Osciladores Electronicos No Lineales

Índice de documentos DOCU DOCUME MENT NTO O I. MEMO MEMORI RIA A

Parte I. Memoria

pág. 1 a 28

28 páginas

DOCUM DOCUMENT ENTO O II. PRESUP PRESUPUES UESTO TO

1. Mediciones 2. Precios unitarios 3. Sumas parciales 4. Presupuesto general

pág. 3 pág. 4 pág. 5 pág. 6

a a a a

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Autorizada la entrega del proyecto del alumno:

Eloy Antón Barco

E L D IRECTOR DEL P ROYECTO

José Luis Rodríguez Marrero

Fdo.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fecha: . . . . . . / . . . . . . / . . . . . . . . .

V O B O DEL DE L C OORDINADOR DE P ROYECTOS

Álvaro Sánchez Miralles

Fdo.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fecha: . . . . . . / . . . . . . / . . . . . . . . .

Autorizada la entrega del proyecto del alumno:

Eloy Antón Barco

E L D IRECTOR DEL P ROYECTO

José Luis Rodríguez Marrero

Fdo.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fecha: . . . . . . / . . . . . . / . . . . . . . . .

V O B O DEL DE L C OORDINADOR DE P ROYECTOS

Álvaro Sánchez Miralles

Fdo.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fecha: . . . . . . / . . . . . . / . . . . . . . . .

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERO INGENIERO INDUSTRIAL

PRO PROYECTO FIN DE CARRERA

OSCILADORES ELECTRÓNICOS NO LINEALES: ESTUDIO TEÓRICO EXPERIMENTAL EXPERIMENTAL

AUTOR: Eloy Antón Barco DIRECTOR: José Luis Rodríguez Marrero MADRID, Junio de 2010

Resumen En este proyecto se ha efectuado un estudio de osciladores no lineales. El método ha consistido en un análisis de la respuesta temporal de estos dispositivos dispositivos y posteriormente una comparación con el modelo lineal que nos ofrecen los libros de texto. En concreto este estudio se ha centrado en el puente de Wien, un tipo de oscilador de segundo orden muy usado en aplicaciones electrónicas de baja frecuencia. Para realizar este estudio se han empleado dos herramientas informáticas, MATLAB y PSpice. Utilizando MATLAB se ha diseñado un modelo matemático que reproduce con cierta fidelidad lo que ocurre en la realidad. Para diseñar este modelo se ha tenido en cuenta la saturación de la etapa amplificadora, amplificadora, que es la que hace que los osciladores reales no sean lineales. Además, para hacer el modelo aun más parecido a la realidad se ha introducido el efecto que producen los codos de saturación en la característica del amplificador. Se ha podido observar durante el desarrollo del modelo que la respuesta de un oscilador de segundo orden depende principalmente de 3 parámetros que en el texto hemos llamado µ, δ y m, que representan el efecto de las no linealidades, la magnitud de estas y el efecto de los codos de saturación respectivamente. Una vez analizado el modelo matemático se ha comparado con un diseño del puente de Wien realizado en PSpice. Se han comparado el espectro y el plano de fases. Hemos observado que no existen diferencias muy grandes entre los dos; únicamente una pequeña diferencia en las amplitudes de las señales, que son debidas a que el modelo que utiliza PSpice es mucho más preciso que el modelo en MATLAB. Aun así, el modelo matemático muestra con suficiente precisión el comportamiento del puente de Wien. Cuando se compraran los modelos no lineales con el lineal, se puede apreciar que el espectro del modelo no lineal no muestran una única frecuencia, y que las trayectorias en el plano de fases no son circulares. Para tratar de reducir el efecto de las no linealidades linealidades debemos conseguir que µ  1 para que la señal obtenida se lo mas parecida a una senoidal pura. En el caso del puente de Wien esto no es posible, ya que el valor de µ viene fijado por los elementos que componen el circuito. Osciladores electrónicos no lineales: Estudio teórico experimental

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R ESUMEN

Por último, se han realizado ensayos en el laboratorio que muestran que los modelos anteriormente citados son correctos. Para mejorar el modelo matemático del oscilador sería necesario introducir ciertas modificaciones al circuito, ya que en la realidad la saturación de la etapa amplificadora no es simétrica, lo que hace que aparezcan componentes en frecuencia inesperadas cuando analizamos el espectro de la señal que produce el oscilador. Este problema no es muy grave ya que existen métodos muy sencillos y baratos para hacer que la característica de la saturación sea simétrica.

Osciladores electrónicos no lineales: Estudio teórico experimental

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Abstract This project is a study about nonlinear oscillators. The method followed has consisted in the analysis of the temporal response of these devices followed by a comparison with the linear models found in textbooks. In fact, this research has focused on the study of the Wien bridge, a second-order oscillator widely used in low-frequency electronic applications. To carry out this research two computational tools have been used: MATLAB and PSpice. Using MATLAB a mathematical model has been designed which reproduces with certain fidelity what happens in reality. To design this model the saturation of the amplifier stage had to be taken into account, which makes real oscillators non-linear. Furthermore, to make the model more accurate it was taken into consideration the effect produced by the saturation elbows of the characteristic of the amplifier. During the process it was observed that the model’s response of a second order oscillator depends mainly on three parameters. In the text these are called µ, δ and m, representing the nonlinear effect, the magnitude of these and the effect of saturation elbows respectively. Once analyzed, the mathematical model was compared to a Wien bridge design in PSpice. Comparing the spectrum and the phase planes, it was noted that there were no big differences between the two of them, existing only one small difference in the amplitudes of the signals, which was due to the fact that the model developed with PSpice was much more accurate than the model in MATLAB. Even so, the mathematical model shows with sufficient precision the behaviour of the Wien bridge. When comparing non-linear models with linear ones, it can observed that the spectrum of the nonlinear model does not show a single frequency and the phase plane trajectories are not circular. To attempt to reduce the effect of these nonlinearities, µ was set to be µ  1 so that the signal obtained would be as close as possible to a pure sine signal. In the case of the Wien bridge this is not possible because the value of µ is fixed by the elements of the circuit.


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A BSTRACT

Finally, laboratory tests were carried out which show that the models developed are correct. To improve the mathematical model of the oscillator, it would be necessary to introduce certain changes to the circuit because in a real environment the saturation of the amplifier stage is not symmetrical. This fact causes the apparition of unexpected frequency components when analyzing the spectrum of the signal produced by the oscillator. This problem is not very serious as there are very simple and inexpensive methods to make the saturation characteristic symmetric.


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VI I

DOCUMENTO I

MEMORIA

Índice 1. Introducción

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2. Oscilador Puente de Wien 2.1. Condiciones de oscilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Puente de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 7

3. Oscilador de Lienard 3.1. Teorema de Lienard . . . . . . . . . . 3.2. Trayectorias en el plano de fase . . . . 3.3. Ejemplo: Puente de Wien normalizado 3.3.1. Normalización . . . . . . . . . . 3.3.2. Puente de Wien normalizado . . .

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9 9 10 11 11 13

4. Comparación teórica de los modelos lineal y no lineal 4.1. Método de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Modelo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 18

5. Comparación numérica de los modelos lineal y no lineal 5.1. Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Trayectorias en el plano de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 20 22

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6. Comparación experimental de los modelos lineal y no lineal. Conclusiones. 24 6.1. Ensayos del puente de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Bibliografía


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Índice de figuras 1. Sistema con realimentación positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Oscilador puente de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Función φ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Plano de fases con µ = 0,1 y δ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Plano de fases con µ = 10 y δ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Diagrama de bloques de un oscilador electrónico . . . . . . . . . . . 7. Característica del amplificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Plano de fase del puente de Wien con µ = 3 y δ = 0,1 . . . . . . . . 9. Función φ(x) con m = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Plano de fases con µ = 3, δ = 0, 1 y m = 0. . . . . . . . . . . . . . . 11. Plano de fases con µ = 3, δ = 0, 1 y m = 0, 5. . . . . . . . . . . . . . 12. Plano de fases y respuesta temporal con µ = 0, 1, δ = 0, 1 y m = 0, 5. 13. Plano de fases y respuesta temporal con µ = 10, δ = 0, 1 y m = 0, 5. . 14. Plano de fases con µ = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Espectro de la simulación con PSpice . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Espectro del modelo no lineal en MATLAB . . . . . . . . . . . . . . 17. Espectro del modelo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Plano de fases de la simulación con PSpice . . . . . . . . . . . . . . 19. Plano de fases del modelo no lineal en MATLAB . . . . . . . . . . . 20. Espectro del puente de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. Plano de fases del puente de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Respuesta temporal del puente de Wien . . . . . . . . . . . . . . . .


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Capítulo 1 Introducción Los circuitos osciladores se usan en gran variedad de sistemas electrónicos: generadores de señal, circuitos de medida de variables cíclicas, osciladores locales de sistemas de comunicación, y en cualquier instrumento cuya función requiera estados o formas de onda periódicos, es decir, todo sistema que necesite un reloj para su funcionamiento. Esto incluye multímetros digitales, osciloscopios, receptores de radiofrecuencia, ordenadores, periféricos (como una impresora), etc. Fundamentalmente existen dos tipos de osciladores, los llamados osciladores lineales, que generan señales senoidales utilizando el fenómeno de la resonancia y los no lineales, que generan señales cuadradas, triangulares, pulsos, etc. En realidad todos los osciladores son no lineales, incluidos los llamados lineales, ya que utilizan elementos no lineales para controlar la amplitud de la oscilación (como por ejemplo la etapa amplificadora usando un amplificador operacional). Este proyecto tiene como fin estudiar esas características y comprobar si las aproximaciones lineales que generalmente se usan son adecuadas. Los libros de texto y los diseñadores de circuitos de oscilación senoidal usan análisis lineal para determinar las características de estos circuitos. Este análisis da buenas estimaciones de la frecuencia de oscilación cuando el oscilador usa una red muy selectiva en frecuencia, pero no permite deducir la amplitud de la oscilación, ni qué topologías producen poca distorsión. Los diseñadores usan varios trucos para reducir la distorsión del oscilador, consiguiendo buenos resultados, pero el análisis lineal no explica estas razones. En este proyecto vamos a realizar un estudio no lineal de osciladores de baja frecuencia, y compararlo con los resultados del análisis lineal que aparece en los libros de texto. En concreto, este proyecto se centra en el estudio de osciladores Puente de


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D OCUMENTO I. M EMORIA

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1. I NTRODUCCIÓN

Wien que se usan mucho en aplicaciones de baja frecuencia que no requieren alta pureza espectral o estabilidad. La motivación principal de este proyecto es justificar los resultados del análisis lineal de los osciladores usando un análisis no lineal. Para ello es necesario hacer un estudio comparativo entre las aproximaciones que hacen los libros de electrónica cuando usan un análisis lineal y los resultados exactos, con el objetivo de establecer criterios que ayuden a determinar qué elementos del circuito determinan los parámetros del oscilador.


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Capítulo 2 Oscilador Puente de Wien 2.1. Condiciones de oscilación Un oscilador es un sistema capaz de generar una señal periódica sin excitación externa. En general, una ecuación que describe un sistema oscilante es la siguiente: x¨ + ω02 · x = 0

(1)

que tiene como solución una función periódica dada por: V (t) = A0 · sin(ω0 + ϕ0 )

(2)

La ecuación (1) describe un oscilador lineal. En la práctica, el sistema oscilante contiene elementos no lineales y su respuesta, aunque es periódica, no es del tipo dada por (2). El esquema básico de un oscilador electrónico consta de una red selectiva en frecuencia y su amplificador realimentado, tal y como aparece en la Figura 1.

Figura 1. Sistema con realimentación positiva Osciladores electrónicos no lineales: Estudio teórico experimental

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2. O SCILADOR P UENTE DE W IE N

La ganancia de este sistema viene dada por: V o A = V in 1−A·B

(3)

donde A representa el amplificador y B la función de trasferencia de la realimentación. = 0 si: Teniendo en cuenta que V in = 0 entonces V o  A·B =1

(4)

La condición expresada en la ecuación (4) se conoce como criterio de Barkhausen. Teniendo en cuenta que tanto A como B son funciones de una variable compleja, el criterio de Barkhausen establece a su vez dos condiciones: |A · B| = 1

(5)

arg(A · B) = 0 + 2 · n · π; (n, entero)

(6)

Esto ocurre a una frecuencia, ω0, conocida como frecuencia de oscilación. Hay que tener en cuenta que en la práctica es imposible conseguir que A · B sea exactamente 1. En la práctica |A · B| > 1 de modo que la amplitud aumenta de forma exponencial hasta que sature la etapa amplificadora. Por lo tanto, la señal de salida está limitada por la saturación del amplificador. Puesto que el oscilador debe ser capaz de generar la señal por sí mismo, es decir, sin ninguna señal de entrada ni excitación externa, cabe preguntarse por que arranca la oscilación. La respuesta se encuentra en el ruido eléctrico. En el sistema hay presentes pequeñas señales armónicas de todas las frecuencias. Entre ellas, el oscilador amplifica de manera exponencial aquella cuya frecuencia coincida con ω0 hasta que su amplitud alcanza la de saturación. Este resultado es el que se observa a la salida como oscilación, es decir, una señal sinusoidal con cierto grado de distorsión armónica.

2.2.

Puente de Wien

El puente de Wien es un caso particular de un sistema de realimentación positiva explicado anteriormente. Utiliza un amplificador operacional como etapa amplificadora y una red RC como realimentación, esta selecciona la frecuencia de oscilación. En la Figura 2 se muestra el esquema completo del puente de Wien.


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2. O SCILADOR P UENTE DE W IE N

R2 +

Vin

R1

C2

C1

-

A

V0

Figura 2. Oscilador puente de Wien

En primer lugar aplicaremos el criterio de Barkhausen para que el circuito sea oscilante. Para ello calculamos la función de transferencia de la realimentación: V o s · R · C = V in 1 + 3 · s · R · C + (s · C · R)2

(7)

Sustituyendo s = j · ω0 con ω0 = R1C y aplicando las condiciones (5) y (6) obtenemos que la realimentación atenúa la oscilación en 1/3 por lo que la ganancia en la etapa amplificadora debe ser al menos 3. ·

A = 1+

R3 =3 R4

(8)

Ésta es la ganancia crítica. Para que el circuito comience a oscilar por sí mismo deberá tener cierto grado de inestabilidad, esto significa que la ganancia deberá ser ligeramente superior a 3. La amplitud de la oscilación estará limitada por la saturación del operacional, que depende de su polarización, con la consiguiente distorsión armónica que esto provoca.


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Capítulo 3 Oscilador de Lienard 3.1. Teorema de Lienard Una ecuación de Lienard es un tipo de ecuación diferencial que cumple ciertas condiciones del tipo: (9)

x ¨ + µ · φ(x) · x˙ + g(x) = 0

donde las funciones ’g ’ y ’φ’ existen en el dominio de R, además ’g ’ es una función impar y ’φ’ una función par ( x¨ y x˙ son derivadas con respecto al tiempo).

Φ(x)

1

+

-

1

1

+

x

-δ

x Figura 3. Función φ(x) El teorema de Lienard dice que si φ(x) es par, φ(0) < 0 y φ(x0 ) > 0 para x0 > δ+1, entonces existe una solución periódica aislada, es decir un ciclo estable. Por ejemplo, φ(x) de la Figura 3 cumple esta condición.


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3. O SCILADOR DE L IENARD

3.2. Trayectorias en el plano de fase Un modelo interesante de oscilador es uno con g(x) = x. Para el estudio de las órbitas periódicas en el plano, se define el sistema de ecuaciones diferenciales siguiente introduciendo la variable y = x˙ + µ · F (x) en la ecuación (9) con g(x) = x x˙ = y − µ · F (x)

(10)

y˙ = −x

(11)

Siendo F (x) F (x) =



x

φ(s) · ds

(12)

0

Como se puede observar, si µ  1 el efecto de F (x) es prácticamente nulo, por lo que la solución del sistema representada sobre el plano de fase es una circunferencia.

Además, cabe destacar que si se cumplen las condiciones de Lienard, las soluciones dependen únicamente de dos parámetros, µ y δ . A continuación se muestran varias soluciones del sistema formado por las ecuaciones ( 10) y (11), estas están representadas en los planos de fase. Estas trayectorias han sido obtenidas con MATLAB.

Figura 4. Plano de fases con µ = 0,1 y δ = 1


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Figura 5. Plano de fases con µ = 10 y δ = 1 Como se puede observas si se comparan las dos figuras anteriores se observa que para un valor grande de µ las trayectorias en el plano de fase de la solución dejan de ser circulares (Figura 5). Por el contrario en la Figura 4 se puede ver que para un valor de µ = 0, 1 la respuesta en el plano de fases describe trayectorias casi circulares.

3.3. Ejemplo: Puente de Wien normalizado En este apartado, en primer lugar se procederá a explicar el proceso de normalización y posteriormente se aplicará al puente de Wien.

3.3.1. Normalización La estructura clásica de un oscilador es un amplificador realimentado con una red selectiva en frecuencia (Figura 6). H (s) =

k·s s2 + γ · s + ω02

(13)

Donde γ y ω0 son constantes. Si expresamos la relación ente la tensión de entrada y salida en función del tiempo obtenemos: vïn + γ · v˙ in + ω02 · vin = k · v0


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(14)

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Figura 6. Diagrama de bloques de un oscilador electrónico

El otro elemento mostrado en el diagrama de bloques (A) es el amplificador, cuya característica es no-lineal. La Figura 7 muestra característica del amplificador. Si introducimos la función sat(x):

 x  sat(x) =  −11

para |x| < 1 para x > 1 para x < −1

(15)

Figura 7. Característica del amplificador

La característica del amplificador se puede escribir: v0 = E · sat(x) x=

A · vin E


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donde A es la ganancia y E es la tensión de saturación. (18)



v0 = A · sat (x) · vin

donde sat (x) es la derivada de sat(x) respecto a x. 

Si sustituimos en la ecuación (17) x ¨ + (γ − k · A · sat ) · x˙ + ω02 · x = 0 

(19)

Para simplificar el análisis utilizamos variables normalizadas, x para la tensión normalizada y τ = t/T , con T = 1/ω0 para el tiempo. La ecuación diferencial resultante añadiendo la normalización es la siguiente: x¨ + T · (γ − k · A · sat ) · x˙ + T 2 · ω02 · x = 0 

(20)

Si comparamos la ecuación anterior con (9), obtenemos: (21)

µ = T · γ φ(x) = 1 − δ=

k·A · sat γ



A·k −1 γ

(22) (23)

3.3.2. Puente de Wien normalizado Si aplicamos el desarrollo anterior al oscilador puente de Wien obtenemos teniendo en cuenta que R1 = R2 = R y C 1 = C 2 = C (R1 , R2 , C 1 y C 2 aparecen en la Figura 2) 1 R · C 3 γ = R · C

k = ω0 =

(24) (25)

Por lo tanto, µ=3 δ=

A −1 3


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(26) (27) 13


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Con otra elección de R1 y R2 se puede llegar a conseguir un µ mínimo de 2, pero la diferencia con respecto a las soluciones con µ = 3 no es significativa. A continuación se muestra el plano de fase de un puente de Wien con una δ = 0,1, que significa una A ligeramente superior a 3.

Figura 8. Plano de fase del puente de Wien con µ = 3 y δ = 0,1

Como se puede ver, el ciclo límite no es circular. Esto quiere decir que a pesar de que el puente de Wien es un buen oscilador no nos sirve si queremos señales senoidales de alta pureza espectral.


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Capítulo 4 Comparación teórica de los modelos lineal y no lineal 4.1. Método de resolución El método de resolución propuesto por Lienard mencionado anteriormente es muy útil para resolver ecuaciones no lineales, pero no nos muestra el verdadero efecto de las no linealidades. Por eso a partir de ahora se va a emplear un método de resolución en el que estos efectos aparecen mejor representados. El procedimiento es el mismo que se ha seguido hasta ahora, pero no se va a efectuar el cambio de variable anterior (y = x˙ + µ · F (x)), sino uno mucho más sencillo. Si sustituimos y = x˙ en la ecuación (9) el sistema de ecuaciones diferenciales resultante es el siguiente: x˙ = y

(28)

y = −x − µ · φ(x) · x˙

(29)

Como ya se ha mencionado anteriormente, los modelos lineales nos dicen que las soluciones de los osciladores son señales senoidales puras. En la práctica esto no es así, en verdad la solución es una suma de señales senoidales. Si nos centramos en los osciladores electrónicos vemos que las no linealidades que aparecen se pueden modelar con dos parámetros, µ y δ . El parámetro µ nos indica en cuánto afectan los términos no lineales mientras que δ indica la magnitud de las no linealidades (Figura 3). Si además los efectos no lineales son producidos por la saturación de la etapa amplificadora, también podemos tener en cuenta los codos de saturación obteniendo así un modelo más parecido a la realidad. Para ello introducimos


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4. C OMPARACIÓN TEÓRICA DE LOS MODELOS LINEAL Y NO LINEAL

el parámetro m en la función φ(x). Como se puede ver en la Figura 9, si se compara con la Figura 3 este término suaviza las discontinuidades de la función.

  −δ − φ(x) =  −δ − 

(1+δ) m (1+δ ) m

− +

(1+δ ) m

(1+δ ) m

1 ·x ·x 1

para x ≤ −1 − m para −1 − m < x y x < −1 para 1 < x y x < 1 + m para x ≥ 1 + m

(30)

Figura 9. Función φ(x) con m = 2 A continuación se muestran los planos de fase obtenidos como solución al sistema formado por las ecuaciones (28) y (29) para distintos valores de m. Los valores que toman µ y δ son los mismos que para el caso particular del puente de Wien.

Figura 10. Plano de fases con µ = 3, δ = 0, 1 y m = 0.


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Como se puede observar en la figura 10, los efectos de las discontinuidades finitas de la función φ(x) son apreciables. Estos efectos se hacen cada vez menores al aumentar m, es decir al hacer más suaves la pendientes de la función φ(x) (Figura 9).

Figura 11. Plano de fases con µ = 3, δ = 0, 1 y m = 0, 5. A continuación se muestran los efectos de la discontinuidad de φ(x) para los valores de µ y δ utilizados en las figuras del apartado 3.2.

Figura 12. Plano de fases y respuesta temporal con µ = 0, 1, δ = 0, 1 y m = 0, 5.


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Figura 13. Plano de fases y respuesta temporal con µ = 10, δ = 0, 1 y m = 0, 5. Como se puede ver en las figuras, cuando el valor de µ es muy pequeño (µ  1), la diferencia con el modelo lineal no es muy apreciable, pero para valores grandes de µ el efecto de las no linealidades es importante. Tambien es interesante comparar las respuestas temporales que aparecen en las figuras 12 y 13. Se puede apreciar que si µ  1 la respuesta ya no es senoidal (Figura 13).

4.2.

Modelo lineal

En este apartado se pretende hacer una comparación entre las soluciones mostradas en el punto 4.1 con las soluciones del modelo lineal. Para representar el modelo lineal solamente hay que hacer µ = 0 en la ecuación (29).

Figura 14. Plano de fases con µ = 0. Osciladores electrónicos no lineales: Estudio teórico experimental

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Se ve claramente que el plano de fases muestra trayectorias circulares, lo que significa soluciones senoidales de la forma V (t) = A0 · sin(ω0 + ϕ0) a diferencia de las soluciones de los planos de fase representados en las figuras anteriores, que además de la frecuencia fundamental poseen más armónicos.


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Capítulo 5 Comparación numérica de los modelos lineal y no lineal Este apartado se centra en el análisis numérico de las soluciones de los modelos lineal y no lineal. Para realizar este estudio se compararan los espectros y las trayectorias en los planos de fase obtenidos mediante el modelo matemático en MATLAB y las simulaciones en PSpice.

5.1.

Espectro

El oscilador puente de Wien tiene armónicos en múltiplos impares de la frecuencia fundamental. Como se puede ver en la figura, en la práctica solo son representativos los armónicos 1, 3 y 5, ya que el resto tienen una amplitud demasiado pequeña. Aun así, el tercer y quinto armónico son también muy pequeños comparados con el fundamental. ** Profile: "SCHEMATIC1-wien" Date/Time run: 06/11/10 08:37:39

[ F:\Proyecto\oscilator-SCHEMATIC1-wien.sim ] Temperature: 27.0

(A) oscilator-SCHEMATIC1-wien.dat (active) 3.533V

3.000V

2.000V

1.000V

0V 0.305KHz

1.000KHz V(C1:2)

Date: June 11, 2010

2.000KHz

3.000KHz

4.000KHz

5.000KHz

Frequency Page 1

6.000KHz

7.000KHz

8.000KHz

Time: 08:38:59

Figura 15. Espectro de la simulación con PSpice Osciladores electrónicos no lineales: Estudio teórico experimental

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5. C OMPARACIÓN NUMÉRICA DE LOS MODELOS LINEAL Y NO LINEAL

Si analizamos los resultados que nos ofrece el modelo matemático introduciendo los parámetros para que la respuesta sea similar a la simulación en PSpice obtenemos la siguiente respuesta en frecuencia.

Figura 16. Espectro del modelo no lineal en MATLAB Las diferencias que aparecen en los valores de la amplitud se deben a que el modelo matemático de MATLAB es mucho menos preciso que el modelo de PSpice. Además el parámetro m ha sido fijado mediante experimentación comparando los planos de fase. A continuación se muestra el espectro del modelo lineal. Se puede observar, que a diferencia del modelo no lineal, solo lo muestra un pulso en la frecuencia fundamental. Además la amplitud de la oscilación es mucho menor.

Figura 17. Espectro del modelo lineal Osciladores electrónicos no lineales: Estudio teórico experimental

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5.2.

Trayectorias en el plano de fases

Si comparamos los planos de fase, la única diferencia significativa que se aprecia es la ya mencionada diferencia en las amplitudes. ** Profile: "SCHEMATIC1-wien" Date/Time run: 06/11/10 08:37:39

[ F:\Proyecto\oscilator-SCHEMATIC1-wien.sim ] Temperature: 27.0

(A) oscilator-SCHEMATIC1-wien.dat (active) 4.0A

2.0A

0A

-2.0A

-4.0A -6.0V -5.0V -4.0V -I(C1) * EXP(7) Date: June 11, 2010

-3.0V

-2.0V

-1.0V

-0.0V

1.0V

2.0V

V(C1:2) Page 1

3.0V

4.0V

5.0V

6.0V

Time: 08:43:17

Figura 18. Plano de fases de la simulación con PSpice Como se puede ver en la Figura 18, las soluciones representadas en el plano de fases utilizando PSpice, no son trayectorias circulares, que como se ha comentado antes se debe a la característica no lineal de la etapa amplificadora. Esta no linealidad hace que aparezcan componentes en frecuencia múltiplos de la fundamental tal y como se puede ver en la Figura 15.

Figura 19. Plano de fases del modelo no lineal en MATLAB Osciladores electrónicos no lineales: Estudio teórico experimental

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El análisis comparativo del modelo matemático desarrollado en MATLAB con el modelo en PSpice indican que a pesar de que el puente de Wien en un oscilador excelente para aplicaciones de baja frecuencia, no es el mas indicado cuando se necesita una señal senoidal de alta pureza espectral.


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Capítulo 6 Comparación experimental de los modelos lineal y no lineal. Conclusiones. 6.1. Ensayos del puente de Wien En este apartado se analizaran las diferencias entre el modelo real del puente de Wien ensayado en el laboratorio y el modelo lineal.

Figura 20. Espectro del puente de Wien La Figura 20 muestra el espectro del circuito. Como se puede observar, aparecen componentes en frecuencia inesperadas en los armónicos pares. Esto es debido a que la característica de la saturación del amplificador no es simétrica, es decir satura de manera diferente a tensiones negativas que a tensiones positivas. Osciladores electrónicos no lineales: Estudio teórico experimental

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6. C OMPARACIÓN EXPERIMENTAL DE LOS MODELOS LINEAL Y NO LINEAL . C ONCLUSIONES.

La Figura 21 muestra el plano de fases obtenido de los ensayos del laboratorio. La respuesta obtenida mostrada en la figura a pesar de ser representativa no es demasiado precisa debido a que alguna de las señales medidas al ser de amplitud muy pequeña estaban muy afectadas por el ruido. Aun así, se puede ver que la trayectoria no es circular, por lo que se deduce que la respuesta temporal no es una senoidal pura, tal y como muestra el espectro de la Figura 20.

7

6

5

4

3

2

1

0 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

Figura 21. Plano de fases del puente de Wien En la figura siguiente aparece la respuesta temporal del circuito, que como se puede observar resulta insuficiente para analizar el comportamiento del oscilador ya que no podemos obtener de ella tanta información como la que aportan el espectro y los planos de fase. Por eso, en este estudio se han analizado principalmente esas dos representaciones de la respuesta.


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5,00

4,00

3,00

2,00

1,00

0,00 -0,003

-0,002

-0,001

0

0,001

0,002

0,003

-1,00

-2,00

-3,00

-4,00

-5,00

Figura 22. Respuesta temporal del puente de Wien

6.2. Conclusiones Como se ha podido observar, la respuesta de un oscilador de segundo orden depende principalmente de 3 parámetros que hemos denominado µ, δ y m. Estos parámetros ayudan a modelar el efecto de las no linealidades y la magnitud de estas. Los efectos no lineales que aparecen en este tipo de osciladores son debidos a que la característica de la etapa amplificadora es no lineal, ya que satura al llegar a ciertos niveles de tensión. Además se a podido observar en las simulaciones realizadas que las aproximaciones al modelo lineal son aceptables si µ  1, ya que el efecto de las no linealidades se hace muy pequeño. En la práctica, conseguir un valor tan pequeño de µ no es posible debido a que cuando se construye un modelo físico del oscilador el valor de este parámetro viene fijado por los componentes del circuito. En concreto, en el oscilador puente de Wien el menor valor posible es de µ = 2. Otra conclusión que se puede sacar del estudio realizado, es que el uso de este tipo de osciladores está limitado a aplicaciones que no requieren una alta pureza espectral de la señal porque en el espectro aparecen frecuencias adicionales a la fundamental. En el caso particular del puente de Wien aparecen componentes de frecuencia en todos los múltiplos impares, aunque como se ha demostrado la amplitud de estos armónicos es pequeña en comparación con la de la frecuencia fundamental del circuito. Además, en la práctica, la saturación de los operacionales no es simétrica, lo que agrava el problema, ya que introduce aun más componentes en frecuencias no deseadas. Para solucionar este problema habría que limitar la saturación de la etapa amplificadora por debajo de los niveles de alimentación del amplificador operacional.


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El oscilador puente de Wien es un sistema de segundo orden que utiliza una red RC. Este tipo de redes se utilizan para frecuencias bajas ( por debajo de 1MHz). Si queremos obtener frecuencias mayores deberemos utilizar una red de realimentación LC, como la que utilizan los osciladores de Hartley, Colpitts (sistemas de tercer orden) o el oscilador resonante (de segundo orden). En concreto, el oscilador de Colpitts es utilizado cuando se requiere una señal con muy pocas componentes armónicas. En futuros desarrollos sería interesante estudiar estos circuitos y averiguar de qué parámetros adicionales dependen. El método de estudio sería parecido al desarrollado en este proyecto porque a pesar de tener un orden mayor, los criterios de oscilación son los mismos que los del puente de Wien. Por ejemplo, una diferencia a la hora de estudiar la estabilidad sería que las trayectorias que sigue la respuesta hasta llegar a un ciclo estable recorren el espacio en lugar de estar contenidas en un plano. Además sería interesante realizar el estudio a frecuencias mayores ya que este tipo de circuitos tienen un buen comportamiento a altas frecuencias.


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Bibliografía [1] Oetiker, T., Partl, H., Hyna, I., Schlegl, E. , The Not So Short Introduction to AT X 2ε, Diciembre 2009. L E [2] Sedra, A., Smith. K. , Microelectronic Circuits, Oxford Univ. Press. 1998. [3] Joedan, D. W., Smith, P. , Nonlinear Differential Equations, Oxford Univ. Press. 1987 2nd edition. [4] Pérez, C., MATLAB y sus Aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería , PEARSON EDUCACIÓN. S.A. Madrid 2002. [5] Universidad Pontificia Comillas , Página web de Proyectos Fin de Carrera. http://www.iit.upcomillas.es/pfc


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DOCUMENTO II

PRESUPUESTO

Índice 1. Mediciones

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2. Precios unitarios

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3. Sumas parciales

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4. Presupuesto general

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Capítulo 1 Mediciones En este apartado se pretende mostrar los recursos utilizados para el desarrollo de este proyecto. Al ser un proyecto de investigación se han tenido en cuenta solo los recursos humanos empleados. Horas de trabajo invertidas Partida Horas Investigación previa 70 Programación y diseño del modelo matemático 150 Trabajo en el laboratorio 35 Escritura 50 305

Tabla 1. Horas de trabajo


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Capítulo 2 Precios unitarios En la tabla 2 se definen los precios de las actividades. Estas se han dividido en tres tipos: ingeniería, técnico de laboratorio y redacción y maquetación. A continuación se define que partidas corresponden a cada tipo de actividad: Ingeniería: • Investigación previa. • Programación y diseño del modelo matemático.

Técnico de laboratorio: • Trabajo en el laboratorio.

Escritura: • Redacción y maquetación.

Precio de las actividades Actividad (e /año) e ( /hora) Ingeniería 24000 13,63 Técnico de laboratorio 18000 10,23 Redacción y maquetación 15000 8,52

Tabla 2. Tabla de precios unitarios Se han seguido los siguientes criterios: El coste de programación se ha cobrado a coste de ingeniería ya que al tratarse de un proyecto de investigación las tareas de programación y diseño están ligadas. Se ha supuesto que en un año se cuenta con un mes de vacaciones, se trabajan 20 días al mes y 8 horas al día.


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Capítulo 3 Sumas parciales En este apartado aparece el coste total de cada actividad realizada en el proyecto. Horas de trabajo invertidas Partida Horas (e /hora) Total (e) Investigación previa 70 13,63 954,1 Programación y diseño del modelo matemático 150 13,63 2044,5 Trabajo en el laboratorio 35 10,23 358,05 Escritura 50 8,52 426

Tabla 3. Sumas parciales


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