Unidad 2. Aplicaciones de la integración En esta unidad se muestra el caso de cómo calcular áreas limitadas por dos funciones, y se presenta cómo estos métodos tienen mucho que ver con la unidad anterior, donde se analizó la suma de Riemann para integración de ciertas áreas. De manera análoga se utiliza el concepto de sumas de Riemann para llegar a la integral definida, útil para calcular el área entre dos curvas de funciones, limitadas al intervalo [a,b].
Uso de integrales para calcular las áreas de regiones que quedan entre las gráficas de dos funciones
Presentación de la unidad Además, se presentan los métodos de integración para calcular volúmenes de sólidos, para lo cual es necesario revisar el concepto de volumen, que será de gran utilidad para tener la idea intuitiva de lo que es volumen. Para complementar lo anterior, se calculan volúmenes usando los métodos de sólido de revolución y el método de cálculo de volúmenes mediante cascarones esféricos. Por otra parte, se explica lo que es un valor medio y el valor promedio de una función.
Representación gráfica del cálculo de volumen de un sólido de revolución.
Propósitos Al terminar la unidad contarás con las herramientas necesarias para: Hallar áreas entre curvas o regiones, obtendrás la capacidad necesaria para calcular el volumen de sólidos mediante integración. Calcular volúmenes mediante cascarones cilíndricos y obtendrás el conocimiento para aplicar la integración para encontrar el valor promedio de una función y valor medio de una función.
Competencia específica
Analizar problemas modelo para calcular áreas entre curvas, vo lúmenes, así como el valor promedio de una función mediante el uso de aproximaciones con base en definiciones, métodos y teoremas.
2.1. Área entre curvas
Para hallar el área delimitada entre dos funciones como se muestra en la figura, se usan los conocimientos adquiridos en las secciones previas. Se utiliza el concepto de sumas de Riemann para calcular áreas.
Área entre curvas mediante aproximación
2.1.1. Área entre curvas mediante aproximación
Material Apoyo\OA_CIN_U2_01 - Área entre curvas mediante aproximacion.pdf
2.1.2. Área entre curvas mediante integración Ahora se sabe que el área de la región S es una aproximación de rectángulos inscritos infinitesimalmente delgados o, dicho de otra manera, es el límite de las sumas de las áreas de los rectángulos infinitamente delgados. Este límite se expresa como:
Con un poco de imaginación, te podrás dar cuenta de que el límite de esta suma es la integral definida de Por lo tanto, el área A de la región limitada por las gráficas
,
y las rectas verticales en x=a y x=b, considerando que f y g son continuas. Además de que
. Para cualquier valor de x en el intervalo [a,b] es:
Área S de la región limitada por las gráficas , verticales en x=a y x=b
y las rectas
Es evidente en la figura que se cumple lo siguiente:
Material Apoyo\OA_CIN_U2_02 - Ejemplo.pdf
Actividad 1. Área entre curvas De acuerdo a lo revisado hasta el momento, realiza lo siguiente: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Dibuja en un esquema la región encerrada por las curvas dadas. Decide si integrar con respecto a x o y. Dibuja un rectángulo típico de aproximación, marca su altura y su ancho. Calcula el área de la región de las siguientes funciones: Guarda tu tarea con la siguiente nomenclatura CIN_U2_A1_XXYZ. Envía el archivo a tu Facilitador(a) mediante la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en los siguientes días. *Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.
2.2. Volúmenes Posiblemente, alguna vez te has hecho preguntas como:
¿Con qué formula calculo el volumen de una botella de refresco, de vino o incluso el de una olla de barro? ¿Cómo calculo el volumen de una figura irregular?
En esta sección, se dará respuesta a estas inquietudes. Encontrarás diferentes métodos de integración para calcular volúmenes de ciertos sólidos. Todas las cosas y objetos que nos rodean, desde la más pequeña hasta la más grande que conozcas, tienen volumen.
2.2.1. Volumen de un sólido
Material Apoyo\OA_CIN_U2_03 - Volumen de un solido.pdf
2.2.2. Volúmenes de sólidos de revolución Los sólidos de revolución son comunes en ingeniería y en todo tipo de objetos de uso cotidiano. Ejemplos de estos son los embudos, ruedas, discos, píldoras, botellas y pistones, entre otros. Si una región plana se hace girar en torno a una recta, el sólido resultante es un sólido de revolución y a esta recta se le llama eje de revolución o eje de giro.
Sólidos de revolución de uso común en ingeniería
Si la sección transversal es un anillo o arandela, se necesita saber el radio interior y el radio exterior como se muestra en la siguiente figura.
Sección transversal es un anillo o arandela
Para calcular el área de la arandela, se resta el área exterior menos el área interior del disco. Lo que queda como:
Lo anterior se puede enunciar de la siguiente manera:
Donde y el radio interior
representa la diferencia de regiones acotadas por el radio exterior
Actividad 2. Sólidos de revolución Con base en lo estudiado en el subtema anterior, realiza lo siguiente: 1. 2. 3. 4.
Calcula el volumen del sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje especificado. Haz un esquema de la región, del sólido y de un disco o anillo típico. Guarda tu tarea con la siguiente nomenclatura CIN_U2_A2_XXYZ. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en los siguientes días.
*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.
Actividad 3. Sólidos de revolución en la vida diaria Ingresa al foro: Sólidos de revolución en la vida diaria, y realiza lo que se te indica. 1. 2. 3. 4.
Comenta qué es un sólido de revolución. Responde ¿Dónde se ven implicados los sólidos de revolución en tu vida diaria? y proporciona ejemplos. Comparte tus conclusiones con tus compañeros(as). Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso con tus compañeros(as). Tu Facilitador(a) retroalimentará tu participación.
2.2.3. Volúmenes de cascarones cilíndricos
Material Apoyo\OA_CIN_U2_04 - Volúmenes de cascarones cilindricos.pdf
Actividad 4. Volúmenes de cascarones cilíndricos Resuelve los siguientes ejercicios utilizando el método de los cascarones cilíndricos: 1. Halla el volumen generado al girar la región acotada por las curvas dadas alrededor del eje y.
a. b. c. 2. Calcula el volumen generado por las curvas dadas alrededor del eje x. a. b. 3. Realiza un bosquejo de la región calculada de cada uno de los ejercicios. 4. Guarda tu tarea con la siguiente nomenclatura CIN_U2_A4_XXYZ. 5. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en los siguientes días. *Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.
2.3. Valor promedio de una función En esta sección se presenta cómo calcular el promedio de una cantidad infinita de números, en tales casos se ven involucrados hechos para calcular la temperatura promedio durante el día, si hay una cantidad infinita de medidas del termómetro. Hablando de manera general, se muestra cómo calcular el valor promedio de una función, también cómo calcular el valor medio. Finalmente se expone el teorema de valor medio.
Representación de la temperatura promedio calculada durante el día por medio del valor promedio de una función.
2.3.1. Valor promedio La definición del valor promedio es muy sencilla, así que no se extenderá mucho. Si tienes una función que muestra la siguiente gráfica, es posible encontrar su valor promedio.
El valor promedio de una función definido como:
Ahora te presentamos un ejemplo para aclarar tus dudas.
como la
en un intervalo cerrado [a, b] está
2.3.2. Teorema del valor medio Ahora quizá te surja la siguiente duda:
Según el siguiente teorema, resulta que sí:
La figura muestra que cuando las funciones son positivas, hay un número c tal que el rectángulo de base es b - a y altura f(c), tiene la misma área que la región bajo la gráfica de f en el intervalo [a, b].
Actividad 5. Valor medio de una función Ingresa al foro: Valor medio de una función y realiza lo que se te solicita. 1. Contesta las siguientes preguntas: a. ¿Qué entiendes por valor medio de una función? b. Da algunos ejemplos donde se pueda aplicar esta definición de valor medio de una función. c. ¿Cuál es la diferencia entre valor medio y valor promedio? 2. Comparte tus conclusiones con tus compañeros(as). 3. Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso con tus compañeros(as). Tu Facilitador(a) retroalimentará tu participación.
Actividad integradora
Evidencia de aprendizaje. Aproximación e integración de volumen Ha llegado la hora de realizar la Evidencia de aprendizaje de la asignatura, la cual consiste en realizar lo siguiente: 1. Selecciona un recipiente de forma irregular. 2. Usa tres tamaños diferentes de objetos esféricos de los que puedas conocer su volumen (ejemplos: pelotas, todos del mismo tamaño, canicas o aceitunas). 3. Descarga el archivo con las indicaciones que deberás hacer para cada uno de los objetos esféricos. Da clic en el ícono para descargar el archivo con las indicaciones de la actividad. 4. Organiza la información junto con las conclusiones que obtuviste y elabora un reporte en Word que deberás entregar a tu Facilitador(a). 5. Guarda tu reporte con la siguiente nomenclatura CIN_EA_U2_XXYZ. Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB. 6. Envíalo a tu Facilitador(a) a través de la sección Portafolio de Evidencias para obtener la retroalimentación correspondiente. Recuerda que puedes atender las recomendaciones de tu Facilitador(a) y volver a enviar tu trabajo. 7. Descarga la Escala de evaluación para conocer los criterios de evaluación de la evidencia de aprendizaje. Da clic en el ícono para descargar la Escala de evaluación. Después de haber realizado tu evidencia ingresa al foro Preguntas de Autorreflexión y lee las preguntas que formuló el Facilitador(a), a partir de ellas, realiza tu autorreflexión en un documento de texto y envíala mediante la sección de Autorreflexiones.
Cierre de la unidad Has concluido el estudio de esta unidad y pudiste aplicar, de manera sencilla los métodos de integrales vistos en la Unidad 1 para calcular, por medio de la suma de Riemann y el Teorema fundamental del cálculo, el área entre curvas. También tuviste la oportunidad de encontrar el espacio de una figura mediante los métodos de aproximación e integración, así como el volumen de un sólido de revolución mediante los métodos de: Cascarones cilíndricos
Valor promedio de una función
Teorema del valor medio
No olvides que todas las funciones vistas hasta este momento te serán de gran utilidad para comprender el estudio de la Unidad 3. Métodos de integración. De lo contrario, vuelve a repasarlas hasta que consigas dominarlas. ¡Sigue adelante!
Fuentes de consulta
Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté. Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: McGraw Hill. Leithold, L. (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press. Stewart, James. (2008). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: Cengage Learning.
