1. CAPÍTULO Ⅰ 1.1.
RESUMEN EJECUTIVO
El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales tiene como objetivo conocer los diferentes sistemas existentes y posteriormente dar solución a estos. Sin embargo, para el desarrollo del presente trabajo es necesario conocer algunos fundamentos del algebra lineal, como son las matrices. Para el análisis de los diferentes sistemas se tiene: sistemas compatibles (determinada, indeterminada), sistemas incompatibles y los sistemas homogéneos. homogéneos. Posteriormente concluyendo así, si el sistema es apto para su resolución. Analizado el sistema se procede a resolver, con cualquiera de los métodos: Eliminación Gaussiana, Gauss-Jordan y Factorización LU. La aplicación de estos métodos dependerá del tipo de matriz que se genera a partir del sistema lineal. Deducido los métodos mencionados, como paso siguiente fue operar problemas aplicables a la minería en programas como el Microsoft Excel y MatLab. Concluyéndose, que, al ser métodos directos, siempre obtendremos la misma respuesta; y que la diferencia se encuentra en la forma de resolverlos.
ÍNDICE CAPÍTULO Ⅰ .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................ ...................... 1 1.1. RESUMEN EJECUTIVO ............................... ..................................................... ............................................. ............................. ...... 1 1.2. OBJETIVOS GENERALES .............................. ..................................................... .............................................. ........................... 3 1.3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................... .................................................................. ................................. .......... 3 1.4. ALCANCE...................................................... ............................................................................ ............................................. ............................. ...... 4 2. CAPÍTULO Ⅱ: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES ........................... LINEALES .............................. ... 5 2.1. FORMA DE UNA ECUACIÓN LINEAL ........................... ................................................. ............................. ....... 5 2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES........................................... ...................................................... ........... 6 2.3. MÉTODOS DIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALES ............................... ............................... 7 2.4. FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA LINEAL ............................................... ................................................... 7 2.4.1. MATRIZ Y DETERMINANTE........................................... ................................................................. ...................... 7 2.5. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR INVERSIÓN DE MATRICES ............................................................ ................................................................................... ....................... 13 2.6. TEOREMA DE RANGO........................................... .................................................................. ...................................... ............... 14 2.7. ELIMINACIÓN GAUSSIANA............................................ ................................................................... ........................... .... 16 2.8. MÉTODO GAUS JHORDAN .......................................... ................................................................. ............................... ........ 18 2.9. FACTORIZACIÓN MATRICIAL TRIANGULAR ........................... ....................................... ............ 19 3. CAPÍTULO Ⅲ: ANÁLISIS Y RESULTADOS ........................................... .................................................... ......... 20 3.1. ANÁLISIS ........................................... ................................................................. ............................................ ...................................... ................ 20 4. CAPITULO Ⅳ: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES RECOMENDACIONES .............. .......................... ............ 26 4.1. CONCLUSIONES .......................................... ................................................................ ............................................ ........................... ..... 26 4.2. RECOMENDACIONES............................................ ................................................................... ...................................... ............... 26 5. CAPITULO Ⅴ: BIBLIOGRAFÍA ........................................... .................................................................. ............................... ........ 27 1.
2
1.2.
OBJETIVOS GENERALES
Conocer el concepto de sistemas lineales con el objetivo de dar solución a estos con el uso de programas como son el Microsoft Excel y Matlab. y Matlab. 1.3.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Tener en claro los diferentes métodos aplicables a la solución de sistemas lineales. 2. Distinguir las diferencias de cada método a partir de un ejercicio simple, aplicada a la minería. 3. Dar a conocer los algoritmos de cada método. 4. Obtener la capacidad analítica para la aplicación del método adecuado, en la resolución del problema.
3
1.4.
ALCANCE
El presente trabajo guiara al lector en la resolución de los diferentes problemas de sistemas lineales, aplicados a cualquier campo de trabajo que requiera la obtención de tantas variables sea posibles. Para facilitar la obtención de los resultados, se maneja programas como el Matlab, Matlab, cuya forma de programación es práctica.
4
2. CAPÍTULO Ⅱ: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES Históricamente el primer trabajo de algebra lineal consistió en resolver un sistema de ecuaciones lineales. El problema de encontrar métodos sencillos y poco laborioso para resolver sistemas sigue interesando a los investigadores del hoy. Existen analogías entre la geometría analítica y el álgebra lineal que nos conducen el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales; una recta en el plano viene dada por una ecuación lineal de dos variables (las coordenadas coordenadas de un punto arbitrario de la recta). Un plano en el espacio viene dado por una ecuación lineal en tres variables; una recta en el espacio por dos ecuaciones lineales con tres variables. 2.1.
FORMA DE UNA ECUACIÓN LINEAL
Tiene la forma:
. . ⋯. , , … , , , … ,
Donde los coeficientes , así como el termino independiente , son escalares de un cuerpo conmutativo , y son las incógnitas.
Resolver una ecuación es hallar su solución general. Una solución particular de la ecuación anterior es una n-upla de escalares tal que . La solución general (o simplemente la solución) de la l a ecuación es el conjunto formado por todas las soluciones particulares.
, , … , . . ⋯.
2.1.1. TIPOS DE ECUACIONES LINEALES
ECUACIÓN COMPATIBLE: Es aquella que tiene alguna solución; puede ser, a su vez, compatible determinada, cuando tiene única solución; y compatible indeterminada cuando tiene más de una solución (en este caso tendrá infinitas i nfinitas soluciones). ECUACIÓN INCOMPATIBLE: Es aquella que no tiene ninguna
solución;
0.0. 0. ⋯0 ⋯ 0. ≠ 0 . . ⋯. 0 , con
.
ECUACIÓN HOMOGÉNEA: Es la que tiene nulo el termino
independiente; independiente; es decir, es una ecuación de la forma:
5
2.2.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Se llama sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de ecuaciones ecuaciones lineales de la forma:
.. .. ⋯ . 1 ⋯ . 2 ⋮ ⋮ {. . ⋯. ∀ 1, 1 , 2 , … , ; ∀ 1, 1 , 2 , … , ∀ 1, 1 , 2 , … , , , … , , , … ,
Donde los coeficientes , , y los terminos independientes , ; son escalares de un cuerpo ,y son las incógnitas. Una solución particular del sistema anterior es una n-upla de escalares ( ) que sea solución de cada una de las ecuaciones del sistema. La solución general del sistema es el conjunto formado por todas las soluciones particulares. 2.2.1. TIPOS DE SISTEMAS LINEALES
SISTEMAS COMPATIBLES: Es aquella que tiene alguna solución; puede ser, a su vez, compatible determinada, cuando tiene única solución; y compatible indeterminada cuando tiene más de una solución (en este caso tendrá infinitas i nfinitas soluciones). SISTEMAS INCOMPATIBLES: Es aquella que no tiene ninguna solución. SISTEMAS HOMOGÉNEAS: Es la que tiene nulo el termino independiente; independiente; es decir, es un sistema de la forma:
. .. ⋯ . ⋯ . ⋮ ⋮ {. . ⋯. , , … , α.α. ,α., … , α . , , … , α ∈′′K, ′′, … , ′ ′′, ′′, … , ′′
Propiedades: La n-upla (0,0,… (0,0,…,0) ,0) es siempre una solución particular de todo sistema homogéneo y se denomina solución trivial. Si las n-uplas ( ) es una solución particular de un sistema homogéneo, entonces también lo es las n-uplas ( ) sea cual sea . Si las n-uplas ( ) y ( ) son dos soluciones particulares de un sistema homogéneo, también lo es las n-upla suma ( ).
6
2.3.
MÉTODOS DIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALES
Los métodos directos son: El método de Eliminación de Gauss El método de Gauss-Jordan El método LU El método de Cholesky
2.4.
FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA LINEAL
El algebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, espacio dual, sistema de ecuaciones lineales y de una manera más formal, espacios funcionales y sus transformaciones lineales. Sin embargo, para la compresión del presente trabajo se abordará temas de matrices y determinantes. 2.4.1. MATRIZ Y DETERMINANTE 2.4.1.1.
CONCEPTO DE MATRIZ Y TIPO DE MATRICES
× × . ⋯ ⋮ ⋯⋱ ⋮ ×× , ∀ 1,2, … , ; ∀ 1,1,2, … ,
Se llama matriz de orden o dimensión a un conjunto de elementos dispuestos en filas y columnas de la siguiente manera:
El elemento general de la matriz tiene asociados el subíndice , que indica la fila, fil a, y el subíndice que que indica la columna en las que se encuentra dicho elemento. Si , diremos que es una matriz de orden . Denominaremos matrices equidimendionales equidimendionales a aquellas matrices que tienen la misma dimensión; dos matrices equidimensionales y son iguales cuando . 2.4.1.2.
TIPOS DE MATRICES
1 1 ∈
A continuación, se muestran las matrices más comunes: Matriz fila: Matriz con una única fila, . Matriz columna: Matriz con una única columna, . Matriz cuadrada: Matriz en la que el número de filas y de columnas coincide, . El conjunto de las matrices cuadradas de orden se denota por o simplemente por . Denominaremos diagonal principal de una matriz al
×
7
× ∀ 1,1,2,3, … , ≠ 0 ×× =0(×) 0
conjunto formado por los elementos , . Matriz rectangular: Matriz en la que el número de filas y de columnas no coincide, . Matriz nula: Matriz cuyos elementos son nulos, . La matriz nula de dimensión se denota por o simplemente por . Matriz opuesta: Dada una matriz
, se dice que
= () = − , ∀ = 1,1,2,3, … , ; ∀==1,1−,2,3, … , = = 0,∀ 0, ∀ > = () = 0,∀ 0, ∀ < = () = 0, ∀ ≠ es su opuesta si cumple que
, o lo que es lo
mismo
.
Matriz triangular superior: Matriz cuadrada
cuyos
elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos, .
Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada
cuyos
elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos, .
Matriz diagonal: Matriz cuadrada
cuyos elementos
situados fuera de la diagonal principal son nulos, .
Matriz identidad: Matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son unos. La matriz identidad de dimensión se denota por .
2.4.1.3.
OPERACIONES CON MATRICES
A. SUMA DE MATRICES
, ∈ × ∈ × Sean las matrices
, la suma de ambas se define como:
= + , ∀ = 1,1,2,3…,… , ; ∀ = 1,1,2,3, … , + ++ =+ =+ + + , siendo .
Propiedades:
B.
Conmutativa:
Asociativa:
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
∈ ∈ ℝ × ∀=.1,1,2,3…,…,; ∈∀=×1,1,2,3, … , = .. ,
Sea la matriz y sea un escalar, el producto del escalar por la matriz se define como: , siendo
.
Propiedades:
+ ++ == . ..+ . ++ . . . .. . . = .. . .
Distributiva/Suma de matrices:
Distributiva/Suma de números:
Asociativa:
8
C.
PRODUCTO DE MATRICES
El producto de dos matrices se puede realizar cuando el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda. Es decir, se puede realizar el producto cuando y . La matriz resultante C tendrá tantas filas como la matriz A y tantas columnas como la matriz B: , siendo .
. ∈ × ∈ × ∀.1,1,2,… ,;∀∈ ×1,1,2, … , ∑= , ×. × × Ejemplo:
. = .. ++ .. ++ .. .. ++ .. ++ ..
Propiedades:
2.4.1.4.
(×. ×).). × = ×. (×. ×) × . (× + × ) = × . × + ×. × .. ≠ .. Asociativa:
Distributiva:
La propiedad conmutativa no se cumple:
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
∈ ⋯ det || ⋮ ⋯⋱ ⋮
A toda matriz cuadrada se le asocia un escalar que se denomina determinante de la matriz y que se denota por:
A. DETERMINANTES DE ORDEN 2 Y 3
El determinante de una matriz cuadrada de orden 2 se puede calcular de la siguiente manera:
| | . . | |
El determinante de una matriz cuadrada de orden 3 se puede calcular mediante el siguiente método conocido como la regla de Sarrus: = =
9
. . . .. . . .. . . .
B. DETERMINANTE DE CUALQUIER ORDEN
Para calcular el determinante de una matriz de dimensión mayor o igual que 4, es necesario introducir los siguientes conceptos: conceptos:
∈ α ∈ A A A 1+. α | | | ∑|= ∑=.. 4 1 2 21 2 1 10 | | 4 + 2 1 + 1 1
Definición: Dada una matriz , el menor complementario del elemento se denota por y es el determinante de la submatriz que resulta al eliminar la -ésima -ésima fila y la -ésima -ésima columna de la matriz . Definición: Dada una matriz , el adjunto ( del del elemento se denota por y se calcula de la siguiente manera:
Entonces el determinante de una matriz de dimensión , se calcula realizando la suma de los productos de los elementos de una fila (o de una columna) por sus adjuntos. Si se desarrolla la -ésima -ésima fila: Si se desarrolla la -ésima -ésima columna:
Ejemplo: Comprobar:
;
AA 11+ 1 02 15 AA 11+ 12 2 0 22 + 24 12 1 0 4 + AA 11+ 21 20 3 4A A 1+14 2 112 6 + 24 11 1 1 A 1 1 2 7 ;
;
;
;
A 21 42 65
3 2 7 | | | 4| × 14 × 11 × 21×2 2×5 2×34 4 2×5 2×3
Para la fila 1: Para la columna 1:
C. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Al intercambiar dos filas o dos columnas de un determinante, su valor cambia de signo. 10
2.4.1.5.
Al multiplicar una fila o una columna de un determinante por un escalar, su valor numérico queda multiplicado por ese escalar, luego debemos compensar dividiendo al determinante por ese mismo escalar. Si en un determinante una fila (o columna) es combinación lineal de otras filas (u otras columnas), su valor es cero. Por tanto, en un determinante las filas son linealmente independientes. Si en un determinante a una fila (o a una columna) se le suma una combinación lineal de otras filas (o de otras columnas), su valor no varía. El determinante de una matriz triangular o diagonal, es el producto de los los elementos de la diagonal principal. principal.
| . | ||. ||
TRASPUESTA DE UNA MATRIZ
∈ × ∈ × , ∀ 1,2, … , ; ∀ 1,2, … , .. ... ∈ ℝ | | || ∈ ∀ 1,1,2, … , ;∀; ∀ 1,1,2, … , , ∈ , ∀ 1,1,2, … , ;∀; ∀ 1,1,2, … , . .. −
Dada una matriz , su traspuesta se denota por y se obtiene a intercambiar las filas por las columnas y viceversa, sin variar el orden de las mismas:
Propiedades de la traspuesta de una matriz:
, siendo
2.4.1.6.
Una matriz cuadrada es simétrica si cumple que , o lo que es lo mismo mi smo si . Una matriz cuadrada es antisimétrica si cumple que , o lo que es lo mismo mi smo si .
MATRIZ INVERSA
Una matriz cuadrada es regular si existe su inversa (el elemento simétrico respecto del producto de matrices), es decir, si existe la matriz tal que . Entonces es la inversa de A y se denota por . En caso contrario se dice que la matriz es singular. 11
La condición necesaria y suficiente para que una matriz sea regular es que su determinante sea no nulo:
| | ≠ 0 ⇔ −. −−−− −. − − −− ∈ matriz regular
Propiedades de la matriz inversa: En el caso de que exista la inversa de una matriz, esta es única.
−
Una matriz cuadrada es ortogonal si su inversa coincide con su traspuesta, es decir,
A. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA MEDIANTE ADJJUNTOS
La inversa de una matriz se puede calcular mediante la siguiente fórmula:
− | | | |
∈ ×
Siendo la matriz adjunta que se obtiene al sustituir cada elemento de la matriz por su adjunto.
2.4.1.7.
RANGO DE UNA MATRIZ
Dada una matriz , los elementos pertenecientes a filas y a columnas prefijadas forman una submatriz de . El determinante de esta submatriz se denomina menor de orden m de la matriz A. A. Si la matriz tiene un menor no nulo de orden , entonces las filas y las columnas que forman este menor son linealmente independientes. independientes. El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo de dicha matriz y se denota por o o .
Propiedades del rango de una matriz: El rango de una matriz no varía al multiplicar una columna (o una fila) por un escalar no nulo. El rango de una matriz no varía si a una columna (o a una fila) se le suma una combinación lineal de otras columnas (o de otras filas). El rango de una matriz no varía si se suprime una columna (o una fila) que sea combinación lineal de otras columnas (o de otras filas).
12
Ejemplo:
3 2 2 1 3 2 1 5 13 21 01 717 ( 0 1 1 4) 2 1 2 3 13 221 7171 ( 0 1 4) |2| 2 ≠ 0 23 12 1 ≠ 0 2 3 12 21 0 ; 13 12 71 0 ; 13 21 717 0 1 1 7 3 2 17 0 1 4 2
Sea la matriz:
, determinar su rango.
Descartamos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras:
a. Comprobamos si tiene rango mayor o igual que 1, para ello se tiene t iene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por lo tanto su determinante determinante no será nulo. b. Tendrá rango mayor o igual que 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo. c. Tendrá rango mayor o igual que 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.
Como todos los determinantes de la submatriz son nulos, entonces la matriz tiene un rango menor que 3, por lo tanto . 2.5.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR INVERSIÓN DE MATRICES
.. .. ⋯⋯ .. ⋮ . . ⋯ . . ∈ × det ≠ 0 Dado:
El sistema puede puede escribirse en la forma matricial , . Si y , entonces el sistema es compatible determinado. En notación matricial:
13
⋮ ⋯⋱ ⋮ . ⋮ ⋮ ⋯ − .−.. −. −. − || ⋮ 1 . ⋮ ⋯⋱ ⋮ . ⋮ ⋯ . −. − (multiplicando a la ecuación por
Teniendo en cuenta este resultado y que
)
,
Se tiene:
Pasos: 1. Expresar el sistema de ecuaciones lineales en su forma matricial . 2. Multiplicar al sistema matricial por la inversa de la matriz de coeficientes ( 3. La matriz de incógnitas ( ) se obtendrá como el producto de la inversa de la matriz de coeficientes ( ) y la matriz de términos independientes ( ). 2.6.
TEOREMA DE RANGO
Conocida así por el uso de rangos en la matriz generada a partir de un sistema de ecuaciones lineales, este teorema es conocida también como TEOREMA DE ROUCHÉ – FROBENIUS . Este teorema nace a la necesidad de saber si al resolver un sistema de ecuaciones lineales, este tendrá un resultado o si es compatible, en caso de este tiene una única solución o infinita. Dado un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas, cuya expresión general sería:
⋯⋯ ⋮ ⋯ ∗ ⋯
Sean la matriz del sistema y términos independien i ndependientes). tes).
la matriz ampliada del sistema (con los
14
a a A a a m
11
a12
a13 13
21
a22
a23 23
31
a32
a33 33
am 2
am 3
1
a n a n amn a1n 2
3
a11 a 21 A* a31 a m1
a12
a13 13
a1n
a2 2
a23 23
a2 n
a32
a33 33
a 3n
am 2
am 3
a mn
b2 b3 bm b1
∗
Al hallar el rango de estas dos matrices ( , ), ), se cumplen las siguientes propiedades: Si, (números de incógnitas), el sistema es compatible determinado (tiene una única solución). Si, (números de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones). Si, , el sistema es incompatible (no tiene solución).
∗ ∗ < ≠ ∗
Un caso particular es el de los sistemas homogéneos, es decir, aquellos en los que todos los términos independientes son nulos. Pues, en este caso, las matrices y son semejantes a efectos del cálculo del rango, dado que la matriz es la matriz a la que se le añade una columna de ceros, que podemos suprimir para calcular el rango. Por lo tanto, siempre se cumple que . Esto quiere decir que todos los sistemas homogéneos son siempre compatibles. Se cumple: Si (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado. Tiene una única solución, que se conoce con el nombre de solución trivial. Es aquella en la que todas las incógnitas i ncógnitas son nulas (0). Si (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).
∗ ∗ ∗ <
2.6.1. PROCEDIMIENTO FROBENIUS
DEL
TEOREMA
DE
ROUCHÉ
–
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales basándose en el teorema de Rouché- Fröbenius, se procede del modo siguiente: 1. Se saca el rango de la matriz generada, esto mediante determinantes. 2. Se discute el sistema, analizando los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada. 3. Si el sistema es compatible determinado, entonces se procede a resolver por cualquier método que nos ayude a obtener los valores de las incógnitas. 15
Ejemplo: Analizar el siguiente sistema, mediante el teorema Rouché- Fröbenius.
22 12 33 57 2 3 3 2 1 3 | | 22 23 03 18 ≠ 0 3 ∗ 22 12 33 57 → 22 21 57 3 0 3 2 2 3 3 ∗ 4∗ ≠ 0 ∗ 3 3 ∗ 3 3 ∗ 3 Como
, entonces
Como Entonces:
, entonces
Donde:
Entonces se dice que el sistema es compatible determinado, es decir, tiene una única solución. De aquí se procederá a resolver el sistema.
2.7.
ELIMINACIÓN GAUSSIANA
Muchos problemas de Ingeniería o Matemática Aplicada se reducen a resolver un sistema de ecuaciones lineales. De aquí la importancia de estos y el interés de sus métodos de resolución. La eliminación gaussiana también conocido como algoritmo de Gauss, se utiliza para reducir una matriz. En su aplicación sólo requiere operaciones elementales de renglón. El uso de eliminación Gaussiana no sólo se limita a resolver sistemas de ecuaciones lineales sino también se puede aplicar al cálculo de inversas de matrices o a la comparación de espacios generados. Es decir, es un método genérico, por lo tanto, no debe suponer que la matriz es una matriz aumentada de un sistema. Hasta el momento, es el método que requiere menos operaciones aritméticas cuando se aplica a una matriz general. Su respectivo algoritmo para la resolución r esolución por este método es la siguientes: si guientes: I.
Fase de Escalonamiento Escalonamiento 1. Determine la primera columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercambie el 16
renglón por un reglón inferior que no tenga cero en esa posición. 3. Por eliminación (operaciones entre filas), obtenga ceros abajo del elemento delantero (pivote) en los renglones debajo de él, como también obtener que en la diagonal principal esté el el uno. 4. Cubra el renglón y la columna de trabajo tr abajo y repita el proceso comenzando en el paso 1. II.
Cálculo de cada variable 1. Obtenidos los ceros abajo y unos en la diagonal principal, se procede a calcular cada variable con sencillas ecuaciones.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema mediante el método de eliminación gaussiana.
22 12 33 57 22 3 3 33 I.
2 2 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
Fase escalonamiento
1
2 1 3 5 0 3 0 2 2 3 7 0 2 3 2 3 0 3 1 3 5 1 1 2 3 2 5 2 2 3 0 2 0 3 0 2 2 3 2 2 3 2 0 1 2 3 2 5 2 1 1 2 3 0 2 3 2 0 0 3 2 3 2 0 1 2 3 2 5 2 1 1 2 3 2 3 3 0 2 1 0 0 0 0 3 2 3 0 3 1 2 3 2 5 2 1 1 2 3 2 1 0 2 3 1 0 0 3 0 0 3 2 3 0 1 3
5
F 2
F2
F2
F 1
F3
F3
F 1
F 2
F3
F 2
F 3
F3
F 2
F 3
F 2
3 2 0 3
5 2
3
2 2
2 3 2 3 5 2 2 3 2 9 5 2
17
II.
Cálculo de cada variable 2 z
y 0( z )
x
9
1 2
( y)
5 x
2.8.
0.222
2
2 3 3 2
y
(z)
5
2
3
2
0.667 x
1 2 3 2 5 ( ) ( ) 2 3 2 9 2
2.50
MÉTODO GAUS JHORDAN
El método de Gauss-Jordan es una variante del método de Gauss. Cuando se elimina una incógnita en una ecuación, Gauss-Jordan elimina esa incógnita en el resto de las ecuaciones, tomando como base para la eliminación a la ecuación pivote. También todos los renglones se normalizan cuando se toman como ecuación pivote. El resultado final de este tipo de eliminación genera una matriz identidad en vez de una triangular como lo hace Gauss, por lo que no se usa la sustitución hacia atrás. En otras palabras, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener obtener una matriz diagonal. diagonal. 2.8.1. PASOS PARA DETERMINAR ECUACIONES CON EL MÉTODO DE GAUSS JORDAN
1. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método Gauss Jordan, debemos en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la notación matricial. 2. Luego de realizado lo anterior procederemos a transformar dicha matriz en una matriz identidad, o sea una matriz equivalente a la inicial. 3. Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las matrices, restas, sumas, multiplicaciones y divisiones. 4. En dicha matriz identidad no vemos los términos independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz original alcance la matriz identidad, los términos serán la solución del sistema y verificarán la igualdad para cada variable que se corresponderán.
18
Ejemplo:
33433 2 2 1 2 3
, ordenando
33433 2 2 1 2 2 3
Matricialmente se puede representar de la siguiente manera: Matriz original -3 3 2 1 4 1 -1 2 1 -2 1 3
El objetivo es encontrar la matriz identidad, el cual es una matriz con 0 y 1, donde los 1 están en la diagonal principal.
Matriz final 1 0 0 0 1 0 0 0 1
2.9.
FACTORIZACIÓN MATRICIAL TRIANGULAR
2.9.1. FACTORIZACION LU
Es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Supongamos que una matriz puede ser escrita como el producto de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior esto es:
. . ..
Entonces decimos que tiene una factorización f actorización
.
2.9.2. PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR T RIANGULAR SUPERIOR (MATRIZ U)
1. Hacer cero todos los valores debajo del pivote sin convertir este en 1. 2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero los valores v alores debajo del pivote. 3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote. 4. Este factor multiplicado por -1, se multiplica luego por el pivote y a ese resultado de le suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá en cero). 2.9.3. PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR T RIANGULAR INFERIOR (MATRIZ L)
1. Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de cada pivote, así como también convertir en 1 19
cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de factor explicado anteriormente y se ubican todos los factores debajo de la diagonal según corresponde en cada uno. 2. Esquemáticamente Esquemáticamente se busca lo siguiente:
1 0 0 1 01 ;; 00 0 .. .
2.9.4. PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE FACTORIZACIÓN LU
1. Obtener la matriz triangular inferior y la matriz triangular superior . 2. Resolver ( :términos independientes de la matriz )(para encontrar ). 3. El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre . 4. Realizar (para encontrar ). 5. El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada , la cual brinda los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.
3. CAPÍTULO Ⅲ: ANÁLISIS Y RESULTADOS La resolución de sistemas de ecuaciones lineales, puede ser realizado por diversos métodos ya ya detallados en el capítulo Ⅱ. Sin embargo, se desconoce la dificultad de empleo y extensión de los procedimientos de cada método. Este capítulo se centrará en la comparación de los diversos métodos desarrollados en una hoja de cálculo, Microsoft cálculo, Microsoft Excel . 3.1.
ANÁLISIS
Dado el siguiente problema: “Una compañía minera recibió un contrato para suministrar 70 ’000 toneladas de mineral de hierro de baja calidad, 181 ’000 toneladas de mineral de hierro de calidad intermedia y 41’ 41 ’000 toneladas de mineral de hierro de alta calidad. La mina A produce por cada día de operación 8 ’000 toneladas de mineral de baja calidad, 5’ 5 ’000 toneladas de mineral de calidad intermedia y 1’ 1’000 toneladas de mineral de alta calidad. La mina B produce por cada día de operación 3 ’000 toneladas de mineral de baja calidad, 12’ 12’000 toneladas de mineral de calidad intermedia y 3 ’000 toneladas de mineral de alta calidad. La mina C produce por cada día de operación 1’ 1’000 toneladas de mineral de baja calidad, 10’ 10 ’000 toneladas de mineral de calidad intermedia y 2’ 2 ’000 toneladas de mineral de alta calidad. 20
¿Cuántos días debe operar cada mina para que la compañía minera cumpla con su contrato sin que sobre mineral de baja, intermedia o alta calidad ?” Sea:
: N° de días que opera la mina A : N° de días que opera la mina B : N° de días que opera la mina C
El sistema de ecuación lineal será:
8000. 3 0 0 0. 1 0 0 0. 70000 5000.1000. 12000. 10000. 181000 3000. 2000. 41000 8.8.5.5. 123.. 110.. 70181 1.1. 3. 2. 41
Este sistema se puede reducir a:
Determinar el rango de la matriz normal (A) y extendida (A*): 8 A 5 1 Como A
8 A* 5 1
10 2
3
1
12 3
192 30 30 15 12 24 240 30 45
0 rango( A) 3
3
1
12
10 10
3
2
Como A *
A
8 181 5 18 1 41 70 70
1 10 2
181 18 41 41 70 70
A * A *
3280 700 181 700 205 2896 360
0 rango( A*) 3
Dónde: números de incógnitas (n) = 3 Como: rango( A) rango( A*) n Entonces se puede decir que el sistema es compatible determinado, es decir, tiene una única solución.
21
3.1.1. SOLUCIÓN POR LA MATRIZ INVERSA
1. Representar de manera matricial el sistema lineal en el Microsoft Excel . A 8 5 1
3 12 3
1 10 2
X XA X B XC
B 70 181 41
2. Obtener la matriz inversa del ordenamiento matricial de coeficientes, utilizando el comando MINVERSA(“definimos la matriz”) y pulsamos Ctrl+Ship+Enter .
0.13333333 0.06666667 -0.4 2.193E-17 -0.3333333 1.66666667 -0.0666667 0.46666667 -1.8 3. Obtener la solución matricial al multiplar la matriz inversa de coeficientes con la matriz de términos independientes, con el control MMULT(“definimos la matriz:definimos la matriz”) y pulsamos Ctrl+Ship+Enter.
5 8 6
XA = 5 XB = 8 XC = 6
22
3.1.2. SOLUCIÓN POR ELIMINACIÓN GAUSSIANA
8
x
+
3
y
+
1
z
=
70
5
x
+
12
y
+
10
z
=
181
1
x
+
3
y
+
2
z
=
41
Procedimiento 8
3
1
=
70
5
12
10
=
181
1
3
2
=
41
8
3
1
=
70
0
-81
-75
=
-1098
0
-21
-15
=
-258
8
3
1
=
70
0
-81
-75
=
-1098
0
0
360
=
2160
Despeje z
=
6.00
y
=
8.00
x
=
5.00
3.1.3. SOLUCIÓN POR GAUSS-JORDAN 8
3
1
70
5
12
10
181
1
3
2
41
1
0.375
0.125
8.75
0
10.125
9.375
137.25
0
2.625
1.875
32.25
23
1
0 -0.22222222 3.66666667
0
1
0
0.92592593 13.5555556 0 -0.55555556 3.33333333
1
0
0
5
0
1
0
8
0
0
1
6
XA
5
XB
8
XC
6
3.1.4. SOLUCIÓN POR FACTORIZACION LU Coeficientes de la ecuación 8
3
1
70
5
12
10
181
1
3
2
41
a1
-0.625
a2
-0.125
Matriz U
a3
8
3
1
0
10.125
9.375
0
2.625
1.875
-0.25925926 matriz U 8
3
1
0
10.125
9.375
0
2.625
1.875
matriz L 8
3
0
10.125
0
1
9.375 0 0.55555556
24
Sacamos los valores de las Y con la ayuda de la matriz L 0
0
70
Y1
70
1
0
181
y2
137.25
0.259
1
41
y3
-3.29775
Sacamos los valores de X con ayuda de la matriz U y los valores de Y 8
3
1
70
XA
5
0
10.125
9.375
137.25
XB
8
0
0
-0.55555556
-3.29775
XC
6
25
4. CAPITULO Ⅳ: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 4.1.
CONCLUSIONES
1. Los métodos analizados tienen diferentes procedimientos; sin embargo, todas nos conducen al mismo resultado. 2. Al llegar al mismo resultado, concluimos que la elección de cada método a aplicar es decisión propia, es decir, dependerá de la facilidad con que el individuo se relacione r elacione con cada método. 3. El uso de programas como el Microsoft Excel o Excel o Matlab, Matlab, facilitan las operaciones a realizar. 4. El correcto seguimiento a los procedimientos de los distintos métodos, nos otorgara una mejor capacidad analítica. 4.2.
RECOMENDACIONES
1. El método más factible a ejecutar o que menos operaciones necesita es el Método de Eliminación Gaussiana. 2. La práctica continua en la solución de problemas, nos permitirá una mejor comprensión de cada método expuestos.
26
5. CAPITULO Ⅴ: BIBLIOGRAFÍA
http://recursostic.educacion.es/de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales scartes/web/materiales_didacticos/sistem _didacticos/sistemas_de as_de _ecuaciones_lineales_2bc _ecuaciones_lineales_2bcnt/discusion_por_e nt/discusion_por_el_teorema_de_rou l_teorema_de_rouche.htm che.htm https://www.hiru.eus/es/matematicas/teorema-de-rouche-frobenius http://gymlab.ccm.itesm.mx:8080/NewtonRe http://gymlab.ccm.itesm.mx:8080/NewtonRepositorio/305/algebra-linealpositorio/305/algebra-linealeliminacion-gaussiana.pdf http://www.dicis.ugto.mx/profesores/chema http://www.dicis.ugto.mx/profe sores/chema/documentos/Alge /documentos/Algebra%20Lineal/Alg bra%20Lineal/Alg ebra_lineal_3_ProblemasDeSoluc ebra_lineal_3_ProblemasDeSolucionDeEcuac ionDeEcuaciones.pdf iones.pdf http://departamento.us.es/edan/php http://departamento.us.es/edan/php/asig/LICMAT/LMCN1/Te /asig/LICMAT/LMCN1/Tema4CN10708.pdf ma4CN10708.pdf http://www.dicis.ugto.mx/profesores/chema http://www.dicis.ugto.mx/profe sores/chema/documentos/Alge /documentos/Algebra%20Lineal/Alg bra%20Lineal/Alg ebra_lineal_3_ProblemasDeSoluc ebra_lineal_3_ProblemasDeSolucionDeEcuac ionDeEcuaciones.pdf iones.pdf http://www.ehu.eus/olatzgz/curso%20 http://www.ehu.eus/olatzgz/curso%20cero/algebra/alge cero/algebra/algebra_lineal.pdf bra_lineal.pdf http://ocw.upm.es/algebra/algebra-y-ge http://ocw.upm.es/algebra/algebra-y-geometria/contenidos/apun ometria/contenidos/apuntes/matrices tes/matrices https://addi.ehu.es/bitstream/handle/108 https://addi.ehu.es/bitstream/handle/10810/16209/Libro%20 10/16209/Libro%20completo_DEPOSI completo_DEPOSI TO%20LEGAL.pdf;jsessionid=D324 TO%20LEGAL.pdf;jsessionid=D3240FCA2ABAE5E2C 0FCA2ABAE5E2CB2E5824CDD2EC B2E5824CDD2EC9E? 9E? sequence=1
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