GUÍA DIDÁCTICA
UNIDAD
4
1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Su Suge gerrenc encias ias di didác dáctic ticas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3 Actividades de ref refuerzo uerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sucesiones. Progresiones
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O S E
CONTENIDO
*También la podrás encontrar en el CD Programación.
Programación de aula Unidad
4 Sucesiones.
Progresiones
En este tema se estudian las sucesiones, estableciendo su definición y deteniéndose en el estudio de las progresiones aritméticas y geométricas. Es importante que los alumnos entiendan y manejen con soltura la notación de las sucesiones; que sepan en todo momento que el subíndice de un término indica el lugar que ocupa dicho término dentro de la sucesión. También deben entender el significado de la ley de formación de una sucesión relacionándola, en su caso, con su término general, el cual permite obtener todos los términos de la sucesión. Por último, es fundamental que distingan las progresiones aritméticas de las geométricas y que sepan cómo obtener el término general de ambas a partir de unos pocos datos.
OBJETIVOS 1.
2.
Identificar sucesiones y deducir su término general.
Distinguir las progresiones aritméticas y geométricas del resto de las sucesiones, obteniendo su regla de formación, y aplicarlas a la resolución de problemas.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1.1.
Obtener términos de una sucesión y deducir su regla de formación.
2.1.
Identificar una progresión aritmética y calcular correctamente la suma de n términos consecutivos.
2.2.
Identificar una progresión geométrica y calcular correctamente la suma de n términos consecutivos.
2.3.
Aplicar las progresiones aritméticas a la resolución de problemas.
2.4.
Aplicar las progresiones geométricas a la resolución de problemas.
COMPETENCIAS BÁSICAS
• Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender • Autonomía e iniciativa personal
CONTENIDOS • Regularidad. Sucesión. • Término de una sucesión. Término general. • Sucesiones recurrentes. • Operaciones con sucesiones. • Progresión aritmética. Diferencia. • Término general de una progresión aritmética. • Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética. • Progresión geométrica. Razón. • Término general de una progresión geométrica. • Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica. • Identificar sucesiones y hallar, en su caso, su término general. • Cálculo de términos en una sucesión recurrente. • Obtención del término general de una progresión aritmética.
2
Unidad 4
Sucesiones. Progresiones
• Cálculo de los términos de una progresión aritmética. • Cálculo de la suma de n términos de una progresión aritmética. • Obtención del término general de una progresión geométrica. • Cálculo de los términos de una progresión geométrica. • Cálculo de la suma de n términos de una progresión geométrica. • Resolución de problemas que impliquen progresiones. • Interpolación aritmética y geométrica (problemas) • Valoración de la aplicación de las sucesiones en diversas disciplinas: economía (interés compuesto y análisis técnico), física (distancia interplanetaria), biología (distribución de frutos según la ley de Fibonacci). • Interés por la observación y el estudio de regularidades presentes en la vida cotidiana.
Programación de aula
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1.
Conocimientos previos
Este tema es nuevo para todos los alumnos, por lo que los conocimientos anteriores necesarios se reducen al buen conocimiento de las operaciones aritméticas con números reales y al dominio del álgebra básica que han estudiado en 1.° y en 2.° de ESO, especialmente el cálculo de valores numéricos de una expresión. 2.
Previsión de dificultades
Aunque la operatividad no es complicada y la idea intuitiva se asimila con rapidez por los alumnos, la aplicación de las fórmulas que aparecen en el tema suele generar muchas dificultades. Los alumnos se pierden al sustituir y al emplear las diferentes expresiones. Mención especial merece la interpolación tanto aritmética como geométrica, tema en el que suelen cometer errores frecuentes. 3.
Vinculación con otras áreas
En la unidad se plantean algunos problemas relacionados con otras partes de la matemática y con otras ciencias. En cuanto a la vida cotidiana, se pueden citar el interés simple y compuesto como ejemplos de progresiones aritméticas y geométricas, respectivamente. 4.
Esquema general de la unidad
La unidad comienza tratando la idea de regularidad para continuar con la definición de sucesión de números reales, término general y sucesión recurrente. En el tercer epígrafe se trabajan las operaciones con sucesiones para pasar inmediatamente al estudio y caracterización de las progresiones aritméticas. En estas se demuestran las expresiones del término general y de la suma de los n primeros términos. Por último, se aborda el estudio de las progresiones geométricas, hallando también aquí las expresiones para el término general y para la suma de los n primeros términos. 5.
REGULARIDADES SUCESIONES Término general
Sucesión recurrente
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Suma de n términos
Suma de n términos
Temporalización
Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en siete sesiones:
1.ª Introducción: desarrolla tus competencias. 2.ª Regularidades. Sucesiones. Término general. 3.ª Sucesiones recurrentes. Operaciones. 4.ª Progresiones aritméticas. 5.ª Progresiones geométricas. 6.ª Actividades de repaso y consolidación 7.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ej ercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.
Sucesiones. Progresiones
Unidad 4
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Programación de aula
CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetenciascomunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.
Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabaja más específicamente la subcompetencia de razonamiento y argumentación.
Competencia de interacción con el mundo físico Se trata esta competencia en aspectos relacionados con las subcompetencias de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y de medio natural y desarrollo sostenible.
Competencia social y ciudadana En la unidad se pueden trabajar las subcompetencias de desarrollo personal y social y de participación cívica.
Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información.
Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.
Competencia de autonomía e iniciativa personal Se trata la subcompetencia de liderazgo en las actividades de discusión y puesta en común del propio trabajo.
Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En esta unidad se propone un tema de debate en la actividad de Aprende a pensar sobre la intencionalidad política y económica de las representaciones cartográficas en la que, además de la competencia social y ciudadana citada explícitamente en la tabla de la página siguiente, se trabajan: COMPETENCIAS
SUBCOMPETENCIA
Lingüística
Comunicación escrita
Tratamiento de la información y competencia digital
Uso de las herramientas tecnológicas Uso ético y responsable de la información y las herramientas tecnológicas
Aprender a aprender
Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento
Autonomía e iniciativa personal
Desarrollo de la autonomía personal
En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas.
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Unidad 4
Sucesiones. Progresiones
Programación de aula
TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.
COMPETENCIA
SUBCOMPETENCIA
1. nivel de concreción 2.º nivel de concreción er
Matemática
Razonamiento y argumentación.
DESCRIPTOR
DESEMPEÑO
3. nivel de concreción
4.º nivel de concreción
er
Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de la información. Seguir determinados procesos de pensamiento, por ejemplo, inducción y deducción.
Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico.
Interacción con el mundo físico Medio natural y desarrollo sostenible.
Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.
Comprender la influencia de las personas en el medioambiente a través de las diferentes actividades humanas y valorar los paisajes resultantes.
– Reconoce regularidades en problemas matemáticos y de otras áreas. – Induce la regla asociada a una regularidad numérica o geométrica.
Actividades 9, 39, 40, 48, 94, 97 a 99 y 104 a 106. Pon a prueba tus competencias. – Reconoce las estructuras fractales en la naturaleza.
Desarrolla tus competencias: vídeos, II. – Conoce el efecto de las grandes obras públicas sobre el medioambiente.
Actividad 105. – Reflexiona sobre el peligro que supone la introducción en un ecosistema determinado de especies ajenas.
Actividad 98. – Conoce a los personajes clave de la historia de las matemáticas y sus aportaciones. Desarrollo personal y social.
Conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.
Sabías que… Fibonacci y Gauss. – Conoce las diferentes representaciones cartográficas y reflexiona sobre su intencionalidad.
Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar 5.
Social y ciudadana
Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.
Practicar la ciudadanía democrática a través del ejercicio de los derechos y deberes propios y ajenos.
– Conoce los conceptos de interés simple y compuesto y realiza cálculos con ellos.
En la red. Actividades 20 y 33. – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades.
Tratamiento de la información y competencia digital
Obtención, transformación y comunicación de la información.
Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.
Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión.
Aprender a aprender
Autonomía e iniciativa personal
Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.
Desarrollar experiencias de aprendizaje basadas en estrategias de aprendizaje cooperativo.
Liderazgo.
Desarrollar la empatía, valorar las ideas de los demás y ser capaz de afirmar y defender los derechos del grupo.
Actividades 10, 14, 27 y 38. Organiza tus ideas, autoevaluación. – Obtiene información o realiza actividades en páginas de internet.
En la red. Actividad 91. Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar: 4, 5. – Analiza información de tipo gráfico y extrae de ella los datos pedidos.
Desarrolla tus competencias: I. Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar. – Realiza actividades en grupo.
Desarrolla tus competencias: III. – Responde a cuestiones y discute la respuesta con los compañeros.
Desarrolla tus competencias: II.
Sucesiones. Progresiones
Unidad 4
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Programación de aula
EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación intercultural, para el desarrollo y para la igualdad: reflexión sobre la realidad Norte-Sur y su plasmación en los sistemas de representación cartográfica, en Aprende a pensar, actividad 5. • Educación medioambiental: actividades 98 y 105.
ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad. De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma. Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.
MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores
• Cuadernos de matemáticas. 2.° de ESO: N.° 3: Ecuaciones y sistemas. – Unidad I. Expresiones algebraicas. s o c i f á r g o i l b i B
Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM
• Cuadernos de matemáticas. 3.° de ESO: N.° 5: Proporcionalidad, progresiones y funciones. – Unidad II. Progresiones. • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.° de ESO. – Unidad 3. Sucesiones. • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3° de ESO. • Cuadernos de resolución de problemas I y II.
SM
t e n r e t n I
www.smconectados.com www.librosvivos.net
Regularidades y sucesiones en las páginas correspondientes del proyecto Descartes: www.e-sm.net/3esomatprd11 www.e-sm.net/3esomatprd12 Otros
Proporcionalidad en el tema correspondiente de la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación: www.e-sm.net/3esomatprd13
Buscadores específicos de matemáticas como www.e-sm.net/3esomatprd14 (en inglés). s e s l i o a r r t e O t a m
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Unidad 4
• Calculadora científica. • Vídeo Progresiones aritméticas, de la colección Investigaciones Matemáticas. Producido por la BBC y distribuido en España por Mare Nostrum. Ctra. de Villaverde, km 17. • Vídeo La magia de los números, de la serie de TVE Más por Menos, dirigida por Antonio Pérez.
Sucesiones. Progresiones
Sugerencias didácticas Desarrolla tus competencias La unidad comienza con un tema que puede ser muy motivador para los alumnos si se plantea de una forma adecuada. Es evidente que el concepto matemático de fractal es complejo, y no se intenta aquí que los alumnos lleguen a dominarlo. Sin embargo, las estructuras fractales que aparecen en la naturaleza, desde la foto de Doñana hasta la coliflor o las ramas de los árboles, sí son sencillas de interpretar, y es este el objetivo que se debe perseguir al explotar didácticamente esta entrada. La imagen de la sucesión de fotografías a diferentes escalas de los sistemas naturales propuestos es algo que los alumnos sí pueden llegar a apreciar y entender. Por supuesto que el visionado de los vídeos propuestos sería de gran interés, así como las actividades planteadas, incluyendo la número III, que obliga a realizar un trabajo en grupo. Los temas de los dos primeros vídeos se prestan a realizar alguna actividad conjunta con el área de Biología que, seguro, sería muy enriquecedora para los alumnos. En el caso del conjunto de Mandelbrot, puede realizarse una actividad con alguno de los numerosos programas gratuitos que hay en la red para construir este tipo de objetos (por ejemplo, Fractint). En este caso es necesaria la conducción de la actividad por parte del profesor para poder utilizarlos. Hay que tener siempre presente que el trabajo con las sucesiones puede resultar muy árido para los alumnos de este nivel. En este sentido, todas las aproximaciones a la realidad que se proponen en la entrada y en otras partes de la unidad deben aprovecharse para conseguir motivación e interés en el alumnado.
1. Regularidades y sucesiones • En este epígrafe se introduce de forma intuitiva el concepto de sucesión a partir del concepto de regularidad. Para que los alumnos identifiquen claramente regularidades sería conveniente, una vez hechos los ejemplos y ejercicios propuestos en el epígrafe, que construyeran por sí mismos ejemplos de sucesiones con regularidades. • En el ejemplo 1 y en el ejercicio 2 se puede considerar la posibilidad de construir una o dos piezas más para que así vean la secuencia y se den cuenta de que a partir de los primeros elementos pueden deducir qué va a suceder posteriormente. Mejor construirlas que dibujarlas, ya que al manipular pueden comprender mejor el p roceso. ACTIVIDADES POR NIVEL
• Se pueden escoger otros ejemplos que los alumnos identifiquen rápidamente, como las tablas de multiplicar. Una vez completada la serie, se tratará de obtener una expresión, en términos de n, que la generalice. • Aunque es un personaje muy conocido y utilizado, conviene detenerse en comentar algo sobre la vida y obra de Fibonacci. Se puede plantear como una actividad de investigación en la que los alumnos busquen y estructuren la información. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
6, 7, 43 a 45 y 48.
Medio
8, 9, 50, 51 y 98.
3. Operaciones con sucesiones • La suma, el producto por un número real y el producto de dos sucesiones son conceptos sencillos que deben ser entendidos con facilidad. No obstante, puede resultar interesante plantear ejercicios inversos, esto es, proponer a los alumnos que escriban sucesiones dadas en función de sucesiones más sencillas unidas entre sí por dichas operaciones. Por ejemplo, se propone an = n2 − n + 1, y ellos deben escribirla como an = bncn + d n, con bn = n, cn = n − 1 y d = 1. n ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
12, 13, 46 y 47.
4. Progresiones aritméticas • Antes de obtener el término general de una progresión aritmética es conveniente pedir a los alumnos que aporten sus propios ejemplos de progresiones aritméticas para ver si así han entendido el concepto. • El profesor debe valorar la conveniencia de explotar las notas al margen que aparecen en el epígrafe: la caracterización de las progresiones aritméticas como sucesiones recurrentes y, sobre todo, el interés simple como un ejemplo práctico de progresión aritmética. 20.
Esta actividad se puede realizar sin haber trabajado lo que se menciona en el párrafo anterior. Si se opta por trabajar dicho concepto, sería interesante plantear otros problemas parecidos relacionados con el interés simple.
ACTIVIDADES POR NIVEL
Básico
2, 3 y 39 a 42.
Básico
17, 18 y 52 a 55.
Medio
4 y 49.
Medio
19, 20, 56 a 61, 93 y 96.
Alto
2. Término general. Sucesiones recurrentes • Antes de hacer el tratamiento formal del epígrafe, es necesario que los alumnos hayan realizado y entendido al menos los ejercicios 3 y 4 del epígrafe anterior, en los que deben completar series de números, descubriendo la regularidad que presenta la serie.
101.
5. Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética • Al realizar la demostración de la fórmula para la suma, hay que insistir en que la suma de términos equidistantes es constante. Sucesiones. Progresiones
Unidad 4
7
Sugerencias didácticas
• Esta demostración tiene interés porque, sin ser trivial, es fácil de entender. Por tanto, es un buen ejemplo para que los alumnos empiecen a familiarizarse con las demostraciones matemáticas. • La anécdota sobre Gauss que se menciona en el lateral puede plantearse como un juego para que sean los alumnos quienes la resuelvan.
ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
22, 62 y 63.
Medio
23 a 26, 64 a 66, 92, 94, 95 y 100.
Alto
67 a 71, 102 a 104, 107, 110 y 111.
Organiza tus ideas • Como una actividad que sirva para que trabajen el esquema-resumen, los alumnos pueden asignar las actividades realizadas en la unidad a los distintos contenidos presentados en el resumen. Sería suficiente con que encontraran dos o tres ejemplos de actividades para cada apartado. De esta forma se les obliga a repasar el trabajo realizado y a reflexionar sobre los conceptos y procedimientos adquiridos. • Una segunda actividad de interés puede ser que los alumnos completen el resumen tanto con otros contenidos presentes en el tema, pero no incluidos en este esquema, como con contenidos de cursos anteriores relacionados, pero no tratados explícitamente en el tema.
6. Progresiones geométricas • Como actividad para que se acostumbren a la estructura de las progresiones geométricas y a su característica de rápido crecimiento o decrecimiento, puede realizarse un juego con la calculadora. Se puede pedir a los alumnos que den un número cualquiera como primer térmi no y otro número como razón. Se introduce en la calculadora el primer término y después se van obteniendo los siguientes, multiplicando sucesivamente por la razón y anotando los resultados. • Al igual que se señaló en el caso de las progresiones aritméticas, hay que valorar si es o no conveniente trabajar las notas al margen que aparecen en el epígrafe: la caracterización de las progresiones geométricas como sucesiones recurrentes y, sobre todo, el interés compuesto como un ejemplo práctico de progresión geométrica. 33. Esta actividad se puede realizar sin haber trabajado lo que se menciona en el párrafo anterior. Si se opta por trabajar dicho concepto, sería interesante plantear otros problemas parecidos relacionados con el interés compuesto.
ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
30, 31 y 72 a 76.
Medio
32, 33 y 77 a 82.
Alto
106 y 108.
7. Suma de términos consecutivos de una progresión geométrica • Son de aplicación los comentarios hechos para la demostración similar de las progresiones aritméticas. La demostra ción conviene hacerla paso a paso, para que si los alumnos, en un momento determinado, olvidan la fórmula, sean capaces de desarrollarla por sí mismos. • Se puede introducir a modo ilustrativo la leyenda del inventor del ajedrez, y que los alumnos calculen el número de granos de trigo que recibiría.
ACTIVIDADES POR NIVEL
8
Básico
35, 36, 83 y 84.
Medio
37, 85, 86, 97 y 99.
Alto
87 a 90, 104 y 109.
Unidad 4
Sucesiones. Progresiones
Actividades 98. En esta actividad aparece nuevamente la sucesión de Fibonacci, ya introducida en el ejemplo 5. La novedad es que aquí se describe el ejemplo real del modelo que sirvió al matemático italiano para proponerla.
La actividad tiene muchas posibilidades de explotación, ya que se puede utilizar como un caso de crecimiento exponencial y dar ejemplos de este crecimiento en relación con la introducción de especies ajenas en ecosistemas. Entre estos ejemplos destacan los que tienen que ver con Australia, con la introducción de especies como los conejos por los europeos en el siglo XIX. La ausencia de depredadores originó un crecimiento exponencial de su población que solo se vio frenado por las epidemias de mixomatosis. De nuevo, la colaboración con el profesor de Biología puede resultar más que interesante. 105. Esta actividad puede servirnos para reflexionar y estudiar sobre los efectos que las grandes infraestructuras tienen en la naturaleza. En este caso se puede proponer a los alumnos que investiguen cuáles fueron las consecuencias de la construcción de la presa de Asuá n en diferentes aspectos:
• Ecológicos. Al romper el régimen natural del caudal del Nilo. • Económicos. Al permitir la generación de energía eléctrica y la regulación de los regadíos. • Culturales. Al obligar a trasladar grandes monumentos de sus emplazamientos originales y a la ocultación de otros bajo las aguas. Se pueden buscar ejemplos más cercanos como la construcción de autopistas, de líneas de alta velocidad, de urbanizaciones…
Pon a prueba tus competencias OBSERVA Y COMPRUEBA: CÓMO SUMAR DIBUJANDO
Se trata de una actividad matemática en la que el alumno debe combinar lo aprendido en la unidad sobre regularidades y sucesiones con la visión espacial necesaria para interpretar las construcciones geométricas que se describen.
Sugerencias didácticas
Es importante que los alumnos se den cuenta de que muchas construcciones numéricas tienen un análogo geométrico y de que la geometría es, en general, más fácil de entender y asimilar.
Para realizarla es conveniente proporcionar a los alumnos una fotocopia para que puedan hacer las mediciones y anotaciones sobre ella. Si la fotocopia amplía la imagen, mejor, aunque en ese caso hay que advertirles del cambio de escala que se produce en el mapa.
CALCULA Y DESCUBRE: EL CAMINO MÁS SINUOSO
Más allá de las reflexiones sobre el concepto de costa fractal, la actividad es muy rica en cuanto a la aplicación metódica de un procedimiento para la resolución de un problema.
Es una actividad parecida a la anterior en la que además se puede observar cómo el límite visual de una sucesión no tiene por qué corresponder al límite matemático. Por supuesto, ellos no han trabajado el concepto de límite, pero sí se les puede sugerir en qué consiste y hacerles razonar sobre su sentido o no. Se pueden buscar otros ejemplos sencillos de sucesiones como las de áreas y volúmenes formadas a partir de una hoja de papel que se va doblando por la mitad indefinidamente y que se propone en el problema 106.
APRENDE A PENSAR: ¿CUÁNTO MIDE LA COSTA DE IBIZA?
Competencialmente desarrolla sobre todo las competencias matemática, social y ciudadana, y de tratamiento de la información y digital, tal y como se señala en la tabla de la página 5. En cuanto a la participación en el blog de “Aprender a pensar” y como siempre hay que hacer en este tipo de actividades, es preciso estimular a los alumnos para que participen dejando sus opiniones y analizando las de los demás para conseguir un mejor conocimiento de los temas propuestos, en este caso las representaciones cartográficas.
Esta actividad continúa trabajando con un ejemplo gráfico y manipulativo el concepto de fractal introducido en la entrada de la unidad.
Sucesiones. Progresiones
Unidad 4
9
Actividades de refuerzo Unidad
4 Sucesiones.
Progresiones
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Al finalizar esta unidad sería suficiente que los alumnos: • Identificaran regularidades. • Supieran establecer cualquier paso de una determinada regularidad geométrica. • Distinguieran las progresiones aritméticas y geométricas del resto de las sucesiones. • Calcularan diferentes elementos de progresiones aritméticas y geométricas.
ACTIVIDAD DE GRUPO Construcción y estudio de figuras regulares Para esta actividad se necesitarán palillos y plastilina. Con los palillos construiremos figuras poligonales de lado la longitud del palillo. Posteriormente construiremos sobre las figuras ya construidas, prolongando dos de los lados, figuras de igual forma, pero cuyo lado sea dos palillos. Repetimos el proceso, esta vez con figuras poligonales cuyos lados estén formados por tres palillos. Los alumnos tendrán que anotar el número de palillos que se van utilizando en cada proceso, para poder establecer el número de palillos necesarios para figuras cuyos lados estén formados por 7 palillos. La plastilina se puede emplear para construir figuras en el espacio, uniendo las aristas con bolitas de plastilina. Al final, los alumnos tendrán que establecer el número de palillos y de bolitas de plastilina necesarios para cada paso.
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.
Los números por los que debe pasar que forman parte de la sucesión dada en el enunciado son: a n
=
8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, 56, 59. 2
2.
45 puntos. El número de puntos de las figuras son los términos de la sucesión a
n
3.
n
=
+
5n + 6 2
.
a) Los términos que hay que tachar son: 27, 33, 29, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81 y 87. b) Los números que hay que tachar son: 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 y 2048. En la tabla quedan sin tachar los primeros términos de la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987.
En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.
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Unidad 4
Sucesiones. Progresiones
Más recursos en tu carpeta
ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 1.
4 Sucesiones.
Progresiones
Marca el camino que sigue Javier para ir de su casa al instituto, teniendo en cuenta que solo puede desplazarse horizontal y verticalmente, y que debe pasar por los 18 primeros términos de la sucesión 3 + 5. a n
=
n
16
25
23
26
29
27
30
24
17
20
49
32
57
60
15
14
28
46
35
58
63
8
11
30
41
38
63
60
12
27
33
44
51
37
43
18
46
36
47
50
36
46
21
45
39
42
53
56
59
IES
2.
Contempla la siguiente secuencia. ¿Cuántos puntos formarán la figura que ocupa el lugar 7?
3.
Marca con un círculo las letras de las casillas que contienen los 11 primeros términos de la primera sucesión y los 8 primeros términos de la segunda sucesión. Debes obtener el nombre de una famosísima sucesión presente a nuestro alrededor. Las casillas sobrantes te darán los primeros términos de esa sucesión. a) Progresión aritmética de primer término 27 y diferencia 6. Recuerda: Para obtener los términos de una progresión aritmética, solo tienes que ir sumando al anterior la diferencia: a1
=
27, a2
=
27 + 6 = 33, a3 = 33 + 6 = 39 K
b) Progresión geométrica de primer término 16 y razón 2. Recuerda: Para obtener los términos de una progresión geométrica, solo tienes que ir multiplicando al anterior la razón: a1
=
16, a2
=
16 ⋅ 2 = 32, a3
=
32 ⋅ 2 = 64 K A 1 E 81 P 13 F 32 E 144 C 33
S 27 E 3 O 2048 E 34 O 45 P 377
S 1 S 5 N 512 I 256 N 39 I 610
U 69 S 75 A 21 B 57 L 233 I 64
B 2 I 1024 D 16 A 55 A 87 C 987
C 51 N 8 E 63 L 89 C 128 A 1597
e l b a i p o c o t o f a n i g á P
Sucesiones. Progresiones
Unidad 4
11
Actividades de ampliación Unidad
4 Sucesiones.
Progresiones
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Estos alumnos deben aprender los conceptos de progresiones no desarrollados en la unidad y aplicarlos a la resolución de diferentes problemas. Para ello deben resolver actividades en las que se entremezclen las progresiones aritméticas y geométricas, actividades relacionadas con la vida cotidiana o con las ciencias naturales y, de forma general, actividades que impliquen un mayor dominio de la aplicación algebraica de las fórmulas estudiadas en la unidad.
ACTIVIDAD DE GRUPO Construcción y estudio de figuras regulares Para esta actividad se necesitarán palillos y plastilina. Con los palillos construiremos figuras poligonales de lado la longitud del palillo. Posteriormente construiremos sobre las figuras ya construidas, prolongando dos de los lados, figuras de igual forma, pero cuyo lado esté formado por dos palillos. Repetimos el proceso, esta vez con figuras poligonales cuyos lados estén formados por tres palillos. Los alumnos tendrán que anotar el número de palillos que se van utilizando en cada proceso, para poder establecer el número de palillos necesarios para figuras cuyos lados estén formados por 7 palillos. La plastilina se puede emplear para construir figuras en el espacio, uniendo las aristas con bolitas de plastilina. Al final, los alumnos tendrán que establecer el número de palillos y de bolitas de plastilina necesarios para cada paso.
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.
La longitud de los lados de los cuadrados forman una progresión geométrica con a1 = 6 y r =
2
; por tanto 2 sus áreas están en progresión geométrica con a1 = 36 1 y r = . Aplicando la fórmula se obtiene que las áreas 2 36 de todos los cuadrados suman = 72 m2 . 1 1− 2 2.
3.
Hay que aplicar la suma de infinitos términos de una 1 progresión geométrica de razón . 10 Hay que sumar los seis primeros términos de una progresión geométrica con a1 = 500 ⋅ 1,04 y r = 1,04. El capital final será: 500 ⋅ 104 , 7 − 500 ⋅ 104 , 104 , −1
= 344915 , €
4.
Como 35 = 243 es la primera potencia de 3 mayor de 100 y 39 = 19683 la última inferior a 20000, hay que sumar los cinco primeros términos de una progresión geométrica con a1 = 35 = 243 y r = 3. El resultado es 29 403.
5.
Ha de ser 2n2 + 5 > 1000 ⇒ n > 22.
6.
En este caso se ha de cumplir n(n + 1) > 1482, que equivale a n2 + n − 1482 > 0 ⇒ n = 38.
7.
Sucesión áreas cuadrados: es una progresión geome1 1 trica con a1 = 4 y r = : 4, 2, 1, … 2 2 Sucesión áreas círculos: esuna progresión geométrica 1 π π π con a 1 = π y r = : π, , , ... 2 2 4 8
En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.
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Unidad 4
Sucesiones. Progresiones
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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 1.
4 Sucesiones.
Progresiones
La suma de todos los términos de una progresión geométrica de razón menor que la unidad viene dada por la expresión: s
=
a
1
1 − r
Consideramos la sucesión cuyos términos son las sucesivas áreas de los cuadrados que se forman del siguiente modo. Partiendo de un cuadrado de 6 metros de lado, construimos el cuadrado cuyos vértices son los puntos medios de los lados de dicho cuadrado. Repetimos la construcción de forma indefinida para obtener la sucesión. ¿Cuál es la suma de las áreas de todos los cuadrados?
6 m
2.
Una aplicación de las progresiones geométricas es el cálculo de la fracción generatriz de un número decimal. En el siguiente ejemplo se dan los primeros pasos, trata de completarlo.
3,7 = 3,77777777… = 3 +
7 10
+
7 100
+
7 1000
+
7 10000
+…=
1 34 1 1 1 = 3 + 7 + + + + … = … = 10 100 1000 9 10000 3.
Si al principio de cada año ingresamos 500 euros en el banco a un interés del 4%, ¿qué capital tendremos al cabo de 6 años?
4.
Calcula la suma de las potencias de 3 comprendidas entre 100 y 20 000.
5.
Dados k = 1000 y la sucesión an = 2n2 + 5, averigua a partir de qué término de la misma todos los siguientes son mayores que k . Compruébalo con algunos términos posteriores.
6.
Dado k = 1482, averigua a partir de qué término de la sucesión 1 ⋅ 2, 2 ⋅ 3, 3 ⋅ 4, 4 ⋅ 5… todos los siguientes son mayores que k .
7.
En un cuadrado de lado 2 m se inscribe una circunferencia. Dentro de la circunferencia se inscribe un cuadrado, y dentro, otra circunferencia, y así sucesivamente tal y como muestra la figura. Escribe la sucesión de las áreas de los cuadrados y la sucesión de las áreas de los círculos formados.
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Sucesiones. Progresiones
Unidad 4
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PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad
4 Sucesiones.
Progresiones
APELLIDOS: FECHA:
NOMBRE: CURSO:
GRUPO:
3 , calcula los términos a7 y a10. (n + 1)2 n +
1.
Dada la sucesión de término general an
2.
Obtén el término general de la sucesión 0, 3, 8, 15, 24, 35…
3.
Calcula el término general de una progresión aritmética sabiendo que sus cuatro primeros términos son:
=
3, 10, 17, 24. 4.
a) Sabiendo que el cuarto término de una progresión aritmética es 12 y que el término que ocupa el lugar 27 es 104, calcula el término 35. b) Calcula la suma de esos 35 primeros términos.
5.
De una progresión aritmética se sabe que la suma de sus primeros 20 elementos es 820 y que la diferencia es 4. ¿Cuánto vale el cuarto término?
6.
Calcula el término general de una progresión geométrica si sus cuatro primeros términos son 2, 4, 8 y 16. −
7.
−
a) Calcula la suma de los primeros 10 términos de una progresión geométrica sabiendo que a4 192. a6
=
48 y
=
b) Calcula para dicha progresión el valor del término a1.
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8.
La suma de n términos de una progresión geométrica es 5115. Si el primer término es 5 y la razón es 2, ¿cuántos términos se han sumado?
9.
María le dice a su padre que para coger soltura en matemáticas, cada día resolverá 3 problemas más que el día anterior. Si el lunes ha resuelto 2 problemas, ¿cuántos resolverá el sábado?
10.
A Fernando le han regalado un puzle de 1750 piezas para cuya construcción se propone un plan de trabajo. Cada día colocará 5 piezas más que el día anterior. Si el primer día coloca 40 piezas, ¿cuántos días tardará en terminarlo?
11.
Javier envía un e-mail con un chiste a tres amigos suyos. Media hora más tarde, los amigos de Javier se lo han enviado a tres personas más cada uno. De nuevo en media hora, cada una de las personas que lo acaba de recibir se lo envía a otras tres. Suponiendo que cada persona que recibe el chiste se lo envíe de media a otros tres amigos, ¿cuántas personas habrán recibido el chiste al cabo de dos horas?
12.
En el concurso “Doble o nada”, cada pregunta bien contestada vale el doble que la anterior. Un concursante se ha llevado 32 767 euros. ¿Cuántas preguntas ha contestado correctamente si por la primera ha recibido un euro?
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Unidad 4
Sucesiones. Progresiones
Propuesta de evaluación Unidad
4 Sucesiones.
Progresiones
SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a = 7
7+3
=
2
(7 + 1)
10 64
=
5 32
a10 =
10 + 3
=
2
(10 + 1)
13 121
2. a = n2 − 1 n
3. a1 =
3;
d =
7
an =
12 = a1 + 3d 104 = a + 26d 1
3 + (n − 17 ) = 7n − 4
4
d =
4.
a1 =
a) a35 = 34 ⋅ 4 = 136
5. S20 =
(a
1
)
+ a20 ⋅
20
2
12 − 3d = 0
b) S35 =
(a
1
)
+ a35 ⋅
35
2
2a1 + 19d 20, 820 = 10 (2a1 + 76); 2
=
=
2380
a1 =
3;
a4 =
15
6. a = −2; r = −2; a = −2 (−2)n−1 = (−2)n 1 n
7.
a6
=
a4
48
8.
192 48
= a1 ⋅
5115
=
8;
r =
2
S10 =
6 ⋅ 210 − 6 2 −1
=
6138
a1 = 6
5 ⋅ 2n − 5 ; 5110 = 5 ⋅ 2n n = 10 2 −1
9. a6 = a1 +
10. Sn =
4 = r 2;
=
5d = 2 + 15
1750 =
= 17
(
)
a1 + a1 + n − 1 d
2
n. Tarda 20 días en
hacer el puzle.
11.
Progresión geométrica de razón 3 y primer término 3. Nos piden el término 4, que es 81.
12.
Se trata de una progresión geométrica de razón 2 y primer término 1. 32767 =
2n − 1 n ; 2 1
=
32768;
n =
15 .
Sucesiones. Progresiones
Unidad 4
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