilibrio. La piedra tiene su centro de masa en G. Ignore el peso del brazo.
2. El hombre está jalando una crga de 8 lb con un brazo en la posición mostrada. Determine la fuerza que la carga ejerce sobre el húmero H, y la tensión desarrollada en el bíceps B. Ignore el peso del brazo del hombre.
3. La plataforma tiene un peso de 250 lb y su centro de gravedad en . Si se quiere soportar una carga máxima de 400 lb colocada en el de la plataforma. Pag 223
4. El muro de contención AD está sometido a presiones de agua y de tierra de relleno. Suponiendo que AD está articulado en el terreno en A, determine las reacciones horizontal y vertical en ese punto y también la tensión requerida en le ancla BC necesaria por equilibrio. El muro tiene una masa de 800 kg.
51
5. La grúa de tres partes con pesos y centros de gravedad en respectivamente. Ignorando el peso de la pluma, determine las reacciones sobre cada uno de los neumáticos si la carga es levantada con velocidad constante y tiene un peso de 800 lb. Pag 227
6. Determine las reacciones en los soportes A y B del marco.
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Unidad V. Centro de gravedad y Momento de Inercia. Competencia de la unidad V. Resolver problemas de cuerpo rígido considerándolos como un conjunto de cuerpos independientes, aplicando el principio de primer momento de inercia, para calcular el centro de gravedad de cuerpos reales y ponerlos en condiciones de equilibrio optimizando las fuerzas aplicadas, con creatividad y responsabilidad.
5.1 Concepto de centro de gravedad. El peso de un cuerpo está regido por la atracción de la gravedad terrestre sobre el mismo, y la resultante de los pesos de todas las partículas que lo componen pasa a través de un punto que se conoce como centro de gravedad. Cuando hablamos del centro de gravedad de una figura plana, nos suponemos que esta es una placa delgada con peso uniforme, por lo tanto podemos determinar su centro de gravedad descomponiendo esta placa en áreas pequeñas, geométricamente determinables, las que representaremos como vectores. Sobre la línea que representa a la resultante de estos vectores se localiza el centro de gravedad; posteriormente giramos a la figura x grados y volvemos a realizar la misma operación y donde se crucen los dos resultantes encontraremos el punto llamado centro de gravedad.
C.G. indica centro de gravedad, que también se conoce como centroide o baricentro. d.A. indica: diferencial de area. Xc X´c indican: eje horizontal centroidal. Yc Y´c indican: eje vertical centroidal. También podemos definir como centro de gravedad de una superficie el punto donde pasa por la resultante de todas la áreas, dA, infinitamente pequeñas y encontramos sus momentos estáticos con respecto a un sistema de ejes 53
cartesianos, el centro de gravedad se localizará donde se crucen las resultantes de las áreas con respecto al eje X y al eje Y; observando la figura tenemos que:
Datos: C.G. = Centro de gravedad. A = Área total. dA = Diferencial de área. x = Abscisa de dA y = Ordenada de dA x = Abscisa del C.G. y = Ordenada del C.G.
5.2 Calculo de centro de gravedad en figuras geométricas elementales. 5.2.1 Calculo de las coordenadas del centro de gravedad de un cuadrado:
Calculo de la ordenada y : y = ∫
=∫
(
)
= a( ) / a² =
obtener la abscisa x resulta en x = 54
resultados : Centro de gravedad = C.G. (
)
5.2.2.- Calcular las coordenadas del centro de gravedad de un triangulo.
Calculo del área A: Area elemental = dA = xdy Area total = A = ∫ Por semejanza de triangulos: =
(
)
x=b-
Sustituimos el valor de X A=∫ (
)
A=∫
∫
∫
[ ]
∫
[ ]
A = bh A= Momento estatico con respecto al eje XX´ Mx = ∫
∫
Mx = ∫
∫
Mx = b[
]
(
∫ ∫
) ∫
[ ]
Mx = Calculo de coordenadas x y y : y=
55
y= por simetría
x= por lo tanto las coordenadas del centro de gravedad son: C.G. (
)
similar a estas determinaciones, se pueden obtener los centros de gravedad de polígonos conocidos, a continuación un resumen de algunos de ellos: Circulo
C.G. (0,0)
Media parabólica complementaria:
C.G. (
,
)
Semi circulo
C.G. (
)
Media parábola.
C.G. (
)
Triangulo isósceles
56
)
C.G. (
Un cuarto de circulo:
C.G. (
)
Sector circular
C.G. (
,0)
Triangulo.
C.G. (
)
C.G. (
)
Cuarto de elipse
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5.2.3.- Calcular el área de un polígono irregular en base a figuras geométricas elementales.
Donde: xi = distancia sobre el eje “x” tomada desde el origen hasta el centroide para el Area Ai. Ai = Area parcial tomada del area a la cual se le determina Ejemplo: el centroide. Calcular el centro de gravedad de la siguiente figura. Para la solución se propone descomponer el polígono en 4 figuras conocidas; 3 rectangulos y 1 triangulo rectángulo. Evaluar entonces las areas para cada figura, el area total como sumatoria de todas las areas de la figura y las distancias conocidas hacia los centroides de cada figura.
Xi = Distancia sobre el eje “x” al centroide del poligono i A1 : x1 = 1.5 cm A2 : x2 = 3.5 cm A3 : x3 = 4.5 cm
A4 : x4 =
cm
58
Ai = Areas conocidas. A1 = 3 cm² A2 = 5 cm² A3 = 6 cm² A4 = 3 cm²
A = Area total del poligono. Area = suma de areas = 17 cm² xiAi = sumatoria de cada área multiplicada por su distancia del origen al centroide. (1.5cm)(3cm²) + (3.5cm)(5cm²) + (4.5cm)(6cm²) + (16/3 cm)(3cm²) xiAi = 65 cm³ xiAi / A = 65 cm³ / 17 cm² = 65/17 cm = X ≈ 3.82 cm De la misma forma podemos calcular la distancia y :
Yi = Distancia sobre el eje “y” al centroide del poligono i A1 : y1 = 0.5 cm A2 : y2 = 2.5 cm A3 : y3 = 6 cm A4 : y4 = 4 cm Ai = Area del polígono subdividido. A1 = 3 cm² A2 = 5 cm² A3 = 6 cm² A4 = 3 cm² A = Area total del polígono. Area = suma de aéreas = 17 cm² yiAi = sumatoria de cada área multiplicada por su distancia al centroide. (0.5cm)(3cm²) + (2.5cm)(5cm²) + (6cm)(6cm²) + (4 cm)(3cm²) yiAi = 62 cm³ yiAi / A = 62 cm³ / 17 cm² = 62/17 cm = Y ≈ 3.65 cm
5.3 Momento de Inercia. Sabemos que un momento de inercia es el producto de una área por una distancia al cuadrado, si multiplicamos un diferencial del área por su distancia a los dos ejes, es un momento de inercia igual a: dIxy = xydA
Ixy = ∫ 59
Este valor (Ixy), se llama producto de inercia; como observamos, el producto de inercia esta dado en cm4, m4, pies4, etc. según sea la unidad de medida utilizada. El producto de inercia puede ser positivo, negativo o nulo, ya que tanto x como y aparecen a la primera potencia y pueden ser de cualquier signo. Si obtenemos el producto de inercia con respecto a un sistema de ejes coordenadas, basta que uno de ellos sea eje de simetría para que los momentos estaticos de las areas de un lado se nulifiquen con los del otro lado y originen con esto que el producto de inercia valga cero. El teorema de los ejes paralelos, pueden utilizarse para el caso de productos de inercia, referidos a un eje que no sea eje centroidal.
Figura V.1 Figura V.2 Solucion paso a paso: a) Trazamos la figura V.2 que es la V.1 pero en un sistema de ejes de coordenadas centroidales paralelos a los originales (XcX’c , YcY’c). b) Llamamos x e y a las coordenadas entre ambos ejes (valores fijos) y x’ y’ a las coordenadas variables del área elemental dA, por lo que las coordenadas entre el área dA y el sistema de ejes XX’ e YY’ serán: ( x + x’ ) y ( y + y’ ) c) Planteamos la ecuación del producto de inercia referido a los ejes XX’ y )( ) . YY’ , Ixy = ∫( d) Quitamos paréntesis y sacamos de las integrales las constantes: Ixy = xy ∫ +x∫ + y∫ +∫ . Como sabemos que los productos de inercia valen cero con respecto a los momentos de primer orden, de superficies referidas a centroidales, tenemos que; xy ∫ = Axy x∫ =0 y∫ =0 = Ix’y’ ∫ Por lo tanto: Ixy = Ixy + Ax y
60
Tambien podemos formular el segundo momento de dA con respecto al polo o eje z, a esto se le llama momento de inercia polar, Jc = r²dA. Aquí r es la distancia perpendicular desde el polo (eje z) hasta el elemento dA. Para toda el area, el momento de inercia polar es: Jc = ∫
Ix + Iy
Ejemplo 1:
Determine el momento de inercia del área rectangular mostrada en la figura superior, con respecto a: (a) el eje centroidal x ', (b) el eje Xb que pasa por la base del rectángulo, y (c) el polo o eje z ' perpendicular al plano x' - y' y que pasa a través del centroide C.
a) Se puede determinar gracias por 2 maneras: a.1.) Ix’ = a.2.) Ix’ = ∑
( ) = ( )² ( )( ) + (- )² ( )( ) =
+
=
=
b) El momento de inercia con respecto a un eje que pase por la base del rectángulo se puede obtener usando el resultado de la parte (a) y aplicando el teorema de los ejes paralelos:
Ixb = Ix’ + Ad²y Ixb =
(ecuación para la teoría de los ejes paralelos).
+ bh( )² =
c ) Para obtener el momento de inercia polar con respecto al punto e, debemos obtener primero Iy" la cual puede calcularse intercambiando las dimensiones b y h en el resultado de la parte (a), es decir,
Iy’ = Usando la ecuación Jc = Ix’ + Iy’ =
+
=
( h² + b² ) 61
Ejemplo 2: Calcule el momento de inercia del área compuesta mostrada en la figura con respecto al eje x.
Para determinar el momento de Inercia, se puede dividir la figura en 2 figuras conocidas:
Dado que es posible conocer el centroide y area de cada una de las figuras, y al mismo tiempo la determinación del momento de inercia de la figura resultaría como: Círculo; Ix = Ix’ + Ad²y = ¼ (25mm)4 + (25mm)²(75mm)² = 11.04(10)6 mm4
Rectángulo; Ix = Ix’ + Ad²y =
(100)(150) + (100)(150)(75)² = 112.5(106) mm4
El momento de inercia del area compuesta es entonces la sumatoria de: Ix = 112.5(106) mm4 – 11.4(106)mm4 Ix = 101 (106) mm4.
62
Unidad VI. Armaduras y máquinas simples Competencia de unidad VI. Resolver problemas de armaduras y maquinas simples utilizando los conocimientos adquiridos en las unidades previas, para comprobar el funcionamiento de maquinas y estructuras reales sometidos a los efectos de un sistema de fuerzas, con objetividad, creatividad y actitud propositiva.
6.1 Concepto de armadura Una armadura es una estructura compuesta de miembros esbeltos unidos entre sí en sus puntos extremos. Los miembros usados comúnmente en construcción consisten en puntales de madera o barras metálicas. Las conexiones en los nudos están formadas usualmente por pernos o soldadura en los extremos de los miembros unidos a una placa común.
Armadura
Conexiones en los nodos
6.2 Armaduras simples Las armaduras planas se tienden en un solo plano y a menudo son usadas para soportar techos y puentes. Para diseñar los miembros y las conexiones de una armadura, es necesario determinar primero la fuerza desarrollada en cada miembro cuando la armadura está sometida a una carga dada, partiendo de: a. Todas las cargas están aplicadas en los nudos. b. Los miembros están unidos entre sí mediante pasadores lisos. c. Cada miembro de armadura actúa como un miembro de dos fuerzas, y por tanto, las fuerzas en los extremos del miembro deben estar dirigidas a lo largo del eje del miembro. Si la fuerza 63
tiende a alargar el miembro, es una fuerza de tensión (T), mientras si tiende a cortarlo, es una fuerza de compresión (C). d. Para prevenir el colapso, la forma de una armadura debe ser rígida. La forma más sencilla que es rígida o estable es un triángulo.
6.3 Análisis de armaduras: método de nudos y método de secciones. 6.3.1 Método de nudos Procedimiento de análisis: 1. Trace el diagrama de cuerpo libre de un nodo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando mucho dos fuerzas desconocidas. 2. Aplique las dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas ∑ y ∑ . Obtenga las dos fuerzas de miembro desconocidas y verifique su sentido correcto. 3. Continuar con el análisis de cada uno de los otros nodos. 4. Una vez que se encuentra la fuerza en un miembro a partir del análisis de un nodo en uno de sus extremos, el resultado puede usarse para analizar las fuerzas que actúan sobre el nodo en su otro extremo. Ejercicio 1: Determine la fuerza en cada miembro de la armadura mostrada en la figura, indique si los miembros están en compresión o en tensión. Solución: Hay dos fuerzas de miembro desconocidas en el nudo B, dos fuerzas de miembro desconocidas en los nudos A, B, y C. Como no se debe tener más de dos incógnitas en un nudo, el análisis va empezar en el nodo B.
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Ejercicio 2: Determine las fuerzas que actúan en todos los miembros de la armadura mostrada en la figura, Solución: Hay más de dos incógnitas en cada nodo, las reacciones de soporte en la armadura deben ser determinadas primero. El análisis empezara por el nodo C, por solo tener dos incógnitas,
Al resolver simultáneamente estas ecuaciones, se obtiene que ( )
( ),
Revisando el nodo D, tenemos que:
La fuerza BA en último miembro puede obtenerse a partir del nodo B o del nodo A, de donde,
( )
Ejercicio 3: Determine la fuerza en cada miembro de la armadura mostrada en la figura. Indique si los miembros están en tensión o compresión. Solución: se determinan las reacciones en los soportes, y se dibuja el diagrama de cuerpo libre
El análisis puede empezar ahora en cualquier de los nodos A o C. La selección es arbitraria ya que hay una fuerza conocida y dos fuerzas de miembro desconocidas actuando sobre el pasador en cada uno de esos nodos.
65
Nodo sobre
A: Hay tres fuerzas que actúan el pasador ubicado en el nodo A,
Nodo D: El pasador ubicado en este nodo la fuerza en AD es conocida y las fuerzas desconocidas en DB y DC pueden ser determinadas a partir del diagrama de cuerpo libre siguiente:
Para determinar , se corrige el sentido de esta ecuación y retener el signo negativo para ,
y luego aplicar ∑
, o aplicar
Nodo C:
6.3.2 Método de secciones Este método se usa para determinar las cargas que actúan dentro de un cuerpo. Este método se basa en el principio de que si un cuerpo está en equilibrio, entonces cualquier parte del cuerpo está también en equilibrio. El método de las secciones puede usarse también para cortar o seccionar los miembros de toda una armadura, cuando se traza el diagrama de cuerpo libre de cualquiera de sus dos partes, entonces ∑ ∑ se puede aplicar las ecuaciones de equilibrio ( ∑ ) a esa parte para determinar las fuerzas del miembro en la sección cortada. Ejemplo: revisando la armadura definida por nodos ABCDEFG, si la fuerza en el miembro GC debe ser determinada, la sección aa sería apropiada, los diagramas de cuerpo libre de las dos partes que se generan, se muestran en la figura :
66
Las tres fuerzas de miembro desconocidas , se pueden obtener aplicando las tres ecuaciones de equilibrio. Las tres reacciones de soporte , tendrán que determinarse primero. En la solución, al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se debe considerar maneras de escribir las ecuaciones en forma tal que den una solución directa para cada una de las incógnitas en vez de tener que resolver ecuaciones simultáneas.
Procedimiento de análisis: 1. Determinar las reacciones externas de la armadura. 2. |Seccionar la armadura a través de los miembros cuyas fuerzas deben determinarse 3. Trazar el diagrama de cuerpo libre de la parte seccionada de la armadura sobre la que actúe el menor número de fuerzas.
Ejercicio 1: determine la fuerza en los miembros GE, GC, y BC de la armadura mostrada en la figura siguiente. Indique si los miembros están en tensión o en comprensión. Solución: la sección que muestra la figura a-a, se propone porque corta a través de los tres miembros cuyas fuerzas deben ser determinadas. En primer lugar se debe determinar las reacciones externas en A o en D.
El diagrama de cuerpo libre de la porción izquierda de la armadura seccionada se muestra en la figura
Ecuaciones de equilibrio. Sumando momentos con respecto al punto G se eliminan y y se obtiene una solución directa para . De la misma manera, sumando momentos con respecto al punto C, obtenemos una solución directa para .
67
Como y no tienen componentes verticales, sumando fuerzas en la dirección y obtenemos directamente , esto es, Ejercicio 2: Determine la fuerza presente en el miembro CF de la armadura de puente mostrada en la figura que se presenta. Indique si el miembro está en tensión o en comprensión. Suponga que cada miembro está conectado mediante pasadores.
Solución: a. Determinación
de
las
reacciones
b. Será usada la sección a-a que se muestra en la figura, ya que es la que expondrá a la fuerza interna en el miembro CF como externa en el diagrama de cuerpo libre de la porción derecha o bien de la izquierda de la armadura muestra tres incógnitas: . Aplicando la ecuación de momento con respecto a O, que elimina dos de las fuerzas desconocidas , tenemos que:
Ejemplo 3: Determine la fuerza en el miembro EB de la armadura de techo mostrada en la figura. Indique si el miembro está en tensión o en compresión. Solución: Una manera de obtener EB es determinando primero a partir de la sección aa, y luego usar est resultado en la sección bb, . Aquí el sistema de fuerzas es concurrente y el diagrama de cuerpo libre seccionado es el mismo que el diagrama de cuerpo libre para el pasador ubicado en E(método de nudos). Ecuaciones de equilibrio: para determinar el momento de con respecto al punto B, se resolverá la fuerza en sus componentes rectangulares y, por el principio de transmisibilidad, se extenderá hasta el punto C como se muestra. Los momentos de 1000 N, , 68
son todos cero con respecto a B, por lo tanto,
Considerando ahora el diagrama de cuerpo libre bb, se tiene:
en la sección
Ejercicios propuestos 1. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere .
2. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o compresión.
3. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considera .
4. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión.
69
5. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere .
6. Determine la fuerza en los miembros BC, HC, Y HG de la armadura de puente, e indique si los miembros están en tensión o en compresión. Utilice el método de secciones.
7. Determine la fuerza en los miembros GF, CF y CD de la armadura de puente, e indique si los miembros están en tensión o en compresión. Utilice el método de secciones.
8. La armadura de techo soporta la carga vertical mostrada. Determine la fuerza en los miembros BC, CK y KJ, establezca si esos miembros están en tensión o en compresión. Utilice el método de secciones.
Bibliografía 1. Russel C. Hibbeler, Mecánica vectorial para ingenieros, Pearson Prentice Hall, ISBN 970-26-0501-6. 2. Beer Ferdinand P; Johnston E. Russell, Mecánica vectorial para ingenieros, Mc Graw Hill, ISBN 970104469-X.
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